Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПОДХОДА К ОБУЧЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ
1. Основные проблемы изучения математического анализа в школе и в педагогическом вузе 18
2. Технологический подход в дидактике и методике обучения математике 35
3. Проблема целеполагания в контексте технологического подхода к обучению (психолого-педагогический аспект) 56
4. Проблема формирования понятий в философии, психологии, дидактике и методике обучения математике 72
Выводы по первой главе 91
ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ БАЗОВЫХ ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В УСЛОВИЯХ ТЕХНОЛОГИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ
1. Система упражнений как условие достижения диагностируемых целей при изучении базовых понятий математического анализа 95
2. Формирование базовых понятий темы «Функции. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Предел функции» у будущих учителей математики в педвузе на основе технологического подхода 114
3. Формирование базовых понятий темы «Производная и интеграл» у будущих учителей математики в педвузе на основе технологического подхода 135
4. Организация и основные результаты эксперимента 153
Выводы по второй главе 178
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 183
ЛИТЕРАТУРА 188
- Основные проблемы изучения математического анализа в школе и в педагогическом вузе
- Система упражнений как условие достижения диагностируемых целей при изучении базовых понятий математического анализа
- Формирование базовых понятий темы «Функции. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Предел функции» у будущих учителей математики в педвузе на основе технологического подхода
Введение к работе
Актуальность исследования. Современный этап развития высшей школы в России характеризуется существенными изменениями в содержании обучения и воспитания специалистов. Изменение системы образования в соответствии с Законом Российской Федерации «Об образовании» (1992 г.), «Национальной доктрины развития образования в Российской Федерации»(2000 г.), «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года» (2002 г.), законом «О высшем и послевузовском профессиональном образовании» и Государственным образовательным стандартом направлено на повышение его качества. В свою очередь, качество подготовки учителя математики определяется не только фундаментальными психолого-педагогическими и социальными знаниями, но и его предметной, математической подготовкой. Математическая подготовка студента педвуза должна быть профессионально ориентирована. В частности, курс математического анализа должен обеспечить формирование тех знаний, умений и навыков, которые в дальнейшем позволили бы решать проблемы обучения, развития и воспитания школьников средствами математики. Улучшение профессиональной подготовки учителя математики требует не только новых, более эффективных путей организации учебно-воспитательного процесса в педвузе, но и пересмотра структуры и содержания математической подготовки студентов, перевода ее на технологический уровень преподавания и учения.
Проблемы, связанные с профессиональной подготовкой учителя, широко освящены в психолого-педагогической литературе. Различные аспекты этих проблем отражены в трудах психологов: А.А. Леонтьева, Н.Ф. Талызиной и др.; педагогов - СИ. Архангельского, В.А. Глуздова, В.И. Загвязинского, Л.В. За-грековой, В.В. Краевского, В.В. Николиной, П.И. Пидкасистого, В.А. Сласте-нина, А.И. Щербакова и др.
Вопросы совершенствования подготовки будущих учителей математики исследовались в работах В.В. Афанасьева, Н.Я. Виленкина, Г.Д. Глейзера, В.А.
Гусєва, Г.В. Дорофеева, Т.А. Ивановой, Ю.М. Колягина, Г.Л. Луканкина, А.И.Маркушевича, В.М. Монахова, А.Г. Мордковича, Е.Н. Перевощиковой, Г.И. Саранцева, Е.И. Смирнова и др.
Вместе с тем, многие ученые и педагоги отмечают снижение уровня математического образования в педвузах России, проявляющееся, прежде всего, в формальном усвоении студентами математических фактов и теорий.
На качество математической подготовки влияет специфическая трудность математики как учебного предмета, высокая степень абстракции понятий и теорем, разнообразие форм представления математических структур.
Наибольшие трудности у студентов первого курса математического факультета педвуза вызывает изучение фундаментальных понятий математического анализа в силу названных выше причин. Кроме того, существует несоответствие между большим объёмом изучаемого материала и уменьшением количества учебных часов, отводимых на его изучение. Все это приводит к тому, что знания студентов являются формальными, значительная часть студентов не осознает смысла изучаемых понятий, их содержания, не может дать им различных интерпретаций и, вследствие этого, не может оперировать ими. А между тем, особенности изучения математического анализа в школе требуют от учителя не только формально-логического знания довольно сложных конструкций формулировок, но и умения раскрыть их содержательный смысл учащимся различными наглядными иллюстрациями, геометрической интерпретацией.
Изучаемые на первом курсе педвуза фундаментальные понятия «действительного числа», «функции», «предела числовой последовательности», «предела функции и непрерывности функции», «производной» и «интеграла», изучаются на определенном уровне строгости в средней школе. Поэтому их усвоение студентами, будущими учителями математики, не должно быть формальным. Учитель должен владеть этими понятиями на всех выделенных А.Г. Мордкови-чем уровнях: наглядно-иллюстративном, операционном и формально-
логическом. Он должен донести до учащихся содержательный, а не формальный смысл изучаемых понятий. В то же время усвоение указанных выше понятий математического анализа на этих уровнях является залогом дальнейшего усвоения не только математического анализа, но и других математических курсов. По этим причинам мы эти понятия условно назовем базовыми (в школьном курсе их относят к началам анализа). От уровня усвоения студентом базовых понятий будет зависеть: а) достижение более «высоких» целей изучения курса математического анализа, определяемых его мировоззренческим аспектом; связями математического анализа с практикой, с математическим моделированием и т.д.; б) умение обучать в дальнейшем базовым понятиям учащихся средней школы на различных уровнях строгости в зависимости от профиля учебного заведения (общеобразовательные школы, гуманитарные гимназии, физико-математические лицеи и т.д.).
Для нас важным является то, чтобы студент, будущий учитель, изучая курс математического анализа в педвузе, овладел базовыми понятиями математического анализа на трех уровнях: наглядно-иллюстративном, операционном и формально-логическом.
Между тем, как показало наше исследование, в работах, посвященных изучению математического анализа в педвузах (А.Г. Мордкович, Е.И. Смирнов и др.), внимание уделяется раскрытию специфики и общих трудностей в его изучении, излагаются теоретические концепции их преодоления и недостаточно внимания уделяется неформальному усвоению базовых понятий курса. Подчеркнем, что неформальное их усвоение предполагает овладение ими на трех выше обозначенных уровнях. Наше исследование показало, что это может обеспечить технологический подход к их изучению. В то же время, процесс неформального усвоения математических понятий в педвузе происходит не только во время лекций, но, в не меньшей степени, на практических занятиях.
Практика и результаты констатирующего эксперимента показали, что при традиционном обучении математическому анализу студентов педвуза на прак-
тических занятиях в явном виде отсутствует такой важный этап в обучении, как усвоение теоретического материала на уровне понимания. Практические занятия чаще всего начинаются с формулировки темы занятия, после чего студентам предлагается сформулировать теорему или определение понятия и, затем, преподаватель предлагает решить список задач и упражнений на применение теоретического материала в стандартных ситуациях. В результате, решая довольно большое количество упражнений на занятиях, на этапе контроля многие студенты не справляются с аналогичными заданиями. Наше исследование показало, что это связано с тем, что на практических занятиях у студентов не происходит формирование знаний и умений на различных уровнях, в том числе, на уровнях наглядно-иллюстративном и операционном, которые мы соотносим с такой категорией, как понимание. А специфика математики такова, что одно из условий ее успешного усвоения состоит в том, чтобы понимание смысла каждого термина, квантора в формально-логическом определении понятий, в формулировках теорем предшествовало их запоминанию (знанию). Понимание содержания формулировки является первым уровнем усвоения математических понятий. Таким образом, практика показывает, что выпускник педагогического вуза недостаточно хорошо владеет понятиями математического анализа на наглядно-иллюстративном и операционном уровнях и, следовательно, недостаточно готов к профессиональной деятельности.
Отсюда следует, что необходимо выявить такую педагогическую концепцию обучения базовым понятиям математического анализа, которая бы позволила студентам усваивать их на наглядно-иллюстративном, операционном и формально-логическом уровнях. В качестве такой концепции мы выбираем технологический подход к обучению. Его сущность раскрыта дидактами В.П. Беспалько, М.В. Клариным, И.Я. Лернером, В.М. Монаховым, Т.С. Назаровой, Г.К. Селевко, Ф.А. Фрадкиным и др.; методистами О.Б. Епишевой, Т.А. Ивановой и состоит в следующем:
1) в постановке диагностируемых целей обучения, ориентированных на
достижение запланированных результатов обучения;
организации всего хода обучения в соответствии с диагностируемыми целями;
в оценке текущих результатов, коррекции обучения, направленной на достижение поставленных целей;
в заключительной оценке результатов.
Технологический подход можно применять, когда учебный материал поддается дроблению на определенные единицы. К таким единицам в нашем исследовании и относятся базовые понятия математического анализа.
Остановимся подробнее на термине «понятие».
С философской точки зрения «понятие — это результат обобщения, основанного на отвлечении от незначимых признаков, в результате которого формируется совокупность признаков, характеризующих класс предметов или явлений» (6, с. 378).
С психологической точки зрения понятие является специфическим содержанием мышления. «Понятие - это опосредованное и обобщенное знание о предмете, основанное на раскрытии его более или менее существенных объективных связей и отношений» (124, с. 311).
С точки зрения формальной логики «понятие - это мысль, фиксирующая признаки отображаемых в ней предметов и явлений, позволяющих отличить эти предметы и явления от смежных с ними. Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций» (69, с. 49).
В психологии отмечается, что процесс овладения понятием, осознания значения соответствующего слова или термина совершается в постоянном взаимодействии, в кольцевой взаимозависимости двух друг в друга переходящих операций: а) употребления понятия, оперирования термином, применения его к отдельному частному случаю, т.е. введения его в тот или иной конкрет-. ный, наглядно представленный, предметный контекст, и б) его определения,
раскрытия его обобщенного значения через осознание отношений, определяющих его в обобщенном понятийном контексте.
Но в математике формирование понятий не заканчивается его определением. Во-первых, определением не исчерпывается полностью содержание понятия (69, с. 105). Многие его характеристические свойства излагаются в теоремах. Во-вторых, усвоение математических понятий (в широком смысле, включая и теоремы), возможно лишь через соответствующую систему задач (упражнений).
Понятия «задача», «учебная задача», «упражнение» исследуются в работах психологов (Г.А. Балл, Л.Л. Гурова, Л.В. Занков, Е.Н. Кабанова-Меллер, А.Н. Леонтьев, Н.Я. Менчинская С.Л. Рубинштейн и др.), дидактов (В. В. Давыдов, И.Я. Лернер и др.), математиков-методистов (Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев и др.).
В данной работе мы используем трактовку, данную Г.И. Саранцевым (126). Анализ работ Г.И. Саранцева показал, что он использует термин «задача» для обозначения ситуации, включающей цель и условия ее достижения. Для понятия задачи характерны две стороны: объективная и субъективная, к первой относятся предмет действия, требование, место в системе задач, логическая структура решения задачи, определенность или неопределенность условия и т.д., ко второй - способы и средства решения (126, с. 16). Под упражнением Г.И. Саранцев понимает многоаспектное явление обучения, обладающее следующими основными признаками:
быть носителем действий, адекватных содержанию обучения математике;
являться средством целенаправленного формирования знаний, умений и навыков;
быть способом организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся;
являться одной из форм реализации методов обучения;
5) служить средством связи теории с практикой (126, с. 17).
Чтобы понять сущность упражнения следует учитывать все его аспекты. Однако для любой конкретной ситуации может быть использован лишь один из указанных признаков.
Г.И. Саранцев замечает, что объем понятия задачи шире объема понятия упражнения (в ситуациях их любых толкований). В данном исследовании термин «задача» мы будем рассматривать как синоним термина «упражнение» (по Г.И. Саранцеву).
Итак, анализ психолого-педагогической и методической литературы и традиционной практики подготовки учителя математики в педвузе выявил ряд противоречий:
между потребностью современной школы в профессионально зрелых учителях математики, способных к обучению школьников началам математического анализа на различных уровнях строгости в различных типах общеобразовательных учебных заведений, и недостаточной готовностью выпускников математических факультетов педвузов к такой деятельности;
между современными целями обучения математике в школе, ориентированными на развитие мышления учащихся, и формальным усвоением базовых понятий математического анализа студентами;
между возрастанием роли педагогической технологии в образовании и недостаточным вниманием к технологическому подходу обучения математике, в том числе и в педвузе, отсутствием четко поставленных диагностируемых целей обучения в соответствии с различными уровнями усвоения базовых понятий математического анализа.
Указанные противоречия обусловили проблему исследования: каковы возможности технологического подхода в формировании у студентов педвуза базовых понятий математического анализа на наглядно-иллюстративном, операционном и формально-логическом уровнях, усвоение которых является необходимым условием эффективности профессиональной подготовки учителя
математики? С учетом актуальности проблемы, ее недостаточной разработанностью сформулирована тема научного исследования: «Технологический подход к обучению базовым понятиям математического анализа студентов педвуза».
Цель исследования: выявить теоретико-методологические основы методики изучения базовых понятий математического анализа в педвузе в контексте технологического подхода.
Объект исследования: процесс обучения математическому анализу будущих учителей математики в педвузе.
Предмет исследования: теория и методика обучения базовым понятиям математического анализа в педвузе в контексте технологического подхода.
Гипотеза исследования: если проектировать процесс обучения базовым понятиям математического анализа на основе концепции технологического подхода к обучению: ставить диагностируемые цели обучения базовым понятиям математического анализа в соответствии с различными уровнями их усвоения; разработать систему упражнений, направленную на достижение диагностируемых целей и обеспечивающую усвоение каждого из выделенных уровней; спроектировать собственно технологию обучения, включая и средства диагностики, то это будет способствовать успешному усвоению базовых понятий на трех взаимосвязанных уровнях: наглядно-иллюстративном, операционном, формально-логическом, необходимых для формирования профессиональных умений будущего учителя в контексте рассматриваемой проблемы.
Для реализации поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы необходимо было решить следующие задачи исследования:
Обосновать, что технологический подход к обучению является теоретической основой проектирования методической системы обучения базовым понятиям математического анализа.
Выявить знания и умения, которыми должен владеть студент педвуза для обучения школьников элементам начала анализа.
В соответствии с технологическим подходом и выявленными знаниями и умениями определить диагностируемые цели изучения понятий «функции», «предела и непрерывности функции», «производной» и «интеграла» в педвузе, отражающие усвоение теоретического материала на уровнях наглядно-иллюстративном, операционном и формально-логическом.
Разработать и обосновать принципы конструирования системы упражнений, направленной на усвоение студентами базовых понятий на указанных выше уровнях.
Экспериментально проверить эффективность разработанной методики обучения базовым понятиям математического анализа в системе образования будущих учителей математики.
Методологической основой исследования являются системный подход, позволяющий исследовать сущность всех компонентов методики обучения базовым понятиям (цели, содержание, технология обучения); идеи о ведущей роли деятельности в развитии личности; личностный и деятельностныи подходы как конкретно-методологические принципы педагогических исследований; идеи гуманизации и гуманитаризации образования.
Теоретической основой исследования являются положения концепции подготовки учителя (В.В. Афанасьев, В.А. Глуздов, Л.В. Загрекова, Н.М. Зверева, А.А. Касьян, Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович, В.В. Николина, Ф.В. По-вшедная, Е.И. Смирнов и др.); концепции технологического подхода к обучению (В.П. Беспалько, О.Б. Епишева, М.В. Кларин, И.Я Лернер, В.М. Монахов и др.); концепции целеполагания (В.П. Беспалько, О.Б. Епишева, Т.А. Иванова, М.В. Кларин, В.М. Монахов, Е.Н. Перевощикова); положения теории задач и упражнений (Г.А. Балл, В.П. Беспалько, Ю.М. Колягин, И.Я. Лернер, Г.И. Саранцев, Д.Б. Эльконин, А.Ф. Эсаулов и др.); психолого-педагогические исследования по проблеме диагностики усвоения теоретического материала (В.Г. Дорофеев, К. Ингенкамп, А.Г. Мордкович, И.Я. Лернер, Н.Ф. Талызина, Е.Н. Перевощикова и др.); теории и методики обучения математике в педвузе (Г.Л.
Луканкин, А.Г. Мордкович, Е.И. Смирнов и др.); психолого-педагогические и методические исследования по формированию понятий (Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн, Н. Ф. Талызина и др., Т.А. Иванова, Г.И. Саранцев и др.).
Методы исследования. Для решения задач исследования применялся комплекс теоретических и практических методов: анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы по проблеме исследования; анализ различных учебников «Алгебра и начала анализа» для средней школы; анализ учебных пособий по курсу математического анализа для студентов педвуза; изучение и обобщение опыта работы преподавателей; анкетирование; педагогический эксперимент, статистическая обработка данных и анализ результатов эксперимента.
Понятийно-терминологический аппарат исследования. Основными понятиями нашего исследования являются следующие понятия: «технологический подход», «педагогическая технология», «уровни усвоения теоретического материала», «уровни формирования математических понятий», «базовые понятия математического анализа».
Технологический подход — включает в себя: 1) постановку и формулировку учебных диагностируемых целей, ориентированных на достижение запланированных результатов обучения; 2) организацию всего хода обучения в соответствии с учебными целями; 3) оценку текущих результатов, коррекцию обучения, направленную на достижение поставленных целей; 4) заключительную оценку результатов (М.В. Кларин).
Педагогическая технология - интегративная система, включающая упорядоченное множество операций и действий субъектов образовательного процесса, обеспечивающих целеопределение, содержательные, предметные и процессуальные аспекты, направленные на усвоение знаний, умений, навыков, формирование личностных качеств обучаемых (И.Я. Лернер, Ф.А. Фрадкин).
Уровни усвоения теоретического материала - делятся на шесть категорий: знания, понимание, применение, анализ, синтез, оценка (Б. Блум).
Уровни формирования математических понятий - подразделяются на 1) наглядно-иллюстративный (умение приводить примеры и контрпримеры к понятиям, теоремам, геометрические иллюстрации и интерпретации); 2) операционный (усвоение приемов использования понятия); 3) формально-логический (предполагает умение давать строгие определения понятий, осуществлять доказательство их свойств). Последний может быть достигнут при хорошо организованном наглядно-интуитивном усвоении изучаемых математических фактов и овладении их операционной стороной (А.Г. Мордкович).
Базовые понятия математического анализа - понятия, относящиеся к школьному курсу начал анализа и изучаемые в педвузе, усвоение которых в педвузе является залогом дальнейшего успешного изучения не только математического анализа, но и других математических дисциплин (рабочее определение).
Научная новизна исследования состоит:
в обосновании использования технологического подхода к обучению студентов базовым понятиям математического анализа как необходимого условия качественной предметной подготовки будущего учителя математики;
в разработке принципов системы упражнений, обеспечивающих формирование профессионально значимых умений на наглядно-иллюстративном, операционном и формально-логическом уровнях.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:
теоретически обоснована необходимость и целесообразность реализации технологического подхода к обучению базовым понятиям математического анализа в педвузе, как одного из условий профессионально-ориентированного обучения;
уточнена иерархия уровней усвоения базовых понятий математического анализа в контексте целеполагания Б. Блума;
установлена взаимосвязь между психолого-педагогическими и специфическими (содержательными) уровнями изучения математического анализа;
определены уровни усвоения базовых понятий математического анализа, которые следует отражать в диагностируемых целях;
выявлены требования к системе упражнений, способствующей лучшему усвоению базовых понятий курса математического анализа на различных уровнях усвоения в процессе математической подготовки студентов.
Практическая значимость исследования состоит в том, что:
разработана система упражнений, отвечающая различным уровням усвоения теоретического материала по темам: «Функции, основные свойства функций», «Предел последовательности», «Предел функции и непрерывность», «Производная», «Интеграл»;
разработано методическое пособие для студентов первого курса математического факультета по курсу «Математический анализ»;
определены диагностируемые цели изучения понятий функции, предела числовой последовательности, предела и непрерывности функции, производной, интеграла;
экспериментально проверена эффективность разработанной методики обучения базовым понятиям математического анализа в системе образования будущих учителей математики.
Теоретические результаты исследования могут быть использованы в процессе изучения базовых понятий различных дисциплин в педвузе. Практические результаты исследования могут быть использованы в процессе математической подготовки будущих учителей математики в педагогическом вузе, на курсах повышения квалификации.
Опытно-экспериментальной базой исследования послужили математический факультет Нижегородского государственного педагогического университета, инженерно-педагогический институт и социально-экономический институт Волжской государственной инженерно-педагогической академии. Экспериментальным исследованием было охвачено 325 студентов и 8 преподавателей.
Основные этапы исследования. Исследование проводилось в три этапа.
На первом этапе (2000-2001 гг.) осуществлялся анализ научной и научно-методической литературы по проблеме исследования. Изучался опыт работы в области изучения математического анализа в педвузе и в школе, отражающий состояние исследуемой проблемы. Изучались причины невысокого уровня знаний студентов по математическому анализу; анализировались сложности, возникающие у студентов при изучении математического анализа. На данном этапе была обоснована актуальность и практическая значимость проблемы исследования, разработан понятийный аппарат и определены цель, задачи, методы исследования, рабочая гипотеза, методика экспериментальной работы, проведены констатирующие срезы.
На втором этапе (2001-2002 гг.) осуществлялся поиск путей совершенствования проектирования и организации процесса обучения базовым понятиям математического анализа; разрабатывались диагностируемые цели обучения и система упражнений по математическому анализу. Осуществлялась работа по методологическому обоснованию проблемы, были выявлены теоретическая база, методические пути и средства реализации основных теоретических положений, разработаны материалы для обучающего эксперимента.
На третьем этапе (2001-2005 гг.) был проведен обучающий эксперимент, анализ и обобщение результатов работы, осуществлялось формулирование выводов и оформление диссертационного исследования.
Апробация и внедрение результатов исследования. Материалы исследования прошли проверку при организации учебного процесса в соответствии с разработанной методикой на базе математического факультета Нижегородского государственного педагогического университета, социально-экономического института, профессионально-педагогического института Волжской государственной инженерно-педагогической академии. Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теории и методики обучения
математике (2002, 2004гг.), на региональных научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета, Арзамасского государственного педагогического института, Волжской государственной инженерно-педагогической академии (2002-2004 гг.).
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются: использованием в ходе работы современных достижений педагогики и методики обучения математике; многосторонним анализом исследуемой проблемы; последовательным проведением педагогического эксперимента и экспертной проверкой основных положений диссертации; использованием адекватных математических методов обработки полученных результатов.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Профессиональные умения (умение переводить содержание понятия,
теоремы на различные языки представления; умение приводить геометриче
скую интерпретацию к понятию, теореме; умение оперировать определением
понятия и формулировкой теоремы и др.) студента - будущего учителя матема
тики по курсу математического анализа формируются, прежде всего, на основе
усвоения базовых понятий на взаимосвязанных уровнях: наглядно-
иллюстративном, операционном и формально-логическом. Этому способствует
методика обучения математике, спроектированная в контексте технологическо
го подхода к обучению.
2. В соответствии с технологическим подходом методика обучения
предполагает сначала постановку диагностируемых целей. Неформальному ус
воению формулировок дидактических единиц (определений, теорем, правил),
т.е. «знанию», предшествует сначала осознание смысла входящих в них терми
нов, кванторов, логических связей, обеспечивающих понимание их содержания
в целом. Поэтому диагностируемые цели при изучении базовых понятий мате
матического анализа должны ставиться на уровнях «понимание-знание-
понимание», «применение знаний в стандартных ситуациях», «применение
знаний в незнакомой ситуации», достижение которых обеспечивает содержа-
тельные уровни усвоения изучаемых понятий (наглядно-иллюстративный, операционный (рабочий) и формально-логический).
3. Поскольку усвоение базовых понятий математического анализа происходит в основном в процессе решения системы упражнений, то система упражнений отвечает принципам:
принципу соответствия системы упражнений диагностично поставленным целям обучения и уровням усвоения знаний;
принципу последовательности «выдачи» упражнений в соответствии с уровнями усвоения;
принципу «блочности», который означает, что система упражнений должна содержать три блока: а) упражнения на понимание, осознание, осмысление и запоминание теоретического материала; б) упражнения на прямое применение знаний в стандартной ситуации, включая ключевые задачи; в) упражнения творческого, исследовательского характера.
Основные проблемы изучения математического анализа в школе и в педагогическом вузе
Социальный заказ общества ориентируется на учителя, владеющего широким спектром фундаментальных знаний, компетентного в проектировании и осуществлении профессионально-педагогической деятельности в школе, толерантного к педагогическим инновациям и способного к разработке авторских технологий проектирования учебной деятельности школьника.
Выпускник педвуза, получивший квалификацию учитель математики, должен быть готовым осуществлять дифференцированное обучение и воспитание обучающихся с учетом комплекса условий (психологических, педагогических, технологических) и специфики преподаваемого предмета; способствовать социализации и развертыванию личностных процессов, направленных на развитие мотиваций и эмоций, рефлексии и саморегуляции, самооценки и выбора, интеллекта и креативности личности, формированию общей и математической культуры личности; осознанному выбору и последующему освоению профессиональных образовательных программ; использовать разнообразные приемы, методы, средства и технологии обучения; обеспечивать уровень подготовки обучающихся, соответствующий требованиям государственного образовательного стандарта; осознавать необходимость соблюдения прав и свобод учащихся, предусмотренных Законом Российской Федерации «Об образовании», Конвенцией о правах ребенка; систематически повышать свою профессиональную квалификацию; быть готовым к развитию своих профессиональных качеств и проявлять творческую активность; иметь высокий уровень развития профессиональной направленности, коммуникативных качеств и адаптивных возможностей; участвовать в деятельности методических объединений и в других формах научно-методической работы; осуществлять связь с родителями (лицами, их заменяющими); выполнять правила и нормы охраны труда, техники безопасности и противопожарной защиты; обеспечивать охрану жизни и здоровья учащихся в образовательном процессе.
Национальная доктрина развития образования в России, проект которой принят Всероссийским съездом работников образования в январе 2000 г., ставит в качестве одной из основных задач на ближайшие 25 лет «подготовку высокообразованных людей и высококвалифицированных специалистов, способных к профессиональному росту и профессиональной мобильности в условиях информатизации общества и развития новых наукоемких технологий».
В свете этого, одной из ведущих задач педагогического процесса подготовки учителя математики средней школы является преобразование студента в учителя-профессионала, способного решать многообразные задачи, связанные с обучением и воспитанием школьников. Улучшение профессиональной подготовки учителя математики требует не только новых, более эффективных путей организации учебно-воспитательного процесса в педвузе, но и пересмотра структуры и содержания математической подготовки студентов, поднятия ее на технологический уровень преподавания и учения. В немалой степени это касается преемственности содержания математического образования в средней и высшей школе и авторского подхода к развитию теорий, концепций и методов обучения математике.
В формировании личности учителя-профессионала основной компонент содержания образования определяется опытом личности, основывающимся на освоении целостных блоков предметной, методической (технологической), общекультурной и психолого-педагогической (методологической) подготовки. В соответствии с психолого-педагогическими закономерностями становление этого опыта создает основу для развития личностных качеств, формирования и развития эмоционально-волевой сферы, характера и способностей обучаемого.
Система упражнений как условие достижения диагностируемых целей при изучении базовых понятий математического анализа
Процесс усвоения базовых понятий математического анализа начинается на лекции и продолжается на практических занятиях. На лекции дается большой объем информации; понятия имеют сложную логическую структуру, высокий уровень абстракции; приходится переводить математическое содержание на различные языки представления. Поэтому даже у хороших студентов во время лекции нет времени осмыслить содержание понятий, их сущность. Поэтому основная роль в формировании понятий отводится практическим занятиям. Практические занятия традиционно строятся следующим образом: преподаватель сообщает тему занятия и спрашивает формулировки определений или теорем. Далее студентам предлагается решать дидактические упражнения - на «прямое применение в стандартной ситуации» определения или теоремы. Каждое практическое занятие посвящено новой теме. Решая довольно большое количество задач, тем не менее, значительная часть студентов не справляется с аналогичными заданиями на этапе контроля, потому, что студенты не усваивают на уровне содержательного понимания базовые понятия, не умеют оперировать полученными знаниями. Можно предположить, что это связано с тем, что на практических занятиях отсутствует важный этап усвоения - понимание, т.е. отсутствуют упражнения на осмысление, понимание того теоретического материала, которым должны оперировать студенты. А так как основная деятельность студентов на практических занятиях по математическому анализу -это решение задач, то систему задач надо построить так, чтобы она удовлетворяла специальным требованиям.
Обратимся к вопросу о том, что же понимается под термином "задача". В научно-методической литературе существуют различные трактовки понятия "задача".
В Большой Советской Энциклопедии "задача" определяется как: 1) поставленная цель, которую стремятся достигнуть; 2) поручение, задание; 3) вопрос, требующий решения на основании определенных знаний и размышлений, проблема; 4) один из методов обучения и проверки знаний и практических навыков учащихся, применяемых во всех типах общеобразовательных и специальных учебных заведениях. В педагогике термин "задача" также может использоваться для обозначения цели, задания, вопроса, проблемы, метода обучения и контроля (139, с. 818).
Многие ученые (Г.А. Балл, Е.И. Лященко, Д. Пойа, Г.И. Саранцев, Д. Толлингерова, Л.М. Фридман и др.) в своих работах дают различные трактовки этому понятию.
Л. М. Фридман определяет задачу как модель проблемной ситуации, выраженную с помощью знаков некоторого естественного или искусственного языка (153, с. 15).
В рамках педагогической психологии задача рассматривается как условие, обеспечивающее усвоение теоретических положений (Г.А. Балл, Г.С. Кос-тюк), как средство формирования и развития мышления (Л.В. Занков, Е.Н. Ка-банова-Меллер, O.K. Тихомиров), как форма усвоения знаний (З.И. Калмыкова, А.Ф. Есаулов), как результат усвоения знаний и показатель их эффективности (Д.Н. Богоявленский, Н.Д. Левитов, Н.А. Менчинская).
Формирование базовых понятий темы «Функции. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Предел функции» у будущих учителей математики в педвузе на основе технологического подхода
Идея полного усвоения была выдвинута в 1960-е годы американскими психологами Дж. Кэрроллом и Б. С. Блумом. Они исходили из следующих посылок. Разброс успеваемости обычно объясняется соответствующим разбросом способностей к обучению. Однако Дж. Кэрролл обратил внимание на то, что в традиционном учебном процессе всегда фиксированы параметры условий обучения (одинаковые для всех учебное время, способ предъявления информации и т.д.). Единственное, что остается незафиксированным, это результаты обучения, которые характеризуются заметным разбросом. Дж. Кэрролл предложил сделать постоянным, фиксированным параметром именно результаты обучения. В таком случае все параметры условий будут меняться, подстраиваясь под достижение всеми учащимися заранее заданного результата.
Этот подход был развит Б. С. Блумом. Он предложил, что способности ученика определяются его темпом учения не при фиксированных усредненных, а при оптимально подобранных для данного ребенка условиях. Б. С.Блум изучал способности учащихся при обучении разным предметам в условиях, когда время на изучение материала не ограничивается. Он выделил следующие категории учащихся:
- малоспособные (около 5%), которые не в состоянии достичь заранее намеченного уровня знаний и умений даже при большой продолжительности обучения;
- талантливые (около 5%), которым нередко по силам то, с чем не могут справиться остальные и которые могут учиться в высоком темпе;
- обычные учащиеся, составляющие большинство (около 90%),чьи способности к усвоению знаний и умений определяются затратами учебного времени.
Эти данные легли в основу предположения, что при правильной организации обучения и, особенно при снятии жестких временных рамок, около 95% учащихся могут полностью усваивать все содержание обучения.
После определения диагностично поставленных целей по предмету материал разбивается на фрагменты - учебные элементы, подлежащие усвоению. Затем разрабатываются проверочные работы по разделам, далее организуется обучение, проверка - текущий контроль, корректировка и повторная, измененная проработка - обучение. И так до полного усвоения заданных учебных элементов. Текущие оценки делаются по типу «усвоил - не усвоил». Итоговые результаты разъясняются каждому ученику (64). Концепция полного усвоения дает высокие результаты, но ее можно применять на «низших» ступенях обучения, когда учебный материал поддаётся дроблению на определенные единицы, причем усвоение этих единиц носит обязательный характер. В математике такими единицами, являющимися базой, основой дальнейшей математической деятельности обучаемого (в том числе и более высокого уровня творческости) являются определения математических понятий, теоремы, правила, алгоритмы, способы решения ключевых задач (69, с.97).
В отличие от технологического подхода традиционное обучение характеризуется неточностью постановки целей, слабой управляемостью учебной деятельностью, неопределенностью и неповторимостью обучающих операций, слабостью обратной связи и субъективностью оценки достижения целей.
В теории и методике обучения математике технологический подход детально разрабатывался В.М. Монаховым. В. М. Монахов отмечает, что "педагогическая технология — это продуманная во всех деталях модель совместной педагогической деятельности по проектированию, организации и проведению учебного процесса с безусловным обеспечением комфортных условий для учащихся и учителя. При этом обязательно задаются технологические нормы допустимых отклонений от проектированного учебного процесса, в границах которых достижение планированных результатов гарантировано" (100, с.26-31, 101,с.58-62).
