Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ математического образования в начальной школе и пути его совершенствования 10
1. Анализ существующих подходов к изучению геометрического материалов начальной школе в их историческом развитии 10
2. Психо лого-педагогические особенности формирования пространственных представлений у младших школьников при изучении геометрического материала 3?
3. Основные принципы и направления формирования пространственных представлений на уроках математики в начальной школе 52
Глава 2. Методика формирования пространственных представлений у учащихся при изучении геометрического материала в начальной школе 82
1. Методика формирования пространственных представлений, связанных с формой и взаимным расположением фигур 82
2. Методика формирования метрических представлений 125
3. Педагогический эксперимент 151
Заключение 170
Библиография 172
Приложения 186
- Анализ существующих подходов к изучению геометрического материалов начальной школе в их историческом развитии
- Методика формирования пространственных представлений, связанных с формой и взаимным расположением фигур
- Методика формирования метрических представлений
Введение к работе
На протяжении многих десятилетий начальная школа клялась наиболее консервативным звеном в системе школьного образования. Считалось, что основная задача начальной школы состоит в обучении младших школьников элементарным навыкам чтения, письма и счета. Изучение геометрического материала в начальной школе не составляло единой линии с изучением геометрии в старших классах и носило вспомогательный характер по отношению к изучению арифметического материала. Геометрические представления учащихся младших классов формировались на основе элементов плоскости. Гак, в объяснительной записке к программе по математике (начальные классы, 1-3) говорится, что "развитие пространственных представлений о форме, размере и взаимном расположении предметов связано с изучением чисел и арифметических действий; отрезки, треугольники и другие геометрические фигуры служат счетным материалом, а затем используются в качестве конкретной иллюстрации рассматриваемых арифметических задач"1.
В связи с демократизацией общества, тенденцией к гуманизации школьного образования, ориентацией процесса обучения на индивидуальные интересы учащихся целью образования ставится развитие личности. Достижение этой цели приобретает не только теоретический, но и практический смысл. Из проблемы педагогической она перерастает в методическую, что обусловливает повышенное внимание со стороны ученых педагогов, методистов и психологов к вопросам содержания учебных предметов и методам обучения. Одним из аспектов развития личности является математическое развитие, которое предполагает формирование у ребенка приемов мыслительной и учебной деятельности,
1 Программы общеобразовательных учреждений (начальные классы 1-3). М.,1988. С.38. учитывающей специфику предмета математики, а также пространственных представлений, которые составляют основу пространственного мышления.
Начальная школа, представлявшая собою рамсе замкнутый цикл, в настоящее время стала выступать фундаментом целостной системы образования, и в связи с этим актуальным становится вопрос о необходимости решения задач развития личности уже на этом этапе. Начальное геометрическое образование необходимо рассматривать как часть школьного геометрического образования, основной целью которого должно быть формирование пространственных представлений, воображения, развития геометрической интуиции.
В связи с этим возникает необходимость разработки программы по математике в части изучения геометрического материала, основной задачей которой будет формирование пространственных представлений у младших школьников и подготовка их к изучению геометрического материала в 5-6 классах и систематического курса геометрии в 7-11 классах. В последнее время стали появляться программы, направленные на решение этой задачи. Например, это программа интегрированного курса "Математика и конструирование"2.
Проблемой формирования пространственных представлений занимались многие ученые психологи и математики-методисты. Психологи Б.Г.Ананьев,, Л.Л.Гурова, О.И.Галкина, В.П.Зинченко, Е.Н.Кабанова Меллер, А.М.Леонтьев, Б.Ф.Ломов, Т.А.Мусейибова, И.П.Павлов, С.Л.Рубинштейн, Е.Ф.Рыбалко, И.М.Сеченов, Б.А.Сазонтьев, Н.Ф.Талызина и другие исследовали механизм восприятия пространства, особенности восприятия пространства, в частности, у детей, роль деятельности в формировании пространственных представлений м другие
2 Программы общеобразовательных учреждений (начальные классы). М., 1994. проблемы. Конкретно-методические вопросы, связанные с разработкой методов формирования и развития пространственных представлений в процессе обучения элементам геометрии в младшем школьном возрасте, рассматривались авторами учебников И.И.Аргинской, М.А.Байтовой, Л.В.Занковым, А.М.Захаровой, Н. Б.Истоминой, М.И.Моро, А.М.Пышкало, Л.Г.Петерсон, А.А.Столяр, Л.В.Тарасовым, Т.И.Фещенко и другими, а также математикам и-методистами О.А.Алексеенко, С.И.Волковой, Ф.Н.Ибрагимовым, Н.С.Подходовой, Л.П.Стойловой и другими.
Вместе с тем на методическом уровне проблема формирования пространственных представлений при обучении математике в начальной школе остается недостаточно изученной.
Не разработана система научно обоснованных методов, эффективно воздействующих на процесс формирования пространственных представлений у младших школьников. Например, предметом долгого научного спора является вопрос, влияет ли на развитие пространственного мышления учащихся изучение геометрии во взаимосвязи элементов плоскости и пространства. Так, изучение геометрического материала в традиционном курсе математики в начальной школе происходит на основе элементов геометрии плоскости (М.А.Байтова, Г.В.Бельтюкова, М.И.Моро), Н.Б.Истомина, И.Б.Нефедова, А.М.Пышкало, И.С.Якиманская и другие предлагают формировать пространственные представления, опираясь на жизненный опыт ребенка в восприятии пространства, на основе чего потом осуществлять переход к элементам плоскости, а от них - к элементам трехмерного геометрического пространства.
С точки зрения Г.Д.Глейзера, В.А.Гусева, Н.С.Подходовой, Л.В.Тарасова и других авторов, формирование пространственных представлений рассматривается на основе принципа фузионизма, то есть взаимосвязанного изучения элементов плоскости и пространства, в котором объемные фигуры изучаются как форма предмегов окружающего мира, а плоские - как часть объемных. Эффективность второго подхода подтверждается данными исследований психологов, изучавших особенности ребенка в восприятии пространственных форм и отношений.
Таким образом, актуальность нашего исследования определяется следующими факторами: no-мсрных, тенденциями, сложившимися в современном школьном образовании, направленными на индивидуально-личностное развитие ученика, формирование у него комплекса способностей, помогающих ему ориентироваться в окружающем его пространстве; во-вторых, ролью пространственных представлений в развитии пространственного мышления и воображения у учащихся; в-третьих, сложившимися теоретическими предпосылками для построения методической системы формирования пространственных представлений, на основе комплексного использования данных исследований ученых-психологов, математиков-методистов и педагогов, подтвердивших возможность и целесообразность формирования пространственных представлений на раннем этапе школьного образования на основе взаимосвязанного изучения элементов плоскости и пространства.
Проблемой исследования является построение методики формирования пространственных представлений у младших школьников при изучении геометрического материала на основе взаимосвязанного изучения элементов плоскости и пространства.
Объектом данного исследования является обучение элементам геометрии учащихся младшего школьного возраста.
Предметом исследования является выявление возможностей младших школьников в усвоении геометрического материала и разработка методики формирования просгрансгвенных представлений при изучении этого материала.
Гипотеза исследования: если содержание геометрического материала строить на основе принципов фузионизма, преемственности, связи с окружающим миром, наглядности и доступности, а при разработке методики его изучения опираться на теорию поэтапного усвоения геометрического материала, деятельностный подход, использовать целесообразную систему заданий и упражнений, то это позволит сформировать у учащихся начальной школы і пространственные, . предк ставленияі
Проблема, предметі- и гипотеза исследования определили следующие задачи исследования:
- проанализировать накопленный опыт в обучении младших школьников элементам геометрии;
- выявить и описать психолого-педагогические особенности формирования пространственных представлений у младших школьников; определить основные направления и этапы формирования пространственных представлений в процессе изучения геометрического материала; сформулировать основные принципы изучения геометрического материала в начальной школе и требования к его содержанию;
- разработать программу изучения геометрического материала и систему заданий и упражнений, способствующих формированию пространственных представлений и воображения учащихся начальной школы;
- экспериментально проверить эффективность разработанной методики.
В ходе решения поставленных задач были использованы следующие методы: - теоретическое исследование проблемы на основе анализа математической, психологической, педагогической, методической литературы, школьных программ и учебников по математике;
- изучение опыта работы учителей; v
- организация и проведение экспериментального обучения;
- наблюдение за деятельностью учащихся в процессе решения учебных задач;
- проведение тестирования и контрольных срезоа с целью выявления уровня формирования пространственных представлений учащихся;
- обработка данных, полученных в ходе эксперимента.
Исследование по данной теме проводилось в несколько этапов (с 1989 г. по 1995 г.).
На первом этапе (1989-1990 гг.) было проведено изучение и анализ научной геометрической, психолого-педагогической и методической литературы, а также анализ состояния формирования пространственных представлений в практике обучения в начальной школе. На втором этапе (1990-1991 гг.) был разработан новый экспериментальный учебный материал по изучению элементов геометрии с точки зрения формирования пространственных представлений. На третьем этапе (1991-1995 гг.) осуществлялось экспериментальное обучение, в ходе которого был разработан и частично издан дидактический материал (тетради по наглядной геометрии для младших школьников).
Научная новизна работы заключается в том, что на основе результатов, полученных учеными-психологами, методистами, математиками в области исследования проблемы формирования пространственных представлений в младшем школьном возрасте, были разработаны основные направления и комплексная методика формирования пространственных представлений учащихся при изучении геометрического материала, включая взаимосвязанное изучение элементов плоскости и пространства; целесообразное использование средств наглядности в сочетании с активной деятельностью самого ученика; поэтапное формирование приемов учебной и мыслительной деятельности, связанных с развитием пространственных представлений; взаимосвязанное формирование представлений о форме и взаимном расположении фигур и метрических представлений.
Практическая значимость работы заключается в том, что предложенные материалы могут быть использованы в практике преподавания математики учителями начальной школы, а также в 5-6 классах средней школы; на кружках и факультативных занятиях. Материалы могут быть использованы в программах спецкурсов и спецсеминаров педагогических вузов и педагогических факультетов университетов.
Апробация результатов и их внедрение
Основные положения, результаты исследований докладывались и обсуждались на курсах повышения квалификации учителей-математиков и учителей начальной школы в Тверском институте усовершенствования учителей (1993, 1995 гг.), на учительских конференциях, проводимых городским методическим центром г. Твери (1994-95гг.), на учительских семинарах школ г.Твери (1994), на научных конференциях Тверского государственного университета (1992, 1995 гг.), на международной конференции "Подготовка преподавателей математики и информатики для высшей и средней школы" в г.Москве (1994г.), на конференциях и семинарах преподавателей экспериментальных школ, гимназий, лицеев в г.Москве (1992 г.). Результаты данного исследования внедрены в практику преподавания математики в начальной школе СШ № 18 г.Твери, экспериментальных школ городов Твери, Москвы, Брянска, Ржева, Тарту. На защиту выносятся следующие положения.
1. Психо лого-педагогическое обоснование возможности и целесообразности формирования пространственных представлений у младших школьников на основе взаимосвязанного изучения элементов геометрии пространства и плоскости. 2. Основные принципы, направления и этапы построения содержания геометрического материала, связанного с формированием пространственных представлений в младшем школьном возрасте.
3. Методика поэтапного формирования пространственных представлений у младших школьников, способствующая эффективному освоению ими геометрического материала.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложения.
Анализ существующих подходов к изучению геометрического материалов начальной школе в их историческом развитии
На протяжении всей истории методики преподавания математики и, в частности, геометрии, начиная со времен Фалеса Милетского (7-6 вв. до Р,Х.) и до настоящего времени, учен ые-педагоги искали ответы на знаменитую триаду вопросов: "Зачем учить?", "Чему учить?" и "Как учить математике?" Проблема цели, содержания и методов обучения становится еще более актуальной в наши дни в связи с выделении в образовании трех этапов: начального, основного общего и среднего (полного) общего - и обсуждением государственных образовательных стандартов для каждого из данных этапов. Современное состояние геометрического образования характеризуется, в частности, тем, что в настоящий момент предлагается много разных подходов к определению содержания и изучению элементов геометрии в младших классах средней школы. Чтобы лучше ориентироваться в большом количестве проектов экспериментальных программ и учебников по математике для начальной школы, мы проанализируем некоторые существующие исправления в преподавании элементов геометрии па начальном этапе обучения, изложим свое понимание и точку зрения по данному вопросу.
Как показал наш анализ литературы, многие существующие на настоящий момент подходы имеют глубокие исторические корни и в этом смысле являются результатом развития конкретных методических линий в преподавании геометрии. История нашего исследования будет охватывать период со времен Я.А.Коменского, И.О.Песталоцци, И.Ф.Гербарта, Ф.Фребеля и других ученых - методистов и педагогов, по настоящее время. Выбор в качестве точки отсчета исторического этапа конца 18 в. - начала 19 в. не случаен. Известно, что все образовательные концепции, и математические в частности, создавались под влиянием многих факторов: уровня развития науки (математики, например), исследований в области философии, методологии, психологии, физиологии, педагогики и других наук, социально-политического, экономического, нравственного, интеллектуального состояния общества. Конец 18 в. Как раз характеризовался подъемом "европейской математики" после средневекового наследия, когда преподавание геометрии превратилось в пародию на греческую науку. Это была волна возрождения принципов классических греческих школ Пифагора, Платона, Сократа, построенных на недоверии к чувствам в познании, предпочтении логическому построению доказательств. И в то же время - обращение к природе ребенка, провозглашение Я.Коменским принципа природосообразности при обучении, который стал началом зарождения наглядного метода обучения математике, и особенно геометрии, в начальном звене образования. Эти принципы определили формирование двух подходов в преподавании геометрических знаний в младших классах в тот период: формальнологического и наглядного. А к середине 19 в. с учетом двух данных выделилось четыре основных подхода в обучении элементам геометрии детей младшего школьного возраега. В.Мрочек и Ф.Филиппович описывают их как четыре системы формирования начальных геометрических знаний:
1) учение о геометрических формах,
2) генетическая система,
3) геометрическое черчение,
4) наглядная геометрия3.
Яркими представителями учения о геометрических формах являются И.Г.Песталоцци и В.А.Дистервег. В преподавании они придерживались той точки зрения, что путь чисто логических доказательств происходит уже после того, когда будет собран фактический материал при помощи землемерия или же фигур и тел, находящихся под руками. Именно в первоначальном курсе геометрии собирается тот наглядный материал, который затем в средней школе подвергается дальнейшей обработке. Однако вопрос о том, с чего начать изучение геометрии: с предметов ли, с действий над ними (Гербарт И.Ф), с геометрических моделей объемных тел (Гарниш, Дистервег) или с плоских фигур (И.Г.Песталоцци), решался каждым автором по-своему.
3 Мрочек В., Филиппович Ф. Педагогика математики. М., 1988. Например, И.Г.Песталоцци изучал геометрию с детьми на фигурах (с 7 лет). Самой употребимой был квадрат. Различные комбинации квадрата и его частей давали И.Г.Песталоцци массу материала для первоначального упражнения в геометрии. Черчение практиковалось от руки с целью развития глазомера и, кроме того, чтобы сделать переход к рисованию. Затем к квадрату присоединялся круг и опять рассматривались их различные комбинации. Таким образом, ученики упражнялись в отыскании признаков и свойств геометрических фигур, их измерении и комбинировании. Однако И.Г.Песталоцци упустил из виду практические применения геометрических знаний, придал курсу несколько сухой тон.
Методика формирования пространственных представлений, связанных с формой и взаимным расположением фигур
В главе 1 мы выделили одно из основных направлений формирования пространственных представлений - это формирование представлений о форме и взаимном расположении геометрических фигур. Методика формирования этих представлений должна быть ориентирована на достижение учащимися по окончании 3 класса 3 ступени развития пространственных представлений, которая была описана ранее.
С целью формирования пространственных представлений геометрический материал в первом классе можно расположить в виде крупных дидактических блоков. Всего таких блоков может быть четыре. Назовем их условно: куб - квадрат, параллелепипед - прямоугольник, пирамида - треугольник, шар - круг.
Каждый из блоков имеет свое содержание, которое изучается в следующем порядке,
1. Пространственная геометрическая фигура - модель геометрической формы предметов окружающего мира.
2. Элементы пространственной геометрической фигуры, их взаимное расположение.
3. Графическое изображение элементов объемной геометрической фигуры. Плоская геометрическая фигура - графический след грани объемной геометрической фигуры.
4. Взаимное расположение плоских геометрических фигур на плоскости.
5. Отличительные особенности и свойства геометрических фигур.
Приведем пример развернутого плана одного из таких блоков (куб -квадрат).
1. Куб как модель геометрической формы предметов: коробки, комнаты и т.п.
2. Элементы куба: вершины, ребра, грани, углы. Их количество.
3. Точка, отрезок - графическая форма вершин и ребер куба.
4. Линия как след непрерывно движущейся точки. Прямая, кривая, гюманая линии. Замкнутые и незамкнутые линии. 5. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Точка как результат пересечения двух прямых.
6. Взаимное расположение прямой и точки. Луч. Моделирование луча. Отличие луча от прямой и отрезка.
7. Взаимное расположение двух лучей. Угол. Моделирование угла.
Вычерчивание углов. Вершина и стороны угла.
8. Прямой угол. Моделирование прямого угла. Острый и тупой углы.
9. Квадрат - графический след грани куба. Элементы квадрата.
10. Отличительные особенности квадрата.
"Куб - квадрат" - это самый первый и крупный дидактический блок, он содержит много новой информации. Но так как между блоками есть тесные дидактические связи, и они легко просматриваются по параллельным темам, это позволяет закреплять и углублять полученные знания при переходе от одного блока к другому. Именно так закрепляются представления о вершинах, гранях и ребрах геометрических тел. Например, формирование представления об угле, начатое в первом блоке, продолжается в блоке "пирамида - треугольник" при классификации треугольников по углам. Такое строение изучаемого материала по блокам позволяет также формировать у учащихся и приемы учебной деятельности (графическое экспериментирование, моделирование и т.п.). Так, способ получения различных случаев взаимного расположения двух прямых используется учащимися для выявления случаев взаимного расположения двух окружностей (перенос приема). В этом проявляется структура изучения геометрического материала по синтетическим темам (блокам), имеющим не только горизонтальные, но и вертикальные связи. В результате этого у учащихся постепенно формируется набор приемов познавательной деятельности: анализ, синтез, сравнение, обобщение и другие.
Методика формирования метрических представлений
В этом разделе мы представим методику формирования метрических представлений и покажем их роль в формировании пространственных представлений учащихся в начальной школе.
С формированием метрических представлений мы связываем прежде всего формирование представлений о величине (длине, площади, объеме) и ее измерении. Изучение величины и способов ее измерения только как средства извлечения числового материала нередко приводит к некорректному использованию и самого понятия. Например, понятие величины смешивается с понятием меры (числа, выражающего значение величины в некоторых единицах измерения); для характеристики, например, площади фигуры применяют словосочетание "величина площади" и т.д. Поэтому важно формировать правильное понимание о величине, через формирование представления о ее свойствах.
Изучение величины, ее измерения необходимо прежде всего потому, что она дает важный материал для суждения об отношениях и связях, существующих между геометрическими фигурами, их свойствах, о размере как пространственной характеристике объекта, а также имеет большое прикладное значение. Умение применить знание об измерении величины на практике является одним из основных показателей овладения учащимися приемами измерений величин, поэтому данному направлению в формировании метрических представлений принадлежит центральное место. В целом же можно выделить несколько направлений, по которым происходит формирование измерительных навыков учащихся:
- знакомство с величиной и изготовление мер для се измерения;
измерение геометрических фигур (длин отрезков, сторон многоугольников, ребер многогранников, площадей прямоугольников, треугольников и т.д.);
- подтверждение измерений, полученных "на глаз", с помощью
измерительных инструментов;
- измерение при построении фигур; v
- измерение для установления зависимости между величинами в фигурах;
- измерении при изготовлении разверток пространственных фигур;
- решение измерительно-вычислительных задач;
- измерение на местности.
Формирование метрических представлений в нашем курсе происходит в следующей последовательности;
1. Длина отрезка. Единицы измерения длины: см, дм. Измерение длин отрезков сторон многоугольника, ребер многогранника, радиуса, диаметра окружности. Построение отрезка, квадрата, прямоугольника, окружности по заданным параметрам класс).
2. Измерение и построение. Расстояние от точки до прямой. Деление отрезка на равные части с помощью циркуля. Срединный перпендикуляр к отрезку. Построение на нелинованной бумаге квадрата, прямоугольника, треугольника по заданным параметрам с помощью циркуля и линейки (2 класс).
3. Площадь. Единицы измерения площади: см2, м2, дм2, мм2. Измерение площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника. Измерение площади поверхности объемных тел (куба, параллелепипеда). Объем. Единицы измерения объема: см3, дм3, м3. Измерение объема куба и параллелепипеда (3 класс).
Формирование мегрических представлений осуществляется в направлении от измерения отрезков, характеризующихся длиной, к измерению и сравнению плоских фигур, различающихся по площади, а от них - к пространственным, характеризующимся площадью поверхности и объемом. Этот порядок изучения материала определяется логической зависимостью между самими величинами: длиной, площадью и объемом.
Остановимся подробно на методике формирования метрических представлений в соответствии с описанной выше последовательностью.
