Содержание к диссертации
Введение
2. Электроконвекция идеального жидкого диэлектрика 34
2.1. Постановка задачи 35
2.2. Слабонелинейный анализ 41
2.3. Маломодовая модель электроконвекции идеального жидкого диэлектрика 51
2.3.1. Невесомость 56
2.3.2. Нагрев сверху в поле тяжести 63
3. Маломодовая модель электроконвекции слабопроводящей жидкости 69
3.1. Постановка задачи 70
3.2. Модель электроконвекции слабопроводящей жидкости 76
3.3. Случай мгновенной релаксации заряда 80
3.3.1. Постоянное поле 80
3.3.2, Переменное поле 87
3.4. Учёт конечного времени релаксации заряда в постоянном поле 95
4. Нелинейная динамика электроконвективных структур слабопроводящей жидкости 106
4.1. Постановка задачи 106
4.2. Численный метод 108
4.3. Стационарные и колебательные режимы электр о конвекции 112
5. Заключение 127
Список литературы 129
- Маломодовая модель электроконвекции идеального жидкого диэлектрика
- Модель электроконвекции слабопроводящей жидкости
- Учёт конечного времени релаксации заряда в постоянном поле
- Стационарные и колебательные режимы электр о конвекции
Введение к работе
Под действием гравитационных сил, благодаря пространственной неоднородности плотности жидкости или газа, могут возникать конвективные движения. Если неоднородность плотности вызвана неравномерным нагревом, то это движение называется термогравитационной конвекцией (или свободной тепловой конвекцией). При определённых условиях жидкость или газ остаются в механическом равновесии (т. е. в них отсутствуют макроскопические движения), не находясь при этом в тепловом равновесии. Это происходит, когда градиент температуры направлен вертикально, а величина его постоянна. В том случае, когда вертикальная величина неоднородности температуры превышает некоторое критическое значение, равновесие становится неустойчивым и начинается конвекция. Конвективные движения могут возникать и при сколь угодно малых неоднородностях температуры, если не выполняются условия равновесия жидкости.
Проблема конвективной устойчивости является одной из важных проблем гидродинамики (механики жидкости и газа) [1-4]. Конвекция служит источником атмосферных и океанических движений, объясняет процессы, происходящие в мантии Земли, недрах и оболочках звёзд; конвекция жидкостей и газов, обладающих электропроводностью, приводит к генерации магнитных полей космических объектов.
В электрическом поле движение жидкости возможно, как в изотермическом случае, так и при неоднородном нагреве. Такие движения называют электроконвекцией. Электрическое поле может модифицировать порог тепловой конвекции благодаря действию специфических электроконвективных механизмов неустойчивости, связанных с различными способами образования электрического заряда в жидкости. Взаимодействие свободных зарядов с внешним полем может привести к возникновению конвекции жидкости даже в невесомости. Электроконвективные явления обнаруживаются в средах, допускающих возможность существования в них достаточно сильных электрических полей. Иными словами, они наблюдаются в жидкостях, которые на практике считаются изоляторами (трансформаторное масло, бензол, фреон, дихлорэтан, керосин и другие).
Движение в диэлектрических жидкостях при наличии в них электрических ПОЛ.ІЙ было обнаружено и исследовано ещё Майклом Фарадеєм [5]. В конце XIX -в начале XX столетий были начаты исследования свойств и движений диэлектриков на высоком экспериментальном уровне, в частности с применением теневых оптических методов. В последующие годы пытались выяснить причины и механизмы изотермической электрокоивекции (в монографии [6] дан обзор этих работ). После выяснения роли неоднородностей среды в электрогидродинамических явлениях основное внимание стало уделяться вопросам электротермической конвекции. Начиная с 60-х годов XX века, в результате поисков магнитогидродинамических аналогов в области электричества, возникло и успешно развивается новое направление в физике - электрогидродинамика (ЭГД). Основоположником ЭГД в нашей стране принято считать Г. А. Остроумова [7]. На сегодняшний день вопросами электроконвекции занимается множество исследователей за рубежом и в России.
Поведение гидродинамических систем в постоянном и переменном электрическом поле имеет ряд особенностей, имеющих важное значение, как для фундаментальной науки, так и для многочисленных приложений. Параметрическое воздействие на жидкость может приводить либо к подавлению конвективных движений, либо к их динамическому возбуждению, либо к переходу от одного режима движения к другому. Резонансные явления, связанные с резким понижением порога конвекции, а также резкое усиление или ослабление интенсивности электроконвективных надкритических движений возможны при определённом соотношении между амплитудой и частотой модуляции электрического поля. При больших над-критичностях могут возникать различные режимы движений жидкости, включая бегущие волны с постоянной амплитудой или амплитудно-модулированные бегущие волны.
Исследование влияния электрического поля на конвективные течения актуально с практической точки зрения в связи с проблемой управления конвекцией и тепло - и массопереносом в различных технологических ситуациях. В частности, эти исследования важны благодаря возможности более эффективного управления движением диэлектрических жидкостей в электрогидродинамических насосах, и в друшх электрогидродинамических устройствах.
Результаты исследований в электрогидродинамике могут быть использованы в прикладных областях, связанных с практическим применением ЭГД процессов: в технике [9-12], в космических технологиях в условиях невесомости [13]. В технике применяются ЭГД преобразователи энергии, в которых реализуется процесс непосредственного преобразования энергии электрического поля в кинетическую или внутреннюю энергию рабочего вещества. К таким устройствам относятся ЭГД насосы для перекачки слабопроводящих жидкостей типа углеводородных топлив, масел и т. п. С помощью электрического поля можно эффективно удалять газовые пузырьки из жидкости, усиливать коагуляцию взвешенных в углеводородной жидкости капель воды. Перспективными являются ЭГД расходомеры для органических жидкостей, ЭГД устройства для диагностики качества моторных масел, ЭГД компрессоры для холодильных машин. ЭГД процессы применяются в электрокаплест-руных технологиях [14] для нанесения покрытий или надписей на поверхности сложной формы при помощи струй заряженных порошков или капель чернил, а также для распыления в сильном электрическом поле растворов ядохимикатов при обработке растений. Можно перечислить и другие применения: в электрофильтрах для очистки диэлектрических жидкостей от примесей, в ЭГД эмульгаторах, в ЭГД регуляторах потока жидкости и в различных других технологических ситуациях и устройствах.
В механике жидкостей теоретическое рассмотрение электроконвективных движений ведётся на основе нелинейной системы дифференциальных уравнений, включающей уравнение движения вязкой жидкости (уравнение Навье-Стокса), уравнение переноса тепла, уравнение неразрывности, закон сохранения заряда, закон Гаусса и дополнительные специфические уравнения, характеризующие свойства среды [6, 7, 8, 15]. Эти нелинейные уравнения не могут быть решены аналитически в общем виде.
Существуют различные подходы к решению проблемы конвективной устойчивости. Один из подходов состоит в анализе поведения малых возмущений и позволяет перейти от исследования нелинейных уравнений конвекции к более простым - линейным. Обзор методов, используемых при этом, рассмотрен в работах [3, 4, 16-18]. Линейная теория конвективной устойчивости позволяет получить
критические параметры, при которых малые возмущения равновесия или движения начинают нарастать. В неустойчивом состоянии малые возмущения равновесия экспоненциально растут, и наступает момент, когда их эволюция перестаёт подчиняться линейным уравнениям. Поведение возмущений конечной амплитуды может быть проанализировано лишь на основе полных нелинейных уравнений.
Один из методов нелинейного анализа уравнений конвекции заключается в разложении гидродинамических полей в ряды по степеням малого параметра. В качестве такого параметра можно использовать степень надкритичности, при которой рассматривается вторичное конвективное движение. В рамках данного подхода можно сделать заключение о характере ветвления нелинейных режимов конвекции, а в случае мягкого ветвления, когда амплитуда движения нарастает постепенно, -найти форму надкритических движений и исследовать их устойчивость. В случае жёсткого ветвления скачком возникает конвекция конечной амплитуды, и это свидетельствует о существовании нижней критической точки. Обзор методов исследования вторичных режимов приведён в монографиях [19-23].
Рассмотренный метод исследования имеет один существенный недостаток -он применим только при небольших значениях надкритичности. Другой метод -метод прямого численного моделирования, основанный на замене частных производных в нелинейных уравнениях их конечно-разностными аналогами, не связан с подобными ограничениями. Он позволяет исследовать структуру и определять характеристики вторичных режимов вдали от критической точки, рассматривать как стационарные, так и колебательные режимы конвекции. Различают методы конечных разностей и конечных элементов. Описанию подходов и приёмов расчёта конечно-амплитудных движений посвящена обширная литература [24-34].
В последние десятилетия во многих областях нелинейной динамики были обнаружены новые явления, главное из которых - хаотические движения [35]. Хаотические движения - это неупорядоченные движения в совершенно детерминированных системах [36]. Такие движения и раньше обнаруживались в механике жидкостей, но недавно их заметили в несложных механических и электрических системах, и даже в задачах с одной степенью свободы. Вместе с этими открытиями пришло понимание того, что дифференциальные уравнения могут иметь ограни-
ченные непериодические решения, которые ведут себя случайным образом, хотя в эти:: уравнениях нет случайных параметров. Это способствовало развитию новых математических идей, новых подходов к динамическим решениям, широко используемых сейчас исследователями.
В литературе [36-41] широко обсуждается маломодовый динамический хаос - самый простой из того, что встречается в природе и технике и поддаётся описанию с помощью детерминированных моделей. Хаотическую динамику небольшого числа заданных в пространстве мод (или структур) можно отождествить с реальной динамикой нелинейного поля (скорости, давления в гидродинамическом движении) лишь в узком интервале значений параметров. Более точно, при относительно малом превышении порога неустойчивости, или, как часто говорят, при малой над-критичности. С ростом надкритичности число степеней свободы (или поля), эффективно вовлекаемых в хаотическое движение, в общем случае увеличивается, корреляция между ними разрушается, и хаос становится всё более сложным. Этому соответствует увеличение размерности странного аттрактора, вложенного в фазовое пространство течения. Например, для термогравитационной конвекции в горизонтальном слое по мере увеличения числа Рэлея регулярная решётка конвективных структур - ячеек Бенара - "плавится", появляются дефекты, несоизмеримая модуляция и, наконец, пространственно-временной хаос, который и есть собственно турбулентность. Маломодовый хаос характеризуется сложным временным, но весьма простым пространственным поведением, отвечающим регулярной картине поля. В турбулентном режиме сложным будет и временное, и пространственное поведение [1].
Настоящая диссертационная работа направлена на исследование нелинейных режимов электроконвекции неоднородно нагретых жидких диэлектриков, в которых действует диэлектрофоретический или электрокондуктивный механизм заря-дообразования, в плоском горизонтальном конденсаторе, находящемся в постоянном или переменном вертикальном электрическом поле, в невесомости или в поле тяжести с различными динамическими условиями на границах. Для случая свободных недеформируемых границ на основе модельных уравнений исследованы нелинейные надкритические режимы электроконвекции и сценарии перехода к хаотиче-
ским режимам колебаний идеального диэлектрика и слабопроводящей жидкости. Для случая твердых границ с помощью численного моделирования методом конечных разностей исследованы конечно-амплитудные режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости.
Маломодовая модель электроконвекции идеального жидкого диэлектрика
Поведение гидродинамических систем в электрическом поле имеет ряд особенностей, связанных с характером возникновения заряда в жидкости и взаимодействием его с внешним полем, что важно для фундаментальной науки. В переменном электрическом поле, при определённом соотношении между амплитудой и частотой модуляции, возможны: 1) резонансные явления, связанные с резким понижением порога конвекции, усилением интенсивности электроконвективных движений, или 2) ослабление и даже полное подавление конвекции. Знание законов действия электрического поля на конвективные течения актуально и с практической точки зрения в связи с проблемой эффективного управления конвекцией и тепло- и массопереносом в различных технологических ситуациях, в частности, в электрогидродинамических насосах и немеханических переключателях. Исследования, вошедшие в диссертацию, проводились в порядке выполнения работы над грантами РФФИ 01-01-00515, "Теоретическое и экспериментальное исследование электрогидродинамических движений жидкого диэлектрика в горизонтальном конденсаторе", 2001-2002, 03-01-00327, "Конвективная неустойчивость и переход к хаосу в переменных внешних полях", 2003-2004, 05-01-00789, "Гидродинамические неустойчивости, явления переноса и нелинейная эволюция структур в неоднородных и анизотропных жидкостях", 2005-2006; 00-15-96112, Ведущие научные школы РФ, 2000-2002, 1981.2003.1, 2003-2005; а также над грантами Научно-образовательного центра "Неравновесные переходы в сплошных средах" 02-01н-043с, "Стационарные, периодические и хаотические режимы конвекции в постоянном и переменном электрическом полях", 2002, 03-02н-010а
"Исследование электроконвекции жидких диэлектриков в переменном электрическом поле горизонтального конденсатора", 2003, 04-05н-007а, "Конвекция слабопроводящей жидкости в электрическом поле", 2004 г. Цель работы: исследование нелинейных режимов электроконвекции неоднородно нагретых жидкостей в постоянном или переменном электрическом поле горизонтального конденсатора, при действии диэлектрофоретического или элек- трокондуктивного механизмов зарядообразовапия; изучение конкуренции электрических и гравитационных механизмов конвекции. В работе исследуются: - характер ветвления слабонелинейных режимов электроконвекции идеального диэлектрика в постоянном электрическом поле для случая свободных неде-формируемых границ; - возникающие в маломодовых моделях электротермической конвекции нелинейные режимы и сценарии перехода к хаотическому движению идеальных диэлектриков и слабопроводящих жидкостей в случае постоянного или переменного воздействия; - полученные с помощью прямого численного моделирования (методом конечных разностей) стационарные и волновые конечно-амплитудные режимы электроконвекции ел або проводя щей жидкости в постоянном электрическом поле.
Научная новизна работы состоит в систематическом исследовании надкритических режимов электроконвекции в диэлектрических и слабопроводящих жидкостях, помещенных в постоянное или переменное поле горизонтального конденсатора. В работе впервые - изучен характер ветвления монотонных режимов электр о конвекции неизо термического идеального жидкого диэлектрика, находящегося в постоянном элек трическом и гравитационном полях. - на основе модифицированных моделей Лоренца изучен характер электроконвективных движений в переменном поле: а) для идеальной диэлектрической жидкости на плоскости пери од-амплитуда поля найдены области равновесия, периодических и хаотических колебаний; б) при нагреве слоя сверху исследована временная эволюция надкритических синхронных колебаний, принадлежащих двум различным классам; обнаружено, что средние теплопотоки в различных режимах отличаются в несколько раз; най дены интервалы гистерезисных переходов между различными режимами электро конвекции; в) для слабопроводящей жидкости (в случае мгновенной релаксации заряда) получена карта режимов и определены области синхронизации нелинейных колебаний с внешним полем; - на основе восьмимодовой модели, учитывающей конечное время релаксации заряда, исследованы нелинейные режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости в постоянном поле; обнаружены гистерезисные переходы между монотонными и колебательными режимами; продемонстрировано качественное совпадение результатов с экспериментальными данными;
Модель электроконвекции слабопроводящей жидкости
Научная и практическая ценность работы. Полученные результаты исследования нелинейных движений жидких диэлектриков могут быть полезны как при планировании новых экспериментальных исследований, так и для решения практических задач об эффективном управлении электроконвективным движением диэлектрических жидкостей в различных технологических ситуациях (в электрогидродинамических насосах, в высоковольтных устройствах). Решённые в диссертации задачи и обнаруженные новые эффекты углубляют понимание особенностей действия разных механизмов электроконвекции. Результаты исследований надкритических режимов, и обнаруженные сценарии перехода к хаосу в маломодовых моделях электроконвекции дополняют теорию динамических систем, и, кроме того, позволяют более глубоко понять природу перехода к турбулентности в реальных электрогидродинамических системах.
Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием апробированных методов исследования, хорошим согласием с ранее известными результатами в общих областях значений параметров; пороги устойчивости, полученные методом конечных разностей, согласуются с данными линейной теории.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах [96 - 109]. Из них [99, 101, 103, 106, 107] - статьи, остальные тезисы. Работы [96, 97, 100, 102-105] выполнены автором лично. Остальные работы выполнены совместно с научным руководителем.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на: Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов - 2002" (Москва); 11-ой Всероссийской конференции молодых учёных "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2002); конференциях молодых учёных "Неравновесные процессы в сплошных средах" (Пермь, 2002, 2003, 2004, 2005); XXXI, XXXII Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics" (С. Петербург, 2003, 2004); VII международной кон- ференции "Современные проблемы электрофизики и электродинамики жидкостей" (С. Петербург, 2003); 14-ой Зимней школы по механике сплошных сред (Пермь, 2005); а также на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого.
Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав с результатами исследований автора, заключения и списка литературы (109 названий). Общий объём диссертации 137 страниц, включая 47 рисунков и 7 таблиц.
В первой главе (во введении) показана актуальность работы, приведён обзор литературы по рассматриваемой проблематике, дана общая характеристика диссертационной работы, обсуждаются новизна и достоверность результатов.
Вторая глава посвящена результатам исследования электротермической конвекции неоднородно нагретой идеальной диэлектрической жидкости в плоском горизонтальном конденсаторе, находящемся в постоянном или переменном вертикальном электрическом поле. Основным механизмом зарядообразования, а, следовательно, неустойчивости, в идеальном диэлектрике в этом случае является ди-электрофоретический механизм, обусловленный линейной зависимостью диэлектрической проницаемости среды от температуры. Рассмотрено поведение жидкого диэлектрика в невесомости и в поле силы тяжести, когда происходит взаимодействие диэлектрофоретического и термогравитационного механизмов конвекции.
В первом параграфе данной главы формулируется задача электротермической конвекции идеального диэлектрика, описываются рассматриваемые приближения и механизмы неустойчивости. Во втором параграфе проведён слабонелинейный анализ режимов электроконвекции в постоянном электрическом поле и в поле тяжести. С помощью метода многих масштабов получено амплитудное уравнение, характеризующее ветвление конвективных режимов. Для случая свободных границ аналитически рассчитаны коэффициенты амплитудного уравнения, анализ которых показал, что при любых параметрах задачи характер ветвления мягкий. В третьем параграфе с помощью метода Галёркина получена трёхмодовая модель электроконвекции. На основе данной модели исследованы нелинейные режимы электроконвекции в постоянном и переменном электрическом поле, в невесомости и в поле тяжести при подогреве сверху. Выделены стационарные, периодические и хаотические режимы поведения жидкости. Построены карты режимов: в пространстве параметров найдены границы существования областей равновесия, периодических и хаотических колебаний. Обнаружены два класса синхронных возмущений, различающихся временным поведением.
Учёт конечного времени релаксации заряда в постоянном поле
Система обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд (3.17) численно интегрировалась в постоянном электрическом поле, в поле тяжести (г -имеет конечные значения) и при конечных значениях Рге, когда время релаксации заряда конечно. Для расчетов брались значения параметров Рг = 400, Рге = 30, как в работе [88], чтобы провести качественное сравнение с экспериментально измеренными в этой работе зависимостями среднего теплопотока от напряжённости внешнего поля. Значение волнового числа к — 0.933 бралось в минимуме нейтральной кривой при г = 0 (в невесомости). Оно было получено из линейного анализа устойчивости равновесия восьмимодовой модели, проведённого по алгоритму, описанному в предыдущем параграфе. Ему соответствуют значения параметров b = 2.138, d = 2.604, g = 0.722, для которых проведены все вычисления. Для интегрирования дифференциальных уравнений в качестве начальных условий брались нулевые значения амплитуд, кроме К= 0.1. Для изучения гистерезисных переходов использовался метод продолжения по параметру. Для некоторого значения параметра е при интегрировании по времени в качестве начальных данных использовались значения переменных, полученные в конце интегрирования при предыдущем значении параметра.
Для разных нагревов были получены зависимости среднего числа Нуссельта от электрического числа е. При подкритическом нагреве г = 0.8 (рис. 3.12) неустойчивость возникает колебательным образом при ед = 5.1. С ростом электрического числа средний теплопоток растёт (участок АС на рис. 3.12). На рис. 3.13 приведён график зависимости первой амплитуды функции тока от времени для колебательного режима при е = 8, в его Фурье спектре содержится две частоты: основная частота V] = 0.119 и её тройная гармоника v3 = 0.357. При достижении некоторого значения, полученного методом продолжения по параметру, ее - 10.21 теплопоток резко возрастает почти в два раза - жёстко рождается монотонный режим (без метода продолжения по параметру переход к монотонному режиму происходит при е = 9.9). Дальше число Нуссельта Nu продолжает возрастать (DG). На рис. 3.14 приведён график зависимости первой амплитуды функции тока от времени для монотонного режима при е = 16. При движении в пространстве параметров справа налево (DEF), при уменьшении электрического числа до значения еЕ= 7.6, наблюдается гистерезисный переход от монотонного режима к колебательному с резким уменьшением потока тепла.
На участке колебательного режима в спектрах Фурье было обнаружено, что с ростом электрического числа основная частота колебаний и её утроенная гармоника медленно растут: при е = 5.1 имеется частота vi = 0.114 (с большой амплитудой) и v2 = 0.342 (с очень маленькой амплитудой), при е = 7 - две частоты V[ = 0.1199, v2 = 0. 3597. Затем основная частота и её утроенная гармоника начинают уменьшаться, появляются другие гармоники - удвоенная, учетверённая и т. д. (например, при е = 9.9 в спектрах обнаруживаются частоты vj = 0,0934, v2 = 0.1866, V3 = 0.28, ...). На рис. 3.15 приведён график зависимости двух нижних частот, наблюдаемых в спектрах Фурье, от электрического параметра е.
При дальнейшем росте электрического числа была обнаружена последовательность бифуркаций удвоения периода (субгармонический каскад), в результате которой происходит переход от периодического режима колебаний к хаотическому режиму. При этом значения частот по-прежнему медленно уменьшаются с ростом электрического числа. При е = 9.905 происходит первое удвоение периода: в спектре появляется частота v = 0.0466 - в два раз меньше основной частоты, и её гармоники. При е = 10.0368 - второе удвоение (появляется частота v = 0.0218), при е -10.0556 - третье (v = 0.0108), при е = 10.0596 - четвёртое (v = 0.0055). В таблице 3.4. приведены значения е , отвечающие четырём бифуркациям удвоения периода. С точностью до второй значащей цифры переход к хаосу происходит при ев = 10,07. Если определять точку перехода с большей точностью, то она лежит в интервале значений параметра е [10.06 10.07]. На участке ВС существует область хаоса с узкими окнами периодичности. При ее = 10.21 происходит переход к монотонному режиму с примерно в два раза большим средним теплопотоком.
Исследуя одномерное логистическое отображение, в котором наблюдался переход к хаосу через субгармонический каскад, Фейгенбаум обнаружил, что интервал по параметру между последовательными бифуркациями удвоения периода уменьшается с ростом их номера так, что отношение (et - еА_,)/(еж -ек) стремится к константе, которую принято называть константой Фейгенбаума 8 [39]:
Иными словами, последовательность значений е сходится по закону геометрической прогрессии. В нашем случае, по значению параметров е при второй, третьей и четвёртой бифуркациях удвоения (см. табл. 3.4) число Фейгенбаума получается равным 8 = 4.7, что отличается от точного значения примерно на 0.7 %.
При надкритичности г = 1.1 (рис. 3.16) в отсутствие электрического поля наблюдается обычная монотонная термогравитационная рэлеевская конвекция. При включении и последующем увеличении внешнего электрического поля конвективный поток тепла уменьшается (участок АВ на рис. 3.16) - электрическое поле подавляет тепловую конвекцию до тех пор, пока не установится равновесие при eg = 1.3 (в этом случае тепло передается теплопроводным механизмом: Nu = 1). При большем значении электрического поля мягко возникает колебательный режим конвекции при ее = 3.4, который существует на участке СЕ. При использовании метода продолжения по параметру получаем, что при eg = 9.8 происходит переход от колебательного режима к монотонному режиму (при интегрировании с постоянными начальными условиями этот переход происходит при е = 8.2), на участке FI теп-лопоток продолжает расти.
Стационарные и колебательные режимы электр о конвекции
Расчеты нелинейных электроконвективных движений, устанавливающихся в горизонтальном слое, проведены при фиксированных параметрах: Рг = 1, Ra = 2500 (вергикальный разрез на рис. 4.1) для ячеек с горизонтальным масштабом LQ= lulk и L = 2L0 , где к - волновое число критических возмущений, определяемых по линейной теории. Карта устойчивости - зависимость критического значения электрического числа Рэлея Raa от теплового числа Рэлея Ra - приведена на рис. 4.1. С ростом числа Рэлея критическое значение электрического числа Рэлея Rao, соответствующего колебательной неустойчивости (1), убывает, а критическое значение Ra,j, соответствующее монотонной моде неустойчивости (2), возрастает. Область устойчивости находится между кривыми и осями координат. Данные для монотонной моды взяты из работы [6], данные для колебательной моды рассчитаны в [109].
В отсутствие электрического поля при достаточных нагревах в горизонтальном слое существует монотонная термогравитационная конвекция. По данным линейной теории для Ra = 2500 электрическое поле подавляет монотонный режим конвекции при Rae = 1550.3, и в жидкости устанавливается равновесие, критическое волновое число при этом к = 2.48 (LQ = 2.53). С ростом электрического поля (при Ra0 = 3962.5) в жидкости возникает неустойчивость, и рождается колебательный режим конвекции с волновым числом к = 4.08 (LQ = 1.54) и частотой v = 6.39. Численные расчёты проводились на прямоугольной сетке 41x21 (по горизонтальной оси брался 41 узел, по вертикальной - 21). Проверочные расчёты на сетках 81x41 привели к изменению интегральных характеристик не более 10 %; при этом структура течений сохранилась. Для монотонного режима выбирался размер расчётной ячейки L0 - 2.53; для колебательного режима рассматривалась ячейка оди-нарчой Л0= 1.54 или двойной длины L = 20 = 3.08. Вначале проводились вычисления с постоянными начальными условиями при разных значениях электрического числа Рэлея. При этом обнаружены монотонный и колебательный режимы в соответствии с предсказаниями линейной теории. Затем методом продолжения по параметру определены области существования этих режимов в пространстве параметров. В качестве переменной, арактеризующей конвективные режимы, использовано среднее за период значение максимальной функции тока у/т. На рис. 4.2 представлена карта нелинейных режимов, устанавливающихся в слое елабопроводящей жидкости. Под режимом подразумевается различное пространственно-временное поведение, наблюдаемое в системе координат, связанной с границами слоя.
В отсутствие электрического поля (RaCT = 0) в слое существует монотонная термогравитационная конвекция, интенсивность которой с ростом электрического поля ослабляется - максимальная функция тока уменьшается (линия "st" - на рис. 4.2). На рис. 4.3 представлены графики зависимости максимальной функции тока от времени для монотонной конвекции в отсутствии поля Ra j = 0 (а) и при Ra = 1500 (б). Изолинии функции тока, изотермы и изолинии плотности электрического заряда, характеризующие установившиеся конвективные движения изображены рис, 4.4 для Raa = 0 (а - в) и для Ra = 1500 (г - е). Видно, что в слое устанавливается двухвихревая конвекция: положительный вихрь вращается против часовой стрелки, отрицательный - по часовой стрелке. Жидкость поднимается в середине слоя, а опускается у боковых границ. При большем электрическом поле (RaCT = 1500) интенсивность движения уменьшается, а симметрия структур относительно горизонтальной плоскости, проходящей через середину слоя, исчезает.
Функция тока обращается в ноль при Rao = 1560 (это значение получено экстраполяцией зависимости ц/2т на равновесные значения - рис. 4.5), выше которого жидкость находится в состоянии равновесия (электрокондуктивный механизм конвекции подавляет термогравитационную конвекцию). Это свидетельствует о мягком возбуждении конвекции при уменьшении электрического поля. Порог возникновения монотонного режима отличается от значения, даваемого линейной теорией (Ra ,= 1550.3) на 0.7%.
Для ячейки LQ = 1.54 вблизи порога колебательной конвекции при Ra = 3950 (порог по данным линейной теории - Ran = 3962.5) возникает длительный переходный процесс, в котором частота колебаний функции тока в любой фиксированной точке конвективной ячейки v = 6,22 совпадает с данными линейной теории с точностью 2.7 % (по линейной теории - v = 6.39). На рис. 4.6 приведён начальный участок зависимости от времени функции тока в фиксированной точке в слое при x = Z/4,z=l/2.
После переходного процесса устанавливается двухвихревое движение с другой частотой. Было обнаружено, что в установившемся колебательном режиме возможны две бегущие в разные стороны волны с постоянной амплитудой (режимы 1, 2 на рис. 4.2). Волны, бегущие в разные стороны, характеризуются разной пространственной структурой изолиний, и разным значением максимальной функции тока, поэтому они считаются двумя разными режимами поведения. Это транс-ляционно-симметричные режимы. В ячейке двойной длины кроме этих режимов обнаружены ещё два режима с более сложным пространственно-временным поведением - асимметричные бегущие волны (режимы 3, 4 - на рис. 4.2).
В первом трансляционно-симметричном режиме в ячейке LQ существуют интенсивный вихрь, вращающийся по часовой стрелке и слабый вихрь, вращающийся в противоположную сторону, при этом изолинии функции тока наклонены вправо. В ячейке L = 2L0 эта пара вихрей воспроизводится дважды (рис. 4.7 для RaCT = 4000). Со временем картина изолиний смещается вправо - в слое бежит волна: на рис. 4.8 видно, что функция тока в точке ведёт себя колебательным образом, а на рис. 4.9 - изолинии функции тока смещаются вправо. Первый режим при уменьшении электрического числа Рэлея существует до значения Ra j = 3922, частота колебаний функции тока в точке при этом значении v = 5.18. При Ra1J 3922 после длительного переходного процесса происходит переход на 3 режим.
