Содержание к диссертации
Введение
1. Исходные соотношения задачи проникания. метод решения 21
1.1. Постановка задачи 21
1.2. Метод решения плоской линейной задачи проникания . 28
1.3. О численном решении задачи 35
1.4. Решение эталонных задач 40
2. Проникание жестких тел в сжимаемую жидкость случай неподвижной границы жидкости 49
2.1. Постановка задачи 49
2.2. Сведение задачи проникания к решению последовательности интегральных уравнений 51
2.3. Определение гидродинамических нагрузок при проникании 58
3. Задача проникания в случае подвижной свободной поверхности 86
3.1. Реализация алгоритма решения задачи 86
3.2. Результаты численных расчетов 90
4. Задача проникания с учетом подъема жидкости 110
4.1. Способ учета подъема поверхности жидкости вблизи проникающего тела НО
4.2. Численная реализация алгоритма решения задачи . ИЗ
4.3. Определение гидродинамических нагрузок 116
Заключение 140
Литература
- Метод решения плоской линейной задачи проникания
- Решение эталонных задач
- Сведение задачи проникания к решению последовательности интегральных уравнений
- Результаты численных расчетов
Введение к работе
В современной технике существуют механизмы и конструкции, которые в процессе эксплуатации взаимодействуют с жидкостной средой. В ряде случаев присутствие жидкости является определяющим в их поведении.
Проникание является одним из видов взаимодействия тел и жидкости со свободной поверхностью.
Основы теории проникания (удара и погружения) тел в жидкость были заложены в грудах советских и зарубежных ученых, И.П.Абрамова, М.В.Келдыша, М.А.Лаврентьева, А.С.Повицкого, Л.И.Седова, Г.Вагнера, Т.Кармана, В.Пабста еще в ЗО-х годах нашего столетия. В них исследовались задачи применительно к посадке гидросамолетов.
В настоящее время актуальность исследований по прониканию возрастает, это вызвано большим числом объектов и процессов, в которых они находят практическое применение. К таким, например, от -носятся посадка на воду летательных аппаратов, слемминг современ -ных высокоскоростных судов, ударная штамповка и др.
Дальнейшее развитие теории проникания связано с именами таких ученых как Н.Г.Асрян, А.Г.Багдоев, А.В.Галанин,. Л.А.Галин, А.Г.Горшков, Э.Й.Григолюк, М.И.Гуревич, И.Т.Егоров, М.И.Иманалиев, В.С.Крылов, В.Д.Кубенко, М.А.Лаврентьев, Г.В.Логвинович, О.А.Осипов, В.БЛоручиков, А.Я.Сагомонян, Л.И.Седов, И.Г.Филиппов, Ш.Д.Шамгунов, В.Н.Шац, Г.Г.Шахверди, М.Медик, М.Очи, Р.Пейтон, Р.Скалак, Д.Фейт, В.Шебехели и другие.
В связи с обширной библиографией, а также в силу того, что по данной проблематике неоднократно выходили обзорные труды [26,27, 28,60,61,96,106, 108] , в настоящем введении целесообразно остановиться на работах, имеющих непосредственную близость к теме диссертационной работы. Кроме этого, по-видимому, имеет смысл провести
5 обзор публикаций, вышедших после опубликования монографии и об -
зора Э.И.Григолюка и А.Г.Горшкова [26,27] , в которых даны наиболее детальный анализ и классификация работ по прониканию, датируемых не позднее середины 1975 г. Анализ работ последних лег поз -волиг определить место изложенных в данной работе исследований среди современных направлений, в которых развивается теория про -никания.
І. В первых попытках решения задачи удара тел о жидкость последняя представлялась своей простейшей моделью идеальной не -сжимаемой жидкости. С использованием этой модели получено много важных научных результатов. Как показывают сравнения с данными экспериментов идеальная несжимаемая жидкость вполне удовлетворительно описывает гидродинамические процессы при проникании.
Однако существуют случаи, когда использование модели несжимаемой жидкости приводит к результатам,, не отвечающим дейсгви -тельности. Прежде всего это случаи проникания тел, которые имеют затупленную или плоскую носовую часть. При этом может случиться, что смоченная поверхность таких тел расширяется со скоростью,превосходящей скорость звука в реальной жидкости (так называемый "сверхзвуковой" случай), или касание жидкости происходит одновременно целым континуумом точек (пластина, диск).
В таких случаях необходимо учитывать сжимаемость жидкости [ 26,27,28,50,60,6l] . Как правило, если скорость движения тела в жидкости значительно меньше скорости звука (v(t)« с ), при анализе ограничиваются акустическим приближением для описания движения жидкостной среды. При достижении скоростью v(t) десятых долей скорости звука С необходимо движение жидкости описывать либо уравнениями нелинейной акустики, либо полной системой урав -нений гидродинамики. Большинство реально существующих объектов обладает такими скоростями движения относительно жидкости, что
результаты с использованием акустической модели будут вполне отвечать действительности.
Сжимаемость жидкости требует применения методов, отличаю -щихся от методов исследования проникания в несжимаемую жидкость. Причина этого заключается в том, что уравнения, описывающие движения сжимаемой и несжимаемой жидкости относятся к разным типам.
Получение аналитических решений в задачах проникания тупых тел в сжимаемую жидкость наталкивается на значительные математические трудности. В связи с этим аналитические решения удается получить в редких случаях: для тел простой геометрической формы (клин,пластина,диск) или на очень кратковременном интервале, пока выполняегся условие \f^ С , для тел с криволинейным сечением ( V^ - скорость расширения смоченной поверхности).
При выполнении условия V^-^C граница первоначально невозмущенной жидкости неподвижна, поэтому при математической форму -лировке задачи на всей границе жидкости можно задавать однород -ные условия. Такое упрощение позволило получить аналитические решения задач в линейной постановке [14,15,16,40,41,49,50] Для гел с плоским срезом, ширина которых равна 2 о (пластина , диск), аналитическое решение справедливо на интервале времени 0< і ^2Ь/с([і9,82] - пластина, [71,82] - диск). Проникание клина исследовано в работах [78,107]
Точное аналитическое решение линейных плоских и осесиммет-ричных задач проникания твердых гел, имеющих в сечении квадра -тичную параболу, получено в работах [l4,50] .
В работах [50,53,54] предложены методы определения гидро -динамического давления на поверхности затупленных гел произвольного симметричного сечения в плоской и осесиммегричной задачах на сверхзвуковом этапе проникания.
Нелинейные автомодельные задачи проникания конуса и клина рассматривались в работах [32,33] . Фронт ударной волны определялся численно.
В неавгомодельной постановке нелинейная задача проникания осесимметричного затупленного [88] и бесконечного цилиндра [89] решалась на раннем этапе (\L^ С .).
Влияние конечности глубины жидкости исследовалось в работе
[is]. :
На величины определяемых в зоне контакта гидродинамических реакций существенное влияние оказывает учет деформирования проникающих тел. При высоких скоростях деформации имеют пластический характер [5] Проникание упругодеформируемых оболочек в слабо -сжимаемую жидкость рассмотрено в работах [і5,Іб] . В указанных работах задачи решались на сверхзвуковом этапе.
Проникающее тело деформирует поверхность жидкости. На самом начальном этапе от момента касания затупленного тела и жидкости порожденная звуковая волна не выходит на свободную поверхность и не взаимодействует с ней. В этот период свободная поверхность жидкости сохраняет свою первоначальную форму. С выходом акусти -ческой волны на свободную поверхность происходит деформирование последней, приводящее к подъему жидкости вблизи проникающего тела (это явление называют еще "встречным движением жидкости"). В результате подъема увеличивается поверхность контакта.
Поскольку форма деформированной поверхности жидкости наперед неизвестна, то смоченная поверхность тела подлежит определению при решении задачи.
Для учета эффекта встречного движения жидкости Г.Вагнер ввел в рассмотрение величину ае — отношение скорости погружения V(t) к скорости расширения поверхности контакта do/at [по, III J . Если тело недеформируемо,то эта величина определяется только его
8 геометрией. При этом смоченная поверхность тела может быть вычислена до решения основной задачи. Методы определения величины эе для жестких тел различной геометрической формы приведены, напри -мер, в работах [59,64,83,IIO,IIl] .
Большинство результатов с использованием метода Вагнера было получено для задач погружения в несжимаемую жидкость. Это объясняется тем, что эффект подъема проявляется тем значительнее, чем на большее расстояние удаляются возмущения от проникающего тела. Когда фронт волны возмущений находится на сравнительно небольшом расстоянии от места проникания,одновременно должны учитываться подъем и сжимаемость жидкости. Это показано в работах В.Б.Поручи-кова по прониканию клина и конуса в автомодельной постановке [72, 73] . При сравнении с результатами,полученными без учета подъема [ 78,107] , разница в определении гидродинамических сил составляет значительную величину, которая может достигать порядка 100$.
Метод Г.Вагнера учета подъема жидкости благодаря своей про -стоге нашел широкое применение. Однако при проникании деформи -руемых тел он теряет свои преимущества.
В неавтомодельной постановке задача проникания в сжимаемую жидкость с учетом встречного движения решалась численными методами [29,30,31,35,45,46,47,79,80,81,98] .
Отметим одну важную деталь в поведении гидродинамической силы сопротивления.На сверхзвуковом этапе проникания затупленных тел эта величина не достигает своего максимального значения.Достижение максимума имеет место после выхода возмущений на свободную поверхность, когда они не удалены далеко от места проникания. В этот период начинает сказываться подъем поверхности жидкости , учет которого дает более достоверные значения гидродинамической силы. Знание этих максимальных значений позволит оценить величи -ны перегрузок , которые испытывают тела при проникании.
9 2. Перейдем теперь к анализу работ последних лет по прониканию. Условно эти публикации можно сгруппировать согласно постановкам задач:
а) задачи проникания тонких тел (под таким понимают тело,
толщиной которого можно пренебречь по сравнению с глубиной про
никания. Такое допущение позволяет линеаризовать граничные ус -
ловия);
б) задачи проникания тупых тел; здесь пренебрегают глуби -
ной погружения по сравнению с шириной смоченной поверхности;
в) задачи с нелинейными граничными условиями; при их реше
нии ни одним из размеров нельзя пренебречь по сравнению с другим;
г) задачи, в которых рассматривается нелинейное поведение
жидкости, вызванное большими градиентами скоростей ее частиц и
значительными перемещениями границ;
д) экспериментальные исследования.
Проникающие тела предполагаются как жесткими, так и деформируемыми. Основное внимание в работах уделяется, как правило , определению гидродинамических нагрузок, напряженно-деформированного состояния, формы поверхности жидкости. В ряде работ иссле -дуется влияние различных сопутствующих факторов на величины ди -намических нагрузок.
Во всех работах рассматриваются, в основном, плоские или осесимметричные задачи. Исключение составляет, по-видимому,только работа [43 ] , в которой получена начальная асимптотика реше -ния задачи проникания в несжимаемую жидкость эллиптического па -раболоида (трехмерная задача). В работе [в] для задачи о входе в несжимаемую жидкость цилиндрической оболочки, ось которой наклонена к поверхности жидкости, предложен специальный прием, позволивший решать трехмерную задачу как плоскую.
а. При проникании гонких тел возможны два случая, которые
10 различаются выбором модели жидкости: когда скорость тела в жид -кости меньше скорости звука в ней (v(t)
В задачах проникания тонких тел на решение значительное влияние оказывает учет весомости жидкости. При выборе уравнений, описывающих движение жидкости в этом случае, необходимо прини -мать во внимание этот существенный фактор. В работе [з] при изучении влияния весомости жидкости вводился параметр п - g*t/v , где t - время, g* - ускорение силы тяжести, V - скорость прони-кания. Велось разложение по параметру Г с точностью ю . Показано, что наличие и повышает силу сопротивления прониканию. Задача рассматривалась со свободной границей жидкости и с грани -цей, покрытой мембраной. Использовались методы источников и ин -тегральных преобразований. Получено распределение давления по поверхности проникающих тел и сила сопротивления в виде квадратуры. Это исследование продолжено в работе [4] . В ней дополнительно рассмотрено движение со скоростями, при которых необходимо учи -тывагь сжимаемость жидкости. Кроме этого,рассмотрен случай проникания в жидкость, покрытую пластиной. Получены сила сопротивления и распределение давления по поверхности проникающих тел вращения. Показано, что сила тяжести существенно влияет на процесс проникания, особенно тогда, когда скорость непостоянна. При свободном проникании движение может иметь колебательный характер. В работе [2] решена задача проникания гонкого конуса, переходящего в цилиндр, и конечного конуса. Определены давление на конусе и сила сопротивления.
Учет весомости жидкости при проникании тонких тел обсуждал -ся также в работе [18] Здесь рассматривалось тело, скорость которого значительно меньше скорости звука в жидкости. В этой же работе исследовалось влияние конечности глубины жидкости на ве -
личину силы сопротивления.
Наклонному входу тонких тел посвящены работы [55,56,62] .
б. в п.1 введения работы по прониканию затупленных тел уже частично обсуждены. Здесь мы продолжим их обзор.
В последние годы опубликована серия работ, в которых ис -пользуется подход, разработанный ранее Э.И.Григолюком и А.Г.Горшковым [2б] . В них продолжены исследования проникания оболочеч-. ных конструкций в несжимаемую жидкость. Задача состоит в интегрировании системы связанных четырех групп уравнений, описывающих процесс проникания оболочки, связанной с жестким телом. Уравне -ния первой группы описывают движение системы как твердого тела. Граница смоченной поверхности оболочки определяется по второй группе уравнений. Из третьей группы уравнений находится закон распределения давления до поверхности оболочки. Уравнения, описывающие вынужденные колебания оболочки,входят в четвертую группу. При определении величины смоченной поверхности используется метод Вагнера. Уравнения, описывающие движение системы "оболочка - жесткое тело" интегрируются по методу Бубнова в комбинации с методом Кугга-Мерсона.
В указанных работах решались следующие задачи: о вертикальном входе в несжимаемую жидкость однослойной [9,22], двухслойной [9,23] и трехслойной [25] цилиндрических оболочек, а также упругого клина [2Ч] .
Задача проникания цилиндрической оболочки в случае, когда ось оболочки составляет некоторый угол с поверхностью жидкости, решалась в работе [в] .
Анализ результатов показывает, что деформируемость конструкции существенно влияет на величины гидродинамических реакций.
В рассмотренных выше работах жидкость принималась несжимаемой. Предполагалось,что отрезок времени, на котором сказывается
12 ее сжимаемость пренебрежимо мал.
Обратимся к задачам проникания в сжимаемую жидкость. Та их часть, которая рассмотрена в п.I,решалась (за исключением автомодельных задач) на сверхзвуковом этапе. Это позволило не учитывать движение свободных границ. Учет этого движения значительно усложняет задачу, поскольку в этом случае математически она должна формулироваться как смешанная.
Линейную смешанную краевую задачу проникания в сжимаемую жидкость удается решить с помощью метода, разработанного В.Д.Ку-бенко [50,51,52] . Его сущность состоит в том, что гидродинамическая часть задачи сводится к бесконечной системе линейных ин -гегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно коэффициентов разложения давления на поверхности жидкости в ряд Фурье. Система интегральных уравнений дает точное решение линейной смешанной краевой задачи. Этот метод допускает обобщения на случай проникания деформируемого тела и на случай жидкости конечной глубины.
в. Задачи проникания с нелинейными граничными условиями возникают тогда, когда глубина погружения соизмерима с шириной смоченной поверхности, и граничные условия нельзя снести на одну из координатных осей в жидкости. Если тело движется со скоростью, значительно меньшей скорости звука в жидкости, жидкость можно считать идеально несжимаемой. Для решения таких задач применяются различные методы. В работе [20] нелинейную задачу проникания в весомую жидкость предложено заменить последовательностью линейных. В работе [2l] нелинейная краевая задача погружения плоского тела в несжимаемую жидкость сведена к системе интегральных ура в -нений Фредгольма.
Нелинейная задача проникания с помощью последовательности конформных отображений на верхнюю полуплоскость может быть сведе-
ІЗ на к серии смешанных задач теории аналитических функций [бб] .
"Начальное" решение, необходимое для организации последовательного движения по времени,построено в работе [65] . Если начальная скорость равна нулю, то за "начальное" берется решение, полученное в статье [б7] . Поле скоростей определяется из интегро-дифференциальной сисгемы уравнений, которая решается методом конечных разностей по времени.
Решение нелинейных задач проникания в идеальную несжимаемую жидкость методом граничных интегральных уравнений [77] проводи -лось в работах [68,69,70] . Потенциал возмущенного движения жидкости, форма свободной поверхности и сила сопротивления определены в различные моменты времени до образования за телом каверны. Численный метод решения задачи приведен в работе [70] .
г. В задачах проникания с большими скоростями жидкость ведет себя как нелинейная. Для описания движения жидкости необходимо привлекать нелинейные уравнения гидродинамики. Решение таких задач требует развития соответствующих методов, поскольку возникают дополнительные математические трудности.
Одним из упрощений решения является автомодельность задачи. Так в работах [32,33J исследовано проникание в сжимаемую жид -кость конуса и клина без отрыва ударной волны от проникающих тел.
Нелинейные задачи проникания в сжимаемую жидкость тупого тела вращения [88] и бесконечно длинного цилиндра [89] решались на раннем этапе, когда возмущения еще не достигли поверхности жидкости.
Решение нелинейных задач проникания в наиболее сложной - сме-шанной-посгановке стало возможным благодаря развитию в нашей стране и за рубежом численных методов применительно к задачам гидродинамики. К наиболее универсальным численным методам отно -сятся метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов
и (мкэ).
Существуют два подхода к решению задач гидродинамики с подвижной границей,к которым относится задача проникания,-Лагранжа и Зйлера. В соответствии с каждым из этих подходов выбирается сетка, которой покрывается возмущенная область среды. В узлах этой сегки определяются значения гидродинамических параметров.
Согласно подходу Лагранжа элементы сетки перемещаются и деформируются вместе со средой. Однако в случае значительных деформаций поверхности жидкости ячейки подвижной сегки могут сильно сжиматься, что приводит к неустойчивости счета.
В эйлеровом подходе среда движется относительно сегки,поэтому когда перемещения жидкости большие, необходимо для уменьшения относительных смещений формировать подвижную сетку. Трудность в использовании эйлерова подхода заключается в отыскании закона движения сегки.
Недостатки обоих подходов снимает смешанная Эйлерова-Лаг -ранжева методика организации вычислений (СЭЛ).
Удар по пластине, находящейся на поверхности сжимаемой жидкости, исследовался в работе [44 J методом конечных разностей с использованием лагранжевой сетки. Пластина предполагалась твердой и невесой. Для описания движения жидкости использовались нелинейные уравнения. Вводилась искусственная вязкость. На пластине принималось условие прилипания жидкости. Изменение давления на пла -сгине и силы реакции во времени получены на интервале времени, равном десятикратному пробегу акустической волной вдоль ширины пластины. Введенная искусственная вязкость является причиной на -рушения потенциальности движения жидкости.
Метод конечных разностей в Лагранжевой варианте был исполь -зован в работе [35J для решения задачи проникания в сжимаемую жидкость жесткого кругового цилиндра и сферы. В результате расче -
15 тов получены кривые давления гидродинамической силы, а также формы поверхности жидкости.
К смешанным эйлерово-лагранжевым методам (СЭЛ) относится метод маркеров и ячеек. Этим методом решалась задача вертикального проникания твердого конуса в воду [Ю9] . Для различных моментов времени определены распределение давления по смоченной по -верхносги и форма поверхности жидкости. Проведено сравнение с данными эксперимента.
В последнее время приобретает распространение применительно к задачам проникания один из методов СЭЛ - метод С.К.Годунова (МГ). Серия статей А.Я.Сагомоняна и Я.П.Дворкина [29,30,31,79,80, 8l] посвящена исследованию проникания круговой цилиндрической и сферической оболочек в сжимаемую жидкость, движение которой описывается волновым уравнением. Граничные условия принимаются в линеаризованном виде. Для решения гидродинамической части задачи использовался МГ. Уравнения движения оболочек типа С.П.Тимошенко решались численным методом характеристик. В результате совместного решения уравнений, описывающих движение оболочек и жидкости, были получены временные зависимости радиального и тангенциального смещений срединной поверхности и угла поворота нормали к ней, а также изменение этих величин по координате вдоль поверхности оболочек в фиксированые моменты времени.
Нелинейная задача проникания упругопластических оболочечных конструкций в идеальную сжимаемую жидкость исследовалась в рабо -гах [45,46,47] на основе синтеза МГ и вариационно-разностной схемы для интегрирования уравнений динамического деформирования . Рассматривались вопросы высокоскоростного проникания. В силу этого движение жидкости описывалось нелинейными уравнениями. Ско -рости соударения варьировались в широком диапазоне от нескольких десятков до сотен метров в секунду.
В последние годы появились работы, в которых для решения задачи ударного взаимодействия тел с жидкостью использовался метод конечных элементов МКЭ.
МКЭ допускает произвольное, удобное для каждого конкретного случая, разбиение среды на элементы. Дроблением элементов можно добиться высокой точности решения.
В качестве узловых обобщенных координат могут быть выбраны: давление [lI2J , скорость [зб] или волновой потенциал [90,9IJ . В первом случае легко обеспечивается сопряжение обобщенных узло -вых сил жидкости и тела. Во втором случае легко учитывать условие равенства скоростей на контактной поверхности. В третьем случае узловые давления определяются по интегралу Лагранжа-Коши, а ско -рости - как производные по пространственным координатам от волнового потенциала, тем самым используются преимущества первых двух подходов.
Перспективным направлением в развитии МКЭ является метод граничных элементов (МГЭ). Задача взаимодействия рассматривается на границе жидкосги, где, собственно,решение представляет главный интерес. Методом ГЭ решалась задача проникания жестких тел в несжимаемую жидкость в работе [98] . Численные результаты сравнивались с экспериментальными данными.
д. Аналитическое решение задачи проникания различных тел в жидкость сопряжено с большими математическими трудностями. Ввиду этого важное значение имеют экспериментальные исследования.
В работе [7б] проводилось экспериментальное исследование поперечного удара по мембране, лежащей на поверхности жидкосги.Удар производился тупым и острым конусами. Использовалась скоростная киносъемка. Приведены кинограммы движения жидкосги, накрытой мембраной.
17 Анализ экспериментальных данных входа в воду диска под уг -
лом к поверхности жидкости проводился в работах [93,94] . Построены зависимости гидродинамической силы от времени и от угла атаки.
В экспериментальной работе [37] приведены результаты оценки влияния сжимаемости жидкости на величины гидродинамических нагрузок. Показано, что для тупых тел теория несжимаемой жидкости дает многократное завышение ударной силы.
Обзор экспериментальных исследований по слеммингу приводится в работе [юб] .
Анализ современного состояния исследований позволяет еде -лать следующие заключения. Значительное количество работ относится к исследованию проникания тел в несжимаемую жидкость. В них получены точные аналитические и приближенные решения, касающиеся различных аспекгов проникания. Однако модель несжимаемой жидкости в ряде случаев может давать неверный результат, например, при определении гидродинамических нагрузок, действующих на раннем этапе на проникающие затупленные тела. Решать задачу проникания таких тел в жидкость необходимо с учетом сжимаемости жидкости. В ряде случаев удается получить точные решения задач проникания тел простейшей формы (клин, пластина, конус, диск ). Кроме этого, для тел, имеющих криволинейное сечение, точные решения получены на раннем этапе, когда акустическая волна в возмущенной жидкости не выходит на свободную поверхности жидкости.
Решения задач проникания тел с криволинейными сечениями,когда акустическая волна в жидкости удаляется от места погружения, получены только численно различными сеточными методами. Аналитических же решений задачи в этом случае нет.
В некоторых работах решения получены по аналогии с ударом плавающих тел. Правомочность приближенных подходов должна иметь
числовое подтверждение.
Среди методов, которые позволяют находить решение плоской линейной задачи проникания жестких тел в сжимаемую жидкость, можно отметить полуаналитический метод, разработанный В.Д. Кубенко [ьо] . Его идея состоит в том, что решение смешанной линейной нестационарной краевой задачи сводится к решению бесконечной системы линейных интегральных уравнений Вольгерра второго рода относительно коэффициентов разложения давления на поверхности жидкости в ряд Фурье. Метод обладает достаточной общностью, которая заключается в том, что предметом исследования могут быть как жесткие, гак и деформируемые затупленные тела (закон деформирования произволен) достаточно произвольного сечения. Метод разработан для плоских и осесимметричных задач. Возможно решение задачи проникания в жидкость конечной глубины. С помощью этого метода, поскольку он позволяет получить точное решение линейной задачи, можно оценить достоверность приближенных моделей, которые осно -ваны на упрощающих предположениях относительно движения свобод -ной поверхности жидкости, а именно, модели с неподвижной свободной поверхностью и модели, в которой свободная поверхность жид -кости подвижна, но подъем ее не учитывается.
На основании вышеизложенного можно сформулировать цель ис -следования: развитие методики определения гидродинамических нагрузок, возникающих в линейных задачах проникания твердых за туп -ленных тел достаточно общей конфигурации в слабосжимаемую жид -кость; исследование поведения гидродинамических нагрузок при проникании тел различного поперечного сечения; разработка приема , позволяющего учитывать подъем жидкости возле проникающего тела; определение влияния принимаемых на свободной поверхности жидкости граничных условий на величины гидродинамических нагрузок.
Работа состоит из введения,четырех глав, заключения и спис-
/ ь 19
ка литературы.
В первой главе сформулирована плоская линейная задача проникания твердого тела симметричного поперечного сечения в невесомую идеальную сжимаемую жидкость. Развит метод, с помощью которого эта задача может быть сведена к совместному решению бесконечной системы линейных интегральных уравнений Волыерра второго рода относительно коэффициентов разложения давления на поверхности жидкости в ряд Фурье и дифференциального уравнения движения тела. Обосновано применение метода редукции бесконечной системы. Интегральные уравнения решались методом конечных сумм. Определены гидродинамические давления, действующие на проникающие клин и параболический цилиндр (на раннем этапе). Проведено сравнение результатов вычислений с аналитическими решениями.
Во второй главе сформулирована задача проникания, в которой свободная поверхность жидкости предполагалась неподвижной. Гидродинамическая часть задачи сводится к решению бесконечной последовательности линейных интегральных уравнений Волыерра второго рода. Последовательность подвергается редукции, интегральные урав -нения решаются методом конечных сумм. Определены гидродинамичес -кие нагрузки: давление, сила сопротивления, перегрузка. При ис -следовании варьировались параметры: начальная скорость проника -ния, масса проникающего тела. Числовые результаты приведены для цилиндрических тел, имеющих в сечении квадратичную и кубическую параболы и клинообразных тел.
В третьей главе в задаче проникания свободная поверхность жидкости предполагается подвижной, однако подъем жидкости, выз -ванный этим движением, не учитывается. В результате расчетов определены гидродинамические нагрузки: давление, сила сопротивле -ния, перегрузка. Начальная скорость и масса тела варьировались. Приведены числовые результаты для цилиндрических тел, имеющих в
20 сечении квадратичную и кубическую параболы. Проведено сравнение
результатов второй и третьей глав.
Четвертая глава посвящена изучению гидродинамических нагрузок, которые испытывают проникающие в жидкость тела, когда учитывается подъем жидкости вблизи этих тел. Для учета подъема предложен подход, отличающийся от известного подхода Вагнера. Применяемый в главе подход может быть использован в случае проникания деформируемых тел, когда учет подъема по Вагнеру затруднен. Определены гидродинамические нагрузки: давление, сила сопротивления и перегрузка для тел, имеющих в поперечном сечении квадратичную и кубическую параболы, эллипс и круг. Изучено влияние учета подъема на величины гидродинамических нагрузок. Проведена оценка применимости приближенных моделей, которые использовались во второй и третьей главах.
Основные результаты диссертации докладывались на П Всесоюзной конференции по смешанным задачам механики деформируемых тел (Днепропетровск, 1981 г.), на IX Научной конференции молодых ученых Института механики АН УССР (Киев, 1981 г.), на школе-семинаре по динамике твердых и упругих тел, взаимодействующих с жидкостью (Киев, 1982 г.), на конференции по динамике и колебаниям механических систем (Иваново, 1983 г.), на семинарах отдела теории колебаний Института механики АН УССР (период 1980-1983 гг.), на семинаре по направлению "Общая механика" Института механики АН УССР (1983 г.) и опубликованы в работах [іІ,І2,Із] .
В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Вениамину Дмитриевичу Кубенко за постановку задачи и постоянное внимание при выполнении работы.
Метод решения плоской линейной задачи проникания
Рассматривается жесткое тело, ограниченное поверхностью Ф (t)= 0. Тело движется поступательно со скоростью V (І) .В некоторый момент времени t = t0 оно касается поверхности жид кости и в дальнейшем погружается в нее.
Предположим, что жидкость занимает полупространство, огра -ничейное поверхностью Г (t) = 0. До момента касания телом жидкости последняя предполагается невозмущенной. Ее поверхность представляет собой плоскость TQ(t)= 0.
Часть поверхности жидкости, находящуюся в контакте с телом, будем называть областью контакта и обозначать Г (t) .Соогветсг 22 вующую часть поверхности тела назовем поверхностью контакта или смоченной поверхностью тела и обозначим Ф1Й). Часть поверхности жидкости, не вступившая в соприкосновение с телом (свободная поверхность жидкости),обозначается через T2(t). Часть поверхности тела, не вступившая во взаимодейсгвие с жидкостью в данный момент времени,обозначается черезФЩ. Очевидны равенства r (t)=iv(tx(t), Ф Ю-ад+ФГю. Для проекции поверхности жидкости Г ft/на плоскосгьГ0 (t) получаем выражение: r0 a) = r0:(i) + r0;(t).
Предположим, что проникающее тело ограничено слабоискрив ленной кусочногладкой поверхностью. В общем случае при погруже нии тела в жидкость граница, разделяющая поверхности I (t)и Г2 (t) (или расширяется с некоторой скоростью, зависящей or скорости движения тела в жидкости и от угла между каса гель -ной к поверхности гела в точках границ раздела и невозмущенной поверхностью жидкости (рисы).
Скорость движения границы смоченной поверхности тела имеет величину порядка VctgU . Эта скорость на раннем этапе проникания затупленных тел (когда угол Ь мал) может превосходить или быть соизмеримой со скоростью распространения акустических воз -мущений в жидкости. При этом скорость проникания v (t) остается значительно меньше скорости распространения возмущений. Кро -ме того, может случиться, что в момент первоначального соприко -сновения гела с жидкостью в контакт с поверхностью жидкости мо -жег вступить сразу некоторая часть поверхности тела (например, гела с плоским срезом). В таких случаях необходимо учитывать конечность скорости распространения возмущений в жидкости [26,27, 28,50] . t(t) 5f _ Рис. I.I Движение идеальной сжимаемой жидкости описывается волновым уравнением V = (I.I) где Р - волновой потенциал, с - скорость звука в невозмущенной жидкости. Волновой потенциал Н? определяет скорость V и давление р в произвольной точке пространства, занятого жидко стью
Сформулируем краевую задачу проникания твердого тела в сжимаемую жидкость. Требуется решить волновое уравнение (I.l) при соответствующих граничных и начальных условиях. Предполагается равенство нормальных составляющих скорости тела и жидкости на поверхности контакта где П - внешняя нормаль к поверхности
На свободной поверхности жидкости предполагается постоян -ным давление, которое без ограничения общности полагаем равным нулю где m - масса тела, ускорение свободного падения, F - гидродинамическая сила сопротивления прониканию , которая равна ин -гегралу от гидродинамического давления, распределенного по смоченной поверхности тела.
Решение задачи (I.l), (1.4) - (1.8) в такой, достаточно об -щей, постановке представляет значительные математические груд -ности. В дальнейшем делаются следующие упрощения: рассматривается плоская задача, т.е. предполагается, что бесконечно длинное ци -линдрическое тело вступает в контакт с жидкостью боковой поверх -носгью вдоль образующей; направление поступательного движения совпадает с осью симметрии тела; скорость тела направлена по нормали к поверхности жидкости. Будем также пренебрегать силой тяжести тела по сравнению с гидродинамической силой сопротивления прониканию [99] .
Решение эталонных задач
В ряде работ получены аналитические решения некоторых плоских задач проникания. К ним относятся: задача об ударе пластины конечной ширины [88] , в которой величина смоченной поверхности неизменна; задача о проникании с постоянной скоростью тупого клина [і07] , в которой смоченная поверхность расширяется с постоянной скоростью, большей или меньшей скорости звука в жид -кости; задача::., о проникании с постоянной скоростью параболического цилиндра [і4,50] в случае, когда граница смоченной поверхности движется со скоростью, превышающей скорость звука. В данном параграфе с целью оценки работоспособности предложенного алгоритма делается сравнение аналитических решений указанных публикаций с результатами, полученными на основе изложенного выше подхода.
Проникание пластины конечной ширины. Предполагается, что жидкость не перетекает за пластину, то есть,по существу, имеет месго проникание в жидкость параллелепипеда одной из его граней. Скорость движения постоянна. В качестве характерного линейного размера задается половина ширины пластины. Давление на интерва леО І 2 дается формулой p(t,x)=i-ап%\ -{ H(t-l-x). ( ь70 ) Здесь давление отнесено к ocv0 , время к R/c , координата X - к R [82] . Безразмерная сила, действующая на единицу длины пластины выражается формулой: F0 = 1- 2" ( I.7I ) Сила отнесена к gCV0K . На рис. 1.3 изображено изменение давления в центральной точке пластинки (линии I и з) и гидродинамической силы (линии 2 и 4). Штриховые линии 3 и 4 соответствуют аналитическим решениям (1.70) и (I.7I). На рис. 1.4 изображено распределение давления по ширине пластины для фиксированных моментов времени. Штриховые линии соответствуют аналитическому решению (1.70). Параметры вычислений: N = 40; At = 0,02; I = 2,1.
Сравнение численных результатов показывает удовлетворительное совпадение аналитического и данного решения за исключением точек, в которых функция p(t,x) терпит излом ( t = I) ИЛИ разрыв ( X = I) и ее ряд Фурье сходится медленно.
В формулах (1.72) - (1.75) координата вдоль поверхности жидкости отнесена к ct , & - угол наклона грани клина к поверхности жидкости, М =V0cto,&/C - число Маха, представ -ляющее безразмерную скорость движения границы области коНїакта, Е - полный эллиптический интеграл второго рода с модулем k, = Из формул (1.72) и (1.74) видно, что давление в произволь ной точке смоченной поверхности неизменно во времени, а гидродинамическая сила прямо пропорциональна времени.
На рис. 1.5 изображены графики давления в срединной точке клина; Кривая I соответствует случаю сверхзвукового проникания ( М = 1,06), а кривые 2, 3 - случаю дозвукового проникания ( М = 0,316). Давление в срединной точке в первом случае сравнительно быстро выходит на значение, полученное аналитически (пунктир). Линии 2 и 3 осциллируют около точного значения. Кривые 2 и 3 построены при задании различных параметров счета: 2 -- N = 40, At = 0,0625, і = І 3 - N = 20, At = 0,01, І = 0,6. Как видно, уменьшением величины I можно добиться уменьшения амплитуды осцилляции и тем самым на более раннем этапе достичь точных значений. Увеличение порядка N при не -изменном t ведет к повышению частоты и снижению амплитуды осцилляции.
На рис. 1.6 сравниваются результатьг гидродинамической силы, полученные численно ( Ы = 40, At = 0,0625, Е = ), с аналигическими (штриховые линии). Случаю сверхзвукового проникания соответствует линия I, дозвукового - линия 2. Повышением порядка редукции можно добиться практического совпадения результатов; чтобы получить решение на более раннем этапе проникания, можно уменьшить величину при неизменном порядке, чем также мож -но достичь улучшения совпадения результатов.
3. Проникание параболического цилиндра. Аналитические решения для давления получены авторами работ [l4,50] . где К1 - эллиптический интеграл I рода; все величины безразмерные. Радиус кривизны в точке х = О равен R .
При скорости V0 = 0,05 акустическая волна выходит на по -верхность жидкости, в момент t = 0,025. При t 0,025 давление имеет особенность [I4J . Вычисления, проведенные по усеченной системе с параметрами: N = 20, At = 0,0001, с = 0,125 показали практически полное совпадение (рис. 1.7). Расчетные значения давления на самом начальном этапе имеют превышение над аналитическими.
На рис. 1.8 приведены графики распределения давления на поверхности тела в моменты времени t = 0,01; t = 0,02; t = 0,03 и t = 0,05. При t = 0,05 движение происходит в возмущенной области. Особенность на краю смоченной поверхности ярко выражена.
Проведенные сравнения с аналитическими решениями позволяют сделать вывод о том, что решения, получаемые с помощью усеченной системы, дают близкие к точным значения гидродинамических пара -метров проникания и, следовательно, заключения, которые можно делать на основе анализа полученных результатов не уступают по достоверности выводам, базирующимся на других методах теоретического исследования задачи проникания в рамках линейной постановки.
Решения, построенные с помощью системы (1.56), не ограничены интервалом времени, на котором рассматривается задача, нет ограничений на форму проникающего тела. В пределе, приИ- , реше -ние стремится к точному, но, поскольку решением системы являются коэффициенты ряда Фурье, для тел,имеющих особенности (например, угловые точки,изломы поверхности), возникают трудности в получении решений, связанные с поведением рядов Фурье в особых точках.
Сведение задачи проникания к решению последовательности интегральных уравнений
При проникании клинообразных тел точка пересечения граней клина, со свободной поверхностью движется со скоростью, которая может быть меньшей, равной, либо большей скорости звука.
В дозвуковом случае акустическая волна в жидкости распространяется быстрее, чем происходит расширение смоченной поверх -носги клина, поэтому грань клина пересекает подвижную поверх -ность жидкости. В трансзвуковом и сверхзвуковом случаях свободная поверхность неподвижна.
Проникание клина детально исследовано в работах [78,107] . В данном параграфе проводится сравнение числовых результатов, полученных с помощью изложенного в предыдущем параграфе подхода, с аналитическими решениями работ [78,107] .
Необходимо заметить, что согласно принятой в данной главе модели проникания следует ожидать совпадения результатов в случае сверхзвукового проникания.
Сравнение проводится по гидродинамическому давлению, распределенному по поверхности клина,и гидродинамической силе.
Рассмотрим сверхзвуковое проникание клина, т.е. случай, когда граница области контакта тела с жидкостью движется по поверх -носги жидкости со сверхзвуковой скоростью.
Характер поведения давления представлен на рис. 2.1. Сплошной линией изображено давление, вычисленное согласно расчетной схеме (2.43),(2.44) при следующих значениях исходных параметров: М = - 1,06, V0 = 0,05, N = ад, At = o,oi, T = 2, I = 2,2.
Пунктирная ЛИНИЯ оівечает точному решению [78,І07І Рисунок демонстрирует достаточное соотвегсгвие числовых результатов давления в точках поверхности клина за исключением краевой области. При приближении к краю смоченной поверхности в численном решении начинает сказываться усеченность последовательности уравнений (2.41), ухудшающая сходимость ряда Фурье. Удовлетворительное совпадение значений давления имеет место более чем на 92 процентах смоченной поверхности. На рис. 2.2 прерывистой линией изображено гидродинамическое давление для значений параметров М = 0,316, V0 = 0,05, построенное по аналитической формуле [78,I07J .
Для тех же значений параметров М и V0 численно построена сплошная кривая ( N = 40, At = 0,01, Т =1,5). Расхожде -ния в значениях давления в пределах смоченной поверхности объя -сняется различием в граничном условии на свободной поверхности жидкости. Поскольку на свободной поверхности снято условие р = = 0, решение в постановке (2.1)-(2.5) имеет положительное значение давления для X X .
На рис. 2.3 приведены графики гидродинамической силы, построенные для случаев сверх- и дозвукового проникания клина с по -сгоянной скоростью.
В сверхзвуковом случае ( М = 1,06, V0 = 0,05, линия I) численное решение построено при следующих значениях параметров: N = 40, At = 0,01, Т = 2, і =2,1. Точками представлены результаты вычисления гидродинамической силы при удержании в системе (2.43) большего числа уравнений ( N = 100). Пунктирная линия соответствует аналитическому решению [78,107]
В случае дозвукового проникания ( М = 0,316, V0= 0,05) линия 2 построена для параметров вычислений: N = 60,At=0,01. Это решение отличается от аналитического [78,107] в третьей значащей цифре.
Проведенные расчеты показывают, что упрощенная постановка дает удовлетворительные результаты при определении гидродинами -ческой силы сопротивления прониканию клина. Выше был рассмотрен случай проникания с постоянной скоростью. Перейдем теперь к изложению результатов по прониканию клина с переменной скоростью движения, обусловленной конечностью массы клина.
2. Клин. Переменная скорость проникания ( 0). Если масса проникающего тела конечна, то гидродинамическая сила будет влиять на скорость движения, уменьшая ее. При этом будет пропорционально уменьшаться скорость расширения смоченной поверхности. Сама же гидродинамическая сила уже не будет иметь линейный характер изменения во времени.
Проведем вычисление гидродинамической силы для случаев первоначально сверхзвуковой и дозвуковой скорости расширения смоченной поверхности клина. Вначале рассмотрим случай первоначально сверхзвукового проникания М0 1 (М0= EimM(t)) Начальная скорость проникания V0 = = 0,05; Ы= 40; At Г (Г, 01; Т = 2; I = 2,1; М0= 1,06.
На рис. 2.4 изображено,как меняется гидродинамическая сила в зависимости от параметра . Можно заметить, что каждая из кри -вых при 0, на рис. 2.4 имеет максимум. Для более легкого тела максимум гидродинамической силы имеет меньшее значение, а мо -мент времени когда он имеет место, наступает раньше.
В случае проникания клина, когда М0 I, характер поведения гидродинамической силы качественно подобен рассмотренному слу -чаю первоначально сверхзвукового проникания клина М0 1 Изменение гидродинамической силы в зависимости от времени для раз -личных значений параметра представлено на рис. 2.5.
Результаты численных расчетов
Такой прием позволяет исследовать гидродинамические параметры проникания в начальные моменты времени с большой точностью без существенного возрастания затрат машинного времени, неизбежных при увеличении количества удерживаемых уравнений системы.
Приведем результаты вычислений. Вначале рассмотрим гидродинамическое давление. На рис. 3.1 приведены графики изменения давления в лобовой точке на интервале Q t 2 . Параметр принимает значения 0;2,5 , 5 , 10. Начальная скорость: V0 = 0,05.
В момент касания телом поверхности жидкости давление в лобовой точке имеет значение, равное QCVQ , а затем начинает интенсивно убывать, причем тем сильнее, чем легче тело (чем больше ).
С некоторого момента времени давление становится практически нулевым, причем этот момент наступает тем раньше, чем больше При меньшей начальной скорости V0 = 0,03 давление в лобо -вой точке также убывает относительно первоначального значения, но нулевых значений достигает позже, рис. 3.2.
На рис. 3.3 изображено давление в лобовой точке проникающего с постоянной скоростью тела ( V0 = 0,05; = 0), вычисленное согласно постановке граничной задачи (3.1) - (3.6), го есть с учетом подвижности свободной поверхности жидкости (кривая I), и согласно упрощенной постановке главы 2, когда поверхность жид -кости стеснена (кривая 2). Во втором случае давление имеет большие значения. Это вызвано более "жестким" условием на свободной поверхности жидкости.
Такая же картина сохраняется и в случае переменной скорости проникания =5. Это показано на рис. 3.4. Начальное значе -ние скорости VQ= 0,05. кой силы для различных значений параметра., 8, . Рисунки соог вегствуюг начальным значениям скорости: V0=0,lj 0,05; 0,ОЗ.Мож-но заметить, что в случае проникания гел конечной массы ( 0) гидродинамическая сила вначале быстро возрастает, достигает некоторого максимального значения, после чего начинает убывать. Зна -чение силы определяется величиной смоченной поверхности и ско рости проникания. Величина смоченной поверхности однозначно зависит от глубины проникания, которая, в свою очередь, также определяется скоростью проникания. Таким образом, с увеличением V0 максимальные значения]? .должны возрастать и это видно из рисунков. Что касается момента времени t =tmax в который гидроди -намическая сила имеет максимальное значение, го его значение, независимо от у п » определяется только величиной
По результатам, относящимся к поведению гидродинамической силы, можно оценить влияние принятого во второй главе граничного . условия на свободной поверхности жидкости. Это условие, стесняющее движение жидкости, приводит к увеличению усилий, когорые препятствуют прониканию в жидкость. Однако на момент времени с, в который гидродинамическая сила достигает своего максимального значения,стеснение свободной границы жидкости заметного влияния не оказывает. Это можно объяснить, по-видимому, тем, что величина смоченной поверхности тела X в краевых задачах (2.1)-(2.6) и (3.1)-(3.б) одна и та же. Зависимость! от Є для задачи Iff U Л проникания в постановке (3.1)-(3.6) совпадает с такой же зависимостью, но определенной согласно постановке задачи (2.1)-(2.6). Ее график совпадает с изображенным на рис. 2.9.
Перегрузка достигает максимального значения в гот же момент времени, что и гидродинамическая сила. Ее максимальное значение достигается тем раньше и оно тем больше, чем легче тело (чем больше ).
На рис. 3.8 изображено,как меняются максимальные значения перегрузки n =n(t )в зависимости от величины при различных значениях начальной скорости V0 .Подобные зависимости были приведены в предыдущей главе для задачи проникания с фиксированной свободной поверхностью жидкости. Сравнение результатов показывает более высокие значения перегрузок, полученных при решении задачи в постановке (2.1) - (2.6) (прерывистые линии).
2 Тело с поперечным сечением в виде кубической параболы. Координата границы смоченной поверхности X в этом случае связана с глубиной проникания следующей формулой:
