Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Проникание затупленного тела в идеальную несжимаемую жидкость 12
I. Постановка задачи 12
2. Плоская задача 13
3. Нулевое приближение 17
4. Внутреннее разложение 19
5. Первое приближение 28
6. Проникание затупленного контура под углом атаки 29
7. Некоторые замечания 31
8. Осесимметричная задача : 33
9. Начальная асимптотика решения трехмерной задачи о входе затупленного тела в идеальную жидкость 38
ГЛАВА II. Проникание затупленного тела в слабо сжимаемую жидкость 45
10. Постановка задачи 45
11. Асимптотическое решение 48
12. Внутреннее разложение 49
13. Внутреннее разложение после выхода ударной волны на свободную поверхность 57
ГЛАВА III. Погружение упругих оболочек в идеальную жидкость 61
14. Плоская задача 62
15. Влияние упругих свойств оболочки на распределение давления в области контакта ; 72
16. Погружение сферической оболочки 73
17. Замечания 79
ГЛАВА ІV. Линейное приближение в задаче о контактном взаимодействии твердого тела с идеальной жидкостью 82
18. Постановка задачи 82
19. Постановка линеаризованной задачи проникания в виде вариационного неравенства 85
20. Удар капли о плоскость 89
Заключение 95
Иллюстрации ..' ;97
Список литературы
- Нулевое приближение
- Асимптотическое решение
- Влияние упругих свойств оболочки на распределение давления в области контакта
- Постановка линеаризованной задачи проникания в виде вариационного неравенства
Нулевое приближение
В настоящей главе исследуется начальный этап проникания затупленного тела в несжимаемую жидкость. Силами тяжести и поверхностного натяжения в большинстве случаев будем пренебрегать. Влияние этих факторов на картину течения обсуждается в 7.
Если область течения Q0 в лагранжевых координатах \ , , заранее известна, то искомыми функциями в переменных Лагранжа будут координаты ОС , U , % жидкой частицы, занимающей в момент х s 0 положение L , ft , "С, . Движение жидкости описывается уравнениями Эйлера, которые в лагранжевых координатах имеют вид [27] : условия. Здесь - матрица Якобй, d - мат рица, сопряженная к J , - плотность жидкости, р - давле-ниє, Z - свободная граница жидкости, 15" - вектор скорости твердой поверхности проникающего тела 2-і 2» положение которой в эйлеровых координатах считается известным, П - нормаль к А?»
Отметим, что,хотя область течения фиксируется, разбиение ее границы на компоненты 1+л и Aa неизвестно и подлежит определению вместе с решением задачи (IЛ)-(1.3). Типичными примерами подобного сорта задач являются плоская задача о погружении параболического контура и осесимметричная задача о входе параболоида вращения.
Метод, применяемый для вычисления начальной асимптотики движения жидкости, состоит в построении внутреннего и внешнего (относительно линии контакта ) разложений решения уравнений Эйлера (I.I). Причем роль малого параметра играет "малое" время
X . Этот метод допускает естественные обобщения на случаи проникания несимметричных контуров, входа тела в жидкость под произвольным углом, погружения произвольных затупленных тел, а также дает возможность учесть влияние сил тяжести и поверхностного натяжения на картину течения.
Плоская задача.
Рассматривается плоское неустановившееся движение идеальной несжимаемой жидкости, заполняющей в момент Х- = 0 полуплоскость W . О и первоначально покоящейся (здесь и далее штрихом снабжаются размерные переменные). Линия U =0 в начальный момент является свободной границей (зо] .
Пусть - положительные постоянные. При фиксированном х, уравнение y = z-Yi (2л) определяет параболу на плоскости ос , v , которую будем отождествлять с твердым недеформируемым контуром.
При X я 0 этот контур касается свободной границы в точке - 14 Х=0 .Соотношение (2.1) задает движение контура вдоль оси с постоянной скоростью . Требуется найти возникающее при этом движение жидкости, считая, что часть ее границы, не являющаяся частью твердого контура, остается свободной. Сделанное предположение, в частности, означает, что на плоскости лагран-жевых координат , г) область, занятая жидкостью, заранее известна - это полуплоскость ij 0 .
Примем за масштаб длины радиус кривизны \L параболы (2.1) при = 0 , а за масштаб времени - величину К/ V и перейдем к безразмерным переменным (обозначение безразмерных переменных отличаются отсутствием штриха). В переменных Лагранжа искомыми функциями будут безразмерные координаты X , U жидкой частицы, занимающей в момент т = 0 положение -, . Удобнее будет иметь дело не с координатами, а с перемещениями л( $Л\1 ( .., П0т) частиц жидкости, определяемыми равенствами
Асимптотическое решение
Экспериментально установлено, что максимальные значения давления, действующего на погружающееся тело, достигаются на начальной стадии процесса. Изучение этой стадии в предположении о несжимаемости жидкости приводит (в случае затупленного тела) к бесконечному давлению в момент касания. Для уточнения характера распределения нагрузок в области контакта при малых "Ь необходимо учитывать сжимаемость жидкости. Модель сжимаемой жидкости дает возможность определить максимальную величину давления, действующего на тело со стороны жидкости, а также момент и место его приложения. В данной главе ограничимся исследованием плоской задачи.
Рассматривается плоское неустановившееся изэнтропическое движение идеальной сжимаемой жидкости, заполняющей в момент х-=0 полуплоскость Ц 0 и первоначально покоящейся (как и ранее, штрихом снабжаются размерные переменные). Линия 4=0 в начальный момент является свободной границей. Поверхностным натяжением и внешними массовыми силами пренебрегаем.
Пусть - положительные постоянные. При фиксированном Ь уравнение определяет параболу на плоскости Х , u , которую будем отождествлять с твердым недеформируемым контуром.
При -і =0 этот контур касается свободной границы в точке Х = 0 . Соотношение (10.1) задает движение контура вдоль оси и с постоянной скоростью V . Требуется найти возникающее при этом движение жидкости, считая, что часть ее границы, не являющаяся частью твердого контура, остается свободной. На плоскости лагранжевых координат , область, занятая жидкостью, заранее известна - это полуплоскость 0 .
Примем за масштаб длины радиус К, параболы (І0.Т) в точке х 0 , а за масштаб времени - величину и перейдем к безразмерным переменным (обозначения безразмерных переменных отличаются отсутствием штриха).
Так как движение начинается из состояния покоя и внешние массовые силы отсутствуют, то течение идеальной сжимаемой жидкости по теореме Лагранжа (l8j будет безвихревым. Обозначим через v (x,U,i потенциал скоростей. Тогда GC= лзс , U, = и?щ , а уравнение для Цл имеет вид [28] . где и(ф у /С( ) , Q - плотность жидкость, С()- местная скорость звука. К уравнению (10.2) необходимо присоединить краевые: давление И постоянно на свободной поверхности, в области контакта выполняется условие непротекания, и начальные: =0, =0 при условия.
Обозначим через прообраз в лагранжевых координатах точки контакта свободной границы жидкости с поверхностью твердого тела. Тогда при любом "t из некоторого интервала [о, Ті линия о = 0, ограничивающая жидкость, состоит из трех компонент: -аш , 1 .\4сиЛ} , a(.V}, Где функция act} подлежит определению. Участки 1 \ (А(Д} являются свободными границами.
Определим краевые условия, которым должна удовлетворять функция . Интеграл Бернулли для потенциального течения сжимаемой жидкости имеет вид Выше уже отмечалось, что построенная асимптотика решения исходной задачи становится неравномерной [25] при х=0 (в частности, b -оо при т- 0 ). Это означает, что разложения (II.I), рассматриваемые как асимптотические, теряют силу в малой окрестности = 0 которая, как будет показано ниже, имеет для параболического контура порядок 0(Мг) приИ-0 . Для уточнения структуры течения в этой окрестности необходимо строить внутреннее разложение.
Тогда условие (12,2) выполняется автоматически. Это следует из асимптотики решения задачи (12,3), (12,4) при t- Через Т обозначим момент отрыва ударной волны от линии контакта. При 0 t t скорость линии контакта превышает скорость ударной волны в окрестности точек контакта, свободная поверхность не возмущена и D(t =v2t Величину СМ будем искать в виде где асимптотическая последовательность
Момент выхода ударной волны на свободную поверх ность характеризуется тем, что при = скорость движения ударной волны W в окрестности точки контакта и скорость дви жения самой точки контакта вдоль свободной поверхности совпада ют: при X - X
Влияние упругих свойств оболочки на распределение давления в области контакта
Для учета влияния упругих свойств погружающегося деформируемого тела на картину течения и характер распределения нагрузок в области контакта необходимо рассмотреть по схеме 6 следующее, первое, приближение. В б уже отмечалось, что задача для первого приближения не может быть решена в явном виде даже для недеформируемого тела. Однако она позволяет представить решение в виде суммы двух слагаемых, одно из которых есть первое приближение в задаче о приводнении твердого цилиндра, а другое представляет собой поправку к основному течению, которая обусловлена упругими свойствами проникающего тела. Таким образом, учет упругих свойств погружающегося тела приводит к более равномерному (в первом приближении) распределению давления на пятне контакта (окрестности точек контакта не рассматриваются). График функции (хШ приШ И приведен на рис.II. Как и следовало ожидать, абсолютное значение І р \ тем меньше, чем меньше параметр А (например, чем меньше скорость проникания), точнее Ь -чКМ при A" U ,что следует из выражения (15.4).
Пусть при х =0 жидкость заполняет полупространство 1 0 и покоится, сферическая оболочка касается свободной поверхности
в точке & =0, =0 и имеет скорость V , направленную вертикально вниз. Требуется определить возникающее при этом движение жидкости, деформацию оболочки и распределение давления в области контакта.
Начальную стадию проникания тонкой сферической оболочки будем рассматривать по плану 14, За масштаб длины примем радиус оболочки К/ , а за масштаб времени - и перейдем к безразмерным переменным (обозначения безразмерных переменных отличаются отсутствием штриха). Сохраняя обозначения 8 и 14, выпишем уравнения, которые описывают движение жидкости и деформацию проникающей конструкции
Здесь ІП - нормаль к деформированной поверхности тела, 1 - скорость движения элемента оболочки с учетом упругих деформаций, (,, , ё) - цилиндрическая система координат вектор перемещений. В новой системе координат соотношения Л- Х(Й, "5=0 задают положение линии контакта. Давление Ь связано с вектором перемещений посредством уравнения импульса (см. I)
Решение задачи (16.1)-(16.7) будем искать в виде разложений (14.8), в первое из которых следует внести поправку: Г= Хи)(1И f где J= t\ц-рлг\v -sf\ t-actt.
Неизвестные функции kCtf, ОЦий, ц(иЛ, 2Є. (Ы} , K(jt) при і =0,1,2,... определяются в соответствии с принципом наименьшей вырожденности (см. 14). Эти функции имеют тот же вид, что и в плоском случае с единственным исключением: Ц(У) и +Л (В 0 0, слухає ЦиЛ= Ш +L ). Здесь 10 = b)0(t) задает положение линии контакта в сферических координатах, связанных с центром оболочки. Подставляя разложения (14.8) в соотношения (16.1)-(16.7) и удерживая члены старшего порядка при , получаем, что в нулевом приближении исходная задача распадается (так же как и в плоском случае) на рекуррентную последовательность трех задач. Вначале определяется асимптотика движения жидкости при т- 0 без учета упругих деформаций погружающегося тела (см. 8). Нулевое приближение внешней нагрузки рША) вычисляется по формуле (16.7)
Следовательно, в осесимметричном случае оболочка испытывает меньшую деформацию, чем в плоском, при одном и том же значении параметра А .
Заметим, что так же как и в плоском, в осесимметричном случае асимптотика давления при не зависит от упругих свойств погружающейся сферической оболочки, характер деформации которой определяется единственным параметром А .
Действуя по плану 11, 14,получаем, что описание начального этапа погружения оболочки в слабо сжимаемую жидкость распадается на несколько задач. Вначале без учета деформации тела определяется движение жидкости, вызванное прониканием оболочки, а затем по найденному распределению давления в области контакта вычисляется величина деформации. Если искать функции в виде разложений (плоский случай)
Постановка линеаризованной задачи проникания в виде вариационного неравенства
Исследуем теперь асимптотику движения жидкости при ударе капли о твердую плоскость методом сращиваемых асимптотических разложений. Так как при т- 0 пятно контакта стягивается в точку, то для получения информации о начальном этапе соударения введем новые пространственные переменные
В "w разложение искомых функций имеет вид Подставим разложения (20.15) в условие непротекания (20.1) Чтобы нулевое приближение зависело от формы кап - 94 ли и закона ее движения, необходимо положить: AOJ)e0e(i)f Тогда в задаче для нулевого приближения условие на пятне контакта будет иметь
Подставляя разложение (20.15) в уравнения движения (8.2), условие на свободной поверхности (8.4) и удерживая члены старшего порядка при получаем, что задачи для нулевого приближения искомых функций в случае проникания параболоида вращения (скорость погружения - v , радиус кривизны в вершине - К. ) и в случае соударения сферической капли с твердой плоскостью (скорость соударения - V » радиус капли - R, ) совпадают. Следовательно, все результаты 8 могут быть перенесены на случай падения капли без изменений.
Можно проверить, что асимптотика решения линеаризованной задачи (20.2) при т- 0 совпадает с главным членом начальной асимптотики решения задачи (Т.1)-(1.3), построенным в 8. В частности, асимптотика распределения давления в области контакта (20.13) имеет вид что согласуется с результатом
Таким образом, начальные данные для дальнейшего численного счета могут быть построены как методом сращиваемых асимптотических разложений, так и методом линеаризации. Выбор одного из этих методов обусловлен особенностями численного алгоритма.
Как и во всех задачах со свободной границей теоретическое определение гидродинамических нагрузок на тело, пересекающее поверхность жидкости, затруднено, так как требуется удовлетворить нелинейным граничным условиям на поверхности, вид которой должен быть определен в ходе решения задачи, В связи с этим обычно предполагают, что возмущения свободной поверхности малы, после чего линеаризуют граничные условия и сносят их на известную поверхность. Эта процедура справедлива, если тело находится не очень близко от свободной границы жидкости. Однако, в большинстве интересных случаев, когда тело движется около поверхности жидкости, линейная модель приводит к серьезным ошибкам, по крайней мере, в окрестности линий пересечения поверхности тела и свободной границы.
Заметим, что,если при исследовании процесса проникания затупленного тела в идеальную жидкость пренебречь плотностью воздуха, то в момент касания поверхность жидкости будет плоской. При этом модель несжимаемой жидкости приведет к бесконечному давлению, а модель сжимаемой жидкости - к скачку давления в момент касания (см. гл.І, П). С другой стороны, если жидкость считать несжимаемой, но учитывать плотность воздуха, то свободная граница будет возмущена прежде чем тело коснется ее. В зависимости от формы тела и параметров процесса возможны два случая.
В первом процесс проникания можно разбить на три этапа:
1) при приближении тела к свободной поверхности образуется воздушный поток, который деформирует ее;
2) давление в воздушном слое повышается, вследствие деформации свободной поверхности в жидкости образуется каверна, которая замыкается в момент контакта тела со свободной границей жидкости;
3) каверна погружается вместе с телом в жидкость, в дальнейшем она размывается и сносится потоком;
Во втором случае, в отличие от первого, каверна не образуется (кривизна деформированной поверхности жидкости мала), а свободная граница в момент касания уже имеет скорость, равную скорости движения тела. Давление, действующее со стороны воздуха (а затем и жидкости) на тело, не имеет особенности в момент касания.
При построении более точной математической модели процесса проникания необходимо учитывать также и вязкость жидкости. Оценки влияния величины числа Рейнольдса Кг на силу сопротивления, действующую на проникающее тело со стороны жидкости, приведены в [32]. Показано (и это подтверждается экспериментальными данными [38]), что интегральные характеристики процесса слабо зависят от числа Рейнольдса
Похожие диссертации на Начальная асимптотика в задаче проникания затупленного тела в жидкость
