Введение к работе
Актуальность работы. Изучение вопросов разрешимости, гладкости и асимптотик при t -> +00 решений начальных и начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания жидкостей, важно для теории уравнений в частных производных и является актуальным научным направлением в современной математике.
Первыми работами в математической теории движения вращающихся жидкостей явились работы С. Л. Соболева. В этих работах исследовалось движение идеальной (то есть невязкой и несжимаемой) вращающейся жидкости. Исследования Соболева были продолжены в работах Т. И. Зеленяка, В. П. Мас-лова, А. В. Глушко, М. Е. Боговского, С. А. Габова, А. Г. Свешникова, Г. В. Де-миденко, С. В. Успенского, В. Н. Масленниковой, А. Г. Костюченко, С.Я. Се-керж-Зенковича, А. И. Кожанова. В работах этих авторов исследовалась асимптотика при t —> +со решений различных задач, описывающих движение вращающихся жидкостей.
В настоящее время возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности, стратифицированных жидкостей. Здесь можно указать работы М. И. Вишика, Т. И. Зеленяка и В. П. Михайлова. С.А. Габовым и А. Г. Свешниковым были рассмотрены вопросы о глобальной во времени разрешимости начально-краевых задач для уравнений, возникающих в стратифицированных жидкостях и стратифицированных вращающихся жидкостях. Исследования вопросов динамики стратифицированных жидкостей были продолжены учениками С. А. Габова и А. Г. Свешникова, а именно Ю. Д. Плетнером, М. О. Корпу-совым, С. Т. Симаковым, П. А. Крутицким, Л. В. Перовой и др. В монографии
A. В. Глушко содержатся результаты, относящиеся к дифференциальным опе
раторам с неоднородным символом. В этой работе рассмотрены также вра
щающиеся вязкие сжимаемые жидкости. Поведение при t —> +00 решений раз
личных задач, описывающих колебания жидкостей, как вязких, так и невязких,
исследовалось в работах М. Е. Schonbek, Т. Miyakawa, Th. Gallay, С. Е. Wayne,
L. Brandolese, E. Feireisl, С. M. Dafermos.
Иной подход к исследованию решений начальных и начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений, у истоков которого стояли труды С. Г. Крейна, М. И. Вишика, изложен в работах В. Г. Звягина, Н. А. Сидорова, A. Favini, A. Yagi, С. Г. Пяткова, И. В. Мельниковой, Г. А. Свиридюка,
B. Е. Федорова. Этот подход предполагает изучение дифференциально-
операторных уравнений в линейных топологических пространствах с дальней
шими приложениями к конкретным начально-краевым задачам.
Цель работы. Построить явные формулы представления решений начальных и начально-краевых задач, описывающих малые колебания стратифицированных жидкостей. Изучить, в каком смысле выполняются начальные и граничные условия. Получить асимптотические при t —> +со представления компонент решений таких задач.
Методы исследования. Используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, различные методы получения асим-
птотических оценок, в частности, метод стационарной фазы, интегральные преобразования, оценки в шкалах пространств С.Л. Соболева с весом.
Научная новизна. В работе доказаны теоремы о существовании решений начальных и начально-краевых задач для линейных систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания стратифицированных жидкостей, построены явные формулы представления решений таких задач, изучено, в каком смысле выполняются начальные и граничные условия, получены асимптотические при t -> +00 представления решений таких задач.
Практическая и теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы их доказательства могут быть использованы в дальнейшем для построения асимптотических представлений при / —> +оо решений задач динамики жидкостей. Результаты работы также могут быть полезны для изучения многих важных для практики задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными, например, коллапса интрузий в жидкостях, решения экологических задач (исследования поведения разливов нефти в океане) и в других случаях.
Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на профильных научных конференциях и семинарах: международной молодежной научной конференции "XXXIII гагаринские чтения" (3-7 апреля 2007 года, Москва); летних математических курсах "Дифференциальные уравнения в частных прозводных", проводимых международной математической школой Scuola Matematica Interuniversitaria (15-27 июля 2007 года, Кортона, Италия); научных семинарах под руководством д.ф.-м.н. А. В. Глушко (Воронеж, 2008-2009-2010 гг.); Первой весенней международной математической школе "Analytical and Numerical Aspects of Evolution Equations" (30 марта - 3 апреля 2009 года, Берлин, Германия); международной научной математической конференции "Nonlinear problems for A and А " (10-14 августа
года, Линчепинг, Швеция); Всероссийской научно-практической конференции "Инновации в авиационных комплексах и системах военного назначения" (26 ноября 2009 года, ВАИУ, Воронеж); Второй весенней международной математической школе "Analytical and Numerical Aspects of Evolution Equations" (27 марта - 2 апреля 2010 года, Берлин, Германия); научной сессии ВГУ (апрель 2010 года, Воронеж); международной научной математической конференции "Dynamical Systems and Partial Differential Equations" (30 марта - 4 июня
года, Университет Политекника де Каталуния, Барселона, Испания). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7]. Работы [6] и [7] соответствуют списку ВАК РФ. Из совместных с научным руководителем работ [2], [6] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 127 страниц. Библиография содержит 110 наименований работ российских и зарубежных авторов.
Похожие диссертации на Асимптотики при t решений начально-краевых задач, описывающих малые колебания стратифицированной жидкости
