Введение к работе
Актуальность темы. При исследовании сингулярно возмущённых задач особое значение имеет понятие пограничного слоя, введённое Пран-дтлем. Решения в пограничных слоях строятся в виде асимптотических рядов [1], зависящих также от погранслойных переменных. В зависимости от исследуемых задач, разработаны различные асимптотические методы. Часто возникают задачи, где применяются методы построения экспоненциально убывающих погранслойных функций. Однако, в ряде задач коэффициенты ряда по степеням малого параметра имеют особенности ( растущие вместе с ростом степеней малого параметра). Такие задачи носят бисингулярный характер [2]. Одним из эффективных методов, приводящих к успеху в подобных задачах, является метод согласования (сращивания) асимптотических разложений [2], [3], [4]. Аналогичные ситуации имеют место также в задачах волновой оптики [5] и теории релаксационных колебаний [6].
Бисингулярные задачи также возникают при исследовании явлений тепломассообмена с учётом конвекции, в частности, конвективной диффузии. Такие задачи исследовали многие авторы: Левич В.Г., Фукс Н. A., Acrivos A., Goddard J.D., Taylor T.D., Sih Р.Н., Newman J., Murray D., Крылов B.C., Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Рязанцев Ю.С. и другие. Задачи конвективной диффузии в окрестностях частиц и цилиндров возникают в химической технологии, теории фильтрации, в биофизике. Одной из основных задач при этом является определение полного диффузионного потока (к поверхностям обтекаемых тел), который зависит от решений краевых задач в пограничных слоях (около частиц).
Характерной особенностью задач конвективной диффузии являются наличие седловых особых точек на границе области в предельном уравнении, когда малый параметр ( малый параметр соответствует большим числам Пекле: Ре) равен нулю. Другая особенность таких задач состоит в том, что в некоторых пограничных слоях возникают параболические уравнения, вырождающиеся на границе области.
В задачах конвективной диффузии в окрестностях частиц ранее были исследованы, в основном, лишь главные члены формальной асимптотики по малому параметру [7]. Вопрос математического обоснования асимптоти-
ческих решений, в частности, построение полного асимптотического разложения решений задач конвективной диффузиии является актуальным. В окрестности частицы за исключением следа за частицей погранслойные функции обычно носят экспоненциальный характер. Однако, в следе за частицей асимптотика носит степенной характер. В таких случаях приходится применять метод согласования асимптотических разложений. В окрестности частицы ( или капли ) возникают несколько пограничных слоев, в том числе и внутренние пограничные слои.
Другой класс задач возникает при исследовании конвективной диффузии в окрестности сферической частицы или капли с учётом химической реакции. Одна из характерных особенностей таких задач - это зависимость от двух параметров: числа Пекле Ре и постоянной скорости химической реакции kv. В случаях, когда один из параметров ограничен, задача упрощается. В этих случаях построены главные члены асимптотики [7]. Задача усложняется, когда оба параметра достаточно большие. В этом случае трудно построить даже главные члены асимптотики. В более простом случае обтекания капли и химической реакции первого порядка были построены главные члены асимптотики решения задачи конвективной диффузии ( линейная задача ) [8].
Бисингулярные задачи, содержащие седловые точки на границе области в предельной задаче, возникают также в гидродинамике [9]. Малый параметр соответствует средним и большим числам Рейнольдса. В этих задачах также возникают внутренние пограничные слои.
Актуальными являются исследование асимптотических свойств решений сингулярно возмущённых задач, дальнейшее развитие методов построения асимптотических разложений и их применение к исследованию новых задач.
Цель работы.
-
Построить полное асимптотическое разложение по малому параметру решения краевой задачи для эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных, описывающего процесс стационарной конвективной диффузии около капли.
-
Построить полное асимптотическое разложение по малому параметру решения краевой задачи для эллиптического уравнения с малым пара-
метром при старших производных, описывающего процесс стационарной конвективной диффузии около сферической частицы.
3) Построить главные члены асимптотического решения внешней краевой задачи для линейных и квазилинейных уравнений эллиптического типа с двумя параметрами, описывающих процесс стационарной конвективной диффузии около частицы при наличии химической реакции.
Для достижения цели требуется решить следующие задачи:
-
Построить формальные асимптотические разложения ( ф. а. р. ) по малому параметру решений краевых задач стационарной конвективной диффузии в пограничных слоях около капли и частицы.
-
Исследовать асимптотические свойства коэффициентов асимптотического разложения по малому параметру в каждом пограничном слое с учётом условий согласования с решениями в соседних пограничных слоях.
-
Исследовать решения неоднородных краевых задач в неограниченных областях с убывающими на бесконечности правыми частями и граничными условиями. В этих задачах требуется исследовать асимптотические свойства на бесконечности. Такие задачи обычно возникают в большинстве пограничных слоев.
4. Доказать справедливость асимптотических разложений.
Методы исследования. Основным методом исследования является
вариант метода согласования асимптотических разложений, предложенный A.M. Ильиным. Применяются также методы математического анализа, функционального анализа, дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Все основные результаты являются новыми и получены автором лично. Основные результаты диссертации таковы.
-
Построено полное асимптотическое разложение по малому параметру решения краевой задачи для эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных, описывающего процесс стационарной конвективной диффузии около капли. В окрестности капли возникают пять пограничных слоев. Асимптотическое разложение представляет собой составное разложение, полученное согласованием асимптотических разложений в пограничных слоях. Для обоснования используются барьерные функции.
-
Построено полное асимптотическое разложение по малому параметру
решения краевой задачи для эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных, описывающего процесс стационарной конвективной диффузии около сферической частицы. В окрестности частицы возникают пять пограничных слоев. В двух пограничных слоях асимптотика решения было построено ранее. В этой работе построено асимптотическое разложение решения еще в трёх пограничных слоях. Построенные асимптотические разложения согласованы с ранее полученными.
3. Построены главные члены асимптотического решения внешней краевой задачи для квазилинейного эллиптического уравнения с двумя параметрами. Рассматриваемая задача описывает процесс стационарной конвективной диффузии около частицы при наличии химической реакции. Рассмотрен более сложный случай, когда оба параметра стремятся к бесконечности. При исследовании задача сводится к сингулярной, имеющей малый параметр при старших производных, а другой параметр при этом меняется медленно и зависит от отношения двух больших параметров.
Кроме того, получены результаты, имеющие самостоятельную теоретическую ценность.
Исследована краевая задача для эллиптического уравнения в полуплоскости. Данная задача возникает при исследовании явления стационарной конвективной диффузии около сферической частицы при больших числах Пекле в пограничном слое окрестности точки стекания жидкости с частицы. Построена асимптотика решения, удовлетворяющая условию согласования с решением в соседнем диффузионном пограничном слое. Ранее эта задача была исследована только численными методами.
Построен главный член формального асимптотического разложения решения краевой задачи для уравнения конвективной диффузии в эллиптическом пограничном слое. Рассматриваемая задача соответствует случаю обтекания цилиндрической частицы. Ранее такая задача была исследована только численными методами.
Исследована асимптотика решения вырождающегося квазилинейного параболического уравнения. Такое уравнение возникает в диффузионном пограничном слое при исследовании явления конвективной диффузии около частицы с учётом объёмной нелинейной химической реакции.
Доказана теорема существования решения краевой задачи на полу-
прямой для класса квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра. Построены асимптотические разложения решений таких задач на бесконечности. Исследована асимптотика для малых значений параметра. Главный член асимптотики на бесконечности зависит от явного вида нелинейной функции и от параметра. Указанный здесь класс уравнений возникает при построении асимптотики решения в диффузионном пограничном слое вырождающегося квазилинейного параболического уравнения в окрестности линии вырождения в следе за частицей.
Теоретическая и практическая ценность.
В диссертацию включены теоретические результаты, полученные автором и представляющие вклад в развитие асимптотических методов решения задач эллиптического типа с малым параметром при старших производных бисингулярного характера. Особенностью этих задач является наличие особых точек седлового типа на границе области. Рассматриваемые задачи представляют собой математическую модель стационарной диффузии около одиночной частицы ( или капли ), при обтекании потоком жидкости или газа. Малый параметр соответствует большим числам Пекле. Другой характерной особенностью рассматриваемых задач является тот факт, что в некоторых пограничных слоях возникают вырождающиеся параболические уравнения. Порядок вырождения зависит от свойств функции тока. А последнее, в свою очередь, зависит от того, рассматривается обтекание капли или твёрдой частицы. Указанные свойства задач говорят об их сложности для исследования. Построены главные члены формальной асимптотики решения задачи конвективной диффузии с объёмной нелинейной химической реакцией в следе за осесимметричной частицей. Задача содержит два параметра: число Пекле Ре и постоянную скорости химической реакции kv. В случае наличия нелинейной химической реакции ранее задачи конвективной диффузии исследовались на физическом уровне строгости, используя методы модельных уравнений и аналогий, и метод интерполяции. Были получены интерполяционые формулы для нахождения полного диффузионного потока ( [7], гл 5).
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре Института математики и механики Ур. НЦ РАН (рук.,
академик РАН, А.Ф. Сидоров), на семинаре по асимптотическим методам Института математики и механики Ур. НЦ РАН (рук., академик РАН, A.M. Ильин), на семинаре по дифференциальным уравнениям математической физики Института математики с Вычислительным центром Уфимского НЦ РАН (руководители семинара проф. Л.А. Калякин, проф. В.Ю. Новокшенов), на Санкт-Петербургском (городском) семинаре по дифракции и распространению волн (руководитель семинара проф., В. М. Бабич), на семинаре чл. корр. РАН П.И. Плотникова в Институте гиродинамики им. М.А. Лаврентьева и др., на Международных конференциях: "Комплексный анализ, дифференц. ур-ния и смежные вопросы" ( Уфа, Ин-т ма-тем. с вычисл. центром Уф. НЦ РАН, 1996, 2000), "Кубатурные формулы и их приложения." VI-й международный семинар-совещание (Ин-т матем. с вычисл. центром Уф. НЦ РАН ( г. Уфа, БГПУ, 2001 г.), "Асимптотики решений дифференциальных уравнений", посвященный к 70 - летию академика А. М. Ильина ( Ин-т матем. с вычисл. центром Уф. НЦ РАН, г. Уфа, 2002 г.), "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" ( Стерлитамак, СГПИ, 1998 г.), "Потоки и структуры в жидкостях" ( Институт проблем механики РАН, Москва, МГУ, 2005, Санкт-Петербург, РГГМУ, 2007), "Математика. Компьютер. Образование" ( МГУ им. Ломоносова, г. Пущино, Пущинский центр биол. иссл-й РАН, 2007 г.), Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И.Г. Петровского (МГУ им. М.В. Ломоносова, Матем. ин-т им. В.А. Стеклова. МГУ, 21-26 мая 2007 г.), "Уфимская международная научная конференция, посвященная памяти А.Ф. Леонтьева " Теория функций, дифференц. ур-ния, вычислительная математика" ( Уфа, Ин-т матем. с вычисл. центром Уф. НЦ РАН, 2-4 июня 2007 г.), в "Зимней школе по механике сплошных сред" Уральское отделение РАН (г. Пермь, 2005), в Российских и региональных конференциях в городах: Санкт-Петербург (1997), Екатеринбург (2000), Уфа (1997, 2002, 2003), Челябинск (2006) и др. Часть результатов получена автором диссертации в ходе работ по проектам Российского фонда фундаментальных исследований ( коды проектов: 99-01-01143, 02-01-00693, 06-01-00138) и Ведущих научных школ (коды проектов: 96-15-96241, 00-15-96038, НШ-1446.2003.1 ).
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [12]-[24]. В
автореферате приведен список основных публикаций. В работе [22] имеется ссылка на работу с соавторами. Эти результаты численного характера приведены в диссертации для полноты изложения результатов и не выносятся на защиту.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, списка литературы из 148 наименований. Объём работы 280 страниц.
Внимание автора к вопросам, затрагиваемым в диссертации было привлечено A.M. Ильиным. Автор выражает благодарность ему, а так же А. Д. Полянину и всем участникам упомянутых семинаров за полезное обсуждение.
Похожие диссертации на Асимптотики решений сингулярно возмущенных задач, описывающих явление конвективной диффузии
