Содержание к диссертации
Введение
1 Устойчивость цилиндрической оболочки с квадрат ным поперечным сечением 13
1.1 Формулировка проблемы 14
1.2 Решение задач устойчивости 16
1.3 Исследование решений задач устойчивости 19
1.4 Численные примеры 24
1.5 Расчеты методом конечных элементов 25
2 Устойчивость шарнирпо опертой цилиндрической оболочки с прямоугольным поперечным сечением. 28
2.1 Постановка задачи 29
2.2 Точное решение задачи устойчивости 31
2.3 Приближенное решение задачи 33
2.4 Расчеты МКЭ 36
3 Устойчивость оболочки с прямоугольным поперечным сечением, имеющей два свободных края. 39
3.1 Формулировка проблемы 39
3.2 Приближенное решение задачи устойчивости 42
3.3 Численный пример 46
3.4 Расчеты МКЭ 46
4 Устойчивость тонких прямоугольных сопряженных пластин 50
4.1 Устойчивость двух прямоугольных сопряженных пластин (уголок) 51
4.2 Устойчивость трех прямоугольных сопряженных пластин (тавр) 58
4.3 Устойчивость двутавра 64
Заключение 67
- Решение задач устойчивости
- Точное решение задачи устойчивости
- Расчеты МКЭ
- Устойчивость трех прямоугольных сопряженных пластин (тавр)
Введение к работе
Интерес к задачам устойчивости тонкостенных оболочек, состоящих из сопряженных прямоугольных пластин, обусловлен широким использованием таких оболочек на практике. Образованные из тонких сопряженных пластин конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью, что объясняет их применение в судостроении, авна- и ракетостроении, многих других отраслях и, в частности, в автомобильной промышленности.
Некоторые детали автомобиля представляют собой пустотелые или заполненные тонкостенные конструкции. Одной из важнейших задач является анализ поведения элементов конструкций автомобиля при столкновении. Указанная задача стимулировала исследования устойчивости тонкостенных конструкций различной геометрии при различных условиях нагружсиия.
Расчет на устойчивость является одним из важных элементов расчета при проектировании тонкостенных конструкцин в различных областях техники — судостроении, ракетостроении, строительстве, машиностроении. К тонкостепным пространственным конструкциям, которые исследуются на устойчивость, относятся, к примеру, оболочки трубопроводов, железнодорожные п автодорожные коробчатые мосты, тонкостенные системы бункеров, конструкции высотных зданий.
Задачам устойчивости стержней, пластин и оболочек посвящено большое число публикаций. Значительный вклад и исследования в этой области был внесен Л. С. Вольмиром [9], С. П. Тимошенко [29, 30], В. 3. Власовым [7, 8]. Устойчивостью упругих систем занимались также Н. А. Алфутов [1], Э. И. Грпголкж и В. В. Кабанов [12], И. А. Биргер и Я. Г. Пановко [27] и многие другие, чьи успехи способствовали развитию теории устойчивости и различных методов расчета оболочек.
Рассматриваемые в данной работе оболочки нагружены статической консервативной нагрузкой, величина и направление которой не меняется со временем. При действии на оболочку статических нагрузок ее работоспособность зависит от значений критических на- грузок, при достижении которых происходит потеря устойчивости.
Линейные задачи устойчшюстн оболочек сводятся к краевым задачам на собственные значения для систем дифференциальных уравнений в частных производных. В задачах устойчивости интерес представляют лишь наименьшие и, может быть, близкие к ним собственные значения краевой задачи. Условие существования ненулевого решения уравнений устойчивости служит для определения критической нагрузки. При решении задач устойчивости удобно считать, что нагрузка меняется пропорционально параметру нагружеипя Л. Тогда задача устойчивости сводится к задаче па собственные значения параметра Л, а в качестве критического значения следует взять наименьшее собственное значение А.
Актуальными являются разработка новых и совершенствование существующих методов расчета тонкостенных конструкций.
Аналитические методы решения задач устойчивости в простейших случаях дают точное решение задачи. В общих случаях они приводят к достаточно точному приближенному решению и проясняют качественную картину.
Асимптотические методы, основанные на разложениях решений в ряд по степеням малого параметра, занимают ведущее место среди методов построения приближенных аналитических решении. Решения, полученные с использованием асимптотических методов, позволяют проанализировать влияние различных параметров на поведение тонкостенной конструкции. Асимптотические методы успешно применяются для решения линейных краевых задач на собственные значения. С их помощью построены приближенные асимптотические формулы для форм потерн устойчивости. Описанию и применению асимптотических методов посвящены работы [3, 4, 13, 23, 26, 32, 33, 34, 47].
В свою очередь, методы численного решения задач устойчивости на сегодняшний день достигли высокого уровня. Для осесимметрпч-но нагруженных оболочек часто применяются методы ортогональной прогонки, а в более сложных случаях, не допускающих разделения переменных, - различные вариационные методы. В данной работе при решении задач устойчивости используются численные методы (метод Ньютона, метод прогонки) и вариационный метод (метод конечных элементов).
Одной" из первых книг, написанных на тему метода конечных элементов, была книга О. Зенкевича и И. Чапга [49]. Метод конечных элементов изначально использовался в строительной механике, но оказалось, что он имеет широкое применение во многих научных и инженерных приложениях. На сегодняшний день метод конечных элементов — один из наиболее популярных методов численного решения инженерных, физических и математических задач. Метод конечных элементов применяется к задачам теории упругости, теории пластин и оболочек, теплопроводности, теории потенциала. К области применения метода относятся летательные аппараты, автомобили, суда, стальные и железобетонные мосты, каркасы зданий и многое другое, В отличие от аналитических методов он позволяет значительно приблизить расчетную схему к реальному объекту. Обзор метода, его приложений к расчету инженерных конструкций и задачам механики сплошной среды и описание компьютерных программ па его основе содержатся в работах [24, 25, 3G, 37, 38, 39, 41, 45, 4G, 48].
В настоящее время существуют готовые пакеты программ для численных расчетов тонких оболочек, которые значительно облегчают работу и уменьшают процент арифметических ошибок. Однако численные методы имеют своп недостатки: они требуют достаточно много времени для подготовки начальных данных и больших вычислительных мощностей, их применение затруднено при расчетах систем, в которые входят очень большие пли очень маленькие величины.
К примеру, при расчете методом конечных элементов в пакетах программ, задание граничных условии отличается от задания граничных условий в теории. Подобрать соответствие между ними бывает достаточно трудно. Распространение численных решений на задачи, не проанализированные теоретически, нередко приводит к ошибочным результатам. Таким образом, аналитические и численные методы дополняют друг друга, и численные методы можно использовать для оценки достоверности теории.
В диссертации исследуется устойчивость тонких сопряженных пластин при осевом сжатии. Исследования по расчету пластин можно встретить в работах С- П. Тимошенко и С. Вошювского - Крнгера [29, 31], Д. В. и Е. Д. ВаПнбергов [5] и в книге [44].
Основная часть работы посвящена устойчивости тонких цилиндрических оболочек, представляющих собой четыре сопряженные пластины. Такие оболочки относятся к классу коробчатых или призматических оболочек.
Призматическими оболочками в свое время активно занимался В. 3. Власов. Его монография [8] содержит общую теорию и вариационные методы расчета пространственных систем типа призматических и цилиндрических оболочек. Он рассматривал оболочки, состоящие из конечного числа тонких прямоугольных пластин, которые жестко соединены между собой на линиях сопряжения так, что в каждой точке этих линий устранена всякого рода подвижность каждой пластинки относительно соседних с него.
В. 3. Власов внес неоценимый вклад в создание теории расчета призматических оболочек, формулировка которой наложила существенный отпечаток как на создание методов расчета сложных объектов, так и на широкое использование ее в различных отраслях науки и техники (самолето- и ракетостроении, судостроении, строительстве). Власов предложил новый вариационный метод, сводящий расчет тонкостенных оболочек к расчету дискретно-континуальной системы. Это было возможно в силу представления искомой функции (к примеру, прогиба пластины), зависящей от двух переменных, в виде произведения двух функций, каждая из которых была функцией одного неременного. Это приводило систему дифференциальных уравнений оболочки в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Призматические оболочки исследовались также Н. И. Векуа [G]. Современные работы, посвященные таким оболочкам, представлены Е. С. Вронской [10], О. Л. Соколовой [28], Д. Л. Высоковскнм и В. II. Шумейко [11], С. П. Ивановым [15]. Учебное пособие [28] содержит изложение метода пространственного расчета коробчатых пролетных строений мостов многосвязпого сечения как призматических оболочек, что позволяет исследовать такие конструкции как ангары, перекрытия, покрытия, технические этажи, подпорные стенки, пролетные строения коробчатых мостов, кузова- фургоны.
Классическая теория устойчивости тонких цилиндрических оболочек, находящихся под действием осевых сжимающих сил [8, 9, 29, 30], дает значения критических нагрузок, которые обычно существенно превышают значения, полученные экспериментально. Одной из основных причин расхождения теоретических и экспериментальных результатов является чувствительность к несовершенствам срединной поверхности оболочки.
Другая причина связана с влиянием граничных условий. В работах [17, 43] показано, что отношение величины осевой критической нагрузки для кругоіюй цилиндрической оболочки со свободным краем к ее классическому значению для шарппрно опертой оболочки составляет 0.37. Ввиду этого отличие граничных условий, используемых в теоретических исследованиях, от реальных граничных условии может послужить причиной существенного различия между теоретическими и экспериментальными значениями критических нагрузок. Слабое закрепление края может существенно уменьшить критическую нагрузку.
Данная работа состоит из 4 глав. В первой главе исследуется задача устойчивости цилиндрической оболочки с квадратным поперечным сечением. Во второй главе рассматривается шарнирпо опертая цилиндрическая оболочка с прямоугольным поперечным сечением. В третьей главе решается задача устойчивости цилиндрической оболочки с прямоугольным поперечным сечением и двумя свободными краями. В последней главе изучаются оболочки с поперечным сечением в виде уголка, тавра и двутавра.
Рассматривается упругая цилиндрическая оболочка, сжимаемая между двумя абсолютно твердыми параллельными плитами.
Предполагается, что смещениям края оболочки в плоскости плиты могут препятствовать только силы трен пи между оболочкой и плитой. Если силы трения так велики, что исключают перемещения краев оболочки в плоскости плиты, то граничные условия па краях оболочки совпадают с условиями шарнирного опирання краев.
Форма потери устойчивости равномерно покрывает всю поверхность стенок оболочки.
Для шарпирно опертой оболочки с квадратным поперечным сечением точное значение критической нагрузки приведено в монографии [40] и статье С. Б. Филиппова [35].
Случай, когда силы трепни равны нулю, соответствует граничным условиям свободных краев. Форма потерн устойчивости локализуется возле краев оболочки.
Локализация в окрестности края может быть связана с особенностью его закрепления и переменностью определяющих характеров. Такие формы потерн устойчивости возможны для оболочек нулевой кривизны иод действием осевого сжатия.
Эффект локализации формы потерн устойчивости вблизи свободного края, по-видимому, впервые, был описан в работе А. Ю. Ишлинского [16] при рассмотрении пластины с двумя свободными краями при осевом сжатии. Локализация прогибов цилиндрических панелей и круговых цилиндрических оболочек вблизи свободных или слабо закрепленных краен при потере устойчивости под действием осевого сжатия исследована в книгах П. Е. Товстика и Л. Л. Смирнова [32, 47].
Эффект локализации формы потерн устойчивости также был рассмотрен в книге [43] для круговой цилиндрической оболочки со слабо закрепленными краями, в статье [42] для случая оболочки с квадратным поперечным сечением и слабо закрепленными краями, в статье [14] — для цилиндрической панели со слабо закрепленными прямолинейными краями.
13 работе [35] для оболочки с квадратным поперечным сечением, у которой хотя бы один из краев оболочки свободен, асимптотическим методом получены простые формулы, позволяющие найти приближенное значение критической сжимающей нагрузки и построить форму потери устойчивости, локализованную вблизи свободного края. Асимптотические формулы дают хорошее приближение к точному решению, если длина оболочки достаточно велика.
В диссертации получено точное аналитическое решение задачи устойчивости для оболочки с квадратным поперечным сечением с двумя свободными краями и найдены собственные значения краевой задачи, соответствующие антисимметричной и симметричной формам потерн устойчивости. Использование же приближенного подхода [35| не позволяло различить собственные значения для антисимметричной и симметричной форм.
Было показано, что задача устойчивости оболочки с квадратным поперечным сечением может быть сведена к задаче устойчивости пластины [35]. Устойчивость пластин широко освещена в литературе, к примеру, із монографиях А. С. Вольмпра [9] и С. П. Тимошенко [29, 30].
В первой главе также проведено исследование решений задач устойчивости в зависимости от длины оболочки и представлены приближенные асимптотические решения для оболочки со свободными краями. Если оболочка достаточно длинна, ее форма потери устойчивости походит на форму прогиба стержня. Еще В. 3. Власов [7, 30] разделял цилиндрические и призматические оболочки на три класса: длинные, средней длины и короткие. К длинным оболочкам относятся тонкостенные стержни (для которых может быть принята гипотеза о неизменяемости формы поперечного сечения), оболочки средней длины обладают деформируемым профилем и сопротивляются изгибу только в поперечном направлении, а в коротких оболочках следует учитывать наряду с поперечными изгибающими моментами еще и продольные изгибающие и крутящие моменты. В его работе [7] излагается общая теория прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных стержней, где он отказался от рассмотрении тонкостенного стержня как бруса и использовал и качестве основы теорию призматической оболочки. Примером тонкостенных стержней могут быть отдельные элементы ферм и рам, металлические сварные балки.
Во второй и третьей главах рассматривается задача устойчивости цилиндрической оболочки с прямоугольным поперечным сечением при осевом сжатии.
В главе 2 найдено точное численное решение задачи устойчивости для шарнпрпо опертой оболочки с прямоугольным поперечным сечением.
Если поперечное сечение оболочки близко к квадратному, то для нахождения приближенного значения параметра критической нагрузки применяется асимптотический метод. В качестве начального приближения асимптотического метода используется решение задачи устойчивости оболочки с квадратным поперечным сечением.
Для шарннрно опертой оболочки с прямоугольным поперечным сечением предполагается возможность свести задачу к одномерной путем разделения переменных и асимптотическим методом получено приближенное значение параметра критической нагрузки.
Рассматриваемая в главе 3 задача устойчивости оболочки с прямоугольным поперечным сечением и двумя свободными краями является существенно двумерной. Для нее также разработан алгоритм определения приближенного значения параметра критической нагрузки с использованием асимптотического метода.
Четвертая глава посвящена системам двух (уголок) и трех (тавр) и пяти (двутавр) сопряженных прямоугольных пластин под действием продольной равномерной сжимающей нагрузки, параллельной линии сопряжения. Нагрузка приложена к противоположным шарннрно опертым поперечным сторонам пластин. На свободных от нагружения п сопряжения продольных сторонах заданы условия шарнирного опирання пли свободного края.
При шарнирном опираний продольных сторон пластин задача устойчивости имеет явное решение [35], если стенки уголка пли тавра имеют равную ширину. В работе Тимошенко [30] отмечалось, что задача о сжатии уголка со стенками равной ширины сводится к задаче о сжатии пластины и поведение стенок уголка аналогично поведению отдельных пластин при соответствующих условиях.
Если стенки сопряженных пластин не равной ширины пли на продольных сторонах заданы условия свободного края, то задача сводится к определению корней определителя с элементами, зависящими от искомой величины. К задаче об устойчивости уголка при соответствующих условиях на краях сводилась задача о шарннрно опертой цилиндрической оболочке с прямоугольным поперечным сечением [20].
Если длина оболочки намного больше характерного размера по- перечного сечения, то уголок и тавр можно рассматривать как балки. Тонкостенные стержни открытого профиля используются в качество механических моделей для висячих мостов корытного пли двутаврового сечения, в авиации и судостроении — для описания деформаций стрингеров и шпангоутов.
Теория изгиба, кручения и устойчивости стержней открытого профиля (уголкового, таврового, двутаврового сечении) рассматривалась в работах С. П. Тимошенко и В. 3. Власова [30], А. С. Вольмира [9], в которых обращалось внимание на такую особенность стержней открытого профиля, как слабая сопротивляемость кручению. В работах уточняется классическая теория Эйлера и исследуются явление потери устойчивости и критические состояния стержня в более общей постановке с учетом пространственных изгибно-крутпльных форм равновесия.
В каждой главе приводятся результаты численных расчетов и расчетов методом конечных элементов. Помимо приближенных значений параметра критической нагрузки, метод конечных элементов позволяет получить формы потерн устойчивости соответствующих конструкций, оценить границы применимости приближенных асимптотических методов и подтвердить достоверность применяемых аналитических методов.
В работе получены приближенные аналитические формулы для критической нагрузки и формы потери устойчивости, позволяющие легко проводить анализ влияния параметров задачи на критическую нагрузку. Результаты могут служить для контроля результатов полученных численными методами, например при использовании метода конечных элементов.
Основные результаты, выносимые на защиту;
Для оболочки с квадратным поперечным сечением получены и исследованы точные решения задачи устойчивости. Определена критическая сжимающая нагрузка для ряда конкретных параметров оболочки при различных граничных условиях.
Найдено точное решение задачи устойчивости для шарннрпо опсртоіі оболочки с прямоугольным поперечным сечением. Асимптотическим методом получены приближенные формулы для парамет- ров критической нагрузки оболочки с прямоугольным поперечным сечением, близким к квадратному, при различных граничных условиях на торцах. Исследована зависимость критической нагрузки от формы поперечного сечения и граничных условий.
В явном виде получены уравнения для определения параметров критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек открытого профиля в виде уголка и тавра.
Методом конечных элементов проведены расчеты критических нагрузок и форм потери устойчивости для оболочек с квадратным, прямоугольным, уголковым, тавровым и двутавровым поперечными сечениями. Путем сравнения результатов расчетов методом конечных элементов с результатами аналитических вычислений дана оценка границ применимости приближенных методов.
Решение задач устойчивости
Интерес к задачам устойчивости тонкостенных оболочек, состоящих из сопряженных прямоугольных пластин, обусловлен широким использованием таких оболочек на практике. Образованные из тонких сопряженных пластин конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью, что объясняет их применение в судостроении, авна- и ракетостроении, многих других отраслях и, в частности, в автомобильной промышленности. Некоторые детали автомобиля представляют собой пустотелые или заполненные тонкостенные конструкции. Одной из важнейших задач является анализ поведения элементов конструкций автомобиля при столкновении. Указанная задача стимулировала исследования устойчивости тонкостенных конструкций различной геометрии при различных условиях нагружсиия. Расчет на устойчивость является одним из важных элементов расчета при проектировании тонкостенных конструкцин в различных областях техники — судостроении, ракетостроении, строительстве, машиностроении. К тонкостепным пространственным конструкциям, которые исследуются на устойчивость, относятся, к примеру, оболочки трубопроводов, железнодорожные п автодорожные коробчатые мосты, тонкостенные системы бункеров, конструкции высотных зданий. Задачам устойчивости стержней, пластин и оболочек посвящено большое число публикаций. Значительный вклад и исследования в этой области был внесен Л. С. Вольмиром [9], С. П. Тимошенко [29, 30], В. 3. Власовым [7, 8]. Устойчивостью упругих систем занимались также Н. А. Алфутов [1], Э. И. Грпголкж и В. В. Кабанов [12], И. А. Биргер и Я. Г. Пановко [27] и многие другие, чьи успехи способствовали развитию теории устойчивости и различных методов расчета оболочек. Рассматриваемые в данной работе оболочки нагружены статической консервативной нагрузкой, величина и направление которой не меняется со временем. При действии на оболочку статических нагрузок ее работоспособность зависит от значений критических на- грузок, при достижении которых происходит потеря устойчивости. Линейные задачи устойчшюстн оболочек сводятся к краевым задачам на собственные значения для систем дифференциальных уравнений в частных производных. В задачах устойчивости интерес представляют лишь наименьшие и, может быть, близкие к ним собственные значения краевой задачи. Условие существования ненулевого решения уравнений устойчивости служит для определения критической нагрузки.
При решении задач устойчивости удобно считать, что нагрузка меняется пропорционально параметру нагружеипя Л. Тогда задача устойчивости сводится к задаче па собственные значения параметра Л, а в качестве критического значения следует взять наименьшее собственное значение А. Актуальными являются разработка новых и совершенствование существующих методов расчета тонкостенных конструкций. Аналитические методы решения задач устойчивости в простейших случаях дают точное решение задачи. В общих случаях они приводят к достаточно точному приближенному решению и проясняют качественную картину. Асимптотические методы, основанные на разложениях решений в ряд по степеням малого параметра, занимают ведущее место среди методов построения приближенных аналитических решении. Решения, полученные с использованием асимптотических методов, позволяют проанализировать влияние различных параметров на поведение тонкостенной конструкции. Асимптотические методы успешно применяются для решения линейных краевых задач на собственные значения. С их помощью построены приближенные асимптотические формулы для форм потерн устойчивости. Описанию и применению асимптотических методов посвящены работы [3, 4, 13, 23, 26, 32, 33, 34, 47]. В свою очередь, методы численного решения задач устойчивости на сегодняшний день достигли высокого уровня. Для осесимметрпч-но нагруженных оболочек часто применяются методы ортогональной прогонки, а в более сложных случаях, не допускающих разделения переменных, - различные вариационные методы. В данной работе при решении задач устойчивости используются численные методы (метод Ньютона, метод прогонки) и вариационный метод (метод конечных элементов). Одной" из первых книг, написанных на тему метода конечных элементов, была книга О. Зенкевича и И. Чапга [49]. Метод конечных элементов изначально использовался в строительной механике, но оказалось, что он имеет широкое применение во многих научных и инженерных приложениях. На сегодняшний день метод конечных элементов — один из наиболее популярных методов численного решения инженерных, физических и математических задач. Метод конечных элементов применяется к задачам теории упругости, теории пластин и оболочек, теплопроводности, теории потенциала. К области применения метода относятся летательные аппараты, автомобили, суда, стальные и железобетонные мосты, каркасы зданий и многое другое, В отличие от аналитических методов он позволяет значительно приблизить расчетную схему к реальному объекту. Обзор метода, его приложений к расчету инженерных конструкций и задачам механики сплошной среды и описание компьютерных программ па его основе содержатся в работах [24, 25, 3G, 37, 38, 39, 41, 45, 4G, 48]. В настоящее время существуют готовые пакеты программ для численных расчетов тонких оболочек, которые значительно облегчают работу и уменьшают процент арифметических ошибок.
Однако численные методы имеют своп недостатки: они требуют достаточно много времени для подготовки начальных данных и больших вычислительных мощностей, их применение затруднено при расчетах систем, в которые входят очень большие пли очень маленькие величины. К примеру, при расчете методом конечных элементов в пакетах программ, задание граничных условии отличается от задания граничных условий в теории. Подобрать соответствие между ними бывает достаточно трудно. Распространение численных решений на задачи, не проанализированные теоретически, нередко приводит к ошибочным результатам. Таким образом, аналитические и численные методы дополняют друг друга, и численные методы можно использовать для оценки достоверности теории. В диссертации исследуется устойчивость тонких сопряженных пластин при осевом сжатии. Исследования по расчету пластин можно встретить в работах С- П. Тимошенко и С. Вошювского - Крнгера [29, 31], Д. В. и Е. Д. ВаПнбергов [5] и в книге [44]. Основная часть работы посвящена устойчивости тонких цилиндрических оболочек, представляющих собой четыре сопряженные пластины. Такие оболочки относятся к классу коробчатых или призматических оболочек. Призматическими оболочками в свое время активно занимался В. 3. Власов. Его монография [8] содержит общую теорию и вариационные методы расчета пространственных систем типа призматических и цилиндрических оболочек. Он рассматривал оболочки, состоящие из конечного числа тонких прямоугольных пластин, которые жестко соединены между собой на линиях сопряжения так, что в каждой точке этих линий устранена всякого рода подвижность каждой пластинки относительно соседних с него. В. 3. Власов внес неоценимый вклад в создание теории расчета призматических оболочек, формулировка которой наложила существенный отпечаток как на создание методов расчета сложных объектов, так и на широкое использование ее в различных отраслях науки и техники (самолето- и ракетостроении, судостроении, строительстве). Власов предложил новый вариационный метод, сводящий расчет тонкостенных оболочек к расчету дискретно-континуальной системы. Это было возможно в силу представления искомой функции (к примеру, прогиба пластины), зависящей от двух переменных, в виде произведения двух функций, каждая из которых была функцией одного неременного. Это приводило систему дифференциальных уравнений оболочки в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Точное решение задачи устойчивости
Эффект локализации формы потерн устойчивости также был рассмотрен в книге [43] для круговой цилиндрической оболочки со слабо закрепленными краями, в статье [42] для случая оболочки с квадратным поперечным сечением и слабо закрепленными краями, в статье [14] — для цилиндрической панели со слабо закрепленными прямолинейными краями. 13 работе [35] для оболочки с квадратным поперечным сечением, у которой хотя бы один из краев оболочки свободен, асимптотическим методом получены простые формулы, позволяющие найти приближенное значение критической сжимающей нагрузки и построить форму потери устойчивости, локализованную вблизи свободного края. Асимптотические формулы дают хорошее приближение к точному решению, если длина оболочки достаточно велика. В диссертации получено точное аналитическое решение задачи устойчивости для оболочки с квадратным поперечным сечением с двумя свободными краями и найдены собственные значения краевой задачи, соответствующие антисимметричной и симметричной формам потерн устойчивости. Использование же приближенного подхода [35 не позволяло различить собственные значения для антисимметричной и симметричной форм. Было показано, что задача устойчивости оболочки с квадратным поперечным сечением может быть сведена к задаче устойчивости пластины [35]. Устойчивость пластин широко освещена в литературе, к примеру, із монографиях А. С. Вольмпра [9] и С. П. Тимошенко [29, 30]. В первой главе также проведено исследование решений задач устойчивости в зависимости от длины оболочки и представлены приближенные асимптотические решения для оболочки со свободными краями. Если оболочка достаточно длинна, ее форма потери устойчивости походит на форму прогиба стержня. Еще В. 3. Власов [7, 30] разделял цилиндрические и призматические оболочки на три класса: длинные, средней длины и короткие. К длинным оболочкам относятся тонкостенные стержни (для которых может быть принята гипотеза о неизменяемости формы поперечного сечения), оболочки средней длины обладают деформируемым профилем и сопротивляются изгибу только в поперечном направлении, а в коротких оболочках следует учитывать наряду с поперечными изгибающими моментами еще и продольные изгибающие и крутящие моменты. В его работе [7] излагается общая теория прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных стержней, где он отказался от рассмотрении тонкостенного стержня как бруса и использовал и качестве основы теорию призматической оболочки. Примером тонкостенных стержней могут быть отдельные элементы ферм и рам, металлические сварные балки.
Во второй и третьей главах рассматривается задача устойчивости цилиндрической оболочки с прямоугольным поперечным сечением при осевом сжатии. В главе 2 найдено точное численное решение задачи устойчивости для шарнпрпо опертой оболочки с прямоугольным поперечным сечением. Если поперечное сечение оболочки близко к квадратному, то для нахождения приближенного значения параметра критической нагрузки применяется асимптотический метод. В качестве начального приближения асимптотического метода используется решение задачи устойчивости оболочки с квадратным поперечным сечением. Для шарннрно опертой оболочки с прямоугольным поперечным сечением предполагается возможность свести задачу к одномерной путем разделения переменных и асимптотическим методом получено приближенное значение параметра критической нагрузки. Рассматриваемая в главе 3 задача устойчивости оболочки с прямоугольным поперечным сечением и двумя свободными краями является существенно двумерной. Для нее также разработан алгоритм определения приближенного значения параметра критической нагрузки с использованием асимптотического метода. Четвертая глава посвящена системам двух (уголок) и трех (тавр) и пяти (двутавр) сопряженных прямоугольных пластин под действием продольной равномерной сжимающей нагрузки, параллельной линии сопряжения. Нагрузка приложена к противоположным шарннрно опертым поперечным сторонам пластин. На свободных от нагружения п сопряжения продольных сторонах заданы условия шарнирного опирання пли свободного края. При шарнирном опираний продольных сторон пластин задача устойчивости имеет явное решение [35], если стенки уголка пли тавра имеют равную ширину. В работе Тимошенко [30] отмечалось, что задача о сжатии уголка со стенками равной ширины сводится к задаче о сжатии пластины и поведение стенок уголка аналогично поведению отдельных пластин при соответствующих условиях. Если стенки сопряженных пластин не равной ширины пли на продольных сторонах заданы условия свободного края, то задача сводится к определению корней определителя с элементами, зависящими от искомой величины. К задаче об устойчивости уголка при соответствующих условиях на краях сводилась задача о шарннрно опертой цилиндрической оболочке с прямоугольным поперечным сечением [20]. Если длина оболочки намного больше характерного размера по- перечного сечения, то уголок и тавр можно рассматривать как балки. Тонкостенные стержни открытого профиля используются в качество механических моделей для висячих мостов корытного пли двутаврового сечения, в авиации и судостроении — для описания деформаций стрингеров и шпангоутов. Теория изгиба, кручения и устойчивости стержней открытого профиля (уголкового, таврового, двутаврового сечении) рассматривалась в работах С. П. Тимошенко и В. 3. Власова [30], А. С. Вольмира [9], в которых обращалось внимание на такую особенность стержней открытого профиля, как слабая сопротивляемость кручению.
В работах уточняется классическая теория Эйлера и исследуются явление потери устойчивости и критические состояния стержня в более общей постановке с учетом пространственных изгибно-крутпльных форм равновесия. В каждой главе приводятся результаты численных расчетов и расчетов методом конечных элементов. Помимо приближенных значений параметра критической нагрузки, метод конечных элементов позволяет получить формы потерн устойчивости соответствующих конструкций, оценить границы применимости приближенных асимптотических методов и подтвердить достоверность применяемых аналитических методов. В работе получены приближенные аналитические формулы для критической нагрузки и формы потери устойчивости, позволяющие легко проводить анализ влияния параметров задачи на критическую нагрузку. Результаты могут служить для контроля результатов полученных численными методами, например при использовании метода конечных элементов. Основные результаты, выносимые на защиту; — Для оболочки с квадратным поперечным сечением получены и исследованы точные решения задачи устойчивости. Определена критическая сжимающая нагрузка для ряда конкретных параметров оболочки при различных граничных условиях. — Найдено точное решение задачи устойчивости для шарннрпо опсртоіі оболочки с прямоугольным поперечным сечением. Асимптотическим методом получены приближенные формулы для парамет- ров критической нагрузки оболочки с прямоугольным поперечным сечением, близким к квадратному, при различных граничных условиях на торцах. Исследована зависимость критической нагрузки от формы поперечного сечения и граничных условий. — В явном виде получены уравнения для определения параметров критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек открытого профиля в виде уголка и тавра. — Методом конечных элементов проведены расчеты критических нагрузок и форм потери устойчивости для оболочек с квадратным, прямоугольным, уголковым, тавровым и двутавровым поперечными сечениями. Путем сравнения результатов расчетов методом конечных элементов с результатами аналитических вычислений дана оценка границ применимости приближенных методов.
Расчеты МКЭ
Интегралы 1\ и 1ч в (3.21) находятся численно в пакете Mat he-matica для разных значений а и с помощью выражений (3.24) и (3.22), отвечающих антисимметричной форме потери устойчивости, или аналогичных выражений для симметричного случая. Считаем 1/ = 0.3. Результаты вычислений приближенного значения Л, полученного из выражения (3.25), приведены в таблице 3.1. Каждая строка подразделяется на две, где в первой записаны значения Л для антисимметричной формы потери устойчивости, а во второй — для симметричной. Видно, что при малом є значения параметра Л для симметричной и антисимметричной форм при увеличении длины оболочки а сближаются. При расчетах .методом конечных элементов рассматривается оболочка длиной а, с шириной одной стенки — 1, шириной второй стенки — 14-е, где є меняется от 0 до 0.3 с шагом 0.1, толщиной h = 0.01. Материал считаем упругим, изотропным, и — 0.3. Оболочка с прямоугольным сечением и свободными щмялш В силу симметрии по длине и ширине можно моделировать 1/8 целой оболочки, область изменения которой П.і {[ l/2t0]U[0, (1 + є)/2])х[0,а/2]. Результаты вычислений приведены в таблице 3.2, которая подразделяется таким же способом, как и предыдущая таблица 3.1. Здесь Л/ и N — число элементов в направлении осей хну для 1/4 каждой стенки. При сравнении результатов асимптотического метода (табл. 3.1) и расчетов методом конечных элементов (табл. 3.2) видно, что относительная погрешность параметра нагрузки уменьшается при увеличении длины оболочки и уменьшении параметра сечения е. При увеличении є до 0.3 погрешность между результатами асимптотического метода и результатами расчета МКЭ увеличивается до 7%. На рисунке 3.2 можно видеть разницу между величиной приближенного значения параметра Л и значения, вычисленного методом конечных элементов, на примере оболочки длиной а — 8.0. Если считать допустимой относительную погрешность 7%, то применение асимптотического метода возможно при є 0.4, этот диапазон шире, чем для оболочки с шаршірно опертыми краями. Форма потери устойчивости 1/8 (в силу симметрии) оболочки длиной а = 6 при є = 0.2 приведена на рисунке 3.3. Форма потери устойчивости для оболочки длиной а = 8, смоде- Рассматривается устойчивость двух (оболочка с поперечным сечением в виде уголка), трех (оболочка с поперечным сечением в виде тавра) н пяти (оболочка с поперечным сечением в виде двутавра) тонких сопряженных прямоугольных пластин под действием продольной равномерной сжимающей нагрузки, параллельной линии сопряжения.
Нагрузка приложена к противоположным шарннрно опертым поперечным сторонам пластин. На свободных от нагруже-пия и сопряжения продольных сторонах заданы условия шарнирного опирання или свободного края. В случае шарннрно опертых продольных сторон пластин задача устойчивости имеет явное решение, если стенки уголка или тавра имеют равную ширину. Если стенки сопряженных пластин не рав-ЕЮЙ ширины или на продольных сторонах заданы условия свободного края, то задача сводится к определению корней определителя с элементами, зшшеяппшн от искомой величины. В этой главе получены в явном виде уравнения для определения параметров критической нагрузки граничных задач устойчивости уголка и тавра. Проведены численные расчеты для ряда конкретных значений параметров оболочек. Выполнено сравнение результатов аналитических решении и результатов метода конечных элементов. Для двутавровой оболочки приведены расчеты методом конечных Устойчивость прямоугольных сопряженных пластин элементов. Рассмотрим уголок — упругую оболочку, состоящую из двух прямоугольных сопряженных пластин (рис. 4.1), под действием однородной распределенной нагрузки Т — ha, где h — толщина оболочки, а — напряжение. Одна пластина имеет длпну а и ширину Ь, другая — длпну а и ширину с. Для того чтобы системы (4.14) и (4.15) имели решение, их определители должны быть раины нулю. Равенство нулю определителей дает нам уравнения для нахождения параметра нагрузки А. Корин определителей систем (4.14) и (4.15) находятся численно с помощью пакета Mathematica в зависимости от того, каковы параметры а — длина и т — число полуволн из выражения (4.G). Положим Ь — 1, с — Ь-\- є = 1 + є, z/ = 0.3, где є меняется от 0.0 до 0.5 с шагом 0.2. Результаты вычислений представлены в таблице 4.1. Каждая строка подразделяется на две, где в первую строку занесены значения параметра А для случая шарнирного опирання боковых сторон (А ), во вторую — для случая свободных боковых сторон (Xsv). Ранее было показано [35], что для шарнпрно опертых сопряженных пластин одинаковой ширины (Ь — с = 1) наименьшее значение параметра Xs}t достигается при т = а. При є ф 0 это соотношение может нарушаться. В таблице 4.1 в скобках указано число полуволн т, если наименьшее значение А,,д достигается при т ф а. Видно, что при увеличении параметра сечения є число полуволн т первой формы потерн устойчивости может уменьшаться.
Для уголка со свободными продольными сторонами наименьшее значение параметра ASL, достигается при т 1 (одна полуволна) при любых рассматриваемых є. Устойчивость прямоугольных сопряженных пластин 5G Для расчета задачи методом конечных элементов моделируется геометрия оболочки: длина оболочки — а, ширина одной пластины — 1.0, ширина второй пластины — 1 + є, где є меняется от 0.0 до 0.5 с шагом 0.2, толщина оболочки h = 0.01. Материал оболочки полагается упругим и изотропным, v — 0.3. Результаты вычислении значений параметров критической нагрузки \sit и Xsv методом конечных элементов приведены в таблице 4.2, где М н N — числа элементов в направлениях х и у для каждой пластины. Сравнивая результаты, приведенные в таблицах 4.1 и 4.2, можно видеть, что разница значений параметров А, найденных численно и методом конечных элементов, мала, не более 0.2%. Для случая свободных сторон значения А практически совпадают, до третьего знака после запятой включительно. Форма прогиба шарнирно опертого уголка длиной а = 8.0 (т = 8.0) и є = 0.0 представлена на рисунке 4.3. На рисунке 4.4 по форме потерн устойчивости шарнирно опертого уголка длиной а — 8.0 не- 0.4 можно видеть, что число полуволи т = 6.0 а. Форма прогиба уголка со свободными сторонами длиной а = 4.0 приведена на рисунке 4.5 на примере случая є = 0.4. Для шарнирно опертого уголка (как и для пластины) форма поте- Рассмотрим тавр — упругую оболочку, состоящую из трех прямоугольных сопряженных пластин (рис. 4.6), под действием однородной распределенной нагрузки Т = ha, где h — толщина оболочки, а — напряжение. Первая и третья пластины имеют длину а и ширину Ь, вторая — длину а и ширину с. Аналогично задаче об уголке, для случая Ь — с решение /(ж) уравнения (4.22) не зависит от & и задача сводится к задаче устойчивости пластины [35]. При шарнирном опираний продольных сторон решение также имеет вид (4.11), а параметр нагрузки можно вычислить по формуле (4.12). Обідне аналитические решения уравнения (4.22) для трех сопряженных пластин {к — 1, 2, 3) имеют вид Устойчивость прямоугольных сопряжен} ІЬІХ пластин G1 где 7і, 72 указаны выше (см. (4.13)). Выражения (4.24), подставленные в граничные условия (4.18) (пли (4.19)) и (4.23), дают систему уравнений относительно Q и А. Корин А определителя полученной системы находятся численно с помощью пакета Мathcmatica. Результат вычислений зависит от выбора граничных условий на сторонах х — Ь, х = —Ь, х = с и значений параметров а и т. Рассмотрим случай, когда Ь — 1,с — Ь + є = 1 -f є, ъ = 0.3, где є меняется от 0.0 до 0.5 с шагом 0.2. Результаты вычислений заисссЕїьі в таблицу 4.3. Каждая строка подразделяется на две, где в первой — значения параметра А для случая шарнирного опирання боковых сторон (А5л), во второй строке — для случая свободных боковых сторон (А5Щ).
Устойчивость трех прямоугольных сопряженных пластин (тавр)
Форма потери устойчивости шарнирно опертого тавра покрывает всю поверхность оболочки, у тавра со свободными продольными сторонами эти продольные стороны выпучиваются, линия сопряжения остается прямой. При сравнении аналитических вычислений и расчетов методом конечных элементов наблюдается хорошее совпадение результатов с разницей порядка 0.2%. Из таблиц видно, что эта разница уменьшается при увеличении длины а. Для шарнирно опертого тавра с параметрами а = 4.0, є = 0.0 значение Л = 3.994 при количестве конечных элементов для каждой пластины 20 х 80 и Л = 3.998 при количестве элементов 40 х 160. Т.е. при увеличении количества элементов также происходит сближение результатов. Метод конечных элементов, в отличие от аналитического метода, позволяет получить решение при произвольных граничных условиях на продольных сторонах пластин. Представляет интерес задача устойчивости цилиндрической оболочки с двутавровым поперечным сечением, представляющая собой систему пяти сопряженных пластин, каждая длиной а и шириной Ъ = 1. Значения параметра критической нагрузки двутавра для различных длин а, полученные методом конечных элементов, представлены в таблице 4.5. При моделировании методом конечных элементов рассматривалась оболочка длиной а, шириной всех пяти пластин -- 1.0, толщиной h = 0.01. Материал считаем упругим, изотропным, v = 0.3. На торцах задавались условия шарнирного опирання. В первой строке приведены значения параметра критической нагрузки для двутавра с шарнирно опертыми продольными сторонами (Ag/j), во второй — для двутавра со свободными продольными сторонами (Xsv). Здесь М и N - - количества элементов в направлениях х и у для каждой пластины. Форма прогиба шарнирно опертого двутавра длиной а = 4.0 представлена на рисунке 4.11. Форма прогиба двутавра длиной а = 4.0 при условии свободных продольных сторон представлена на рисунке 4.12. Форма потери устойчивости шарнирно опертого двутавра покрывает всю поверхность оболочки, у двутавра со свободными продольными сторонами форма представляет собой одну волну вдоль продольной стороны.
Можно отметить, что при ширинах пластин Ъ С а, с С а уголок и тавр можно рассматривать как балки. Устойчивость стержней открытого профиля с поперечными сечениями в виде уголка и тавра рассматривалась в работах [7, 9, 29, 30]. Теория пространственной устойчивости стержня открытого профиля при центральном сжатии [7] характеризуется тем, что в критическом состоянии наряду с изгибной Эйлеровской формой становится возможной пространственная изгибно-крутильная форма, которая может давать меньшее значение критической нагрузки, чем теория Эйлера. В работе [9] указано, что стержню двутаврового сечения соответствует изгибно-крутильная форма при ширине полок Ъ одного порядка с длиной Основные результаты, выносимые на защиту: В данной работе исследуется устойчивость тонких упругих прямоугольных сопряженных пластин. — Для оболочки с квадратным поперечным сечением получены п исследованы точные решения задачи устойчивости. Определена критическая сжимающая нагрузка для ряда конкретных параметров оболочки при различных граничных условиях. — Найдено точное решение задачи устойчивости для шарнирно опертой оболочки с прямоугольным поперечным сечением. Асимптотическим методом получены приближенные формулы для параметров критической нагрузки оболочки с прямоугольным поперечным сечением, близким к квадратному, при различных граничных условиях на торцах. Исследована зависимость критической нагрузки от формы поперечного сечения и граничных условий. — В явном виде получены уравнения для определения параметров критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек открытого профиля и виде уголка и тавра. — Методом конечных элементов проведены расчеты критических нагрузок и форм потери устойчивости для оболочек с квадратным, прямоугольным, уголковым, тавровым и двутавровым поперечными сечениями. Путем сравнения результатов расчетов методом конечных элементов с результатами аналитических вычислении дана оценка границ применимости приближенных методов.
Похожие диссертации на Устойчивость тонких прямоугольных сопряженных пластин
