Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Условие адамара и поведение упругого материала 10
1.1. Удельная энергия деформации І0
1.1.1. Объективность удельной энергии .. ю
1.1.2. Формы упругости II
1.1.3. Изотропный материал 16
1.1.4. Формы упругости в стационарной точке 22
1.1.5. Несжимаемый материал 24
1.2. Условие Лекандра-Адамара 26
1.2.1. Формулировка условия 26
1.2.2. УЛА в стационарной точке 28
1.2.3. УЛА для несжимаемого материала ... 29
1.2.4. Поливыпуклость 31
1.2.5. Физико-геометрическое истолкование УЛА 34
1.2.6. Материальная инверсия 36
1.3. Физический смысл УЛА 38
1.3.1. УЛА и распространение волн 38
1.3.2. УЛА и устойчивость положений равновесия ц.j
1.3.3. О нарушении УЛА 46
1.3.4. Значение УЛА для теории упругости 54
1.4. УЛА и связи 55
1.4.1. Понятие связи 55
1.4.2. Формулировка УЛА* 56
1.4.3. Односторонние связи 58
1.4-.4. Двусторонние связи 64-
І.4-.5. Возможные обобщения 66
Глава П. Условие лежавдра-адамара для изотропного материала 67
2.1. Проверка УЛА для изотропного материала 67
2.1.1. Алгебраическая задача. Условия 68
2.1.2. Соотношение условий Р и ($ ... 73
2.1.3. УЛА для изотропного несжимаемого материала 75
2.1 Л. Частичная неотрицательная определенность 78
2.1.5. Изотропная поливыпуклость 83
2.2. Смысл УЛА для изотропного материала 87
2.2.1. Смысл условия Р. 88
2.2.2. Смысл условия 89
2.2.3. Несколько лемм .... 91
2.2.4. Доказательство теоремы 97
2.2.5. УЛА и минимум удельной энергии 99
2.2.6. Материальная инверсия
2.3. Примеры 104-
2.3.1. Изотропно поливыпуклые энергии 104-
2.3.2. Полулинейный материал 107
2.3.3. Физически линейный материал 109
2.3.4. Обобщенный материал Муни ИЗ
Заключение 118
Литература
- Формы упругости в стационарной точке
- Физико-геометрическое истолкование УЛА
- Алгебраическая задача. Условия
- УЛА и минимум удельной энергии
Введение к работе
При решении конкретных задач теории упругости правдоподобных результатов можно ожидать только в том случае, когда на удельную энергию деформации наложены некоторые дополнительные, отвечающие интуитивным представлениям о поведении материала ограничения (Ч, 15, 23]. В то время, как в классической линейной теории общепринятым и, по существу, единственным таким ограничением является требование положительной определенности задающей удельную энергию квадратичной формы [із], в нелинейной теории ситуация значительно сложнее. Наличие в натуральном состоянии минимума удельной энергии не гарантирует при рассмотрении больших деформаций даже существования устойчивых решений краевых задач [зо]. Среди большого количества различных дополнителыаых условий, которые, по мнению выдвинувших их авторов, должны учитываться при выборе закона состояния упругого материала, как наиболее существенное может быть выделено так называемое условие Лежандра-Адамара (сокращенно УЛА).
Введенное в 1902 году Адамаром [зб] при изучении многомерных задач вариационного исчисления указанное условие, начиная с 50-х годов, рассматривалось в контексте нелинейной теории упругости. Было показано, что выполнение УЛА, практически совпадающего с условием гиперболичности системы дифференциальных уравнений движения, эквивалентно действительности скоростей распространения волн малой амплитуды в упругой среде (_34-, 56J, была установлена его роль как необходимого условия устойчивости любой равновесной упругой деформации [57]. Специализация УЛА для изотропного материала дана в [5б], связь с теоремами существо - з вания нелинейной теории упругости обсуждалась в [80], ряд частных результатов получен в [14-, 29, 4-0, 48-5]. Среди отечественных авторов, внесших существенный вклад в выяснение значения УЛА для нелинейной теории упругости, следует назвать С.К.Годунова, А.И.Лурье, Е.И.Роменского, среди зарубежных - Р.Ривлина, К.Трусделла, Д.Эринсена. Однако в существующих исследованиях данной тематики имеется ряд пробелов. Так, например, применение известной методики проверки УЛА для изотропного материала [4-9] значительно осложнено необходимостью исследования ряда неравенств, зависящих от вспомогательных параметров; недостаточно изучено значение этого условия при рассмотрении упругих материалов с наложенными связями; не исследованы некоторые важные конкретные материалы.
Цель данной работы заключается в том, чтобы восполнить как указанные, так и некоторые другие имеющиеся в литературе пробе- лы, а также дать связное изложение ряда уже известных основных результатов, касающихся применения УЛА в нелинейной теории упругости.
Дадим обзор содержания работы, состоящей из настоящего введения, двух глав и заключения, в котором приведена сводка полученных результатов.
В главе I после предварительного рассмотрения необходимых понятий и соотношений нелинейной теории упругости сформулировано УЛА и изучено, каким образом его выполнение или нарушение) отражается на поведении упругого материала.
В § І.І в удобном для дальнейшего изложения виде приведены некоторые, по существу, известные соотношения для производных удельной энергии деформации [l5, 57]. Введены разновидности форм напряжений (связанных с первыми производными энергии) и форм упругости (связанных со вторыми производными), применение которых вместо соответствующих разновидностей тензоров напряжений и тензоров упругости придает используемым формулам большую наглядность и компактность. Формы Пиола (названные так из-за их связи с тензором напряжений Пиола) определяются наиболее просто с математической точки зрения; формы Коши (связанные с тензором напряжений Коши) естественно появляются (например, при исследовании линеаризованных уравнений движения), когда для описания деформации в качестве независимых используются координаты точек тела в деформированном состоянии; экспоненциальные формы удобно применять при работе с несжимаемым материалом. Изучены свойства введенных форм, вытекающие из объективности энергии, для изотропного материала получены их представления через производные задающей энергию функции главных растяжений, рассмотрено поведение этих форм в стационарной точке.
В § 1.2 сформулировано УЛА и рассмотрены некоторые связанные с ним общие свойства удельной энергии деформации. Поскольку значение УЛА для теории упругости установлено лишь в § 1.3, изложение носит формальный, предварительный характер. Показано, что наличие в данной точке минимума удельной энергии влечет за собой выполнение в этой точке УЛА, но не наоборот [із], дана формулировка УЛА, применимая для несжимаемого материала. Исследовано важное свойство поливыпуклости, также первоначально введенное Адамаром [37] и играющее большую роль при доказательстве теорем существования краевых задач нелинейной теории [30J. Доказано, что поливыпуклая энергия всюду удовлетворяет УЛА, сделана попытка дать физическую интерпретацию условия поливы - 5 пуклости. Приведено простое физико-геометрическое истолкование УЛА (.по существу, еще одна формулировка этого условия). Доказано, что для несжимаемого материала УЛА имеет место тогда и только тогда, когда дополнительное наложение произвольного простого сдвига требует большей удельной работы, чем первоначальное.
Заметим, что используемое название изучаемого условия не является общепринятым. УЛА известно также как условие Адшара [l5, 23J , ИЛИ условие устойчивости материала 49, 5IJ; удовлетворяющие ему энергии называют квазивыпуклыми [45J или слабо квазивыпуклыми [4-6J; говорят не об удовлетворении строгого УЛА (заключающегося в строгом выполнении соответствующего неравенства), а о гиперболичности уравнений движения или сильной эллиптичности уравнений равновесия теории упругости jf, 15, 23J.
В § 1.3 выяснен физический смысл УЛА. Показано, что его выполнение эквивалентно действительности скоростей распространения плоских волн малой амплитуды в упругой среде [l5j. Со сходных позиций УЛА (как условие гиперболичности или корректности уравнений движения) изучалось в работах С.К.Годунова и Е.И.Ро-менского [і, 5, 19, 20J. Рассмотрена роль УЛА как необходимого условия устойчивости любой равновесной упругой деформации [15, 57J, выделен класс простейших краевых задач, для которых УЛА является не только необходимым, но и близким к достаточному условием устойчивости. На конкретном примере задачи о радиальном сжатии цилиндра из полулинейного материала показаны последствия, к которым приводит нарушение исследуемого условия. Неприемлемость этих последствий, а также естественность ограничений, налагаемых УЛА на поведение упругого материала, позволяют рассматривать требование выполнения этого условия как постулат теории упругости [4, 30J. Аргументы противников этой точки зрения (не отрицающих, впрочем, большого значения УЛА для теории упругости) следует признать необоснованными (их разбор и критика даны Д.Бо-ллом [зо]). Так, например, Трусделл и Нолл [573 предлагают использовать нарушение УЛА для объяснения таких типов потери устойчивости, которые, как показано в [зо], имеют место и при его соблюдении. Невыполнение УЛА следует скорее связывать с потерей материалом упругих свойств. Однако попытка К.Ноулза и Э.Стернберга [22, 4IJ использовать нарушение УЛА (точнее потерю эллиптичности уравнениями равновесия) при исследовании деформаций с разрывными градиентами, представляется неудачной, поскольку указанные авторы не учитывают всех возникающих в подобной ситуации факторов, в частности, возможное "изменение микроструктуры" деформируемого тела (см.п.1.3.3.).
В § 1.4 УЛА применяется к исследованию упругих материалов со связями. Для связей общего вида введено "условие Лежандра-Адамара со звездочкой" (сокращенно УЛА,J и приведены доводы, показывающие, что ему должна удовлетворять всякая связь, наложенная на простой упругий материал (коль скоро требование выполнения самого УЛА рассматривается как постулат теории упругости). Для односторонних связей сформулировано аналогичное УЛА дифференциальное условие, более слабое, но легче поддающееся проверке, чем УЛА. Доказано, что единственной двусторонней связью, удовлетворяющей УЛА, является изохорическая связь, соответствующая несжимаемому материалу. Значение полученного результата обусловлено, в частности, его локальным характером, поскольку в нелинейной теории упругости часто интересуются хотя и конечными, но "не слишком большими" деформациями. Заметим, что исключительность изохорической связи от - 7 мечалась Д.Боллом [30J на том основании, что только для нее работают предложенные им методы доказательства теорем существования решения краевых задач нелинейной теории.
Глава 2 посвящена исследованию УЛА для изотропного материала.
В § 2.1 рассмотрена процедура проверки этого условия. Поставлена и изучена соответствующая алгебраическая задача, заключающаяся в нахождении ограничений на коэффициенты некоторой специальной формы четвертого порядка от шести переменных, необходимых и достаточных для ее неотрицательности. В общем случае (для анизотропного материала) подобная задача очень сложна и, по всей видимости, не поддается исследованию аналитическими методами; для изотропного материала структура указанной формы оказывается достаточно простой. Введены условия г и Q , совместное выполнение которых эквивалентно выполнению УЛА. Условие Р элементарно (при его формулировке не используются вспомогательные параметры), проверка условия СЗ сведена к проверке частичной неотрицательной определенности четырех квадратичных форм от трех переменных, то есть неотрицательности этих форм при неотрицательных значениях аргументов. Получен критерий частичной неотрицательной определенности квадратичной формы, аналогичный классическому критерию, применяемому при исследовании обычной неотрицательной определенности. Проверка УЛА сведена, таким образом, к проверке конечного числа элементарных неравенств. Для несжимаемого материала подобная система неравенств принимает довольно простой вид и выписана явно. Зшдегшл, что получение такой системы являлось целью работ К.Сайерса и Р.Ривлина J4-8 - 54], однако указанным авторам не удалось исключить все вспомогатель - 8 ные параметры, используемые при формулировке УЛА. Сведение УМ для изотропного материала к конечной системе элементарных неравенств осуществлено автором диссертации и А.И.Лурье [io] (1980 год), а затем (только для несжимаемого материала) Л.Зи и Э.Стернбергом [59] (1983 год). В заключение параграфа введено понятие изотропной поливыпуклости и доказано, что изотропно по-ливыпуклая энергия всюду удовлетворяет УЛА. Многие конкретные энергии очевидным образом являются изотропно поливыпуклыми (см. п.2.3.1), и УЛА для них, таким образом, автоматически выполнено. Заметим, что дополнительные ограничения на изотропно поливыпуклую энергию, достаточные для ее поливыпуклости (в смысле п. 1.2.4), рассматривались Д.Боллом [зо].
В § 2.2 выяснено, каким образом выполнение УЛА отражается на поведении удельной энергии как функции главных растяжений. Записанное для изотропного материала в виде довольно громоздкого и формального неравенства УЛА согласно результатам п.2.1.1 распадается на два независимых условия г и GJ . Элементарное условие Р практически совпадает с известным условием Бейкера-Эриксена и имеет простой смысл [l5, 23J. Для истолкования условия (х введено понятие специальной кривой и доказано, что выполнение этого условия эквивалентно выпуклости удельной энергии вдоль каждой такой кривой. Приведена также физическая формулировка полученного результата: специальной кривой сопоставляется некоторое однопарамегрическое семейство деформаций, а выпуклость энергии трактуется как возрастание виртуальной мощности в процессе деформирования. Специальные кривые лежат в трехмерном "пространстве главных растяжений", через каждую типичную точку этого пространства (в которой все три растяжения попарно раз - э личны) в каждом указанном направлении можно провести в точности одну специальную нривую. Таким образом, введенные кривые можно сравнить с прямыми обычного трехмерного пространства, а данное истолкование условия W с обычной интерпретацией выпуклости функции трех переменных: функция выпукла, если ее сужение на произвольную прямую есть выпуклая функция одного переменного. Б заключение пераграфа, доказано, что удовлетворяющая УЛА энергия изотропного несжимаемого материала имеет в натуральном состоянии абсолютный минимум (на самом деле, установлен даже несколько более общий результат).
В § 2.3 исследованы некоторые конкретные изотропные материалы. Приведены примеры энергий, всюду удовлетворяющих УЛА. Для полулинейного материала, предложенного Ф.Джоном [зэ], выписаны простые неравенства, к которым сводится в этом случае УЛА. Для физически линейного материала [з], изучавшегося Ф.Мурнага-ном [4-?] (по существу, также А.Синьорини [55] ), ситуация зна-чительно сложнее и получены лишь некоторые частичные результаты. Рассмотрен несжимаемый материал, являющийся обобщением матерналов, предложенных М.Муни [44], Г.М.Бартеневым и Т.Н.Хазановичем [2], К.Ф.Черных и И.М.Шубиной [24, 25]. Применение предложенной в § 2.1 методики позволяет получить для этого материала очень простой критерий выполнения УЛА.
Работа изложена на 128 страницах машинописного текста, список литературы включает 59 наименований.
Формы упругости в стационарной точке
Если материал несжимаем, то величина Є ( I / имеет смысл, только если afci 1=4. LI5J . В этом случае для изу чения производных о и связанных с ними физических объек тов естественно воспользоваться определенными согласно (I.I.5) экспоненциальными формами упругости т К 4. , считая, что тензор А подчинен требованию Посколь следует ку из del Г= 1} ЬсА = О формы корректно определены. Имеют место являющиеся следствием объективности соотношения СІЛ. 12) и (1,1.13). Тензор напряжений Коши Т задан теперь выполняющимся для всех А } "Ьс А = 0 равенством только с точностью до слагаемого вида pi. Если материал несжимаем и изотропен, то функция смысл только если и±1ЛхМг так что производные к } 1 , вообще говоря, не определены. Чтобы иметь возможность пользоваться представления - 25 ми для вычислим эти производные, фиксируя какое-либо продолжение о до гладкой, симметричной функции заданной при всех U± ,
Выбор продолжения не имеет значения, поскольку при его изменении определенный согласно (I.I.26) тензор Г меняется лишь на величину вида р I , а в правых частях: (I.I.25) и (I.I.29) появляются лишь слагаемые вида CL &с А
Что касается поведения энергии деформации несжимаемого материала в стационарной точке I = I , в которой (А)- 0 . "ік, f\ - О то проверка неотрицательной определенности формы фе( Т} А) ; "ttx А = 0 сводится к проверке неотрицательной определенности квадратичной формы от пяти переменных (аргумент - симметричный тензор с нулевым следом). Если материал несжимаем и изотропен, то имеет место формула аналогичная (I.I.32). 4 e(A) = (p-q ) $=(A+A ), (Іл 37) (производные вычислены при Цj. = Ця = Uj = і. J , Поэтому неотрицательная определенность эквивалентна выполнению неравенства р - q н- ч 0 . (I.I.38) - 26 Поскольку то, как и следовало ожидать, величина р - С ї за.висит лишь от значений о на поверхности Условие Лежандра-Адамара В настоящем параграфе введено основное условие Лежандра-Адамара, рассмотрены некоторые связанные с ним общие свойства удельной энергии деформации, дано его простое физико-геометрическое истолкование. Изложение носит, в основном, формальный характер, значение условия Лежандра-Адамара для нелинейной теории упругости выяснено в 1.8.
Пусть - тензор напряжений Коши, форма упругости Коши и экспоненциальная форма упругости, вычисленные в точке Г согласно (I.I.9.), (I.I.IOj, (I.I.II). Следующие требования эквивалентны: 1) в точке Г выполнено УЛА; 2) ф(а 8 6) 0 для всех а , ё ; з) Фе(аё а;ё Та., & для всех а , в. Действительно, равносильность I) и 2) следует из равенства и обратимости тензора I , для которого а эквивалентность 2) и 3) вытекает из (I.I.I4-) и равенства Форма четвертого порядка г ( #$ о J квадратичная по (X и по о записывается в виде Ffae«J= XlFiia, . (I.2.8)
Даже с учетом соотношений между r g , являющихся следствием объективности , представляется маловероятным существование в общем случае конечного числа выписываемых в явном виде ограничений на коэффициенты F , необходимых и достаточных для неотрицательности F(&o) Для то есть для выполнения УЛА. Однако, если материал изотропен, структура формы оказывается достаточно простой, подобные ограничения существуют и будут получены в
Физико-геометрическое истолкование УЛА
Введем так называемый акустический тензор [і5, 23] - зависящий не только от Г , но и от IV симметричный тензор (2 } для которого для всех 6 R . Здесь Ф - форма упругости Коши, вычисленная для Г согласно (I.I.I0). Амплитуда & и скорость С определяются из уравнения где Р О - плотность рассматриваемого тела t acca на единицу объема в деформированном состоянии). Чтобы убедиться в справедливости (1.3.3), воспользуемся принципом Гамильтона-Ост-роградского [з], рассматривая координаты точек тела в деформированном состоянии как независимые, йнтегранд (подинтегральное выражение) функционала действия для малых W имеет вид
Из (1.3.3) находятся три (с точностью до знака), вообще говоря, различных значения скорости: Ск = (у )Z К = 1,1,3 j (1.8.6) где А к - собственные значения L( . Таким образом, действительность скоростей С A , Cz $ С3 эквивалентна неотрицательности собственных значений К ., f\Zj A g акустического тензора ( что, в свою очередь, эквивалентно неотрицательной определенности этого тензора. Вместе с тем, из (1.3.2) следует, что о неотрицательно определен для всех N тогда и только тогда, когда в точке I выполнено УХА.
Видим, что действительность скоростей распространения плоских волн малой амплитуды в упругом теле, подверженном начальной аффинной деформации, эквивалентна выполнению для І УЛА.
Аналогичная ситуация имеет место и для несжимаемого мате риала. Акустический тензор ( (симметричный) однозначно оп ределяется равенством (Q N - 0 и справедливым для - 41 всех ортогональных N соотношением Qbi = te(N«J), где т - экспоненциальная форма упругости, вычисленная для фе согласно (І.І.II).
Из (1,3.3) находятся два (с точностью до знака), вообще говоря, различных ненулевых значения скорости С С . УЛА по-прежнему оказывается эквивалентным действительности этих значений для всех направлений распространения волны.
Заметим, что с математической точки зрения действительность и неравенство нулю скоростей (1.3.6) для всех N эквивалентны гиперболичности системы дифференциальных уравнений движения, которая, таким образом, сводится к выполнению "строгого" УЛА, то-есть к строгому (знак вместо ) выполнению неравенства (1.2.2), для всех ХфО} о Ф 0 . Только для гиперболических уравнений корректно поставлена задача Коши: малое изменение начальных данных приводит к малому изменению решения [Ч]. УЛА и устойчивость положений равновесия
Известно, что УЛА является необходимым условием устойчивости решения любой (во всяком случае консервативной) статической краевой задачи теории упругости JJ5, 58J. Более точно, из устойчивости равновесной деформации у , определенной в области I/ С R , следует выполнение УЛА для всех Г таких, что для некоторой точки Х6 XJ. Рас гесуддгетга. :/". \ смотрим класс простейших краевых задач, для которых УЛА является не только необходимым, но и близким к достаточному условием устойчивости.
Пусть однородное упругое тело, занимающее в недеформиро ванном состоянии ограниченную область l/c R с грани цей Ъ I/ , подвержено аффинной деформации Предположим, что деформированное таким образом тело закреплено по всей границе, и рассмотрим вопрос об устойчивости равновесной деформации Jf , Пусть X = о (ЭС) - однопараметрическое семейство деформаций \J такое, что Обозначим Ь полную энергию ft Е+ = Из равновесности следует Далее, полагая получим, очевидно, где г - форма упругости Пиола, вычисленная в точке I согласно (I.I.8). Требование неотрицательности интегральной квадратичной формы K(W/ для всех W , обращающихся в ноль на X) , является необходимым условием устойчивости X {j l1 Для данного W = W(x) какого, что W(X) = 0 если, определим непрерывную, кусочно-дифференцируемую вектор-функцию 2f = (:х) , полагая (Здесь R V обозначает дополнение
Действительно, если Гке "компоненты формы г , ь -вектор-функция комплексно сопряженная к , то и имеет место (.1.3.8). Из полученного представления К ( Wj легко следует, что неотрицательная определенность этой интегральной квадратичной формы эквивалентна выполнению в точке УЛА.
Таким образом, УЛА является необходимым условием устойчивости решения рассмотренной простейшей краевой задачи нелинейной теории упругости. Достаточным для устойчивости у оказывается выполнение "строгого" УЛА (см.п.I.3.1; или, что тоже самое, сильная эллиптичность уравнений равновесия l2, 15].
Истолкование УЛА вполне аналогичное рассмотренному монет быть дано и для несжимаемого материала. В качестве независимых координат используемых, в частности, при нахождении градиента в (1.3.9) и дивергенции в (1.3.10) взяты координаты точек тела в деформированном состоянии. Векторному полю W соответствует вариация у вида =Р , где г - поток поля W L J сли пРДЛїїИТЬ W до векторного поля Г » определенного для всех X R и перейти к преобразованию Фурье = + і У , то из (1.3.9), (1.3.10) получим Неотрицательная определенность IN ( WJ , таким образом, снова эквивалентна выполнению в точке Г УЛА.
Для доказательства необходимости выполнения УЛА для устойчивости более общих равновесных деформаций стоит лишь рассмотреть их вариации, исчезающие вне малой окрестности какой-либо фиксированной точки. Из наличия минимума полной энергии следует неотрицательность интеграла вида (1.3.7) (коэффициенты подинте-гральной квадратичной формы, благодаря малости "носителя" вариации, практически постоянны), и УЛА удовлетворено. [15]. В частности, УЛА имеет место, если устойчива аффинная деформация, являющаяся решением любой другой, отличной от рассмотренной выше консервативной краевой задачи с другими граничными условиями, то есть, практически, если данная аффинная деформация вообще осуществима.
Алгебраическая задача. Условия
Согласно доказанной теореме, во всех граничных точках всякой односторонней связи, наложенной на упругий материал, вместе с УЛА должно выполняться и легче поддающееся проверке УЛА. Если УЛА нарушено для какой-либо гипотетической односторонней связи, то ее следует считать нереальной (не допускающей корректного рассмотрения в рамках теории упругости простых материалов). Таковой следует признать, например, связь, заданную для фиксированного единичного вектора в неравенством І ІЄI d. и соответствующую "материалу не сжимаемому в данном направлении". То, что УЛА не имеет места ни в одной граничной точке этой связи, видно из формул, полученных выше для "противоположной" связи, определенной неравенством
Замечание. Теорема остается справедливой при замене единичного тензора I на любой другой тензор (уравнение связи принимает тогда вид a.e"t Г= іет Го ) . Если сО - аналитическая поверхность или если УЛА выполнено во всех точках 3J , ТО, согласно сформулированной теореме, рассматриваемая связь полностью определяется уравнением ав"С I = х} то есть изохорическая связь, соответствующая несжимаемому материалу.
Поскольку УЛА (по самому своему характеру) выполнено и для близких к Го=1 , то вычисленный Е такой точке для определяющей энергии тензор напряжений также с точностью до ненулевого множителя совпадает с единичным. Такшд образом, полностью определены -касательные пространства" вблизи кривая касается 3) в точке I тогда и только тогда, когда "Ьь А - 0 . Подобная ситуация действительно имеет место для проходящей через Го = I изохорической связи det 1-і. и, очевидно, только для нее [і]. 1.4.5. Возможные обобщения Сделаем два замечания по поводу возможных обобщений полученных результатов.
Можно с самого начала предполагать материал несжимаемым и рассматривать одностороннюю связь как замкнутую область О на поверхности іет Г = 1 . В этом случае нетрудно доказать аналог теоремы п.1.4.3, сформулировав УЛА как условие, имеющее место тогда, когда из
Здесь тензор напряжений Коши и экспоненциальная форма упругости, вычисленные в точке для некоторой определяющей о энергии. Можно обобщить понятие двусторонней связи, рассматривая, вместо гиперповерхностей, поверхности меньшей размерности (оп ределяемые уже не одним, а несколькими уравнениями). По всей видимости, для размерностей 7 и 6 (размерность гиперповерхности равна 8) таких связей, удовлетворяющих УЛА , вообще не сущест вует.
Настоящая глава посвящена исследованию УЛА в применении к изотропному материалу. Предложена эффективная методика проверки этого условия, выяснено, каким образом его выполнение отражается на поведении удельной энергии как функции главных растяжений, изучены некоторые конкретные материалы, в частности, полулинейный и физически линейный. Исследование опирается на полученные в I.I формулы, выражающие производные удельной энергии деформации (точнее, формы напряжений и упругости) через производные задающей энергию функции главных растяжений.
В данном параграфе рассмотрена процедура проверки УЛА. Поставлена и изучена соответствующая алгебраическая задача, заключающаяся в нахождении ограничений на коэффициенты некоторой специальной формы четвертого порядка от шести переменных, необходимых и достаточных для ее неотрицательности. Введены условия Р й G( , совместное выполнение которых эквивалентно выполнению УЛА. Отмечена элементарность условия Р , проверка условия С сведена к проверке частичной неотрицательной определенности четырех квадратичных форм от трех переменных, то есть неотрицательности этих форм при неотрицательных значениях аргументов. Получен критерий частичной неотрицательной определенности квадратичной формы, аналогичный классическому критерию, применяемому при исследовании обычной неотрицательной определен - 68 ности. Проверка УЛА сведена, таким образом, к проверке конечного числа элементарных неравенств. Для несжимаемого изотропного материала подобная система неравенств принимает довольно простой вид и выписана явно. Рассмотрено также связанное с УЛА понятие изотропной поливыпуклости.
УЛА и минимум удельной энергии
Соответствующий результат справедлив и для несжимаемого изотропного материала, причем соответствующее доказательство лишь в незначительных деталях отличается от приведенного выше. Заметим только, что представление (2.1.13) принимает вид e(Wi,W2,Mj = где выпуклая функция on. ределева для произвольных и шдеют место соотношения симметрии (2.I.I4-), (2.1.15), в которых устранена зависимость от W .
Примеры изотропно поливыпуклых энергий, в частности, соответствующих несжимаемому материалу, будут рассмотрены в п.2.3.1.
Поливыпуклая (см.п.I.2.4) изотропная энергия является, как легко проверить, изотропно поливыпуклой. Действительно, если = ( Х3 У Ъ) выпуклая функция из (1.2.9), объективная в смысле (1.2.14), то достаточно положить где (соответственно у ) - диагональный в стандартном базисе R тензор с диагональными компонентами \Ai1 z) ІА 3 (соответственно VJ.;VAJ Vi ). В связи с этим очевидным фактом, а также в связи с доказанной теоремой возникают следующие вопросы (представляющие, правда, сугубо теоретический интерес). 1) Существует ли изотропно поливыпуклая энергия, не являющаяся поливыпуклой? 2) Существует ли изотропная энергия, всюду удовлетворяющая УЛА, но не являющаяся изотропно поливыпуклой?
По всей видимости, в обоих случаях энергии с указанными свойствами существуют. Попытка построения соответствующих примеров наталкивается, однако, на значительные трудности.
В настоящем параграфе выяснен тот специфический смысл, который УЛА имеет для изотропного материала. Рассмотрен простой физический смысл условия г (согласно результатам 2.1 УЛА распадается на два независимых условия г и ( ). Для истолкования условия понятие специальной кривой и доказано, что выполнение этого условия эквивалентно выпуклости удельной энергии вдоль каждой такой кривой. Приведена физическая формулировка полученного результата. Рассмотрен также вопрос о наличии в натуральном состоянии минимума у удовлетворяющей УЛА энергии.
Рассмотрим однородное изотропное упругое тело, заполняющее в недеформированном состоянии куб
Если Wij W ; И3 то после наложения аффинной деформации Хс - ыс эс с рассматриваемое тело перейдет в однородное деформированное состояние с главными растяжениями Wi, Uz) ъ и будет занимать при этом параллелепипед К (Wi, wZ;M5J , определенный неравенствами 0 cS Ut . Заметим, что по определению К = К (l;l;lj. касательные напряжения на гранях параллелепипеда К( ,м и3 отсутствуют, нормальные напряжения могут быть вычислены по формулам
Определение. Непрерывно дифференцируемую кривую іл - и (-i)j oi назовем специальной, если функции линейны
Теорема. Условие в точке 0 выполнено тогда и только тогда, когда для любой специальной кривой, определенной на содержащем Ь 0 интервале и такой, что U (0)-UK ; l = d}Z,3 будет Сделаем два замечания по поводу сформулированной теоремы.
1) Если бы "инварианты" являлись функциями и не зависели от производных , то вы полнение (2.2.3) для всех специальных кривых, проходящих через ( ) t l) 1) сводилось бы к неотрицательной определенности матрицы вторых производных ОТ & ПО j.p &Zj 3 ч то есть и выпуклости , рассматриваемой как функция от & z } $ і . К сожалению, зависимость от производных делает такое рассуждение неправомочным.
2) Сформулированная теорема проясняет как математическую структуру, так и физический смысл условия (\ , записанного первоначально в виде довольно громоздкого и формального нера венства. Вместе с кривой рассмотрим семейство однородных деформаций I -Ь однородного изотропного упругого тела, считая, что под действием I-ь тело деформируется указанным выше образом в параллелепипед К (UsL-b)j UtU)j и3( )). Тот факт, что кривая U = Ы Н) специальна, означает, что рассматриваемое деформирование происходит в определенном смысле равномерно по то периметр, площадь боковой поверхности и объем параллелепипеда
