Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оптимальное проектирование слоистых конструкций из конечного набора материалов 23
1. Элементы теории оптимального управления 23
2. Постановка задачи оптимального проектирования слоистых конструкций 32
Глава 2. Оптимальное проектирование слоистых конструкций при волновых воздействиях 43
3. Уравнения распространения волн в изотропных упругих слоистых средах 43
4. Минимизация массы звукозащитного сферического экрана с заданным уровнем прохождения волновой энергии 49
5. Минимизация масс слоистых сферы и цилиндра при ограничении на основную частоту собственных колебаний 67
Глава 3. Минимизация массы слоистых элементов конструкций 80
6. Минимизация массы поперечно-слоистого стержня при ограничении на устойчивость 80
7. Минимизация массы анизотропной криволинейной балки 88
Глава 4. Оптимальное проектирование слоистых сферических включений при механических воздействиях 103
8. Минимизация массы слоистых сферы и цилиндра, подверженных сжатию 103
9. Минимизация массы сферической оболочки, подверженной силовому и температурному воздействиям 116
10. Минимизация массы сферического включения в матрице при трехосном растяжении на бесконечности 132
Глава 5. Оптимальное проектирование эллипсоидального включения при двуосном растяжении пространства 149
11. Постановка задачи оптимального проектирования слоистого эллипсоидального включения 149
12. Линеаризация общих соотношений, краевых условий и условий сопряжения в методе малого параметра 154
13. Необходимые условия оптимальности, вычислительный алгоритм и пример расчета 159
Заключение 180
Список литературы 182
- Минимизация массы звукозащитного сферического экрана с заданным уровнем прохождения волновой энергии
- Минимизация массы поперечно-слоистого стержня при ограничении на устойчивость
- Минимизация массы сферической оболочки, подверженной силовому и температурному воздействиям
- Линеаризация общих соотношений, краевых условий и условий сопряжения в методе малого параметра
Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы интенсивно развиваются исследования по оптимальному проектированию слоистых конструкций и покрытий различного назначения. Под слоистыми конструкциями понимаются не только механические системы, испытывающие силовые и деформационные возмущения, но также любые узлы, детали, среды, покрытия, подверженные воздействию различных физических и механических полей. Это связано как с развитием методов механики неоднородных сред, математического программирования, вариационного исчисления и оптимального управления, так и с потребностями техники в снижении материалоемкости, габаритов, стоимости и других характеристик конструкций.
Выделение задач оптимального проектирования слоистых конструкций, синтезируемых из конечного набора материалов, в отдельный класс имеет следующие причины.
Слоистые среды являются частным случаем неоднородных сред, свойства которых изменяются лишь вдоль одной координаты. Поэтому они технологичны и просты в изготовлении. Слоистые конструкции широко используются при создании звуковой и вибрационной защиты [94, 102, 136, 158, 165, 168-170], волноводов [43], согласующих переходных слоев [65, 66, 70-72], фильтров продольных или поперечных волн [73, 125], эффективных демпфирующих покрытий [40, 53, 98, 99, 155]. В механике деформируемого твердого тела с помощью многослойных сред моделируются поведения сосудов высокого давления [110, 115], слоистых и волокнистых композитов [39, 115, 137], неоднородных преград, препятствующих прониканию ударников [25-30]. В оптике [35, 60, 62, 127-129, 140] и радиофизике [118] с помощью слоистых покрытий управляют спектром электромагнитных волн. В теплофизике используются многослойные теплоизоляционные огражде-
ния [41, 104, 105, 138, 157]. Поэтому создание единого подхода к исследованию и решению задач оптимального проектирования слоистых конструкций представляет большой научный и практический интерес.
Ряд причин, позволяющих выделить в отдельный класс задачи оптимизации слоистых конструкций, синтезируемых из конечного набора материалов, связан также с общностью их математических постановок и с характерными особенностями, предъявляемыми к методам решения соответствующих задач на экстремум.
Структура слоистой среды определяется количеством, размерами и порядком расположения слоев, физико-механическими характеристиками материалов, составляющих структуру системы, а также ее общей толщиной / и массой, которые либо фиксированы, либо находятся из решения задачи. Эта структура однозначно определяется распределением некоторого характерного свойства материалов и(х) или характеристической функции а(х) вдоль координаты х Е [0, /], перпендикулярной слоям. Задача оптимального синтеза слоистой системы сводится к нахождению пары {a0pt(s),'opt}5 минимизирующей функционал Fo(a,l), являющийся критерием качества или целевым функционалом.
В качестве ограничений выступают уравнения рассматриваемого физического процесса, коэффициенты которых зависят от структуры слоистой среды, ограничения на параметры этого процесса и условия, накладываемые на множество допустимых управлений U, откуда выбирается функция а(х).
В рамках теории оптимального управления пара {<*(#),/} играет роль управления, уравнения физического процесса — роль управляемой системы, а параметры физического процесса — роль фазовых переменных. В общем случае нестационарных неодномерных процессов управляемая система описывается уравнениями в частных производных. Ее решение является функцией времени и трех координат, а задача нахождения а(х) относится к задачам оптимального управления
с распределенными параметрами. Упростить задачу можно, используя тот факт, что искомое управление а(х) зависит только от одной пространственной координаты. Как правило, это можно сделать с помощью различных интегральных преобразований, разложения решения в ряд или введения пробных функций по координатам Х2 и х$. В результате исходную задачу оптимального проектирования можно свести к задаче оптимального управления системой из обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой зависит только от координаты х, параметров преобразований и исходного управления а(х).
Другая существенная особенность рассматриваемых задач связана с конечностью набора материалов, из которых синтезируется слоистая конструкция. Такой подход с практической точки зрения вполне естественен, так как реально в распоряжении проектировщика всегда имеется определенная ограниченная номенклатура материалов. При формулировке задачи проектирования в рамках теории оптимального управления эта особенность проявляется в том, что класс управляющих функций состоит из кусочно-постоянных функций, область значений которых является конечным дискретным множеством. Такие функции не имеют малых вариаций, на которых основано большинство методов построения минимизирующей последовательности управлений. Эта особенность не позволяет решать соответствующие задачи на экстремум с помощью методов вариаций в фазовом пространстве, например, метода локальных вариаций [153], и методов математического программирования. Поэтому для вывода необходимых условий оптимальности и построения вычислительных алгоритмов используются конечные вариации управления на множестве малой меры, так называемые игольчатые вариации.
Конструирование методов последовательных приближений с использованием игольчатых вариаций управления основано на принципе максимума Понтрягина. Интерес к этим методам вызван тем, что они по-
зволяют решать задачи оптимального управления с невыпуклым множеством U. В случае оптимального проектирования конструкций из конечного набора материалов множество U является конечным точечным множеством, и поэтому также невыпукло.
Все эти причины вызывают необходимость: выделить в отдельный класс задачи оптимального проектирования слоистых конструкций из конечного набора материалов; разработать на основе принципа максимума Понтрягина методику теоретического исследования и вычислительные процедуры решения данного класса задач; на основе проведенных исследований с единых позиций сформулировать и решить ряд новых оптимизационных задач из разных разделов механики деформируемого твердого тела. Этим объясняется актуальность темы диссертации.
Цель работы. Диссертационная работа посвящена развитию на основе принципа максимума Понтрягина методов получения и исследования необходимых условий оптимальности в задачах оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, рассматриваемых в механике деформируемого твердого тела, и их численной реализации. В соответствии с этим в работе были поставлены следующие основные задачи:
на основе принципа максимума Понтрягина разработать общий метод получения и исследования необходимых условий оптимальности в задачах оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, рассматриваемых в механике деформируемого твердого тела;
на основе конечных вариаций управления на множестве малой меры для задач оптимального проектирования слоистых конструкций разработать вычислительные процедуры построения минимизирующей последовательности управлений;
в области механики деформируемого твердого тела исследовать необходимые условия оптимальности и создать расчетные методы для за-
дач минимизации массы: защитного сферического экрана с заданными пропускающими характеристиками; свободно колеблющихся сферы и цилиндра при ограничении на основную частоту собственных колебаний; слоистых элементов конструкций (стержня, двумерной криволинейной балки, сферических и эллипсоидальных включений в матрице) при различных температурных и силовых воздействиях и локальных ограничениях на их напряженно-деформированное состояние. Научная новизна. Новыми в диссертации являются:
1. Единый подход к решению для широкого класса задач опти
мального проектирования слоистых элементов конструкций, синтези
руемых из конечного набора материалов, сводящийся к исследованию
и решению задачи оптимального управления с дискретной областью
значений управляющих переменных.
2. Способ предварительного отбора материалов, которые могут вой
ти в оптимальную структуру.
Вычислительные алгоритмы построения минимизирующей последовательности управлений, основанные на конечных вариациях управления на множестве малой меры.
Новые постановки задач о минимизации массы слоистых элементов конструкций (стержней, балок, сферических и эллипсоидальных включений в матрице) при различных волновых, температурных и силовых воздействиях и локальных ограничениях на их напряженно-деформированное состояние.
Достоверность полученных в работе результатов обосновывается соответствием выбранных математических моделей изучаемым физическим процессам, корректным использованием математических методов, использованием результатов исследований другими авторами.
Практическая ценность. Предложен единообразный подход к решению задач оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, синтезируемых из конечного набора материалов. Проведен-
ный теоретический анализ позволяет составить представление о возможной структуре оптимальных слоистых сред. Предложен ряд новых вычислительных процедур для решения задач синтеза слоистых конструкций из конечного набора материалов. Для рассмотренных в работе задач составлены вычислительные программы на персональном компьютере, позволяющие находить оптимальные проекты при различных входных данных.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на VIII Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 1984), пятом национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Болгария: Варна, 1985), VI Международном симпозиуме о композиционных материалах (Чехословакия: Высоки Татры-Стара Лесна, 1986), на VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986), шестом национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Болгария: Варна, 1989), Сибирской школе по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Якутск, 1990), Международном симпозиуме "Composites: Fracture mechanics and technology" (Черноголовка, 1992), на X Международной конференции по композитным материалам (Канада: Whistler, B.C., 1995), II Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1997), на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), а также на семинарах кафедры механики деформируемого твердого тела НГУ (рук. академик Е.И.Шемякин, чл.-корр. РАН Б.Д. Аннин), семинарах лаборатории механики композитов ИГиЛ СО РАН (рук. чл.-корр. РАН Б.Д. Аннин), семинарах отдела механики деформируемого твердого тела ИГиЛ СО РАН (рук. проф. О.В. Соснин).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах [4-23, 159, 160], включая две монографии.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, изложенных на 199 страницах, включает 26 рисунков, б таблиц и список цитируемой литературы из 171 наименования.
Краткое изложение содержания диссертации. Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели исследования, приведено краткое содержание работы и дан обзор современного состояния рассматриваемой проблематики. Анализ существующих задач оптимального проектирования слоистых конструкций и методов их решения позволяет определить место представленных в диссертации исследований в области оптимизации конструкций и сформулировать ряд нерешенных проблем и задач оптимизации как в области создания алгоритмов расчета, так и в конкретных разделах механики деформируемого твердого тела. В последующих главах дается решение этих проблем.
В первой главе в рамках теории оптимального управления приведена общая постановка задачи оптимального проектирования слоистых конструкций, синтезируемых из конечного набора материалов, для которой с помощью конечных вариаций управления получены необходимые условия оптимальности. В этой же главе приведен минимум необходимых для понимания сведений из теории оптимального управления.
В последующих четырех главах исследуются новые задачи оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, используемых в различных областях механики деформируемого твердого тела. Подбор задач производился таким образом, чтобы решение каждой из них не было механическим повторением решения остальных, а содержало бы новые элементы и особенности.
Вторая глава посвящена исследованию задач оптимального проектирования сферически слоистых упругих элементов конструкций при волновых воздействиях.
В первом параграфе главы приведены уравнения распространения гармонических сферических волн в изотропных упругих слоистых средах, обладающих сферической симметрией. Их решение в каждом однородном слое представляется в виде суперпозиции потенциалов падающих, отраженных и преломленных сферических волн.
Во втором параграфе на основе полученных представлений для волновых потенциалов решена задача синтеза защитного сферически слоистого экрана минимальной массы, подверженного волновым механическим воздействиям и имеющего заданный коэффициент прохождения волновой энергии. На основе исследования необходимых условий оптимальности изучены качественные особенности оптимальной структуры. Предложен эффективный численный алгоритм расчета волнового поля в сферически слоистом упругом теле как для прямой, так и для сопряженной задач.
В третьем параграфе главы исследована задача оптимального проектирования свободно колеблющихся многослойных сферы и цилиндра минимальной массы при ограничении на основную частоту собственных колебаний. Вывод необходимых условий оптимальности в данной задаче имеет характерную особенность, заключающуюся в том, что гамильтониан в принципе максимума не содержит сопряженных переменных. Это является свойством задач на собственные значения. На основе полученных условий оптимальности построен и реализован эффективный вычислительный алгоритм расчета.
В третьей главе решены задачи минимизации массы слоистых элементов конструкций при ограничениях на их напряженно-деформированное состояние. Такие ограничения являются локальными и при формулировке задачи оптимизации заменяются эквивалентными интегральными ограничениями.
В двух параграфах главы исследованы постановки задач и построены вычислительные алгоритмы оптимального синтеза для таких сло-
истых элементов конструкций, как сжатый поперечно-слоистый стержень при ограничении на критическую силу потери устойчивости и подвергаемая изгибу равномерно распределенной нагрузкой цилиндрически слоистая анизотропная балка при заданных ограничениях на ее прочность и толщину. В задаче об устойчивости стержня, как и в задаче о свободных колебаниях сферической оболочки из второй главы, гамильтониан в условии оптимальности не содержит сопряженных переменных. В задаче же о балке управляемая система описывает двумерное напряженно-деформированное состояние. С помощью специального представления решения в виде разложения по синусам и косинусам окружной координаты в в полярной системе координат (г, в) исходная управляемая система в частных производных сводится к управляемой системе из обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по переменной г, которая затем исследуется методами теории оптимального управления с применением принципа максимума Понтрягина.
В четвертой главе развитый в диссертации подход применяется для задач синтеза из конечного набора материалов слоистых сферических включений минимального веса при различных температурных и силовых нагружениях и локальных ограничениях на их напряженно-деформированное состояние и размеры.
В трех параграфах главы исследованы задачи оптимального проектирования: слоистых сферы и цилиндра минимальной массы, подверженных всестороннему сжатию, при заданных ограничениях на прочность и толщину тел; сферической оболочки минимальной массы, подверженной силовому и температурному воздействиям, при заданных ограничениях на прочность, критическую нагрузку потери устойчивости и толщину сферы; сферического включения минимальной массы, находящегося в матрице, подвергаемой трехосному растяжению на бесконечности, при ограничениях на прочность и размеры включения.
В отличие от первых двух задач в задаче о включении управляемая система описывает трехмерное напряженно-деформированное состояние. В силу линейности уравнений теории упругости и сферической симметрии области, занимаемой включением, решение данной задачи можно представить в виде суперпозиции четырех решений. Первое решение описывает поведение слоистой сферы в бесконечной матрице под действием равномерного внутреннего давления. Данная задача является одномерной. Каждое из оставшихся трех решений определяет двумерное осесимметричное напряженно-деформированное состояние включения в матрице при действии на бесконечности равномерного одноосного усилия вдоль каждой из осей Хі декартовой системы координат (#і, ят2,#з). С помощью специального разложения по меридиональной координате в{ в сферической системе координат (г, #і,>і)> где угол В і отсчитывается от оси х^ и преобразований поворотов управляемые системы в данных задачах записываются в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по переменной г. Для всех исследуемых задач получены необходимые условия оптимальности и на их основе построены экономичные численные алгоритмы расчета оптимальных структур.
Заключительная пятая глава посвящена решению новой задачи оптимального проектирования: синтезу из конечного набора материалов слоистого эллипсоидального включения минимальной массы при двуосном растяжении пространства и при заданных ограничениях на прочность и размеры включения. Главное отличие данной задачи от задач, рассмотренных в предыдущей главе, состоит в том, что область тела не обладает сферической симметрией, так как само включение и его однородные слои представляют соосные эллипсоиды вращения. Хотя, как и ранее, функция управления зависит лишь от одной пространственной координаты, управляемая система в данной задаче описывает существенно неодномерную механическую задачу, решение которой
невозможно непосредственно свести к суперпозиции решений одномерных задач, для которых управляемые системы записывались бы в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Методом малого параметра были построены нулевое и первое приближения задачи, для которых получены необходимые условия оптимальности и построен эффективный численный алгоритм расчета.
Все исследованные в главах 2-5 задачи иллюстрируются примерами расчетов.
В заключении приведены основные выводы по диссертации.
Рассмотрим теперь современное состояние проблемы по оптимальному проектированию из конечного набора материалов слоистых конструкций, используемых в механике деформируемого твердого тела.
Слоистые конструкции при волновых воздействиях. Широкое распространение получили слоистые конструкции при создании звукоизоляционных и шумозащитных панелей, покрытий и ограждений [41, 47, 48, 83, 112, 114, 125, 158]. В некоторых случаях все эти конструкции служат для целей согласования акустических сопротивлений, т.е. для создания неотражающих переходных слоев между двумя средами с различными акустическими свойствами [73, 136, 170]. Аналогичные переходные слои используются в стержневых волноводах для создания неотражающих переходов [70-72, 82]. Эффективным оказалось применение слоистых покрытий из материалов с поглощением для демпфирования изгибных волн в стержнях, пластинах и оболочках [53, 84, 135, 142].
Новый эффект резкого увеличения диссипативных характеристик при собственных колебаниях структурно-неоднородных слоистых обо-лочечных конструкций, составленных из материалов с различными реологическими свойствами, установлен в работах [32, 45, 50, 88, 98, 99, 169], а в [130-132] описано явление динамической концентрации напряжений во внутренних точках многослойных конструкций при нагру-
жении их малым числом импульсов. С успехом используются свойства слоистых систем при проектировании оптических фильтров, просветляющих и отражающих многослойных интерференционных покрытий [35, 60, 62, 64,118,129,139, 150, 170, 171]. Во всех приложениях используется свойство слоистых систем менять интерференционную картину, получая требуемые амплитудно-частотные характеристики волнового поля. Существует, как правило, множество конструкций, удовлетворяющих заданным техническим требованиям. Этот факт является основой для постановки задач оптимального проектирования слоистых систем.
Имеется ряд подходов к оптимальному проектированию конструкций, в частности, слоистых, основными из которых являются методы математического программирования и вариационные методы оптимального управления. Постановка оптимизационной задачи методами математического программирования производится, как правило, в упрощенном виде. При проектировании слоистых систем эти упрощения заключаются в том, что задаются либо количество и свойства слоев при неизвестных толщинах, либо количество и размеры слоев, а ищутся неизвестные свойства. Подобными методами в работах [40, 116, 135, 142] решены задачи максимизации демпфирования при изгибных колебаниях стержней, балок и пластин.
Формулировка задачи оптимизации в рамках теории оптимального управления не только более общая, но, что самое главное, позволяет проводить качественные исследования задачи на основе необходимых условий оптимальности. При этом часто удается априорно установить структуру оптимальных конструкций, резко сузить класс конструкций, содержащих оптимальную.
При проектировании слоистых конструкций, взаимодействующих с волновыми полями, выделим работы, в которых качественное изучение и численные алгоритмы основаны на исследовании необходимых
условий оптимальности. Одна из первых таких работ [94] посвящена минимизации толщины неоднородного слоя при заданном коэффициенте отражения акустической монохроматической волны. В этой работе принималось допущение о равенстве плотностей всех материалов, а переменный показатель преломления мог принимать любое значение в диапазоне [nmin,nmax]. Из полученных необходимых условий оптимальности следовал релейный характер управления, т. е. оптимальная структура представляла чередование слоев с максимальным и минимальным показателями преломления. К этой работе примыкает целый цикл исследований [65, 66,102], где подробно изучены структуры оптимальных согласующего и поглощающего неоднородных акустических слоев. Везде установлен релейный характер неоднородности оптимального слоя, состоящего из двух материалов с предельными свойствами. Ряд задач оптимизации звукозащитных покрытий приведен в монографии [158]. Во всех этих работах множество значений допустимых управлений было непрерывно, и для решения соответствующих задач не требовалось использования игольчатых вариаций. В работах [63, 70-72] для стержневых волноводов методами оптимального управления решены задачи о минимизации коэффициента отражения в некоторой полосе частот. Многие работы [35, 60, 62, 127-129, 140] посвящены оптимальному проектированию оптических слоистых интерференционных фильтров. В них также показана эффективность вариационного подхода.
Задачи оптимального проектирования слоистых систем из конечного набора материалов начали рассматриваться сравнительно недавно. Так в работах [2, 35, 62, 74, 77, 78, 80, 81, 143, 145, 146] рассмотрены задачи синтеза из конечного набора материалов слоистых неоднородных слоев, максимально отражающих акустические волны как в монохроматическом случае, так и для непрерывного спектра частот. Аналогичные задачи для оптических отражающих и просветляющих
интерференционных покрытий рассмотрены в [35, 62].
Задачи оптимизации слоистых конструкций при волновых воздействиях, как правило, многоэкстремальны. Это объясняется тем, что при волновых режимах в линейных системах зависимость параметров состояния от временной и пространственных переменных описывается периодическими функциями, которым свойственна многоэкстремаль-ность. Функции и функционалы от таких параметров также могут иметь много экстремумов. Вопросы разработки методов поиска глобального экстремума рассмотрены в [35, 62, 164]. В [164] для некоторых частных случаев задачи оптимального проектирования слоистых отражающих экранов предложены методы нахождения глобального экстремума, а в [35, 62] исследованы некоторые подходы для двухкомпонент-ных сред.
Слоистые конструкции при тепловых воздействиях. Теплоизоляционные конструкции широко применяются в теплотехнике, строительстве, машиностроении [42, 68, 111, 157] и во многих других областях промышленности. По своему назначению они делятся на два основных класса.
К первому классу относятся теплозащитные конструкции, хорошо гасящие стационарные тепловые потоки. Качество теплозащитной конструкции определяется коэффициентом теплового сопротивления или термосопротивления, который, во-первых, зависит только от коэффициента теплопроводности, что является следствием стационарности процесса, во-вторых, не зависит от порядка расположения слоев и, в-третьих, не зависит от граничных условий.
Известен ряд задач оптимального проектирования теплозащитных конструкций по различным критериям, например, для создания нужного стационарного распределения температуры внутри конструкции. Так, в [105] рассмотрена задача прогрева многослойной теплозащитной стенки из п слоев различных материалов. Требовалось определить
толщины слоев из условия минимума массы стенки при ограничениях на температуру в стыках между слоями. С помощью штрафной функции решение задачи было сведено к задаче нелинейного программирования без ограничений. Похожая задача решена в [104]. Там для одномерного плоского и цилиндрического случаев требовалось найти распределение коэффициента теплопроводности из условия минимума интегрального среднеквадратичного отклонения между вычисленной и заданной температурами внутри конструкции. Задача решена методами классического вариационного исчисления.
Ко второму классу относятся так называемые теплоустойчивые конструкции, предназначенные для гашения или регулирования нестационарных тепловых возмущений [42, 157]. В случае линейной теплопроводности любое тепловое возмущение и решение уравнения теплопроводности представимо в виде интеграла или ряда Фурье. В этой связи важным частным случаем являются установившиеся гармонические тепловые возмущения. Для таких возмущений мерой теплоустойчивости будет степень затухания амплитуды колебаний температуры или теплового потока [138, 157]. Затухание нестационарных возмущений зависит, в отличие от стационарных, не только от коэффициента теплопроводности, но и от других теплофизических характеристик. Кроме того, эта величина зависит от граничных условий на внешних границах панели, от периода внешних тепловых возмущений, от взаимного расположения и толщин слоев, составляющих панель [95, 111, 138, 157].
Многообразие факторов, влияющих на затухание нестационарных тепловых возмущений, является основой постановки задач оптимального проектирования теплоустойчивых конструкций. В [111, 147] с помощью простого перебора двухслойных конструкций с заданной общей толщиной определены относительные толщины каждого из двух слоев, при которых затухание амплитуды колебаний внешней температуры
является максимальным. Различные методы неполного перебора для решения этой задачи при большем числе слоев использованы в [138]. Однако методы перебора ограничены случаем малого числа слоев и материалов.
В [33] впервые были использованы методы оптимального управления для решения следующей задачи: из заданного множества материалов требовалось синтезировать слоистую стенку заданной толщины, максимально гасящую амплитуду внешних гармонических колебаний температуры. Для сформулированной задачи были получены необходимые условия оптимальности и приведены примеры конкретных оптимальных конструкций. В [36, 57, 75, 76, 79, 144] исследовались задачи минимизации массы, толщины, термосопротивления и других свойств слоистых теплоизоляционных конструкций при ограничениях на уровень гашения амплитуды температурных колебаний. В [56, 81] эти задачи решены для случая негармонического внешнего теплового воздействия. Сделан вывод о слабой зависимости структуры оптимальной стенки от формы периодических возмущений. Соответствующие задачи для случаев цилиндрически и сферически слоистых сред рассмотрены в [1, 57].
Слоистые конструкции при механических воздействиях. Из работ, относящихся к оптимальному проектированию слоистых конструкций при механических воздействиях, отметим работы [25-30], связанные с оптимизацией структуры толстой слоистой плиты при ударном внедрении в нее тонкого жесткого удлиненного тела. Во всех работах, кроме [27], использовалась эмпирическая модель внедрения, взятая из книги [37], которая при скоростях соударения от 100 до 1000 м/с устанавливала связь между удельной силой сопротивления прониканию, динамической твердостью материала среды, ее плотностью, коэффициентом формы головной части ударника и его скоростью. В рамках этой модели в [25, 30] впервые в терминах теории
оптимального управления рассмотрена задача поиска механических характеристик неоднородной по толщине плиты из условия полной остановки ударника. В предположении о наличии семейства материалов с непрерывными плотностями из диапазона [уотіш /этах] и линейной связи между динамической твердостью и плотностью материалов получена структура плиты минимальной толщины при заданной погонной массе и показано, что для рассматриваемой задачи среди ударников, представляющих собой тело вращения с выпуклой образующей, оптимальными являются конические ударники. В [28, 29] исследована аналогичная задача об определении структуры плиты минимальной массы, обеспечивающей полную остановку ударника. Были рассмотрены случаи цилиндрических, клиновидных и конических ударников и установлена зависимость структуры оптимальной плиты от начальной скорости ударника и угла полураствора конуса. Во всех задачах [25, 28-30] установлен релейный характер неоднородности оптимальной плиты, состоящей из двух материалов с предельными плотностями pmin и ртах- В [26] для цилиндрического ударника исследован случай нелинейной связи между динамической твердостью и плотностью материалов. Показано, что в этой ситуации оптимальные по массе плиты могут иметь непрерывное распределение свойств по толщине, причем твердость от лицевой поверхности к тыльной не возрастает. В [27] с использованием модели, предложенной в работе [126], согласно которой плита моделировалась упругопластической несжимаемой средой без упрочнения, найдена структура плиты минимальной массы, гасящей скорость цилиндрического ударника с конической головкой до нуля. При этом плита может быть составлена из конечного набора материалов.
В настоящее время теория оптимального управления и ее приложения насчитывают огромную библиографию, где достаточно полно освещены как теоретические, так и прикладные ее аспекты [3, 31, 38, 44, 58, 61, 68, 93, 100, 101, 117, 120, 122, 124, 141, 156, 161, 163]. В ряде работ
[35, 46, 51, 52, 54, 59, 62, 81, 89, 90, 96, 97, 106-108, 113, 119, 121, 123, 133, 134, 148, 151-154, 167] описаны методы приближенного решения задач оптимального управления.
Большинство методов заключается в построении минимизирующей последовательности управлений на основе необходимых условий оптимальности либо в пространстве состояний [106, 107], либо в пространстве управлений [148, 154]. Следует подчеркнуть, что конструирование вычислительных процедур приближенного решения тесно связано с такими теоретическими вопросами этой дисциплины, как выбор функциональных классов управляющих переменных, существование и единственность решения.
В задачах синтеза из конечного набора материалов слоистых элементов конструкций множество допустимых управлений U является дискретным точечным множеством. Из этого следует, что множество управляющих функций и(х) не имеет вариаций, малых в равномерной норме. При выводе необходимых условий оптимальности и построении минимизирующей последовательности управлений исследуются малые окрестности оптимальных или текущих решений. Большинство методов анализа и расчета используют для этого как раз малые вариации управления. Все эти методы, естественно, нельзя применить для рассматриваемого класса задач. Таким образом, задачи оптимального проектирования слоистых систем из конечного набора материалов обладают особенностями, которые не позволяют использовать для их решения методы математического программирования (линейного, нелинейного, целочисленного), предназначенные для решения конечномерных экстремальных задач, и многие методы оптимизации (вариационные методы) в функциональных пространствах. Для решения этих задач наиболее эффективными оказались методы оптимального управления, основанные на принципе максимума Понтрягина и игольчатых вариациях управления.
Следует отметить, что численные методы, использующие конечные вариации управления на множествах малой меры, в задачах оптимального проектирования слоистых конструкций почти не применялись. В большинстве монографий, посвященных вычислительным аспектам теории оптимального управления, описываются, как правило, алгоритмы, основанные на малых вариациях. Вычислительные же процедуры на основе конечных вариаций управления имеют свои особенности. Кроме того, ряд чисто технических вопросов, таких, например, как дифференцирование функционалов, определенных на траекториях управляемой системы, тесно связан со многими тонкостями, возникающими при численных расчетах.
В задачах оптимального проектирования слоистых конструкций при волновых, температурных и силовых воздействиях вычислительные методы, основанные на конечных вариациях управления, до работ соискателя встречались в [33, 34, 36, 56, 75, 76, 143, 144]. Систематические разработка и использование этих методов при оптимизации элементов конструкций в задачах механики деформируемого твердого тела даны в работах соискателя [4-9, 11-13, 16-18, 20, 23, 159, 160].
Из анализа выше упомянутых работ следует, что задачи оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, синтезируемых из конечного множества материалов, можно сформулировать в рамках теории оптимального управления системами с дискретной областью значений управляющих переменных. При этом наиболее подходящими для качественного исследования и численного решения задач оптимального проектирования с дискретной областью значений параметров управления являются принцип максимума Понтрягина и аппарат игольчатого варьирования. Для решения многих задач оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, используемых в различных областях механики деформируемого твердого тела, можно применить единый подход, изложенный в диссертации.
Минимизация массы звукозащитного сферического экрана с заданным уровнем прохождения волновой энергии
Пусть из источника, расположенного в начале координат, падает на экран сферическая волна, содержащая весь частотный спектр (рис. 4.1). Требуется из имеющегося конечного набора упругих однородных изотропных материалов спроектировать слоистый сферический экран минимальной массы при заданных ограничениях на уровень волновой энергии, прошедшей через экран, и его толщину [8]. Пусть го, / — радиусы внутренней и внешней поверхностей слоистого экрана. Напряженно-деформированное состояние слоистой среды в сферической системе координат (г, в, р) в случае центральной симметрии описывается системой уравнений, включающей в себя уравнение движения где ur(r, t) — радиальное перемещение частиц среды, 7rr(r, t) и 0"w(r, t) — радиальное и окружное напряжения. Коэффициенты ci(r) и ct(r) равны скоростям продольных и поперечных волн в среде, которые выражаются через модуль Юнга Е(г), коэффициент Пуассона і/(г) и плотность р(г) материалов слоев по формулам На внешних и внутренних границах г,- Є [го,/] слоев экрана, где терпят разрыв акустические и механические свойства материалов слоев и окружающей среды, должны быть непрерывны перемещение ur(ryt) и нормальное напряжение 7rr(r, t) В средах, параметры которых не зависят от времени, можно уменьшить число независимых переменных в волновом уравнении (4.1), перейдя к спектральному представлению по времени [48]: С целью упрощения выкладок используется комплексная форма записи волновых полей. При этом физический смысл имеет только их вещественная часть. Для элементарных волн їїг(г, ш) ехр(—iut) (4.4) с гармонической зависимостью от времени уравнение (4.1) упрощается, так как взятие частной производной по времени сводится к умножению на (—га;). Величины со значком тильда в (4.4) обозначают спектральные плотности. В дальнейшем все уравнения будут записаны для спектральных плотностей, и знак тильда над ними опускается. Сама исходная задача (4.1), (4.2) формулируется в терминах спектральных плотностей радиальной скорости vr(r, и) — -гщг(г,ш) и напряжения о-ГГ(г,о ), которые согласно условиям сопряжения (4.3) являются непрерывными фазовыми переменными.
Получим краевые условия для системы уравнений (4.1), (4.2). Ее удобно рассматривать не на всей оси г, а только на отрезке [т о,/], занятом слоистым экраном. Влияние окружающих экран областей г г о и г I учитывается с помощью граничных условий при г = г$ иг = I. Рассмотрим внутреннюю область г го, занятую средой с акустическими свойствами ра, сіа и Cta. Пусть из источника, расположенного в начале координат, на экран падает монохроматическая сферическая волна, имеющая потенциал системы (4.1), (4.2) на границе г = го можно представить в виде Исключая из решения (4.8) неизвестную амплитуду Ь (ш) потенциала преломленной волны, получаем краевое условие на границе г = І в виде Таким образом, параметры волнового процесса, т. е. распределение скоростей и напряжений в слоистом экране, занимающем область [го, /], в случае падения сферической волны находятся из решения краевой задачи (4.1)-(4.3), (4.6), (4.9). Произведем замену координат переводящую переменную область задания [го,1], занимаемую экраном, в отрезок [0,1], и введем кусочно-постоянную функцию характеризующую структуру слоистого экрана: количество, размеры и материалы составляющих его слоев. Значения а8 принадлежат конечному дискретному множеству соответствующему исходному набору материалов. Теперь все характеристики материалов из заданного набора будут функциями распределения а(х) на отрезке [0,1]. Так как структура экрана определяется функцией сх(х), а толщина — его размерами го и І, в качестве управления рассмотрим пару {а(х),1}, где а(х) Є U (4.13) и Здесь а и Ь — заданные пределы, в которых может варьироваться внешний радиус /. Не нарушая общности, внутренний радиус го можно считать фиксированным. Задача оптимального проектирования сферического экрана заключается в следующем. Среди кусочно-постоянных функций а(х) (4.12) с областью значений U (4.13) и чисел Z, удовлетворяющих неравенству (4.14), требуется найти управление {ajopt(a:),/opt}, доставляющее минимум функционалу массы
Минимизация массы поперечно-слоистого стержня при ограничении на устойчивость
Прямолинейный стержень длины / и постоянного сечения 5 находится под действием осевой сжимающей силы Р (рис. 6.1). На концах стержня могут быть заданы различные краевые условия: шарнирное опирание, жесткое защемление и другие. Требуется из заданного конечного набора упругих однородных изотропн стержня удвоенной длины в случае симметричной формы потери устойчивости. На внутренних границах я, (0,1) слоев стержня, где терпят разрыв модули Юнга материалов, необходимо задавать условия сопряжения: непрерывность прогиба tu, поворота ги , изгибающего момента М = —Ew" и перерезывающей силы Q = — (Ew") Введем кусочно-постоянную функцию характеризующую структуру слоистого стержня: количество, размеры и материалы составляющих его слоев. Значения а8 принадлежат конечному дискретному множеству соответствующему исходному набору материалов. Теперь все характеристики материалов из заданного набора будут функциями распределения а(х) на отрезке [0,1]. Функция а(х) принимается в качестве управления в рассматриваемой задаче. Задача оптимального проектирования стержня заключается в следующем. Среди кусочно-постоянных функций а(х) (6.5) с областью значений U (6.6) требуется найти управление a0pt(#), доставляющее минимум функционалу массы Необходимые условия оптимальности. Для вывода необходимых условий оптимальности в задаче (6.2)-(6.8) требуется построить выражения для вариаций целевого функционала (6.7) и ограничения (6.8) через вариацию управления а(х). Условия сопряжения (6.4) на границах слоев стержня позволяют ввести непрерывные на отрезке [0,1] фазовые переменные Теперь исходную задачу (6.2), (6.3) можно представить в виде краевой задачи относительно неизвестных у(х): где ненулевые элементы a,ij матрицы А(а) имеют вид Как следует из выражения (6.18) для функции Я(а,у), в рассматриваемой задаче на собственные значения функция Гамильтона не содержит сопряженных переменных. Если управление а(х) является оптимальным (минимизирующим), то для любых допустимых управлений а (х) (6.11) должно выполняться необходимое условие оптимальности SQ(M, г?) 0.
Тогда из выражения (6.17) в силу произвольности вариации 8 и того, что множество малой меры М может быть всюду плотно расположено на отрезке [0,1], получаем, что на оптимальном управлении aopt(#) Выражение (6.19) является условием дополняющей нежесткости и согласования знаков ых материалов спроектировать поперечно-слоистый стержень минимальной массы при ограничении на критическую нагрузку потери устойчивости [17]. Выберем прямоугольную систему координат (#, г/, z), совместив начало координат с левым концом стержня и направив ось х вдоль оси стержня по линии действия силы Р. Выпучивание стержня происходит в плоскости (ar, z). где ш(х) — прогиб стержня; Е(х), р(х) — модули Юнга и плотности материалов слоев; / — момент инерции поперечного сечения S стержня. В дальнейшем индекс у безразмерных величин опускается. В переменных (6.1) уравнение изгиба стержня имеет вид [24] где штрих обозначает производную по координате х. Для определенности рассмотрим граничные условия которым отвечает собственная функция прогиба w(x) для шарнирно-опертого стержня удвоенной длины в случае симметричной формы потери устойчивости. На внутренних границах я, (0,1) слоев стержня, где терпят разрыв модули Юнга материалов, необходимо задавать условия сопряжения: непрерывность прогиба tu, поворота ги , изгибающего момента М = —Ew" и перерезывающей силы Q = — (Ew") Введем кусочно-постоянную функцию характеризующую структуру слоистого стержня: количество, размеры и материалы составляющих его слоев. Значения а8 принадлежат конечному дискретному множеству соответствующему исходному набору материалов. Теперь все характеристики материалов из заданного набора будут функциями распределения а(х) на отрезке [0,1]. Функция а(х) принимается в качестве управления в рассматриваемой задаче. Задача оптимального проектирования стержня заключается в следующем. Среди кусочно-постоянных функций а(х) (6.5) с областью значений U (6.6) требуется найти управление a0pt(#), доставляющее минимум функционалу массы Необходимые условия оптимальности. Для вывода необходимых условий оптимальности в задаче (6.2)-(6.8) требуется построить выражения для вариаций целевого функционала (6.7) и ограничения (6.8) через вариацию управления а(х). Условия сопряжения (6.4) на границах слоев стержня позволяют ввести непрерывные на отрезке [0,1] фазовые переменные Теперь исходную задачу (6.2), (6.3) можно представить в виде краевой задачи относительно неизвестных у(х): где ненулевые элементы a,ij матрицы А(а) имеют вид Как следует из выражения (6.18) для функции Я(а,у), в рассматриваемой задаче на собственные значения функция Гамильтона не содержит сопряженных переменных. Если управление а(х) является оптимальным (минимизирующим), то для любых допустимых управлений а (х) (6.11) должно выполняться необходимое условие оптимальности SQ(M, г?) 0. Тогда из выражения (6.17) в силу произвольности вариации 8 и того, что множество малой меры М может быть всюду плотно расположено на отрезке [0,1], получаем, что на оптимальном управлении aopt(#) Выражение (6.19) является условием дополняющей нежесткости и согласования знаков [3]. На основании соотношений (6.19), (6.20), вытекающих из необходимого условия оптимальности SQ{M, #) 0, можно сформулировать принцип максимума для рассматриваемой задачи. Пусть {a0pt(#)} — оптимальное управление в задаче (6.5)-(6.10), при котором существует нетривиальное решение у(х) системы (6.9) с краевыми условиями (6.10). Тогда построенная с помощью этого решения функция Гамильтона #($,у) (6.18) достигает максимума по
Минимизация массы сферической оболочки, подверженной силовому и температурному воздействиям
Сферическая оболочка, находящаяся в стационарном температурном поле, нагружена внутренним и внешним гидростатическими давлениями. Требуется из конечного набора однородных изотропных материалов спроектировать слоистую сферическую оболочку минимальной массы при заданных ограничениях на прочность сферы, ее толщину и критическую нагрузку потери устойчивости [12, 160]. Пусть I, го — радиусы внутренней и внешней поверхностей оболочки (см., например, рис. 8.1). Для определенности на границе г = / будем считать известной температуру Ті и давление рі, а на внешней границе г = го зададим теплообмен по закону Ньютона и давление / 2- В случае центральной симметрии напряженно-деформированное состояние многослойной сферы в сферической системе координат (г, 0,ір) описывается краевой задачей, включающей уравнение равновесия соотношения закона Дюамеля-Нейм Здесь ur(r) — радиальное перемещение точек тела; стгг(г) и ае$(г) — радиальное и окружное напряжения; Т(г) — температурное поле; Е(г), i/(r), а(г) и A(r) — модули Юнга, коэффициенты Пуассона, теплового расширения и теплопроводности материалов слоев; 7 — температура внешней среды; к — коэффициент теплопередачи. На внутренних границах г,- (1,VQ) слоев сферы, где терпят разрыв характеристики среды, должны быть непрерывны перемещение иг, напряжение оуг, температура Т и тепловой поток XdT/dr Пусть /о5 VQ, POI h, Ао — характерные масштабы, имеющие размерности длины, напряжения, плотности, температуры и коэффициента теплопроводности. Введем безразмерные переменные Сделаем замену координат переводящую переменную область [1,TQ], занимаемую сферой, в постоянную [0,1], и введем кусочно-постоянную функцию /3(х) характеризующую структуру слоистой сферы: количество, размеры и материалы составляющих ее слоев. Значения (3S принадлежат конечному дискретному множеству соответствующему исходному набору материалов.
Теперь все характеристики материалов из заданного набора будут функциями от /?. Если /Зе = г, то это означает, что s-й слой (xe_i,xs] сферы состоит из г -го материала набора. Так как структура оболочки определяется функцией /5(х), а толщина — ее размерами / и го, в качестве управления рассмотрим пару {( ),/}, где 0(х) Є tf (9.9) и Здесь а иЬ — заданные пределы, в которых может варьироваться внутренний радиус /. Внешний радиус го, не нарушая общности, можно считать фиксированным. Задача оптимального проектирования заключается в следующем. Среди кусочно-постоянных функций (3(х) (9.8) с областью значений U (9.9) и чисел I (9.10) требуется найти управление { opt( ) opt} доставляющее минимум функционалу массы при заданных ограничениях на прочность и критическую нагрузку потери устойчивости В качестве ограничения (9.12) рассмотрим условие пластичности Мизеса - os О, а в качестве нагрузки q{(3,l) из (9.13) — величину представляющую собой произведение внешнего критического давления для однородной изотропной сферической оболочки на некоторый коэффициент s 1. Здесь h = (т о — /) — толщина оболочки; гс = (/ + т о)/2 — радиус ее срединной поверхности; Ес, vc — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала оболочки. Чтобы использовать выражение (9.14) в ограничении (9.13) для многослойной оболочки, в качестве Ес и vc рассмотрим осредненные по толщине модули упругости пакета [115] где Теперь ограничение (9.13) с учетом (9.14) и (9.15) можно представить в виде где Необходимые условия оптимальности. Для вывода необходимых условий оптимальности в задаче (9.1)-(9.16) требуется построить выражения для вариаций целевого функционала (9.11) и ограничений (9.12) и (9.16) через вариации управления {(3(х),1}. С этой целью преобразуем краевую задачу (9.1)-(9.6). Проинтегрируем сначала уравнение (9.2). Имеем где штрих означает производную по координате х. Используя условие непрерывности теплового потока по слоям конструкции, находим, что константа интегрирования с будет одной и той же на всем отрезке [0,1]. Сделав теперь замену из соотношений (9.5), (9.17) и (9.18) получаем задачу Коши для определения функции То (х) При этом функция То(х) как решение задачи Коши (9.19) непрерывна на отрезке [0,1]. Следовательно, непрерывна и функция температуры Т{х) (9.18). Константа с определяется из второго краевого условия (9.5) и соотношений (9.17), (9.18)
Линеаризация общих соотношений, краевых условий и условий сопряжения в методе малого параметра
Преобразуем краевую задачу (11.5)-(11.10), чтобы управляемую систему в задаче оптимального проектирования можно было записать в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения задачи (11.5)-(11.10) воспользуемся методом возмущений [69]. Предположим, что искомое решение зависит от малого параметра 6, который входит в уравнение (11.1). Будем искать решение Линеаризация по параметру 8 заключается в разложении всех исходных соотношений: уравнений равновесия, соотношений закона Гука, краевых условий в ряды по этому параметру. Уравнения равновесия (11.5), соотношения закона Гука (11.6) и соотношения Коши для деформаций (11.7) линейны относительно компонент перемещений, напряжений и деформаций, поэтому они имеют место для любого приближения. Ограничимся нулевым и первым приближением задачи и запишем решение в виде Рассмотрим теперь уравнение (11.4) границ слоев включения при каждом фиксированном значении х Є [0,1]. Представим его в виде Получим выражения для АЦх) и А1\х,0) в (12.3). Обозначим через Ь слагаемое [27&2cos 20 + { ySd)2] стоящее под корнем в (П.4). Тогда Из соотношения (12.4) следует, что Рассмотрим краевые условия (11.8) на внутренней границе включения гв(0) = г(О,0) из (11.4). Для компоненты crnri(rB (0),0) справедливо разложение, аналогичное представлению (12.1), а для гв(в) — разложение вида (12.3) при х = 0. Отсюда получаем, что где, согласно формулам (12.5), г = / и r (0) = —/dcos20. Разложение в ряд Тейлора функции ain (гв(0),0) с учетом (12.7) имеет вид Подставляя выражение (12.8) в (12.6), получим представление краевого условия (11.8) на границе гв(0) = г(О,0) в виде Ограничиваясь нулевым и первым приближениями из (12.9) получаем, что при г = А =1 имеет место Аналогично записываются выражения линеаризованных краевых условий (11.8) для касательных напряжений (Tnt при г = г = / В линеаризованных задачах необходимо уметь записывать краевые условия (11.8) через компоненты 0 г, а ев-, Гр р и аг& основной системы координат. Для этого следует учесть угол поворота напряжений при переносе их на исходную сферическую поверхность г = г() = /. Так как внутренняя граница включения является эллипсоидом вращения (12.1), рассмотрим контур L этого эллипсоида в плоскости (хі,хз). Уравнение контура L в полярных координатах (г,в) дается уравнением (11.4) при х = 0. Пусть (р — угол между нормалью к контуру L в некоторой точке и осью х\, а 9 — полярный угол данной точки. Тогда ф = ( р — 9) — угол поворота напряжений апп и ant при переносе их на контур г = I. Из известных формул преобразования компонент тензора при повороте осей координат имеем Если уравнение контура L записать в виде х\ = xi(9), х$ = хз(9)у то где точка наверху означает дифференцирование по 9.
Согласно (12.7) можно написать Тогда из (12.13) и (12.14) получим Подставляя в (12.12) разложения (12.1) для напряжений агг, адд и агд на границе гв(9) = г(0,9), выражения (12.16) и учитывая представления вида (12.9) для напряжений апп и егп , получим, что при г = r = I и в Є [0,7г] должны выполняться соотношения г(0) гв где = (г , ), гМ = гМ(6). Из выражений (12.10), (12.11) и (12.17) получаются линеаризованные краевые условия (11.8) для нулевого и первого приближений где r = /, rW = -/dcos 20 и aW = af)(1,0). Рассмотрим теперь условия сопряжения (11.10), которые должны выполняться на границах L,, разделяющих слои с разными материалами. Уравнения границ L,- задаются уравнением (11.4) при х,- 6 (0,1]. Проделав аналогичные выкладки, что и для внутреннего контура L, можно получить линеаризованные условия сопряжения (11.10) для нулевого и первого приближений на сферических границах г = Л (я,-) условий оптимальности в задаче (11.1)-(11.18), надо построить выражения для вариаций целевого функционала (11.15) и ограничения (11.18) через вариации управления {а(х),1}. С этой целью запишем краевую задачу (11.5)-(11.10) в удобной форме, т.е. в виде управляемой системы, использовав результаты предыдущего параграфа. Итак, решение задачи ищется в виде суммы нулевого и первого приближений
