Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оптимальное проектирование слоистых конструкций из конечного набора материалов 23
1. Элементы теории оптимального управления 23
2. Постановка задачи оптимального проектирования слоистых конструкций 32
Глава 2. Оптимальное проектирование слоистых конструкций при волновых воздействиях 43
3. Уравнения распространения волн в изотропных упругих слоистых средах 43
4. Минимизация массы звукозащитного сферического экрана с заданным уровнем прохождения волновой энергии 49
5. Минимизация масс слоистых сферы и цилиндра при ограничении на основную частоту собственных колебаний 67
Глава 3. Минимизация массы слоистых элементов конструкций 80
6. Минимизация массы поперечно-слоистого стержня при ограничении на устойчивость 80
7. Минимизация массы анизотропной криволинейной балки 88
Глава 4. Оптимальное проектирование слоистых сферических включений при механических воздействиях 103
8. Минимизация массы слоистых сферы и цилиндра, подверженных сжатию 103
9. Минимизация массы сферической оболочки, подверженной силовому и температурному воздействиям 116
10. Минимизация массы сферического включения в матрице при трехосном растяжении на бесконечности 132
Глава 5. Оптимальное проектирование эллипсоидального включения при двуосном растяжении пространства 149
11. Постановка задачи оптимального проектирования слоистого эллипсоидального включения 149
12. Линеаризация общих соотношений, краевых условий и условий сопряжения в методе малого параметра 154
13. Необходимые условия оптимальности, вычислительный алгоритм и пример расчета 159
Заключение 180
Список литературы
- Постановка задачи оптимального проектирования слоистых конструкций
- Минимизация массы звукозащитного сферического экрана с заданным уровнем прохождения волновой энергии
- Минимизация массы анизотропной криволинейной балки
- Минимизация массы сферической оболочки, подверженной силовому и температурному воздействиям
Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы интенсивно развиваются исследования по оптимальному проектированию слоистых конструкций и покрытий различного назначения. Под слоистыми конструкциями понимаются не только механические системы, испытывающие силовые и деформационные возмущения, но также любые узлы, детали, среды, покрытия, подверженные воздействию различных физических и механических полей. Это связано как с развитием методов механики неоднородных сред, математического программирования, вариационного исчисления и оптимального управления, так и с потребностями техники в снижении материалоемкости, габаритов, стоимости и других характеристик конструкций.
Выделение задач оптимального проектирования слоистых конструкций, синтезируемых из конечного набора материалов, в отдельный класс имеет следующие причины.
Слоистые среды являются частным случаем неоднородных сред, свойства которых изменяются лишь вдоль одной координаты. Поэтому они технологичны и просты в изготовлении. Слоистые конструкции широко используются при создании звуковой и вибрационной защиты [94, 102, 136, 158, 165, 168-170], волноводов [43], согласующих переходных слоев [65, 66, 70-72], фильтров продольных или поперечных волн [73, 125], эффективных демпфирующих покрытий [40, 53, 98, 99, 155]. В механике деформируемого твердого тела с помощью многослойных сред моделируются поведения сосудов высокого давления [ПО, 115], слоистых и волокнистых композитов [39, 115, 137], неоднородных преград, препятствующих прониканию ударников [25-30]. В оптике [35, 60, 62, 127-129, 140] и радиофизике [118] с помощью слоистых покрытий управляют спектром электромагнитных волн. В теплофизике используются многослойные теплоизоляционные огражде-
ния [41, 104, 105, 138, 157], Поэтому создание единого подхода к исследованию и решению задач оптимального проектирования слоистых конструкций представляет большой научный и практический интерес.
Ряд причин, позволяющих выделить в отдельный класс задачи оптимизации слоистых конструкций, синтезируемых из конечного набора материалов, связан также с общностью их математических постановок и с характерными особенностями, предъявляемыми к методам решения соответствующих задач на экстремум.
Структура слоистой среды определяется количеством, размерами и порядком расположения слоев, физико-механическими характеристиками материалов, составляющих структуру системы, а также ее общей толщиной I и массой, которые либо фиксированы, либо находятся из решения задачи. Эта структура однозначно определяется распределением некоторого характерного свойства материалов и(х) или характеристической функции а(х) вдоль координаты х Є [0,/], перпендикулярной слоям. Задача оптимального синтеза слоистой системы сводится к нахождению пары {aopt(#),Zopt}, минимизирующей функционал Fo(a,J), являющийся критерием качества или целевым функционалом.
В качестве ограничений выступают уравнения рассматриваемого физического процесса, коэффициенты которых зависят от структуры слоистой среды, ограничения на параметры этого процесса и условия, накладываемые на множество допустимых управлений U, откуда выбирается функция а(х).
В рамках теории оптимального управления пара {1(2:),/} играет роль управления, уравнения физического процесса — роль управляемой системы, а параметры физического процесса — роль фазовых переменных. В общем случае нестационарных неодномерных процессов управляемая система описывается уравнениями в частных производных. Ее решение является функцией времени и трех координат, а задача нахождения а(х) относится к задачам оптимального управления
с распределенными параметрами. Упростить задачу можно, используя тот факт, что искомое управление а(х) зависит только от одной пространственной координаты. Как правило, это можно сделать с помощью различных интегральных преобразований, разложения решения в ряд или введения пробных функций по координатам хч и #з- В результате исходную задачу оптимального проектирования можно свести к задаче оптимального управления системой из обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой зависит только от координаты х, параметров преобразований и исходного управления а(х).
Другая существенная особенность рассматриваемых задач связана с конечностью набора материалов, из которых синтезируется слоистая конструкция. Такой подход с практической точки зрения вполне естественен, так как реально в распоряжении проектировщика всегда имеется определенная ограниченная номенклатура материалов. При формулировке задачи проектирования в рамках теории оптимального управления эта особенность проявляется в том, что класс управляющих функций состоит из кусочно-постоянных функций, область значений которых является конечным дискретным множеством. Такие функции не имеют малых вариаций, на которых основано большинство методов построения минимизирующей последовательности управлений. Эта особенность не позволяет решать соответствующие задачи на экстремум с помощью методов вариаций в фазовом пространстве, например, метода локальных вариаций [153], и методов математического программирования. Поэтому для вывода необходимых условий оптимальности и построения вычислительных алгоритмов используются конечные вариации управления на множестве малой меры, так называемые игольчатые вариации.
Конструирование методов последовательных приближений с использованием игольчатых вариаций управления основано на принципе максимума Понтрягина. Интерес к этим методам вызван тем, что они по-
зволяют решать задачи оптимального управления с невыпуклым множеством U. В случае оптимального проектирования конструкций из конечного набора материалов множество U является конечным точечным множеством, и поэтому также невыпукло.
Все эти причины вызывают необходимость: выделить в отдельный класс задачи оптимального проектирования слоистых конструкций из конечного набора материалов; разработать на основе принципа максимума Понтрягина методику теоретического исследования и вычислительные процедуры решения данного класса задач; на основе проведенных исследований с единых позиций сформулировать и решить ряд новых оптимизационных задач из разных разделов механики деформируемого твердого тела. Этим объясняется актуальность темы диссертации.
Цель работы. Диссертационная работа посвящена развитию на основе принципа максимума Понтрягина методов получения и исследования необходимых условий оптимальности в задачах оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, рассматриваемых в механике деформируемого твердого тела, и их численной реализации. В соответствии с этим в работе были поставлены следующие основные задачи:
на основе принципа максимума Понтрягина разработать общий метод получения и исследования необходимых условий оптимальности в задачах оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, рассматриваемых в механике деформируемого твердого тела;
на основе конечных вариаций управления на множестве малой меры для задач оптимального проектирования слоистых конструкций разработать вычислительные процедуры построения минимизирующей последовательности управлений;
в области механики деформируемого твердого тела исследовать необходимые условия оптимальности и создать расчетные методы для за-
дач минимизации массы: защитного сферического экрана с заданными пропускающими характеристиками; свободно колеблющихся сферы и цилиндра при ограничении на основную частоту собственных колебаний; слоистых элементов конструкций (стержня, двумерной криволинейной балки, сферических и эллипсоидальных включений в матрице) при различных температурных и силовых воздействиях и локальных ограничениях на их напряженно-деформированное состояние. Научная новизна. Новыми в диссертации являются:
1. Единый подход к решению для широкого класса задач опти
мального проектирования слоистых элементов конструкций, синтези
руемых из конечного набора материалов, сводящийся к исследованию
и решению задачи оптимального управления с дискретной областью
значений управляющих переменных.
2. Способ предварительного отбора материалов, которые могут вой
ти в оптимальную структуру.
Вычислительные алгоритмы построения минимизирующей последовательности управлений, основанные на конечных вариациях управления на множестве малой меры.
Новые постановки задач о минимизации массы слоистых элементов конструкций (стержней, балок, сферических и эллипсоидальных включений в матрице) при различных волновых, температурных и силовых воздействиях и локальных ограничениях на их напряженно-деформированное состояние.
Достоверность полученных в работе результатов обосновывается соответствием выбранных математических моделей изучаемым физическим процессам, корректным использованием математических методов, использованием результатов исследований другими авторами.
Практическая ценность. Предложен единообразный подход к решению задач оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, синтезируемых из конечного набора материалов. Проведен-
ный теоретический анализ позволяет составить представление о возможной структуре оптимальных слоистых сред. Предложен ряд новых вычислительных процедур для решения задач синтеза слоистых конструкций из конечного набора материалов. Для рассмотренных в работе задач составлены вычислительные программы на персональном компьютере, позволяющие находить оптимальные проекты при различных входных данных.
Апробация рабохы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на VIII Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 1984), пятом национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Болгария: Варна, 1985), VI Международном симпозиуме о композиционных материалах (Чехословакия: Высоки Татры-Стара Лесна, 1986), на VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986), шестом национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Болгария: Варна, 1989), Сибирской школе яо современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Якутск, 1990), Международном симпозиуме "Composites: Fracture mechanics and technology" (Черноголовка, 1992), на X Международной конференции по композитным материалам (Канада: Whistler, B.C., 1995), II Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1997), на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), а также на семинарах кафедры механики деформируемого твердого тела НГУ (рук. академик Е.И.Шемякин, чл.-корр. РАН Б.Д. Аннин), семинарах лаборатории механики композитов ИГиЛ СО РАН (рук. чл.-корр. РАН Б.Д. Аннин), семинарах отдела механики деформируемого твердого тела ИГиЛ СО РАН (рук. проф. О.В. Соснин).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах [4-23, 159, 160], включая две монографии.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, изложенных на 199 страницах, включает 26 рисунков, 6 таблиц и список цитируемой литературы из 171 наименования.
Краткое изложение содержания диссертации. Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели исследования, приведено краткое содержание работы и дан обзор современного состояния рассматриваемой проблематики. Анализ существующих задач оптимального проектирования слоистых конструкций и методов их решения позволяет определить место представленных в диссертации исследований в области оптимизации конструкций и сформулировать ряд нерешенных проблем и задач оптимизации как в области создания алгоритмов расчета, так и в конкретных разделах механики деформируемого твердого тела. В последующих главах дается решение этих проблем.
В первой главе в рамках теории оптимального управления приведена общая постановка задачи оптимального проектирования слоистых конструкций, синтезируемых из конечного набора материалов, для которой с помощью конечных вариаций управления получены необходимые условия оптимальности. В этой же главе приведен минимум необходимых для понимания сведений из теории оптимального управления.
В последующих четырех главах исследуются новые задачи оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, используемых в различных областях механики деформируемого твердого тела. Подбор задач производился таким образом, чтобы решение каждой из них не было механическим повторением решения остальных, а содержало бы новые элементы и особенности.
Вторая глава посвящена исследованию задач оптимального проектирования сферически слоистых упругих элементов конструкций при волновых воздействиях.
В первом параграфе главы приведены уравнения распространения гармонических сферических волн в изотропных упругих слоистых средах, обладающих сферической симметрией. Их решение в каждом однородном слое представляется в виде суперпозиции потенциалов падающих, отраженных и преломленных сферических волн.
Во втором параграфе на основе полученных представлений для волновых потенциалов решена задача синтеза защитного сферически слоистого экрана минимальной массы, подверженного волновым механическим воздействиям и имеющего заданный коэффициент прохождения волновой энергии. На основе исследования необходимых условий оптимальности изучены качественные особенности оптимальной структуры. Предложен эффективный численный алгоритм расчета волнового поля в сферически слоистом упругом теле как для прямой, так и для сопряженной задач.
В третьем параграфе главы исследована задача оптимального проектирования свободно колеблющихся многослойных сферы и цилиндра минимальной массы при ограничении на основную частоту собственных колебаний. Вывод необходимых условий оптимальности в данной задаче имеет характерную особенность, заключающуюся в том, что гамильтониан в принципе максимума не содержит сопряженных переменных. Это является свойством задач на собственные значения. На основе полученных условий оптимальности построен и реализован эффективный вычислительный алгоритм расчета.
В третьей главе решены задачи минимизации массы слоистых элементов конструкций при ограничениях на их напряженно-деформированное состояние. Такие ограничения являются локальными и при формулировке задачи оптимизации заменяются эквивалентными интегральными ограничениями.
В двух параграфах главы исследованы постановки задач и построены вычислительные алгоритмы оптимального синтеза для таких сло-
истых элементов конструкций, как сжатый поперечно-слоистый стержень при ограничении на критическую силу потери устойчивости и подвергаемая изгибу равномерно распределенной нагрузкой цилиндрически слоистая анизотропная балка при заданных ограничениях на ее прочность и толщину. В задаче об устойчивости стержня, как и в задаче о свободных колебаниях сферической оболочки из второй главы, гамильтониан в условии оптимальности не содержит сопряженных переменных. В задаче же о балке управляемая система описывает двумерное напряженно-деформированное состояние. С помощью специального представления решения в виде разложения по синусам и косинусам окружной координаты в в полярной системе координат (г, в) исходная управляемая система в частных производных сводится к управляемой системе из обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по переменной г, которая затем исследуется методами теории оптимального управления с применением принципа максимума Понтрягина.
В четвертой главе развитый в диссертации подход применяется для задач синтеза из конечного набора материалов слоистых сферических включений минимального веса при различных температурных и силовых нагружениях и локальных ограничениях на их напряженно-деформированное состояние и размеры.
В трех параграфах главы исследованы задачи оптимального проектирования: слоистых сферы и цилиндра минимальной массы, подверженных всестороннему сжатию, при заданных ограничениях на прочность и толщину тел; сферической оболочки минимальной массы, подверженной силовому и температурному воздействиям, при заданных ограничениях на прочность, критическую нагрузку потери устойчивости и толщину сферы; сферического включения минимальной массы, находящегося в матрице, подвергаемой трехосному растяжению на бесконечности, при ограничениях на прочность и размеры включения.
В отличие от первых двух задач в задаче о включении управляемая система описывает трехмерное напряженно-деформированное состояние. В силу линейности уравнений теории упругости и сферической симметрии области, занимаемой включением, решение данной задачи можно представить в виде суперпозиции четырех решений. Первое решение описывает поведение слоистой сферы в бесконечной матрице под действием равномерного внутреннего давления. Данная задача является одномерной. Каждое из оставшихся трех решений определяет двумерное осесимметричное напряженно-деформированное состояние включения в матрице при действии на бесконечности равномерного одноосного усилия вдоль каждой из осей Хі декартовой системы координат (^1,^2)^3)- С помощью специального разложения по меридиональной координате ві в сферической системе координат (г, 0*,^), где угол в{ отсчитывается от оси #,-, и преобразований поворотов управляемые системы в данных задачах записываются в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по переменной г. Для всех исследуемых задач получены необходимые условия оптимальности и на их основе построены экономичные численные алгоритмы расчета оптимальных структур.
Заключительная пятая глава посвящена решению новой задачи оптимального проектирования: синтезу из конечного набора материалов слоистого эллипсоидального включения минимальной массы при двуосном растяжении пространства и при заданных ограничениях на прочность и размеры включения. Главное отличие данной задачи от задач, рассмотренных в предыдущей главе, состоит в том, что область тела не обладает сферической симметрией, так как само включение и его однородные слои представляют соосные эллипсоиды вращения. Хотя, как и ранее, функция управления зависит лишь от одной пространственной координаты, управляемая система в данной задаче описывает существенно неодномерную механическую задачу, решение которой
невозможно непосредственно свести к суперпозиции решений одномерных задач, для которых управляемые системы записывались бы в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Методом малого параметра были построены нулевое и первое приближения задачи, для которых получены необходимые условия оптимальности и построен эффективный численный алгоритм расчета.
Все исследованные в главах 2-5 задачи иллюстрируются примерами расчетов.
В заключении приведены основные выводы по диссертации.
Рассмотрим теперь современное состояние проблемы по оптимальному проектированию из конечного набора материалов слоистых конструкций, используемых в механике деформируемого твердого тела.
Слоистые конструкции при волновых воздействиях. Широкое распространение получили слоистые конструкции при создании звукоизоляционных и шумозащитных панелей, покрытий и ограждений [41, 47, 48, 83, 112, 114, 125, 158]. В некоторых случаях все эти конструкции служат для целей согласования акустических сопротивлений, т.е. для создания неотражающих переходных слоев между двумя средами с различными акустическими свойствами [73, 136, 170]. Аналогичные переходные слои используются в стержневых волноводах для создания неотражающих переходов [70-72, 82]. Эффективным оказалось применение слоистых покрытий из материалов с поглощением для демпфирования изгибных волн в стержнях, пластинах и оболочках [53, 84, 135, 142].
Новый эффект резкого увеличения диссипативных характеристик при собственных колебаниях структурно-неоднородных слоистых обо-лочечных конструкций, составленных из материалов с различными реологическими свойствами, установлен в работах [32, 45, 50,88, 98, 99, 169], а в [130-132] описано явление динамической концентрации напряжений во внутренних точках многослойных конструкций при нагру-
жении их малым числом импульсов. С успехом используются свойства слоистых систем при проектировании оптических фильтров, просветляющих и отражающих многослойных интерференционных покрытий [35, 60, 62, 64, 118,129, 139, 150, 170, 171]. Во всех приложениях используется свойство слоистых систем менять интерференционную картину, получая требуемые амплитудно-частотные характеристики волнового поля. Существует, как правило, множество конструкций, удовлетворяющих заданным техническим требованиям. Этот факт является основой для постановки задач оптимального проектирования слоистых систем.
Имеется ряд подходов к оптимальному проектированию конструкций, в частности, слоистых, основными из которых являются методы математического программирования и вариационные методы оптимального управления. Постановка оптимизационной задачи методами математического программирования производится, как правило, в упрощенном виде. При проектировании слоистых систем эти упрощения заключаются в том, что задаются либо количество и свойства слоев при неизвестных толщинах, либо количество и размеры слоев, а ищутся неизвестные свойства. Подобными методами в работах [40, 116, 135, 142] решены задачи максимизации демпфирования при изгибных колебаниях стержней, балок и пластин.
Формулировка задачи оптимизации в рамках теории оптимального управления не только более общая, но, что самое главное, позволяет проводить качественные исследования задачи на основе необходимых условий оптимальности. При этом часто удается априорно установить структуру оптимальных конструкций, резко сузить класс конструкций, содержащих оптимальную.
При проектировании слоистых конструкций, взаимодействующих с волновыми полями, выделим работы, в которых качественное изучение и численные алгоритмы основаны на исследовании необходимых
условий оптимальности. Одна из первых таких работ [94] посвящена минимизации толщины неоднородного слоя при заданном коэффициенте отражения акустической монохроматической волны. В этой работе принималось допущение о равенстве плотностей всех материалов, а переменный показатель преломления мог принимать любое значение в диапазоне [nmjn,nmaK]. Из полученных необходимых условий оптимальности следовал релейный характер управления, т. е. оптимальная структура представляла чередование слоев с максимальным и минимальным показателями преломления. К этой работе примыкает целый цикл исследований [65, 66, 102], где подробно изучены структуры оптимальных согласующего и поглощающего неоднородных акустических слоев. Везде установлен релейный характер неоднородности оптимального слоя, состоящего из двух материалов с предельными свойствами. Ряд задач оптимизации звукозащитных покрытий приведен в монографии [158]. Во всех этих работах множество значений допустимых управлений было непрерывно, и для решения соответствующих задач не требовалось использования игольчатых вариаций. В работах [63, 70 72] для стержневых волноводов методами оптимального управления решены задачи о минимизации коэффициента отражения в некоторой полосе частот. Многие работы [35, 60, 62, 127-129, 140] посвящены оптимальному проектированию оптических слоистых интерференционных фильтров. В них также показана эффективность вариационного подхода.
Задачи оптимального проектирования слоистых систем из конечного набора материалов начали рассматриваться сравнительно недавно. Так в работах [2, 35, 62, 74, 77, 78, 80, 81, 143, 145, 146] рассмотрены задачи синтеза из конечного набора материалов слоистых неоднородных слоев, максимально отражающих акустические волны как в монохроматическом случае, так и для непрерывного спектра частот. Аналогичные задачи для оптических отражающих и просветляющих
интерференционных покрытий рассмотрены в [35, 62].
Задачи оптимизации слоистых конструкций при волновых воздействиях, как правило, многоэкстремальны. Это объясняется тем, что при волновых режимах в линейных системах зависимость параметров состояния от временной и пространственных переменных описывается периодическими функциями, которым свойственна многоэкстремаль-ность. Функции и функционалы от таких параметров также могут иметь много экстремумов. Вопросы разработки методов поиска глобального экстремума рассмотрены в [35, 62, 164]. В [164] для некоторых частных случаев задачи оптимального проектирования слоистых отражающих экранов предложены методы нахождения глобального экстремума, а в [35, 62] исследованы некоторые подходы для двухкомпонент-ных сред.
Слоистые конструкции при тепловых воздействиях. Теплоизоляционные конструкции широко применяются в теплотехнике, строительстве, машиностроении [42, 68, 111, 157] и во многих других областях промышленности. По своему назначению они делятся на два основных класса.
К первому классу относятся теплозащитные конструкции, хорошо гасящие стационарные тепловые потоки. Качество теплозащитной конструкции определяется коэффициентом теплового сопротивления или термосопротивления, который, во-первых, зависит только от коэффициента теплопроводности, что является следствием стационарности процесса, во-вторых, не зависит от порядка расположения слоев и, в-третьих, не зависит от граничных условий.
Известен ряд задач оптимального проектирования теплозащитных конструкций по различным критериям, например, для создания нужного стационарного распределения температуры внутри конструкции. Так, в [105] рассмотрена задача прогрева многослойной теплозащитной стенки из п слоев различных материалов. Требовалось определить
толщины слоев из условия минимума массы стенки при ограничениях на температуру в стыках между слоями. С помощью штрафной функции решение задачи было сведено к задаче нелинейного программирования без ограничений. Похожая задача решена в [104]. Там для одномерного плоского и цилиндрического случаев требовалось найти распределение коэффициента теплопроводности из условия минимума интегрального среднеквадратичного отклонения между вычисленной и заданной температурами внутри конструкции. Задача решена методами классического вариационного исчисления.
Ко второму классу относятся так называемые теплоустойчивые конструкции, предназначенные для гашения или регулирования нестационарных тепловых возмущений [42, 157], В случае линейной теплопроводности любое тепловое возмущение и решение уравнения теплопроводности представимо в виде интеграла или ряда Фурье. В этой связи важным частным случаем являются установившиеся гармонические тепловые возмущения. Для таких возмущений мерой теплоустойчивости будет степень затухания амплитуды колебаний температуры или теплового потока [138, 157]. Затухание нестационарных возмущений зависит, в отличие от стационарных, не только от коэффициента теплопроводности, но и от других теплофизических характеристик. Кроме того, эта величина зависит от граничных условий на внешних границах панели, от периода внешних тепловых возмущений, от взаимного расположения и толщин слоев, составляющих панель [95, Ш, 138, 157].
Многообразие факторов, влияющих на затухание нестационарных тепловых возмущений, является основой постановки задач оптимального проектирования теплоустойчивых конструкций. В [111, 147] с помощью простого перебора двухслойных конструкций с заданной общей толщиной определены относительные толщины каждого из двух слоев, при которых затухание амплитуды колебаний внешней температуры
является максимальным. Различные методы неполного перебора для решения этой задачи при большем числе слоев использованы в [138]. Однако методы перебора ограничены случаем малого числа слоев и материалов.
В [33] впервые были использованы методы оптимального управления для решения следующей задачи: из заданного множества материалов требовалось синтезировать слоистую стенку заданной толщины, максимально гасящую амплитуду внешних гармонических колебаний температуры. Для сформулированной задачи были получены необходимые условия оптимальности и приведены примеры конкретных оптимальных конструкций. В [36, 57, 75, 76, 79, 144] исследовались задачи минимизации массы, толщины, термосопротивления и других свойств слоистых теплоизоляционных конструкций при ограничениях на уровень гашения амплитуды температурных колебаний. В [56, 81] эти задачи решены для случая негармонического внешнего теплового воздействия. Сделан вывод о слабой зависимости структуры оптимальной стенки от формы периодических возмущений. Соответствующие задачи для случаев цилиндрически и сферически слоистых сред рассмотрены в [1, 57].
Слоистые конструкции при механических воздействиях. Из работ, относящихся к оптимальному проектированию слоистых конструкций при механических воздействиях, отметим работы [25-30], связанные с оптимизацией структуры толстой слоистой плиты при ударном внедрении в нее тонкого жесткого удлиненного тела. Во всех работах, кроме [27], использовалась эмпирическая модель внедрения, взятая из книги [37], которая при скоростях соударения от 100 до 1000 м/с устанавливала связь между удельной силой сопротивления прониканию, динамической твердостью материала среды, ее плотностью, коэффициентом формы головной части ударника и его скоростью. В рамках этой модели в [25, 30] впервые в терминах теории
оптимального управления рассмотрена задача поиска механических характеристик неоднородной по толщине плиты из условия полной остановки ударника. В предположении о наличии семейства материалов с непрерывными плотностями из диапазона [рт[п-> ртях\ и линейной связи между динамической твердостью и плотностью материалов получена структура плиты минимальной толщины при заданной погонной массе и показано, что для рассматриваемой задачи среди ударников, представляющих собой тело вращения с выпуклой образующей, оптимальными являются конические ударники. В [28, 29] исследована аналогичная задача об определении структуры плиты минимальной массы, обеспечивающей полную остановку ударника. Были рассмотрены случаи цилиндрических, клиновидных и конических ударников и установлена зависимость структуры оптимальной плиты от начальной скорости ударника и угла полураствора конуса. Во всех задачах [25, 28-30] установлен релейный характер неоднородности оптимальной плиты, состоящей из двух материалов с предельными плотностями рт\п и ртах. В [26] для цилиндрического ударника исследован случай нелинейной связи между динамической твердостью и плотностью материалов. Показано, что в этой ситуации оптимальные по массе плиты могут иметь непрерывное распределение свойств по толщине, причем твердость от лицевой поверхности к тыльной не возрастает. В [27] с использованием модели, предложенной в работе [126], согласно которой плита моделировалась упругопластической несжимаемой средой без упрочнения, найдена структура плиты минимальной массы, гасящей скорость цилиндрического ударника с конической головкой до нуля. При этом плита может быть составлена из конечного набора материалов.
В настоящее время теория оптимального управления и ее приложения насчитывают огромную библиографию, где достаточно полно освещены как теоретические, так и прикладные ее аспекты [3, 31, 38, 44, 58, 61, 68, 93, 100, 101, 117, 120, 122, 124, 141, 156, 161, 163]. В ряде работ
[35, 46, 51, 52, 54, 59, 62, 81, 89, 90, 96, 97, 106-108, 113, 119, 121, 123, 133, 134, 148, 151-154, 167] описаны методы приближенного решения задач оптимального управления.
Большинство методов заключается в построении минимизирующей последовательности управлений на основе необходимых условий оптимальности либо в пространстве состояний [106, 107], либо в пространстве управлений [148, 154]. Следует подчеркнуть, что конструирование вычислительных процедур приближенного решения тесно связано с такими теоретическими вопросами этой дисциплины, как выбор функциональных классов управляющих переменных, существование и единственность решения.
В задачах синтеза из конечного набора материалов слоистых элементов конструкций множество допустимых управлений U является дискретным точечным множеством. Из этого следует, что множество управляющих функций и(х) не имеет вариаций, малых в равномерной норме. При выводе необходимых условий оптимальности и построении минимизирующей последовательности управлений исследуются малые окрестности оптимальных или текущих решений. Большинство методов анализа и расчета используют для этого как раз малые вариации управления. Все эти методы, естественно, нельзя применить для рассматриваемого класса задач. Таким образом, задачи оптимального проектирования слоистых систем из конечного набора материалов обладают особенностями, которые не позволяют использовать для их решения методы математического программирования (линейного, нелинейного, целочисленного), предназначенные для решения конечномерных экстремальных задач, и многие методы оптимизации (вариационные методы) в функциональных пространствах. Для решения этих задач наиболее эффективными оказались методы оптимального управления, основанные на принципе максимума Понтрягина и игольчатых вариациях управления.
Следует отметить, что численные методы, использующие конечные вариации управления на множествах малой меры, в задачах оптимального проектирования слоистых конструкций почти не применялись. В большинстве монографий, посвященных вычислительным аспектам теории оптимального управления, описываются, как правило, алгоритмы, основанные на малых вариациях. Вычислительные же процедуры на основе конечных вариаций управления имеют свои особенности. Кроме того, ряд чисто технических вопросов, таких, например, как дифференцирование функционалов, определенных на траекториях управляемой системы, тесно связан со многими тонкостями, возникающими при численных расчетах.
В задачах оптимального проектирования слоистых конструкций при волновых, температурных и силовых воздействиях вычислительные методы, основанные на конечных вариациях управления, до работ соискателя встречались в [33, 34, 36, 56, 75, 76, 143, 144]. Систематические разработка и использование этих методов при оптимизации элементов конструкций в задачах механики деформируемого твердого тела даны в работах соискателя [4-9, 11-13, 16-18, 20, 23, 159, 160].
Из анализа выше упомянутых работ следует, что задачи оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, синтезируемых из конечного множества материалов, можно сформулировать в рамках теории оптимального управления системами с дискретной областью значений управляющих переменных. При этом наиболее подходящими для качественного исследования и численного решения задач оптимального проектирования с дискретной областью значений параметров управления являются принцип максимума Понтрягина и аппарат игольчатого варьирования. Для решения многих задач оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, используемых в различных областях механики деформируемого твердого тела, можно применить единый подход, изложенный в диссертации.
Постановка задачи оптимального проектирования слоистых конструкций
При проектировании слоистых систем, как правило, существует бесчисленное множество конструкций, удовлетворяющих заданным эксплуатационным и технологическим требованиям. Этот факт является основой для постановки задач оптимизации.
Постановка таких задач предполагает, во-первых, наличие управляемой системы, во-вторых, описание управляющих функций и, в-третьих, задание функционалов, служащих критерием качества и ограничениями на управляющие и фазовые переменные.
При оптимальном проектировании неоднородных конструкций в качестве управляющих параметров выбираются: 1) структура конструкции и 2) ее геометрия. В случае конечного набора материалов структура конструкции определяется взаимным расположением и размерами ее частей, состоящих из различных материалов. Мы исследуем случаи неоднородности вдоль одной пространственной координаты, т. е. слоистые конструкции. Структура слоистой конструкции определяется числом, размерами, расположением и материалами составляющих ее слоев, а геометрия — общей толщиной слоистого пакета. Заметим, что структура слоистой среды определяется заданием распределения некоторого характерного свойства материалов и(х) или соответствующей характеристической функции а(х) вдоль координаты ж, перпендикулярно пересекающей границы слоев, а также общей толщиной конструкции Z, х Є [0,ї]. Поэтому в качестве управления выбирается пара {а(ж),/}, включающая как распределенное управление а(х), так и числовой параметр /. Наличие непрерывного управляющего параметра I предполагает для решения задачи оптимизации использовать кроме методов оптимального управления также и вариационные методы.
Особенности уравнений рассматриваемых физических процессов. Роль управляемой системы играют уравнения физического процесса. В диссертационной работе решаются некоторые вопросы, связанные с задачами оптимального проектирования конструкций для процессов теплопроводности, распространения упругих волн, процессов деформирования, которые описываются соответственно линейными уравнениями теплопроводности и теории упругости. Коэффициенты этих уравнений зависят от свойств среды, т.е. от управления сх(х), и являются функциями одной пространственной переменной X.
Пусть х = (жі, Ж2, хз) — пространственные переменные и а — ot{xi). Будем считать, что управление а и фазовые переменные у(хі,Х2,хз,і) связаны операторным уравнением Щу{хих2,хг,і),а(хі),і\ = 0. (2.1)
По отношению к фазовым переменным ЇЯ является линейным дифференциальным оператором. Кроме того, оператор ЇЯ включает краевые и начальные условия для у(х,), а также, в силу разрывности управления ct(xi), условия сопряжения на границах слоев. Отметим, что, «свертывая» с помощью интегральных преобразований или разложения в ряды переменные f, 22, 3, можно получить вместо уравнения (2.1) новое операторное уравнение, связывающее изображение фазовых переменных с исходной управляющей функцией CV(JI). Этот новый оператор является обыкновенным дифференциальным оператором по пространственной переменной х\.
Пусть решение уравнения (2.1) ищется в виде интеграла Фурье . оо y{xi,x2ix3,t) - J- Re[yF{xux2,x3,u;)etu3t]du;, о где yp(x,u;) — Фурье-образ исходных фазовых переменных у(х,), зависящий от параметра преобразования и и удовлетворяющий операторному уравнению [уИ ьЯ2,гсз ),а(хі)] = 0. По отношению к УР оператор JKF является линейным дифференциальным по пространственным переменным оператором, параметрически зависящим от ш. Оператор Rp включает краевые условия и условия на границах слоев для компонент ур Аналогично, «свертывая» переменные %2 и х%, получим операторное уравнение ,(1 ,/3,7) 03 = 0, (2.2) где у — образ фазовых переменных после всех преобразований, /3, j — параметры преобразований соответственно по координатам х% и х$. Оператор Н по отношению к у является дифференциальным по х\ оператором, зависящим от параметров преобразований и, Д 71 которые можно объединить в один векторный параметр х — { Д7І- Тогда (2.2) можно записать в виде « M LXW i)] = 0. (2.3) Как и ранее, ЇН включает краевые условия и условия на границах слоев.
Структура линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которым удовлетворяет у (ягі,х), определяется структурой исходных линейных уравнений теплопроводности, распространения волн, теории упругости. Все эти уравнения имеют похожую структуру, так как являются следствием дивергентных законов сохранения и некоторых линейных феноменологических соотношений таких, как закон Фурье в теплопроводности или обобщенный закон Гука в теории упругости. В самой деле, для процесса теплопроводности закон Фурье связывает вектор потока тепла jT = {зиЗъЗъ) и градиент температуры
Минимизация массы звукозащитного сферического экрана с заданным уровнем прохождения волновой энергии
Прохождение волн через границу раздела двух сред. Пусть имеется тело, состоящее из m однородных сферических слоев, на которое падает гармоническая волна вида (3.13) с частотой ш и амплитудой А. Если волновой вектор к ортогонален поверхностям слоев, т. е. источник волны расположен в центре сфер, то при переходе через их границу падающая волна порождает одну отраженную (3.14) и одну преломленную (3.13) сферические волны, имеющие ту же частоту и и амплитуды В\ и Лі, соответственно. Все три волны, падающая, отраженная и преломленная, распространяются независимо, не взаимодействуя друг с другом. При этом волновое поле в первой среде будет являться суперпозицией падающей и отраженной волн.
Взаимодействие волн на границе раздела сред (слоев) зависит от краевых условий на этой границе. Рассмотрим некоторые из них. 1. Идеальный контакт: на сферической границе S (г = const) разде ла слоев равны вектор перемещений (или скоростей) и вектор напря жений на площадке с нормалью п. = т/г (u ! -«? )5 = 0, ( - g )s = 0. (3.15) Верхние индексы относятся, соответственно, к первой и второй однородным средам по обе стороны S. 2. Контакт с абсолютно жестким телом: ur\s = 0. 3. Свободная граница (контакт с вакуумом): 0Tr\s — 0.
Для определения амплитуд отраженной и преломленной волн в однородных слоях в случае идеального контакта используются условия (3.15). В рассматриваемой сферической системе координат таких условий два.
Вследствие отражений гармонической сферической волны от границ раздела сред в каждом слое будет существовать система сферических волн, распространяющихся в прямом (в сторону положительных значений г) и обратном направлениях. Потенциал ц в каждом однородном слое будет содержать две произвольные постоянные (по числу волн), а
в окружающих областях — одну. Таким образом, в системе из т слоев определение волнового поля заключается в нахождении 2(тп + 1) произвольных постоянных, входящих в выражения для потенциала. Есть хорошо разработанные матричные [109] и импедансные [103] методы нахождения этих произвольных постоянных, что делает использование потенциалов эффективным для расчетов конкретных слоистых структур.
Система линейных уравнений первого порядка, описывающая волновое поле слоистой среды. При формулировке задач оптимального проектирования параметры, описывающие напряженно-деформированное состояние, играют роль фазовых переменных, которые, согласно принципа максимума, должны быть абсолютно непрерывными функциями, удовлетворяющими системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Данная система уравнений называется управляемой. Для получения такой системы следует исходить из уравнений движения (3.2) и закона Гука (3.3), выбрав в качестве фазовых переменных те компоненты вектора скорости и тензора напряжений, которые остаются непрерывными при переходе по нормали через границу раздела двух сред.
В системе координат (г, в, р) в случае сферической симметрии уравнение движения (3.2) принимает вид а соотношения закона Гука (3.3) с учетом выражения (3.9) для скорости С/ записываются в виде где Ct — скорость распространения поперечной, или сдвиговой, волны в среде, cf = fl/p. Так как параметры сферической волны, содержащей весь частотный спектр, можно представить в виде интеграла Фурье [48], перейдем к спектральному представлению по времени
Тогда соотношения (3.16), (3.17) можно записать в виде системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно непрерывных фазовых переменных у (г, ш) = (уі,уг)т = (vr,0 r)T У = Ау, (3.18) где fr(r, ш) — спектральная плотность радиальной скорости vr(r, t) = dur{r,t)jdt, orr(r,u) — спектральная плотность напряжения arr(r,t).
В силу непрерывности по г всех компонент yi систему (3.18) можно рассматривать на всей оси г, считая компоненты матрицы А кусочно-постоянными или кусочно-непрерывными. Вид самой матрицы А из (3.18) будет приведен в следующем параграфе при решении конкретной задачи.
Минимизация массы анизотропной криволинейной балки
Составим расширенный функционал Q(a) = F0(a) + \{Fi(a) +«а). (6.16) где А и — множитель Лагранжа и штрафная переменная, отвечающие за учет ограничения (6.14) [3]. Вариацию функционала Q(a) (6.16) с использованием выражений (6.12) и (6.15) можно записать в виде
Как следует из выражения (6.18) для функции Я(а,у), в рассматриваемой задаче на собственные значения функция Гамильтона не содержит сопряженных переменных.
Если управление а(х) является оптимальным (минимизирующим), то для любых допустимых управлений а (х) (6.11) должно выполняться необходимое условие оптимальности o Q(M, г?) 0. Тогда из выражения (6.17) в силу произвольности вариации 6 и того, что множество малой меры М может быть всюду плотно расположено на отрезке [0,1], получаем, что на оптимальном управлении aopt(x) А(Ро - («opt)) - 0, А 5 0, (6.19) Я(а ч ,у) = тахЯ(0,у). (6.20) Выражение (6.19) является условием дополняющей нежесткости и согласования знаков [3].
На основании соотношений (6.19), (6.20), вытекающих из необходимого условия оптимальности SQ(M, і?) 0, можно сформулировать принцип максимума для рассматриваемой задачи.
Пусть {a0?t(x)} — оптимальное управление в задаче (6.5)-(6.10), при котором существует нетривиальное решение у(х) системы (6.9) с краевыми условиями (6.10). Тогда построенная с помощью этого решения функция Гамильтона Н{д, у) (6.18) достигает максимума по
аргументу г? на оптимальном управлении aopt(x) почти при каждом х [0,1], т. е.
При этом на оптимальной траектории у (х) должно выполняться соотношение (6.19). Таким образом, получаем, что оптимальное управление aopt(x) и соответствующая ему оптимальная траектория у(х) должны удовлетворять краевой задаче (6.9), (6.10), ограничениям (6.14), (6.19) и почти при всех х є [0,1] принципу максимума (6.20).
Вычислительный алгоритм. Так как в рассматриваемой задаче функция Гамильтона Я(а,у) (6.18) не содержит сопряженных переменных, то с учетом этого вычислительный алгоритм строится следующим образом. Отрезок [0,1] равномерной сеткой узлов {ХІ} разбивается на достаточно большое число отрезков малой длины h — Х{ — Xj_i, моделирующих множества малой меры Mi = [xi_bxi]3 г = 1,... ,n.
Пусть известно некоторое управление ае(х) из допустимой области (6.6), (6.14). Значения вектора фазовых переменных у (х) на отрезке М; будем характеризовать их значениями в точке х = ж _1-{-Л/2. Алгоритм нахождения (в-Ы)-го приближения включает в себя следующие этапы: 1. Решая систему (6.9), (6.10), находим нагрузку P(as) и соответствующий ей собственный вектор фазовых переменных у(х) в точках х = #І_І + /г/2, г = 1,... , п. 2. На отрезке М согласно выражению (6.11), задаем новое управление Щ, которое обеспечивает минимум вариации SF M -d ) из (6.12) при линеаризованном ограничении (6.14) Fx{ x ) « Fx{as) + 6Fl{Miiri) 0, которое с учетом (6.15) можно записать в виде і Если $ = as(xi i -J- fe/2), то повторяем п. 2, переходя к следующему отрезку МІ+\. Если тЗ? ф OL {X \ -f- h/2), то переходим к п. 3. 3. Следующее приближение управления полагаем равным
Таким образом, управление улучшается на всем отрезке [0,1]. Процесс считается оконченным на данной сетке разбиения, если управление а(х) не изменяется ни при каких і = Если в результате решения задачи управление а(х) принимает одно и то же значение на двух или нескольких рядом стоящих отрезках М,, то эти отрезки объединяются в один макрослой. Полученное решение представляет собой локальный минимум в рассматриваемой задаче.
Пример расчета. Из материалов, безразмерные характеристики которых приведены в табл. 2, требуется спроектировать стержень минимальной массы при заданном ограничении на величину критической нагрузки.
Минимизация массы сферической оболочки, подверженной силовому и температурному воздействиям
Если управление {a(x)J} является оптимальным (минимизирующим), то для любых допустимых управлений {а (х),1-\-51} должно выполняться необходимое условие оптимальности SQ(M, і?, 81) 0. Отсюда в силу произвольности вариаций SI, S\ и 2 и того, что множество малой меры М может быть всюду плотно расположено на отрезке [0,1], получаем, что на на оптимальном управлении
Равенство (8.27) является условием трансверсальности [148], а выражения (8.28) — условиями дополняющей нежесткости и согласования знаков [3],
Для рассматриваемой задачи необходимое условие оптимальности SQ(M, г?, 51) 0 и вытекающие из него соотношения (8.27)-(8.29) можно сформулировать в виде принципа максимума.
Пусть пара {a0pt{x)J0pt} — оптимальное управление ив допустимых множеств (8.8) и (8.9), минимизирующее функционал (8.10), а у(дг) = {j/i,3/2}T — соответствующая ему оптимальная траектория, являющаяся решением краевой задачи (8.14), на которой выполнено ограничение (8.16). Тогда существует вектор-функция являющаяся, решением краевой задачи (8.21), такая, что составленная с ее помощью функция Гамильтона #($,, у, ф) (8.26) достигает своего максимального значения по аргументу і? на оптимальном управлении аорі(х) почти при всех х Є [0,1], т. е. (a0pt,kpt,y, ) - roaxtf(tMopt,y, ) Кроме того, на оптимальной траектории у (х) должны выполняться условие трансверсальности (8.27) и соотношения (8.28).
Таким образом, оптимальное управление {o;0pt(a:),/opt} и соответствующие ему оптимальная траектория у(х) и вектор сопряженных переменных (х) должны удовлетворять краевым задачам (8.14) и (8.21), ограничениям (8.9), (8.16) и (8.28), условию оптимальности (8.27) и почти при всех х є [0,1] принципу максимума (8.29).
На основе полученных необходимых условий оптимальности строится вычислительный алгоритм синтеза слоистой конструкции. Его подробное описание приведено в 7 третьей главы.
Пример расчета. Из материалов, безразмерные характеристики которых приведены ниже, требуется спроектировать слоистые сферу и цилиндр минимальной массы при заданных ограничениях на ее толщину и прочность. Исходный набор состоит из трех материалов:
Эти характеристики соответствуют сферопластику, алюминиевому и титановому сплавам. Внутренняя поверхность тела, радиус I которой может изменяться в пределах 0,7 -і- 0,9, свободна от нагрузки, т. е. pi — 0. На внешней поверхности тела, радиус гд которой считается фиксированным и равным единице, задано давление pi = 6.
Расчеты показали, что решение оптимизационной задачи не единственно и что разные начальные приближения приводят к различным стационарным решениям. В качестве «оптимального» выбирается минимальное из решений.
Из нескольких начальных приближений был получен ряд стационарных оптимальных решений:
На рис. 8.2 представлен разрез локально оптимальной четырехслой-ной сферы по толщине с внутренним радиусом I = 0,8766 и массой FQ — 0,2184. Сеткой заштрихованы слои из титанового сплава, косыми линиями — из алюминиевого сплава и точками — слои из сферопла-стика.
На рис. 8.3 представлен разрез локально оптимальной двухслойной сферы по толщине с внутренним радиусом / = 0,8984 и массой FQ = 0,2174.
На рис. 8.4 представлен разрез локально оптимальной четырехслой-ной сферы по толщине с внутренним радиусом I = 0,8997 и массой F0 = 0,2152.
Несмотря на то, что по расположению и размерам слоев все полученные сферы сильно отличаются друг от друга, тем не менее по целевому функционалу FQ (8.10) их отличие не превышало 1,5%.
Наилучшим оказалось третье решение, соответствующее сфере с массой FQ 0,2152, внутренним радиусом I = 0,8997 и со слоями: [/, гх] из титанового сплава, [г2,Гз] из сферопластика, [гьГг] и [гз,1] из алюминиевого сплава (рис. 8.4), где г\ = 0,9097, г = 0,9719 и гз — 0,998. На рис. 8,6 и рис. 8.7 представлены графики распределений в оптимальной сфере функции интенсивности напряжений т] (8.12) и радиального напряжения (Тгг Наиболее легкой однородной сферой, удовлетворяющей ограничению (8.16), является сфера из алюминиевого сплава с массой F0 = 0,25745 и внутренним радиусом I = 0,9. Относительный выигрыш по массе для оптимальной сферы по сравнению с данной однородной сфе
