Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аналитические методы исследования напряженно- деформированного состояния пластин 13
1.1. Краткий исторический обзор исследований напряженно-деформированного состояния тонких прямоугольных пластин 14
1.2. Краткий исторический обзор исследований напряженно-деформированного состояния пластин на основе уточненной теории 23
1.3. Аналитические методы разделения переменных в нестационарных задачах динамики линейно упругих систем 35
1.4. Уравнения теории пластин, используемые в диссертации 44
Глава 2. Динамическая задача для упруго закрепленной по двум сторонам прямоугольной пластины на основе модели Тимошенко 49
2.1. Математическая формулировка задачи 50
2.2. Построение общего решения для произвольной динамической нагрузки 52
2.3. Спектральная оценка уточненных кинематических теорий пластин 68
2.4. Частные случаи общего решения 75
2.5. Численный анализ результатов 76
Глава 3. Расчет прямоугольных пластин ступенчато-переменной толщины при действии нестационарных нагрузок методом начальных параметров 91
3.1. Математическая формулировка задачи 93
3.2. Построение общего решения задачи для произвольного динамического воздействия 97
3.3. Применение предлагаемой методики к расчету конкретных систем 103
Глава 4. Динамика упруго закрепленной круглой пластины с конечно сдвиговой жесткостью 113
4.1. Математическая формулировка задачи 113
4.2. Построение общего решения для произвольной динамической нагрузки 115
4.3. Частные случаи общего решения 128
4.4. Анализ напряженно-деформированного состояния пластины при внезапно приложенной нагрузке 129
Заключение 134
Список литературы 136
- Краткий исторический обзор исследований напряженно-деформированного состояния пластин на основе уточненной теории
- Построение общего решения для произвольной динамической нагрузки
- Построение общего решения задачи для произвольного динамического воздействия
- Построение общего решения для произвольной динамической нагрузки
Введение к работе
Актуальность работы. Решение нестационарных задач динамики для составных конструкций с распределенными параметрами в замкнутой форме представляет актуальную проблему современной механики. Условия надежности и экономичности при создании рациональных инженерных конструкций приводят к необходимости проведения динамических исследований на основе более сложных расчетных моделей при обеспечении высокой точности получаемых результатов. Актуальным представляется исследование уточненных моделей по отношению к классической теории стержней, пластин и оболочек. В настоящей работе используется неклассическая модель, основанная на кинематических гипотезах выдающегося отечественного ученого-механика СП. Тимошенко, для исследования недостаточно изученного процесса нестационарного деформирования в пластинах, в том числе и переменного сечения. Проблема разработки и теоретического обоснования новых алгоритмов динамического расчета таких конструкций, моделируемых в виде систем с бесконечном числом степеней свободы, и создание на их основе универсальных программных модулей является актуальной.
Целью работы является изучение нестационарных динамических процессов в упруго закрепленных круглых и прямоугольных пластинах, включая пластины ступенчато-переменного сечения, определение частот и форм свободных колебаний на основе построения замкнутых аналитических решений.
Методика исследования. В работе используется вектор-матричная форма метода конечных интегральных преобразований, особенность которой заключается в том, что в процессе решения определяются все компоненты его структуры из рассмотрения соответствующих подзадач без какой-либо априорной информации о форме решения.
Научная новизна работы заключается в следующем: указанным методом получены точные аналитические решения нестационарных задач для прямоугольных и круглых пластин типа Тимошенко при наиболее общих граничных условиях для широкого класса динамических нагрузок. Использован новый подход исследования в замкнутой форме нестационарных динамических задач пластин ступенчатого сечения с конечной сдвиговой жесткостью. Эффективность предлагаемого решения обеспечивается значительно меньшим, по сравнению с методами конечной аппроксимации, порядком разрешающей системы уравнений и высокой точностью получения частот и форм свободных колебаний конструкции.
Практическая ценность и внедрение результатов:
Получены эффективные расчетные соотношения, позволяющие исследовать напряженно-деформированные состояния пластин Тимошенко при наиболее общих условиях их опирання и динамического нагружения.
Полученные в работе замкнутые решения могут быть использованы при
оценке погрешностей различных приближенных алгоритмов и методов, при расчете сложных фундаментов, дорожных плит покрытия, перекрытий сооружений, подпорных стенок гидротехнических сооружений.
Результаты работы по договору о творческом содружестве с АО "Проек-
тно-изыскательский институт Самарагидропроект" использованы в со
ставе технико-экономического обоснования расширения Волжской ГЭС
им. В.И. Ленина. Были выполнены расчеты (в соавторстве с Э.Я. Еле-
ницким) по определению несущей способности пространственного бло
ка перекрытия здания ГЭС при действии статических и динамических
нагрузок. Ожидаемый экономический эффект 67000 тонн арматурной
стали.
Достоверность полученных результатов исследования обеспечивается корректностью постановки и строгостью математического метода решения рассматриваемых начально-краевых задач, сравнением полученных решений в частных случаях с классическими решениями, а также соответствием качественных результатов общей физической картине исследуемых процессов.
На защиту выносятся:
новые точные аналитические решения нестационарных задач для круглой и прямоугольной (в том числе и переменного сечения) пластин при произвольных динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований для общих граничных условий;
новая интерпретация метода начальных параметров для получения аналитического решения пластин ступенчатого сечения в виде, не содержащем быстро возрастающих и убывающих частей, что позволяет исследовать частотный спектр системы в более широком диапазоне;
новая форма метода конечных интегральных преобразований, дополненная операцией суммирования по элементам составной конструкции;
результаты численного анализа напряженно-деформированного состояния, спектра частот и форм колебаний составной конструкции.
Апробация работы. Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих международных, всероссийских, региональных научных конференциях и симпозиумах, семинарах и школах:
Научный семинар на кафедре "Математической теории упругости и биомеханики" Саратовского государственного университета под руководством доктора физико-математических наук, профессора Л.Ю. Коссо-вича, Саратов, СГУ, 12 ноября 2008 г.
Научный семинар "Современные проблемы математики и механики" под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ю.Н. Радаева. Самара, СамГУ, 2005-2008 гг.;
Научный семинар "Актуальные проблемы механики, математики и информатики" под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.А. Ковалева. Москва, Московский городской университет управления Правительства Москвы, 15 мая 2008 г.;
Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". Стерлитамак, МГУ, АН Республики Башкортостан, 24-28 июня 2008 г.;
Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора Д.Д. Ивлева. Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева, 28 июня 2007 г.;
15-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 26 февраля - 3 марта 2007 г.;
Второй Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике "Нелинейное моделирование и управление" (летняя сессия), г. Самара, 1-6 июля 2001 г.;
Международная конференция "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики". Нальчик, НАН Украины, Институт математики, Кабардино-Балкарский госуниверситет, 2-6 июня 1997 г.;
Шестая межвузовская научная конференция "Математические модели и краевые задачи". Инженерная Академия России, Самарский государственный технический университет. Самара, 29-31 мая 1996 г.;
Региональные научно-технические конференции "Актуальные проблемы в строительстве и архитектуре. Образование. Наука. Практика" под руководством доктора технических, профессора Ю.Э. Сеницкого. Самара, СамГАСА, 1994-2004 гг.;
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 19 печатных работ. Работы с соавторами выполнены на паритетных началах.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы — 162 страницы машинописного текста, включая 28 рисунков, 4 таблицы и список литературы из 236 наименований.
Краткий исторический обзор исследований напряженно-деформированного состояния пластин на основе уточненной теории
Уточненными называют теории, которые отличаются от обычных классических наличием в дифференциальных уравнениях дополнительных членов, расширяющих в некотором смысле области применения последних. Появление уточненных теории обусловлено тем, что классические теории при решении ряда задач современной техники приводили к заметным погрешностям в силу их физического и математического несовершенства. Решение всех задач, связанных с неустановившимися процессами, полученные из классических уравнений поперечных колебаний стержней и пластин, не являются волновыми решениями, так как скорость распространения любого возмущения является бесконечно большой - возмущение мгновенно распространяется вдоль всего стержня или плиты, что противоречит как обычным физическим представлениям, так и общим динамическим уравнениям теории упругости. Это противоречие связано с теми допущениями, которые делаются при выводе обычного дифференциального уравнения поперечных колебаний стержня (плиты). Обобщение классической теории поперечных колебаний стержней, основанное на учете влияния инерции вращения элементов стержня и деформации поперечного сдвига, было получено СП. Тимошенко [156] в 1916 г. Он общепризнанно считается автором этой уточненной теории, хотя учет инерции вращения еще был сделан Дж. Релеєм в 1877 году. Впоследствии было обнаружено, что аналогичное волновое уравнение с учетом этих двух факторов было известно М. Брессу [188] (1859 г.) и Gjogonio (1882 г.).
Занимаясь установившимися колебаниями, СП. Тимошенко и Дж. Рэ-лей интересовались влиянием инерции вращения и сдвига на частоты колебаний. Несмотря на то, что ими было установлено незначительное влияние этих факторов на частоты колебаний, полученные по классическим теориям, тем не менее, учет этих факторов имеет принципиальное значение, т.к. они приводят к волновым уравнениям поперечных колебаний стержней и пластин. На волновой характер уравнений для стержня Тимошенко почти одновременно указали в 1942 году J. Prescott [229] и Flugge [203]. Решение уравнения Тимошенко методом характеристик приводится в работе G. Pfeiffer a [227].
В статье Я.С. Уфлянда [164] (1948 г.) показан волновой характер уравнения поперечных колебаний стержня Тимошенко и получены две скорости распространения волн в нем. В этой же работе впервые выводятся уравнения поперечных колебаний пластин на основе модели Тимошенко, рассмотрено приложение этих уравнений к исследованию реакции бесконечной пластины па ударное сосредоточенное возбуждение. Как и в случае стержня. для пластины были получены две соответствующие скорости распространения двух разрывов. К решению уравнения Тимошенко Я.С. Уфлянд применил метод преобразования Лапласа и вычислил в связи с этим ряд интегралов Римана—Меллина, которые в дальнейшем применялись и другими исследователями [55]. Однако автором работы [164] были использованы граничные условия, соответствующие классической теории, а не модели Тимошенко, что некорректно.
Одной из первых работ, посвященных решению задачи о вынужденных колебаниях пластин в уточненной постановке явилась работа М.В. Дубин-кпна [54] (1958 г.), в которой он для решения уравнений изгибных колебаний прямоугольных пластин применяет метод разложения искомых функций по собственным функциям. Для квадратной свободно опертой пластины при действии мгновенного импульса приведен пример и дано сравнение с классической теорией. Очевидно в расчетах была допущена ошибка, если автор сделал вывод о том, что учет инерции вращения и сдвига существенно уменьшает максимальные значения прогибов и изгибающих моментов.
Этим же методом Н. Reismann [231] рассмотрел динамическую задачу для круглой (кольцевой) пластины в постановке теории типа Тимошенко при произвольной поверхностной нагрузке и произвольных граничных и начальных условиях. Подробно рассмотрен случай защемленной кольце вой пластины при мгновенном смещении внутреннего контура. Проведен анализ прогибов, моментов и круговых частот в зависимости от толщины пластинки и их сравнение с классической теорией.
Той же задаче посвящены работы Л.И. Фридмана [171-175], в которых автор также использует метод разложения по собственным формам колебаний применительно к преобразованной исходной системе уравнений относительно двух функций, названных производящими, через линейные комбинации производных от которых выражены прогибы и углы поворотов поперечных сечений пластины. Обобщенное соотношение ортогональности при этом считается известным.
Волновые уравнения, исходя из вариационной формулировки, вывел R.D. Mindlin [221] (1951 г.). Доказана единственность их решения. Хотя по форме они совпали с уравнениями, что и в [164], однако при их выводе есть принципиальное физическое различие, о котором будет сказано ниже. В работе [222], совместно с другими авторами, он решает задачу о нахождении частот колебаний прямоугольных плит с традиционными граничными условиями: с опертыми и с двумя опертыми и двумя свободными краями. Из сравнения с точной теорией и классической было установлено, что сдвиговая поправка играет важнейшую роль.
Построение общего решения для произвольной динамической нагрузки
Начально-краевую задачу (2.1)—(2.9i) решаем методом конечных интегральных преобразований Фурье. Для этой цели сначала используем синус и косинус преобразования Фурье по переменной , а затем в пространстве изображении к полученной краевой задаче — обобщенное конечное интегральное преобразование по переменной т] с компонентами вектор-функции ядра Ki(\jn,ri), K.2{\in,rj)i КЗ(\ІП,ГІ)) определяемыми в процессе решения задачи. Такой общий прием позволяет построить решение для наиболее общих (упругих) условий закрепления краев т] — О, г) = е. Ниже изложен план реализации получения намеченного решения.
С этой целью необходимо применить к первому и третьему уравнению систем (2.1) и равенствам (2.2), (2.4), (2.7), (2.8), (2.7і), (2.8і) синус-преобразование Фурье с конечными пределами по переменной , а ко второму уравнению системы (2.1) и соотношениям (2.3), (2.9), (2.9і) — косинус-преобразование Фурье. Применим к уравнениям (2.10) и (2.12) обобщенное конечное интегральное преобразование (2.13) по переменной т\ в соответствии со структурным алгоритмом метода конечных интегральных преобразований [150]. С этой целью умножим первое, второе и третье уравнения системы (2.10) соответственно на fiKi(Xin,r])} f2K2(Xin,r]), hK3(Xin,7J) и проинтегрируем по ту в пределах от 0 до є. Аналогично поступаем с равенствами (2.12). Равенства (2.27) получены в результате подстановки соотношений a s, Wg, «с в соответствии с (2.11) в выражение (2.22) при учете того факта, что as, Ws, ас линейно независимые величины.
Требование условий инвариантности системы уравнений (2.26) и (2.10) и краевых условий (2.11) и (2.27), при соответствиях Ws К\,ас К2, as А з, d2/dt2 —Xind обеспечивают автоматически выполнение соотношения ортогональности (2.16) и позволяют найти значения неизвестных коэффициентов Д, /2, /з.
Динамический расчет тонких плит осуществляется, как правило, с применением кинематических гипотез, позволяющих редуцировать трехмерную задачу к двумерной. Известны различные модели пластин и соответствующие им кинематические гипотезы. В классической постановке используются гипотезы Кирхгофа-Лява, однако получаемые при этом уравнения не являются волновыми, а скорость распространения сдвиговых деформаций оказывается неограниченной. Этот недостаток исправлен в так называемой уточненной теории Миндлина-Тимошенко (двухмодовой теории). Вместе с тем, как неоднократно отмечалось в литературе [46], уточненная теория Миндлина-Тимошенко является внутренне противоречивой: учет поперечных касательных напряжений в ней производится путем отказа от гипотезы нормальности прямолинейного элемента к срединной поверхно сти пластины. В то же время предполагается, что элемент, первоначально прямолинейный и нормальный к срединной поверхности, остается и после деформирования прямолинейным. Это не согласуется с параболическим законом распределения по толщине поперечных касательных напряжений. Подобного противоречия лишены более точные аппроксимационные теории, в частности полная трехмодовая теория [83], которые вытекают из трехмерной упругой постановки в предположении, что перемещения могут быть представлены в форме разожения Тейлора n-го порядка по толщине пластины. Разумеется, подобные теории в математической постановке значительно сложнее классической, и потому в прикладных расчетах они применяются редко. По этой причине для построения эффективных вычислительных алгоритмов важно знать границы применимости указанных приближений. Один пз возможных способов оценки погрешности, вносимых аппроксимирующими соотношениями (кинематическими гипотезами), состоит в сопоставлении распределения собственных значений дифференциальных операторов, определяемых как выражения Эйлера-Лагранжа соответствующих энергетических функционалов. Подобная оценка для прямоугольных пластин осуществляется в настоящем разделе.
Построение общего решения задачи для произвольного динамического воздействия
Следует обратить внимание, что в формулах (3.12) и далее, наличие в нижних индексах переменной буквы к означает,что эта переменная является синус- (или косинус)-трансформаптой Фурье соответствующей функции. Аналогичная процедура должна быть применена также для соответствующих граничных условий на ребрах у = ао для первого участка, у = ап для последнего участка конструкции. С целью разделения переменных задачи (3.13)—(3.15) введем на сегментах [0, dj] конечное интегральное преобразование по переменной у: P( ki, t) = J2 DJki(Xki, у)С к(у, t)dy, (3.17) j=i { oo w hjk(y,t) = 2(p(\ki,t)Ajki(\ki,y)\\Zki\\ 2. (3.18) i=l Здесь выражение (3.17)— прямое преобразование, (3.18)— формула обращения, справедливая при выполнении обобщенного условия ортогональности aj / Лда( vWAibniK . V)dy = { Р оГп2риП m т (ЗЛ9) — В соотношениях (3.18), (3.19) ы{\к- У) представляет вектор-функцию форм перемещений и усилий, соответствующих г-му тону собственных колебаний системы Ajfc, т.е.: — Djki{y) = [Ujki, Vjki, Wjki, axjki, oiyjki]T, Fjki(y) = [Nxjki, SjM, Qxjki, -Mxjki, -Mxyjki\T: (3.20) — -jki [-LJjki) -Г jki\ Необходимо отметить, что формулы (3.17) и (3.18) представляют конечное интегральное преобразование, дополненное операцией суммирования по элементам системы, что является новым в его структуре.
Соотношение (3.28) совпадает с (2.24)и представляет, с учетом начальных условий (3.22), счетную задачу Коши для каждого тона колебаний, решение которой записывается в виде интеграла (2.25).
Выражения, записанные перед знаком суммы в левой части равенства (3.29). представляют работу обобщенных сил в крайних сечениях плиты (у — 0 при j = 1, у = ап при j = п) на соответствующих возможных перемещениях. Очевидно, что при любых идеальных способах закрепления указанных сечений, это выражение, в соответствии с теоремой Бетти, тождественно равно нулю.
Покажем применение предложенного подхода к расчету фундаментной части водонапорной плотины ГЭС при действии гидравлического удара (Рис. 19). Будем считать нагрузку Pj(x,y,t) внезапно приложенной в момент времени t = 0 перпендикулярно ко всей поверхности фундамента и остающейся в дальнейшем постоянной и равной PQ.
Так например, в рассматриваемом сечении у і большая часть фундамента является внедентренно растянутой, причем максимальные растягивающие усилия возникают в ослабленной части конструкции (участок 3). Последнее обстоятельство особенно важно при проектировании железобетонных сооружений.
Следует отметить, что полученные данные по определению напряженно-деформированного состояния конструкции являются основой для выполнения проекта фундамента. Проверка несущей способности и проектирование самой конструкции выходят за рамки представленной диссертации. На рис. 22 изображены две пластины одинаковой площади, одна из которых (симметричная) была исследована как с помощью традиционной схемы метода начальных параметров, так и по предлагаемой методике.
Ниже под ней показаны первые три формы колебаний и соответствующие им безразмерные частоты. Что касается не симметричной плиты, то для нее так же были определены первые три формы колебаний и соответствующие им безразмерные частоты по изложенной в статье методике. Из сравнения графиков видно качественное различие в их движениях. Бросается в глаза эффект значительного повышения частоты основного тона колебаний плиты с несимметричным сечением по сравнению с аналогичной конструкцией, имеющей симметричный профиль. Обнаруженная особенность является проявлением широко известного арочного эффекта, учет которого требуется нормативными документами (СНиП). Как и следовало ожидать, появление моментов от нормальных сил обжатия (растяжения) приводит к увеличению жесткости конструкции, что в свою очередь является причиной качественного изменения частот. На рисунке указана формула, связывающая безразмерную частоту с размерной, измеряемой в Гц. В качестве другого примера расчета рассматриваемых в данной главе систем выбраны также две пластины. Первую пластину (рис. 23а) можно рассматривать по традиционной схеме МНП, путем разбиения ее на участки постоянной толщины, записывая условия сопряжения на границах обычные равенства, соответствующие компонентам перемещений и усилий.
При этом можно оставаться в рамках обычных представлений теории изгиба пластин, считая, что колебания в самой срединной плоскости не связаны с поперечными колебаниями конструкции. Количество условий сопряжения на границе равно шести (прогиб, два угла поворота, перерезывающая сила и два момента).
Построение общего решения для произвольной динамической нагрузки
Для решения начально-краевой задачи (4.1)—(4.5) применим последовательно комплексное преобразование Фурье с конечными пределами по переменной в и конечное интегральное преобразование по радиальной координате г [150].
С этой целью применим к первым двум уравнениям системы (4.1), четырем первым равенствам (4.2) и первым двум соотношениям (4.4) , (4.5) конечное косинус-преобразование Фурье, а к третьему уравнению (4.1) и оставшимся выражениям (4.2), (4.4), (4.5) — конечное синус-преобразование Фурье по угловой координате в. Это значит, что не требуется априори знание коэффициентов /і, /г, /з, в чем и состоит одно из преимуществ метода конечных интегральных преобразований. Здесь 5\ — символ Кронекера 2 ранга. Применяем теперь конечное интегральное преобразование (4.13) по переменной 7 к соотношениям (4.8), (4.9). С этой целью умножаем первое уравнение (4.8) на firKi(Xin,r) , второе—на f2rK2(Xjn,r) , третье —на /згЯ"з(Аш,7 ) и интегрируем по г в пределах от 0 до 1. Левые части уравнений (4.8) и (4.26) должны быть инвариантными относительно конечного интегрального преобразования (4.13) при соответствиях Wc Ki, ас К2, as Кз, d2/dt2 Х2п, обеспечивающие автоматически выполнение соотношения ортогональности (4.16) и позволяющие найти значения неизвестных коэффициентов /i, f2, /з весовой функции.
Таким образом, компоненты ядра конечного интегрального преобразования (4.13), (4.14) определяются соотношениями (4.42), в которых Сі(Лг-„), Сз(Ат), C Xin) находятся по формулам (4.46), (4.47).
Следует отметить, что содержащиеся в правой части (4.48) интегралы от цилиндрических функций в практических расчетах удобнее вычислять в данном случае по квадратурным формулам Симпсона. Разложения (4.49), (4.50) и представляют общее решение рассматриваемой начально-краевой задачи (4.1)—(4.4) для упруго закрепленной на контуре круглой пластины при действии по нормали к ее поверхности произвольной динамической нагрузки. В качестве примера рассмотрим действие на круглую пластину в момент времени to единичного импульса, сосредоточенного в произвольной точке. Реакция системы на такое воздействие представляет функцию Грина исследуемой задачи. Аналитическое выражение q{r,0,t) в этом случае определяется равенством g(r, 9, t) = 6{r - r0) 5{9 - в0) 5(t - to)- (4.51) Подставим теперь (4.51) в выражение трансформанты (4.24), имея ввиду при этом (4.12), (4.18). Таким образом, для динамического воздействия (4.51) в разложениях (4.49), (4.50) трансформанту ip(\in,n,t) следует вычислять по формуле (4.52). Располагая выражением (4.52), путем соответствующего интегрирования, можно получить аналогичные результаты для различных подвижных и импульсных воздействий. Укажем порядок получения из общего решения частных результатов, справедливых для идеализированных схем закрепления пластины, обычно применяемых на практике. 1) Пластина с шарнпрно опертым контуром. В этом случае в равенствах (4.44) принять 7i = 7з- Затем разделить на 72 правые части тех равенств (4.44), которые содержат 72 и устремить 72 — со. Таким образом получаются формулы для определения Ain, В{п ,..., Мг-П. 2) Пластина со свободным контуром. В этом случае в (4.44) необходимо считать 7i = 72 = 7з — 0 3) Жесткозащемленная на контуре пластина.После деления правых частей соответствующих равенств (4.44) на 71, 725 7з и предельного перехода 7i — оо, 72 " о5 7з со получаются расчетные соотношения для Д-п, Bin, Min. 4) Упругий контур относительно угловых деформаций. В этом случае необходимо осуществить предельный переход 72 о в соответствующих равенствах (4.44), предварительно разделив их правые части. В настоящем разделе на (рис. 25) представлен график, характеризующий изменение во времени перемещение центра пластины, в зависимости от способа зекрепления контура. Численные результаты решения этой нестационарной динамической задали соответствуют внезапно приложенному по части ее поверхности нагрузки постоянной интенсивности q0 = 0.03 МПа при радиусе пятна 0.2. Расчеты выполнены при следующих исходных данных: Е = 4, 2 105 МПа, (і = 0, 3, р = 2850 кг/м3, R = 23,1 м. На (рис. 26) приведены осциллограммы изгибающих моментов и перерезывающих сил и указаны моменты времени достижения ими максимальных значений. На рис. 27 приведены графики, характеризующие изменение частот первых девяти тонов свободных осесимметричных колебаний круглой пластины в зависимости от их относительной толщины h/R.
Пунктирные линии соответствуют классической теории, а сплошные — уточненной. Для малых относительных толщин поправка Рэлея почти не оказывает существенного значения на первые частоты колебаний пластины. Более того, из сопоставления соответствующих кривых следует, что влияние инерции вращения является не существенным для первых двух топов ее колебаний Ai и А2 во всем рассмотренном диапазоне толщин 0.05 h/R 0.3.
Вместе с тем, в случае не тонких пластин, учет этого фактора приводит к ощутимому снижению частот ее колебаний. Так, например, при h/R = 0,3 эта разница для Аз,..., До составила соответственно 5,26%, 5,36% , 5,48%, 22.1% в случае жесткого закренпленпя контура пластины, и 5.55%, 3,7%, 11,9%. 27% при шарнирном опираний.
