Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Обзор методов расчета тонкостенных конструкций с учетом геометрической и физической нелинейностей 8
1.1 Обзор исследований по расчету пластин и оболочек с учетом геометрической нелинейности 8
1.2 Обзор исследований по расчету пластин и оболочек с учетом физической и геометрической нелинейностей 14
1.3 Обзор методов решения задач упруго-пластической устойчивости 19
ГЛАВА 2. Расчет пластинчатых систем с учетом геометрической нелинейности 23
2.1 Общие положения 23
2.2 Выбор типа конечного элемента 26
2.3 Базисные функции конечного элемента с степенями свободы 28
2.4 Формирование "мгновенной" матрицы жесткости конечного элемента 34
2.5 Матрица перехода к глобальной системе координат 41
2.6 Анализ контрольных примеров 47
ГЛАВА 3. Расчет пластинчатых систем с учетом геометрической и физической нелинейностей 56
3.1 Общие положения 56
3.2 Учет физической нелинейности по теории малых упруго-пластических деформаций 57
3.3 Анализ контрольных примеров 63
3.4 Пример расчета коробчатой конструкции с учетом геометрической и физической нелинеиностеи 70
ГЛАВА 4. Устойчивость пластинчатых систем 83
4.1 Алгоритм решения задачи устойчивости с учетом геометрической и физической нелинеиностеи 83
4.2 Анализ контрольных примеров 87
4.3 Исследование устойчивости строительных конструкций. Внедрение результатов диссертационной работы 91
4.3.1 Исследование влияния геометрической и физической нелинеиностеи на устойчивость стенок коробчатых балок 91
4.3.2 Проверка местной устойчивости раскоса фермы, имеющего начальные неправильности, с учетом геометрической и физической нелинеиностеи 106
4.3.3 Исследование влияния формы начального искривления на устойчивость раскоса фермы с учетом геометрической и физической нелинеиностеи 111
Заключение 116
Литература 118
- Обзор исследований по расчету пластин и оболочек с учетом физической и геометрической нелинейностей
- Формирование "мгновенной" матрицы жесткости конечного элемента
- Учет физической нелинейности по теории малых упруго-пластических деформаций
- Исследование влияния геометрической и физической нелинеиностеи на устойчивость стенок коробчатых балок
Введение к работе
В решениях ХХУІ съезда КПСС, в постановлениях партии и правительства ставятся задачи снижения материалоемкости конструкций в строительстве, машиностроении, авиа- и судостроении, внедрения прогрессивных конструкций и материалов. Наиболее перспективными в этих отраслях являются тонкостенные пространственные конструкции. Дальнейший поиск дополнительных запасов прочности конструкций приводит к применению более точных методов расчета, учитывающих как особенности конструктивных схем, так и реальные свойства материалов.
В создание и развитие теории и методов расчета тонкостенных пространственных конструкций внесли существенный вклад И.А.Бир-гер, В.В.Болотин, Д.В.Вайнберг, В.З.Власов, А.С.Вольмир, А.Л. Гольденвейзер. Э.И.Григолюк, М.А.Колтунов, М.С.Корнишин, Б.Г. Коренев, Б.Я.Лащенников, П.А.Лукаш, Р.Р.Матевосян, В.Б.Мещеряков, Х.М.Муштари, В.А.Постнов, И.П.Прокофьев, А.Ф.Смирнов, А.С. Сахаров, В.И.Феодесьев, Н.Н.Шапошников и другие ученые.
Достаточно полно исследовать явления изгиба и устойчивости тонкостенных пространственных конструкций можно, лишь учитывая геометрическую и физическую нелинейности. Учет геометрической нелинейности необходим при расчете пластинчатых систем, перемещения составных элементов которых в деформированном состоянии соизмеримы с толщиной. Физическая нелинейность связана с учетом в расчетах реальных свойств материалов.
С развитием вычислительной техники наиболее универсальным и эффективным методом расчета конструкций стал метод конечных элементов. Однако при решении задач исследования напряженно-деформированного состояния и устойчивости с учетом геометрической и физической нелинейностей этот метод не нашел еще широкого при -5 менения. Это объясняется сложностью составления и решения систем нелинейных алгебраических уравнений высоких порядков.
До недавнего времени в практике проектирования пролетных строений стальных мостов не допускалось наличие пластических деформаций. Стремление к созданию более рациональных конструкций повлекло за собой развитие новых методов расчета, применение которых позволило точнее представить поведение конструкций под нагрузкой и допустить работу пролетных строений в пластической стадии. В последней редакции строительных норм и правил СНиП 2.05.03 - 84 "Мосты и трубы" заложен учет физической нелинейности материала по деформационной теории пластичности без учета разгрузки. Однако из-за больших математических трудностей до сих пор в практике проектирования стальных мостов не учитывается геометрическая нелинейность и начальные несовершенства, всегда имеющие место в реальных конструкциях.
Цель данной работы:
- разработка методики и алгоритмов исследования напряженно-деформированного состояния, устойчивости и за критического поведения пространственных конструкций, составленных из прямоугольных пластин, с учетом геометрической и физической нелинейностей, на основе метода конечных элементов,
- составление комплекса программ, реализующих разработанные алгоритмы, для ЭВМ серии ЕС,
- исследование напряженно-деформированного состояния, устойчивости и за критического поведения пластинчатых конструкций, применяемых в мостостроении.
Работа состоит из четырех глав.
Первая глава содержит обзор методов расчета пластин и пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей.
Во второй главе описана постановка задачи, обоснован выбор прямоугольного высокоточного полностью совместного конечного элемента, имеющего 40 степеней свободы. Разработан алгоритм построения "мгновенной" матрицы жесткости применительно к методу последовательных нагружений. Для выбранного конечного элемента сформирована матрица перехода к глобальной системе координат. Коэффициенты матрицы жесткости и вектора нагрузки определяются посредством численного интегрирования. Дан анализ решения контрольных примеров.
Третья глава посвящена особенностям применения метода конечных элементов к расчету гибких пластин и пластинчатых систем, выполненных из нелинейно-упругих материалов. Учет физической нелинейности проводится по теории малых упруго-пластических деформаций А.А.Ильюшина. Используется метод переменных параметров упругости в трактовке И.А.Биргера. Проведены сравнительные оценки точности метода конечных элементов в нелинейных задачах. Выполнено исследование напряженно-деформированного состояния коробчатой конструкции с учетом геометрической и физической нелинейностей.
В четвертой главе разработан алгоритм определения критических нагрузок для пластин и пластинчатых систем, имеющих начальные неправильности, с учетом геометрической и физической нелинейностей. Используется энергетический критерий устойчивости. Приведены результаты исследования устойчивости конструкций, применяющихся в мостостроении. Исследовано влияние геометрической и физической нелинейностей на устойчивость стенок коробчатых балок. Выполнена проверка устойчивости коробчатой конструкции, моделирующей потерю местной устойчивости раскоса фермы, имеющего начальные неправильности. Исследовано влияние формы начального искривления на устойчивость раскоса фермы в нелинейной постановке.
В заключении сформулированы общие выводы.
Диссертационная работа выполнена на кафедре "Строительная механика" МИИТа.
Автор выражает благодарность сотрудникам кафедры, а также работникам вычислительного центра МИИТа.
Обзор исследований по расчету пластин и оболочек с учетом физической и геометрической нелинейностей
Первым задачу геометрически нелинейного изгиба пластины поставил И.Г.Бубнов /18/ в 1902 году. Им исследовалось напряженно-деформированное состояние бесконечно длинной пластины, находящейся в условиях цилиндрического изгиба. В этой же работе впервые введена классификация тонких пластин в зависимости от соотношения изгибных и мембранных напряжений. В 1907 году А.Фепплем /139/ были получены нелинейные уравнения изгиба абсолютно гибких (мембран). Т.Карман /143/ в 1910 году объединил решения линейной и мембранной теории и вывел нелинейные дифференциальные уравнения изгиба гибких изотропных пластин. В.В.Новожиловым /93/ рассмотрены гибкие пластины и оболочки с общих позиций нелинейной теории упругости. Эта монография послужила толчком к интенсивному развитию теории гибких пластин и оболочек. В 1949 году В.З.Власовым /22/ получены общие уравнения теории пологих оболочек.
Развитием геометрически нелинейной теории пластин и оболочек занимались А.С.Вольмир /23, 24/, К.З.Галимов /26, 27/, М.А.Колтунов /62/, М.С.Корнишин /64, 65/, Х.М.Муштари /66, 91/, П.М.Огибалов /94/, В.В.Петров /98,99/.
Известно несколько путей решения задач с учетом геометрической нелинейности: - с использованием уравнений Кармана, решение которых производится методами П.Ф.Папковича, В.З,Власова, метода конечных разностей или других численных методов, - в виде системы уравнений с применением метода возмущений (метод малого параметра), - на основе вариационных принципов строительной механики с последующим отысканием экстремума функционала энергии, - в виде системы интегро-дифференциальных уравнений с применением для их решения численных методов. Точное решение систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих напряженно-деформированное состояние гибких пластин и оболочек, в замкнутом виде сопряжено с огромными трудностями, поэтому при расчете пластин и оболочек с учетом геометрической нелинейности широко применяются приближенные методы. -10 В работах /23, 24/ дан подробный обзор решенных задач с простейшими граничными условиями и нагрузкой. Эти задачи решены в первом приближении с удержанием одного-двух членов тригонометрического ряда методами Папковича, Власова, Ритца, Бубнова-Га-леркина, малого параметра. С появлением первых ЭВМ эти методы стали применяться в более высоких приближениях. Одной из первых работ, посвященных геометрически нелинейному изгибу пластин переменной толщины, была работа А.Ф.Смирнова /112/. В ней рассматривается метод решения дифференциальных уравнений с помощью матрицы интегрирования. Исследования изгиба пластин и оболочек, толщина которых является функцией координат или нагрузки, в нелинейной постановке проведены в работах /5, 6, 72/. Быстрое развитие вычислительной техники способствовало использованию численных методов при расчете нелинейных пластин и оболочек. Широкое применение нашел метод конечных разностей. А.С.Вольмир и А.Ю.Биркган /25/ успешно применили его при анализе больших прогибов прямоугольных пластин. Корнишин М.С. /64/ использовал при решении геометрически нелинейных задач изгиба пластин и оболочек метод конечных разностей повышенной точности. Результаты расчета гибких пластин и пологих оболочек с различными граничными условиями приведены в работе /65/. К настоящему времени наиболее изучены гладкие пластины и оболочки. Расчету ребристых пластин и подкрепленных пологих оболочек с учетом геометрической нелинейности посвящены лишь отдельные работы. Среди них отметим исследования Н.П.Абовского /I/, Д.В.Вайнберга /20/, В.И.Климанова /56/, С.Б.Косицина /70/, В.А. Постнова /105/, С.А.Тимашева /121/. С появлением мощных ЭВМ широкое распространение при решении задач строительной механики получил метод конечных элементов. Об этом свидетельствует большое количество работ, появившихся в последние годы в нашей стране и за рубежом. Издан ряд монографий /II, 28, 38, 86, 95, 104, 108, ПО, 119/, представляющих собой систематизированное изложение как основ метода конечных элементов, так и его конкретных приложений.
Большой вклад в развитие этого метода внесли советские ученые А.С.Городецкий, В.А.П0стнов, А.Р.Ржаницын, Л.А.Розин, А.С.Сахаров, А.П.Филин, Н.Н.Шапошников и др. За рубежом методом конечных элементов занимались Дж.Аргирис, Р.Галлагер, О.Зенкевич, Р.Клаф, Р.Мелош, Дж.Оден и др.
Основное распространение при решении задач изгиба пластин и оболочек получил метод конечных элементов в перемещениях, который, по существу, является разновидностью метода Ритца. Отличие состоит в том, что в методе конечных элементов задаются кусочно непрерывные поля перемещений.
В последнее время метод конечных элементов стал применяться и для решения нелинейных задач. В.А.Постнов и В.С.Корнеев /105/ исследовали устойчивость ребристой оболочки. В этой работе была учтена моментность докритического состояния и дискретное расположение ребер. А.С.Сахаров /III/ предложил моментнуго схему конечных элементов с учетом жестких смещений. В работах А.С.Городецкого, В.С.Карпиловского /30/ и В.В.Киричевского, А.С.Сахарова /58/ построены нелинейные соотношения метода конечных элементов для оболочек средней толщины. Среди работ этого направления отметим также /63, 96/.
Формирование "мгновенной" матрицы жесткости конечного элемента
Первый подход связан с применением концепции Энгессера-Кармана, согласно которой переход в искривленное состояние осуществляется при неизменной величине внешней нагрузки. В математическом отношении - это задача о собственных числах. Основы современной теории устойчивости пластин и оболочек за пределом упругости с учетом разгрузки материала заложены А.А.Ильюшиным /44, 45/ на основе теории малых упруго-пластических деформаций.
Развитие данного направления и решение ряда важных инженерно-технических задач связано с работами Б.М.Броуде /17/, В.Г.Зубча-нинова /42/, В.И.Королева /68, 69/, Ю.Р.Лепика /73, 77/, С.М.Попова /103/, Л.А.Толоконникова /123/, Р.Бийларда /136/ и других специалистов.
Второй подход к решению задач неупругой устойчивости - концепция Шенли /148, 149/, которая рассматривает выпучивание как результат бифуркации процесса деформирования в условиях продолжающегося нагружения. Данный подход был использован для решения задач устойчивости Э.И.Григолюком /32, 33/, В.С.Гудрамовичем /35/, Л.М.Качановым /54,55/, Ю.Н.Работновым /107/, Е.Сто элом /151/ и др.
В основе третьего подхода лежит использование численных методов решения нелинейных задач. Он не связан с решением бифуркационной задачи, а процесс выпучивания исследуется введением малого возмущения с дальнейшим прослеживанием равновесных состояний по мере роста внешней нагрузки. Этот подход использован в работах А.С.Вольмира /24/, В.В.Петрова /99/, Г.А.Мануйлова и С.Б.Косицина /71, 83/, Н.Н.Столярова, А.А.Рябова /115, 116/ и др.
Наряду с теорией малых упругопластических деформаций для решения задач упруго-пластической устойчивости широко используется теория течения с изотропным..упрочнением Прандтля-Рейсса. Одной из первых работ в этой области была работа В.Д.Клюшникова /59/, посвященная обоснованию возможности определения критических нагрузок без учета разгрузки. На примере идеализированной модели пластины, аналогичной модели Шенли для стержня, автором был проведен анализ ее возмущенных движений в рамках теории течения. Выполненный анализ показал, что критическая нагрузка, найденная без учета разгрузки, является наименьшей. Дальнейшим развитием работ В.Д.Клюшникова явилась его монография /61/, в которой излагаются механико-математические основы явления упруго-пластической устойчивости, критерии устойчивости и их проверка анализом возмущенных движений. При этом широко используются идеализированные модели конструкций. Выводятся разрешающие уравнения проблемы упруго-пластической устойчивости для ряда конструкций. Среди работ этого направления также отметим работы Ю.Р.Лепика /74, 75/ и А.П.Николаева /92/.
По еле бифуркационное поведение идеально ровных пластин за пределом упругости изучалось в работах В.Г.Зубчанинова /40/, Ю.Р.Лепика /77/, И.С.Малютина /82/, Э.Э.Саккова /77/. В работе В.Г.Зубчанинова /41/ дано решение задачи о закритическом поведении прямоугольной шарнирно-опертой пластины, сжатой в двух направлениях за пределом упругости. Учтена разгрузка материала и вторичные пластические деформации. Показано, что предельная нагрузка лежит ближе к нагрузке, полученной по теории А.А.Ильюшина, и значительно отличается от касательно-модульного значения согласно концепции продолжающегося нагружения.
Обзор исследований по устойчивости элементов конструкций за пределом упругости дан в работах /43, 78/. Метод конечных элементов при решении задач устойчивости в нелинейной постановке применяется пока еще мало. Имеется очень небольшое количество публикаций по этому вопросу.
В статье Эцера А. /129/ развит единый метод численного анализа закритического поведения конструкций, основанный на матричной формулировке. Выведены уравнения равновесия в приращениях. Используется метод начальных несовершенств. С помощью треугольного конечного элемента найдена критическая точка потери устойчивости для конструкций различного типа.
А.Пифко и Г.Изаксон /102/ рассматривают вопросы применения метода конечных элементов для исследования устойчивости пластин за пределом упругости. Используется конечный элемент с 16 степенями свободы. Расчет выполняется на основе деформационной теории пластичности. Учет пластических деформаций производится при помощи редуцирования коэффициентов матрицы жесткости.
Продолжением исследований Ф.Шенли по выявлению истории наг-ружения на устойчивость элементов тонкостенных конструкций стали работы А.А.Ильюшина /46/, В.Г.Зубчанинова /39/, В.Д.Клюшнико-ва /60/, В.С.Гудрамовича /34/.
Проведенный выше анализ исследований по расчету тонкостенных пространственных конструкций с учетом геометрической и физической нелинейностей показывает, что нелинейная теория расчета интенсивно развивается. Решено большое количество практически важных задач, однако почти все результаты получены для простых конструкций. Мало исследованы тонкостенные подкрепленные пластины и оболочки, а конструкции, составленные из системы прямоугольных пластин с учетом геометрической и физической нелинейностей, практически не рассматривались.
Учет физической нелинейности по теории малых упруго-пластических деформаций
Алгоритм расчета пространственных пластинчатых систем с учетом геометрической и физической нелинейностеи реализован в виде системы подпрограмм для ОС ЕС ЭВМ, написанных на алгоритмическом языке PL /I и оттранслированных при помощи оптимизирующего компилятора. Разработанный комплекс имеет оверлейную структуру. С его помощью могут быть решены задачи ГЛМ (геометрически линейная, физически линейная), ГНФЛ (геометрически нелинейная, физически линейная), ГЛФН (геометрически линейная, физически нелинейная), ГШН (геометрически нелинейная, физически нелинейная) для различных констант материала, видов граничных условий, нагрузки, начальных несовершенств, усилий в срединной плоскости составляющих элементов и законов физической нелинейности.
При работе комплекса предусмотрена возможность прервать, а через некоторое время возобновить решение, что очень важно при расчете больших задач.
Возможности комплекса ограничивает только порядок системы линейных алгебраических уравнений, так как в оперативной памяти ЭВМ необходимо разместить половину ширины ленты коэффициентов при неизвестных.
С целью проверки разработанной методики решения нелинейных задач и правильности работы программного комплекса решен ряд контрольных примеров.
ПРИМЕР І. В табл. 3.1 приведены результаты расчета шарнир-но-опертой пластины, показанной на рис. 3.3, на действие равномерно распределенной нагрузки (в 1.75 раза превышающей нагрузку при появлении текучести) только с учетом физической нелинейности. Вид диаграммы деформирования показан на рис. 3.4. Коэффициент Пуассона 0.5. Внешняя нагрузка прикладывалась за один раз. Точность решения нелинейной задачи - 0.001. Расчет выполнен при трех сетках конечных элементов. Приняты следующие
В табл. 3.1 также представлены результаты, полученные А.И.Стрельбицкой, Б.А.Колгадиным и С.И.Матошко в работе /117/ на основе деформационной теории пластичности с использованием метода упругих решений в сочетании с методом конечных разностей. Применялась сетка 4х4и8х8, а точность решения нелинейной задачи составляла 0.00001.
Анализируя данные табл. 3.1, отметим, что максимальные расхождения в величине прогибов, полученных в данной работе при сетке 6 х 6 и в работе /117/ при сетке 8x8 составляют не более 0.3%. Для практических расчетов такая высокая точность результатов не требуется, поэтому в дальнейшем будем использовать более редкие сетки конечных элементов и несколько меньшую точность решения нелинейной задачи, что позволит значительно снизить затраты машинного времени.
На рис. 3.6 показаны зоны текучести в рассматриваемой пластине при двух значения нагрузки, соответствующих 1.75 и 2.1 нагрузки, при которой отмечено появление пластических деформаций. Пунктирной линией нанесены результаты работы /117/.
ПРИМЕР 2. Проведем расчет шарнирно-опертой пластины из примера I, но выполненной из материала с линейным упрочнением. Вид диаграммы деформирования показан на рис. 3.5. Рассмотрим три величины внешней нагрузки. В качестве безразмерного проги-ба примем величину \J \J . В табл. 3.2 приведены результаты решения примера, полученные в данной работе и результаты работы /117/, в которой использовалась сетка конечных разностей 4 х 4, а точность решения нелинейной задачи составляла 4%.
Анализируя данные табл. 3.2, можно сделать вывод, что и в случае применения диаграммы с линейным упрочнением метод конечных элементов в сочетании с методом переменных параметров упругости дает хорошую точность решения нелинейной задачи.
ПРИМЕР 3. Разработанный программный комплекс позволяет рассчитывать конструкции, имеющие начальные усилия в срединной плоскости. С целью проверки правильности работы подпрограмм, реализующих учет этих усилий, решим линейную задачу изгиба пластины, которая до прогиба получает значительное предварительное натяжение в своей плоскости. Є = G4 = 100 МПа (рис. 3.7). Толщина пластины 0.01 см., модуль упругости 2.1 х 10 МПа, коэффициент Пуассона 0.3, поперечная нагрузка 0.0001 МПа, сетка конечных элементов 4x4.
Исследование влияния геометрической и физической нелинеиностеи на устойчивость стенок коробчатых балок
Примем следующие обозначения: V= "W/i - безразмерный прогиб, = -г- f ) - безразмерные напряжения.
На рис. 4.2 показаны кривые "нагрузка - прогиб в центре". Кривая I соответствует пластине с искривляющимися кромками, а кривая 2 - пластине с закрепленными кромками. Кривая 3 взята из работы А.С.Вольмира /24/, но она получена при условии, что кромки остаются прямолинейными. Кружками показаны результаты экспериментов Ямаки /152, 153/ для пластин с искривляющимися кромками.
Анализируя проведенные расчеты, отметим хорошее совпадение результатов, полученных в данной работе для пластины с искривляющимися кромками, с результатами экспериментов Ямаки, выполненных при тех же граничных условиях.
С ростом сжимающей нагрузки в центральной части пластины с закрепленными кромками (рис. 4.1 б) развивается вмятина. Этот же эффект отмечен А.С.Вольмиром в работе /24/, но для пластины с несколько другими граничными условиями. При б 15 величина стрелы прогиба начинает уменьшаться. В работе /24/ уменьшение стрелы прогиба замечено при Ь 16. С дальнейшим увеличением нагрузки происходит постепенный переход с первой на третью форму потери устойчивости, показанный на рис. 4.3. Такой же, только скачкообразный переход отмечен в работе /24/ для пластины, кромки которой, смещаясь, остаются прямолинейными.
Б стальных пролетных строениях мостов пластинчатые элементы очень часто имеют такие размеры, при которых критические напряжения при сжатии превышают предел пропорциональности. Кроме этого, всегда имеют место неизбежные начальные искривления этих элементов. Поэтому анализ работы таких конструкций связан с решением дважды нелинейных задач.
На рис. 4.4 изображен фрагмент стенки коробчатой балки. Рассмотрим средний отсек. Он представляет собой пластину, опертую по контуру на ребра жесткости. Будем считать ее шарнирно опертой. В действительности, из-за жесткости продольных ребер из плоскости, имеет место некоторое промежуточное закрепление пластины между шарнирным и жестким. Ограничившись шарнирным закреплением отсека стенки коробчатой балки, мы будем рассматривать более невыгодный случай расчета на устойчивость.
Реальное закрепление отсека стенки в его плоскости также занимает промежуточное положение. Здесь мы рассмотрим оба предельных случая: свободная деформация всех кромок и стесненная деформация продольных кромок (рис. 4.1).
Выполним ряд расчетов, позволяющих оценить влияние геометрической и физической нелинейностей на величину критической нагрузки. Рассмотрим как квадратные, так и удлиненные пластины, выполненные из стали марки І6Д, имеющей предел текучести бт = 240 МПа. при шести значениях отношения стороны CL = 50 см. к толщи не t : о-/ = 25, 60, 70, 80, 100, 200. Максимальная ор дината начального искривления \о = / 200. Б качестве ди аграммы напряжений-деформаций будем использовать диаграмму Прандтля с пределом текучести 6V = 240 МПа. Модуль упругос ти Е=2.1 х 10 МПа, коэффициент Пуассона 0.3. Расчет выполним с применением сетки конечных элементов 4 х 4 и с шагал по наг рузке 6 у = 13.4 МПа. Момент потери устойчивости пластины ус танавливаем исследованием положительной определенности "мгно венной" матрицы жесткости на каждом шаге нагружения. Б табл. 4.2 приведены значения прогиба в центре пластины при различных отношениях стороны пластины к толщине. Величина начальной погиби одинакова для всех вариантов. Данные табл.4.2 представлены в виде графиков на рис. 4.5 Результаты определения критических нагрузок даны в табл. 4.3. Приняты следующие обозначения: О - величина критической нагрузки для пластины с начальным искривлением с учетом геометрической и физической нелинейностей, 6" э - критическая нагрузка для плоской пластины из неограниченно упруго-го материала, о - критическая нагрузка, подсчитанная с применением проекта норм СНиП 2.05.03 - 84 "М0сты и трубы". На рис. 4.6 показаны зоны разгрузки (интенсивность напряжений последующего шага меньше интенсивности напряжений предыдущего) для пластины с отношением стороны к толщине
