Содержание к диссертации
Введение
1 Основные соотношения теории упругих многослойных по лиармированных пластин 16
1.1 Соотношения пространственной теории упругости 18
1.2 Сведение трехмерных задач теории упругости к двумерным уравнениям теории пластин с помощью метода гипотез 21
1.2.1 Исходная система уравнений теории пластин при использовании гипотез Кирхгофа - Лява 23
4 1.2.2 Исходная система уравнений теории пластин при использовании гипотез Тимошенко 25
1.2.3 Исходная система уравнений теории пластин при использовании гипотез Андреева - Немировского 28
1.2.4 Исходная система уравнений теории пластин при использовании гипотез Григолюка - Куликова 31
1.3 Структурные и феноменологические модели композиционного материала 35
1.3.1 Структурные модели полиармированного слоя 36
1.3.2 Критерии прочности и начального разрушения 43
1.3.3 Сравнительный анализ расчетных характеристик композиционных материалов с экспериментальными данными 46
2 Аналитические и численные методы решения задач теории упругих многослойных полиармированных пластин 49
2.1 Сведение двумерных задач теории пластин к одномерным с помощью метода разделения переменных 49
2.2 Метод функционального нормирования в задачах теории пластин 54
2.3 Метод дискретной ортогонализации 55
2.4 Метод сплайн-коллокации 57
2.5 Анализ эффективности методов сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации 59
2.5.1 Длинная слоистая прямоугольная пластина 59
2.5.2 Кольцевая слоистая пластина 66
3 Анализ напряженно-деформированного состояния много слойных полиармированных эксцентрических колец 76
3.1 Получение разрешающей системы уравнений 76
3.2 Влияние выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушеиия 83
3.3 Влияние выбора теории пластин на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения 90
3.4 Влияние геометрических и структурных параметров на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения 93
3.5 Влияние механических параметров КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения 97
4 Анализ напряженно-деформированного состояния многослойных полиармированных круглых пластин и колец 102
4.1 Разрешающая система уравнений 102
4.2 Влияние выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения 108
4.3 Влияние выбора теории пластин на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения 119
4.4 Влияние механических параметров КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения 134
4.5 Влияние схем армирования и типа волокон на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения 138
5 Рациональное проектирование круглых и эксцентрических колец с равнонапряженной арматурой 155
5.1 Постановка задачи рационального проектирования 157
5.2 Получение условий разрешимости переопределенной системы дифференциальных уравнений 158
5.3 Рациональные решения для эксцентрических и круговых колец 161
5.4 Анализ достоверности и эффективности полученных раци ональных решений 164
Заключение 167
Литература
- Исходная система уравнений теории пластин при использовании гипотез Кирхгофа - Лява
- Анализ эффективности методов сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации
- Влияние выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушеиия
- Влияние выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения
Введение к работе
В современной технике все более широкое применение находят тонкостенные анизотропные пластины и оболочки. Ведущую роль они занимают в авиационной и ракетно-космической технике, судо- и автомобилестроении, энергетическом и химическом машиностроении, жилищном и промышленном строительстве.
В конструкциях ответственного назначения данные элементы подвергаются повышенному уровню термосиловых, радиационных, агрессивных химических и прочих видов нагрузок. Такие виды нагружения предъявляют высокие требования к материалу конструкции, который помимо высоких прочностных и жесткостных свойств должен обладать дополнительными качествами. Для удовлетворения перечисленным выше требованиям часто используются неоднородней композиционные материалы (КМ).
Характерной особенностью рассматриваемых материалов, отличающих их от традиционных сплавов, является то, что они создаются одновременно с изготовлением конструкции. При этом их механические характеристики, обуславливаемые схемой расположения армирующих элементов, могут изменяться в широких пределах, что позволяет получать конструкции с направленной анизотропией механических свойств, соответствующей спектру действующих нагрузок. Залогом успешной реализации больших потенциальных возможностей, заложенных в структуре композиционного материала и свойствах его компонент, является уровень информированности конструктора об этих возможностях, принципах конструирования и методах расчета. Кроме того, высокая стоимость как самих материалов, так и установок для натурных экспериментов, приводят к необходимости проведения предварительных численных рас-
четов, что позволяет существенно повысить эффективность использования как материальных, так и денежных ресурсов предприятий и научных центров.
Композит представляет собой неоднородный сплошной материал, состоящий из двух или более компонентов, с сохранением индивидуальности каждого отдельного компонента. Один из компонентов, обладающий непрерывностью по всему объему, называется матрицей или связующим, компонент прерывный, разделенный в объеме композиции, является усиливающим или армирующим. В волокнистых композитах высокопрочные волокна воспринимают основные напряжения, возникающие в композиции при действии внешних нагрузок, и обеспечивают жесткость и прочности композиции в направлении ориентации волокон.
Волокна должны удовлетворять комплексу эксплутационных и технологических требований. Это условия по прочности, жесткости и стабильности свойств в процессе эксплуатации. Технологические свойства волокон определяют возможность создания высокопроизводительных процессов изготовления изделий на их основе. Другим важным требованием к КМ является совместимость материала волокон с материалом матрицы. В качестве армирующих элементов используются стеклянные, углеродные, борные, органические, стальные, вольфрамовые и другие волок-па. Механические свойства некоторых волокон приведены в табл. 1, где р, Е, а* — плотность, модуль упругости и предел прочности волокна.
Важным элементом КМ является связующее, которое обеспечивает монолитность композита, фиксирует форму изделия и взаимное расположение армирующих волокон, распределяет действующие напряжения по объему материала, обеспечивая равномерную нагрузку на волокна и ее перераспределение при разрушении части волокон.
Таким образом, можно выделить 2 типа требований, предъявляемых к современным связующим материалам. Первый тип, связанный с физико-механическими характеристиками, такими как жесткость, она должна обеспечить совместную работу армирующих волокон при различных видах нагружения, прочность, что особенно важно при сопротив-
Таблица 1
лении сдвиговым нагрузкам и сопротивление температурным нагрузкам.
Технологические требования к матрице определяются процессом создания КМ. Она должна обеспечить: возможность предварительного изготовления полуфабрикатов, хорошее смачивание волокна жидкой матрицей в процессе пропитки, качественное соединение слоев композита, создание высокой прочности соединения матрицы с волокном. Результатом этих требований будет обеспечение равномерного распределения волокон в матрице, максимально возможное сохранение прочностных свойств волокон, создание прочного взаимодействия на границе волокно - матрица.
В качестве связующего применяются термореактивные и термопластичные полимеры, углеродные, керамические и металлические матрицы. Механические свойства некоторых матриц приведены в табл. 2.
Задача расчета композитных элементов конструкций в общем виде при использовании уравнений пространственной теории упругости пред-
Таблица 2
ставляет собой очень сложную проблему. В настоящее время были получены решения для узких классов задач, в которых материал или изотропен или характеризуется эффективными физико-механическими постоянными, которые не зависят от геометрии конструкции.
При расчете тонкостенных элементов конструкций для которых механические характеристики материала существенным образом зависят от координат эффективно используются теории пластин, построенные на основе различных предположений о распределении компонент тензора деформаций и напряжений по толщине.
Использование композитных пластин в качестве несущих элементов в конструкциях ответственного назначения вызвали необходимость учета дополнительных факторов, в частности, ярко выраженную анизотропию деформативных свойств полиармированных материалов, а также ослабленное сопротивление многослойных конструкций трансверсальным деформациям. Это, в свою очередь, потребовало разработки неклассических вариантов теорий пластин и поставило перед специалистами принципиально новые задачи. Использование существенно различных статических и кинематических гипотез привело в результате к значительному разнообразию расчетных схем и систем уравнений.
Разработке классической теории для пластин и оболочек, характеризуемых эффективными механическими постоянными, посвящены работы: И.А. Биргера [102], А.Л. Гольденвейзера [43], С.Г. Лехницкого [75], А.И. Лурье [76], В.В. Новожилова [95], [94], СП. Тимошенко, С.А. Вой-новского-Кригера [107] и других.
Обширная литература посвящена разработке теорий многослойных композитных пластин и оболочек и решению разнообразных конкретных задач. Результаты исследований представлены, в частности, в монографиях Н.А. Алфутова, П.А. Зиновьева, Б.Г. Попова [1[, С.А. Амбарцумя-иа [2, 3, 4], А. Н. Андреева, Ю.В. Немировского [8], В.Л. Бажанова и др. [10], В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [15], Г.А. Ван Фо Фы [19], В.В. Васильева [20], Ш.К. Галимова [30], Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова [46], Э.И. Григолюка, П.П. Чулкова [52], В.И. Королева [74], А.К. Малмейсте-ра, В.П. Тамужа, Г.А. Тетерса [77], Х.М. Муштари [82, 83], Ю.В. Немировского, Б.С. Резникова [90], И.Ф. Образцова, В.В. Васильева, В.А. Бу-накова [96], П.М. Огибалова, М.А. Колтунова [97], Пикуля В.В. [99,100], А.О. Рассказова [103] и др.
Методам расчета тонкостенных конструкций и решению конкретных задач на ЭВМ посвящены работы Н.В. Валишвили [18], Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова [46], Э.И. Григолюка, В.И. Мамая [49], Я.М. Григорен-ко и др. [60], Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко [62], Я.М. Григоренко, Н.Н. Крюкова Щ, Я.М. Григоренко, А.П. Мукоеда [67, 68], В.И. Григорьева, В.И. Мяченкова [69], В.И. Королева [74], А.В. Кармишина и др. [71], Р.Б. Рикардса [104] и др.
Можно выделить несколько направлений в развитии двумерных теорий пластин и оболочек.
К первому направлению относится подход, основанный на решении задач определения харакетристик НДС, при использовании классических гипотез Кирхгофа. Данная расчетная схема получила широкое распространение при расчете изотропных пластин вследствие своей простоты. Для тонких изотропных и слабо анизотропных пластин она является вполне приемлемой. Однако известно, что пластины из слоисто-
волокнистых композиционных материалов, обладают ослабленным сопротивлением поперечным сдвигам и применение классической теории Кирхгофа - Лява для расчета многослойных пластин с ярко выраженной анизотропией слоев может привести к существенным погрешностям, и тем самым существенно снизить ценность полученных решений.
Статическим и динамическим задачам расчета анизотропных слоистых пластин, базирующихся на гипотезах Кирхгофа-Л ява, посвящена обширнейшая литература, которая подробно отражена в работах С.А. Амбарцумяна [2, 3, 4], Э.И. Григолюка, Ф.А. Когана [44], Я.М. Григо-ренко, А.Т. Василенко [62, 63, 64, 65] и др.
К настоящему времени разработано большое количество уточненных теорий, различающихся между собой по структуре, широте охвата учитываемых факторов. В работах второго направления развитие получили теории учитывающих поперечный сдвиг (и реже поперечные нормальные деформации и напряжения в слоях), на основе "интегральных" гипотез о характере распределения поперечных касательных напряжений и перемещений по толщине всего пакета слоев в целом. Преимуществом теорий данного напрявления является то, что порядок получающихся при решении систем уравнений не зависит от количества слоев. Широкое распространение получили теории, построенные на основе гипотезы "прямой линии" Тимошенко.
В настоящее время развивается подход, в рамках которого формулируются гипотезы о характере распределения поперечных напряжений по толщине слоев. Данный подход был использован при построении ряда теории С.А. Амбарцумяном [2, 3, 4].
В монографии А.Н. Андреева, Ю.В. Немировского [8] разработаны и приведены непротиворечивые с точки зрения вариационных принципов системы дифференциальных уравнений слоистых пластин и оболочек, установлены системы внутренних усилий, соответствующие принятым моделям деформирования, сформулированы корректные краевые условия, предложен и описан метод численного решения краевых задач неклассической теории многослойных оболочек — метод инвариантного
погружения.
К третьему направлению относятся работы, в которых формулируются системы гипотез, позволяющие учитывать поперечный сдвиг, а нередко и поперечные нормальные деформации и напряжения в каждом слое отдельно. Порядок получающихся систем уравнений при этом зависит от числа слоев. Наиболее известными работами этого направления являются работы Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова [46], Э.И. Григолюка, П.П. Чулкова [56, 57, 58] и В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [15]. Подробный анализ работ этого направления дан в обзоре Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова [47].
Таким образом, развитие существующих и создание новых методов расчета многослойных полиармированных конструкций, анализ различных теорий и различных моделей композиционных материалов, определение границ их применимости является весьма важной и актуальной проблемой.
Использование композиционных материалов в изделиях современной техники приводит к необходимости учета выраженных анизотропных свойств армированного материала, что заставляет более тщательно подходить к выбору моделей КМ. В большинстве работ по расчету НДС композитных конструкций используется феноменологический подход для описания свойств композиционного материала [46, 49, 60, 62, 66, 67, 69] и др. Этот подход предполагает, что свойства материала постоянны для всей конструкции, однако в реальной конструкции эти свойства могут зависеть от координат пластины. К тому же использование этого подхода делает невозможным параметрический анализ НДС элементов конструкции от структуры армирования КМ, построение поверхностей прочности, так как требует экспериментального определения большого набора механических констант для различных по структуре материалов.
Использование феноменологических критериев прочности не позволяет определить механизмы разрушения композиционного материала и выявить, какой элемент КМ является наиболее слабым. От этих недостатков свободен структурный подход, в рамках которого, физико-ме-
ханические характеристики КМ выражаются через характеристики его компонент и структурные параметры. В рамках данного подхода возникает ряд важных задач: сравнение результатов, полученных по различным структурным моделям КМ и исследование зависимости НДС конструкции от структурных и механических параметров КМ.
Цель диссертационной работы заключается в исследовании особенностей деформирования круглых пластин, круговых и эксцентрических колец, выявлении зависимостей НДС от параметров КМ при использовании классической и ряда уточненных теорий в геометрически линейной и нелинейной постановках; решении задач рационального проектирования эксцентрических и круговых колец с равнонапряженной арматурой.
Научная новизна и значимость работы определяются следующими результатами, которые выносятся на защиту.
Решены новые краевые задачи расчета НДС многослойных полиар-мированных круглых пластин, круговых и эксцентрических колец, проведен сравнительный анализ их поведения при использовании классической и ряда уточненных теорий, различных структурных моделей КМ.
Исследовано влияние структурных и механических параметров КМ на поведение круглых пластин, круговых и эксцентрических колец и на уровень нагрузок их начального разрушения. Найдены области параметров для которых результаты, полученные по различным теориям и моделям, отличаются несущественно и указаны области параметров, для которых использование уточненных теорий необходимо.
Получены аналитические решения задач изгиба многослойных круглых пластин и колец в уточненной постановке, позволившие провести сравнения численных решений, полученных методами сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации между собой, с анали-
тическими решениями, показавшие высокую степень совпадения результатов.
4. Решены задачи рационального проектирования эксцентрических и кольцевых пластин с равнонапряженной арматурой за счет специального выбора толщин слоев, углов и интеисивностей армирования. Обеспечена достоверность полученных решений путем расчета прямой задачи определения НДС с полученными рациональными параметрами. Показана эффективность конструкций с рациональными параметрами.
Достоверность полученных численных результатов полученных результатов обеспечена корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения, предельными переходами от моделей конструктивно-неоднородных анизотропных пластин к классическим моделям однородных изотропных конструкций, сравнением с известными для частных случаев аналитическими решениями, с численными и экспериментальными результатами других авторов, совпадением численных решений, полученных двумя принципиально различными численными методами.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: XXXVIII, XL Международных научных студенческих конференциях (Новосибирск, 2000, 2002); Международной конференции молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001); XVII, XVIII, XIX Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001; Кемерово, 2003; Бийск, 2005); VII научной конференции "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф" (Красноярск, 2003); Международных конференциях "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Усть-Каменогорск 2003; Алматы, 2004; Павлодар, 2006).
В полном объеме материалы кандидатской диссертации докладыва-
лись и обсуждались на Семинаре "Прямые и обратные задачи механики композитов" (руководитель — д.ф.-м.н. С.К. Голушко; Новосибирск, 2006); Объединенном семинаре "Информационно-вычислительные технологии" ИВТ СО РАН (руководители — академик Ю.И. Шокин и д.ф.-м.н., профессор В.М. Ковеня; Новосибирск, 2006); Общеинститутском семинаре "Моделирование в механике" Института теоретической и прикладной механики СО РАН (руководитель - академик В.М. Фомин; Новосибирск, 2006).
Публикации. По теме диссертации было опубликовано 12 печатных работ, в том числе 9 статей в научных журналах и сборниках трудов конференций [37] - [42], [78| - [80].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет 196 стр., включая 70 рисунков и 22 таблицы. Список литературы содержит 115 наименований.
Содержание работы.
В первой главе приведены исходные и получены разрешающие системы дифференциальных уравнений, описывающие НДС многослойных армированных пластин, включающие в себя классическую теорию Кирхгофа-Лява [95], теории Тимошенко [62], Андреева-Немировского [8] и Григолюка - Куликова [46]. Приведены определяющие соотношения ряда структурных моделей композиционного материала: модели с одномерными волокнами [84], уточненной модели с одномерными волокнами [85], модели с двумерными волокнами [86], модели Григолюка - Болотина [46]. Проведен сравнительный анализ расчетных характеристик композиционных материалов с экспериментальными данными. Представлены используемые критерии прочности и начального разрушения композитов.
Вторая глава посвящена описанию используемых аналитических и численных методов для решения двумерных задач теории оболочек и пластин. Приведено описание используемых аналитических: разделения переменных и метода функционального нормирования и численных ме-
тодов дискретной ортогонализации и сплайн-коллокации. На примерах расчета НДС многослойных прямоугольной и кольцевой пластин в уточненной постановке проведено сравнение численных решений с полученными аналитическими.
В третьей и четвертой главах приведены постановки, аналитические и численные решения задач расчета напряженно-деформированного состояния многослойных полиармированных круглых пластин, круговых и эксцентрических колец. Исследовано влияние выбора теорий пластин, структурных моделей КМ, параметров армирования и механических характеристик КМслоев на НДС конструкций.
Пятая глава посвящена выводу, анализу и решениям систем уравнений пластин с равнонапряженной арматурой. Получены аналитические решения задач рационального проектирования эксцентрических и кольцевых пластин с равнонапряженной арматурой. Показана достоверность и эффективность рациональных решений.
В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.
Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. С.К. Голушко за помощь в работе, неизменное внимание и моральную поддержку, без которых данная работа вряд ли могла бы быть выполнена; д.ф.-м.н., профессору Ю.В. Немировскому, высказавшему свои критические и полезные замечания по работе; к.ф.-м.н. Горшкову В.В., к.ф.-м.н. Юрченко Ю.В., Глотову П.О., Голушко К.С, Красникову Ю.Н., Сибилеву В.Н. за ценные научные дискуссии и плодотворное обсуждение полученных результатов.
Исходная система уравнений теории пластин при использовании гипотез Кирхгофа - Лява
Решение трехмерных задач теории упругости о нахождении НДС слоистых конструкций на сегодняшний момент является очень сложной проблемой. Поэтому широкое применение получили методы сведения трехмерных задач к двумерным. Один из таких способов заключается в разложении искомых функций в ряды по координате, отсчитываемой по нормали к некоторой исходной поверхности, что приводит к последовательности двумерных краевых задач высокого порядка. Асимптотический метод состоит в разложении искомого решения в ряды по степеням некоторого малого параметра, характеризующего пластину.
Другим широко используемым методом сведения трехмерных задач теории упругости к двумерным является метод гипотез. Основная идея данного метода состоит в специальных предположениях о распределении некоторых компонент тензоров деформаций и напряжений по толщине многослойной пластины.
Наиболее известными и простыми соотношениями являются соотношения полученные при использовании систем гипотез Кирхгофа-Лява. Они позволяют в ряде практических случаев получить удовлетворительные результаты. Однако повышение требований к прочности и надежности современных конструкций приводит к необходимости рассмотрения теорий, основанных на менее жестких предположениях, чем гипотеза со хранения нормального элемента.
Большинство уточненных, по сравнению с теорией Кирхгофа-Лява, моделей, описывающих НДС пластин, получены с использованием гипотез о характере распределения напряжений, деформаций и перемещений по толщине пластины. Преимуществом такого подхода является относительная простота разрешающих соотношений. Однако такой подход не обладает возможностью уточнения полученных на его основе результатов.
При построении уточненных моделей основным фактором является учет деформаций сдвига во всех или отдельных слоях пластины. Гипотеза о прямолинейном элементе для всего пакета в целом, используемая при построении теории пластин и оболочек Тимошенко, стала одной из самых распространенных. Однако для многослойных конструкций с существенно различными механическими параметрами слоев принятие гипотезы прямой линии для всего пакета в целом может вносить существенную погрешность в получаемые результаты. Использование гипотезы прямой линии для каждого слоя в отдельности позволяет находить более точные решения, но приводит к уравнениям, порядок которых зависит от количества слоев, что затрудняет получение конкретных результатов.
Другой способ построения уточненных моделей заключается в задании нелинейного закона распределения компонент поперечных напряжений и деформаций по толщине, например как в модели, приведенной в [7, 8]. Она позволяет рассчитывать НДС многослойных анизотропных пластин с учетом поперечного сдвига в каждом слое. Порядок полученной системы уравнений при этом не зависит от количества слоев.
В данной работе расчет НДС многослойных армированных пластин проводится с использованием линейных и нелинейных вариантов классической теории Кирхгофа - Лява, теорий Тимошенко, Андреева - Не-мировского [8] и Григолюка - Куликова [46].
При определении физико-механических свойств КМ можно выделить два основных подхода: феноменологический и структурный. В рамках первого подхода армированные материалы рассматриваются как однородные с анизотропными свойствами. Механические параметры материала определяются из экспериментов. Однако, даже для элементов конструкций с простой геометрией, физико-механические свойства КМ могут быть переменными. К тому же спектр изменения структурных и механических параметров КМ достаточно широк, что не позволяет определить параметры материала для всевозможных комбинаций параметров композитного материала. В рамках феноменологического подхода неизвестна связь между средними напряжениями и деформациями композиционного материала и напряжениями и деформациями составляющих его компонент. Это не позволяет ставить и решать задачи оптимального и рационального проектирования композитных пластин.
От этих недостатков свободен структурный подход. При таком подходе физико-механические характеристики композита удается выразить через характеристики элементов субструктуры и структурных параметров армирования. Получающиеся при этом соотношения позволяют по известным средним напряжениям и деформациям восстановить напряжения и деформации в связующем и армирующих элементах, что открывает широкие возможности для рационального проектирования конструкций из КМ.
В данной работе в конкретных расчетах рассматриваются слоисто волокнистые композиционные материалы, для описания упругих свойств которых используются структурные модели, не учитывающие микромеханику композитных материалов.
Анализ эффективности методов сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации
Основу метода функционального нормирования [21] составляют два последовательных шага:
1. Построение системы векторов-решений состоящей из ФСР однородной части системы дифференциальных уравнений (2.10) и частного решения неоднородной системы с выделением доминирующих функций.
2. Нормирование построенной системы решений (2.12) - деление каж дого вектора-решения на максимальное значение его нормы. В резуль тате получается система решений которая приводит к хорошо обусловленной матрице системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для определения постоянных интегрирования при произвольных значениях независимого переменного и параметров, входящих в дифференциальные уравнения.
Метод дискретной ортогонализации [31] разработан как метод решения двухточечных краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В нем для преодоления проблемы сингулярности матрицы системы алгебраических уравнений, возникающей при поиске произвольных постоянных, вводится механизм ортогонализации компонент решения в дискретном наборе точек интервала решения. Такой механизм не имеет физического обоснования, и поэтому метод не поддается теоретическому анализу. Его практическая ценность неоднократно подвергалась критике [8, 21], но, несмотря на это, он считается одним из перспективных методов решения задач теории тонкостенных конструкций.
Коротко алгоритм метода дискретной ортогонализации решения краевых задач можно описать так. Задача для нелинейной системы дифференциальных уранений (2.15) сводится к задаче для линейной системы с помощью итерационного метода Ньютона—Канторовича. Решение исходной задачи ищется в виде у() = limy (), а решение для итерации к-)оо с номером к находится как решение краевой задачи: = А(0У«К) + ЪК), GPyW(tP) = gP, (2.14) где Aft) = f&y tf)) + ,y{k-l)(0) и b(fl = - (Є,у( -1}(Є))х ху К).
Для решения задачи (2.14) на области определения [о р] строится сетка с J + 1 узлами щ (j = О, ..., J, щ = о, rjj = р). На каждом интервале [r)j-i,r]j] (j = 1, ..., J) решаются Sr задач Коти для систем уравнений вида dyji()/d = А()у () (г = 1, ..., Sr) и одна задача для системы вида cfyjo()/d = А()ууо()+Ь(). Для этого используется метод Рунге — Кутты — Мерсона 4-го порядка.
Начальные условия yji(f]j-\), yjoiVj-i) получаются из решения задач в предыдущем узле путем ортогонализации набора векторов Уу-і)і( -і), УО -і)о( і-і) и нормирования их всех, за исключением y{j-i)o{Vj-i)- Орто-гонализация производится методом Грамма—Шмидта и в суперпозиции с нормированием соответствует применению линейного оператора с верх-нетреуголыши матрицей Wj размера (5г + 1) х (Sr + 1). Векторы УОІ(Г]О), Уоо( о) строятся таким образом, чтобы для любого Со = 1, сщ,..., cosrT выполнялось условие ФИуооЫ,УиЫ) yosr(Vo)\\co = So После последовательного решения задач Копій на всех интервалах [Vj-hVj] U = 1, —, -7) ищется вектор cj = 1,сл,.. .,cJSrт путем решения системы алгебраических уравнений Запишем нелинейную краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в виде:
Для решения задачи (2.15), область определения разбивается на J подинтервалов точками щ (j = 0, ..., «/) так, чтобы {хр} Є {r]j}. На каждом подинтервале [rjj-uVj] выбираются Q + 1 точек коллокации rjjq (j = 1, ..., J, 7уо = 77j_i, rjjQ = rjj). Решение у(ж) представляется непрерывной кусочно-многочленной функцией и(ж) порядка Q +1, точно удовлетворяющей системе (2.15) в точках коллокации и граничным условиям, что соответствует системе
Влияние выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушеиия
В табл. 2.10 приведены: J — количество элементов в сетке интегрирующей процедуры для метода дискретной ортогонализации, I — количество интервалов используемых при нахождении решения в пакете COLSYS, необходимые для достижения относительной погрешности 8 в равномерной метрике между численными и аналитическими решениями для трехслойной кольцевой пластины по кинематическим характеристикам: w, 7г, в\ для различных соотношений А = го/гі Показано, что задачи с более выраженными краевыми эффектами требуют больших численных затрат для обоих методов. При собственных числах порядка 10"6 оба метода не достигли требуемой точности 10 8.
В таблице 2.11 приведены значения для максимальной относительной погрешности 5 в равномерной метрике по кинематическим характеристикам: ш, 7Г, в\ и количества узлов сетки N, полученной при использовании алгоритма построения сетки [109]: Таблица 2. Параметр Макс. отн. погрешность 5 no w, 6\, к
Видно, что при использовании алгоритма построения сетки [109] для достижения точности Ю-4 при Л = Ю-6 достаточно 309 узлов сетки, в то время как при использовании неравномерной сетки вида (2.41) необходимо 2 000 узлов, а при использовании равномерной — 30 000.
Результаты были получены при следующих параметрах пластины: П = 1, Е0 = Еі = 3 109, v = 0.3, hQ = ЗЛі = 0.015, q3 = 5-104. Глава З Анализ напряженно-деформированного состояния многослойных полиармированных эксцентрических колец
Получение разрешающей системы уравнений
Рассматривается тонкое многослойное армированное эксцентрическое кольцо (рис. 3.1) внешнего радиуса г\ с отверстием радиуса / и эксцентриситетом d. Количество слоев в кольце равно К = 2d + 1, которые ограничены поверхностями раздела
Пластина нагружена равномерно распределенным поперечным внешним давлением интенсивности Р. Используются два вида краевых условий: жестко защемленный внутренний край (1.19,1.42), на внешнем контуре приложена равномерная растягивающая нагрузка То (1.21, 1.44); оба контура жестко защемлены (1.19, 1.42).
Эксцентрическое кольцо рассматривается в ортогональной биполярной системе координат [73J. Система координат (cei, 0) вводится таким образом, чтобы две координатные линии системы а\ = а[, а\ = а [ совпадали с контурными линиями пластины. Связь с декартовыми координатами имеет вид [106]
Координатные линии a.\ = a\ = const 0 представляют собой окружности радиусом г = m/shafl с центром на горизонтальной оси в точке (mcotha?, 0); линии аг = а[ — const - окружности с центром на вертикальной оси, взаимноортогональные с окружностями а\ = о .
При определении НДС многослойных композитных пластин необходимо учитывать их характерные особенности, в частности, резко выраженную анизотропию деформационных свойств армированных материалов и их слабое сопротивление поперечным деформациям.
Использование достаточно простых соотношений классической теории Кирхгофа - Лява позволяет в ряде практических случаев получить удовлетворительные результаты. Однако повышение требований к прочности и надежности элементов современных конструкций приводит к необходимости рассмотрения теорий, основанных на менее жестких предположениях, чем гипотеза сохранения нормального элемента.
При решении задачи определения НДС композитного эксцентрического кольца использовались теория Кирхгофа - Лява и уточненная теория Андреева - Немировского.
Если в качестве отсчетной поверхности выбрать срединную, то для пластины симметричного относительно срединной поверхности строения задача определения НДС распадется на две независимых подзадачи: растяжения и изгиба. В этом случае уравнения, описывающие задачу растяжения, для обоих теорий совпадут.
Влияние выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения
Выявлено, что чем более смещено отверстие, тем больше отличие между результатами, полученными по различным теориям и тем больше влияние структурных параметров КМ. Для областей структурных параметров, где уровень напряжений в элементах КМ близок к минимальному, минимально и отличие между результатами, полученными при использовании различных теорий.
На рис. 3.11 приведено распределение интенсивностей напряжений в арматуре и в связующем для ф равного 30 и значения эксцентриситета d = 0.2 для «2 = я-- Сплошные линии соответствуют результатам, рассчитанным по теории Андреева - Немировского, пунктирные - Кирхгофа - Лява.
На графиках 3.11 а,Ь виден ярко выраженный краевой эффект. Максимальное отличие между теориями возникает на защемленном внутреннем краю в узкой области внешней кромки пластины, в остальной области значения, полученные по различным теориям, визуально не отличаются. Величины прогибов, рассчитанные по различным теориям, отличаются не более чем на 5%.
С помощью проведенных параметрических расчетов в данном разделе выявлено, что наименьшее отличие между результатами, полученными по различным теориям, будет достигаться для областей структурных параметров, где уровень интенсивностей напряжений в элементах КМ минимален. При оценке влияния структурных параметров и качественного изменения расчетных характеристик НДС можно использовать классическую теорию, которая к тому же требует гораздо меньше вычислительных ресурсов. Уровень влияния выбора теории на расчетные характеристики НДС существенно зависит от степени смещенности отверстия: от 10% до 60%.
Расчеты проводились при следующих структурных и механических параметрах пластины: Ес = 3-Ю9 Па, Еа = 300-Ю9 Па, ui—ui— 0.5, го = 0.2 м, го = 1 м, толщина внутреннего слоя 0.03 м, внешних по 0.005 м.
Рассматривается трехслойное эксцентрическое углепластиковое кольцо, жестко защемленное на внутреннем контуре, нагруженное по внешней кромке растягивающим усилием То = 3 106 Н/м и распределенным поперечным давлением интенсивности Р — 5 104 Н/м2. На приведенных далее рисунках сплошной линией отображен уровень интенсивности напряжений в фазовых составляющих КМ равный единице.
На рис. 3.12 представлены зависимости максимальных интенсивно-стей напряжений в компонентах КМ от угла укладки арматуры ±ф во внешних слоях пластины и эксцентриситета d. Волокна во внутреннем слое уложены под углом 90.
Влияние угла армирования на уровень напряжений в пластине достигает 6.5 раз для связующего Bsc и 2.5 раз для арматуры Bsa при значении эксцентриситета 0.4. Для пластины с центральным отверстием (пунктирные линии на графиках) влияние угла армирования на уровень Bsc составляет 60%, на уровень Bsa — 160%. Чем больше эксцентриситет, тем больше влияние структуры армирования, особенно сильно это выражено для интенсивностей напряжений в арматуре. Так же выявлено, что при структурных параметрах, когда уровень напряжений в компоненте КМ близок к минимальному, минимальным будет и влияние эксцентриситета.
Проведенные расчеты показали, что практически при всех структурных параметрах арматура работает упруго, тогда как для связующего наблюдается обратная ситуация. Однако при укладке арматуры под углами не превышающими 45 и в арматуре и в связующем уровень напряжений не достигнет предельного почти для всех значений эксцентриситета.
На рис. 3.13 приведены результаты параметрического расчета при изменении радиуса внутреннего отверстия пластины г$ и угла армирования ±-0. Результаты приведены при d = 0.2 м. Показано, что чем меньше радиус внутреннего отверстия, тем больше влияние угла укладки арматуры на уровень интенсивностей напряжений в арматуре (до 5 раз) и связующем (до 7.5 раз) при го = 0.06 м, для го = 0.5 м влияние структурных параметров для связующего составляет около 3 раз, для арматуры — 1.3 раза.
