Математическая модель продажи одиночного товара нетерпеливым продавцом Галажинская Оксана Николаевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Математическая модель продажи товара нетерпеливым продавцом при непрерывном изменении цены

1.1. Введение 24

1.2. Математическая модель 24

1.3. Характеристики продажной цены 25

1.4. Характеристики длительности продажи товара 30

1.5. Оптимизационная задача 37

1.6. Иллюстративный пример 39

Резюме 48

Глава 2. Ступенчатое изменение цены (детерминированная длительность фазы)

2.1. Описание модели 50

2.2. Распределение номера продажной фазы 51

2.3. Характеристики продажной цены 52

2.4. Среднее время до продажи товара 52

2.5. Плотность вероятностей длительности продажи товара 55

2.6. Иллюстративный пример 58

2.7. Случайная длительность пребывания на фазе 60

2.8. Распределение вероятностей длительности пребывания на фазе при условии, что покупка произошла 61

2.9. Средняя длительность времени продажи товара 63

2.10. Плотность вероятностей длительности времени продажи товара . 64

2.11. Оптимизационная задача 65

Резюме 67

Глава 3. Ступенчатое изменение цены (при длительности фазы, зависящей от числа клиентов)

3.1. Описание модели 69

3.2. Распределение номера продажной фазы 70

3.3. Характеристики продажной цены ; 71

3.4. Среднее время до продажи товара 71

3.5. Плотность вероятностей длительности продажи товара 75

3.6. Иллюстративный пример 78

3.7. Случайное число покупателей на фазе 80

3.8. Распределение вероятностей длительности пребывания на фазе 81

3.9. Средняя длительность времени продажи товара 83

3.10. Оптимизационная задача 84

Резюме 86

Глава 4. Ступенчатое изменение цены (комбинированный случай)

4.1. Описание модели 88

4.2. Распределение номера продажной фазы и продажной цены 88

4.3. Плотность вероятностей длительности фазы без покупки 89

4.4. Плотность вероятностей длительности фазы, на которой совершена покупка 91

4.5. Среднее время до продажи товара 93

4.6. Оптимизационная задача 94

Резюме 95

Глава 5. Математическая модель рынка нетерпеливых продавцов

5.1. Постановка задачи и математическая модель 97

5.2. Экспоненциальное распределение времени обслуживания 98

5.3. Бесконечно линейная бесконечно фазная СМО с управляемым переходом на другую фазу 107

5.4. Бесконечно линейная СМО с произвольным распределением времени обслуживания на каждой фазе 113

Резюме 117

Заключение 118

Литература

• Характеристики продажной цены
• Среднее время до продажи товара
• Среднее время до продажи товара
• Распределение номера продажной фазы и продажной цены

Введение к работе

Проблема продажи дорогостоящих товаров длительного пользования (объекты недвижимости, транспортные средства и др.) всегда существует в современном обществе. Однако зачастую владелец этого товара не может заранее определить ту цену, которую он может выручить за свой товар, даже несмотря на рекомендации экспертов. Кроме того, часто бывает, что продавец товара ограничен во времени (например, он куда-то уезжает) или ему срочно нужны денежные средства, которые он рассчитывает выручить от продажи товара. В такой ситуации ему приходится постепенно снижать цену на свой товар, чтобы продать его с наименьшими для него потерями. Возникает проблема «нетерпеливого продавца», который стоит перед противоречием: с одной стороны, продать свой товар побыстрее, а с другой - выручить за него как можно больше денег.

Подобные ситуации относятся к так называемой теории микроструктуры рынка, в которой рассматриваются процессы изменения цены с учетом нетерпеливости как продавцов, так и покупателей. Однако эта теория разработана в настоящее время для фондовых рынков, где ведется продажа акций и других финансовых активов. Поэтому разработка и исследование математических моделей процесса изменения цены при продаже нетерпеливым продавцом одиночного товара становятся интересными и актуальными.

Состояние проблемы

Наиболее близкими к тематике данного исследования являются работы по управлению запасами и по так называемой микроструктуре рынка, которая начала интенсивно развиваться в последнее десятилетие.

Теория управления запасами [3, 31-40] является в настоящее время подробно разработанным разделом экономико-математических моделей. В ней рассмотрены подходы к оптимизации работы складов, которые являются атрибутом очень большого числа экономических объектов. Исследованы самые разнообразные модели, отличающиеся по виду запасов, структуре системы

хранения, способу контроля уровня запасов, структуре запасов. Разнообразны также и математические модели управления запасами: статические и динамические, детерминированные и стохастические, стационарные и нестационарные, замкнутые и разомкнутые по спросу, со случайными поставками и временем поставок и т.д.

Однако в данных работах основным является учет потерь на хранение запасов на складах, а также учет потерь от переполнения и опустошения склада. К процессу торговли это не имеет непосредственного отношения, так как в торговле совершенно другие критерии оптимальности - получение максимальной выгоды в единицу времени, возможность регулировать спрос, изменяя розничную цену, ограничения на время продажи партии товара (скоропортящиеся товары должны быть проданы в строго определенный промежуток времени), ухудшение потребительских свойств товара с течением времени и т.д.

Основная идея работ по микроструктуре рынка [46-61] состоит в следующем. Имеется классическая теория ценообразования, которая излагается во всех учебниках по микроэкономике и которая построена на основании соотношений спрос-цена и производство-цена. Эти зависимости определяют так называемую равновесную цену, то есть ту цену, по которой продается товар в состоянии равновесия рынка.

Однако этой равновесной цены еще надо достичь. Поэтому имеется целый ряд моделей [25, 41-45] (паутинообразная модель, модель с прогнозированием цены, модель с учетом складов), в которых описывается процесс достижения равновесной цены. Но эти модели не имеют практического применения.

Процесс установления цены, не имеющий большого значения для товарных рынков, играет существенную роль для фондовых рынков, которым свойственно быстрое изменение цен и спекулятивный характер использования этих изменений. Именно для этих рынков и предлагаются различные модели изменения цены со временем, которые могут быть использованы на практике для краткосрочного прогноза цен финансовых активов. В этих моделях учитываются такие факторы, как:

стремление продавца поскорее продать свои активы, а покупателя - купить нужный ему актив;

наличие активных и неактивных участников рынка;

различие в информации, которой обладают участники рынка, в частности наличие инсайдерской информации;

возможность обучения участников торгов в процессе функционирования фондового рынка.

По-видимому, данную работу также можно отнести к теории микроструктуры рынка, только не фондового, а товарного, так как процесс торговли, изменения цены товара в зависимости от времени и количества товара, имеющегося в наличии, есть также микроструктура рынка.

Таким образом, данная работа имеет следующие особенности, отличающие ее от работ по управлению запасами и работ по микроструктуре рынка:

1. Покупатель продает одиночный товар большой стоимости. Он не является профессиональным торговцем, поэтому не имеет или почти не имеет опыта продажи подобного рода товаров.

2. Рассматривается не фондовый, а товарный рынок. В отличие от фондового рынка, где совершается очень много сделок и где, как правило, игроки достаточно хорошо знают друг друга, на товарном рынке, где продаются одиночные товары большой стоимости (недвижимость, транспорт и т.д.), продавец и покупатель практически ничего друг о друге не знают и об инсайдерской информации не идет и речи.

Цель работы

При выполнении данной работы ставилась цель разработать математическую модель постепенного снижения цены на продаваемый одиночный товар нетерпеливым покупателем и рассчитать основные характеристики этой модели, а также построить математическую модель рынка нетерпеливых продавцов и найти ее основные характеристики.

Методика исследования

При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей и теории случайных процессов. При построении и исследовании модели рынка нетерпеливых продавцов использовались методы теории массового обслуживания.

Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие научные результаты:

3. Четыре математические модели снижения цены нетерпеливым продавцом при продаже одиночного товара, а именно: а) модель с непрерывным изменением цены; б) модель со ступенчатым изменением цены, когда длительность фазы (периода времени, в течение которого цена остается постоянной) фиксирована; в) модель со ступенчатым изменением цены, когда длительность фазы определяется числом покупателей, отказавшихся от покупки; г) комбинированная модель.

4. Основные характеристики всех указанных выше моделей, а именно:

- распределение вероятностей номера фазы, на которой товар будет про
дан;

-плотность вероятностей цены, по которой товар будет продан (продажной цены);

среднее время, проходящее между выставлением товара на продажу и моментом его покупки;

плотность вероятностей времени, проходящего между выставлением товара на продажу и моментом его покупки;

распределение вероятностей длительности фазы, на которой не было покупки и на которой покупка была совершена;

-оптимизационная задача на определение цены, по которой товар продается на каждой фазе, и численный алгоритм ее решения.

3. Модель рынка нетерпеливых продавцов в виде бесконечно линейной
бесконечно фазной системы массового обслуживания, в которой каждая линия
соответствует продавцу, а каждая фаза - цене, по которой продается товар. По-

еле прохождения фазы продавец или покидает систему (товар продан), или переходит на следующую фазу (товар не продан, цена на него снижена).

Доказательство того факта, что распределение вероятностей числа продавцов, находящихся на какой-то фазе, является распределением Пуассона, и эти распределения независимы для разных фаз. Явный вид параметра распределения Пуассона и в ряде случаев, необходимые или достаточные условия существования стационарного режима в рассматриваемой системе.

Научная новизна работы

К новым научным результатам автор относит следующее:

5. Предложенные математические модели изменения цены нетерпеливым продавцом.

6. Формулы, выражающие основные вероятностные характеристики рассматриваемых моделей.

7. Математическая модель рынка нетерпеливых продавцов и доказательство того факта, что распределение вероятностей числа продавцов, находящихся на каждой фазе, является распределением Пуассона и эти распределения независимы.

Теоретическое значение работы заключается в том, что предложенные в ней математические модели могут быть обобщены на случай нетерпеливых покупателей. На основании этих моделей может быть создана обобщенная модель рынка, на котором присутствуют и нетерпеливые покупатели, и нетерпеливые продавцы, взаимодействующие друг с другом.

Практическое значение работы заключается в том, что полученные в ней результаты могут быть полезны при эконометрическом исследовании рынка недвижимости, рынка транспортных средств и т.д. Краткое изложение содержания работы

Первая глава посвящена математической модели продажи товара нетерпеливым продавцом при непрерывном изменении цены. Эта модель имеет следующий вид: продавец меняет цену на свой товар непрерывно со временем. Через S(t) будем обозначать ту цену, за которую продавец готов продать свой то-

вар в момент времени t. Будем предполагать, что S(t) строго монотонно убывает со временем от некоторой цены S₀ - S(0), так что уравнение S(t) = S можно однозначно разрешить относительно аргумента t, то есть получить соотношение t = t(S).

Что касается покупателей, то будем считать, что потенциальные покупатели образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности X. Вступая в контакт с продавцом после ознакомления со свойствами продаваемого товара, покупатель приобретает его с вероятностью R(S), разумеется, зависящей от той

цены, которую запрашивает продавец, и с вероятностью 1 - R(S) отказывается от покупки. Будем считать далее, что R(S) есть монотонно убывающая функция, так что с уменьшением запрашиваемой цены вероятность покупки возрастает. Кроме этого, будем считать, что существует некоторая минимальная цена S_m, так что R(S_m) = 1, то есть по этой цене товар покупается всегда. Соответственно этому будем считать, что WmS(t) = S_m.

/-»00

Будем называть цену, по которой товар будет продан, продажной ценой товара и обозначать ее как S_e. Разумеется, что в рамках предлагаемой модели эта цена будет случайной величиной.

В п. 1.3 получены основные характеристики продажной цены. В частности, показано, что математическое ожидание продажной цены имеет вид

So \ So ( % А

dy,

m_iS(S₀) = S„,-exp - jg(x)dx + JVgQOexp - $g(x)dx

J Sm

V у

где g(S) = XR(S)/a(S) и a(S) =

t=t(S)

Второй начальный момент продажной цены имеет вид

( So } So ( So

m₂s(S₀) = S_m-Qxp

- jg(x)dx + jy²g(y)exp - \g(x)dx

dy,

а плотность вероятностей продажной цены - вид

V У

\

С . J

p_s(S_e) = 8(S_e-S_m)exp

- \g(x)dx + g(S_e)expi - jg(x)dx
V s„, J V ^sc

В п. 1.4 рассмотрены характеристики длительности продажи товара. Показано, что:

- математическое ожидание длительности продажи товара имеет вид

\

So \ So _л (So

Д5₀) = --ехр| - jg(x)ak| + J—-exp - jg(x)dx

dy\

g(x)dx\ + ]-

Sm J S,„^a^' V У

- плотность вероятностей длительности продажи товара имеет вид

( So \

- \g(x)dx

-(ЗД)ЄХР

S'(x), 0<т_m),

)

( So

- \g{x)dx

\ s,„

x>t(S_m).

В п. 1.5 рассмотрена оптимизационная задача. Предполагается, что если товар будет продан в момент времени т, то продавец товара потерпит убыток, равный К(х). Так как продажная цена S_e = S(x), то общий доход продавца от продажи товара равен

Q= j(S(x)-K(x))XR(S(x))exp\ - \XR(S(t))dt \dx

о V о У

и задача принимает вид О => max.

Sd)

Эта задача решается методами вариационного исчисления. Показывается, что ее решение сводится к решению дифференциального уравнения первого порядка

R(S(x))R"(S(x)) (R'(S(x)))² .

sXx)-x^r2{S(x))-k'(x) = o,

^J R'(S(x))

в котором неизвестная постоянная интегрирования находится из условия Щщ + S(0)-К(0) =)(S(t)-K(t))XR(S(t))-expi- )xR(S(v))dv).

v о

В п. 1.6 рассмотрен иллюстративный пример на выведенные выше формулы, когда зависимость цены от времени имеет вид

S(t) = S = S_m+(S₀-S_my^al, a R(S) равно

так что R(S_U)= О и #(5^) = 1. Величина _Л/ имеет смысл той максимальной цены, по которой предлагаемый товар никто не покупает. Приведены результаты численных расчетов.

Во второй главе рассмотрена продажа товара нетерпеливым продавцом при ступенчатом изменении цены, когда длительность фазы фиксирована. Изучаемая математическая модель выглядит следующим образом: в момент начала продажи устанавливается цена S,, которую продавец держит в течение времени Г,. Если за это время товар не будет продан, то устанавливается цена S₂, которая держится в течение времени Т₂. Если за это время товар не будет продан, то устанавливается цена S^, которая держится в течение времени Т₂, и т.д.

Каждый такой период будем называть фазой. Итак, «-я фаза имеет длительность Т_п и на ней устанавливается цена S_n. Поток покупателей считается

пуассоновским потоком постоянной интенсивности X. На л-й фазе покупатель купит товар с вероятностью R_n = R{S_n), где R(S) - некоторая функция от цены

S.

В п. 2.2 рассматривается распределение номера продажной фазы. Обозначим через P_t безусловную вероятность того, что при нахождении на 1-й фазе

товар не будет куплен. Тогда показано, что P_t - e~^xl'^R'. Пусть Q_n есть вероятность того, что товар будет куплен на п-й фазе. Это означает, что он не будет куплен на фазах с номерами 1, 2, 3,... ,п-\. Поэтому

Q_n = PAP,...P_n^{\-P_n) = f[Pri}-Pn),

где считается, что Yitf ⁼ ^

Теорема. Если ^А,7Д- = +оо, то с вероятностью 1 товар будет продан.

/=1

Если товар будет продан на п-й фазе, то продажная цена будет равна S„. Поэтому продажная цена S_e есть дискретная случайная величина, принимающая значения S_n с вероятностями Q_n:

P{S_e=S_n} = Q_n, я = ЇЯ

В п. 2.4 найдено среднее время до продажи товара. Показано, что оно имеет вид

00 п-\

М{т} = т = Гл,(ЭД)П^

П=\ (=1

где ціі(х) = (1-е~^х)/х.

В п. 2.5 найдена плотность вероятностей длительности т продажи товара.

Показано, что для участка

71 + 7^+... + 7^,^71+7-2+... + ^

плотность вероятностей величины т имеет вид

( ""' ^ p_n(x) = XR_nexp -^^R,^T< ехр(-/?„(t-7; -Г₂ -...Г_я_,)).

V ы J

В п. 2.6 рассмотрен иллюстративный пример, когда R(S) имеет вид

Од/ — S

R(S) =

все T_t одинаковы и равны Т, а закон изменения цены - вид

5_/ = 5_ef+(S_A/-SJz', 0

В п. 2.7 рассмотрен случай, когда фазы имеют случайную длительность, так что длительность Т_х /-й фазы есть случайная величина с функцией распре-

деления Bj(T). Безусловная вероятность P_t отсутствия покупки на /-й фазе равна в этом случае

/> = ]>^Д(Г).

Вероятность Q_n того, что товар будет куплен на я-й фазе, равна, как и выше,

что и определяет распределение вероятностей цены покупки

P{S_e=S„) = Q„, л = ІЯ В п. 2.8 найдено распределение вероятностей длительности пребывания на фазе при условии, что покупка произошла. Показано, что безусловная плотность вероятностей величины т в этом случае имеет вид

p(T) = XRe^j^

dB(T)

\-e^XRT'

В п. 2.9 найдена средняя длительность времени продажи товара. Она имеет

п-\

_{т = Х7л.№)П^'}

i=\

_Wl(XR_f,)= le->«>'JB„(T)₊ '' j*M .U-p»dB.(T)

№_пТп T„$e

В п. 2.10 найдено преобразование Лапласа от плотности вероятностей длительности времени продажи товара. Оно имеет вид

да п-\

G(q) = YX\{P,(q))-tt-P„)-G_x(q),

q + XR_ni \-е^щ>' J

К сожалению, найти обратное преобразование Лапласа в общем виде без конкретизации функций G_t(q) не представляется возможным.

В п. 2.11 рассмотрена задача на оптимизацию постановки цены на каждой фазе. Пусть К_п есть потери продавца, если товар будет продан на п-й фазе. Доход продавца - это цена, по которой продан товар. Поэтому математическое ожидание общего дохода продавца равно

со П-\

И=1 /=1

и задача оптимизации имеет вид Ф => max. В работе показано, что последовало

тельность цен {S_n} удовлетворяет рекуррентному соотношению

lR(S_m)T„, і і _ -XK(S_nl+])T_m+\

A.K(b_m)I„ AK{b_m+l)l_m+i

которое может быть решено численно.

В третьей главе рассматривается случай ступенчатого изменения цены, но длительность фазы зависит от числа пришедших покупателей.

Пусть в момент начала продажи устанавливается цена ,. Продавец ждет, пока за товаром не обратится w, потенциальный покупатель. Если товар будет продан - процесс закончен. Если из пришедших w, никто товар не купил, то устанавливается цена S₂, которая держится на т₂ потенциальных покупателях. Если товар будет продан - процесс закончен, если нет - устанавливается цена ₃, которая держится на т₃ потенциальных покупателях, и т.д.

Как и ранее, поток потенциальных покупателей считается пуассоновским потоком постоянной интенсивности X. На я-й фазе покупатель купит товар с вероятностью R_n = R(S_n), где R(S) - некоторая функция от цены S.

В п. 3.2 рассматривается распределение номера продажной фазы. Обозначим через Pj безусловную вероятность того, что при нахождении на 1-й фазе

товар не будет куплен. Так как покупатели независимы, то P_t = (l - /?_;-)^m'.

Пусть Q_n есть вероятность того, что товар будет куплен на п-й фазе. Это означает, что он не будет куплен на фазах с номерами 1, 2, 3,... ,п-1. Поэтому

Q_n = P№...P_n_,{\-P_n) = f[{\-R_lT<-{\-(\-R_n)^m").

(=1

Если товар будет продан на п-іл фазе, то продажная цена будет равна S_n. Поэтому продажная цена S_e есть дискретная случайная величина, принимающая значения S_n с вероятностями Q_n:

P{S_e=S_n} = Q„, л = ЇЯ

В п. 3.4 найдено среднее время до продажи товара. Оно определяется из формулы

со я-1

где\|/(/г,лі) = (1-(1-Л)")/Л.

В п. 3.5 находится плотность вероятностей длительности т. продажи товара. Показывается, что она имеет вид

где М„=^т,-

В п. 3.6 в качестве иллюстративного примера рассмотрен случай, когда R(S) имеет вид

_од=

5„

а закон изменения цены - вид S,- = S„, + (S_M -S_m)z', О < z < 1. Результаты расчетов приведены в виде графиков.

В п. 3.7 рассмотрен случай, когда возможное число покупателей на фазе устанавливается случайным образом. Обозначим через р^т) вероятность того,

что /-я фаза закончится, если покупку не совершит т покупателей. Тогда безусловная вероятность отсутствия покупки на /-й фазе равна

З == (i-*,)>,(«).

Если на фазе не совершено покупки, то плотность вероятностей b(t) длительности фазы t равна

^O-l)! Плотность вероятностей времени т от момента начала фазы до момента покупки при условии, что покупка имеет место, равна

... RXe-^l^[\T(l-R)]^k-^]^ . .

01(1) = > -— -—) р{т).

^{\-Р U (*-1)! tu}

В п. 3.9 находится средняя длительность времени продажи товара. Показывается, что она имеет вид

п-\

_{ят=Хзді(}^Л_-)-П^»

Фі№) = Х

(\-R_n)^m+^r[l-(l-RJ'^+l-(m + \)R_n(\-K)'"} m„R„

р(т).

В п. 3.10, как и в предыдущей главе, рассматривается задача на максимизацию функционала

и-1

_{ф=($,-*я)(і-/>,)Пз}

и=1 /=1

и показывается, что оптимальная последовательность цен определяется следующим рекуррентным соотношением:

(\-R(S_l))[\-(\-R(S_l))^mi] о _v , (\-R(S_M)j\-(\-R(S_M))^]

^Л/~^Л/ + ^, г, w, „,num, -0_/+1-Л_/+1+'

^/адхі-адг /*/,*'№.)

В четвертой главе рассмотрен комбинированный вариант. Он состоит в том, что для фазы выбираются два параметра -Тит. Фаза заканчивается, если

1. пришло т покупателей и все они отказались от покупки или

2. истекло время Г и покупка не состоялась.

Разумеется, каждая фаза характеризуется ценой S и вероятностью покупки R. В дальнейшем индекс у всех этих величин обозначает номер фазы.

В п. 4.2 рассмотрено распределение вероятностей номера продажной фазы и продажной цены. Показано, что вероятность того, что товар не будет куплен на какой-то фазе, равна

№^к _е-хт

k\

P = (\-R)^m + ^[(\-К)^к -(\-R)"

Дальнейшее аналогично предыдущему. Вероятность Q_n того, что товар будет куплен на и-й фазе, равна

i=\

что и определяет распределение вероятностей продажной цены S_e в случае, косо

гда]~1^ = 0:

/=i

P{S_e=S„} = Q_H, л = ІЯ В п. 4.3 найдены плотность вероятностей b(t) длительности фазы без покупки

(кту

Л W./Я-І от-1

b{t)

е-^ь+Ъ{1-Т)е-^и^

и математическое ожидание длительности фазы без покупки

(КТУ

k\

_\-e'^XT_f}^XT)

+

т-\ п гг\к

XTe^'Y

_к\

А=0

k=Q

Xt =(p_Q(kT,m) = m

В п. 4.4 найдены условная плотность вероятностей длительности интервала времени до покупки товара на фазе при условии, что покупка была совершена,

е^К\ 0<х<Т,

о m У^кт^к-^]

¹ (к-\)\

и условное среднее время, проходящее между началом фазы и покупкой товара при условии, что покупка была совершена,

Xx(\-P) = %(XT,R,m),

1-(1-R)^m^-(m + \)R(\-R)ⁿ

ф[(А,Г,Л,т) =

-±-t^b-RY-V-RT^+]+s(\-Ry-^l-(m ₊ \)R(\-Ry]. R _s=0 s\

В п. 4.5 найдено математическое ожидание т времени, проходящего от

момента выставления товара на продажу до самой продажи:

00 /7-І

?іт" = УОТ ЛЛ )П ^'

/7=1 /=|

\\i(XT_n,R_n,m_n) = (p₀(XT_n,m_n)P_n+^(kT_n,R_n,m_n). В п. 4.6 рассмотрена оптимизационная задача вида

00 /7-І

Ф = ^_а-К_п)(\-Р_и)]^Р,=>тэх

/7=1 /=! ^{Ь,п

и показано, что в общем случае ее решение дается следующей рекуррентной формулой:

1 - Р Р (\-Р \

о у ^{1 1} т _ q _ ]/~ w+1 V^і * w+1 /

//;^-Лт^_ _р, -/н+1 ^Л/н+1 _р,

*т * w+1

Пятая глава посвящена математической модели рынка нетерпеливых продавцов, которые приходят на него со своим товаром и уходят с него после его продажи. Такие модели можно строить на базе теории массового обслуживания. По нашему мнению, такой моделью может служить бесконечно линейная система массового обслуживания (СМО), каждая линия которой содержит бесконечное число фаз, соответствующих той цене, которую продавец просит за товар на этой фазе.

Итак, в систему поступает пуассоновский поток заявок интенсивности Л, где под каждой заявкой понимается продавец. Сама система состоит из бесконечного числа линий, так что поступившая заявка занимает любую свободную линию. С другой стороны, каждая линия представляет собой бесконечно фазную однолинейную СМО.

В п. 5.2 эта система исследована в случае экспоненциального времени обслуживания, когда на к-й фазе обслуживание экспоненциальное (& = 1,оо) с параметром \i_k, так что среднее время пребывания на к-й фазе равно \/\х_к. После окончания обслуживания на к-й фазе заявка с вероятностью Р_к переходит на следующую фазу и с вероятностью 1 - Р_к покидает систему.

Пусть i_k(t) есть число заявок, находящихся на к-й фазе обслуживания в момент времени t. Введем для краткости записи вектор / = {/i,/₂,/₃,...} и через R(I) = P{i\(t) = ц,і₂{ї)⁼ k->h{t)⁼ h->---) обозначим вероятность того, что в момент времени t на к-й фазе находится і_к заявок (& = 1,оо). Для стационарного распределения R(I) не зависит от времени /. В работе показано, что многомерное распределение /?(/) факторизуется, то есть является произведением одномерных распределений

_{вд=Падл),}

/7=1

где каждый сомножитель /?„(/„) - распределение Пуассона с параметром р„,

Л .

—, п = \,

Р„

Ці л "~¹ -ПИ- »".

Теорема. Если для системы с бесконечным числом фаз ряд

к-\

СС 1

к=г и-к и=і сходится, то в рассматриваемой СМО существует стационарный режим.

В п. 5.3 рассматривается бесконечно линейная бесконечно фазная СМО с управляемым переходом на другую фазу. На вход системы поступает стационарный пуассоновский поток заявок интенсивности Л. Поступившая заявка занимает одну из свободных линий, начиная обслуживаться на 1-й фазе.

Будем считать, что во время обслуживания на к-й фазе на нее поступают два пуассоновских потока событий - поток с интенсивностью ц*₀ (поток 0) и поток с интенсивностью \х_и (поток 1). Если наступит событие первого потока, то заявка переходит на (к+\)-ю фазу, если же наступит событие из потока 0, то заявка покидает систему. Таким образом, поступающие потоки 0 и 1 управляют пребыванием заявки на фазе. Под потоком 0 можно понимать, например, поток тех покупателей, которые купят товар, а под потоком 1 - поток тех моментов времени, когда нетерпеливый продавец изменяет цену на свой товар.

Теорема. Многомерное стационарное распределение R(I) имеет мультипликативный вид

где одномерные распределения /?„(/„) являются распределениями Пуассона с параметрами р„, определяемыми соотношениями

Обозначим через Т математическое ожидание времени пребывания заявки в системе. Тогда в работе показано, что

со 1 П-\

_{T = t——П-}¹_^—

«=1 ЦяО ⁺ Ця1 к=\ Ц*0 + М-Л1

и стационарный режим в рассматриваемой системе существует при выполне-

нии условия сходимости ряда ^р_к.

к=\

В п. 5.4 рассмотрен случай, когда на к-й фазе время обслуживания является случайной величиной с функцией распределения В_к(х), зависящей от номера фазы, но одинаковой для всех линий. Для исследования этой системы был использован метод просеянного потока, предложенный А.А. Назаровым. Показано, что

со я д 4

к = \ к = \ ¹к-

Ah, при к = \,

Л₄ =

к-\

АЬ_кЦР_у, при к>2

v=l

и ^ = ш/ЯДх) = j(l - #_А(лг))&.

о о

Этот результат легко переносится и на следующий случай: пусть заявка перешла на к-ю фазу. Тогда могут произойти следующие два события: а) спустя случайное время т_к0 с функцией распределения В_к0(х) придет покупатель, который купит товар, и продавец покинет систему; б) спустя время т_и с функцией распределения В_и(х) у нетерпеливого продавца «сдадут нервы», и он снизит цену и перейдет на следующую фазу. Реализуется то событие, которое наступит раньше, то есть время пребывания заявки на к-н фазе т* = т'т(х_к0,х_и).

В этом случае верны предыдущие формулы со следующими значениями параметров:

СО X СО 00

Р_к=Р{т_к1<т_к0}= jdB_k0(x)\dB_kl(y)= \dB_k,{y)\dB_k(>(x),

0 0 0 у

00 00 ос со

Ъ_к =М{тіп(т_м,т_АІ)}= jxdB_k0(x) jdB_kl(y)+ jydB_kl(y) jdB_k0(x).

Ox 0 v

В заключении к диссертации приведены основные результаты работы. Публикации по работе

Результаты работы опубликованы в следующих статьях и материалах научных конференций:

1. Галажинская О.Н. Математическая модель продажи товара нетерпеливым продавцом при непрерывном изменении цены // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. Март. № 16. С. 202-208.

2. Галажинская О.Н. Продажа товара нетерпеливым продавцом при ступенчатом изменении цены // Пятая Всероссийская конференция по финансово-

актуарной математике и смежным вопросам: Тезисы докладов. Красноярск, 2006. С. 22-23.

3. Галажинская О.Н. Бесконечно линейная бесконечно фазная система массового обслуживания с произвольным распределением времени обслуживания на каждой фазе // Научное творчество молодежи: Материалы X Всероссийской научно-практической конференции (21-22 апреля 2006 г., г. Анжеро-Судженск). Томск: Изд-во Том. ун-та, 2006. Ч. 1. С. 131-134.

4. Галажинская О.Н. Математическая модель продажи одиночного товара нетерпеливым продавцом // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации. 2006. Февраль. № 58.-91 с.

5. Галажинская О.Н. Бесконечно линейная бесконечно фазная система массового обслуживания со случайным прерыванием обслуживания // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. Август. № 18. С.261-266.

6. Галажинская О.Н. Продажа товара нетерпеливым продавцом при ступенчатом изменении цены // PCI 2006. The international conference «Problems of cybernetics and informatics». Baku, 2006. Vol. 1. P. 186-189.

7. Галажинская О.Н. Продажа товара нетерпеливым продавцом при ступенчатом изменении цены // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2006): Материалы V Международной научно-практической конференции (10-11 ноября 2006г., Анжеро-Судженск.). Томск: Изд-во Том. ун-та, 2006. Ч. 2. С. 103-106.

8. Галажинская О.Н. Продажа товара нетерпеливым продавцом при ступенчатом изменении цены // Вестник Томского государственного университета, 2006. №293. С.

Апробация работы

Работа докладывалась и обсуждалась на следующих научных конференциях: 1. Четвертая Всероссийская научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2005 г.

2. Пятая Всероссийская конференция «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы». Красноярск, 2006 г.

3. Десятая Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2006 г.

4. Шестая Всероссийская конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». Шушенское, 2006 г.

5. Международная научная конференция «Проблемы кибернетики и информатики». Баку, 2006 г.

6. Пятая Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2006 г.

7. Девятая Белорусская школа-семинар по теории массового обслуживания (BWWQT-2007). Гродно, 2007 г.

Характеристики продажной цены

Будем называть цену, по которой товар будет продан, продажной ценой товара и обозначать ее как Se. Разумеется, что в рамках предлагаемой модели эта цена будет случайной величиной. Рассмотрим некоторый интервал времени [t,t + At]. Тогда за этот интервал времени могут произойти следующие события: 1) потенциальный покупатель не появится. По свойствам пуассоновского потока вероятность этого события будет равна 1 - XAt + o(At) [5, 20, 22]; 2) придет потенциальный покупатель, но покупка не состоится. Вероятность этого события равна XAt(\ - R(S)) + o{At); 3) придет потенциальный покупатель, и покупка состоится. Вероятность этого события равна XAt R(S) + o(At). Отметим, что суммарная вероятность двух первых вариантов (в обоих случаях покупки не произойдет) равна 1 - XAt R(S) + o(At). В нем исследуются процессы изменения цен на продаваемый товар или товары с течением времени.

В данной работе задача ставится следующим образом: имеется продавец, желающий продать некоторый товар, по достаточно большой рыночной цене, например квартиру, машину и т.п. Разумеется, он хочет продать его возможно дороже, но в то же время достаточно быстро. Эти два требования противоречат друг другу, и поэтому поведение продавца обычно выглядит так: сначала он назначает за свой товар достаточно высокую цену и по мере того, как потенциальные покупатели отказываются от покупки, постепенно снижает ее, до тех пор, пока товар не будет продан. Естественно, скорость снижения цены зависит от его «нетерпеливости», и она индивидуальна для каждого продавца. Ниже рассматривается одна из возможных математических моделей этого процесса.

Рассмотрим случай, когда продавец меняет цену на свой товар непрерывно со временем. Тогда через S(t) будем обозначать ту цену, за которую продавец готов продать свой товар в момент времени t. Будем предполагать, что S(t) строго монотонно убывает со временем от некоторой цены S0 = S(0), так что уравнение S(t) = S можно однозначно разрешить относительно аргумента t, то есть получить соотношение / = t(S).

Что касается покупателей, то будем считать, что потенциальные покупатели образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности X. Вступая в контакт с продавцом после ознакомления со свойствами продаваемого товара, покупатель приобретает его с вероятностью R(S) разумеется, зависящей от той цены, которую запрашивает продавец, и с вероятностью 1 - R(S) отказывается от покупки. Будем считать далее, что R(S) есть монотонно убывающая функция, так что с уменьшением запрашиваемой цены вероятность покупки возрастает. Кроме этого, будем считать, что существует некоторая минимальная цена Sm, так что R(Sm) = 1, то есть по этой цене товар покупается всегда. Соответственно этому будем считать, что lim f) = Sm.

Среднее время до продажи товара

Прежде чем выводить выражение для математического ожидания времени продажи товара, получим один вспомогательный результат.

Рассмотрим некоторую фазу длительности Т, на которой товар покупается с вероятностью R. Поток потенциальных покупателей есть пуассоновский поток интенсивности X. Так как покупатели решают купить товар независимо друг от друга и вероятность покупки равна R, то поток тех покупателей, которые купят товар, является также пуассоновским потоком, но с интенсивностью, равной XR [5, 13, 14]. Поэтому плотность вероятностей интервалов времени т между покупками имеет вид p{x) = XRe XR. (2.9) (2.21) где считается, что XRkTk =0. ы\ Пусть т - промежуток времени, проходящий между моментом выставления товара на продажу и моментом его покупки. Введем функцию G(q) = M{exP(-qx)}, (2.22) представляющую собой преобразование Лапласа от плотности вероятностей р(х) величины т. Пусть товар продается на п-й фазе. Обозначим через хп величину интервала времени от начала п-й фазы до момента продажи товара. Тогда мы имеем G{q) = ]Ге- +г2+...+г,,„ .м х„ , Хп г (1 Рассмотрим теперь случай, когда фазы имеют случайную длительность, так что длительность 7/, /-й фазы есть случайная величина с функцией распределения Bj(T).

Если длительность /-й фазы была бы равна 7/, то вероятность того, что на этой фазе товар не будет куплен, была бы равна, как показано выше, ехр(-ХЛ,Г). Безусловная вероятность Pi отсутствия покупки на /-й фазе равна поэтому

Пусть длительность фазы равна Т, а вероятность покупки равна R. Тогда, как показано выше, плотность вероятностей р(т) временного интервала от начала фазы до покупки при условии, что покупка произошла, равна р(х Т) = Вводя функцию Хевисайда Это уравнение дает рекуррентное соотношение, связывающее Sm и Sm+{. Использовать его можно, например, следующим образом: задаваясь S0, находить S, (разумеется, только численно), затем, зная S], находить S2, и т.д. После этого можно сосчитать величину Ф, которая будет зависеть теперь только от S0. Далее надо численно найти тахФ, используя известные численные методы нахождения максимума функции одной переменной.

Можно ставить и задачу о нахождении оптимальных длительностей фаз Тп, но, к сожалению, автору не удалось получить достаточно простой алгоритм ее решения.

Итак, в данной главе рассмотрен процесс продажи товара нетерпеливым продавцом, когда процесс изменения цены на товар выглядит следующим образом: в момент начала продажи устанавливается цена S,, которую продавец держит в течение периода времени Г,. Если за это время товар не будет продан, то устанавливается цена S2, которая держится в течение времени Т2. Если за это время товар не будет продан, то устанавливается цена S3, которая держится в течение времени Г3, и т.д. Каждый такой период называется фазой.

Считается, что поток покупателей является пуассоновским потоком постоянной интенсивности X. На л-й фазе покупатель купит товар с вероятностью Rn = R{Sn), где R(S) - некоторая функция от цены S. Очевидно, что R(S) есть монотонно убывающая функция.

Для этой модели найдены следующие характеристики:

1. Распределение вероятностей номера фазы, на которой товар будет продан, и распределение вероятностей той цены, по которой он будет продан (продажной цены).

2. Плотность вероятностей и математическое ожидание времени, проходящего от момента выставления товара на продажу до его продажи.

3. Изучен случай, когда продолжительность фазы является случайной с заданным распределением вероятностей. Для этой ситуации найдено распределе ние вероятностей длительности пребывания на фазе при условии, что на ней товар будет продан.

4. В этой же ситуации найдено распределение вероятностей продажной цены и среднее время, проходящее от момента выставления товара на продажу до его продажи. Найдено преобразование Лапласа для распределения вероятностей этого времени.

5. Поставлена оптимизационная задача об оптимальном назначении цены товара на каждой фазе и предложен численный итеративный алгоритм ее решения.

6. Рассмотрен иллюстративный пример, доведенный до конкретных формул и графиков.

Среднее время до продажи товара

Прежде, чем выводить формулу для среднего времени до продажи товара, рассмотрим один вспомогательный результат.

Пусть фаза характеризуется величинами R (вероятность покупки) и т (максимально возможное число потенциальных покупателей). Найдем условное распределение номера покупателя, купившего товар, при условии, что он будет куплен на этой фазе.

Пусть товар купил к-й. по счету покупатель. Это означает, что первые к -1 покупателей его не купили, а купил к-я. Вероятность такой комбинации равна (1-Я) R. Найдем теперь условную среднюю длительность її периода времени от начала фазы до момента покупки при условии, что товар будет куплен. Обозначим теперь через т длительность промежутка времени, проходящего от начала продажи товара до его покупки, и пусть т = М{т}. Вычислим эту величину. Пусть х есть промежуток времени, проходящий между моментом выставления товара на продажу и его покупкой. Введем функцию G(q) = M{e-n, (3-19) представляющую собой преобразование Лапласа от плотности вероятностей р(х) величины т.

Пусть товар продается на п-й фазе. Обозначим через /,-, / = 1,/7-1 время пребывания на /-й фазе, на которой товар не был продан, и через хп - величину интервала времени от начала п-й фазы до момента его продажи, при условии, что товар на п-й фазе продан.

Обозначим через р т) вероятность того, что /-я фаза закончится, если покупку не совершит т покупателей.

Пусть фаза характеризуется распределением вероятностей р{т) и вероятностью покупки отдельным покупателем R. Тогда полная вероятность отсутст вия покупки равна P = (l-R)m р(т).

Если длительность фазы равна т и покупки не произошло, то ее длительность равна сумме т случайных величин, имеющих плотность вероятностей А,ехр(-Х.т).

Итак, в данной главе рассмотрен процесс продажи товара нетерпеливым продавцом, когда процесс изменения цены на товар выглядит следующим образом: в момент начала продажи устанавливается цена S{. Продавец ждет, пока за товаром не обратится /я, потенциальный покупатель. Если товар будет продан - процесс закончен. Если из пришедших тх никто товар не купил, то устанавливается цена S2, которая держится на т2 потенциальных покупателях. Если товар будет продан - процесс закончен, если нет - устанавливается цена S3, которая держится на w3 потенциальных покупателях, и т.д.

Считается, что поток покупателей является пуассоновским потоком постоянной интенсивности X. На /7-й фазе покупатель купит товар с вероятностью R„ - R(Sn), где R(S) - некоторая функция от цены S. Очевидно, что R(S) есть монотонно убывающая функция.

Для этой модели найдены следующие характеристики: 1. Распределение вероятностей номера фазы, на которой товар будет продан, и распределение вероятностей той цены, по которой он будет продан (продажной цены). 2. Плотность вероятностей и математическое ожидание времени, проходящего от момента выставления товара на продажу до его продажи. 3. Изучен случай, когда фаза кончается, если покупку на ней не совершит случайное число покупателей с заданным распределением вероятностей. Для этой ситуации найдено распределение вероятностей длительности пребывания на фазе при условии, что на ней товар будет продан. 4. В этой же ситуации найдено среднее время, проходящее от момента выставления товара на продажу до его продажи. 5. Поставлена оптимизационная задача об оптимальном назначении цены товара на каждой фазе и предложен численный итеративный алгоритм ее решения. 6. Рассмотрен иллюстративный пример, доведенный до конкретных формул и графиков.

Распределение номера продажной фазы и продажной цены

В предыдущих главах была исследована математическая модель поведения одного нетерпеливого продавца, выставляющего на продажу какой-то дорогостоящий товар. На самом деле таких продавцов с аналогичными товарами может быть много, и поэтому необходимо построить также математическую модель всего рынка таких продавцов. Такие модели можно строить на базе теории массового обслуживания. По нашему мнению, такой моделью может служить бесконечно линейная система массового обслуживания, каждая линия которой содержит бесконечное число фаз, соответствующих той цене, которую продавец просит за товар на этой фазе [10].

Таким образом, ниже в работе исследуется следующая система массового обслуживания. Изложение материала идет в терминах теории массового обслуживания. Мы считаем, что, эта модель может служить математической моделью и других систем, встречающихся в жизни, например системы пенсионного страхования, демографические модели возрастного состава населения и т.д.

Итак, в систему поступает пуассоновский поток заявок интенсивности Л, где под каждой заявкой понимается продавец. Сама система состоит из бесконечного числа линий, так что поступившая заявка занимает любую свободную линию. С другой стороны, каждая линия представляет собой бесконечно фазную однолинейную СМО.

Вычислить его можно лишь при конкретизации всех входящих в него функций. 5.3. Бесконечно линейная бесконечно фазная СМО с управляемым переходом на другую фазу

В предыдущем разделе считалось, что среднее время пребывания на фазе не зависит от того, перешла ли заявка на следующую фазу или же она покинула систему. Как видно из предыдущих глав, на самом деле это не так и распределение времени пребывания на фазе различно для заявок, переходящих на другую фазу или покидающих изучаемую систему массового обслуживания. Приведем один из вариантов такой ситуации.

Итак, ниже рассматривается бесконечно линейная СМО с неограниченным числом фаз на каждой линии. На вход системы поступает стационарный пуас-соновский поток заявок интенсивности Л. Поступившая заявка занимает одну из свободных линий, начиная обслуживаться на 1-й фазе.

Будем считать, что во время обслуживания на к-й фазе на нее поступают два пуассоновских потока событий - поток с интенсивностью ц,0 (поток 0) и поток с интенсивностью Цл (поток 1). Если наступит событие первого потока, то заявка переходит на (к+\)-ю фазу, если же наступит событие из потока 0, то заявка покидает систему. Таким образом, поступающие потоки 0 и 1 управляют пребыванием заявки на фазе. Под потоком 0 можно понимать, например, поток тех покупателей, которые купят товар, а под потоком 1 - поток тех моментов времени, когда нетерпеливый продавец изменяет цену на свой товар.

Линию будем называть занятой, если на одной из ее фаз находится заявка, и свободной, если на всех ее фазах заявки нет. Будем полагать, что функционирование линий стохастически независимо.

Похожие диссертации на Математическая модель продажи одиночного товара нетерпеливым продавцом

Математическая модель розничной продажи скоропортящейся продукции Новицкая Елена Викторовна

Актуальные вопросы правового регулирования договора международной купли-продажи товаровАбулов, Шамиль Сергеевич

Переход права собственности по договору международной купли-продажи товаровПлеханов Вадим Викторович

Уголовно-правовая оценка обмана в сфере продажи товаров, выполнения работ и оказания услугГриневский Роман Григорьевич

Конвенция ООН о договорах международной купли-продажи товаров 1980 г.Викторова Наталья Николаевна

Средства правовой защиты по Конвенции ООН о договорах международной купли - продажи товаров 1980 годаКоржов Евгений Николаевич

Правовое регулирование внешнеэкономических сделок купли-продажи товаров, в которых выражены результаты права интеллектуальной собственностиТюнин Михаил Васильевич

Методы стимулирования продажи товаров в системе менеджмента торговых организацийТришин Алексей Евгеньевич

Правовая защита в случае нарушения договора международной купли-продажи товаровБессолицын Дмитрий Александрович

Ответственность за нарушение договоров международной купли-продажи товаровДиденко Анатолий Владимирович