Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Определение оптимального объема партии товара и розничной цены продажи скоропортящейся продукции 23
1.1. Постановка проблемы 23
1.2. Нахождение средней прибыли 23
1.3. Случай экспоненциально распределенных покупок 25
1.4. Асимптотика при больших XT 27
1.5. Определение оптимальной розничной цены 28
1.6. Приближенное решение 30
1.7. Частный случай .32
1.8. Плотность вероятностей длительности продажи партии товара 33
1.9. Диффузионная аппроксимация 36
1.10. Оценка параметров 40
Резюме 56
ГЛАВА 2. Определение оптимального объема партии товара и розничной цены продажи непрерывно портящейся продукции 57
2.1. Постановка проблемы 57
2.2. Нахождение прибыли (детерминированный случай) 57
2.3. Критерий оптимальности и нахождение оптимального объёма партии товара 58
2.4. Нахождение оптимальной розничной цены 60
2.5. Диффузионное приближение 61
2.6. Экспоненциально распределенные покупки 66
2.7. Произвольное распределение величины покупки 68
2.8. Управление розничной ценой товара 69
2.9. Определение оптимального объема партии товара с учетом накладных расходов 71
2.10. Определение оптимальной розничной цены 76
2.11. Общий случай 77
Резюме 77
ГЛАВА 3. Определение оптимального объема партии товара й розничной цены продажи продукции с непрерывно ухудшающимся качеством 79
3.1. Постановка проблемы 79
3.2. Нахождение и оптимизация прибыли (детерминированный случай) ...79
3.3. Характеристики торговой сессии (диффузионное приближение) 87
3.4. Характеристики торговой сессии (пуассоновский поток) 90
3.5. Определение оптимального объема партии при постоянстве отношения !и цена / качество 93
3.6. Продажа по постоянной цене 101
3.7. Ступенчатое изменение цены 104
Резюме. 107
Приложение 108
Заключение 112
Литература 114
- Плотность вероятностей длительности продажи партии товара
- Критерий оптимальности и нахождение оптимального объёма партии товара
- Определение оптимального объема партии товара с учетом накладных расходов
- Нахождение и оптимизация прибыли (детерминированный случай)
Введение к работе
Актуальность работы.
Перед любой фирмой, производящей какой-либо товар, всегда встает проблема его сбыта. Эта проблема особенно важна для фирм, производящих товары, не подлежащие длительному хранению, так как перепроизводство товара может привести к потери им товарных качеств в течении торговой сессии и товар будет снят с реализации или будет подлежать уценке. С другой стороны, недостаточное производство товара приведет к тому, что часть возможной прибыли будет недополучена, то есть к упущенной выгоде.
Эти проблемы возникают при поставке товара в торговые точки, принадлежащие фирме-производителю, а также у розничных торговцев, покупающих у оптового продавца партию скоропортящегося товара для его реализации. Во всех этих ситуациях очень большое значение имеют ответы на следующие вопросы:
Какой должен быть объем партии, поставляемой или покупаемой для реализации?
По какой розничной цене должен продаваться этот товар?
Как должна меняться розничная цена в зависимости от ухудшающихся качеств непроданного товара?
Как должна меняться розничная цена в зависимости от количества непроданного товара, чтобы реализовать его до истечения срока его годности?
Ответам (хотя бы частичным) на эти вопросы и посвящена данная работа. Она выполнялась по предложению ООО «Анжерское молоко», которое было заинтересовано в определении объемов выпускаемой продукции с очень ограниченным сроком годности, в определении объемов партий товара, направляемых на реализацию в торговые точки, и в определении розничной цены реализации этой продукции. Этим фактом и определяется актуальность работы. Состояние проблемы
Непосредственно работ, посвященных предложенной задаче, найти не удалось. Наиболее близкими к тематике работы являются работы по управлению запа-
сами и статьи по так называемой микроструктуре рынка, которая начала интенсивно развиваться в последнее десятилетие.
Теория управления запасами [4, 5, 9, 11, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 38, 40] является в настоящее время очень подробно разработанным разделом экономико-математических моделей. В ней разработаны подходы к оптимизации работы складов, которые являются атрибутом очень большого числа экономических объектов. Исследованы самые разнообразные модели, отличающиеся по виду запасов, структуре системы хранения, способу контроля уровня запасов, структуре запасов. Разнообразны также и математические модели управления запасами: статические и динамические, детерминированные и стохастические, стационарные и нестационарные, замкнутые и разомкнутые по спросу, со случайными поставками и временем поставок и т.д.
Однако в данных работах основным является учет потерь на хранение запасов на складах, а также потери от переполнения и опустошения склада. К процессу торговли это не имеет непосредственного отношения, так как в торговле совершенно другие критерии оптимальности - получение максимальной выгоды в единицу времени, возможность регулировать спрос, изменяя розничную цену, ограничения на время продажи партии товара (скоропортящиеся товары должны быть проданы в строго определенный промежуток времени), ухудшение потребительских свойств товара с течением времени и т.д.
Основная идея работ по микроструктуре рынка [41-56] состоит в следующем. Имеется классическая теория ценообразования, которая излагается во всех учебниках по микроэкономике и которая построена на основании соотношений спрос—цена и производство-цена. Эти зависимости определяют так называемую равновесную цену, то есть ту цену, по которой продается товар в состоянии равновесия рынка.
Однако этой равновесной цены еще надо достичь. Поэтому имеется целый ряд моделей [1, 2, 10, 14, 19] (паутинообразная модель, модель с прогнозированием цены, модель с учетом складов), в которых описывается процесс дос-
тижения равновесной цены. Однако эти модели не имеют практического применения.
Однако процесс установления цены, не имеющий большого значения для товарных рынков, имеет очень существенное значение для фондовых рынков, для которых характерно быстрое изменение цен и спекулятивный характер использования этих изменений. Именно для этих рынков и предлагаются различные модели изменения цены со временем, которые могут быть использованы на практике для краткосрочного прогноза цен финансовых активов. В этих моделях учитываются такие факторы, как
стремление продавца поскорее продать свои активы, а покупателя — купить нужный ему актив;
наличие активных и неактивных участников рынка;
различие в информации, которой обладают участники рынка, в частности, наличие инсайдерской информации;
- возможность обучения участников торгов в процессе функционирования
фондового рынка.
По-видимому, данную работу также можно отнести к теории микроструктуры рынка, только не фондового, а товарного, так как процесс торговли, изменения цены товара в зависимости от времени и количества товара, имеющегося в наличии, есть также «микроструктура» рынка.
Таким образом, данная работа имеет следующие особенности, отличающие ее от работ по управлению запасами и работ по микроструктуре рынка:
1. Учитывается специфика торговли скоропортящимися товарами. Ис
пользуется другой критерий оптимальности - требуется взять такую
партию товара, чтобы максимизировать прибыль от ее продажи.
2. При определении оптимального объема партии товара, выставляемого
на розничную продажу, учитывается специфика розничной торговли -
случайность объема покупки и процесса покупок, так же их зависи
мость от качества товара и розничной цены.
3. Рассматриваются вопросы установления оптимальной розничной цены на товар и вопросы изменения этой цены с течением времени. Таким образом, в данной работе как бы объединяются основные идеи теории управления запасами и теории микроструктуры рынка.
Цель работы. При выполнении данной работы ставилась задача найти объем партии портящегося товара, выносимого на продажу, и его розничной цены, при которых продавец получал бы максимум прибыли в единицу времени.
Методика исследования. При решении поставленных задач использовались
методы теории вероятностей, теории случайных процессов и математической
^ статистики.
Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие научные результаты.
Для товаров, срок годности которых ограничен одной торговой сессией:
1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на
продажу, и оптимальную розничную цену его продажи.
* 2. Вероятностные характеристики торговой сессии (плотности вероятностей
длительности продажи партии товара и количества проданного товара в течение торговой сессии).
Вид оценок параметров, характеризующих продажу товара, по наблюдениям над результатами торговой сессии.
Формулы, характеризующие процесс продажи товара, при управлении розничной ценой, обеспечивающем продажу всего товара в течение торговой сессии.
Для товаров, которые непрерывно портятся с течением времени:
1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на
продажу, и оптимальную розничную цену его продажи с учетом времени на
# покупку партии товара у оптового продавца.
2. Формулы, определяющие математическое ожидание времени продажи пар
тии товара в различных приближениях (диффузионная аппроксимация, экс-
! Щ
поненциальное распределение величины покупки, большой объем партии товара).
Формулы, определяющие оптимальный закон изменения розничной цены в зависимости от времени.
Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи с учетом накладных расходов.
Для товаров, которые теряют товарный вид с течением времени:
Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальный закон изменения его розничной цены в зависимости от времени.
Формулы, определяющие математическое ожидание и дисперсию времени продажи партии товара в диффузионном приближении и в приближении пу-ассоновского потока покупок.
Формулы, определяющие оптимальный объем партии при постоянстве отно-шения цена / качество.
Формулы, определяющие оптимальный объем партии при продаже товара по постоянной цене и при ступенчатом изменении цены.
Всюду критерием оптимальности является максимизация величины прибыли в единицу времени.
Научная новизна работы.
К новым научным результатам относится следующее: В трех случаях
продажа товара, срок годности которого ограничен одной торговой сессией;
продажа товара, который непрерывно портится с течением времени;
продажа товара, теряющего свой товарный вид с течением времени
с критерием оптимальности в виде максимума прибыли в единицу времени получены
- формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на
продажу;
формулы, определяющие оптимальную розничную цену или оптимальный закон изменения розничной цены с течением времени;
формулы, определяющие вероятностные характеристики торговой сессии и количества товара, имеющегося в наличии в произвольный момент времени.
Теоретическое значение работы заключается в том, что в ней поставлена и частично решена задача оптимизации розничной продажи товаров, срок реализации которых ограничен, или которые портятся с течением времени.
Практическое значение работы заключается в том, что данные в ней рекомендации помогут фирмам, производящим скоропортящиеся товары, оптимизировать их розничную продажу и увеличить свою прибыль. Краткое изложение содержания работы
В первой главе рассматривается оптимизация продажи продукции, срок годности которой составляет одну торговую сессию. В п. 1.2 в предположении, что покупатели покупают товар независимо друг от друга, и объем покупки
есть случайная величина с М{} = ах и М{Ъ, } = а2 и что поток покупок есть пу-ассоновский поток постоянной интенсивности Х(с) (с — розничная цена, по которой продается товар), находится прибыль от продажи партии товара объема Q и выводится общее уравнение для определения оптимального объема партии товара. В п. 1.3 для случая, когда величина покупки распределена по экспоненциальному закону, уравнение для определения оптимального значения Q приводится к виду
^Цс)Т f -pi{lJX{c)Tuyu-X(c)Tdu = -.
як 4u
Здесь d -оптовая цена, Т — длительность торговой сессии. В асимптотике Х(с)Т »1 решение этого уравнения получено в виде
Q = arX(c)T + Ja,'Uc)T-4'\\--),
V с)
где Ч'(-) есть функция, обратная функции Лапласа Ф(-).
В п. 1.4 рассмотрен теперь асимптотический случай XT'—>оо и произвольное распределение величины покупки. Показано, что предыдущая формула сохраняет свою силу и в этом случае.
В п. 1.5 рассмотрен вопрос об определении оптимальной розничной цены продажи товара. Показано, что оптимальное значение с следует искать из условия
а2Х(с)Т
( d\ 1--
V с)
_lvj/2
а,Х{с)Т
—>max
( d\\ 1--
V С))
По-видимому, найти оптимальное значение с можно лишь численно при конкретизации вида Х(с).
В п. 1.6 рассмотрено приближенное решение этого уравнения, когда Х{с) представимо в виде Х(с) = X0F(c). Тогда приближенное решение уравнения для с имеет вид с = с0 +Ас, где с0 находится из уравнения
Нс0)
Сп +
= d.
F'(c0)
а-,
2nafXJ F"(c0)(c0-d) + 2F'(c0)
x
с,
л/^6)
2Mb)
(
_lxj/2
о у
+ ^2kF(cq)-4>\\-
'О У
Тем самым определяется оптимальная розничная цена продажи партии товара. В п. 1.7 рассмотрен простейший частный случай, когда F(c) имеет вид
d где d — оптовая цена, с0 — стационарная цена и а > 0. Связь между с0 и # имеет вид
c0 = d\l + -V а)
и в этом случае
Ac = ~d
2%afX0T
G{a)
( I X\ г— a
G(a) =
1-а (
exp
J+a.
l + a
\ + a
))
. 2 \
В п. 1.8 рассмотрен вопрос о плотности вероятностей длительности продажи партии товара объема Q. Точное решение задачи можно получить в случае экспоненциального распределения объема отдельной покупки. Показано, что в этом случае точное выражение для плотности вероятностей времени продажи / всей партии товара имеет вид
p(t) = Хе
- 1 „-K-Qlax
h
і )
В асимптотике q-Qjax»\ показано, что t является нормальной случайной
величиной с математическим ожиданием Q/a{k и дисперсией 2Q/aft .
В п. 1.9 эта же задача решена в диффузионном приближении и показано, что предыдущий результат верен и в этом случае.
В п. 1.10 рассмотрен вопрос об оценке величин а{ХТ и а2ХТ по результатам торговых сессий. Пусть всего прошло п сессий, и п — m из них окончились распродажей всей партии товара, авж сессиях остался нераспроданный товар, так что количество проданного в них товара составило xl,x2,x3,...,xm. В этом случае количество проданного за торговую сессию товара х есть нормальная случайная величина с математическим ожиданием М{х) -тх - а{ХТ и диспер-
1 m сией D{x} = ol =а2ХТ. Пусть h = m/n и х =—У]*/- Тогда, используя метод
моментов, получено, что оценки интересующих нас величин имеют вид
Q-x
<5Х - а2ХТ =
тх -а{КТ
4(^) +F(h)' xV(h) + QF(h)
4*(A) + F(A)
Пусть всего было п торговых сессий, из которых т закончились досрочно в моменты времени tx,t2-,t2,...,tm, ИВЙ-/Й сессиях товар остался нераспроданным, то есть до полной продажи товара потребовалось бы время, больше Т. Введем безразмерные величины \i = mt/T и s = ct/T, так что
Q Q2s2
а{кТ = — , а2ХТ = .
Тогда оценки величин имеют вид
T4(h) + F(h) 1-т
4>{h) + F(h) ^{h) + F{h)
1 ^
mT ;=, Зная эти оценки, можно найти и оценки величин а{кТ и а2ХТ по приведенным выше формулам.
В п. 1.11 рассмотрено управление розничной ценой товара, имеющее целью добиться того, чтобы к концу торговой сессии весь товар был распродан. Здесь возможны самые разнообразные варианты. В работе рассмотрен лишь случай, когда цена c{t) товара в момент времени t определяется соотношением
Эта процедура получается из следующих естественных соображений: дробь Q(t)/(T-t) есть та средняя скорость, с которой должен продаваться товар, чтобы он был весь продан к концу сессии. С другой стороны, aiX(c(t)) есть та мгновенная скорость, с которой он продается в момент времени L Мы требуем, чтобы эти две скорости были равны друг другу.
В этом случае в диффузионной аппроксимации найдены вероятностные характеристики процесса Q(t) (количество непроданного товара в момент времени t). Показано, что математическое ожидание и дисперсия этого процесса имеют вид
a2Qo t
1 —
a.
а плотность вероятностей - вид p(Q,t) = e-(r-"K'""
Є(0 = 2о і-- . >((')} =
^^^^ШЕЖ.ЩІй^
где (З = 2ах / а2.
Это выражение позволяет найти функцию распределения и математическое ожидание длительности продажи товара т
P(iT(0 = exp
T-t
, Р<2о
f J
М{х) = J(l- Fz(t))ti = T 1 -epa JV P0,/jcdfc
0 V 0
Входящий сюда интеграл через элементарные функции не выражается. При Р<90 »1 приближенно
М{х} = Т
с J у*
1 —
РО, IPQ)
Определим величину с0 уравнением
Будем называть ее «стационарной ценой», так как она соответствует тому, что товар продается с постоянной скоростью. Тогда приближенно
Q Qo
c(t) = c0+-
a{k'(co)\T-t T )
что и определяет розничную цену товара в каждый момент времени. В этом случае выручка от продажи товара равна
\
Х(с0)
(
1 +
S « я,с0^(с0)Г
_v ссЛ'(со) PQJ
Заметим, что А/(с0)<0 и поэтому <а,с0Я-(с0)Г, то есть управление ценой с целью продать весь товар до окончания торговой сессии уменьшает среднее значение выручки по сравнению с продажей по стационарной цене. Однако это
уменьшение имеет порядок 1/Р0о и поэтому невелико. Оно является своеобразной «платой» за окончание продаж в срок.
В этом же пункте найдены функция корреляции и переходная плотность вероятностей процесса Q(t).
Во второй главе рассматривается следующая ситуация: имеется некоторая скоропортящаяся продукция (например, фрукты, овощи и т.д.), которая портится с течением времени (овощи и фрукты гниют и т.п.). Продавец покупает партию товара объема Qo по оптовой цене d и продает ее по розничной цене с. Ставится задача нахождения значений Q0 и с, при которых средняя прибыль продавца будет максимальной.
В п. 2.2 эта задача решается в детерминированном приближении, в предположении, что на интервале времени испортится количество товара
Тогда момент времени Т0 окончания продажи этой партии товара связан с ее объемом Q0 соотношением
Т0=-\п
и 2к '
Прибыль от реализации этой партии составит величину П = axcX{c)TQ -d Q0.
Будем считать, что после реализации партии товара продавец тратит время Ть на приобретение следующей партии. Тогда средняя прибыль продавца в
единицу времени составит величину
(
1 + J&2L
а{к{с)
1 + .&к
Р = а1сХ(с)-- , ч
с а{к{с)
+ кТь
Пусть розничная цена продажи с фиксирована. Обозначим z = KQQ/a{k{c). Тогда среднюю прибыль в единицу времени Р можно представить в виде
\n(l + z)-{d/c)-z
Р = ахс%{с) - -
ln(l + z) + кТь
и, при фиксированном с, задача примет вид
f( ч \n{\ + z)-{dfc)-z
f(z) = ~ -—±-!—L— => max.
ln(l + z) + KTb Оптимальное значение z находится из условия f\z) = 0, которое приводит у уравнению
к71 + (d/c)z d. „ . d т „
—b у і J ln(l + z) к7і =0.
\ + z с с
В работе показано, что это уравнение имеет единственный корень. Обозначая его через zopt (его можно найти лишь численно), можно найти и оптимальный объём партии товара:
__орг 'opt —
В п.2.4 рассмотрен вопрос об определении оптимальной розничной цены. Пусть поддерживается z = zopt. Тогда Р зависит от розничной цены с через сомножитель
сЦс) ln(l + zopt) - X(c)d zopt,
и поэтому задача нахождения оптимальной розничной цены приобретает вид
сХ(с)\п(\ + z ,) - X(c)d z t => max.
Приравнивая нулю производную от этого выражения по с, получим уравнение
Х(с) ,
V{c) \n{\ + zoptY
определяющее эту цену.
В п. 2.5 показано, что все эти результаты верны также в диффузионном приближении при больших значениях g0. В п. 2.6 показано, что все эти результаты верны также и в случае, когда величина покупки распределена по экспоненциальному закону также при больших значениях Q0, а в п. 2.6 - что все эти результаты при больших значениях Q0 верны и при произвольном распределении величины покупки.
В п.2.8 рассмотрено управление розничной ценой товара. Пусть розничная цена c(f) есть функция времени L Тогда средняя прибыль в единицу времени будет равна
То т0
jc(x)X(c(x))dx - d j\(c(T))eKVr
Р = я J о ш
Так как Г0 и Q0 связаны однозначно, то можно искать максимум Р не по Q0 и с{х), а по Т0 и с(х), то есть решать задачу Р => max . Это приводит к уравнению
7Ь.с(т)
с\х) + —-; = ае .
Сравнивая это уравнение с уравнением для постоянной цены мы видим, что розничная цена продажи должна возрастать со временем. Объяснить это можно следующим образом. Пусть мы купили партию товара достаточно большого объема Q0. Так как товара много, то и количество испортившегося товара в единицу времени велико, и чтобы уменьшить потери от его порчи нам выгодно распродавать его даже по несколько меньшей цене. По мере продажи товара, его количество уменьшается, уменьшаются и потери от его порчи, и выгодно несколько увеличить розничную цену. Именно это и отражает приведенное выше уравнение.
Если считать, что зависимость с(х) найдена, то уравнение для определения
оптимального значения Т0 имеет вид
}(ф) - deKX)x{c{x))dx =Х(с(Т0))(с{Т0) - deKT \т0 +Th), (38)
откуда, зная Т0 можно найти и объем партии Q0.
В п. 2.9 рассмотрена ситуация, когда закупка партии товара требует некоторых накладных расходов, связанных, например, с транспортными расходами и т.д. В дальнейшем будем считать, что покупка партии товара объема Q стоит нам d-Q + G денег, где d- оптовая цена товара, и G - накладные расходы.
Тогда средний доход в единицу времени будет равен
к? 1 d kQ kG
а{К) с а{к щек
In 1
1 +
Р = ахск{с)-
Y = -» S с
Обозначим для краткости Тогда выражение для Р примет вид
P = axck(c)
ln(l + z) - yz - g
ln(l + z)
и, при фиксированной розничной цене с задача определения оптимального объема закупаемой партии примет вид
Р = а,сХ(с)— — 2-=>max.
1 ln(l + z)
Показано, что эта задача имеет смысл при выполнении условия
ахсХ{с)
d)
х+І
что дает ограничение на величину накладных расходов. Оптимальное значение z находится из уравнения
(l + z)ln(l + z)-z = g/y,
которое имеет единственный корень. В работе также показано, что этот результат остается в силе и в том случае, если новая партия товара приобретается до того, как продана предыдущая партия и ее приобретение до окончания продажи предыдущей партии нецелесообразно.
В п.2.10 рассмотрен вопрос об определении оптимальной розничной цены. Она определяется из системы уравнений
d a{K{c)z + kG
1 + z
d-ax\{c)\x\{\ + z) =
к(с) _ d-z X'(c)~\n(l + z)'
В п. 2.11 рассмотрен случай, когда имеют место и накладные расходы и временные потери. В этом случае оптимальный объем партии товара определяется из уравнения
(1 + 2)1п(1+2) = (у-кГ4) + к7і
'1-і]
+g,
Qyl d K.G
гдег = ——-, у = —, g =
a{k(c) с а{сХ(с)
В третьей главе рассматривается следующая задача: пусть имеется некоторая продукция, товарные свойства которой (товарный вид, потребительские качества) непрерывно ухудшаются стечением времени. Продавец покупает партию товара объема Qq по оптовой цене D и продает ее по розничной цене c(t), которая должна меняться с течением времени, так как очевидно, что с ухудшением товарных качеств спрос на нее падает и для увеличения спроса продавец вынужден снижать цену. Ставится задача нахождения значений Q0 и c(t), при которых средняя прибыль продавца будет максимальной. В главе рассмотрен случай, когда спрос на продукцию определяется отношением цена/качество, то есть величиной s(t) = c(t)/v(t), где функция v(t) есть некоторая величина, характеризующая товарное качество продукции в момент времени /.
В п.3.2 рассмотрено детерминированное приближение. Показано, что оптимальное значение s определяется уравнением
X(s) D А, (я) v
Зная вид v(/) отсюда и определяется оптимальная розничная цена
c(t) = v(t)s(v(t)). Оптимальный объем партии товара определяется выражением
Q0=a]jX(s(t))dt, о
в котором величина Т0 (время продажи партии) находится из уравнения
J[c(0 - D]k(s(t))dt - Т0[с(То) - D]X(s(T0)) =
Пусть Q(t) и S(t) есть соответственно количество проданного товара и полученный от продажи доход на момент времени t. В п. 3.3 найдены в диффузионном приближении вероятностные характеристики этих процессов, такие, как математическое ожидание, дисперсия и функция корреляции. Найдены также математическое ожидание и дисперсия продолжительности продажи партии товара. В п. 3.4 эти же характеристики найдены в предположении, что поток покупок является пуассоновским потоком переменной интенсивности.
Иногда бывает разумно добиться того, чтобы интенсивность потока покупок была постоянной, так как в противном случае либо создаются очереди, что отпугивает потенциальных покупателей, либо простаивает продавец, если покупателей мало. Так как мы предположили, что интенсивность потока покупателей зависит лишь от величины 5 = c(t)/v(t), то это трансформируется в условие постоянства величины s. В п. 3.5 рассмотрен именно этот случай и показано, что оптимальное значение s и Г0 определяются системой уравнений
V(T0)T0-V(T0) + —^- = 0,
\'(s) V(T0)
Здесь \v{u)du = V{t). Через них находится оптимальный объем партии и вы-
ручка от продажи товара
та Q0 = a{k(s)TQ, S(T0) = a{sX(s) jv(t)dt.
В п. 3.6 рассмотрен случай продажи товара по постоянной цене, а в п. 3.7 -случай ступенчатого изменения цены.
Во всех этих случаях проведена конкретизация получаемого решения для v(t) = vQ(l-t/T*) и двух вариантов для X(s): X(s) = Х0 exp(l - s/к) и
X(s) = X0(\-s/k.).
В приложении дается краткое описание программного обеспечения для расчета некоторых характеристик полученных в работе.
Публикации по работе
Результаты работы опубликованы в следующих статьях и материалах научных конференций:
1. Змеев О.А. Новицкая Е.В. Вероятностные характеристики длительности тор-
говой сессии и оценка ее параметров. //Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 66-75.
2. Китаєва А.В., Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Оптимизация продажи скоро
портящейся продукции // Обработка данных и управление в сложных систе
мах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 95-105.
3. Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Определение оптимального объема партии товара и розничной цены продажи непрерывно портящейся продукции. //Вестник Томского государственного университета, декабрь 2004г., № 284. С. 69-74.
Новицкая Е.В. Управление розничной ценой продажи скоропортящегося товара //Вестник Томского государственного университета, декабрь 2004г., № 284. С. 64-68.
Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Определение оптимального объема партии товара и розничной цены продажи продукции с непрерывно ухудшающимся качеством // Теоретическая и прикладная информатика. Вып. 1. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 62-76.
Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Оптимизация розничной продажи скоропортящейся продукции. Томск: Изд-во Том ун-та, 2004. 93с.
Змеев О.А., Новицкая Е.В. Определение оптимальной розничной цены продажи скоропортящейся продукции. //Третья Всероссийская ФАМ'2004 конференция. Программа и тезисы. Красноярск, 2004. С. 22-23.
Novitskaya Ye.V. Determination of the optimal volume of goods and a retail price of the sale of the continuously spoiling product. //Proc. of 8 Korea-Russian international symposium on science and technology. Tomsk: Tomsk polytechnic university, 2004, v.3, pp. 261-262.
9. Новицкая E.B., Змеев О.А. Определение оптимального объема партии товара и розничной цены продажи продукции с непрерывно ухудшающимся качеством.
//Актуальные проблемы современной науки: сб.статей 5-й Международной конференции молодых ученых и студентов. Естественные науки. Ч.31 :Экономика (от Л до Я)/ Науч. ред Е.А. Безгласная, А.С. Трунин- Самара: изд-во СамГТУ, 2004. С. 39-41
Новицкая Е.В., Пирогов В.А Определение оптимального объема партии товара с учетом накладных расходов.// Научное творчество молодежи: Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции (16-17 апреля 2004г.) 4.1. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 89-92
Новицкая Е.В. Определение оптимального объема партии при постоянстве отношения цена / качество.// Информационные технологии и математическое моделирование: III Всероссийской научно-практической конференции. 4.2. —Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2004. С. 15
Новицкая Е.В. Определение оптимального объема партии товара с ухудшающимся качеством. //Наука. Технологии. Инновации. Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых в 6-ти частях. 4.1. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. С. 49-50.
Апробация работы
Работа докладывалась и обсуждалась на следующих научных конференциях:
Третья Всероссийская ФАМ'2004 конференция. Красноярск, февраль 2004г.
Межрегиональная научно-практическая конференция «Научное творчество мо-
лодежи» г. Анжеро-Судженск АСФКемГУ, Апрель 2004г
3. Восьмой Корейско-Русский международный симпозиум по науке и технологии
(KORUS-2004). Томск, июнь 2004 г.
4. Всероссийский симпозиум «ИТ и математическое моделирование» г. Анжеро-
Судженск АСФКемГУ, декабрь 2004
5. Всероссийская научная конференция молодых ученых. «Наука. Технологии.
Инновации.» г.Новосибирск, декабрь 2004г.
6. Международная конференция молодых ученых и студентов. «Актуальные проблемы современной науки» г.Самара, декабрь 2004г.
Плотность вероятностей длительности продажи партии товара
Перед любой фирмой, производящей какой-либо товар, всегда встает проблема его сбыта. Эта проблема особенно важна для фирм, производящих товары, не подлежащие длительному хранению, так как перепроизводство товара может привести к потери им товарных качеств в течении торговой сессии и товар будет снят с реализации или будет подлежать уценке. С другой стороны, недостаточное производство товара приведет к тому, что часть возможной прибыли будет недополучена, то есть к упущенной выгоде.
Эти проблемы возникают при поставке товара в торговые точки, принадлежащие фирме-производителю, а также у розничных торговцев, покупающих у оптового продавца партию скоропортящегося товара для его реализации. Во всех этих ситуациях очень большое значение имеют ответы на следующие вопросы:
Какой должен быть объем партии, поставляемой или покупаемой для реализации? По какой розничной цене должен продаваться этот товар? Как должна меняться розничная цена в зависимости от ухудшающихся качеств непроданного товара? Как должна меняться розничная цена в зависимости от количества непроданного товара, чтобы реализовать его до истечения срока его годности? Ответам (хотя бы частичным) на эти вопросы и посвящена данная работа. Она выполнялась по предложению ООО «Анжерское молоко», которое было заинтересовано в определении объемов выпускаемой продукции с очень ограниченным сроком годности, в определении объемов партий товара, направляемых на реализацию в торговые точки, и в определении розничной цены реализации этой продукции. Этим фактом и определяется актуальность работы. Состояние проблемы
Непосредственно работ, посвященных предложенной задаче, найти не удалось. Наиболее близкими к тематике работы являются работы по управлению запа сами и статьи по так называемой микроструктуре рынка, которая начала интенсивно развиваться в последнее десятилетие.
Теория управления запасами [4, 5, 9, 11, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 38, 40] является в настоящее время очень подробно разработанным разделом экономико-математических моделей. В ней разработаны подходы к оптимизации работы складов, которые являются атрибутом очень большого числа экономических объектов. Исследованы самые разнообразные модели, отличающиеся по виду запасов, структуре системы хранения, способу контроля уровня запасов, структуре запасов. Разнообразны также и математические модели управления запасами: статические и динамические, детерминированные и стохастические, стационарные и нестационарные, замкнутые и разомкнутые по спросу, со случайными поставками и временем поставок и т.д.
Однако в данных работах основным является учет потерь на хранение запасов на складах, а также потери от переполнения и опустошения склада. К процессу торговли это не имеет непосредственного отношения, так как в торговле совершенно другие критерии оптимальности - получение максимальной выгоды в единицу времени, возможность регулировать спрос, изменяя розничную цену, ограничения на время продажи партии товара (скоропортящиеся товары должны быть проданы в строго определенный промежуток времени), ухудшение потребительских свойств товара с течением времени и т.д.
Основная идея работ по микроструктуре рынка [41-56] состоит в следующем. Имеется классическая теория ценообразования, которая излагается во всех учебниках по микроэкономике и которая построена на основании соотношений спрос—цена и производство-цена. Эти зависимости определяют так называемую равновесную цену, то есть ту цену, по которой продается товар в состоянии равновесия рынка.
Однако этой равновесной цены еще надо достичь. Поэтому имеется целый ряд моделей [1, 2, 10, 14, 19] (паутинообразная модель, модель с прогнозированием цены, модель с учетом складов), в которых описывается процесс дос тижения равновесной цены. Однако эти модели не имеют практического применения.
Однако процесс установления цены, не имеющий большого значения для товарных рынков, имеет очень существенное значение для фондовых рынков, для которых характерно быстрое изменение цен и спекулятивный характер использования этих изменений. Именно для этих рынков и предлагаются различные модели изменения цены со временем, которые могут быть использованы на практике для краткосрочного прогноза цен финансовых активов. В этих моделях учитываются такие факторы, как - стремление продавца поскорее продать свои активы, а покупателя — купить нужный ему актив; - наличие активных и неактивных участников рынка; - различие в информации, которой обладают участники рынка, в частности, наличие инсайдерской информации; - возможность обучения участников торгов в процессе функционирования фондового рынка. По-видимому, данную работу также можно отнести к теории микроструктуры рынка, только не фондового, а товарного, так как процесс торговли, изменения цены товара в зависимости от времени и количества товара, имеющегося в наличии, есть также «микроструктура» рынка.
Критерий оптимальности и нахождение оптимального объёма партии товара
В явном виде эта система не выписана из-за ее громоздкости. Она представляет собой систему из двух нелинейных уравнений, решить которую можно лишь численно. К сожалению, не удалось исследовать вопрос о числе корней этой системы.
В общем случае, когда интервал торговой сессии [0,ГЛ,] разбит на части точками Тх, Т2,..., TN_X, средний доход в единицу времени равен где Ал = Tk/Tt и, по определению, А0 = 0. Задача максимизации Р по величинам А,, А2, ... , Ад, может быть решена лишь численно. Резюме Итак, в данной главе получены следующие результаты: 1. Для продукции, товарные свойства которой непрерывно ухудшаются во времени, в предположении, что спрос на нее определяется отношением цена/качество, в детерминированном приближении получены уравнения, определяющие оптимальное значение цены продажи в зависимости от времени и оптимальный объем закупаемой партии товара для розничной продажи. 2. Найдены основные характеристики торговой сессии (средняя длительность, дисперсия длительности) в диффузионном приближении и в приближении, когда поток покупок считается пуассоновским потоком переменной интенсивности, и показано, что соотношения, полученные в детерминированном приближении, сохраняют свою силу и в этих случаях. 3. Выведено уравнение, определяющее оптимальный объем партии товара и цену его продажи, когда соотношение цена/качество поддерживается на постоянном уровне. 4. Найдены оптимальный объем партии товара и оптимальная цена при продаже товара по постоянной цене в течение всей торговой сессии и при ступенчатом изменении цены. 5. Все полученные результаты доведены до численных решений в двух частных случаях: когда зависимость спрос / цена имеет экспоненциальный вид и когда эта же зависимость имеет степенной вид и потребительские свойства товара ухудшаются со временем по линейному закону. 1Краткая характеристика программного продукта Общая характеристика программы Программа расчета оптимального объема партии товара выставляемого на продажу и предполагаемой прибыли от реализации разработана для ООО «Ан-жерское молоко» и позволяет численно решить задачу, поставленную в данной диссертационной работе. Постановка задачи и ее математическая модель были рассмотрены в первой главе работы. Выполнен непосредственный расчет таких показателей, как: оптимального объема партии товара (Q0); максимальная прибыль от реализации (S). В качестве языка программирования использовалась среда Delphi 6.0 Программа работает под управлением операционных систем Windows 95/98 или Windows NT. Работа с программой Системные требования Для работы с программой требуется IBM - совместимый компьютер, удовлетворяющий требованиям компании Microsoft для установки Windows 95/98 или Windows NT/2000, соответственно. Запуск программы Для выполнения программы необходимо запустить файл optimizac.exe. После запуска появится диалоговое окно программы, как на рис.1, который приведен ниже. В заключение приведем еще раз сводку основных научных результатов, полученных в работе. Итак, в работе найдены: Для товаров, срок годности которых ограничен одной торговой сессией: 1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи. 2. Вероятностные характеристики торговой сессии (плотности вероятностей длительности продажи партии товара и количества проданного товара в течение торговой сессии). 3. Вид оценок параметров, характеризующих продажу товара, по наблюдениям над результатами торговой сессии. 4. Формулы, характеризующие процесс продажи товара, при управлении розничной ценой, обеспечивающем продажу всего товара в течение торговой сессии. Для товаров, которые непрерывно портятся с течением времени: 1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи с учетом времени на покупку партии товара у оптового продавца. 2. Формулы, определяющие математическое ожидание времени продажи партии товара в различных приближениях (диффузионная аппроксимация, экспоненциальное распределение величины покупки, большой объем партии товара). 3. Формулы, определяющие оптимальный закон изменения розничной цены в зависимости от времени. 4. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи с учетом накладных расходов. Для товаров, которые теряют товарный вид с течением времени: 1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальный закон изменения его розничной цены в зависимости от времени. 2. Формулы, определяющие математическое ожидание и дисперсию времени продажи партии товара в диффузионном приближении и в приближении пуассоновского потока покупок. 3. Формулы, определяющие оптимальный объем партии при постоянстве отношения цена / качество. 4. Формулы, определяющие оптимальный объем партии при продаже товара по постоянной цене и при ступенчатом изменении цены. Всюду критерием оптимальности является максимизация величины прибыли в единицу времени.
Определение оптимального объема партии товара с учетом накладных расходов
Однако процесс установления цены, не имеющий большого значения для товарных рынков, имеет очень существенное значение для фондовых рынков, для которых характерно быстрое изменение цен и спекулятивный характер использования этих изменений. Именно для этих рынков и предлагаются различные модели изменения цены со временем, которые могут быть использованы на практике для краткосрочного прогноза цен финансовых активов. В этих моделях учитываются такие факторы, как - стремление продавца поскорее продать свои активы, а покупателя — купить нужный ему актив; - наличие активных и неактивных участников рынка; - различие в информации, которой обладают участники рынка, в частности, наличие инсайдерской информации; - возможность обучения участников торгов в процессе функционирования фондового рынка. По-видимому, данную работу также можно отнести к теории микроструктуры рынка, только не фондового, а товарного, так как процесс торговли, изменения цены товара в зависимости от времени и количества товара, имеющегося в наличии, есть также «микроструктура» рынка. Таким образом, данная работа имеет следующие особенности, отличающие ее от работ по управлению запасами и работ по микроструктуре рынка: 1. Учитывается специфика торговли скоропортящимися товарами. Ис пользуется другой критерий оптимальности - требуется взять такую партию товара, чтобы максимизировать прибыль от ее продажи. 2. При определении оптимального объема партии товара, выставляемого на розничную продажу, учитывается специфика розничной торговли случайность объема покупки и процесса покупок, так же их зависи мость от качества товара и розничной цены. 3. Рассматриваются вопросы установления оптимальной розничной цены на товар и вопросы изменения этой цены с течением времени. Таким образом, в данной работе как бы объединяются основные идеи теории управления запасами и теории микроструктуры рынка. Цель работы. При выполнении данной работы ставилась задача найти объем партии портящегося товара, выносимого на продажу, и его розничной цены, при которых продавец получал бы максимум прибыли в единицу времени. Методика исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики. Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие научные результаты. Для товаров, срок годности которых ограничен одной торговой сессией: 1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи. 2. Вероятностные характеристики торговой сессии (плотности вероятностей длительности продажи партии товара и количества проданного товара в течение торговой сессии). 3. Вид оценок параметров, характеризующих продажу товара, по наблюдениям над результатами торговой сессии. 4. Формулы, характеризующие процесс продажи товара, при управлении розничной ценой, обеспечивающем продажу всего товара в течение торговой сессии. Для товаров, которые непрерывно портятся с течением времени: 1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи с учетом времени на покупку партии товара у оптового продавца. 2. Формулы, определяющие математическое ожидание времени продажи пар тии товара в различных приближениях (диффузионная аппроксимация, экспоненциальное распределение величины покупки, большой объем партии товара). 3. Формулы, определяющие оптимальный закон изменения розничной цены в зависимости от времени. 4. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи с учетом накладных расходов. Для товаров, которые теряют товарный вид с течением времени: 1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальный закон изменения его розничной цены в зависимости от времени. 2. Формулы, определяющие математическое ожидание и дисперсию времени продажи партии товара в диффузионном приближении и в приближении пу-ассоновского потока покупок. 3. Формулы, определяющие оптимальный объем партии при постоянстве отно-шения цена качество. 4. Формулы, определяющие оптимальный объем партии при продаже товара по постоянной цене и при ступенчатом изменении цены. Всюду критерием оптимальности является максимизация величины прибыли в единицу времени.
Нахождение и оптимизация прибыли (детерминированный случай)
Для продукции, товарные свойства которой непрерывно ухудшаются во времени, в предположении, что спрос на нее определяется отношением цена/качество, в детерминированном приближении получены уравнения, определяющие оптимальное значение цены продажи в зависимости от времени и оптимальный объем закупаемой партии товара для розничной продажи.
Найдены основные характеристики торговой сессии (средняя длительность, дисперсия длительности) в диффузионном приближении и в приближении, когда поток покупок считается пуассоновским потоком переменной интенсивности, и показано, что соотношения, полученные в детерминированном приближении, сохраняют свою силу и в этих случаях.
Выведено уравнение, определяющее оптимальный объем партии товара и цену его продажи, когда соотношение цена/качество поддерживается на постоянном уровне.
Найдены оптимальный объем партии товара и оптимальная цена при продаже товара по постоянной цене в течение всей торговой сессии и при ступенчатом изменении цены. 5. Все полученные результаты доведены до численных решений в двух частных случаях: когда зависимость спрос / цена имеет экспоненциальный вид и когда эта же зависимость имеет степенной вид и потребительские свойства товара ухудшаются со временем по линейному закону. Краткая характеристика программного продукта Общая характеристика программы Программа расчета оптимального объема партии товара выставляемого на продажу и предполагаемой прибыли от реализации разработана для ООО «Ан-жерское молоко» и позволяет численно решить задачу, поставленную в данной диссертационной работе. Постановка задачи и ее математическая модель были рассмотрены в первой главе работы. Выполнен непосредственный расчет таких показателей, как: оптимального объема партии товара (Q0); максимальная прибыль от реализации (S). В качестве языка программирования использовалась среда Delphi 6.0 Программа работает под управлением операционных систем Windows 95/98 или Windows NT. Работа с программой Системные требования Для работы с программой требуется IBM - совместимый компьютер, удовлетворяющий требованиям компании Microsoft для установки Windows 95/98 или Windows NT/2000, соответственно. Запуск программы Для выполнения программы необходимо запустить файл optimizac.exe. После запуска появится диалоговое окно программы, как на рис.1, который приведен ниже. В заключение приведем еще раз сводку основных научных результатов, полученных в работе. Итак, в работе найдены: Для товаров, срок годности которых ограничен одной торговой сессией: 1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи. 2. Вероятностные характеристики торговой сессии (плотности вероятностей длительности продажи партии товара и количества проданного товара в течение торговой сессии). 3. Вид оценок параметров, характеризующих продажу товара, по наблюдениям над результатами торговой сессии. 4. Формулы, характеризующие процесс продажи товара, при управлении розничной ценой, обеспечивающем продажу всего товара в течение торговой сессии. Для товаров, которые непрерывно портятся с течением времени: 1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи с учетом времени на покупку партии товара у оптового продавца. 2. Формулы, определяющие математическое ожидание времени продажи партии товара в различных приближениях (диффузионная аппроксимация, экспоненциальное распределение величины покупки, большой объем партии товара). 3. Формулы, определяющие оптимальный закон изменения розничной цены в зависимости от времени. 4. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальную розничную цену его продажи с учетом накладных расходов. Для товаров, которые теряют товарный вид с течением времени: 1. Формулы, определяющие оптимальный объем партии товара, выносимого на продажу, и оптимальный закон изменения его розничной цены в зависимости от времени. 2. Формулы, определяющие математическое ожидание и дисперсию времени продажи партии товара в диффузионном приближении и в приближении пуассоновского потока покупок. 3. Формулы, определяющие оптимальный объем партии при постоянстве отношения цена / качество. 4. Формулы, определяющие оптимальный объем партии при продаже товара по постоянной цене и при ступенчатом изменении цены. Всюду критерием оптимальности является максимизация величины прибыли в единицу времени. Об использовании результатов диссертационной работы Е.В. Новіш «Математическая модель и оптимизация розничной продп скоропортящегося товара» Настоящий акт подтверждает, что в рамках работ по исследоваїи-: использовались математическая модель и программа оптимизаг розничной продажи скоропортящегося товара, предложенные в диссерг- Е.В. Новицкой. Использование результатов данной работы позволило на 2004г оце: 1. оптимальный объем производства; 2. оптимальную розничную цену; 3. максимальный объем прибыли от реализации. Предложенные в работе решения благотворно повлияли на показ ате экономической эффективности деятельности предприятия (прибыльное; рентабельность, срок окупаемости приобретенного оборудования).
