Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель рекламной компании при фиксированной цене продажи товара
1.1 Описание ситуации 22
1.2 Постановка задачи на оптимизацию 23
1.3 Стационарный режим рекламы 24
1.4 Решение задачи оптимизации при у = 1 24
1.4.1 Модель влияния рекламы 25
1.4.2 «Оптимальный» уровень рекламы 27
1.4.3 Задача оптимизации и ее решение 27
1.4.4 Случай больших значений Т: момент окончания «раскрутки» рекламы и момент выключения рекламы
1.4.5 Случай малых значений Т 30
1.4.6 Смещение и наклон кривой «спрос-цена» зависит от рекламы 32
1.4.7 Общий случай 33
1.5 Решение задачи оптимизации при у > 1 35
1.5.1 Частный случай 42
1.5.2 Расходы на рекламу 43
1.5.3 Момент выключения рекламы 44
1.5.4 Смещение зависимости «спрос-цена» параллельно самой себе 46
1.5.4.1 Частный случай 48
1.5.5 Смещение зависимости «спрос-цена» под углом 49
1.5.5.1 Частный случай
1.6 Решение задачи оптимизации при 0
1.6.1 Частный случай
1.6.2 Расходы на рекламу
1.6.3 Момент выключения рекламы
1.6.4 Смещение зависимости «спрос-цена» параллельно самой себе 54
1.6.4.1 Частный случай 54
1.6.5 Смещение зависимости «спрос-цена» под углом 55 .
1.6.5.1 Частный случай 5 6
Резюме 57
Глава 2. Математическая модель рекламной компании, когда цена продажи товара зависит от времени 58
2.1 Описание ситуации 58
2.2 Постановка задачи на оптимизацию 59
2.3 Решение задачи оптимизации с помощью принципа максимума Понтрягина 60
2.3.1 Частный случай № 1 61
2.3.2 Частный случай № 2 63
2.4 Смещение кривой «спрос-цена» параллельно самой себе с течением 64
времени
2.4.1 Модель влияния рекламы 65
2.4.2 Решение задачи оптимизации при наличии ограничения 67 ос(0 > 0
2.4.3 Частный случай № 3 68
2.4.3 Частный случай № 4 69
2.5 Наклон кривой «спрос-цена» зависит от времени 70
2.5.1. Частный случай № 5 70
2.6 Решение задачи оптимизации путем разложения уравнения Эйлера 71
в ряд по степеням малого параметра
2.6.1 Вид решения 72
2.6.2 Частный случай 76
2.6.3 Смещение кривой «спрос-цена» параллельно самой себе при 77 у>1
2.6.3 1 Частный случай 80 .
2.6.4 Смещение зависимости «спрос-цена» под углом 81
2.6АЛ Частный случай 84
Резюме 85
Глава 3. Математическая модель рекламной компании с «эффектом» надоедания рекламного ролика 86
3.1 Модель рекламной компании с фиксированной ценой продажи то- 86
вара
3.1.1 Описание ситуации 86
3.1.2 Постановка задачи на оптимизацию 87
3.1.3 Период раскрутки рекламы 89
3.1.4 Стационарный режим рекламы 89
3.1.5 Оптимизация цикла рекламного ролика 89
3.2 Модель рекламной компании с переменной ценой продажи товара 91
3.2.1 Описание ситуации 91
3.2.2 Модель влияния рекламы 91
3.2.3 Постановка задачи на оптимизацию 92
3.2.4 Период раскрутки рекламы 93
3.2.5 Стационарный режим рекламы 93
3.2.6 Оптимизация цикла рекламного ролика 93 Резюме 94
Заключение 96
Приложение 98
Литература
- Решение задачи оптимизации при у = 1
- Случай больших значений Т: момент окончания «раскрутки» рекламы и момент выключения рекламы
- Решение задачи оптимизации с помощью принципа максимума Понтрягина
- Модель рекламной компании с переменной ценой продажи товара
Введение к работе
Актуальность работы
Огромную роль в сохранении и упрочнении позиций фирмы на рынке играет реклама. Реклама, как известно, «двигатель торговли». Перед любой фирмой, производящей товар, встает проблема его сбыта, и поэтому, как правило, в качестве основной цели рекламной кампании фирмы называют увеличение сбыта или поддержание его на прежнем уровне. Сбыт является универсальным средством оценки работы предприятия в силу его первоочередной важности. Реклама влияет на сбыт в основном через повышение уровня известности продукта и предприятия, и создание образа продукта и предприятия. Но для того, чтобы реклама работала, нужно разработать стратегию рекламной кампании.
Несмотря на то, что разработка стратегии рекламной кампании дает фирме возможность успешно справляться со своими проблемами сбыта, даже позволяет успешней конкурировать с другими фирмами, ее проведение ставит очень много вопросов, таких как
- сроки начала рекламной кампании и, возможно, ее окончания;
- количество средств, выделяемых на начальном этапе в период «раскрутки» товара;
- количество средств, выделяемых на рекламу, когда товар уже приобрел популярность и эту популярность необходимо поддерживать;
- если спрос на товар претерпевает сезонные изменения, то как средства, выделяемые на рекламу, должны меняться со временем;
- если имеется эффект «надоедания» рекламы, то когда менять рекламные ролики и другие рекламные приемы и какие средства и в какие моменты времени выделять на смену рекламы.
Все это вызывает необходимость теоретического исследования и разработки математических моделей рекламных кампаний. К сожалению, математическая теория рекламы еще только зарождается и работ в этой области очень мало. Этим и определяется актуальность настоящей работы, в которой делается попытка построить математическую модель влияния рекламы на
деятельность фирмы, производящей однородный товар, и рассмотреть некоторые вопросы оптимизации расходов на рекламу с течением времени.
Состояние проблемы
Теория рекламы развивалась в рамках теории менеджмента и в боль fc шинстве своем осуществлялась зарубежными исследователями. Постановка и
решение целевых задач принадлежат таким известным авторам, как
Дж. Стиглеру [68,69], Ж.-Ж. Ламбену [63, 64], М. Стигеману [67], М. Робер стсу [65], К. Багвелу [ 45-47].
Наиболее популярной при решении задач, описывающих системы • управления рекламными коммуникациями, является теория игр, применяемая
С. Марковичем и У. Доразелски [57, 58], Дж. Беккером и К. Мёрфи [48] и др.
Традиционные подходы к формализации рекламного соревнования в области динамических игр были разработаны Дж. Эриксоном [59, 69], И. Док- нером и С. Йоргенсоном [55,56]; модели риска, пассивные конкурирующие модели, и модели функции реакции потребителей - Дж. Фейхтингером, и if Р. Хартлом [61]. Теоретические и эмпирические исследования с применением этих подходов нашли отражение в работах К. Дила [54], Дж. Соргера [66], Дж. Эриксона [59, 60], П. Чинтагуты и Н. Вилкассимы [49-53], а в контексте эмпирических динамических игр олигополии - в трудах М. Роберста, Л. Са-муэльсона [65], Ф. Гасми [62].
М. Видал и X. Вольф [70] на основе работ К. Ланкастера развили аль- тернативное направление, предполагающее, что рекламирование непосредст венно воздействует на изменение объемов продаж и расширение рыночной доли фирмы.
Среди отечественных исследований следует отметить работы И.П. Бородиной [40-44].
Наибольшим математическим уровнем отличаются работы Д.Д. Ахме-довой, О.А. Змеева, В.М. Каца, К.И. Лившица и А.Ф. Терпугова по влиянию рекламы на деятельность страховой компании [1-3, 13, 39].
В этих работах авторы описывают степень влияния рекламы на прибыль некоторой функцией R(t), которая меняется со временем и которая зависит
г от величины средств а(/), выделяемых на рекламную кампания. Считается, что эта функция влияет на интенсивность потока клиентов, желающих застраховать свои риски. Все указанные выше авторы рассматривают лишь линейный случай, когда зависимость R(t) от a(t) имеет вид:
а) R(t) = к • a(t) (работы О.А. Змеева [3]). В этом простейшем случае не учитывается эффект последействия рекламы и считается, что она мгновенно забывается после окончания рекламной кампании.
б) Зависимость R(t) от сс(7) имеет вид — + кД(0 = а(0 (работы Д.Д. Ахмедовой [1,2,3]). В этой модели учитывается память на проведенную рекламную кампанию, и реклама забывается постепенно.
в) Зависимость R(t) от а(0 имеет вид і Щ) = jh(t - т)а(т)с/т, о что дает общий случай линейной зависимости (работы В.М. Каца и К.И. Лившица [13,39]).
Во всех этих работах рассматривается задача об определении оптимального вида функции а(/). Для решения задачи используется принцип максимума Понтрягина и во всех случаях получается, что управление расходом средств на рекламу имеет релейный характер, то есть ос(/) имеет следующий вид: О, 0 / 7], a(t) = am, T, t T2, О, t T2, то есть в какой-то момент расходы на рекламу «включаются» и в какой-то момент расходы на рекламу «выключаются».
Критерием оптимальности является величина прибыли, полученной страховой компанией на каком-то фиксированном временном отрезке [О,Г].
Следует отметить, что в указанных выше работах учитываются некоторые специфические черты, присущие деятельности страховых компаний, так что эти результаты не носят универсального характера.
Цель работы
Целью настоящей работы являлась разработка математической модели влияния рекламы на деятельность фирмы, производящей некоторый однородный товар, решение задачи об оптимальном распределении во времени средств, выделяемой фирмой на рекламу. Критерием оптимальности являлась прибыль фирмы в единицу времени или прибыль на фиксированном интервале времени.
Методика исследования
Исследование носит теоретический характер, и основными математическими методами являются теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория оптимального управления в форме принципа максимума Пон-трягина, вариационное исчисление, асимптотические методы.
Положения, выносимые на защиту
Автор выносит на защиту следующие результаты:
1. Математическую модель влияния рекламы на прибыль фирмы, производящей однородную продукцию (линейная и нелинейная модели).
2. Оптимальное распределение во времени расходов на рекламу при стационарном спросе на продукцию фирмы.
3. Оптимальное распределение во времени расходов на рекламу при нестационарном спросе на продукцию фирмы. Эффект опережения рекламой изменения спроса на товар.
4. Математическую модель влияния рекламы, учитывающую эффект «надоедания» рекламы и оптимальное распределение во времени расходов на рекламу в этом случае.
Научная новизна работы
Предлагаемые математические модели влияния рекламы являются новыми. Новыми являются также решения оптимизационных задач об оптимальном во времени распределении расходов на рекламу, максимизирующие прибыль фирмы в единицу времени или прибыль на фиксированном интервале времени.
Теоретическое значение работы, по мнению автора, состоит в том, что предложенные математические модели влияния рекламы на деятельность фирмы могут быть обобщены и перенесены на другие объекты хозяйственной деятельности, а также на фирмы, занимающиеся сбытом продукции. Интерес представляет также получающаяся временная структура расходов на проведение рекламных кампаний.
Практическое значение работы, по мнению автора, состоит в том, что, после проведения соответствующих эконометрических исследований, полученные в работе рекомендации могут быть использованы при планировании рекламных кампаний.
Краткое содержание работы
Ниже нумерация формул совпадает с нумерацией в основном тексте.
В первой главе рассматривается математическая модель рекламной кампании при фиксированной цене продажи товара. Предполагается, что на проведение рекламной кампании фирма выделяет a(t) денег в единицу времени. Степень влияния рекламы R(t) зависит от расходов на рекламу a(t) следующим образом:
dR
dx
(dR
sgnU
+ R(x) = к0а(х),
(1.1)
В дальнейшем комбинация zYsgn(z), определенная для -oo z +oo,
обозначается как zy.
В п. 1.2. ставится задача оптимизации. Пусть q(R(x)) есть объем продаж в единицу времени, зависящий от влияния рекламы в этот момент времени. Фирма должна провести рекламную кампанию товара таким образом, чтобы к моменту времени Г прибыль, полученная от продажи товара, проданного по цене р,
(dR\
к0Щ7 (1.5)
-R(x)
dx
K0(p-c)q(R(x)) dxj
была максимальна. Критерий оптимальности определяется следующим образом: П(Л= тах.
«О
В п. 1.3. рассматривается стационарный режим рекламы. Если R(x) = R0= const, то желание добиться максимума, приводит к требованию aq{R.)- R0 = max, что, в свою очередь, дает уравнение для R :
До
aq (R0) = \. (1.7)
В 1.4. рассматривается задача нахождения оптимального вида функции сс(/), обеспечивающего максимизацию доходов компании от реализации товара, когда параметр у = 1.
В п. 1.4.1. описывается влияние рекламы, которое приводит к смещению зависимости «спрос-цена» параллельно самой себе. Этот факт учитывается тем, что величина а считается зависящей от R, то есть зависимость «спрос-цена» имеет вид
p + bq = a(R), или р = a(R)-bq. (1.9)
Считается, что a(R) монотонно возрастает с ростом R, но a (R) монотонно убывает с ростом R и существует конечный предел lim a(R).
R- co
В п. 1.4.2. выводится уравнение для стационарного уровня расходов otopt = Ropt, обеспечивающих максимальную прибыль в единицу времени
(a(aopt)-c)a (aopt) = 2b. (1.14)
В п. 1.4.3. ставится задача оптимизации: пусть задан некоторый временной интервал Т и фирма хочет провести рекламную кампанию так, чтобы максимизировать свой доход за это время, то есть решить задачу П(Г) = шах при дополнительном ограничении 0 а(/) ocmax.
х(0
Рассматривается рекламная кампания вида:
атах, при0 t Tb a(0 = -aopt, при7] t T2, (1.15)
О, mpnT2 t T,
В п. 1.4.4. рассматривается случай больших значений Т: находится
момент Тх окончания «раскрутки» товара и момент Т-Т2 выключения рекламы.
Пусть расходы на рекламу имеют вид
х(0 =
атах 0 / 7],
Lccopt, t Tx.
Найдено выражение, определяющее прибыль фирмы, и момент окончания «раскрутки» товара Т\
Тх=-\п . (1.18)
К max — opt
Получено уравнение, определяющее момент выключения Т-Т2 рекламы:
LA_2 і—L=L °PtJ—і—a (1.21)
46 4b opt
В п. 1.4.5. рассматривается случай малых значений Т. В данном случае
оптимальное распределение средств на рекламу имеет вид
a(0 =
атах, при0 ґ 7],
(1.22) О, при Tl t T,
Найдено уравнение, определяющее оптимальное значение Т\
т-т,
fb J [a(amJ\-e «)e-n-c}aXamJl-e- )e-")e-"dz = l. (1.26)
В п. 1.4.6. рассматривается случай, когда под влиянием рекламы изменяется не только коэффициент а, определяющий сдвиг кривой «спрос - цена», но и коэффициент Ъ, определяющий наклон этой кривой. В данном случае зависимость «спрос - цена» имеет вид р = a{R) - b(R)q и оптимальный объем производства будет равен q = (a(R) - c)/b(R). Рассматриваемая ситуация будет описываться системой уравнений dn(t) (a(R)-c)2 a(/), • dt 4b(R) (1.27) dR bKR(t) = KOL(t). dt Получено выражение для определения стационарного уровня расходов на рекламу 2(я(а) - c)a (a)b(a) - (а(а) - cfb\a) = Ab2 (а), (1.28)
Найдено выражение для нахождения прибыли фирмы при малых значений Т и уравнение, определяющее оптимальное значение Т\
J-? 2(а(ф)) - с)а (Ф))Ь(ф)) - (а(ф)) - с)2Ъ (ф)) ± = { І 462(9(z)) В п. 1.4.7. рассматривается общий случай, когда зависимость «спрос -цена» имеет вид F{p,q) = О, или, в явном виде, р = f(q). При этом считается, что а(0) = 6(0) = 1.
Получено выражение для определения стационарного уровня расходов на рекламу
q(a)[b (a)a(a)q(a)f(b(a)q(a)) - a (a)f(b(a)q(a))] = а2 (а). (1.37)
Получены формулы для определения момента Т2 — момента окончания рекламной кампании
Ф(аор1е-кТ ) = D(ctopt) - aopt. (1.39)
и оптимального значение Т\
к { (1- ) = 1. (1.43)
о
В 1.5. находится оптимальный вид функции a(t), обеспечивающий максимизацию доходов компании от реализации товара, когда параметр у 1. Используя метод вариационного исчисления получено уравнение для определения оптимального вида функции R(t)
— ( IV/Y Г ila(g(R(T)) g(z))-(R(T)-z)r где значение R(T) определяется уравнением
Л(Г) dz
Т = {У 1Г • [a(q{R(T))-q(z))-(R(T)-z)f (L49)
В п. 1.5.1. рассмотрен частный случай, когда объем продаж имеет вид
q(R) = qm-(qm-q0)e- \ (1.52)
Найдено условие эффективности рекламы a(qm - q0 )Р 1 и стационарное значение R0
i?o=ln(a( - )P)/p. (1.53)
Построены графики зависимости Т от R(T) для значений R(T) из области 0 R(T) R0.
В п. 1.5.2. найдено выражение для определения расходов на рекламу
a(0 = a(g(R(T))-q(R(t)))-(R(T)-R(t)) Y-1
В п. 1.5.3. рассматривается процесс, когда незадолго до окончания периода деятельности Т выделение расходов на рекламу прекращается и до конца этого периода процесс идет «по инерции».
Предполагается, что длительность периода деятельности фирмы Г достаточно велика и устанавливается R(t) = R0.
Получено уравнение для определения Т, - момента выключения рекламы
r/(r-i) \
р (т-П/т У гр
(
(1.56)
aq
= aq(R0)- — R0.
)
y-1 J
В п. 1.5.4. рассматривается смещение зависимости «спрос-цена» параллельно самой себе, когда параметр у 1. Задача оптимизации имеет вид:
ЩТ) = J
АЬ к
о V
™-(ff
dx = max
Я(т)
(1.59)
Получено уравнение, для определения оптимального уровня рекламы
R(t):
R(t)
=(r-0 " jF
dz
%{(a(R(T)) - cf - (a(R(z)) - cf)- (R(T) - R{z))
-ll/Y
где R(T) определяется из уравнения
dz
Л(Г)
Vr
г=(т-іГ f?
{(a(R(T))-c)2 -(a(R(z))-с)2)-(ЦТ)-R(z))
HO
В п. 1.5.4.1. рассмотрен частный случай, когда объем товара g(R{t)) имеет вид
(1.64)
-ря(0
-С
g{R{t)) =
(1.65)
ат-{ат-а0)е
2Ь Найдено стационарное значение R0
In 1 , 2Р
R =
(1.66)
Р( .-«.) P(a„-c)-V(P( -c))2-86p В п. 1.5.5. рассматривается смещение зависимости «спрос-цена» под некоторым углом, когда параметр у 1.
Получено уравнение, для определения вида рекламы R(T): R(t)
-(y-if J
к,
Г
dz
(я(Я(Г))-с)2 (a(R(z))-c)
b(R(z))
K CO)
-(R(T)-R(z))
I/Y
где і?(Г) определяется из уравнения
dz
Л(Г)
-•(1-77)
Л
г=(г-1Г J
K„
-(R(T)-R(z))
(a{R{T))-c)2 (a{R{z))-c)
b(R(T)) b(R{z))
В п. 1.5.5.1. Рассмотрен частный случай, когда объем производимого товара q(x) имеет вид
(1.78)
a -(a -aje mz)-c
(!) =
4( -( -Ь0КРЯ(1)) Найдено выражение для определения стационарного значения R0
2(ат -(ая -ав)е-" -с\ат -а0)е (Ьт -( . -Ь0)е )--(ат -{ат -ай)е -с)2(Ът -b0)e =4(bm -фт -Ъ0)е )г
В 1.6. находится оптима а(0, обеспечивающий максимизацию доходов компании от реализации товара, когда параметр 0 у 1. Во второй главе рассмотрена математическая модель рекламной кампании, когда цена продажи товара зависит от времени. Данная ситуация возникает при сезонных колебаниях спроса на какой-либо товар.
В п.2.1.-2.2. ставится задача оптимизации. Предполагается, что на проведение рекламной кампании фирма выделяет а(/) денег в единицу времени.
Доход фирмы от продажи товара П(Г), полученный к моменту времени /, зависит от объема продаж в единицу времени q(t). Количество товара, продаваемого в единицу времени, зависит от степени влияния рекламы R{t) и выражается соотношением q(t,R) = g(t)y(R(t)), где сомножитель g(f) определяет потенциальный спрос и фирма должна провести рекламную кампанию товара таким образом, чтобы к моменту времени г прибыль, полученная от продажи товара, проданного по цене р, (Р - c)g(t)y(R(t)) - R(t) --R {t) tit = max. (2.3) к П(7 ] была максимальна. Найдено условие существования стационарного решения (P c)gmY(0) l. (2.6) В п. 2.3. находится выражение для нахождения оптимального управления a(t) при наличии ограничения вида a(t) 0 (используется принцип максимума Понтрягина).
В п.2.3.1 и п.2.3.2 рассматриваются частные случаи, когда зависимость величины продаж от рекламы имеют вид у(Д) = 1 + у0(1-ехр(-рД)). (2.12) у(/г) = 1±ХоМ. (2Л7) Построены графики, наглядно показывающие поведение кривых: спрос, уровень рекламы и расходы на рекламу. В п. 2.4. рассматривается смещение кривой «спрос-цена» параллельно самой себе с течением времени. В п.2.4.1. предполагая, что зависимость «спрос-цена» имеет вид p + bq = g(t)a{R) и объем товара q(t), производимого фирмой в момент , ч g(t)a{R{t)) - с времени t имеет вид q{t) = 2—L . 2b Найдено условие существования стационарного решения (gma(0)-c)gma (0) 2b (2.30) В п. 2.4.2. рассматривается решение задачи оптимизации при наличии ограничений a(t) 0. Для нахождения оптимального управления a(t) используется принцип максимума Понтрягина. В п.2.4.3. рассмотрен частный случай, когда a(R) = ат {ат -І)ехр(-)ЗЯ). Найден вид влияния рекламы f2g{t\am-X)\ Jx_ \ 8b In In ад= Р (2.35) I g(t)am-c J { у ${g(t)am-cY и получено условие существования стационарного решения {gm-c)gm${am- lb. (2.36) В п.2.4.4. рассмотрен частный случай, когда a(R) = 1 + д/рї? • Найден вид влияния рекламы ад=М 1, (2.40) В п. 2.5. рассмотрено поведение кривой «спрос-цена», когда ее наклон зависит от времени. Это факт учитывается тем, что коэффициент Ь, определяющий наклон кривой «спрос-цена» также меняется с течением времени. Найдено условие существования стационарного режима V/ (g(t)a(O) - c)g(t)a (0) 2b(t), (2.48) В п.2.5.1. рассмотрен частный случай, когда a(R) = \ + sJ$R. Найден вид оптимального уровня рекламы тшШ2Щ, (2.52) В п.2.6. рассматривается решение задачи оптимизации путем разложения уравнения Эйлера в ряд по степеням малого параметра. Так как количество товара, продаваемого в единицу времени, зависит от R и выражается соотношением q(x,R) = g{x)h{R) (g(x)определяет потенциальный спрос в за = {p-c)g{x)h{R{x))-a{x)-d, + R(x) = K0a(x), висимости от времени, h(R) учитывает влияние рекламы), поэтому данная ситуация описываться системой дифференциальных уравнений бП(т) dx dR{x) ґл ( \\і (2-53) Л dx с начальными условиями R(0) = О, П(0) = 0. В качестве критерия оптимальности рекламной кампании вновь выбирается максимизация прибыли за временной интервал Т. В п. 2.6.1. с помощью метода вариационного исчисления найдено уравнение Эйлера —(:гУ =ip- ctsiT)KR{T)) - g(T)h(R(x)) - — (R(T) - ВД). (2.58) к0 V dx ) к0 Для случая, когда g(t) = g0 +sg, (t) получено его решение в виде разложения в ряд по степеням є . В п. 2.6.2. Рассматривается частный случай, когда А(Я) = 1 + Уо(1-ехр(-рЛ)) (2.79) i( ) = g,sin(27C + q ) (2.80) Найден явный вид расходов на рекламу 1 т ( 2ж х V а(х) = —R0 + sin(27t— + ф) + X—cos(27r— + ф) . (2.83) Kg Т \ Т Т J В п. 2.6.3 рассматривается смещение кривой «спрос-цена» параллельно самой себе при у 1. С помощью метода вариационного исчисления найдено уравнение Эйлера и получено его решение путем разложения в ряд по степеням є . В п.2.6.3.1. рассмотрен частный случай, когда a(R) = am- (am - а0 )ехр(-рД), (2.96) gl(x) = glsm(2n + (p), (2.97) и найден явный вид расходов на рекламу В п. 2.6.4 рассматривается смещение кривой «спрос-цена» под некоторым углом при у 1. С помощью метода вариационного исчисления найдено уравнение Эйлера y-lfdR l к0 \dx) 4 -—[w)-m] (a(R(T)) - cf g{T) (a(R(x))-c)2 g(x) K0 b(R(T)) - b{R(x)) и получено его решение путем разложения в ряд по степеням є . В п.2.6.4.1. рассмотрен частный случай, когда a(R) = ат-(ат -я0)ехр(-рД) (2.112) b{R) = bm -{bm -60)ехр(-рД) (2.113) Найден явный вид расходов на рекламу a(t)
В третьей главе делается попытка исследовать эффект «надоедания» рекламы, когда продолжающаяся однообразная реклама надоедает человеку, и он перестает обращать на нее внимание, и она не влияет на его покупки и учесть его при планировании рекламной кампании. щ В п.3.1. рассматривается рекламная кампания с фиксированной ценой
продажи товара.
В п.3.1.1.и 3.1.2. ставится задача оптимизации. Пусть на рекламу в единицу времени выделяется а(0 денег. В качестве модели, определяющей зависимость влияния рекламы от времени берется модель
Ц. dt
где коэффициент к(0 отражает эффект «надоедания» рекламы, так как увеличение к(0 приводит к увеличению скорости забывания рекламы. Фирма должна провести рекламную кампанию товара таким образом, чтобы к моменту времени Т прибыль, полученная от продажи товара, проданного по цене р, была максимальна. Критерий оптимальности определяется следующим образом: П(ґ)= тах.
В п.3.1.3. рассмотрен период «раскрутки» рекламы. Пусть рекламный ролик начинает прокручиваться в момент времени t = 0. Влияние рекламы в этом случае начинается с того значения, которое осталось после предыдуще t го ролика, то есть с R(0). На первой фазе «жизни» этого ролика, который составляет интервал времени [0,7 ], на проведение рекламной кампании выделяется в единицу времени максимальное количество денег ат. Так продолжается до тех пор, пока мы не выйдем на стационарный режим, определяемый уравнением з (Ло(0) = ——• (3.5) к0 р-с Найден уравнение для определения момента времени выхода на стационарный участок Ґ П \ Ті ґ ъ R0(Ti) = R(0)exp\ - [К(Т)Й?Т +к0ат Jexp - \K(v)dv du. (3.7) V о ) о V « Стационарный режим рекламы ведется на интервале [7],Г2], при этом поддерживается уровень влияния рекламы, равный R0 (t). Из-за эффекта «надоедания», влияние рекламы постепенно снижается, и когда оно достигает значения R(0), надо запускать новый ролик. Таким образом, новый цикл определяется условием RQ(T2) = R(0).
В п. 3.1.5. проводится оптимизация цикла рекламного ролика. В качестве критерия оптимальности принят доход фирмы Р в единицу времени. Получено уравнение для определения общей длины цикла Т2.
В п. 3.2. рассматривается рекламная кампания с переменной ценой продажи товара соответственно.
В п.3.2.1.-3.2.3. ставится задача оптимизации. Пусть на рекламу в единицу времени выделяется a(t) денег. Рассматривается случай, когда влияние
рекламы приводит к смещению зависимости спрос-цена параллельно самой себе. Это факт учитывается тем, что величина а считается зависящей от R, то есть берется зависимость спрос-цена в виде p + bq = a(R). Фирма должна провести рекламную кампанию товара таким образом, чтобы к моменту времени Г прибыль, полученная от продажи товара, проданного по цене р,
была максимальной.
В п.3.2.4. рассмотрен период раскрутки рекламы. Эта фаза происходит
на интервале времени [0,7]. Найдено выражение для определения прибыли фирмы на данном этапе
Jha(R(t))-cy_ Л
В п.3.2.5. рассматривается стационарный режим рекламы. Эта фаза цикла происходит на временном интервале [7,Г2]. Найдено выражение для определения прибыли фирмы на данном этапе
ті 46 к0 к0
dt-D{T2 Tx). (3.20)
В п. 3.2.6. проводится оптимизация цикла рекламного ролика. В качестве критерия оптимальности возьмем критерий вида
Р = (П, + П2)/Г2 = max. (3.22)
Получено уравнение для определения общей длины цикла Т2.
Публикации по работе
Результаты работы опубликованы в следующих статьях и материалах научных конференций:
1. Астафьева Е.В., Терпугов А.Ф. Модель рекламной кампании, когда цена продажи товара зависит от рекламы. //Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 3-13.
2. Астафьева Е.В. Модель рекламной кампании при нестационарном спросе. //Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 7. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 3-16
3. Астафьева Е.В., Терпугов А.Ф. Модель рекламной кампании с эффектом «надоедания» рекламы. / Вестник Томского государственного университета, декабрь 2004г., № 284. С.34-37
4. Астафьева Е.В., Терпугов А.Ф. Математическая модель влияния рекламы на деятельность фирмы. //Третья Всероссийская ФАМ 2004 конференция. Программа и тезисы. Красноярск, 2004. С. 13-14
5. Астафьева Е.В., Терпугов А.Ф. Модель рекламной кампании при фиксированной цене товара. //Труды третьей Всероссийской конференции по
финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Красноярск, 2004. 4.2. С. 25-31.
6. Астафьева Е.В.Модель рекламной кампании при фиксированной цене товара и нестационарном спросе. //Четвертая Всероссийская ФАМ 2005
# конференция. Программа и тезисы. Красноярск, 2005. С. 19-20
7. Астафьева Е.В.Модель рекламной кампании при фиксированной цене товара и нестационарном спросе. //Труды четвертой Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Красноярск, 2005. Ч. 2. С. 16-28.
ф 8. Астафьева Е.В. Математическая модель влияния рекламы на деятельность фирмы. //Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование». Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005 г. Ч. 2. С.89-94
9. Астафьева Е.В. Математическая модель влияния рекламы на деятельность фирмы. //Приложение к Вестнику Томского государственного универси тета 2005 г
10. Astafieva Ye.V., Terpugov A.F. Model of an advertising campaign, when the tilt of curve of demand-price depends on advertisement. //Proc. of 8 Korea- Russian international symposium on science and technology. Tomsk: Tomsk polytechnic university, 2004, v.3, pp. 189-192.
Апробация работы • Работа докладывалась и обсуждалась на следующих научных конферен циях:
1. Третья Всероссийская ФАМ 2004 конференция. Красноярск, 2004 г.
2. Четвертая Всероссийская ФАМ 2004 конференция. Красноярск, 2005 г. 3.8th Korea-Russian international symposium on science and technology. Tomsk, 2004.
4. IV Всероссийская научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2005 г.
Решение задачи оптимизации при у = 1
Рассмотрим ситуацию, когда фирма, с целью увеличения своих доходов, тратит часть своих средств на рекламную кампанию. Реклама оказывает психологическое воздействие на покупателя, которое приводит к изменению зависимости спрос-цена. Пусть степень влияния рекламы определяется некоторой величиной R. Рассмотрим сначала случай, когда влияние рекламы приводит к смещению зависимости спрос-цена параллельно самой себе. Это факт мы будем учитывать тем, что будем считать величину а зависящей от R, то есть брать зависимость спрос-цена в виде р + bq = a(R), или p = a(R)-bq. (1.9) В дальнейшем будем считать, что a{R) монотонно возрастает с ростом R, но a\R) монотонно убывает с ростом R и существует конечный предел \\ma(R). На величину R, описывающую влияние рекламы, оказывают влияние два фактора. Во-первых, она зависит от количества средств, вкладываемых в рекламную кампанию, и чем больше их вкладывается, тем больше влияние рекламы.
Во-вторых, имеет место эффект «забывания» рекламы, когда с прекращением рекламной кампании ее влияние постепенно уменьшается. Поэтому в дальнейшем исследовании в качестве уравнения для величины R(t) возьмем уравнение, предложенное в [2]: + кД(0 = ка(0, (1.10) dt где a(t) есть количество денег, выделяемых на рекламу в единицу времени. Так как неизвестно, в каких единицах измерять R, то ее размерность возьмем такую же, как и у а; и из этих соображений коэффициент перед a(t) взят таким же, как и перед R(t). Коэффициент к: определяет скорость забывания рекламы, так как с прекращением рекламной кампании R(t) убывает как
В качестве начального условия при решении уравнения (1.10) примем условие R(0) = 0. Таким образом, объем товара q(t), производимого фирмой в момент времени t, определяется так: «=«А ало 2Ь где R(t) определяется уравнением (1.10). Если через U(t) обозначить доход фирмы, полученный ею на интервале [0,t], то мы имеем следующую систему уравнений, описывающую рассматриваемую ситуацию Лл 4Ь (1Л2) dt с начальными условиями R(0) = 0, П(О) = + кД(0 = ка(0, 1.4.2. «Оптимальный» уровень рекламы
Пусть фирма функционирует в течение очень большого промежутка времени. Тогда она будет выделять на рекламу некоторую постоянную сумму денег в единицу времени, то есть сс(0 = a = const. Но тогда и R(t) = а, и желание получать максимальный доход в единицу времени приводит к естественному требованию (а(а)-с)2 ,л ,_ч v v } -ct= max, (1.13) ЛЬ «
Приравнивая нулю производную левой части этого выражения по а, получим уравнение для стационарного уровня расходов aopt = Ropt, обеспечивающих максимальную прибыль в единицу времени (a(aopt)-c)a (aopt ) = 2b. (1.14)
Заметим, что положительный корень этого уравнения существует лишь при выполнении условия (#(0) - с)а (0) 2b, что и определяет возможность использования рекламы для увеличения доходов фирмы. В дальнейшем величину aopt = Ropt условно будем называть «оптимальным» уровнем рекламы.
Задача оптимизации и ее решение Рассмотрим следующую оптимизационную задачу: пусть задан некоторый временной интервал Т и фирма хочет провести рекламную кампанию так, чтобы максимизировать свой доход за это время, то есть решить задачу П(Г)= тах. Так как одномоментное вложение большого количества денег в рекламу невозможно, то будем решать эту задачу при дополнительном ограничении 0 a(0 amax. Рассмотрим рекламную кампанию следующего типа: "остах, приО ? Г,, a(0 = jctopt, приТх і Т-Т2, (1.15) О, upuT2 t T, то есть сначала выделяется максимальное количество денег для «раскрутки» товара, затем идет стационарное выделение средств, и за некоторое время до истечения рассматриваемого периода выделение денег на рекламу прекращается. Заметим, что в случае Т - со последний этап может и отсутствовать. Заметим еще, что оптимальность решения вида (1.15) можно доказать с использованием принципа максимума Понтрягина [5, 22, 23,25].
Случай больших значений Т: момент окончания «раскрутки» рекламы и момент выключения рекламы
Данное уравнение является нелинейным, и другими авторами не рассматривалось. В трех случаях - под воздействием рекламы меняется спрос на товар; - под воздействием рекламы прямая спрос-цена сдвигается параллельно самой себе; - под воздействием рекламы прямая спрос-цена сдвигается и поворачивается решается задача нахождения оптимального вида функции a(t), обеспечивающего максимизацию доходов кампании от реализации товара.
Эта задача решается в трех случаях; у = 1, у 1 и у 1. Показывается что во всех трех случаях рекламная кампания состоит из трех периодов: пе риода «раскрутки», когда на рекламу должно выделяться большое число средств, стационарного периода, когда количество средств, выделяемых на рекламу в единицу времени постоянно, и периода выключения рекламы, ко гда основную роль играет последействие рекламы.
Во всех этих случаях найден либо явный вид a(t) на каждом периоде либо уравнения для его нахождения, а также моменты окончания периода раскрутки рекламы и момента выключения рекламы. Рассмотрены примеры. Пусть q{t) есть количество товара, производимого в единицу времени
Влияние рекламы сказывается в увеличении объёма продажи товара. Будем считать поэтому, что количество товара, продаваемого в единицу времени, зависит от R и выражается соотношением q(t,R) = g(t)y(R). Здесь первый сомножитель определяет потенциальный спрос в зависимости от времени, а второй сомножитель учитывает влияние рекламы.
Обозначим через П(/) прибыль фирмы в единицу времени. Тогда рассматриваемая ситуация описывается следующей системой дифференциальных уравнений = (Р- c)g{t)y{R{t)) - а(/) - А — + кД(0 = ка(Л, . dt с начальными условиями R(0) = О, П(0) = 0. В качестве критерия оптимальности рекламной кампании выберем критерий П(Г) = max, то есть максимизация прибыли за временной интервал Т. Из первого уравнения системы (2.1) имеем П(Г) = J[(p - c)g(t)y(R(t)) - a(t)]dt -D. о Подставляя сюда второе уравнение из системы (2), получим П(Г) = (L - c)g(t)y(R(t)) - R(t) - R (t)
Заметим, что последнее слагаемое в (2.2) не зависит от вида а(/) и поэтому при решении задачи оптимизации его можно не учитывать; в дальнейшем оно не будет выписываться. Таким образом, математически проблема принимает вид (Р - c)g(t)y(R(t)) - R(t) - -R (t) tit = max. (2.3) к Д(0 П(7 ] 0L
Рассмотрим сначала случай, когда никаких ограничений на затраты на рекламу а(0 не накладывается. Тогда для решения задачи (2.3) можно применить методы вариационного исчисления. Уравнение Эйлера принимает в данном случае вид (p-c)g(t)y (R) = \. (2.4)
Корень этого уравнения определяет поведение рекламы в зависимости от времени при условии, что от начального момента t = О прошло много времени и переходный процесс закончился; кроме того, Г—»оо, то есть процесс функционирования кампании продолжается неограниченно долго. Решение этого уравнения будем условно называть «стационарным решением».
Очевидно, что минимально возможное значение влияния рекламы есть R = 0, так как «антирекламы» никто делать не будет.
Решение задачи оптимизации с помощью принципа максимума Понтрягина
Во второй главе рассмотрена математическая модель рекламной кампании, когда цена продажи товара зависит от времени. Данная ситуация возникает при сезонных колебаниях спроса на какой-либо товар.
Предполагается, что на проведение рекламной кампании фирма выделяет a(t) денег. Доход фирмы от продажи товара П(ґ), полученный к моменту времени t, зависит от объема продаж в единицу времени q(t). Количество товара, продаваемого в единицу времени, зависит от эффективности рекламы R(t) и выражается соотношением q(t,R) = g(t)y(R(t)), где сомножитель g(t) определяет потенциальный спрос в зависимости от времени, а сомножитель y(R(t)) учитывает влияние рекламы.
В случае у = 1 найден явный вид зависимости a(t) от времени, обеспечивающий максимум прибыли в единицу времени. Показано, что расходы на рекламу должны опережать изменение спроса на нее, то есть, например, расходы на рекламу должны увеличиваться до того, как начнет расти спрос на товар. Этот явный вид опять-таки найден в трех случаях: когда под воздействием рекламы меняется спрос на товар; под воздействием рекламы прямая спрос-цена сдвигается параллельно самой себе; под воздействием рекламы прямая спрос-цена сдвигается и поворачивается. Рассмотрены примеры.
В случаях у 1 и у 1 при тех же предположениях, что и выше, найден асимптотический вид решения при малых изменениях сезонного спроса на товар. Рассмотрены примеры.
Рассмотрим влияния рекламы на человека, в частности, тот эффект, который можно назвать «надоеданием» рекламы, когда продолжающаяся однообразная реклама надоедает человеку, и он перестает обращать на нее внимание, и она не влияет на его покупки. В этом случае необходимо «сменить пластинку» и вместо надоевшего рекламного ролика подготовить и пустить другой. Таким образом, всякая реклама развивается циклами, когда один рекламный ролик прокатывается некоторое время, а затем он сменяется другим роликом. В данной главе делается попытка исследовать этот эффект и учесть его при планировании рекламной кампании.
Пусть на рекламу в единицу времени выделяется a(t) денег. Величину, характеризующую эффективность рекламы в дальнейшем будем обозначать как R(t). В качестве модели, определяющей зависимость влияния рекламы от времени, возьмем следующую модель + к(ОД(0 = к0а(0. (ЗЛ) dt где a(t) есть количество денег, выделяемых на рекламу в единицу времени. Так как неизвестно, в каких единицах измерять R, то ее размерность возьмем такую же, как и у а; и из этих соображений коэффициент перед сс(/) взят с такой же размерностью, как и перед R(t).
На величину R, описывающую влияние рекламы, оказывают влияние два фактора. Во-первых, она зависит от количества средств, вкладываемых в рекламную кампанию, и чем больше их вкладывается, тем больше влияние рекламы. Во-вторых, имеет место эффект «забывания» рекламы, когда с прекращением рекламной кампании ее влияние постепенно уменьшается.
То, что коэффициент к(/) зависит от времени t как раз и отражает эффект «надоедания» рекламы, так как увеличение к(/) приводит к увеличению скорости забывания рекламы. Для определенности будем считать, что к0 = к(0).
Обозначим через П(/) прибыль фирмы в единицу времени. Тогда рассматриваемая ситуация описывается следующей системой дифференциальных уравнений.
Модель рекламной компании с переменной ценой продажи товара
Программа расчета плана продаж и предполагаемой прибыли за текущий месяц (/ = 1) от реализации фармацевтической продукции разработана для ОАО «АСФАРМА» и позволяет численно решить задачу, поставленную в данной диссертационной работе. Математическая модель влияния рекламной кампании на деятельность фирмы при фиксированной цене продаж была рассмотрены в первой главе работы.
На ОАО «АСФАРМА» в течении последних 2 лет во время конкурсного управления производство продукции было приостановлено. Рынок сбыта продукции упущен. Со многими оптовыми покупателями связь прекращена.
В настоящее время на предприятии получена лицензия на выпуск ряда препаратов. Но ОАО «АСФАРМА» приходится вновь завоевывать рынок сбыта, проводя различные рекламные кампании (печать прайс-листов в различных фармжурналах, фармвестниках, обновление информации на сайтах Mobile, Мединформ, Медпром), на которые приходится выделять максимально возможное количество денежных средств.
Выполнен непосредственный расчет таких показателей, как: цены товара с учетом себестоимости (затрат на производство) по каждому препарату (р); возможного объема продаж каждого препарата (q); максимальной прибыли от реализации продукции с учетом проведенной рекламной кампании (П) по каждому препарату и в целом на всю продукцию. Составляется план продаж, в котором отражается планируемая реализация количества товара. В качестве языка программирования использовалась среда Delphi 6.0 Требования к компьютеру
Информационная система сбыта и маркетинга «Реализация фармацевтической продукции и расчет прибыли» предназначена для работы на IBM - совместимых персональных компьютерах.
Компьютер должен иметь: операционную систему Microsoft Windows 95/98/NT/2000; для полного использования возможностей системы на компьютере должен быть установлен Microsoft Word версии 95 или 97; оперативную память 16 Мбайт и выше; жесткий диск (на жестком диске система занимает около 500 КБ, не считая хранимой информации); печатающее устройство. Запуск программы
Для выполнения программы необходимо запустить исполняемы файл Realiz.exe. Окончание работы с программой Чтобы завершить работу с программой достаточно нажать на кнопку lLfl, e I, или на 2У на диалоговом окне. Работа с программой
После вызова диалогового окна, программа запрашивает необходимые для расчета показателей параметры: В графу «На складе, тыс. уп» разносится количество товара на складе на начало месяца, которое складывается из количества планируемого выпуска продукции за месяц и остатков на складе на конец месяца), тыс. уп ((?,„); В графу «Себестоимость, руб» разносится себестоимость (затраты на производство) 1 упаковки по каждому выпускаемому в текущем месяце препарату, руб (с ); В пункт «Расходы на рекламу, тыс. руб.» вносятся максимальные расходы на рекламу, тыс. руб (атах).
После задания параметров нужно нажать на кнопку I —J, в результате произведется расчет показателей (Рис. 2) Реализация
После задания параметров, необходимых для расчета показателей, программа реализует: расчет розничной цена продажи по каждому препарату по формуле: р = 1Л0хс. расчет эффективности рекламы по формуле: Д=атахО-ЄХР(-К)) 6 где коэффициент к = const = 0.1- определяет скорость забывания рекламы возможный объем продажи каждого препарата по формуле: #)=ь-(,,-,,)е , где qm - это количество товара на складе, Р = const = 2, q0 = const = 0,1 - количество тыс. упаковок, оставленные для арбитражных проб расчет планируемой (ожидаемой) прибыли по каждому препарату: і П, = \\0QQx((p-c)(qm -(#м -g0)exp(-Pam[lx(l-exp(-K/))))-am[I.- , расчет общей планируемой (ожидаемой) прибыли п=х;п, Печать «Плана продаж» Чтобы напечатать план продаж на текущий месяц достаточно нажать на кнопку ЧШ I. Вид плана продаж на месяц показана на рис.3
