Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование задач аэродинамики и других областей естествознания граничными интегральными уравнениями с сильной особенностью 14
1. Математическое моделирование и процесс создания математической модели 14
2. „ Словесная " постановка задач аэродинамики при моделировании плоскопараллельного обтекания тела методом дискретных вихрей 17
2.1. Общая постановка задачи обтекания профиля 17
2.2. Основные положения метода дискретных вихрей 18
3. Математическая постановка стационарной задачи аэродинамики в плоском случае 25
3.1. Математическая постановка задачи обтекания проницаемого профиля 27
3.2. Учет телесности 31
3.3. Учет поверхности раздела 35
3.4. Тонкий профиль с эжекцией 38
4. Граничные интегральные уравнения с сильной особенностью задач аэродинамики профиля 39
Глава 2. Линейные гиперсингулярные интегральные уравнения второго рода на отрезке [—1,1] и их приближенное решение 46
1. Введение 46
2. Основные понятия и обозначения 47
3. Гиперсингулярный интеграл (ГИ) и его свойства 48
4. Формула перестановки порядка интегрирования 52
5. Гиперсингулярные интегральные уравнения (ГИУ) 54
6. Решение доминантного и транспонированного с ним уравнений 56
7. Характеристики ГИУ и его регуляризация 57
8. Некоторые сведения из теории СИУ 61
9. Регуляризация полного ГИУ 64
10. О другом способе исследования полного ГИУ 68
11. Приближенное решение ГИУ методом механических квадратур средних прямоугольников 71
12. Заключение 73
Глава 3. Сингулярные интегральные уравнения с фиксированной гиперсингулярностью и их приближенное решение 74
1. Введение 74
2. Основные понятия и обозначения 74
3. Постановка задачи 75
4. СИУ с фиксированной гиперсингулярностью в точке qe(-\,V) 76
5. Об одном свойстве оператора S(olqI 80
6. Приближенное решение СИУ с фиксированной гиперсингулярностью в классе h 82
7. СИУ с фиксированной гиперсингулярностью в точках ри qe (-1,1) 89
Литература
- „ Словесная " постановка задач аэродинамики при моделировании плоскопараллельного обтекания тела методом дискретных вихрей
- Учет поверхности раздела
- Гиперсингулярный интеграл (ГИ) и его свойства
- СИУ с фиксированной гиперсингулярностью в точке qe(-\,V)
Введение к работе
Актуальность темы. Математическое моделирование научной или инженерно-технической проблемы представляет собой сложную задачу для осуществления которой, как правило, формируется научная группа исследователей обладающих глубокими знаниями предметной области, высокой математической культурой, опытом построения моделей, развитой интуицией и в совершенстве владеющих методами вычислений и программирования на компьютере.
Научные группы связанные одной тематикой и методологией проведения научных исследований под руководством ведущих специалистов в области математического моделирования образуют научные школы.
Одна из таких школ специализирующаяся на решении задач аэродинами
ки создана в ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского СМ. Белоцерковским и активно
функционирует и развивается в настоящее время под руководством его после
дователей и учеников. Обзор полученных в этом направлении результатов
можно найти, например, в монографиях и статьях СМ. Белоцерковского,
М.И. Ништа, И.К. Лифанова, А.И. Желанникова, В.И. Бушуева,
В.А. Апаринова, В.В. Вышинского, В.И. Гайдаенко, Б.С. Крицкого, Л.Н. Полтавского, А.В. Сетухи и др. Характерной особенностью данной школы является метод проведения научных исследований, получивший широкое признание и известность как «метод дискретных вихрей».
Метод дискретных вихрей хорошо зарекомендовал себя при решении многих практических задач аэрогидродинамики.
На основе метода дискретных вихрей разработаны линейная и нелинейная теории крыла и летательного аппарата в целом, для которых построены различные уровни схематизации самолетов и вертолетов. Наиболее общей является нелинейная нестационарная теория, включающая решение как стационарных, так и нестационарных задач. Много новых и интересных результатов методом дискретных вихрей получено в ЦАГИ и на кафедре аэродинамики
ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского. Математические аспекты метода дискрет-
ных вихрей связанные с обоснованием имеющихся вычислительных схем, их дальнейшим развитием и усовершенствованием активно развиваются на кафедре высшей математики ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского.
В представленной диссертационной работе исследуются линейные гиперсингулярные интегральные уравнения второго рода и сингулярные интегральные уравнения первого рода с фиксированной гиперсингулярностью.
Потребность в изучении таких уравнений возникает на этапе математической постановки исходной задачи при моделировании методом дискретных вихрей процессов обтекания телесных и проницаемых поверхностей, а также непроницаемых поверхностей оснащенных элементами эжекторной механизации.
Имеется класс задач аэродинамики, например, связанных с обтеканием парашютов-крыльев, когда поток может протекать сквозь поверхность тела, и закон такого протекания известен. Он определяется экспериментально и представляет собой соотношение, характеризующее материал из которого сделано тело. Обычно он задается в виде зависимости скорости протекания от перепада давления на проницаемом крыле. Безмоторным и моторным дельтапланам, парашютам-крыльям и близким к ним летательным аппаратам («малой авиации»), несомненно принадлежит большое будущее. Отличительной особенностью подобных аппаратов являются простота конструкции, малый вес, ограниченное число основных элементов, бесшумность или малошумность, доступность для широкого применения. В связи с этим особую актуальность приобретают вопросы исследования особенностей динамики их движения и выработки на этой основе мероприятий по обеспечению безопасности полетов. Несмотря на кажущуюся простоту, полет на аппаратах малой авиации, в силу ряда причин (малая скорость полета, балансирное управление траекторией движения, отсутствие приборов контроля параметров движения, недостаточная надежность применяемых средств аварийного покидания) сопряжен с высоким уровнем риска для пилота.
Экспериментальные исследования особенностей динамики движения таких аппаратов являются недостаточно эффективными. Летный эксперимент весьма ограничен по условиям безопасности полета.
В этой связи создание математических моделей для изучения динамических характеристик аппаратов малой авиации и исследование их поведения в сложных и обычных условиях полета приобретают решающее значение.
На этапе математической постановки и исследования на корректность задачи обтекания аппаратов малой авиации при моделировании проницаемых профилей слоем диполей возникают гиперсингулярные интегральные уравнения второго рода в обобщенных пространствах Н.И. Мусхелишвили. В отличие от гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода и уравнения крыла самолета (уравнения Прандтля), которые подробно изучались в работах И.К. Лифанова, Е.В. Захарова, И.В. Халеевой, А.И. Каландия, Б.Г. Габдулхаева, Л.Н. Полтавского, А.В. Сетухи и др. вопросы существования, единственности и построения устойчивых методов приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений второго рода в обобщенных пространствах Н.И. Мусхелишвили до настоящего времени практически не рассматривались. Таким образом, учитывая не изученность этих уравнений, рассмотрение их в настоящей диссертации представляется целесообразным и актуальным.
Не менее актуальной проблемой аэродинамики является задача разработки энергетических средств механизации летательных аппаратов. Взлетно-посадочная механизация позволяет почти вдвое повышать подъемную силу крыла самолета на малых скоростях.
Во всем мире наблюдается устойчивая тенденция роста воздушного движения, интенсивность перевозок пассажиров и грузов по воздуху постоянно растет. Пропускная способность многих крупных аэропортов практически исчерпана. Безопасность полетов в таких условиях в значительной степени связана с существованием вихревых (спутных) следов, образующихся при полете самолетов.
Спутный след со временем сворачивается в два вихря противоположного знака, которые представляют серьезную опасность для других летательных аппаратов.
В аэродинамике рассматриваются различные пути преодоления негативного влияния спутных следов. Эта проблема подробно изучена в докторской диссертации В.В. Вышинского «Физико-математическая модель вихревого следа самолета в турбулентной атмосфере» Москва, ФГУП ЦАГИ 2002 год.
Один из подходов к решению проблемы негативного воздействия спутных следов основан на возможности применения энергетических средств механизации для борьбы с концевыми вихрями спутного следа. К средствам механизации такого рода, в частности, относятся устройства, осуществляющие отсос внешнего потока с поверхности обтекаемого тела. При математическом моделировании процесса обтекания профиля с отсосом внешнего потока методом дискретных вихрей возникают сингулярные интегральные уравнения с фиксированной гиперсингулярностью, исследованию которых посвящена одна из глав данной диссертации.
Математические модели и вычислительные схемы решения интегральных уравнений задачи обтекания профиля с отсосом внешнего потока рассматривались Лифановым И.К., Бушуевым В.И., Полтавским Л.Н., Сетухой А.В., Ди-митрогло М.Г., Лебедевой Н.В. Применяемые указанными авторами методы приближенного решения исходной задачи дают сходимость приближенного решения к точному в слабой топологии, характерной для вычислительных схем метода дискретных вихрей с равномерным распределением узлов. При этом указанными авторами использовался один из двух подходов («традиционный» и «нетрадиционный») к выполнению условия непротекания на поверхности профиля.
Традиционная постановка задачи приводит к решению сингулярного интегрального уравнения с фиксированной гиперсингулярностью, имеющего гладкую правую часть. При этом на пути численного решения полученного
уравнения могут возникнуть трудности связанные с выделением его единственного решения.
Нетрадиционная постановка задачи приводит к решению сингулярного интегрального уравнения с 8 - функцией в правой части. Решение этого уравнения также содержит фиксированную гиперсингулярность. Полученный при этом интегральный оператор надо понимать в смысле теории псевдодифференциальных операторов.
В настоящей диссертации предлагаются две новые вычислительные схемы решения рассматриваемой задачи. Построенные в диссертации вычислительные схемы имеют интерполяционную степень точности, характерную для вычислительных схем метода дискретных вихрей с неравномерным распределением узлов (схем «косинусов»).
Проведенные нами в приложении к диссертации расчеты показали следующие результаты. Вычислительные схемы, предложенные в настоящей диссертации дают точное решение модельного интегрального уравнения задачи с отсосом внешнего потока, в то время как расчеты этого же уравнения, полученные по схемам других авторов дают погрешность приближенного решения на концах отрезка интегрирования и в точке отсоса внешнего потока, характерную для метода дискретных вихрей с равномерным распределением узлов.
Таким образом, в представленной диссертационной работе изучаются математические аспекты моделирования ряда актуальных задач аэродинамики дозвуковых скоростей.
На актуальность проводимых в диссертации исследований, посвященных не изученным ранее математическим аспектам моделирования задач аэродинамики, указывает также и то, что имеется не мало задач из других областей науки и техники при математическом моделировании которых могут быть применены результаты, полученные в настоящей диссертации.
Цель работы состоит в математическом анализе линейных гиперсингулярных интегральных уравнений второго рода и сингулярных интегральных уравнений первого рода с фиксированной гиперсингулярностью, возникающих
в процессе математического моделирования задач аэродинамики дозвуковых скоростей. А также в построении и обосновании новых вычислительных схем решения этих уравнений.
Научная новизна и теоретическая значимость.
1) Для гиперсингулярных интегральных уравнений (ГИУ) второго рода
математических моделей аэродинамики в обобщенных пространствах
Н.И. Мусхелишвили получены следующие новые результаты:
а) построены регуляризирующий и союзный операторы
б) доказан ряд теорем: о конечномерности ядер характеристического и
полного гиперсингулярного оператора нормального типа, о существовании и
единственности решения ГИУ, о необходимых и достаточных условиях их раз
решимости и др.
в) построен прямой метод приближенного решения исследуемых уравне
ний, получены оценки скорости сходимости приближенного решения к точно
му и исследованы вопросы устойчивости квадратурных формул к малым изме
нениям исходных данных.
2) Предложена новая схема приближенного решения интегрального урав
нения обтекания профиля с отсосом внешнего потока, обдающая интерполяци
онной степенью точности.
Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты позволят: 1) математически обоснованно моделировать обтекание равномерно проницаемых и телесных профилей слоем диполей искомой интенсивности; 2) упростить процедуру расчета и повысить точность вычислений в задачах определения интенсивности вихревого слоя, моделирующего обтекание профиля с отсосом внешнего потока в заданном конечном числе его точек.
Апробация работы. Отдельные результаты диссертации и вся работа в целом докладывались на заседаниях научного семинара по интегральным уравнениям на факультете ВМиК МГУ в 2005 и в 2006 гг. (рук. Е.В. Захаров, И.К. Лифанов). Результаты диссертационной работы, по мере их получения, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: на
Международных конференциях: 4th IMSE 96 Oulu, Finland; 9th ECMI 96 Copenhagen Denmark; на Международных симпозиумах ICIAM 95 Hamburg Germany, МДОЗФ-2001, Херсон; МДОЗМФ-2003 Херсон, на семинаре по сингулярным интегральным уравнениям в техн. ун-те Chemnitz Germany в 1997 и 1998 гг. (рук. Б. Сильберман, П. Юнганс).
Научные исследования проводимые в данной диссертационной работе поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований и Немецким научным обществом DFG (грант 96-01-00072G).
Публикации на тему диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах [1] - [7].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложения. В приложении приводится краткий перечень сокращений и обозначений используемых в тексте диссертации, а также результаты расчетов модельных примеров. Основной текс содержит 100 страниц. В работе 11 рисунков, 1 схема и 1 таблица.
„ Словесная " постановка задач аэродинамики при моделировании плоскопараллельного обтекания тела методом дискретных вихрей
Условно все модели обтекания тел разделены на бесциркуляционные и циркуляционные. При бесциркуляционном обтекании не моделируется сход пелен с тела. При этом сумма циркуляции по контору, охватывающему тело с течением времени не изменяется. В этом случае сила, действующая на тело, равна нулю, а момент относительно выбранной оси в общем случае отличен от нуля. При циркуляционном обтекании с тела сходит пелены и на острых кромках выполняется гипотеза Чаплыгина-Жуковского о конечности скоростей. Сила, действующая на тело и момент, в этом случае отличны от нуля. Условно циркуляционное обтекание разделяют на безотрывное и отрывное. При безотрывном обтекании носик профиля (пластины бесконечного размаха) обтекается плавно, без отрыва потока, а с хвостика сходит пелена, при отрывном обтекании пелены сходя г как с хвостика, так и с носика профиля.
Циркуляционное течение (как отрывное, так и безотрывное) может быть стационарным или нестационарным. При стационарном обтекании параметры потока, равно как и характеристики обтекаемого профиля с течением времени но изменяются. Стационарное обтекание иногда называют установившимся. При нестационарном (неустановившемся) обтекании указанные параметры и характеристики изменяются с течением времени.
Бесциркуляционное обтекание на практике реализуется в начальный момент движения тела или при очень больших числах Рейнольдса (Re 106). Кроме того безциркуляционное обтекание является первым расчетным шагом нестационарного циркуляционного обтекания.
Общая постановка задачи обтекания профиля.
Рассматривается обтекание тонкого профиля потоком идеальной несжимаемой жидкости под углом атаки а со скоростью щ (см. рис. 1).
Форма профиля и условия его обтекания считаются заданными. В общем случае с кромок профиля сходят две пелены: с хвостика 8\ и с носика &ч. При безотрывном обтекании пелена отсутствует.
Требуется определить суммарные и распределенные нагрузки, действующие на профиль, а также поле возмущенных скоростей в окрестностях профиля и в следе за ними. Для решения задачи используется граничное условие о непротекании профиля, требующее обращения в ноль нормальной составляющей скорости на его поверхности. Вихревые пелены 5\ и ( движутся вместе со средой и на них выполняется условие о непрерывности давления. В точках схода пелен выполняется гипотеза Чаплыгина-Жуковского о конечности скоростей в этих точках, что эквивалентно требованию обращения в ноль интенсивности присоединенного вихревого слоя в них. В бесциркуляционных задачах используется условие о равенстве нулю циркуляции по замкнутому контуру, охватывающему тело. На бесконечном удалении от профиля и его следа возмущения, вызванные ими, затухают.
Таким образом, заданными в задаче считаются геометрия профиля и условия его обтекания (условия на бесконечности). При этом требуется определить поле скоростей и давлений во внешнем потоке, а также силы и моменты, действующие на профиль.
Основные положения метода сводятся к следующему. Среда считается идеальной и несжимаемой. Изучается обтекание профилей. При решении стацио нарных задач отрывного или безотрывного обтекания таких профилей математическая постановка задачи описывается уравнением неразрывности в форме уравнения Лапласа, граничными условиями на обтекаемых профилях (а при решении нестационарных задач и условиями на вихревых пеленах), условиями на бесконечности, гипотезой Чаплыгина-Жуковского о конечности скоростей на задних кромках профилей, а также заданными параметрами движения. Аэродинамические нагрузки на профилях рассчитываются по теореме Н.Е. Жуковского в „малом", а давление в возмущенном потоке с помощью интеграла Бер-нулли в случае моделирования стационарного течения или уравнениями Коши-Лагранжа в случае моделирования нестационарного течения.
Описанная модель обтекания профилей идеальной несжимаемой жидкостью численно реализуется на компьютере методом дискретных вихрей. При этом вихревые слои, которыми моделируются профили и следы в расчетных схемах заменяется системами дискретных вихрей. Граничные условия выполняются в конечном числе точек профиля. В результате краевая задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, из которых находятся неизвестные циркуляции присоединенных и свободных вихрей, по найденным значениям циркуляции производится расчет аэродинамических нагрузок, сил, моментов и поля возмущенных скоростей.
Данная система линейных алгебраических уравнений по существу представляет собой дискретный аналог соответствующего граничного интегрального уравнения, полученный методом механических квадратур, в котором интеграл с сильной особенностью в ядре аппроксимируется квадратурной формулой средних прямоугольников.
Учет поверхности раздела
Широкий класс задач аэродинамики связан с учетом влияния границ поверхностей раздела сред (взлет и посадка, изучение поправок на влияние границ в аэродинамической трубе и др.). В данном пункте описывается подход, называемый методом зеркальных отображений, позволяющий эффективно учитывать твердые границы.
Будем считать, что профиль движется поступательно со скоростью щ, под углом атаки а на расстоянии h от земли Е (см. рис. 5)
В этом случае на границе необходимо выполнить условие непротекания, аналогичное тому, что имеет место на поверхности тела. Поскольку в методе дискретных вихрей обтекание тела моделируется дискретными особенностями, то достаточно указать способ, позволяющий выполнить условие непротекания на Е для одной особенности.
Пусть координаты вихря или источника (стока), расположенного в точке А в подвижной системе координат, связанной с профилем будет х,у (см. рис. 6). А(х,у) М{х0уо) А (х у ) Рисунок 6. К учету поверхности раздела. Тогда нормальная скорость в точке М с координатами хо,г/о на от дискретного вихря Г или источника (стока) Q (если в точке А расположен источник (сток)) будет ИУГ)= (Г), Wy(T) = - , (52) где г2 = (хо — х)2 + у2, так как г/о = 0- За положительное направление циркуляции принято вращение по часовой стрелке. Расположим в точке А (х,-у), симметричной точке А относительно границы Е, соответственно, дискретный вихрь с циркуляцией Г = кГ или источник (сток) с циркуляцией Q = kQ. Скорости от них в точке М будут находиться по формулам: \у(П = Юу(П, %(П = - = шу(7), (53) kQ kQ //-.»4 //п ч У Wy{Q ) = 17 = 1Г%«П. ) = Z2= wv(Q)
Подбирем значение параметра А; так, чтобы введенный нами в точке А {х ,у ) вихрь или источник (сток) обеспечил условие непротекания на границе раздела Е для особенности расположенной в точке А.
Приравнивая к нулю суммарные нормальные скорости на Е, получим: - для вихрей к = — 1, - для источников (стоков) к = 1.
Итак, задача решаемая методом дискретных особенностей в безграничном пространстве, решается этим же методом и при движении у земли. Алгоритм расчета полностью сохраняется, единственное отличие будет состоять в том, что при расчете скоростей необходимо учитывать отображенные особенности. Полученная при этом система линейных алгебраических уравнений представляет собой дискретный аналог сингулярного интегрального уравнения [44] -і -і где h - расстояние до земли, f(xo) - нормальная составляющая скорости набегающего потока в точке XQ.
Если в задаче обтекания профиля у поверхности земли профиль моделировать слоем диполей, то задача нахождения интенсивности диполей ф(х) сведется к гиперсингулярному интегральному уравнению вида (50).
Подчеркнем характерную деталь, что учет телесности с помощью источни-ков(стоков) при движении у поверхности раздела приводит к появлению допол нительного вихревого слоя на профиле. Отображенные источники (стоки) нарушают условие непротекания на профиле, поэтому для его выполнения следует ввести вихревой слой, обусловленный толщиной и интерференцией с границы раздела.
В последнее время актуальной является разработка энергетических средств механизации, к которым, в частности, относятся устройства, осуществляющие отсос внешнего потока. В работах И.К. Лифанова [22],[44] была рассмотрена задача о моделировании плоского обтекания тонкого профиля с эжектированием (с отсосом потока в отдельно взятой точке на одной из сторон тонкого профиля). В указанных работах для определения увеличения подъемной силы за счет эжектирования, профиль моделируют вихревым слоем. При этом задача сводится к нахождению интенсивности j(x) этого вихревого слоя из сингулярного интегрального уравнения [11] і 1 Ґ iWx = f{xQ)t Хо (_!,!), х,фче (_!,!), (55) 7Г J X-XQ -1 ( \ $о{х) в котором искомая интенсивность 7[х) = имеет неинтегрируемую особен х — q ность в точке отсоса q Є (—1,1) и должна удовлетворять заданным условиям поведения на кромках профиля. При моделировании телесного профиля с эжектированием в точке q вихревым методом получим сингулярное интегральное уравнение вида і і і Г2{х)йх+1_ [K x)ix_q)l(x)dx = f{xo)j (56) 7Г У X -XQ 7Г J -1 -1 решение которого j(x) имеет неинтегрируемую особенность в точке q Є (— 1,1).
Для нахождения 7(я) в [11] разработан численный метод, являющийся развитием метода дискретных вихрей. Суть этого метода вкратце рассмотрим на примере вычислительной схемы для расчета стационарного циркуляционного обтекания профиля с эжекцией.
Реальный профиль делится на п равных участков, каждый из которых заменяется присоединенным вихревым слоем. В расчетах от распределенного ви хревого слоя осуществляется переход к дискретным вихрям также как это делалось ранее. Только теперь системы узлов и контрольных точек надо сдвинуть как единое целое так, чтобы точка отсоса q являлось одной из контрольных точек, а взаимное расположение дискретных вихрей и контрольных точек было бы такое же как и ранее.
Гиперсингулярный интеграл (ГИ) и его свойства
Пусть п Є iV, XQ = -1, xn+i = 1, j3n = {xi,x2,...,xn}, где xk = -1 + kh, 9 A к = 1,2,...71, h = —, fan = { 00, 01, 02,- ..,x0n}, где Хок = Xk + - = n + 1 2 = -1 + (/:+5)/1, к = 0,1,...п. Рассмотрим квадратурную формулу средних прямоугольников [11] к=0 1Г хк 1 1 H {x0j) Hn(p(xoj) = Yl(d l / (х - х )2 = , j =0,1,...,п, xkJ3n, Щ Є fion к=0 Xk - XQ3 Xk+l - XQ} /I Имеет место
Теорема 12. Пусть в ГИ Hip(xo) вместо значений плотности р Є /і1+А в узлах сетки Д)п заданы их приближения ip(xoj) : \ір(хо3) — ір(хо3)\ = \є(хо3)\ ( 0)VxOj ЄРоп Тогда для j = 0,1,..., п, п 2, имеют место оценки \Нпф0]) - Hnip{x0j)\ 4(3 + Inn), (44) Г \Hip(x0j) - Hnip(x0j)\ 6n(x0j) + 4є(3 + Inn), (45) Т где 6n(xoj) для любого достаточно малого А 0 обладает следующими свойствами: 1) &п{щ) Лд/іЛі, 0 ЛІ 1, АА - const Vz0j Є J30n П [-1 + Д, 1 - А]; п 2) J2dn{xoj)h Ahx\ 0 Л2 1, А - const, x0j Є р0п.
Доказательство: Чтобы убедиться в справедливости оценки (44), представим ipe{x0j) = (p{x0j) + e{x0j), x0j Є Д)П- Тогда \НпЧ {щ) - Нп рє{хо3)\ = \Нпє(х0з)\ \Фо3)\Т,(] i+l г) 4є(3 + 1пп). Оценка (45) вытекает из очевидного неравенства \Нср(хо3) — Нпірє(хо3)\ \Hip(xoj) - Hn p(xoj)\ + \Hnip(xoj) - Нпірє(хо3)\, в котором следует воспользоваться оценкой (44) и оценкой [11] \Hip(xoj) - Нп р(хо3)\ вп(хо3). Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что для получения аппроксимации ГИ Н(р(хо) на Роп с заданной точностью мы нуждаемся в согласовании числа узлов п с величиной погрешности Е.
Приближенное решение ГИУ (32) будем строить методом кусочно-постоянной аппроксимации и коллокации из системы п і 5Z "jfcPnfaofc) = /(SOJ)I 3 = 0,1,..., n, (46) 7Ґ fc=o + Ko(x0j,xok)h, если кф J л _ J хк - Щ хк+1 - Щ Ь - 0( 01, x0k)h + a(xQ3)(f если fc = j
К Хк хо3 Xk+l - XQ3 Xk Є (Зп, Щ Є роп Для построения системы (46) в уравнении (32) Нір аппроксимируется квадратурной формулой Нпір, а к2Ко{-,-)ір - классической квадратурной формулой средних прямоугольников. Справедлива
Теорема 13. Пусть в ГИУ (32) нормального типа а, Ко Є h и оно имеет единственное решение ц Є h для любой правой части / Є h.
Тогда для достаточно больших п система (46) будет иметь единственное решение ifn{xok), к = 0,1,...,п и выполняется неравенство \(р (хок) - Рп{хок)\ Ahx\ Ai 0 Vx0fc 6 Дзп где ip {xok), к = О,1,...,п - значения решения ГИУ (32) в узлах сетки роп, а положительные постоянные А и А і не зависят от п. Доказательство: Заметим, что система (46) равносильна системе l д)- л-,),__i_=/( )_l /,o( )Ж() fl(K() (47) уЧ( 0 )-Рл( 0ы)Д = 0 h h где рп(x0.l) = (pn(-1) = 0.
Матрица левой части системы (47) представляет собой матрицу системы метода дискретных вихрей [11] для СИУ первого рода. Используя явный вид обратной матрицы левой части этой системы, полученный в [11], убеждаемся в том, что система (47) равносильна системе метода дискретных вихрей для СИУ (42) с М(х0,х) = К0(х0,х), в которой неизвестное решение ип(хк) имеет вид ип (хк) = " 0к— " оы . Далее, для завершения доказательства теоремы 13 h следует воспользоваться приемом, предложенным в [45] при обосновании вычислительной схемы метода дискретных вихрей для уравнения Прандтля.
Подводя итоги данной главы кратко перечислим ее результаты. 1. Построены основы теории линейных ГИУ на отрезке действительной оси в обобщенных пространствах Мусхелишвили. 2. Проведено сравнение полученной теории с теорией линейных СИУ.
Проведенное сравнение показало, что теории линейных СИУ и ГИУ имеют много общего, но в то же время отличаются друг от друга. Полученные отличия логически продолжают тенденции, наметившиеся при сравнении теории уравнений Фредгольма и линейных СИУ с ядром Коши.
СИУ с фиксированной гиперсингулярностью в точке qe(-\,V)
Единственное решение данной задачи при традиционном подходе выделяли на этапе построения дискретной схемы (см. [11] с. 161) 12&М=/Ы__ _ ojj у = 1,...,/1-1 j jq 71/=1 х, x0j Хщ X0j ": « T,rM-h = -y(x )-h i jq При этом полагали интенсивность «у -го» дискретного вихря известной 2Q у =——, где Q - заданная интенсивность стока, моделирующего отсос Jq к внешнего потока.
Система алгебраических уравнений (2) имеет равномерное распределение вихрей [х, /-1,..л) и расчетных точек {x0l j-\,..,n) с шагом h. При этом системы вихрей и расчетных точек сдвинуты друг относительно друга на hi2 и расположены таким образом, чтобы точка отсоса q = x0j .
Приведенный способ выделения единственного решения системы уравнений на уровне дискретизации задачи с помощью системы (2) вызывает определенные неудобства. Так как каждая новая задача с отсосом требует дополнительных исследований, связанных с выделением единственного решения полученной системы интегральных уравнений и существенным образом меняет вид левой части матрицы системы (2).
Подход содержащий дельта-функцию с носителем в точке отсоса приводит к вычислительной схеме с системой алгебраических уравнений вида -L =f(xoj) J = 1-,п-I 7Г ,=i Х-Хп, 1 0j (3) tr(x,)h = 0 107 где w0sma, npujtj f ( ( ,) = Q . w0sma + —, npuj = j 2h wQ - скорость набегающего потока, a - угол атаки.
В кандидатской диссертации М.Г. Димитрогло [95] после сравнения результатов численного решения рассмотренной модельной задачи по двум указанным выше схемам делается вывод, что использование 8 -функции позволяет получать более простые и удобные вычислительные схемы. При этом численные расчеты полученные по старой и новой схемам практически совпадают. А их отличия от точного решения наблюдаются в основном в точках близких к точке отсоса g ик концам отрезка интегрирования. При этом величина погрешности полученных решений является характерной для вычислительных схем метода дискретных вихрей с равномерным распределением узлов.
В главе 3 данной диссертации при моделировании отсоса внешнего потока с поверхности обтекаемого тонкого профиля предложена новая редакция традиционного подхода построения системы граничных интегральных уравнений.
Так, например, следуя этой новой редакции традиционного подхода к моделированию процесса бесциркуляционного обтекания тонкого разомкнутого профиля с отсосом внешнего потока в точке #є(-1;1) вместо системы интегральных уравнений (1), не имеющей единственного решения, выпишем систему уравнений Swgy/ = f (-\;q)u(q\\) ку = А0 (4) Kwqy/ = A{, 108 которая в классе hq(co) имеет единственное решение (p = wqy/, определяемое формулой (p = -wXqSw2qf + w]q(A{x0 + А0). Применяя к системе (4) прямые методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений, разработанные в диссертации получим приближенное решение исходной задачи.
Кроме того, в главе 3 предложена другая схема приближенного решения исследуемого сингулярного интегрального уравнения с фиксированной гиперсингулярностью. В рассматриваемом нами случае она основана на редукции задачи решения системы (4) в классе hq(co) к задаче решения равносильной ей системы сингулярных интегральных уравнений (S;4/)(x0) = f(xQ)(x0-q) + A] (-1;1) ку/ = А0, не содержащей точек гиперсингулярности. Решение системы (5) у/(х) ищется в классе функций /г( х ) и связано с решением системы (4) формулой (р{х) = wq(x)-y/(x), где у/(х)- решение системы (5).
Преимущество последней редукции состоит в том, что полученную в итоге систему сингулярных интегральных уравнений (5) можно решать стандартным методом дискретных вихрей с равномерным распределением узлов или с неравномерным распределением узлов (по схеме косинусов). Последняя из предложенных схем приводит к значительному повышению точности построенного приближенного решения.
После обзора имеющихся методов приближенного решения исследуемой задачи перейдем к сравнительному анализу расчетов на модельном примере.
Выводы сделанные М.Г. Димитрогло в [95] позволяют нам ограничиться сравнением разработанных в диссертации методов приближенного решения задачи обтекания профиля с отсосом внешнего потока с методом решения этой задачи, содержащим дельта-функцию. В качестве исходной задачи возьмем систему интегральных уравнений рассмотренную в диссертации Лебедевой Н.В. [96]
