Содержание к диссертации
Введение
1 Нормальные формы для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами 14
1 Нормальная форма Пуанкаре 15
1.1.1 Основные теоремы 16
1.1.2 Нормальная форма уравнений мелкой воды для больших пространственных масштабов 21
1.1.3 Нормальная форма уравнений мелкой воды на бета-плоскости в средних широтах 24
1.1.4 Нормальная форма уравнений мелкой воды для коротких волн на экваториальной бета-плоскости 30
2 Кососимметричная нормальная форма 37
1.2.1 Кососимметричные градиентные системы 38
1.2.2 Кососимметричная нормальная форма 40
1.2.3 Ионно-звуковые волны в сильном магнитном поле 41
3 Теорема Дарбу 46
1.3.1 Конечномерные системы 46
1.3.2 Пример 49
1.3.3 Полевые системы 52
1.3.4 Примеры 55
4 Скобки Пуассона с нулевой трансверсалыюй частью 61
1.4.1 Движение без внешних сил 62
1.4.2 Движение под действием внешних сил 66
1.4.3 Двумерное уравнение Буссинеска 69
5 Основные результаты по главе 71
2 Разделение медленного и быстрого движений для уравнений мелкой воды на /-плоскости 73
1 Медленное многообразие для двумерных уравнений мелкой воды 74
2.1.1 Медленное многообразие и уравнения движения на нем 75
2.1.2 Динамическая и статическая инициализация 79
2 Разделение движений в спектральном виде 82
2.2.1 Формальные быстрое и медленное многообразия 83
2.2.2 Нормальные формы 86
3 Фронтальное геострофическое приспособление, медленное многообразие и нелинейные волновые явления в одномерной модели 87
2.3.1 Постановка задачи о геострофическом приспособлении 88
2.3.2 Общие свойства одномерной модели 91
2.3.3 Лагранжев подход 92
2.3.4 Возмущенное полугеострофическое приспособление 96
2.3.5 Непертурбативное медленное многообразие и процесс релаксации 99
2.3.6 Существование и единственность медленного многообразия 103
2.3.7 Нелинейные волны 106
2.3.8 Разрушение волн и ударные волны в лагранжевых переменных 109
2.3.9 Лагранжево описание для осесимметричпой мелкой воды 112
2.3.10 Обсуждение 113
4 Основные результаты по главе 114
3 Турбулентность коротких инерционно-гравитационных волн 116
1 Слабая волновая турбулентность 116
2 Инерционно-гравитационные волны в средних широтах 119
3.2.1 Гамильтоново описание 119
3.2.2 Колмогоровские спектры 123
3 Слабая турбулентность коротких экваториальных волн 129
3.3.1 Уравнения мелкой воды на экваториальной бета-плоскости 129
3.3.2 Трех-волновые взаимодействия 131
3.3.3 Четырех-волновое кинетическое уравнение 134
3.3.4 Обсуждение 135
4 Основные результаты по главе 136
4 Нелинейное уравнение Шредингера с периодическими коэффициентами 137
1 Гамильтоново усреднение и интегрируемость 138
4.1.1 Гамильтоново описание 140
4.1.2 Квази-тождественное преобразование 143
2 Усредненная динамика оптических импульсов 145
4.2.1 Преобразование Боголюбова 147
4.2.2 Разложение для малых R 150
4.2.3 Солитонные решения 153
4.2.4 Сравнение с другими методами 159
4.2.5 Обсуждение 165
3 Численное моделирование солитонных импульсов в усредненной модели . 167
4.3.1 Усредненная модель в спектральной области 167
4.3.2 Усредненная модель во временной области 171
4.3.3 Примеры вычислений 173
4 Квазилинейная теория распространения гауссовых импульсов 179
4.4.1 Квазилинейное решение 180
4.4.2 Аналитическое решение для гауссовых импульсов 182
4.4.3 Результаты численного интегрирования 185
5 Основные результаты по главе 188
5 Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов 189
1 Пробные функции для одиночного импульса 190
2 Импульсы с переменными энергией и фазой 192
5.2.1 Преобразование скобки Пуассона 194
5.2.2 Вычисление гамильтониана 195
5.2.3 Физическая модель 197
5.2.4 Точное решение 198
5.2.5 Численное решение 199
5.2.6 Приближенные решения 202
3 Импульсы с переменными положением и скоростью 205
5.3.1 Выбор параметров для пробной функции 206
5.3.2 Преобразование скобки Пуассона 208
5.3.3 Вычисление гамильтониана 208
5.3.4 Сравнение решений 213
4 Основные результаты по главе 217
Заключение 218
Список литературы
- Нормальная форма уравнений мелкой воды на бета-плоскости в средних широтах
- Медленное многообразие и уравнения движения на нем
- Инерционно-гравитационные волны в средних широтах
- Квази-тождественное преобразование
Введение к работе
Актуальность темы. Нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающие при моделировании различных задач естествознания, могут быть эффективно изучены с помощью асимптотических методов. Однако даже для обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами приближенное исследование становится существенно сложнее. Для уравнений в частных производных также развиты эффективные методы исследования. Тем не менее изучение уравнений с переменными коэффициентами требует разработки новых и совершенствование существующих методов.
Все уравнения нелинейной физики являются приближенными моделями и содержатся в некоторой иерархии моделей. С одной стороны это обусловлено приближенным характером физических законов, а с другой стороны многие уравнения были получены как некоторое приближение из некоторых исходных уравнений. Нелинейное уравнение Шредингера и уравнение Кортевега-Де Фриза наиболее известные модельные уравнения, которые возникают в самых разных приложениях. При математическом моделировании задачу приближенного исследования уравнений можно разделить на две подзадачи. Первая состоит в построении точных или приближенных решений для исходных уравнений. Если это невозможно, то возникает подзадача построения более простой модели, которая допускает детальный анализ. В настоящее время оба подхода успешно применяются, и получено множество модельных уравнений.
Однако уравнения с переменными коэффициентами по-прежнему являются трудным предметом для исследования. Трудность обусловлена отсутствием достаточного числа симметрии, которое характерно для уравнений, решаемых точными методами. Поэтому для решения нелинейных уравнений с переменными коэффициентами применяются в основном приближенные методы. Кроме того получение модельных уравнений с переменными коэффициентами является отдельной задачей.
Настоящая диссертационная работа как раз и посвящена актуальной проблеме: исследованию нелинейных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами и построению приближенных моделей для них. Поскольку нелинейные уравнения сильно различаются по своим свойствам, в данной работе рассматриваются только уравнения гидродинамического типа, которые возникают при моделировании задач нелинейной физики.
Основная научная проблема, которой посвящена настоящая диссертационная работа, состоит в построении и исследовании приближенных моде-
лей геофизической гидродинамики и нелинейной волоконной оптики, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами. Это построение основано на методе нормальных форм. В данной работе рассматриваются, в основном, уравнения гидродинамического типа, которые возникают при моделировании перечисленных выше задач нелинейной физики.
Цель диссертационной работы состоит в разработке методов построения приближенных моделей, описываемых уравнениями гидродинамического типа с переменными коэффициентами, и анализе их резонансных свойств. В частности, сюда входят:
развитие и применение метода нормальных форм при построения приближенных моделей для уравнений гидродинамического типа с переменными коэффициентами;
разделение медленного и быстрого движений для модели вращающейся мелкой воды и изучение динамики быстрых движений для одномерной модели вращающейся мелкой воды;
построение колмогоровских решений для стационарных кинетических уравнений, описывающих кинетику коротких инерционно-гравитационных волн в рамках модели вращающейся мелкой воды на f-плоскости в средних широтах и на экваториальной бета-плоскости;
построение и исследование усредненной модели распространения импульсов, описываемых нелинейным уравнением Шредингера с периодическими коэффициентами;
развитие вариационного подхода для малопараметрического описания взаимодействия импульсов.
Методы исследования. В работе используются методы асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, методы нормальных форм и усреднения для обыкновенных дифференциальных уравнений. Также используются качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений и гамильтонов формализм для конечномерных и полевых систем.
Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов состоит в следующем:
1. Предложены новые обобщения нормальных форм для специальных
классов дифференциальных уравнений в частных производных с переменны
ми коэффициентами. Найден новый класс скобок Пуассона, которые асимп
тотически эквиваленты скобке с нулевой трансверсальной частью.
2. Впервые проведено полное разделение быстрых и медленных движений
на основе линеаризованного потенциального вихря для модели вращающейся
мелкой воды с постоянным параметром Кориолиса. Найдено новое уравнение баланса для статической инициализации. Впервые показано, что геострофическое приспособление для одномерной модели вращающейся мелкой воды является полным. Найден критерий формирования сингулярности для различных начальных данных.
Впервые получены гамильтоновы и кинетические уравнения для описания инерционно-гравитационных волн в средних широтах и на экваторе. Найдены точные колмогоровские решения для стационарного кинетического уравнения.
Впервые найдены условия, при которых нелинейное уравнение Шредин-гера с периодическими коэффициентами может быть преобразовано в нелинейное уравнение Шредингера с постоянными коэффициентами, и получена усредненная модель для максимального большого диапазона изменений параметров периодических коэффициентов. Предложены новые численные алгоритмы для нахождения решений нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами и его усредненной модели.
Предложен новый вариационный метод получения малопараметрических гамильтоновых моделей для описания взаимодействия импульсов. Найдены точное и численные решения для уравнений, описывающих взаимодействие двух импульсов.
Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты по развитию и применению метода нормальных форм для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами могут быть применены на практике в качестве инструмента математического моделирования и аналитического исследования моделей механики сплошных сред и нелинейной волоконной оптики.
Апробация работы. Основные научные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
международной конференции "Advanced Mathematics, Computations and Applications" в честь акад. Г.И. Марчука (Новосибирск, Россия, 1995),
международной школе по нелинейным наукам (Нижний Новгород, Россия, 1995),
международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" в честь акад. Н.Н. Яненко (Новосибирск, Россия, 1996),
Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, Россия, 1996, 1998),
научной программе "Математика атмосферы и океана" (Isaac Newton
Institute for Mathematical sciences, Cambridge, UK, 1996),
конференции в честь проф. В.И. Арнольда (Fields Institute for Mathematical Sciences, Toronto, Canada, 1997),
конференции "Environmental Fluid Mechanics" в честь проф. О. Филлип-са (John Hopkins University, Baltimore, USA, 1998),
Генеральных ассамблеях Европейского геофизического общества (Nice, France, 1998, 2001),
международной конференции "Солитоны, коллапсы и турбулентность: достижения, развития и перспективы" в честь проф. В.Е. Захарова (Черноголовка, Россия, 1999),
научной программе "Геометрия и физика узлов" (Isaac Newton Institute for Mathematical sciences, Cambridge, UK, 2000),
научной школе "Новые тенденции в турбулентности" в Институте перспективных исследований НАТО (Les Houches, France, 2000),
программе "Симплектическая геометрия и физика" в Институте чистой и прикладной математики (Los Angeles, USA, 2003)
международной конференции "Асимптотический анализ и физика атмосферы и океана" (Rome, Italy, 2004).
На различных стадиях выполнения работа обсуждалась на семинарах, руководимых ведущими специалистами, в российских и зарубежных институтах и университетах:
Институт вычислительных технологий СО РАН (Ю.И. Шокин),
Институт математики им. Соболева СО РАН (B.C. Белоносов, М.В. Фокин),
Механико-математический факультет МГУ (В.В. Козлов),
Физический факультет университета Торонто, Канада (T.G. Shepherd),
Математический институт, Кёлн, Германия (Т. Кіїррег),
Департамент прикладной математики и физики, Кэмбридж, Великобритания (М. Mclntyre),
Институт теоретической физики, Дюссельдорф, Германия (К.Н. Spat-schek),
Нормальная школа, Париж, Франция (V. Zeitlin),
Университет им. П. и М. Кюри, Париж, Франция (Н. Le Treut).
Представленные в диссертации исследования проводились в рамках: Российского фонда фундаментальных исследований - исследовательские проекты 01-01-00959 (руководитель), 03-02-16496 (исполнитель), 95-05-15581 (исполнитель), проекты ведущих научных школ России 04-05-64481 (исполнитель), 00-015-98543 (исполнитель); интеграционного проекта 02-2003 СО РАН
02-2003 (исполнитель); проекта ZN-080-01 Министерства образования РФ, (исполнитель).
Публикации результатов и личный вклад автора. По теме диссертации опубликована 31 работа, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах постановка задач, аналитические выкладки, разработка вычислительных алгоритмов и интерпретация полученных результатов, включенные в диссертацию, принадлежат автору.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы из 235 наименования. Объем диссертации составляет 238 страниц.
Нормальная форма уравнений мелкой воды на бета-плоскости в средних широтах
Отдельного рассмотрения требуют уравнения мелкой воды на экваториальной бета-плоскости. В этом случае, учитывается только линейная зависимость параметра Кориолиса от меридианальной составляющей угловой скорости Земли, и параметр принимает вид / = j3y. Заметим, что уравнения мелкой воды на бета,-плоскости средних широт также могут быть приведены к такому же виду, подходящим сдвигом переменной у. Однако поскольку рассмотрение движений ограничивается только малыми пространственными масштабами эти задачи существенно различаются. В частности, свойствами законов дисперсии, как это будет показано в дальнейшем. Если мы предположим экспоненциальное затухание для зависимых переменных вдали от экваториального волновода, тогда решения линеаризованных уравнений могут быть разложены по собственным функция, которые есть функции параболического цилиндра (или функции Гаусса-Эрмита) где Нп(у) является полиномом Эрмита. Собственные значения этого разложения дают дисперсионные законы для волн распространяющихся на экваториальной бета-плоскости. Первый вырожденный тип волн, называемые волнами Кельвина, имеет линейный закон дисперсии и — к, где к есть волновое число в направлении х. Второй вырожденный тип волн, называемые волнами Янаи, имеют дисперсионный закон и? — ки) — 1 — 0. Волны Россби и инерционно-гравитационные волны (иногда их еще называют волны Пуанкаре) имеют дисперсионное уравнение вида u3-(fc2 + (2n-l-l))w-fc-0. (1.100)
Низкочастотное решение этого уравнения соответствует дисперсии волн Россби. Два оставшихся инерционно-гравитационным волнам, распространяющимся на запад и восток. Заметим также, что инерционно-гравитационные волны сильно-дисперсионные для больших длин волн и слабо-дисперсионные для малых длин волн. Волны Россби силыю-дисперсионные и сильно пространственно анизотропны. Волны Кельвин бездисперсионные и волны Янаи промежуточные между семействами волн Россби и инерционно-гравитационных волн (смотри рисунок 1.1).
Далее, мы будем строить нормальную форму Пуанкаре и применять теорию развитой волновой турбулентности для коротких экваториальных волн. Эти волны дискретны и захвачены в экваториальный волновод, однако их спектр можно рассматривать как непрерывный и, следовательно, считать, что короткие волны непрерывно возбуждаемые механизмом глубокой тропической конвекцией и орографией. Так, волны образуют "волновой суп", что является ключевым моментом для применимости теории развитой волновой турбулентности. Как ясно из рисунка 1.1, короткие инерционно-гравитационные волны почти бездисперсные, в отличие от волн Россби. Это не удивительно, потому что уравнения мелкой воды в отсутствии вращения переходят в уравнения для двумерной газовой динамики, в которой инерционно-гравитационные волны аналогичны акустическим волнам со скоростью звука с — \fgha Гамильтонова структура гидродинамики на бета-плоскости, в частности экваториальной бета-плоскости, является неканонической [2041. Поэтому применение асимптотических методов должно сохранять гамильтонову структуру приближенных уравнений. Новая гамильтонова структура, конечно, может не совпадать с исходной гамильтоновой структурой. К сожалению, теория нормальных форм Пуанкаре не гарантирует сохранение гамильтоновой структуры преобразованных уравнений. Однако, в данном случае коротких экваториальных волн, удается построить методом нормальных форм Пуанкаре? приближенные уравнения, которые имеют каноническую структуру.
Для безразмерных переменных уравнения мелкой воды на экваториальной бета-плоскости по-прежнему имеют вид (1.47)-(1.49) с условием, что среднее значение параметра Кориолиса равно нулю /о = 0 так, что полное значение параметра Кориолиса равно / — Ру. Для простоты мы будем предполагать существование одного малого параметра є, и рассматривать ситуацию слабой нелинейности и, v, z є и слабой неоднородности Р є. В этом случае главная часть уравнений является линейной системой с постоянными коэффициентами.
Медленное многообразие и уравнения движения на нем
В данной главе рассмотрены двумерные и одномерные уравнения вращающейся мелкой воды на /-плоскости.
В первом разделе для двумерных уравнений мелкой воды получены функциональные уравнения определяющие медленное многообразие. При малой нелинейности эти уравнения решаются методом разложения по степеням нелинейности. Начальные данные, лежащие на медленном многообразии, будут эволюционировать на этом многообразии все время и не будут порождать решений с частотой инерционно-гравитационных волн. Получены приближенные уравнения эволюции на медленном многообразии.
Знание явных дифференциальных уравнений для медленного многообразия позволяет решить задачу инициализации. При динамической инициализации искомые поля получаются в виде ряда с известными коэффициентами от амплитуды медленной моды. При статической инициализации для определения поля скорости по геопотенциалу необходимо решать уравнение с большой степенью нелинейности.
Во втором разделе проведено разделение медленных и быстрых движений в спектральной форме. Дано определение для быстрого многообразия и уравнений движения на нем и построена последовательность приближенных медленных многообразий и соответствующих уравнений движения. Построены нормальные формы Пуанкаре и показано, что в данной системе отсутствует высокочастотная сила, способная генерировать медленные движения через огибающую быстрых движений.
В третьем разделе подробно исследуется задача геострофического приспособления и нелинейных волновых процессов в одномерной модели вращающейся мелкой воды. Медленное многообразие для этой модели есть просто геострофически согласованные поля скорости и высоты свободной поверхности. Поэтому основное внимание уделено процессу приспособления разбалансированных начальных полей к состоянию геострофического равновесия.
В настоящее время задача инициализации с помощью нормальных мод хорошо изучена. В работе Байера и Триббиа [118] дано решение этой задачи методом двух масштабов но времени. Геометрическая интерпретация решения задачи инициализации дана Leith [171] с помощью введенного им понятия медленного многообразия. Там же показана связь динамической и статической инициализации. Vautard и Legras [222] предложили другой метод инициализации, основанный на аналитическом разложении локального инвариантного многообразия. Однако на практике используют инициализацию по Махенхауэру [181] или предложенный Триббиа алгоритм [211], поскольку сложность реализация схемы Байера,-Триббиа быстро увеличивается с числом итераций [210]. Вычислительные трудности возникают из-за необходимости вычислять временные производные от предыдущих приближений. Инициализация с помощью аналитического разложения требует вычисления и хранения большого числа коэффициентов.
Vautard и Legras предложили свой метод для конечномерных моделей атмосферы. В этом случае можно использовать строгие результаты теории инвариантных многообразий для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [36, 126]. Однако доказательство существования или отсутствия медленного многообразия для простейшей пятимерной модели, предложенной Лоренцем [177], или другой более сложной конечномерной модели не может быть аргументом при рассмотрении бесконечномерных моделей [159]. Поэтому, естественно, начать такое рассмотрение с прямого применения формализма инвариантного многообразия к уравнениям мелкой воды на /-плоскости.
Другой метод построения сбалансированной динамики, аналогичный методу инвариантного многообразия используемый в данной, был также рассмотрен в работе [225]. Авторы этой работы определяли медленное многообразие для уравнений мелкой воды для другой медленной переменной. Они использовали в качестве медленной переменной потенциальный вихрь.
Данный параграф посвящен построению уравнений для явного описания медленного многообразия и выводу уравнений движения на, нем.
Хорошо известно из классической гидродинамики, что если идеальное баротрошюе течение было потенциальным в начальный момент времени, то оно останется таким все последующее время. Для вихревых течений это не так, поскольку течение, вихревое в начальный момент времени, порождает потенциальную часть течения в следующие моменты времени.
Для уравнений мелкой воды с учетом силы Кориолиса аналогом потенциальных и вихревых течений являются движения,описывающие инерционно-гравитационные (— быстрая мода) и Россби (= медленная мода) волны, соответственно. Быстрые движения остаются быстрыми, если в начальный момент времени медленные движения отсутствуют [1]. Для медленных это не так. Причиной этого является наличие в уравнениях для быстрой моды нелинейных членов зависящих только от медленной моды и связывающих быстрые и медленные моды. В настоящей работе проводится замена переменных, в которых связывающие члены отсутствуют. Это позволяет найти медленное многообразие и уравнения движения на нем. Такой метод называется методом инвариантного или интегрального многообразия [126].
Аналитическое описания для медленного многообразия позволяет решить задачу инициализации. При динамической инициализации искомые поля получаются в виде ряда с известными коэффициентами от амплитуды медленной моды. Первый член этого ряда совпадает с главным членом решения, полученного при инициализации по Махен-хауэру. При статической инициализации для определения поля скорости по геопотенциалу необходимо решать уравнение с большой степенью нелинейности. Линейная часть этого уравнения совпадает с линейной частью уравнения баланса, а квадратичные члены переходят в соответствующие члены уравнения баланса лишь для масштабов много меньших радиуса Россби. В подходящих переменных квадратичные члены полученного уравнения и уравнения баланса совпадают по форме.
Инерционно-гравитационные волны в средних широтах
Система уравнений мелкой воды описывает два типа движений, поэтому на первом этапе можно проводить исследование каждого типа движения по отдельности. Медленные волновые движения рассматривались во многих работах, начиная с работ Г.Россби, а быстрым не уделялось столько внимания, хотя в последнее время выдвигались предположения, что быстрые волновые движения - инерционно-гравитационные волны играют основную роль в мезомасштабной турбулентности [140, 175, 189, 223]. Настоящий параграф посвящен построению гамильтоновых уравнений для описания инерционно-гравитационных волн.
Потенциальный вихрь q — (/ + vx — uy)/h является лагранжевым инвариантом системы уравнений мелкой воды. С ним обычно связывают медленные движения, поскольку потенциальный вихрь переносится со скоростью перемещения частиц жидкости, которая много меньше фазовой скорости инерционно-гравитационных волн [80, 81]. Таким образом, чтобы исключить медленные процессы связанные с изменением потенциального вихря, положим q = go = const. Очевидно, что это условие сохраняется во времени. В этом случа,е скобка Пуассона для уравнений мелкой воды становится "постоянной", т.е. не зависит от динамических переменных u, v и h. Как известно [88], постоянную скобку Пуассона можно привести к каноническому виду со следующей структурной матрицей где / - единичная матрица порядка п, а общий порядок J равен 2п+т. В случае уравнений мелкой воды п — 1 и т = 1. Покажем как перейти к канонической скобки Пуассона при ограничении q — const.
Перейдём в системе уравнений мелкой воды к новым переменным h, ip и q. Здесь р - потенциал вектора скорости. Структурная матрица скобки Пуассона в результате такой замены примет вид
Положим в получившейся структурной матрице q — qQ — const, в результате этого все дифференциальные операторы в матрице J тождественно занулятся и мы получим
Таким образом на многообразии определяемом условием q = const переменные h и ip образуют каноническую сопряженную пару и уравнения движения для инерционно-гравитационных волн принимают простую гамильтоновую форму
Следует отметить также, что в этом переходе не был использован конкретный вид гамильтониана. Для того чтобы вычислить гамильтониан для инерционно-гравитационных воли нужно выразить старые переменные и и v через новые канонические переменные h и р. Для этого достаточно записать функцию тока ip через h и р. Это выражение даёт связь
Окончательно, компоненты вектора скорости вычисляются по значениям потенциала ip и функции тока
Итак получена каноническая система описывающая инерционно-гравитационные волны. Тем самым частная задача исследования инерционно-гравитационных волн сводится к общей задаче исследования волновой гамильтоновой системы, к которой применимы все гамильтоновые методы. Рассмотрим удобный для аналитического решения случай, когда постоянны значения параметра Кориолиса / = const, средней глубины атмосферы ho — const и величина потенциального вихря равна q0 = ///to- Перейдём к новой переменной г) = (h — Ю/ho. Тогда соотношения (2.1) примут наиболее простой вид [1]
Будем рассматривать только этот случай.
Первый шаг исследования любой гамильтоновой системы - построение нормальных переменных. Введём нормальные переменные для системы описывающей инерционно-гравитационные волны.
Распишем гамильтониан Я по степеням нелинейности, тогда получим Я = Яг + Яз, где Н2 = \ f[u2 + v2 + г,2] dxdy = /" [(v?x - /Д-Ч)2 + { РУ + /Д Ч)2 + П2] dxdy, Яз = jri[u2 + v2} dxdy =1 IV [{ Px - /Д-Ч)2 + {Ц у + /Д Ч)2] dxdy. По линейным уравнениям, описываемых квадратичным гамильтонианом Я2 , стандартным образом построим нормальные переменные 6 , которые задаются формулами \/8щ = f у/Щ7к (he + blk) eikrdk, (2.3) уДтгір =-i f LOk/k2 (6k - b _k) eikrdk, (2.4) где ouk = \//2 \- c2k2 - дисперсионный закон для инерционно-гравитационных волн. В этих переменных уравнения движения принимают вид 1 dt - 5bk {2-Ь) и квадратичный гамильтониан имеет наиболее простую форму Я2= fcok\bk\2dk. Вычислим кубический гамильтониан Яз в переменных bk. Используя (2.3), получим замену k exujk - ifey еуик + ifex , % = -7==, uk , vk = , (2.6) \/2.uik \/2u;k v2wk где е — (ех, еу) = к/ к. Используя эти выражения, получим матричные коэффициенты для инерционно-гравитационных волн
Однако полученная гамильтоновая форма не является окончательной. Дело в том, что в слабо-нелинейных системах основную роль играют резонансные процессы, а трёх-волновые процессы описываемые кубическим гамильтонианом запрещены, поскольку невозможно удовлетворить тождеству u(ki + k2) = w(ki) + w(k2).
Таким образом, поскольку закон дисперсии инерционно-гравитационных волн является нераспадным, необходимо рассматривать четырех-волновые процессы (j(k1) + u;(k2) = a;(k3(x;(k1) + a;(k3))+w(k4), k1 + k2 = k3 + k4, (2.9) которые разрешены всегда. Это означает, что четырех-волновой гамильтониан Щ , возникает из трех-волнового Я3 во втором порядке по теории возмущений.
Квази-тождественное преобразование
В рассмотренной системе, высокочастотная (переменная) часть дисперсии может быть намного больше, чем средняя (постоянная) дисперсия. Отношение длины дисперсионной карты к периоду решения берется в качестве одного из малых параметров. Второй малый параметр соответствует интегралу по переменной части дисперсии. Для усредненной динамики, предлагается процедура основанная на методе Боголюбова. В результате, получаются асимптотическое уравнение в главном порядке вместе добавками более высокого порядка. Уравнение действительно для всех комбинаций малых параметров. Явные формы для коэффициентов представлены для двух-ступенчатой дисперсионной карты с экспоненциальной функцией потерь. Формы для светлых и темных солитонов обсуждаются. Результаты сравниваются с результатами, полученными другими методами усреднения, а именно, много-масштабным методом и методом основанном на преобразованиях Ли.
Распространение импульсов в оптических волокнах, в общих случаях, моделируется с помощью нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) [33, 149]. Дисперсионное управление является новым методом в высокоскоростных линиях передачи информации. Дисперсионно-управляемые передающие системы используют периодическое чередование кусков оптического волокна с положительным и отрицательным коэффициентами дисперсии, соответственно. Идея дисперсионного управления состоит в минимизации средней дисперсии передающей линии. Дисперсионное управление находит свое математическое; выражение в периодичности коэффициентов нелинейного уравнения Шредингера. Обычно, интересуются динамикой импульсов на больших расстояния, когда усредненные вариации медленно меняются по сравнению с вариациями дисперсии. В этой ситуации могут быть применены методы усреднения.
Один из подходов примененных к этой проблеме является метод ведущего центра основанный на преобразованиях Ли [149, 146]. В начале исследования были рассмотрены только малые вариации дисперсии. Затем, была развита пересмотренная теория ведущего центра [157], однако без детального анализа различных пределов на коэффициенты. Другой подход был использован в работах [229, 230, 231]. В них был применен метод многих масштабов для изучения мощности ДУ солитонов. Добавки высших порядков к светлому солитону были получены аналитически. В перечисленных работа, вариация дисперсии могла быть порядка величины средней дисперсии. Также была применена теория нормальных форм для исключения членов неважных при распространении сигналов на длинные расстояния. Это исключение отражает тот факт, что усредненные уравнения не являются гамильтоновыми и нелинейные члены зависят от фазы. Окончательные уравнения для усредненной динамики содержат члены пятой степени по нелинейности. Предположение, которое было сделано, состоит в том, что средняя дисперсия имеет нулевой порядок. Метод многих масштабов был использован также в работе [108] для уравнений в Фурье-пространстве. Преобразование Фурье позволяет легко применить преобразование Флоке-Ляпунова для исключения большой переменной части дисперсии. В результате появляется так называемое уравнение Габитова-Турицына [138]. В этом контексте важна также работа [207], в которой усредненные уравнения были получены используя разложение Фурье для периодических коэффициентов, Однако в этой работе также было предположено, что переменная часть дисперсии мала.
В настоящем параграфе, будет представлен новый метод усреднения и будет дано сравнение полученных результатов с другими известными результатами найденных с помощью прямого или много-масштабного метода и техники преобразований Ли. Настоящий метод является более систематическим, чем указанные выше методы. Новый метод, предложенный здесь, основан на преобразовании Боголюбова. Это преобразование очень удобно применять для практических задач, но перед этим необходимо привести исходные уравнения к стандартной форме для правильного использования преобразования. Результаты , полученные всеми известными методами, будут сравниваться на примере НУШ с быстро меняющимися коэффициентами.
Главная цель данного параграфа двояка. Во-первых, требуется найти усредненные; уравнения, которые имеют максимальную область применимости для вариации всех возможных параметров. Во-вторых, требуется вычислить добавки к фундаментальному со-литонному решению с максимальной детализацией. Далее в следующем пункте 4.2.1 будет представлена исследуемая модель, в пункте 4.2.1 будет дано определение преобразования Боголюбова. Явные формулы для усредненных уравнений приведены в пункте 4.2.2 и солитонные решения в 4.2.3.
