Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Динамическая модель рискового страхования, с периодом накопления.
1.1. Динамическая модель рискового страхования с постоянным периодом накопления 22
1.2. Неравенство, аналогичное неравенству Лундберга (Оценка сверху вероятности разорения как функция от начального капитала) 31
1.3. Асимптотическое неравенство Лундберга 38
1.4. Динамическая модель рискового страхования со случайной величиной периода накопления 39
1.5. Динамическая модель рискового страхования с дискретным временем периода накопления 40
1.6. Динамическая модель рискового страхования с непрерывным временем периода накопления 51
1.7. Примеры численных расчетов 59
1.8. Программный комплекс для оценки вероятности разорения страховой компании 61
Глава 2. Определение асимптотики вероятности неразорения с использованием распределения супремума приращения винеровского процесса на отрезке
2.1. Частный случай задачи нахождения асимптотики вероятности неразорения страховой компании 62
2.2. Распределение супремума приращения винеровского процесса на (0,1) 64
2.3. Совместное распределение максимума и минимума приращения винеровского моста 69
Глава 3. Моделирование капитала трех страховых компаний
3.1. Асимптотика вероятности непересечения трех «процессов риска 72
3.2. Вероятность нахождения одной броуновской траектории между двумя другими 74
Заключение 83
Библиографический список литературы
- Неравенство, аналогичное неравенству Лундберга (Оценка сверху вероятности разорения как функция от начального капитала)
- Динамическая модель рискового страхования с дискретным временем периода накопления
- Распределение супремума приращения винеровского процесса на (0,1)
- Вероятность нахождения одной броуновской траектории между двумя другими
Введение к работе
В настоящее время математическое моделирование все глубже проникает во все сферы человеческой деятельности, в том числе и в страхование. Расширяется область область применимости результатов, полученных в страховой математике. Плоды теоретических исследований вызывают все большую заинтересованность практиков страхования. А в каждой крупной страховой компании есть штатные актуарии. Изменяется значимость страховой математики: в странах с развитой рыночной экономикой страхование является одним из стратегических секторов экономики. Уровень развития страхования может служить одним из показателей развития экономики в целом. Например, рост платежеспособного спроса на страхование не может заметно обгонять рост экономики. Ведущие страховые компании становятся крупными инвесторами на рынке.
Страхование обеспечивает социально-экономическую стабильность в обществе, так как гарантирует собственникам возмещение ущерба при гибели или повреждении их имущества и потере дохода, что играет важную роль для России.
Все это обуславливает актуальность и модность исследований в страховой математике.
К старейшим формам страхования можно отнести контракты в морских рисковых предприятиях, использованных вавилонянами, относящихся к периоду 3 тысячи лет до н.э. Позже практика подобных контрактов существовала у финикийцев, греков, римлян, индусов. В Средневековье, в XV-XVI веках, в период активных морских путешествий европейцы объединили понятия "общий фонд"и "риск". Владельцы судов и грузов ввели понятие распределения общего риска. Появились люди, которые за определенную плату соглашались компенсировать потери
владельцам судов или грузов, если данный корабль потерпит неудачу во время плавания. В 1584 году в Марселе был выдан первый страховой полис, обеспечивающий защиту морского груза, провозимого из Марселя в Триполи. В 1601 году, в Англии был создан первый государственный документ - Парламентский Акт, регулирующий механизмы страхования -"Акт, касающийся случаев страхования среди торговцев".
В 1688 году, в Лондоне открылась кофейная, в которой страховщики собирались для обсуждения своих профессиональных проблем. Кофейня стала неким прототипом страхового рынка, а её владелец Эдвард Ллойд - родоначальником страховых компаний. Дальнейшее бурное развитие страхового* бизнеса было обусловлено развитием банковского дела и крупного промышленного производства.
Страхование в России на государственном уровне развивалось ещё со времён Екатерины И. В начале XIX века появляется страхование как вид коммерции. Первые страховые компании - "Саламандра", "Россия", "Российское общество" и т. д. специализируются на страховании от огня. Вскоре появляются такие виды страхования как страхование имущества, страхование грузов, страхование от несчастного случая, долгосрочное страхование жизни.
Предполагается, что первая модель страхования была построена еще в 1834 г. Т.Барруа (Т. Barrois) [43], а современные модели страхования восходят к Ф. Лундбергу. (F. Lundberg, 1903).
Основные задачи, решаемые в страховой математике:
оценка оптимальной страховой премии, обеспечивающей высокую вероятность неразорения в течении фиксированного интервала времени (в том числе и с выплатой дивидендов);
нахождение оценок вероятности разорения функцией от начального капитала компании (неравенство Лундберга);
задачи, связанные с перестрахованием.
В настоящее время появляются работы, находящиеся на пересечении
финансовой и страховой математики, и можно прогнозировать увеличение числа таких работ в ближайшем будущем.
Актуальность работы
В большинстве работ, посвященных страховой математике, результаты получены для моделей с, как правило, детерминированным процессом поступления страховых премий, иногда с постоянной скоростью, как в классической модели Крамера-Лундберга. Для моделей страхования, в которых процесс притока капитала является случайным, используется другое сильное допущение - фактическая независимость процесса поступления страховых премий и процесса выплат по искам. Такой подход объясняется подавляюще большим числом полисов по сравнению с числом исков. Подобная модель адекватна только в случаях, когда страховой рынок является развитым и стабильным. Во многих случаях это не так, в частности, * страховой рынок России нельзя считать устоявшимся.
Решение задачи нахождения вероятности неразорения страховой компании для представленной в работе динамической модели рисковог.о страхования, с разделением по времени моментов получения премий и моментов по страховым требованиям, при неограниченном росте среднего числа заключенных договоров страхования (полисов) в единицу времени является переходом к качественно новым моделям, позволяющим более адекватно описывать деятельность страховой компании.
В страховой и финансовой математике существуют задачи, решение которых сводится к нахождению экстремумов процессов, изучаемых в теории вероятностей. Чаще всего это гауссовские, пуассоновские и сложпопуассоновские процессы. Во второй главе решается задача поиска вероятности неразорения филиала страховой компании в динамической модели при неограниченном росте среднего числа заключенных договоров страхования (полисов) в единицу времени. Данная задача была решена новым методом - была сведена к
задаче нахождения вероятности превышения фиксированного уровня максимумом приращения винеровского процесса. Особую ценность представляет возможность применения данного метода при решении многих других задач страховой и финансовой математики.
В третьей главе решается следующая задача: найти вероятность, что в течение всего заданного интервала времени при неограниченном росте среднего числа проданных компаниями полисов за единицу времени, капитал одной страховой компании будет оставаться больше капитала второй и меньше капитала третей. Все компании имеют одинаковое распределение случайных моментов времени поступления страховых премий, размеров исков, промежутков времени с момента заключения договора до момента выплаты по иску.
Решение такой задачи позволит оценить устойчивости рынка, на котором работают страховые компании.
Эта задача была сведена к задаче определения вероятности нахождения одной винеровской траектории между двумя другими. Данный метод также может использоваться как эффективный инструмент для решения разнообразных задач, возникающих в страховой и финансовой математике. В частности, когда при моделировании рынка ценных бумаг используется винеровский процесс Wt. Такие модели описаны в [47].
Объект исследования
Объектом исследования в данной работе является капитал страховой фирмы при рисковом страховании. В работе рассматривается ряд динамических моделей рискового страхования, описывающих поведение капитала страховой компании. Процесс изменения размера капитала страховой компании можно назвать процессом риска. [37, стр.83].
В первой главе рассматривается следующий процесс риска. Начальная величина фонда Rq = const. Предполагается, что число заключенных договоров v{t) есть пуассоновский процесс с параметром
Л > 0 (т.е. Л имеет смысл среднего числа заключенных договоров в единицу времени).
В работе применяется факторизационная модель С. Я. Шоргина [45]. В рамках этой модели предполагается, что все договора страхования являются однотипными. Тогда иски Y% - независимые, одинаково распределенные случайные величины, допускающие представление Yk = SXk,k = 1,2,..., где S = const - страховая сумма, Yk < S. Относительные ущербы Xk - независимые одинаково распределенные случайные величины, EXk = х, DX^ = S2.
Одинаковые по всем договорам страховые премии Z, поступающие в моменты времени U, соответственно, могут быть представлены как Z — Sz, z - страховая ставка.
После. заключения договора страхования компания откладывает часть страховой премии в размере ESXi = Sx в резерв. Считаем, что страховая компания не может распоряжаться средствами резерва. В момент выплаты по иску отложенные с договора деньги возвращаются из резерва. Время с момента поступления tk по к-иу договору страхования первой (и единственной) страховой премии и до момента выплаты по иску здесь и далее будем называть период накопления 7.
Капитал страховой фирмы в момент времени t Є (О, Т] в модели представляется в виде
КО R(t) = Ro + v{t)S(z -x) + J2S(x- Xk)l{tk + тк< *}.
В 1.1, 1.2 и 1.3 задается динамическая модель рискового страхования с одинаковым для всех полисов детерминированным временем периода накоплений: 7 = r=const (модель 1).
В 1.4 рассматривается обобщение модели 1, в рамках которого снимается требование т =const (модель 2).
В 1.5 построена динамическая модель рискового страхования со случайными, одинаково распределенными периодами накоплений Тк,
имеющими дискретное распределение: пусть сц, г = 1,2, ...,N -
уПОрЯДОЧеННЫе ВОЗМОЖНЫе ЗНачеНИЯ Tjfc. А = а^ > o/v-i > ... > а\ = О,
P(?fc = a,-) = pi г = 1,2, ... , JV (модель 3).
В 1.6. построена динамическая модель рискового страхования со случайными, одинаково распределенными периодами накопления Тк, имеющими непрерывное распределение (модель 4).
Во второй главе рассматривается следующая модель: иски по договорам Y{, і = 1,2,..., - независимые одинаково распределенные случайные' величины, ЕУ$ = у. Филиал страховой компании производит выплаты по искам, а через некоторый интервал времени г = const компания компенсирует эти потери. При t (О, Т] капитал филиала равен
i/(0 v{t-r) i/(0
R(t) = Ro + Z(Yi-y)- Е (Yi-y) = Ro+ (Yi-y).
t=0 j=0 i=u(t-r)+l
Ro = const - начальная величина фонда (модель 5).
В третьей главе объектом исследования является набор из трех процессов, являющихся моделями из 1.1: Капитал г-ой страховой компании Rfi(t), і = 1,2,3, задается уравнением
R(t) = 4 + v{4)S(z -x)+j;s{x- Xjp)l{tf + rt] < t].
k=i
Количество заключенных договоров v^l\t) - пуассоновский процесс с
параметром Л > 0. Относительные ущербы Х% , і = 1,2,3,/ = 1,2,...,
- независимые, одинаково распределенные случайные величины,
EXJp = x,T>xf = S2. Начальный капитал 4 = Ro\x) (модель 6).
Предмет исследования
Предметом исследования в данной работе является процесс риска.
Во-первых, для разных моделей проводится оценивание рисковых ситуаций. Иначе говоря, определяется вероятность разорения компании (пересечение процессом нулевого уровня). Во-вторых проводится сравнение нескольких процессов риска с разными начальными уровнями.
Определяется вероятность пересечения двух процессов с разными начальными условиями.
Эти вероятности рассматриваются при неограниченном росте среднего числа заключенных договоров за единицу времени.
Цель и задачи работы
Нахождение оценки вероятности неразорения страховой компании до заданного момента времени для предложенной в работе
динамической модели рискового страхования с периодами накопления при неограниченном росте среднего числа заключенных договоров страхования (полисов) в единицу времени.
Разработка аналитических методов для решения задачи оценки вероятности неразорения в предложенной модели рискового страхования при неограниченном росте среднего числа заключенных договоров страхования (полисов) в единицу времени.
Разработка программных средств имитационного моделирования для динамической модели рискового страхования с периодами накопления.
Проведение вычислительных расчетов вероятности разорения для предложенной в работе новой динамической модели страхования.
Структура работы
Работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложений, библиографического списка.
В первой главе рассматривается динамическая модель рискового страхования, когда договора заключаются в случайные моменты времени, распределенные по закону Пуассона, страховые премии по всех договорам одинаковы и равны константе. Т.е. приток капитала есть сложнопуассоповский процесс. Срок действия договора - до момента выплаты или до теоретического максимума периода накопления. В параграфах 1.1-1.3 периоды накопления по договорам - постоянные и
одинаковые по всем договорам промежутки времени. В параграфах 1.'5
и 1.6 это независимые, одинаково распределенные случайные величины,
имеющие, соответственно, дискретное и непрерывное распределение.
Во второй главе решается задача нахождения вероятности
неразорения филиала страховой компании для динамической модели
методом сведения задачи к поиску распределения максимума приращения
винеровского процесса. і В параграфе 2.1 приводится постановка задачи и в этом же
параграфе данная задача сведена к задаче нахождения распределения
случайной величины супремума приращения винеровского процесса на
отрезке, в параграфе 2.2 найдено это распределение. В параграфе 2.3
дается обобщение результатов, полученных в параграфе 2.2.
В третьей главе рассматривается задача о вероятности сохранения взаимного расположения при упорядочивании по возрастанию по параметру текущего размера капитала для трех страховых компаний в течение заданного времени при неограниченном росте среднего числа проданных компаниями полисов за единицу времени методом сведения к задаче поиска вероятности непересечения трех винеровских траекторий.
В параграфе 3.1 дана постановка задачи и в этом же параграфе данная задача сведена к задаче нахождения вероятности нахождения одной броуновской траектории между двумя другими. В параграфе 3.2 приводится решение последней задачи.
Литературный обзор
Классификации механизмов страхования
Страхование - это договор, по которому одна сторона (страхователь) за определенную денежную плату (премию) покупает у второй стороны (страховщика) услугу, состоящую в том, что страховщик возместит возможные потери страхователя.
По классификации, данной в обзорной статье В.И. Ротаря, В.Е. Бенинга [40] и кратко приведенной ниже, механизмы страхования относятся к механизмам перераспределения риска.
Последние по той же классификации включают в себя также и механизмы резервирования. В случае резервирования создаются резервы (в деньгах, материальных ресурсах и т.п.) на случай возникновения ущерба или колебания в доходах. Основная задача состоит в поиске оптимального соотношения между объемами резерва и потребления в каждый момент времени. Используются модели управления запасами и модели оптимальных стратегий потребления. К этому же типу механизмов следует отнести кредитование отдельной экономической единицы. В некотором смысле во всех перечисленных случаях происходит перераспределение риска по времени.
Страхование можно понимать как перераспределение риска между многими участниками экономического процесса. Такой вид стабилизации возможен лишь при наличии достаточно большого числа экономических единиц, функционирующих в условиях риска, и связан с перераспределением ущерба, возникающего в результате отклонений случайных производственных показателей от их средних значений. Как правило, указанный механизм предполагает предварительные взносы участников в тот или иной стабилизационный фонд.
Важным является то, что у большинства экономических единиц взносы пропадают - они служат лишь платой за уверенность в возмещении возможного ущерба. Реальной стабилизации суммарного
дохода производителей (или потребителей) не происходит - имеется лишь перераспределение ущерба немногих «неудачников» среди всех единиц в совокупности, что в конечном итоге приводит к «устойчивому существованию» системы в целом.
Сами по себе механизмы перераспределения риска не снижают вероятности появления рисковых ситуаций, а лишь перераспределяют ответственность за риск.
При формировании механизмов перераспределения риска осуществляется выбор между рядом возможностей. Вот некоторые из них:
Создание страховой организации, берущей на себя обязательство полного или частичного возмещения ущерба из средств, полученных в результате накопления страховых взносов.
Создание организации взаимного страхования. В этом случае возмещение ущерба происходит путем перераспределения страхового фонда. '
3. Особым макромеханизмом является перестрахованием, т.е.
перераспределение риска между страховыми организациями путем,
например, перепродажи обязательств на покрытие страховых исков или
на основе иных договоров между страховыми фирмами.
4. Использование опционов (options), т.е. долгосрочных договоров о
праве на покупку или продажу. Эти договоры заключаются в случае, когда
требуется гарантировать покупку или продажу по заранее обусловленной
цене. Они используются при продаже акций, облигаций, заключаются в
связи с использованием иностранной валюты и т.п.
Характеристики моделей страхования
Как описывается в [40], всякая модель страхования задается следующими элементами.
1. Описание случайных процессов поступления доходов или
возникновения ущерба системы в целом.
Определение целей отдельных единиц, что, как правило, сводится к определению функций полезностей этих экономических единиц.
Определение механизма стабилизации. Выше приводилось четыре таких механизма.
Описание механизма взаимодействия между страховым обществом (или страховщиком) и страхователями. Решение такой задачи приводит к описанию "рыночного"равновесия в соответствующей модели.
Среди моделей страхования различают модели страхования жизни и рисковые модели страхования. Использование вероятностных методов в страховании жизни может корректироваться наличием большого количества статистического материала, который концентрируется в таблицы продолжительности жизни. Описание таких таблиц можно найти в [37]. Для моделей страхования жизни основной задачей' является расчет оптимальной премии за полис с использованием таблиц продолжительности жизни. Примеры моделей страхования жизни приводится в работе [20].
Примеры моделей рискового страхования
В литературе по теории риска проводится следующая классификация моделей риска:
- статическая модель страхования (индивидуальная модель риска)
- если страховые премии собраны в момент формирования страхового
портфеля, срок действия всех полисов одинаковый;
- динамические модели страхования (коллективная модель риска)
- если договоры страхования заключаются страхователем в моменты
времени, образующие некоторый случайный процесс, каждый договор
может иметь собственный срок действия.
Статическая модель страхования
Пусть страховая компания с начальным капиталом S продала п страховых полисов. Страховые выплаты клиентам являются независимыми случайными величинами. Обозначим случайную величину выплат г'-му клиенту Y(,i — 1,2, ...,п, ее функцию распределения і*У4(ж),Е>і = М\.
Суммарные страховые выплаты Y = ^ Yi, с функцией распределения
х'=1
Fy(x). Положим ЕУ = М < со. Если компания продает полисы по цене Mi = М/п, то средняя прибыль равна нулю. На самом деле в дополнение к Мі в цену полиса включают дополнительную величину - нагрузку. Обозначим Li нагрузку, соответствующую і—му полису. Окончательно, перед началом страховых выплат компания имеет капитал
S+Y,Li + M = R + M. i=i
Величина R называется свободным резервом. Рисковая ситуация і.'
страховой компании характеризуется двумя элементами: R и Fy{x).
Можно выделить две проблемы, связанные с данной моделью:
страховая компания так должна определить свою политику и нагрузку, чтобы риск был в том или ином смысле "минимальным"или отклонения от оптимальной политики причиняли как можно меньше неудобств;
компания должна проанализировать данную рисковую ситуацию и попытаться ее «оптимизировать» с помощью некоторых механизмов перестрахования.
Пусть Y = R + М — X - конечный капитал страховой компании и G(y) - функция распределения случайной величины У. Тогда G{y) = 1 при R + М < у к G(y) = 1 - F(R + М - у) при R + М > у. Между функцией распределения G(y) и рисковыми ситуациями (i?, F(x)) существует взаимно однозначное соответствие.
Среди работ, связанных со статическими моделями страхования, можно отметить [43].
Динамические модели страхования
Фактически, статическая модель описывает состояние страховой компании за единичный отрезок времени. Динамические модели страхования более адекватно описывают процесс деятельности страховой компании. Эти модели можно разделить на модели с непрерывным временем и модели с дискретным временем.
Динамические модели страхования с дискретным временем
Предполагается, что Rq > 0 - начальный капитал компании. Случайное требование на возмещение ущерба в момент времени і обозначим'Zj,і — 1,2,...,iV - независимые неотрицательные одинаково распределенные случайные величины, EZ; = ц.
Страховой взнос в каждый момент времени имеет вид (1 -f &)fi. Величина 9 > 0 считается малой.
Текущий капитал страховой компании R(t) к моменту времени N есть случайная величина
RN = Ro + {l + 0)nN-,lZk.
к=1
Вероятность разорения компании в зависимости от начального капитала страховой компании и:
i/>N(u) = l-P{Ri>0,i=l,...,N}.
В общем случае ^v(w), в принципе, не выражается в элементарных функциях. Однако асимптотическая теория хорошо развита. (Например при N -> со.) В частности выведена оценка для вероятности разорения:
Фм(и) < ехр{—ки},
где к - решение трансцендентного уравнения L(k) = 1, a L(x) -преобразование Лапласа случайной величины (1 + 6)ц — Z\.
Динамические модели страхования с непрерывным временем.
Первой работой, в которой была построена математическая модель страхования, была работа основоположника теории коллективного риска Филиппа Лундберга [14]. Позже Харальд Крамер в работах [3-4],[26] сформулировал более четкие математические формулировки, определил основные понятия теории риска и получил ряд важных результатов. Во многих современных работах используется классическая модель Крамера - Лундберга и ее обобщения.
Эволюции капитала страховой компании R(t) в моменты времени t описываются соотношением
u(t)
R{t) = Ro + ct-Y,Yk,
k=o
в котором < поступление страховых премий является детерминированным линейным по времени процессом, а число выплат по искам v(t) есть пуассоновский процесс с параметром Л > 0. Выплаты 1& - одинаково распределенные случайные величины, не зависящие от числа исков и независимые между собой. Rq - начальный капитал компании. Скорость поступления премий с есть величина постоянная на протяжении всего времени.
Обозначим как Gy функцию распределения случайной величины У. Из условия «средней безубыточности» следует
/ „(0
d - Yt I > 0.
\ fc=i
Соответственно, скорость поступления премий можно записать в следующем виде:
с = (1 + 0)\/л,
где /і = ЕУі, а в > 0 - коэффициент нагрузки. Этот коэффициент обеспечивает компании необходимую вероятность неразорения.
Для процесса Крамера - Лундберга были получены формулы, позволяющие приближенно оценить вероятность разорения страховой компании ф{и) = Р (R(u, t) < 0 t > 0) в зависимости от начального капитала страховой компании и:
ф{и) < e~ku,
(неравенство Лундберга)
\imexp{ku}rf(u) = /і 6{h'(k) — с/Л),
< (аппроксимация Крамера-Лундберга) где
h{k) = Jexp{kz}dF(z)-l, о
к - коэффициент Лундберга, определяемый из уравнения ск — Xh(k).
Обобщением предыдущей модели является процесс с переменной скоростью поступления страховых премий.
Это классический процесс Крамера - Лундберга, где скорость поступления премий с = c(t) есть функция от времени. Например
к ' c(t) = at + btk,
где a, 6, к -постоянные.
Другим примером может служить модель, со скорость поступления премий, зависящей от капитала компании.
Из предположения, что большее доверие у клиента вызывает страховая компания с большим капиталом, следует, что скорость поступления премий должна быть функцией от текущего размера капитала страховой компании:
, " * v(t)
R(t) = RQ+lc(R(z))dz-Y,yi-
о *=i
Подобные модели рассмотрены в работах [7], [15]. Вариантом реализации подобной модели может служить многоуровневая модель.
c(R(z)) =
Co, 0 < z < R1 Ch Ri
Ck-i Rk-i < z < oo
Следующий вариант - модель с процентной ставкой, когда капитал страховой фирмы пополняется со скоростью
c(R{z)) = co + SR(z).
Для случая, когда иски имеют показательное распределение, получены точные аналитические выражения вероятности распределения.
Еще один вариант с процессом притока капитала, являющимся кусочно-непрерывной переменной функцией
cW = Wi + CNt+i{t - tNi),
г=1
где Т{ - момент предъявления г-го иска, сг- - скорость поступления страховых премий между г — 1-ыи и г—тым иском, стг- = 7] — 2]_1; Nt - число исков к моменту t.
Приток капитала в страховую фирму в большинстве работ является детерминированным, а скорость поступления постоянна, что объясняется значительным превышением числа поступающих премий над числом иском, и тем самым, при усреднении процесс поступления премий можно апрЪксимировать линейной функцией. В действительности процесс поступления премий является случайным процессом.
Модель со случайными моментами поступления премий и случайными величинами размеров страховых премий.
Пусть премии, собранные к моменту времени t, равны d + ]Г Zi,
г=1
с = const. Случайные величины Z^i = 1,2,..., и Yj~,k = 1,2,... - независимы между собой. Выплаты по к-му иску Т&. Тогда капитал
страховой фирмы равен
г'=1 к=\
В данной модели было введено ограничение - пуассоновские процессы щ и Mt с параметрами соответственно Лі и Л предполагаются независимыми.
Обобщением последней модели будет модель с неоднородными процессами Пуассона для описания поступления премий и выплат по искам.
Здесь параметры Пуассоновского процессов меняется со временем: Л = A(t),Ai = Xi(t). Подобная модель позволяет описывать, например, сезонные изменения интенсивности подачи исков или тенденции изменения со временем интенсивности заключения договоров.
В конце обзора приведем упрощенную модель, в рамках которой процесс R(t) представляют в виде
R(t) = at + 6W(t),
где а, 5 > О, a W(t) - стандартный виперовский процесс. В этом случае справедливо равенство
ф(щ t) = 1 - Ф ((и + at^Vt)-1) +
+ Ф (-(и + ^)(<5v^)_1) ехр{-2сшГ2},
где Ф(х) - функция распределения нормального закона.
Модели могут быть осложнены условиями возможностей выплат дивидендов, особенностями вероятностного распределения случайных величин размеров ущербов. Отдельный класс задач - задачи на перестрахование.
Проблеме нахождения вероятности разорения для различных процессов риска уделено внимание в большом количестве работ, среди которых выделим следующие: [2], [6], [Ю]-[13], [17], [22],[27],[38], [48]-[50],[51].
Новизна исследования:
Рассматриваемая модель страхования отличается от классических моделей, рассмотренных выше, не только нелинейностью процесса притока капитала в страховую фирму. Главное отличие заключается в том, что капитал страховой фирмы не является мартингалом или марковским процессом. Другая особенность - определение процесса риска не как сложнопуассоновского, а как процесса, чье распределение подчиняется процессу притока капитала.
Методы, использованные для решения задач во второй и третьей главах, ранее не применялись. Эти методы представляют интерес с точки зрения теории случайных процессов как новые результаты, полученные в данной области.
Неравенство, аналогичное неравенству Лундберга (Оценка сверху вероятности разорения как функция от начального капитала)
Рассмотрим модель страхования, отличающуюся от рассмотренной в параграфе 1.1 условием случайности периода накопления т. О г Т. Будем обозначать R(t) при г как R(t,r). В этом случае нас интересует страховая ставка z — z(A), которая удовлетворяет условиям (a) z x, (b)J(T) = p(mmH(t,r) o) Q. Предположим, что т - дискретная случайная величина, принимающая значения В этом случае Р ( min R(t, г) о] = Е1 Гmm R(t, г) о] = = Е 1 (minfifi,хк) о) l(r = хк) = = ЕР (шшЯ( , ) О) P(r = хк). Тогда для непрерывной случайной величины т, Р (mm R(t,т) о) = / Р (min,Д( ,яг) о) prM fc, где рт{х) - плотность распределения вероятностей для случайной величины т.
Рассмотрим модель страхования, отличающуюся от рассмотренной в параграфе 1.1 отсутствием условия равенства между собой периодов накопления т&. Здесь т к — l,2,..v(t) - независимые, одинаково распределенные случайные величины с дискретным распределением. Максимально возможное значение 7 равно А, N - число возможных значений, которые могут приниматься периодами накопления, Р(г = a i) = Pi- г = 1,2, ... , JV, a/v одт «о Как и в предыдущей модели предполагается создание резерва. В момент страхования средства в размере средней выплаты изымаются из капитала страховой фирмы, а возвращаются уже в момент выплаты по иску. Тогда капитал страховой фирмы в момент времени t Є (О, Т] в этой модели представляется в виде u(t-aN) R{t) = R0 + v(t)S{z-x) + S(x-Xk)+ k=l і/(і-алг_і) v{t \) + S(ar- )1 -1 + ...+ E S(x-Xk)lkti, =1 fc=l где lk,i — 1{тк = щ}, 1{A} - индикатор события А. Иначе говоря, это индикатор события платежа.
Условия (а) и (Ь) допустимости страховой ставки z остаются прежними. Обозначим J = Р ( min R(t) 0 ] Q = 0.95. Надо определить асимптотики вероятности J неразорения страховой фирмы при Л - со. v{t+s) Введем функцию Xv(t)(s) = Е Ь k=v{t) Лемма 4. В сделанных предположениях L— слабо сходится к (W(t + s) - W(t)) при А — со. Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 2. Обозначим 82 = D(X{). Теорема 2. Пусть z = 2(A), RQ = RQ(X) и существует и конечен Я, РОСС! г.:СКАЯ ГО СУГ1- . PG i lim ——7= = г О, А- оо 0 Тогда предельная вероятность неразорения страховой компании вычисляемся по формуле lim р{ min R(t) oj = A- = РІГ + Ct + aftWibCt - a ) 0, V Є (0,T], где Wk(.) независимые стандартные винеровские процессы, Wk{s) U 0, Vs 0,uak = y/P{n = ak}. Доказательство. Обозначим " J "( -« ) Фм( ) = 77Т (я- -)1( = ), fc = l, 2,..., JV.
В силу сделанных предположений эти случайные процессы не коррелированы и слабо сходятся к соответствующим гауссовским процессам akWk(t — ак) (как обобщенные пуассоновские процессы, [41]), следовательно
Последнее математическое ожидание есть математическое ожидание от суммы со слагаемыми вида (х — Хк)1(тк = ап)(х — Хр)1(тр — ап). Если р = к, то произведение индикаторов даст 0. Если нет, то слагаемые независимы, и мы получим Щх — Хк)Щх — Хр) = 0. В силу аналогичных соображений
Иски допускают представление Y{ = SX{, где Х\ є [0,1] -независимые одинаково распределенные случайные величины с EXj = x,DX{ = б2, S = const. Страховая премия по всем договорам единая и может быть представлена в виде Z = Sz, где z - страховая ставка.
После заключения договора страхования компания принуждается откладывать часть страховой премии в размере Sx в резерв. В момент выплаты по иску отложенные с договора деньги возвращаются из резерва. Это позволит компенсировать потери клиентов в случае разорения страховой компании.
Периоды накопления тк,к = 1,2,..v(t) - независимые, одинаково распределенные случайные величины с непрерывным распределением F(x).
Динамическая модель рискового страхования с дискретным временем периода накопления
Таким образом, можно подобрать последовательности чисел N = iV(A) —)-оо, такую, что А— -оо DX N А-юо Тогда EV2(t)— 0, что доказывает сходимость конечномерных А— оо распределений случайного процесса V(t) к соответствующим конечномерным распределениям случайного процесса Vo(t) = 0 при А - оо. , Итак, осталось показать плотность семейства распределений случайного процесса V(t), А 0 в -D[0,T] - пространстве Скорохода. Для этого достаточно показать, что для всех А 0 и всех s\ s2 S3 Е (V(Sl) - V(s2)f (V(s2) - V(s3))2 100 (53 - Si)2, (11) см [35]. Обозначим для всех t s At)S{i) = 1 (U + rijN s ti + ті) - 1 (U + ri)N t ti + Ti), І тогда ASuS2(i)AS2tS3{i) = 0,\/г, т.к. если из Si,S2,S3 две и более точки принадлежат интервалу, то один из сомножителей превращается в ноль благодаря разности единичных функций. Если же принадлежит только одна точки или ни одной, то опять один (или оба) из сомножителей превращается в ноль в силу определения индикатора. V(t) - V(s) = -і І-р [l(tk + rk,N t tk + n)-v A k=\ д \ oo x _ Xi. -1 (tk + rk N s tk + тк)] = -7= —г—дм(Ч V A k=i о Следовательно, левая часть неравенства (И) равна G = Е (V(Sl) - V(s2)f (V(s2) - V(s3))2 = 1 00 = iE E S2(fc)AL3M- (12) ( / k,m=\ к-фт Теперь принимая во внимание, что W s A2t s(i) 1 {U + n,N Є [і, в]) + l(U + ТІ Є [і, s]), что легко проверяется перебором всех возможных событий, мы можем оценить в (12) 2 00 G Т2 Е (1 {U + тг-д Є [sb s2]) + 1 fe + n Є [51, 52])) x X (1 {tj + Tj-лг Є [s2, s3]) + 1 fe + т,- Є [s2, s3])) (13)
Теперь оценим слагаемые в (13) при j і. Учитывая, что tj = U + t j_{, где t j_i имеет одинаковое распределение со случайной величиной І/_І И не зависит от нее, мы получаем Р {U + Ц Є [Sh 52], tj + Tj [52, «з]} = D D = 1 j-p{ti + xe [shS2],tj + y Є [s2,Si}} dFT.(x)dFTj{y) = 0 0 D D = J JP{Ue [si -x,s2-x], tj Є [s2 - y, 53 - у]} dFT (z) (0 (y) = D D ( s2-x /// 0 0 \ ei-x = // /1( ) вз-у-z J 1(8 0) ptj» ds Pt( )dz dFTi(x) dFTj{y) = S2-V-Z / ) гг_л ds dFTi(x)dFTi(y), тогда -//LC- TS- S2-V-Z T(J - 0 / 00 To Pft + ТЇ Є р1, 2], + Гу Є [t2,h]} (52-Sl)(s3-S2). Аналогично оцениваются и слагаемые в (13) в случае і j, тем самым мы получим (11).
Наконец, (11) и сходимость конечномерных распределений случайного процесса V(t) к конечномерным распределениям случайного процесса Vo(t) = 0 приводит по теореме Ю.В.Прохорова к сходимости v(t) ЛУ о. Теорема доказана. Замечание 3. Случайный процесс jW(dF(S),t-s), о очевидно, есть центрированный гауссовский процесс с независимыми приращениями, нулевым средним и дисперсией t V(t) = j{t-s)dF(s). о
Нетрудно видеть, что функция V(t) непрерывна и является строго возрастающей на интервале [to, со), где to = inf{ 0У() 0}. Ее можно было бы интерпретировать как некоторое «внутреннее» время страховой компании. Обозначим W (у/Щ =JW (dF(s),t-s), t = V(t), тогда t = Vі (t1). Ясно также, что предельная вероятность, полученная в теореме, может быть переписана как J = P{W{t ) г + CV \t ), W Є (0,V(T)]}, где W (f) - стандартный винеровский процесс, V 1 - обратная функция. Следовательно, вероятность J может быть получена по формуле Колмогорова, [41, стр.204]: J = w(0,0), где u(t, х) - решение уравнения u t + \ихх - в области t Є (0,7(Т)), х f(t) = r + CV l(t) с граничными условиями u(t,x)\x=f(t) = 0 при t Є (0,V(T)) и u(V(T),x) = 1 при х f(V(T)).
Пример. В случае, когда функция распределения F(x) сосредоточена в одной точке а\ Є (0,Т), предельная вероятность, полученная в теореме равна Р (г + Ct + a{l)W(t - oi) 0, Vi Є [аь Т]) предельной вероятности неразорения. Выше была рассмотрена наиболее интересна ситуация, когда мы полагаем, что RQ = гу/Х + 6, где г = const, Ь = const, г 0, Ъ 0. В иных случаях вероятность разорения будет равна 0 или 1. 1.7. Примеры численных расчетов Для Модели 1 в 1.1. предел вероятности разорения был получен равным P(W(ii) +C(ti + т) + г 0, V i Є (0, Т-т}) = = P(W(t) + Ct -r- Cr,Vt Є (0,Т - г]). Применяя формулу (1.2.4) (см. [18, стр.253]) получим, что последнее равно
Численный расчет по данной формуле был реализован в пакете Maple 9.5. Д иже, в таблицах 1 и 2, приведены примеры расчетов. 1) Вероятности разорения при различных значениях предела начального капитала г и предела разности страховой ставки и среднего относительного ущерба С Период накопления т:=1. Анализируемый интервал времени работы компании Т:=100.
Распределение супремума приращения винеровского процесса на (0,1)
На интервале [0, 1] случайным образом независимо и равномерно распределены п точек. Постоянная г Є [0,5,1], а переменная t Є (0,1 - г). Обозначим Nt - множество точек, лежащих на интервале (t,t + г), a Nt - их количество. Из наших предположений очевидно следует ENt = пт. Определим функцию Jn{x) с помощью уравнения Jn(x) = Р sup Nt nr + ху/п Ue(0,l-r) J
Идея нахождения распределения максимума приращения винеровского моста состоит в использовании функциональной ЦПТ и вытекающей из нее сходимости: Jn(x) = p{ sup ДЕ Л __ р I sup t(t) x\=f J(x), Ue(o,i-r) Vn J Ьє(од-г) J где ((і) - гауссовский процесе с E(s)(i) = (г - \t — s\)+ - r2, E() = 0. Здесь (x)+ = max(0,ar). Случайный процесс (t) распределен как случайный процесс приращений винеровского моста: (t) = Wo(t — г) — Wo(t), где Wo(t) - стандартный винеровский мост.
В приведенной ниже теореме найдено искомое распределение супремума приращения винеровского моста.
Теорема 4. Обозначим 5 = 2г — 1. Для всех г Є [0,5,1] J(x) = Пт Jn = Р{{6 х} U{6 х}}+ где з гауссовская случайная величина с нулевым средним и дисперсией 6(1 — 6), а гауссовский случайный вектор (і,г) имеет пулевое среднее и матрицу ковариации г(1-г) -(1-г)2 -(1-г)2 г(1-г)
Доказательство. Обозначим К\ - множество точек, лежащих в интервале (0,1—г), а К\ - их количество. Аналогичным образом определим К-2 и К2 для интервала (1 — г, г) и К$ и К$ для интервала (г, 1). Значение параметра t меняется 0 от до 1 — г. При этом для t = О, число Nt равно К\ + іГг. При увеличении t из множества Nt будут исключаться точки, принадлежащие множеству К\, и входить точки из К%. При і = 1 — г, когда промежуток (t, t + r) сдвинется в крайнее правое положение, Nt = К2 + К3. Можно заметить, что при фиксированных Kj множества Kj суть независимые повторные выборки из равномерных распределений на соответствующих отрезках. В дальнейшем будем обозначать М = пг+Ху/п и предполагать без ограничения общности, что М - целое число. Ясно, что J„ = P sup Nt M) = P{{K1 + K2 M}\J{K2 + K3 M}} + (іф,1-г) J М-І + EP№ = 4(E P {Ki = I\K2 = k} v% i)) = J ; + 4 (is) где V(k,l) = p\ sup Nt M\K2 = k,Ki=l,M l,M n-k-l\, [te(o,i-r) ) ивЕ суммирование ведется по всем 1:0 к + 1 М, 0 п- I М.
Рассмотрим всевозможные траектории случайного процесса Nt, t Є (0,1 — г), NQ = I, Ni-r = n — к — l. Это ступенчатые траектории, которые п — к раз в случайных точках смещаются на 1, причем I раз вниз и л — к — / раз вверх. Величина V(k, I) является вероятностью пересечения траекторией уровня М. Ввиду равновероятности траекторий вероятность V(k, I) можно представить как отношение числа траекторий, начинающихся в к + I, пересекающих уровень М или достигающих его, с финальным уровнем п—1, к числу всех траекторий из к+l в п—I. Последнее количество равно С1п_к.
По принципу зеркального отображения число траекторий, исходящих из к + /, пересекающих уровень М и вернувшихся на уровень п — I равно числу траекторий, начинающихся в / и к моменту 1 — г имеющих уровень 2М — (п — 1). Количество этих траекторий равно С Гкк. Следовательно, п-к QM-k V(k,l) = i п-к В силу равномерного распределения точек на интервале [0,1] Р {К2 = к} = Ск5к(1 - 5)п к.
Рассмотрим {К\ = 1\К2 = к}. Т.к. к точек попали в интервал (1 — г, г), то оставшиеся п—к точек будут равномерно распределены на двух интервалах равной длины 1 — г. Вероятность для любой из п — к точек попасть в К\ равна 1/2. Тогда P{Kl = i\K2 = k}=cin_kfy QJ ҐІІ tyk—n I /1 \n—k—l ґ/п-к
Учитывая ограничения на / и на к : п — М I М — к, а также последние два соотношения, получаем
Ясно, что случайный процесс () + го, где о - нормально распределенная случайная величина с 0-м средним и дисперсией 1, не зависящая от случайного процесса (), распределен так же как процесс приращений виперовского процесса: +ro = W(t+r) — W(t),t Є [0,1 —г], где W(t) - стандартный винеровский процесс.
Вероятность нахождения одной броуновской траектории между двумя другими
Пусть Wi(i),W2{t),W3(t), t Є [0,1] - суть независимые стандартные винеровские-процессы и обозначим для VCi 0, ( О и (ch с2) = Р {wi( ) - а иад W3{t) + C2, Vt Є [0,1]} - вероятность того, что три независимые броуновские частицы, стартующие одновременно из разных точек на прямой, не столкнутся в течение промежутка времени [0,1]. Вероятность нестолкновения двух частиц по известной классической формуле равна, [24] А (Си) = Р {Wi(t) - d W2(t), V є [0,1]} = sup W(t) =1-2 / e-y=dz
На плоскости R2 обозначим через D\ сектор с вершиной в начале координат, лежащий в первой и четвертой четвертях, симметричный относительно оси ОХ, с углом при вершине 60. Прямые х = 0, у = ±х/у/3 разбивают плоскость на шесть конгруэнтных секторов DUD2,...,DQ, здесь нумерация секторов соответствует их обходу против часовой стрелки. Пусть z = (х,у), Рк - оператор поворота плоскости относительно начала координат на угол (к — 1)60 по часовой стрелке, обозначим пм 4 ( х2 3 /2\ f(z) = (-l)k+1Q(Pkz), V Є Dk, к = 1,..., б, оо /T\v+2k і Й\2У к\Г{к + и + іу R(t) = vbr /o(t), Gx(z) = „ J,A „»„ R I W 8\/2Ї(1 - A2)3/2 W-- 2). I 2 2,2 Теорема 5. Справедливо представление: u(ch c2) = v ( 4 , - ) + Л(Сі)Л(30, VCb C2 0, где V(x,y) = -\jf(fj Gx(z)d\, здесь и v - операция свертки функций и и v. Доказательство. Доказательство теоремы разбивается на два этапа. На первом выводится дифференциальное уравнение для вероятности U(Ci,C2), на втором этапе определяется его решение. Обозначим Та - сигма-алгебру, порожденную случайным вектором W(a) = ( 1(0), 2(0:), 3(0:)), гДе 1(0:), 2(0:), 3(0:) - стандартные винеровские. процессы, и определим случайное событие ДК/3] = {Wi(t) -d W2(t) W3(t) + C2, V Є [a,(3}}, тогда, в силу свойств марковости винеровских процессов U (Сі, С2) = ЕР {Я[0, а] П Д[а, 1]\Га] = ЕР {Д[0, а] 0} Р {Л[а, 1]\Га]. Обозначим Oi = {Wi(t) -d W2(t), V [0,a]}, o2 = {иэд иад + a2, w є [о, a]], тогда в силу автомодельности винеровского процесса: Р{01} = А(С1/у/а), Р{02} = А(С2/у/а). Далее, оценим Е (1 - Р{Д[0,а]\Га}) = 1 - Р {Д[0,о]} = 1 - P{Oi(92} = Рф 11} PIOJ + P{02} = 2 - Л(СіЛ/5) - Л(С2Л/5) = 00 -г2/2 со -z2/2 = 2 / ==- /z + 2 / -7==- = 0(0 ), ViV 0 при a - 0, Сі, C2 0. Далее, ввиду свойств автомодельности виперовского процесса, следующие случайные процессы у/1 — а суть независимые стандартные винеровские случайные процессы, не зависящие от W(a), что позволяет переписать Р {R[a, l]\ Fa} через /(.,.). Таким образом, учитывая сказанное выше, получаем ViV 0 при о; - О U (Сі, С2) = ЕР {R[a, 1}\Та} + о(о") = где (7ь72) гауссовский вектор со средним 0 и матрицей ковариаций 2 -1 -1 2 Следующая лемма приводится без доказательства Лемма 5. Функция [/((71,() бесконечно дифференцируема, все её производные непрерывны и ограничены на замыкании первого квадранта. Записывая \ V 1 — a v 1 — а / для соответствующих Ai, А2 и применяя далее формулу Тейлора в (22) по Ai, Д2 в точке Ді, А2 = 0, получаем для любых натуральных N 0= Lk(U)ak + o(aN), а - О, где Lk,k 1 суть соответствующие линейные дифференциальные операторы. Тем самым функция 7(Ci,C2) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений Lk(U) = 0, к 1. При к = 1 нетрудно подсчитать, что _d2U d2U d2U CidU C2dU щи} - дСІ + дСІ dddC2 + 2 3d + 2 9С2 0# ( 3) Уточним теперь граничные условия на функцию U(Сі, С2). Ясно, что /(0,С2) = = /(Сі,0) = 0,УСі 0,С2 0и -lim U(Ch С2) = А(С2), lim tf (Сь () = (d). (24) Пусть теперь U(Сі, C2)=u(Ch С2)+А{Сі)А(С2). Из (23),(24) следует, что функция u(Ci,C2) является решением следующей задачи Дирихле: VCi 0,C2 0: д2и д2и д2и d ди С2 ди _ 1 _cUc? дСІ + дС\ дСгдСг + 2 ОД + 2 0С2 " / и(0,СЬ) = и(С1,0) = 0, lim u(Ci, С2) = 0, lim u(Ch С2) = 0. Cl— оо (72- оо
Отсюда, в частности, в силу принципа максимума для эллиптических диф- фереНциальных уравнений следует неравенство и 0, V Сі, С2 0. Далее получим решение дифференциального уравнения. Ниже будет применяться метод Фурье, поэтому сначала убедимся, что функция и(х, у) достаточно быстро убывает при я, у — со. Обозначим А = ( sup (Wi(i) - W2(t)) Сі) , В = ( sup (ИЭД - ИЭД) C2 Ue[0,l] J l [0,l] и Л, В - дополнения ко множествам А, В соответственно, тогда 0 -и = Р{А}Р{В} - Р{АВ} = Р{А}Р(В} - Р{А В} Р{А}Р{В} = (1 - А(Сг))(1 - А(С2)) 4ехР (-Щ$ здесь мы воспользовались известным неравенством для гауссовских случайных величин Р {iV(0,1) х} е х212, Ух 0. Таким образом, функция u(Ci,C2J достаточно быстро убывает на бесконечности, в частности, она суммируема на своей области определения: ChC2 0. Обозначим U(х, у) = и(2х, 2у), тогда Uxx + йуУ - Uxy + 2хПх + 2yUy = -е х2-у\ (25) 7Г ЇЇ(0,у) = ЇЇ(х,0) = О, х 0,?/ 0.
Наличие мешающего члена Uxy в (5) приводит к неинвариаитности этого уравнения к ортогональным преобразованиям. Наша ближайшая цель - избавиться от члена Uxy в уравнении (переходом к новой системе координат) и затем продолжить функцию U(x, у) на пространство R2 без начала координат, так чтобы продолженная функция удовлетворяла бы там тому же дифференциальному уравнению, что и исходная функция.
