Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Функциональная модель деятельности фонда социального страхования российской федерации 24
1.1 Описание фонда социального страхования российской федерации 24
1.2 SADT Моделирование деятельности регионального отделения фес 33
1.3 SADT Моделирование деятельности филиала регионального отделения ФСС РФ 39
Резюме 44
Глава 2 Математическая модель фонда социального страхования с пуассоновским потоком страховых выплат постоянной интенсивности и детерминированной моделью финансирования дополнительных социальных программ 45
2.1 Основные принципы математического моделирования 45
2.2 Математическая модель деятельности фонда 46
2.3 Релейно-гистерезисное управление капиталом 47
2.4 Стационарная плотность вероятностей величины капитала 48
2.5 Частный случай релейно-гистерезисного управления 61
2.6 Вероятностные характеристики деятельности фонда 67
2.7 Вероятностные характеристики в частном случае релейно- гистерезисного управления 68
2.8 Диффузионное приближение 71
2.8.1 Релейно-гистерезисное управление 72
2.8.2 Частный случай релейно-гистерезисного управления 76
2.8.3 Вероятностные характеристики деятельности фонда 79
Резюме 80
Глава 3 Математическая модель деятельности Фонда социального страхования с пуассоновским потоком страховых выплат и стохастической моделью финансирования дополнительных социальных программ 82
3.1. Математическая модель функционирования фонда социального страхования 82
3.2 Детерминированное приближение 84
3.3. Диффузионное приближение 85
3.4. Вероятностные характеристики процесса изменения капитала 87
3.4.1. Решение стохастического дифференциального уравнения 87
3.4.3. Характеристики капитала фонда 89
3.4.3 Аппроксимация капитала фонда 90
3.4.4 Стационарное распределение вероятностей капитала фонда 92
3.5. Релейное управление капиталом фонда 93
3.5.1 Нахождение плотности распределение вероятности 93
3.5.2 Определение параметров управления 94
3.6. Релейно-гистерезисное управление капиталом 95
3.6.1 Определение плотности распределения вероятностей 95
3.6.2 Определение параметров управления 100
3.7. Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах и случайных расходах на социальные программы 102
3.7.1 Релейное управление капиталом фонда 102
3.7.2 Релейно-гистерезисное управление капиталом 108
Резюме 119
Заключение 121
Литература
- SADT Моделирование деятельности филиала регионального отделения ФСС РФ
- Релейно-гистерезисное управление капиталом
- Вероятностные характеристики процесса изменения капитала
- Релейно-гистерезисное управление капиталом
Введение к работе
Актуальность работы. В странах с развитой рыночной экономикой обязательное страхование является очень распространенным механизмом. В . нашей стране этот механизм был введен в действие относительно недавно, и как обычно, все новое вызывает неоднозначные и далеко не одинаковые оценки. Кто-то считает обязательное страхование - эффективным механизмом защиты от различных несчастий. Другие, наоборот, считают, что этот механизм придуман для дополнительной нагрузки на предприятия. Более того, иногда обязательное страхование сравнивают с налогом, ибо предприятие не может самостоятельно решать, страховать ему ту или иную позицию или нет.
По данным Всероссийского союза страховщиков доля обязательного страхования в общем объеме страхования в последние годы уменьшилась, а добровольных-возросла почти в два раза [107]. Хотя сам по себе этот факт, во многом это связан с реализацией требований Федерального закона «Об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств».
Сегодня на страховом рынке работает более 1000 предприятий, которые страхуют от различных видов риска. Но настоящий момент в Российской Федерации, кроме классических страховых компаний на рынке страховых услуг присутствуют государственные организации. Используя механизмы во многом похожие на страховую деятельность, государство с помощью таких организаций выполняет некоторые социальные функции и реализует социальные гарантии. Как уже было отмечено выше, деятельность таких структур, с одной стороны, во многом похожа на работу страховой компании, с другой стороны, она имеет ряд существенных отличий. Например, для таких организации характерен полный или частичный отказ от получения коммерческой выгоды по результатам своей работы. Стандартным примером организации такого типа являются Государственные фонды социального страхо вания. Заметим, что самым крупным страхователем в России по-прежнему является Фонд социального.страхования Российской Федерации.
Наряду с самым распространенным традиционным видом обязательного социального страхования работающих граждан в связи с временной не # трудоспособностью и материнством, которое в России существовало около ста лет, Федеральным законом от 24 июля 1998 года № 125-ФЗ «Об обязательном социальном страховании от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний» (вступил в силу 06.01.2000 г.) был введен совершенно новый для России вид обязательного социального страхования, ф который в корне изменил действовавший более 70 лет механизм возмещения вреда, причиненного работнику трудовым увечьем или профессиональным заболеванием. А так же с января 2005 года в соответствии с Федеральным законом от 2 августа 1995 года № 122ФЗ «О социальном обслуживании граждан пожилого возраста и инвалидов» в обязанности ФСС РФ вменена работа со льготной категорией граждан в рамках санаторно-курортного лечения, ш обеспечение техническими средствами реабилитации (TCP), протезно ортопедическими изделиями (ПОИ).
В настоящей работе предлагаются и исследуются математические модели Фондов социального страхования, что, по мнению автора, и определяет ее актуальность.
Целью данной работы является исследование деятельности Фонда социального страхования как экономической системы, которая характеризу ется состоянием ее финансовых потоков. А так же построение и исследование математических моделей определяющих результаты использования капитала Фонда, показателями которого являются страховые выплаты и выделение средств на социальные программы.
щ Для реализации этой цели необходимо решить следующие задачи:
- провести функциональную декомпозицию деятельности Фонда. В качестве методологии для решения этой задачи в работе используется SADT (Structured Analysis and Design Technique) моделирование;
- провести исследование построенной функциональной модели, определив основные направления деятельности Фонда, и экономические показатели, влияющие на управление этой деятельностью;
- построить математические модели работы фонда с различными предположениями относительно способа финансирования социальных программ;
- провести исследование построенных моделей, определив их вероятностные характеристики, в общем и частном случае, предложить методику обеспечивающую оптимальное в некотором смысле управ Ф ление капиталом таких фондов.
Состояние проблемы. Страхование — одна из древнейших категорий общественно-производственных отношений. Эволюцию страхового дела рассматривают в своих работах Гвозденко А.А., Дегтярев Г.П., Пылов К.И. и др. [37, 46, 94]. Зарождение страхового дела было положено еще в начале 18 века. В 1786 году при Государственном банке была создана Страховая Экспе диция, которая проводила страхование строений. Впоследствии появились такие виды страхования как страхование имущества, грузов, долгосрочное страхование жизни. Основные положения об обязательном государственном страховании от последствий несчастных случаев, а так же на случай старости и инвалидности были разработаны в проекте Положения о больничных кассах в 1904 и 1905 годах. В последующие годы эти положения дорабатывались и пополнялись, средства социального страхования в послереволюцион ной России находились под управлением Народного комитета труда СССР, а после его ликвидации в 1933 году были переданы Всесоюзному Центральному Совету профессиональных союзов. С 1 января 1991 года был образован Фонд социального страхования Российской Федерации совместным поста щ новлением Совета Министров РСФСР и Фонда независимых профсоюзов (ФНПР) от 25.12.1990 года № 600 «О совершенствовании управления и порядка финансирования расходов на социальное страхование трудящихся РСФСР».
Проблемами страхования в нашей стране занимаются экономисты (Александров А.А., Гвозденко А.А., Дегтярев Г.П., Денисова И.П., Сарки-сов С.Э., Шахов В.В., Шихов А.К. и др. [4, 37, 46, 49, 64, 103, 100, 118-121J). Кроме того для решения этих проблем необходимо использовать методы ма t тематического моделирования, которыми владеют математики, экономисты математики и специалисты других направлений. Задачи моделирования можно реализовать с помощью актуарной математики [122], методы которой основаны на теории вероятностей [42, 95, 114], математической статистике [90] и других математических дисциплинах.
щ Считается, что первыми работами по математической теории страхо вания являются работы Ф. Лундберга и X. Крамера, в которых была предложена и исследована так называемая классическая модель процесса страхования [1, 2, 98], описание которой можно найти, например, в монографии Э. Штрауба [122]. Классическая модель позволяет вычислить вероятности разорения и выживания страховой компании, принципы выбора нагрузки s страховой премии, анализирует время дожития, вероятность наступления страхового случая, страховые тарифы и страховые возмещения. С математической точки зрения вопросы, рассмотренные в настоящей работе, сводятся к задаче управления так называемым процессом разорения. Описание и обзор основных результатов различного рода исследований по этой тематике для классических моделей страхования можно найти, например, в седьмой главе монографии Л. Такача [104]. К публикациям последнего времени, посвящен ным исследованию процессов разорения, можно отнести работы А.Т. Семе нова [101, 102].
В социальном страховании, а также в других видах страхования, определяющее значение имеет процесс изменения числа застрахованных лиц и продолжительности срока страхования, которые являются случайными процессами [12, 95]. Как было показано в последние годы, наиболее адекватными математическими моделями процессов изменения числа застрахованных являются процессы теории массового обслуживания [47, 69, 71, 74, 96, 99].Такой подход рассматривается в работах Ахмедовой Д.Д. [6-11], Глухо-вой Е.В. [41], Змеева О.А. [51-60], Капустина Е.В. [65, 66], Лившица К.И. [80], Терпугова А.Ф. [6, 61, 62, 63] и ряда других авторов.
Системы массового обслуживания, используемые для моделирования числа застрахованных лиц при социальном страховании, обладают сущест венной особенностью, заключающейся в том, что необходимо рассматривать два вида обслуживания, отражающих, во-первых, страховые выплаты при наступлении страховых случаев, во-вторых расходование части средств на социальные программы. Построению и исследованию математических моделей Гц, таких объектов в последние годы посвящен ряд работ, в которых для иссле дования работы государственных фондов применяются различные методы теории массового обслуживания или идеи классических моделей страхования применяются с учетом особенности работы таких фондов. Например, в работах А.А. Назарова, И.Р. Гарайшиной, Я.В. Галайко [29, 30-35] исследуются -математические модели фондов пенсионного страхования. В работе Л.Ф. Адашкина [3] строится диффузионная аппроксимация для математической модели деятельности фонда социального страхования РФ. В работах Змеева О.А. [51-63 ] рассмотрена модель фонда социального страхования с детерминированными расходами на проведение дополнительных социальных программ.
С математической точки зрения данная диссертационная работа является логическим продолжением работы [59], так как во второй главе работы Щ рассматривается аналогичная модель при ряде дополнительных предположе ний, а в третьей - модель, использующая несколько иную идеологию моделирования финансирования дополнительных социальных программ. С практической точки зрения в диссертации рассмотрена функциональная декомпо - зиция деятельности структурных подразделений Фонда социального страхо вания Российской Федерации. Такое объединение теоретического и практического исследования работы позволяет более четко интерпретировать, полученные математические результаты.
Краткое содержание работы. При описании краткого содержания работы используется нумерация, совпадающая с основным текстом работы.
В первой главе создана функциональная модель деятельности Фонда социального.страхования Российской Федерации.
Фонд социального страхования РСФСР образован на основании по становления Совета Министров РСФСР и Фонда независимых профсоюзов (ФНПР) от 25.12.1990 года № 600 «О совершенствовании управления и порядка финансирования расходов на социальное страхование трудящихся РСФСР» [89]. Фонд и его исполнительные органы осуществляли следующие функции:
1. Организовали совместно с членскими организациями полное и своевременное поступление доходов.
2. Разрабатывали на основе представляемых с мест проектов бюджетов бюджет Фонда и согласовывали его с членскими организациями Фонда.
3. Производили независимую экспертную оценку законов, других дц нормативных актов и предложений по улучшению социальных гарантий трудящихся.
4. Принимали участие в разработке республиканских, региональных и отраслевых программ по профилактике заболеваемости и оздоровлению трудящихся и членов их семей
5. Вносили предложения в Правительство РСФСР о введении новых видов пособий и других льгот за счет средств Фонда.
6. Организовывали обучение работников социального страхования, санаториев-профилакториев, доверенных врачей, технических и правовых инспекторов труда.
7. Совместно с Российским республиканским советом по управлению щ курортами профсоюзов организовывали работу по распределению и исполь зованию путевок на лечение и отдых.
8. Обеспечивали повышение эффективности работы здравниц на территории РСФСР, оказывали им помощь в развитии и укреплении их материально-технической базы.
9. По итогам полугодия и года составляли и рассматривали сводный • отчет по исполнению бюджета Фонда.
10. Ежегодно информировали членские организации Фонда об использовании бюджета Фонда.
Представляли Фонд во взаимоотношениях с государственными, общественными организациями, союзными и республиканскими Фондами со Щ циалыюго страхования других союзных республик, а также в международ ных организациях.
В настоящее время, согласно Положению «О фонде социального страхования Российской Федерации» [88] утвержденного Постановлением Правительства Российской Федерации № 101 от 12 февраля 1994 г. в структуру Фонда входят следующие исполнительные органы:
• региональные отделения, управляющие средствами государственного социального страхования на территории субъектов Российской Федерации;
• центральные отраслевые отделения, управляющие средствами государственного социального страхования в отдельных отраслях хозяйства;
• филиалы отделений, создаваемые региональными и центральными отраслевыми отделениями Фонда по согласованию с Председателем Фонда.
Государственное учреждение-Кузбасское региональное отделение Фонда социального страхования Российской Федерации (ГУ КРО ФСС РФ) имеет, с этой точки зрения, типичную организационно управленческую Щ структуру и использовалось в настоящей работе в качестве эталона для функциональной декомпозиции деятельности фонда. Для создания содержательного описания выбрана методология структурного анализа и проектирования SADT (аббревиатура выражения Structured Analysis and Design I Technique), разработанная специально для того, чтобы облегчить описание и понимание искусственных систем, попадающих в разряд средней сложности. В результате моделирования рассмотрена деятельность двух структурных подразделений Фонда социального страхования. Функциональные модели построены для регионального отделения Фонда и Филиала этого отделения.
В ходе моделирования создана иерархическая структура диаграмм, на верхнем уровне которой находятся диаграммы менее детализированные, чем на нижнем. Верхняя диаграмма (контекстная диаграмма модели) дает обоб щ щенное представление о деятельности ГУ КРО ФСС и Филиала, и состоит из одного блока и его дуг, т.о. определяя границу системы.
Нижняя диаграмма (декомпозиция обобщенного представления) детализирует верхнюю, указывая на пять главных функций ГУ КРО ФСС: работа со страхователями, работа с финансами, организация работы с лечебно профилактическими учреждениями (ЛПУ) и санаторно-курортными учрежде- fc ниями, работа с застрахованными и льготной категорией граждан (ЛКГ), ра бота с персоналом.
Так же была проведена декомпозиция диаграммы верхнего уровня для Филиала регионального отделения, на которой представлены четыре функции: работать со страхователями, учитывать и контролировать денежные средства, работать с застрахованными и ЛКГ, работать с несчастными случаями.
Блоки изображают функции моделируемой системы, а дуги связывают блоки вместе и отображают взаимодействия и взаимосвязи между ними. Впоследствии каждый из пяти блоков вышеперечисленных функций были детализированы.
I Полные модели приведены в Приложениях 1 и 2.
Во второй главе рассмотрена математическая модель Фонда социального страхования с пуассоновским потоком страховых выплат постоянной I интенсивности и детерминированной моделью финансирования дополнительных социальных программ.
Основной характеристикой состояния фонда является его капитал S(t) в момент времени / ис этим капиталом происходят следующие изменения:
1. В фонд поступают средства от предприятий и организаций. Будем считать, что они поступают непрерывно во времени со скоростью с0.
2. Происходят страховые выплаты. Будем считать, что поток страховых выплат является пуассоновским потоком постоянной интенсивности А, и сами страховые выплаты , являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с экспоненциальным распределением ( ) = ±ехр{- -1, 0. (2.1)
3. Фонд выделяет часть своих средств на социальные программы. В рамках настоящей модели считается, что эти средства выделяются непрерывно во времени, однако скорость их выделения с (S) зависит от величины капитала S в данный момент времени.
Величину с0 -с (S) в дальнейшем обозначена как c(S). Таким образом, c(S) есть скорость изменения капитала за счет детерминированных расходов и она зависит от величины капитала S . Именно в наличии слагаемого c (S) и зависимости c(S) от 5 и заключается отличие данной модели от классической [101, 102, 104].
В п.п. 2.3-2.4 рассмотрен случай релейно-гистерезисного управления капиталом Фонда, для которого устанавливаются два пороговых значения величины капитала St и S2, причем 5, S2 Для каждой из этих областей найдены все стационарные плотности вероятностей p(S)величины капитала5 с точностью до константы С, и они имеют вид:
Po(S) = C
A [q 2(x)dx- ——- f vn(x)dx
-1 Xa
fo._e- (52-5I)Ne (5-51)j s Si (2.48) Ал J
s2
Гф2(х)й -—— Гфп(д:) Poi(S) = С s Ал
-1
fo._e- „(52-s)\s s s2f (2.49)
Риб ) = 77ГТ ГфііО) , $i 5 %
(2.50)
p2(S) = С fq)2(x)dx, S S2-.
(2.51)
Явное выражение для самой константы С находятся из условия нормировки, остальные функции и выражения имеют заданный аналитический вид (2.52) - (2.56):
В п. 2.5 рассмотрен частный случай релейно-гистерезисного управления когда величина Cj(5) зависит от величины капитала 5" следующим образом:
Cl(5) \ + a{S-Sx)
В п.п. 2.6-2.7 вычислены две наиболее важные вероятностные характеристики деятельности фонда.
Вероятность привлечения заемных средств.
При выполнении условия S 0 фонд вынужден прекратить выплаты по страховым случаям. Вероятность этого равна:
Sm А $2
я0 = P{S 0} = С
ф2 ( ) &-——- fq u(x)dx -і B(S2)± 1
-1
к0
Ха
_ Lp- A _ р (Л
"ка
I
Вероятность выплаты социальных пособий.
Фонд начинает производить выплаты на социальные нужды, когда впервые выполнится условие S S2, и прекращает эти выплаты, как только величина капитала опустится ниже границы S{. Вероятность этого равна:
Sm Sl Sr dS
л] = С Г(х - S2 )ц 2 (x)dx + С • А Гфг 1 (х) I 5,
Данные вероятностные характеристики были так же получены для рассмотренного выше частного случая релейно-гистерезисного управления.
В п. 2.8 рассматривается диффузионная аппроксимация процесса изменения капитала S(t) и решается задача релейно-гистерезисного управления капиталом фонда в этом случае. Получены аналитические выражения для плотности капитала, которое в этом случае имеет следующий вид:
Po(s) = co exP
Ґ
2(с0 - а,Ь)
а2к
(S-S2)
\
S S,
(2.71)
px(S) = Cx-exp
2а,
Г 2 s
--\cx{z)dz [-{S-Sx)
,S S1
(2.72)
(2.85) (2.86)
Получены явные выражения для констант С0 и С
т
о
_2{с0-а{к)_ _2(с0-ахХ) о — о — а2Х а2Х т{] + т1
я,
о
т,
W/i + т,
с,= Н)
dS
Гехр -—fcx(z)dz HSSX)
2Л5,
2а,
h \
Также рассмотрен случай релейно-гистерезисного управления капиталом, когда функциональная зависимость c S) имеет конкретный вид:
, а 0
(2.87)
с,(5) = 1 + а(5-5,)
Так же получены вероятностные характеристики работы фонда: явный вид для вероятности привлечения заемных средств (2.97) и вероятности вы платы денег на социальные программы (2.98), когда S(t) — диффузионный случайный процесс
тп ( 2(с0-а{к)
л0 = P{S 0} = - -ехр _ о-«1 д. 1 (2 97)
m0+m, I
- ,(5) = - -, (2.98)
где константы АИ() и /п1 определяется аналитическим путем для каждого конкретного случая.
В третьей главе предложена и изучена математическая модель деятельности Фонда социального страхования с пуассоновским потоком страховых выплат и стохастической моделью финансирования дополнительных социальных программ.
Основной характеристикой состояния фонда по прежнему является его капитал S(t) в момент времени /. С этим капиталом происходят следующие изменения, заметим, что процесс S(t) будет являться марковским:
1. В фонд поступают средства от предприятий и организаций. Будем считать, что они поступают непрерывно во времени со скоростью с.
2. Происходят страховые выплаты. Считается, что поток страховых выплат является пуассоновским потоком с переменной интенсивностью \(t), и сами страховые выплаты , являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с известными начальными моментами
3. Фонд выделяет часть своих средств на социальные программы. В рамках настоящей модели считается, что процесс выделения денег на социальные нужды образует пуассоновский поток переменной интенсивности \x(S), а сами выплаты г являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с известными начальными моментами
Именно в наличии зависимости ц,(5) от величины капитала S и заключается отличие предлагаемой модели от классических [101, 102, 104].
Используя идеологию вывода прямых уравнений Колмогорова для марковских процессов и применив не сложные преобразования, было получено интегро-дифференциальное уравнение, определяющее плотность распределения капитала фонда S(t) в момент времени t оо оо V / = /1(0CP(S + и, t)dF (u) + jju{S + u)p(S + и, dF (и) о о
К сожалению, найти точное решение этого интегро-дифференциального уравнения не удалось, поэтому для исследования модели был использован асимптотический метод анализа и в результате получено, что аппроксимировать процесс S(t) можно решением стохастического дифференциального уравнения [95]
dS(t) =[с-X(t)ax -nis{t))bx\lt + {t)a2+b2fi{S)dw{t). (3.32)
Решение этого уравнения в общем виде найти не удалось, поэтому рассмотрим более простой случай когда X(t) = X. Для этого случая существует стационарное (финальное) распределение вероятностей p(S,t) = p(S) капитала S, которое приведено в работе.
В п. 3.5 рассмотрено релейное управление капиталом, которое имеет вид:
О, при S(t) S0,
M(S) =
(3.38) ju0(i), приS(t) S .
Для данного вида управления найдены плотности распределения вероятностей, вероятностные характеристики и определены параметры управления.
Для этого рассмотрена область S(t) S0, в которой p(S) имеет вид:
p(S) = Cexpf2 (S -50)), (3.39)
I
І а2Л
щ
В области S(t) S0 производятся выплаты по социальным программам с интенсивностью \i(S) = ц0 имеем:
p(S) = Сехр
(2c- -b o{s_S())
\
а2Л + Ъ2Цъ Для нахождения С воспользовались условием нормировки
(3.40) \
(с - axX)S с = 2(с - ахЛ){с -д,Я- ілфх) 0 1и0((а1Л-ф2-а2Ь1Л)
Веротностные характеристики: - вероятность привлечения заемных средств
_ а2Л{с-ахЛ -Ьфо)
7Г0 = - : — ехр /л0(аф2Л - сЪ2 - а2ЬхЛ) у «2 (0
(3.42)
(3.44)
- вероятность выделения денег на социальные программы
С(а2\ + Ь2ц0) (c-a]X)(a2X + b2ii0)
Я] =
(3.45)
2(с-a{k-bx\i0) \i0(-cb2 +a{kb2 -bxa2X)
Параметры управления S0 и ju0 можно получить, выразив их из (3.44)
и (3.45)
(3.46)
Ио =
(с- ахК)а2Х
л, (-cb2 + axXb2 - bxa2X) + (с- ахк)
а2Л
-1п S0 =
(3.47)
(с - ахЛ - /ийЬх)а2Л
2(с - ахЛ) ж0/и0(-сЬ2 + ахЛЪ2 - Ьха2Х)
В п. 3.6 рассмотрено релейно-гистерезисное управление капиталом, в этом случае стратегия управления капиталом заключается в следующем:
\i{S) =
0, при S(t) Sx,
ц0 или0, npnS1 S(t) S2,
[І0, приS(t) S .
(3.48)
В этом случае:
Г 2 \
\о2Л
Po(S) = C0ехр (с -ахЛ){8 -S2) , S S2.
/
(3.49)
К
2 \
pl(S) = C1Qxp
(с -ахЛ -bxn ){S -S ) , S Sl. (3.50)
а2Л + Ь2Мо і
Среднее время пребывания в состоянии \i(S) = \х0 равно:
Щ =тЛ 2) =
Sl -S2
с - а{к -b Q Среднее время пребывания в состоянии \i(S) = 0 равно:
(3.60)
Щ = ™о($і) =
с —а
Л
(3.66)
Финальная вероятность пребывания системы в состоянии \x(S) = 0, \i(S) -\i0 имеет следующий вид соответственно
а2Л
L 2{с-ахЛ)
J 2{ахЛ + Ьф0 - с)
(3.69)
(3.70)
Подставив полученные выражения в (3.39), (3.40) получены неизвестные константы С0 и Сх
С0 =
2{с-ахЛ) 2{с-ахЛ){ахЛ + Ьх/л0-с)
-7Г0 =
а0Л
2Щ.Ио
(3.71)
2{ахЛ + bxJu0- с) 2(а]Л + Ь]/и0-с)(с-а]Л)
Cl = ; л-, (3.72)
а2Л + Ь2/и0 Ь 0(а2Л + Ь2 0)
Если в выражения (3.49), (3.50) для p0(S)n Pi(S) подставить полученные константы С0 иСх из (3.71), (3.72) , то вид p0(S)u p{(S) будет полностью определен.
Для нахождения параметров управления (3.48) 5І5 Б2и\х0, вычислены: - вероятность привлечения заемных средств
7Г0 =
{ахЛ + / ,//() - с)
/
ехр
а-,Л
(с - alX)S2
(3.74)
вероятность выделения денег на социальные расходы. i= , • (3-76)
Если считать вероятности 7Г0 и тіх фиксированными, то отсюда можно определить S2 и \х0.
Мо= -, (3.77)
s _а±_ 6,ц0я0 _ (ЗЛ8)
2(с - Я]А,) (fljX. + Ь,ц,0 - с)
Величину Sl можно определить, задав желаемое значением т1, то есть среднюю длительность периода выплат по социальным программам. Тогда из (3.60) следует:
51 =т1 (с- ахХ - / ) + S2. (3.79)
В п. 3.7 исследована математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах и случайных расходах на социальные программы. В рамках данной модели рассмотрено релейное и релейно-гистерезисное управление капиталом. Выражения в этом случае имеют сложный аналитический вид и полностью приведены в диссертации (3.85), (3.104), (3.110), (3.131), (3.121)-(3.125), (3.142), (3.143), (3.146), (3.151), (3.154), (3.155).
Основные научные результаты, полученные автором и выносимые на защиту, состоят в следующем:
1. Исследована математическая модель Фонда социального страхования с пуассоновским потоком страховых выплат постоянной интенсивности и детерминированной моделью финансирования дополнительных социальных программ.
2. Предложена и исследована математическая модель деятельности Фонда социального страхования с пуассоновским потоком страховых выплат и стохастической моделью финансирования дополнительных социальных программ.
и стохастической моделью финансирования дополнительных социальных программ.
В рамках этих моделей рассмотрены задачи релейного и релейно-гистерезисного управления капиталом Фонда в общем и частном случаях, получены аналитические выражения для стационарной плотности вероятности величины капитала и основные вероятностные характеристики деятельности Фонда- вероятность привлечения заемных денежных средств и вероятность выделения средств для финансирования социальных программ.
Предложено решение задачи оптимального управления деятелыю- 0 стыо Фонда, при котором вероятность привлечения заемных денежных средств и вероятность выделения средств для финансирования социальных программ остаются на заданном уровне.
3. Проведена функциональная декомпозиция деятельности Фонда на региональном и муниципальном уровне с применением методологии SADT.
Методика исследования. Для создания содержательного описания деятельности Фонда как как экономико-социальной системы в первой главе использована методология структурного анализа и проектирования SADT (Structured Analysis and Design Technique).
Во второй и третьей главе исследование носило теоретический характер и проводилось с использованием аппарата теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории управления, методов оптимизации и теории стохастических дифференциальных уравне ний.
Теоретическая ценность работы, по мнению автора, состоит в том, что в ней предложены и исследованы математические модели деятельности Фонда социального страхования в различных предположениях относительно ф механизма моделирования финансирования социальных программ.
Новой является рассмотренная в третьей главе математическая модель деятельности Фонда социального страхования с пуассоновским потоком страховых выплат и стохастической моделью финансирования дополнительных социальных программ.
Практическая ценность работы, по мнению автора, заключается в том, что полученные в ней результаты могут быть использованы для прогнозирования деятельности Фондов социального страхования на разных уровнях управления.
Разработанные автором SADT модели деятельности Фонда могут применяться для анализа финансовой деятельности на региональном и муниципальном уровне иерархии Фонда. Например, в настоящий момент эти модели используются в работе Государственного учреждения Кузбасского регионального отделения Фонда социального страхования РФ и его структурного подразделения Филиала №1 в г. Анжеро-Судженске, что подтверждено приведенными в приложениях актами о внедрении результатов работы.
Публикации по работе. Содержание работы опубликовано в 12 печатных работах:
1. Вальц О.В., Новицкая Е.В. Влияние информационных технологий на эффективность экономики// Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» - Томск: «Твердыня», 2002. - с. 52-54.
2. Вальц О.В. Основные факторы социального благополучия населения// Сборник трудов межрегиональной VI научно-практической конференции «Научное творчество молодежи» - Анжеро-Судженск: «Твердыня», 2002.
3. Вальц О.В., Змеев О.А. Диффузионная аппроксимация модели фонда социального страхования с релейно-гистерезисным управлением капиталом // Известия вузов. Физика, 2004. № 2. - С. 26-31.
4. Вальц О.В., Змеев О.А. Исследование модели фонда социального страхования// Обозрение прикладной и промышленной математики. ТІЇ. Вып. 2. 2004.-С. 311-312.
Вальц О.В., Змеев О.А. Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах и слу чайными расходами на социальные программы.// Вестник Том. гос. ун-та. № 284, 2004.-с. 37-42
6. Вальц О.В., Змеев О.А. Диффузионная аппроксимация модели фонда социального страхования с релейно-гистерезисным управлением капиталом// III Всероссийская ФАМ конференция: Тезисы докладов. Красноярск, 2004. - с. 17.
7. Вальц О.В. Разработка функциональной модели деятельности Фонда социального страхования// Информационные технологии и математическое моделирование: Материалы III Всероссийской научно-практической конферен ф ции. Ч. 2. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. - с. 116-118.
8. Вальц О.В. Релейно-гистерезисное управление капиталом Фонда социального страхования//Сборник материалов 2-ой Всероссийской научно-практической конференции. Пенза: РИО ПГСХА, 2004г. - с. 6-7.
9. Вальц О.В. Релейное управление капиталом Фонда социального страхования// Материалы всероссийской научной конференции студентов, аспи-рантов и молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" (НТИ-2004) Ч. 1 Новосибирск: НГТУ, 2004. - с. 9-11.
10. Вальц О.В., Змеев О.А. Исследование модели фонда социального страхования// Обозрение прикладной и промышленной математики. Обозрение прикладной и промышленной математики. Т 12. Вып. 2. 2005. - С. 320.
Вальц О.В.Математическая модель деятельности Фонда социального страхования РФ в частном случае// «Научное творчество молодежи»: Мате риалы IX Всероссийской научно-практической конференции (г. Анжеро- Судженск, 15-16 апреля 2005г.). 4.1. -Томск: изд-во Том. ун-та, 2005. - с. 16- 18.
12. Вальц О.В. Математическая модель деятельности Фонда социального страхования РФ в частном случае// Обработка данных и управление в сложных системах. Сб. статей-Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. - Вып. 7. - с. 31- 40.
Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные её результаты докладывались и обсуждались на:
1. Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование», Анжеро-Судженск, 2002.
2. VI межрегиональной научно-практической конференции «Научное творчество молодежи», Анжеро-Судженск, 2002.
3. V Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, Кисловодск, 2004.
4. III Всероссийской ФАМ конференция, Красноярск, 2004.
5. III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование», Анжеро-Судженск, 2004.
6. 2-ой Всероссийской научно-практической конференции «Управление в социальных и экономических системах», Пенза, 2004.
7. Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" (НТИ-2004), Новосибирск, 2004.
8. IX Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи», г. Анжеро-Судженск, 15-16 апреля 2005 г.
9. VI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, г. Санкт-Петербург, 2005.
SADT Моделирование деятельности филиала регионального отделения ФСС РФ
Нижняя диаграмма (рис. 1.3) детализирует верхнюю, указывая на пять главные функции ГУ КРО ФСС: работа со страхователями, работа с финансами, организация работы с лечебно профилактическими учреждениями (ЛПУ) и санаторно-курортными учреждениями, работа с застрахованными и льготной категорией граждан (ЛКГ), работа с персоналом. Блоки изображают функции моделируемой системы, а дуги связывают блоки вместе и отображают взаимодействия и взаимосвязи между ними. Таким образом, общая функция, указанная на верхней диаграмме, детализируется с помощью пяти функций на нижней диаграмме, посредством чего и происходит создание иерархии добавляющихся на каждом уровне функций.
Разделение верхней диаграммы на его структурные части (блоки и дуги, составляющие диаграмму) называется декомпозицией. Блоки изображают функции моделируемой системы, а взаимосвязи и взаимодействия между ними отражают дуги. Блок и касающиеся его дуги диаграммы верхнего уровня определяют точную границу диаграммы, представляющей декомпозицию этого блока. Эта диаграмма, называемая диаграммой с потомком, описывает все, связанное с этим блоком и его дугами, и не описывает ничего вне этой границы. Декомпозируемый блок называется родительским блоком, а содержащая его диаграмма соответственно родительской диаграммой.
В методологии SADT идентифицируется каждая диаграмма данной модели посредством того, что называется "номер узла". Номер узла для контекстной диаграммы имеет следующий вид: заглавная буква A (Activity в функциональных диаграммах), дефис и ноль. Номером узла для контекстной диаграммы модели Фонда социального страхования является А-0. Номером узла диаграммы, декомпозирующей контекстную диаграмму, является тот же номер узла, но без дефиса - АО. Все другие номера узлов образуются посредством добавления к номеру узла родительской диаграммы номера декомпозируемого блока. Номер декомпозируемого блока указан в правом нижнем углу.
Помимо использования номера узла для идентификации версий диаграмм, применяются С-номера для связки диаграмм при движении как вверх, так и вниз по иерархии модели. Впервые С-номер диаграммы, декомпозирующей некоторый блок, появляется непосредственно под этим блоком на родительской диаграмме. Это образует "направленную вниз" связь от родительской диаграммы к диаграмме-потомку. На рис. 1.3 С-номер Р.4 диаграммы работать с финансами размещен ниже блока А2 на диаграмме ГУ Кузбасское региональное отделение Фонда социального страхования. Это указывает на то, что функция работать с финансами была декомпозирована. Таким образом, образуется направленная вниз связь.
На диаграмме-потомке (рис. 1.4) в области номера SADT-бланка (правый нижний угол-NUMBER) указывается С-номер Р.4, а так же формируется ссылка на родительскую диаграмму. В области контекста (правый верхний угол-CONTEXT) изображен каждый блок родительской диаграммы, причем блок, который подвергся декомпозиции заштрихован. Это «образует направ ленную вверх» (к родительской диаграмме). Таким образом, при использовании С-номеров осуществляется тщательный контроль за введением новых диаграмм в иерархию модели.
Диаграмма представленная на рис. 1.4 позволяет понять, каким образом происходит планирование финансовой деятельности регионального отделения. Сначала планово-экономический отдел формирует проект внутриведомственной росписи расходов и доходов на основании проведенного факторного анализа основных показателей росписи предшествующего периода. После утверждения внутриведомственной росписи расходов и доходов Фондом это главный документ, который определяет объем ассигнований на содержание аппарата регионального отделения и филиалов, а так же на социальные программы.
Релейно-гистерезисное управление капиталом
Напомним основные идеи положенные в основу математической модели деятельности фонда: Основной характеристикой состояния фонда является его капитал S(t) в момент времени t. С этим капиталом происходят следующие изменения:
3. В фонд поступают средства от предприятий и организаций. Будем считать, что они поступают непрерывно во времени со скоростью с0.
4. Происходят страховые выплаты. Будем считать, что поток страховых выплат является пуассоновским потоком постоянной интенсивности X и сами страховые выплаты являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с экспоненциальным распределением pjx) = —exp\ Lx 0. (2.1) а [ а\
5. Фонд выделяет часть своих средств на социальные программы. В рам ках настоящей модели считается, что эти средства выделяются непрерывно во времени, однако скорость их выделения с (S) зависит от величины капи тала S в данный момент времени.
Величину с0 - с (S) мы в дальнейшем будем обозначать как c(S). Таким образом, c(S) есть скорость изменения капитала за счет детерминированных расходов и она зависит от величины капитала S . Именно в наличии слагаемого с (S) и зависимости c(S) от S и заключается отличие данной модели от классической [1].
Кроме того, будем считать, что достижение порога S(t) = 0 не приводит к разорению фонда, и даже при S(t) 0 он продолжает функционировать, только с привлечением заемных денежных средств.
Рассмотрим следующий вариант управления капиталом фонда, который можно назвать релейно-гистерезисным управлением. Он состоит в следующем.
Устанавливаются два пороговых значения величины капитала S] и S2, причем S{ S2. В области S S} выплаты на социальные нужды не производятся, то есть всегда с = с0. При S S2 всегда производятся выплаты со скоростью с = с0 - с, (S), то есть c(s) = С] (S). А вот в области S] S S2 выплаты производятся или нет в зависимости от того, как траектория S(t) вошла в эту область: если S(t) вошла через границу S,, то берется с = с0, если же она вошла через границу S2, то берется c(s) -c S). Другими словами, выплаты на социальные нужды начинаются, когда впервые выполнится неравенство S(t) S2, и заканчиваются, когда станет S(t) 5,. Область S\ S S2 и представляет собой гистерезис в управлении выплатами на социальные нужды.
Изменение величины капитала на некотором интервале времени. Таким образом, Sl имеет смысл величины резервного капитала, ниже которого производятся только страховые выплаты.
Отметим, что в этом случае капитал фонда не может превышать некоторой величины Sm, где Sm определяется из условия c(Sm) = 0; если при любых S величина с(5) 0,то Sm =+оо. Найдем плотность вероятностей p(S) величины капитала S во всех этих областях. Начнем с области S S2. В ней плотность вероятностей p(S) будем обозначать как p2(S). Заметим, что в этой области всегда c(s) = с, (51).
Введем явное выражение p2(S). Пусть мы имеем некоторый момент времени t. Тогда получить значение капитала, равное S , можно двумя путями. 1. В момент времени t-At значение капитала было равно S-c{(S)At и за интервал времени At не было страховых выплат. Вероятность этой ситуации равна 1 - XAt + o(At). 2. С вероятностью XAt + o(At) за интервал времени At пришлось сделать страховую выплату, равную х, так, что в момент времени t-Atзначение капитала было равно S - c{(S)At + х.
Вероятностные характеристики процесса изменения капитала
Рассмотрим следующую стратегию управления капиталом фонда. Устанавливается два пороговых значения капитала Sx и S2, причем Sl S2. В области S S2 выплаты на социальные нужды не производятся, так что c(S)-cQ а{к. Условие с0 а{к означает, что в среднем капитал растет. В области S S2 устанавливается c(S) = ci(S) alX, так что производятся вы платы по социальным программам со скоростью с (S) = с() -c S) 0. То, что c S) а{к означает, что из-за этих выплат капитал в среднем уменьшается. Что касается области Sx S S2, то здесь устанавливается c(S) = с() или c(S) = c{(S) в зависимости от того, как процесс S(t) вошел в эту область. Если он вошел через порог Sj снизу вверх, то устанавливается c(S) = c(), если же он вошел через порог S2 сверху вниз, то остается (5) = (5). Таким образом, выплаты по социальным программам начинаются до достижения уровня S2 и прекращаются по достижении уровня S{. Обозначим через p0(S) плотность вероятностей значения капитала, если с(5) = с0. Тогда s j(c0 - axK)dS = (с() -a{k)(S -S2), s, И поэтому Po(S) = C()-Qxp r2iC\aiX\s-S2)),S S2 (2.71) a2K J Через Pi(S) обозначим плотность вероятностей значения капитала, если c(S) - Ci(S). Тогда r(q(5) - a{k)dS = jcx{S)dS - a S - S2) И поэтому ( s 2a, -—CCl(S)dS—Hs-sj Pl(S) = CrQxp s s (2.72) Осталось определить константы C0 и Cl. Применим для решения этой задачи эргодические соображения.
Пусть (5) = 0,(5). Обозначим через mx{S) среднее время достижения порога S = Sx, если в начальный момент мы имеем значение капитала S . Тогда, рассматривая ситуацию спустя время At, можем записать ml(S) = At + M{ml(S + AS)}. (2.73) Разлагая mx(S + AS) в ряд Тейлора mx{S + AS) = mx{S) + m[(S)AS +-m ;(S)(AS)2 +... И учитывая диффузионность процесса S(t), можно записать M{ml(S + AS)} = m1(S) + (ci(S) - a{k)m[{S) + -m[{S) At+ o{At). {2.14) Подставляя это выражение в (2.39), сокращая At и переходя к пределу At — 0, получим а Х m"(S) + (cx(S) - a{k)m[(S) = -1 (2.75) Решим это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второй степени относительно функции m{(S): Обозначим y(S) = m[(S) и решим линейное неоднородное уравнение: а2Х __, y (S) + (cl(S)-alX)y(S) = -l методом вариации постоянной. Тогда y(S) = - xp(-A-fcl(S)dS + s\rQxp\A-fcl(S)dS- S a2K I a2hJ a2 у \a2KJ a2 dS + + Dl exp a2K cx{S)dS + 2a, Л a Общее решение имеет вид 2а, А \ 2 / а2Я - - fCl(S)dS + Vexpf- - fCl(S)dS - a2AJ a2 у \a2AJ a2 a a iS + I /9 9 \ + Дехр ——Cc SyS+ -S dS + E{ ЙОЛУ a-, (2.76) \ u2 u2 / Заметим, что у нас выполняется условие cl(S) aiX, поэтому чтобы в m{(S) при S—»оо не было экспоненциально нарастающих членов, надо положить j=0. Далее, так как управление c(,S) = ( (51) прекращается при S =S{, то должно быть т1(5 1) = 0, и это условие позволяет нам определить константу Е{ в выражении(2.76). Таким образом, вид m{(S) будет определен полностью. Но значение (5) = (51) устанавливается, когда процесс S(t) достигает порога S2. Поэтому среднее время пребывания в состоянии 0(5) = (5) равно 111,=111,(5,). (2.77) Задавая конкретный вид функции c S) мы получим величину т1. Пусть теперь c(S) = cQ. Обозначим через /я()(5) среднее время достижения процессом S(t) порога S2 ПРИ условии, что в начальный момент мы имеем значение капитала S. Тогда, как и выше, т0 (S) = At + М {т0 (S + AS)} (2.78) Отличие от предыдущей ситуации заключается в том, что M\AS} = (c0-a1k)At + o(At). Поэтому в этом случае m0(S) удовлетворяет уравнению
Релейно-гистерезисное управление капиталом
Рассмотрим следующую стратегию управления капиталом фонда: 11(5) 0, npuS(t) S{, [І0 или 0, при Si S(t) S2, ц0, при S(t) S 2. (3.48) Смысл такого управления следующий: устанавливается два пороговых значения капитала S{ wS2, причем Sl S2.B области S S{ выплаты на социальные нужды не производятся, так что ц(5) = 0 и с а{к. Условие с а{к означает, что в среднем капитал растет. В области S S2 устанавливается {1(5) = 1.1() и с a{k + \x.Qb{, так что производятся выплаты по социальным программам. Условие с а{к + fig i означает, что в среднем из-за этих выплат капитал уменьшается. Что касается области Sj S S2, то здесь устанавливается [1(5) = 0 или (5) = 0 в зависимости от того, как процесс S(t) вошел в эту область. Если он вошел через порог Sx снизу вверх, то устанавливается ц(5) = 0, если же он вошел через порог S2 сверху вниз, то остается ц(5) = ц0. Таким образом, выплаты по социальным программам начинаются по достижении уровня S2 и прекращаются по достижении уровня 5,.
Обозначим через PQ(S) ПЛОТНОСТЬ вероятностей значения капитала S(t), если 111(5) = 0. Тогда используя (3.36) можно записать: S S2. (3.49) ( 2 N A)(S) = со ехР — г (с - л! -)( - S2) \а2к Через Pi(S) обозначим плотность вероятностей значения капитала S(t), если ц(5) = ц0. Тогда по (3.36) Pi(S) имеет вид: p[(S)=Clexp / -—\ (c-a -b XS-sA S Sl. (3.50) Осталось определить константы С0 и С{. Применим для решения этой задачи эргодические соображения. Пусть ц(5) = ц0. Обозначим через тх (S) среднее время достижения порога S = S{, если в начальный момент мы имеем значение капитала S. Тогда, рассматривая ситуацию спустя время At, можем записать: mi(S) = At + M{ml(S + AS)}, (3.51) Разложим m{{S + AS) в ряд Тейлора. Тогда математическое ожидание M{mx{S + AS)} имеет вид: M{ml(S + AS)} = ml(S) + m[(S)M{AS} + -m ;(S)M{(AS)2} + ... После подстановки выражений для M{AS(t)}, M{(AS(t)) } можем записать: M{mx(S + AS)} = /я, (S) + (с - ахХ - bxyLQ)m\(S)At + a7X + b7\xa „,„.. ,. ч (3.52)
Подставляя выражение (3.52) в (3.51), сокращая At и переходя к пределу при At —» 0, получим дифференциальное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка вида: a2X + bllll) m KS) + (с - а{к - Ь{\іц)т[(S) = -1. (3.53) Рассмотрим сначала соответствующее однородное уравнение: а2Л + Ь2Ро_т ф + (с _ а _ &l//())wj(5) = о. (3.54) Будем искать решение этого уравнения в виде: / (5) = , (3.55) где к -некоторая константа. При подстановке (3.55) в дифференциальное уравнение (3.54) получим соответствующее характеристическое уравнение вида: 2 + 2 к2 + (с-а1Я-Ь1іи0)к = 0. (3.56) v , _ . 2(с-ах\-Ь\\і{)) Корнями этого уравнения являются к = О и к = — ! ILJLL. Тогда а2Х + Ь2\\.[) общее решение однородного уравнения (3.54) имеет вид: 2{с-а\Х-Ь\Щ)) s Будем искать частное решение (3.69) в виде ml(S) = AS, где А- неизвестная константа, тогда m[{S) = A , ml(S) = 0. После подстановки в неоднородное уравнение (3.53) имеем: (с-а1Л-Ь1Мо)А = -\, следовательно А = . Тогда общее решение уравнения (3.53) (с-ауЛ-Ьфо) имеет вид: 2(с-а\к-Ь[Цо) s ml(S) = Cl+C2e — -—. (3.58) Определим неизвестные константы С1 иС2.Чтобы в ml(S) при S - оо не было экспоненциально нарастающих членов надо положить С2 = 0. Далее, так как управлением ) = ц0 прекращается, когда S=S{, то должно S быть т1(51) = 0 и поэтому С1= и после подстановки кон (c-OjA-bj/Zo) стант в (3.58) общее решение (3.53) имеет вид: «i(5) = S\ S. (3.59) Но значение ц(5") = а0 устанавливается, когда процесс S(t) достигает порога S2- Поэтому среднее время пребывания в состоянии \i(S) = \х() равно: щ = mi{S2) = Sl S2 . (3.60) с- а к-Ь{\1() Пусть теперь /i(S) = 0. Обозначим через m0(S) среднее время достижения процессом S(t) порога S2 при условии, что в начальный момент времени мы имеем значение капитала . Тогда, как и выше, можно записать: m0(S) = At + М {m()(S + AS)}, (3.61) Если т0 (S + AS) разложить в ряд Тейлора и найти математическое ожидание от M{m()(S + AS)} поставить выражения для M{AS(t)}, M{(AS(t))2} , то получим: M{m{){S + AS)} = m0(S) + [с- alk]m 0(S)At + -a2"km"0{S)At + o(At), (3.62) Подставляя (3.62) в (3.78), сокращая At и переходя к пределу при At — 0, получим дифференциальное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка вида: - (5) + ((:-0 )(5) = -1, (3.63) Решая это уравнение также как (3.53) получим общее решение этого уравнения, которое имеет вид: (3.64) "o(S) = Т + D1+D2exp(-2 - s" с - dyk \ а2к Чтобы при S — -со не было экспоненциально нарастающих членов надо положить D2 = 0. Далее, верно условие m0(S2) - 0.
