Содержание к диссертации
Введение
Методы построения оценок вероятности разорения для класси ческого процесса риска и численное моделирование 11
1.1 Определение процессов риска 11
1.2 Классический процесс риска: описание, представление вероятности разорения, область применения 12
1.3 Обобщения классической модели за счет учета флуктуации процесса страховых выплат 14
1.4 Асимптотические оценки и аппроксимации вероятности разорения 19
1.5 Численное моделирование и расчет вероятности разорения: описание алгоритма программного комплекса 24
Процесс риска со случайным притоком: теоретический анализ, моделирование, численные методы оценивания вероятности ра зорения 38
2.1 Обоснование актуальности модели, ее определение, обзор известных результатов 38
2.2 Вывод представления вероятности разорения 42
2.3 Вероятность разорения как решение однородного уравнения Винера-Хопфа 57
2.4 Асимптотические оценки вероятности разорения процесса со случайным притоком, аппроксимации и частные случаи 61
2.5 Обобщения процесса риска со случайным притоком 72
2.6 Моделирование процесса риска со случайным притоком и построение численных оценок вероятности разорения 80
Сравнительный анализ моделей риска посредством теоретиче ских оценок и численного моделирования 89
3.1 Предельный переход от процесса риска со случайным притоком к классическому процессу риска. Построение оценок близости двух процессов в терминах вероятности разорения 89
3.2 Количественное сравнение вероятности разорения двух моделей как результат применения разработанного комплекса программ 93
Заключение 98
Литература
- Классический процесс риска: описание, представление вероятности разорения, область применения
- Обобщения классической модели за счет учета флуктуации процесса страховых выплат
- Вероятность разорения как решение однородного уравнения Винера-Хопфа
- Количественное сравнение вероятности разорения двух моделей как результат применения разработанного комплекса программ
Введение к работе
Общая характеристика диссертации
Происхождение теории риска; актуальность темы диссертации. История теории страхования восходит к началу XVIII века; ее возникновение принято связывать с именем Эдуарда Ллойда, владельца кофейни в Лондоне, пришедшего к идее страхования транспортных рисков в морских перевозках. Сейчас страхование — неотъемлемая часть мировой экономики, всемирная индустрия, доходы которой непрерывно растут. Роль страхования огромна и область его распространения постоянно увеличивается. Идея страхования основана на учете случайностей, и это связывает его с такими разделами математики как теория вероятностей и математическая статистика.
Слияние методов из различных теорий привело к созданию новой ветви науки, называемой страховой математикой. Из множества областей страховой математики можно выделить такие разделы как теория риска, личное страхование, платежеспособность, пенсионные фонды, модели выживания и распределения потерь и другие. Каждой из этих областей посвящено множество научных работ, так что теоретическая база страховой математики весьма обширна.
Исследования настоящей работы находятся в основном в сфере теории риска. В этой теории основным объектом исследования является модель „случайного процесса, генерирующего случайные выплаты по портфелю или страховым полисам. При этом исследователя интересует прежде всего изменение объема портфеля в целом, а не индивидуальные полисы в отдельности" [34]. Причем наибольший интерес представляет вероятностное распределение, характеризующее возможность для такого процесса пересечь некоторый критический уровень текущего капитала, — вероятность разорения.
Основателем теории риска считается Ф.Лундберг. В своих классических работах [41], [42] он первым рассмотрел задачу об оценке вероятности разорения. Основы теории риска как математической теории были сформулированы X. Крамером в [26], [27]. Дальнейшие шаги в развитии теории были сделаны X. Гербером, С. Несбиттом, Дж. Бекманом, П. Эмбрехтсом и многими другими. Имеется ряд достаточно полных обзоров результатов теории риска, например, книги X. Бельманна [24], Дж. Гранделла [35] и другие. Для изучения теории риска был задействован целый ряд специальных методов теории вероятностей: мартингальный подход, теория марковских процессов, теория „геометрического
суммирования" случайных величин и др. (см. [29], [35], [38], [44]). Использование этих методов позволило продвинуться в изучении асимптотического поведения вероятностей разорения, разработке методов одностороннего и двухстороннего оценивания вероятностей разорения, построении нестандартных моделей риска.
В монографии В. В. Калашникова [37] подробно изложены основы теории риска, касающиеся главным образом классического процесса риска и его обобщений, и описаны методы построения оценок вероятности разорения. Исследования проблемы оценивания вероятности разорения были продолжены в работах В. Ю. Королева и В. Е. Венинга ([2], [3] и других), в которых было уделено внимание построению практически применимых точечных и интервальных оценок вероятности разорения для классического процесса риска и его обобщений.
В настоящее время теория риска все еще находится в стадии интенсивного развития, к удовлетворению ее исследователей, и, возможно, к сожалению потенциальных ее потребителей, заинтересованных в возможности наискорейшего использования результатов теории. Актуальность проблем, связанных с теорией риска, вызвана ростом популярности страхового дела в мире; в последнее десятилетие теория страхования начала развиваться и в России.
Строящиеся в теории риска математические модели предназначены для описания реальных процессов изменения капитала, происходящих внутри финансовых структур. Классический процесс риска как базовая модель теории риска получил широкое применение для описания деятельности страховых компаний в развитых странах со стабильной экономикой. Однако эта модель содержит допущение, существенно ограничивающее область ее применения, — линейность притока страхового капитала. Очевидный интерес представляет более общая модель, учитывающая стохастический характер притока капитала в страховую компанию. Первые шаги по исследованию этой модели были сделаны в [4], где изучались в основном асимптотические представления для вероятности разорения (без вывода явного представления вероятности разорения и без подробного анализа результатов численного моделирования).
Цель работы — исследовать модель риска, обобщающую классический процесс риска за счет учета случайности притока страхового капитала (процесс риска со случайным притоком), в частности, получить явное представление для вероятности разорения, построить алгоритм расчета и численного моделирования вероятности разорения и проверить построенную теорию с помощью компьютерного моделирования. Чтобы исследование было более полным, требовалось сначала проанализировать результаты изучения классического процесса риска и построить практически применимый алгоритм вычисления вероятности разорения для него.
Основные задачи. Работа по исследованию предложенной модели содержит решение следующих задач:
1. Разработан практически применимый алгоритм расчета вероятности разорения для классического процесса риска на основании случайной выборки
величин страховых выплат.
Получено явное представление вероятности разорения для процесса риска со случайным притоком.
Построен алгоритм моделирования и вычисления вероятности разорения для процесса риска со случайным притоком.
Произведен сравнительный анализ вероятностей разорения, соответствующих классической модели и модели со случайным притоком с одинаковыми страховыми надбавками.
Методика исследований. Основными инструментами исследований являются теория уравнений типа свертки, теория случайных блужданий с элементами теории восстановления, преобразование Фурье, теория вероятностных метрик. Численное моделирование было реализовано посредством пакета Mathcad Professional 2000; для компьютерного моделирования процессов риска и расчета вероятности разорения применены методы вычислений (численные интегрирование и дифференцирование, методы точечного интерполирования, быстрое преобразование Фурье и другие). Кроме того, для анализа точности вычислений использованы классические методы оценивания вычислительных ошибок.
Научная новизна. Впервые получено явное представление вероятности разорения процесса риска со случайным притоком. Показано, что классический процесс риска является частным случаем процесса со случайным притоком и получается из последнего предельным переходом. Впервые произведено сравнение двух моделей как на качественном уровне посредством оценок метрических расстояний между соответствующими вероятностями разорения, так и численно с помощью моделирования. Наконец, впервые разработаны и детально изложены алгоритмы вычисления вероятности разорения для классического процесса риска и процесса со случайным притоком, основанные на методе Фурье. Кроме того, произведено компьютерное моделирование двух исследованных моделей процессов риска, и соответствующие результаты экспериментальных оценок вероятностей разорения сопоставлены с результатами применения явных формул для вероятности разорения.
Достоверность результатов диссертации определяется строгостью использованного математического аппарата и подтверждается сравнительным анализом результатов применения полученных явных формул с данными численного моделирования вероятностей разорения процессов риска. Все теоремы снабжены полными доказательствами.
Практическая ценность работы. Исследованная в диссертации модель процесса риска является более гибкой с точки зрения возможности практического применения, чем классический процесс риска, поскольку позволяет учесть стохастический характер притока страховых премий. Если классическая модель
эффективна для моделирования страховых процессов в странах с хорошо развитой и стабильной экономикой, то модель со случайным притоком имеет перспективы практического применения в странах с развивающейся экономической системой.
Структура и краткое содержание диссертации
Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Первая глава посвящена обзору результатов исследований классического процесса риска и изложению алгоритма вычисления вероятности разорения; в параграфе 1.2 приводится описание классического процесса риска.
Классический процесс риска принято описывать с помощью соотношения для текущего капитала страховой компании Rci(t):
Nt(t)
Rcl(t) = z + ct-^2Xj, t > 0. (0.1)
5=1
При этом,
z > 0 — начальный капитал страховой компании;
с > 0 — ставка страхового взноса, определяющая скорость притока страхового капитала от клиентов компании;
{Xj}j>i — страховые выплаты, представляющие собой неотрицательные независимые одинаково распределенные случайные величины (н.о.р.с.в.) с функцией распределения Fx и математическим ожиданием ах;
iVi(t) — однородный пуассоновский процесс с интенсивностью Лі, определяющий количество страховых выплат до момента времени t.
Св. {Xj}j>i и процесс Ni(t) предполагаются независимыми между собой.
Вероятность разорения классического процесса риска (равно как и любого процесса риска с изменяющимся с течением временем капиталом) является функцией z и определяется как
Ф(*) = Р (о mf^ R(t) < 0 | Д(0) = *) , (0.2)
а вероятность выживания Ф(г) = 1 — Ф(г).
Известно, что вероятность разорения для классического процесса риска можно представить в виде формулы с суммированием сверток:
ЪМ = (і - ^) Е (^)'(i - 3?М>. ("-з)
Ых) = -((1- Fx(y))oly, х>0, ах J о
и Fx(x) = 0 при ж < 0. Здесь Fxk ~~ Амкратная свертка функции Fx с собой. Соотношение (0.3) называют формулой Поллачека-Хинчина.
Важной характеристикой процесса риска является относительная страховая надбавка, для классической модели определяемая как
(0.4)
= 1
Ххах
Если относительная страховая надбавка положительна, то выполняется так называемое условие неразорения в среднем
с> axXi.
В параграфе 1.3 первой главы рассматриваются модификации классического процесса риска — такие, как модель Спарре Андерсена и модель с процессом Кокса (обобщенный процесс риска), которые позволяют расширить область его применения путем учета флуктуации процесса страховых взносов. В параграфе 1.4 приводится обзор асимптотических оценок и аппроксимаций вероятности разорения для различных типов распределений страховых выплат (теорема Крамера-Лундберга, случай тяжелых хвостов распределений выплат, аппроксимация моделью с экспоненциальным распределением выплат).
Завершает первую главу параграф 1.5, посвященный практическому использованию формулы Поллачека-Хинчина. Поскольку операция вычисления свертки трудоемка с точки зрения затрат машинного времени, а для fc-кратных сверток объем вычислений возрастает пропорционально ее кратности, представляет интерес построение алгоритма, который позволил бы упростить комплекс численных процедур. Изложенный в настоящей работе алгоритм опирается на метод Фурье. Применение к обеим частям (0.3) преобразования Фурье дает возможность избежать непосредственного вычисления сверток путем перехода к
характеристическим функциям fx(s) — /0 &%xsdFx(x) и фсі(в) = J*0 eixsd<$>ci(x)'-
Us) = (l-^)±{^)kfx(8). (0.5)
Вычисление значения последнего выражения не представляет трудностей, а после применения к (0.5) процедуры обратного преобразования Фурье получается искомая оценка вероятности выживания. В первой главе приводится подробное изложение алгоритма вычисления Фсі(г) указанным способом для случайной выборки величин выплат в качестве исходных данных (явный аналитический вид ф.р. Fx считается при этом неизвестным). Далее приводятся результаты
применения разработанного алгоритма к искусственно полученной с помощью компьютерного моделирования выборке случайных величин, имеющих смысл страховых выплат. Моделирование производилось с известной функцией распределения, вид которой удобен для получения аналитического выражения для вероятности разорения с помощью формулы Поллачека-Хинчина. Это дало возможность произвести непосредственное сравнение аналитических результатов с результатами вычислений вероятности разорения, произведенных с помощью алгоритма. Кроме того, была произведена аналитическая оценка вычислительной ошибки предложенного алгоритма. Сравнение аналитических и численных результатов показало хорошую точность его работы при сравнительно небольших затратах машинного времени (при условии достаточного объема выборки). Теоретические оценки точности алгоритма согласуются с соответствующими экспериментальными оценками.
Во второй главе вводится понятие процесса риска со случайным притоком страховых взносов и строится соответствующая теория. Основная идея состоит в переходе от классического процесса риска к его обобщению путем замены линейного процесса страховых взносов на случайный процесс, что позволяет значительно расширить рамки применения модели:
R(t) = z+YlYi-Ylxj> t^- (-6)
Мы полагаем, что
процесс страховых выплат определен так же, как и в классической модели,
независимые одинаково распределенные неотрицательные величины {1і}і>і с ф.р. Gy и Eli — by соответствуют величинам страховых взносов,
N2 СО — однородный пуассоновский процесс с интенсивностью А2, определяющий количество страховых взносов до момента времени t,
случайные величины {1і}і>і и процесс iV2(t) независимы между собой и не зависят ни от св. {.Xj}j>i, ни от Ni(t).
Для этой модели
-1,
Р а условие неразорения в среднем
ajjfAi < byA2.
В параграфе 2.2 второй главы изложен вывод явного представления для вероятности разорения процесса риска со случайным притоком через распределения и параметры входящих процессов. В отличии от классической модели,
это представление не удается свести к одной формуле; оно состоит из цепочки соотношений:
Ф(*)=«(1-в)*(1-*]?(*)), (0-7)
где Fh — функция вероятностного распределения, характеристическая функция fh(s) := /0 etxsdFh(x) которого определяется соотношением
1 1 г
In ^— = У^ - / eisxdWn*(x), (0.8)
g = 1 — Ф(0) — вероятность выживания при нулевом начальном капитале, и W(x) — ф.р., определяемая соотношением
Щх) - ттш | Ш'(F* *3?)w-5yW =: - *-*>-(а9)
Показано, что в терминах характеристических функций ги, соответствующих распределению (0.9), классический процесс риска является предельным случаем процесса (0.6):
- / ч fx(s) v fx{s) Л , ч
»*<> =-1+(1-^(-/)) ^^rns;=w*w-
В параграфе 2.4 второй главы теория Крамера-Лундберга, позволяющая получить асимптотические оценки вероятности разорения Ф(.г) при г —> со, распространяется на процесс риска со случайным притоком. Показано, что оценка
y(z)~KRe~Rz, z^oo, (0.10)
имеющая место для классического процесса риска, справедлива и для процесса риска со случайным притоком, причем коэффициент Лундберга R определяется соотношением
(1-?)Еехр(Д-<7А) = 1, (0.11)
где оь, — св. с функцией распределения Fh. Коэффициент Кц в оценке (0.10) определяется формулой
K-o=W? (0'12)
/>оо
oJ= / xe?*dFh{x). (0.13)
Процесс (0.6), помимо модели страховой компании, может быть использован, например, как модель пункта обмена валют или игры на бирже. Из-за независимости процессов взносов и выплат такие трактовки даже более приближены к реальности, чем страховая модель.
Для придания процессу риска со случайным притоком большей гибкости как страховой модели далее во второй главе (параграф 2.5) строятся его модификации. В рамках этой задачи мы рассматриваем ряд обобщений процесса вида (0.6), последовательно полагая, что:
Ni(t) и N2(t) — не однородные пуассоновские процессы, а процессы Кокса, т.е. iVi(t) = iV0(Ai(t)) и N2(t) = JV0(A2(t)) где A:(t) и Л2(і) — случайные процессы с неубывающими траекториями, a N0(t) — однородный пуассо-новский процесс с единичной интенсивностью (причем процессы Ai(t) и Л2 (і) в этой модели считаются взаимно зависимыми),
процессы Ni(t) и N2(t) — не пуассоновские, а процессы восстановления,
появляется возмущение процесса (0.6) диффузией.
В параграфе 2.6, завершающем вторую главу, алгоритм вычисления вероятности выживания, опирающийся на метод Фурье, разработанный в первой главе для классического процесса риска, обобщается на процесс риска со случайным притоком. Приводятся результаты моделирования процессов риска, производятся сравнения результатов вычисления вероятности выживания через аналитические представления с эмпирическими данными, полученными посредством искусственного моделирования процессов риска.
В третьей главе сравниваются две модели — классическая и модель со случайным притоком. Анализируется поведение разности | q — qci | вероятностей выживания при нулевом начальном капитале, соответствующих двум процессам, в предположении, что относительные страховые надбавки одинаковы. Интенсивность взносов Л2 в модели со случайным притоком — основной параметр, определяющий степень различия моделей в терминах q:
\q-qci\
где sh — логарифмический синус, и
*i(CU2) = ^^(c2 + 2e + ^ + 2eln(lnV^)) +
+ СЬ + &_, (0.15)
Л2 л/Ш Л2 і/1п Л2
а Сі — коэффициенты, зависящие от параметров с и Лі и не зависящие от Л2. Из (0.14) и (0.15) следует существование предельного перехода
Ч > Qd,
подтверждающего вывод о том, что классическая модель является частным случаем модели со случайным притоком.
Отдельно исследуется вопрос о том, которой из двух моделей соответствует большая вероятность разорения при условии одинаковых страховых надбавок и процессов страховых выплат. Результаты численного моделирования подтверждают справедливость неравенства
Qd > q,
которое в частном случае экспоненциальных распределений выплат и взносов удается получить явно. При моделировании сравнивались вероятности разорения для классической модели и для процесса риска со случайным притоком; для последнего рассматривались следующие варианты плотностей распределений величин взносов:
вырожденная плотность,
степенная плотность,
устойчивая плотность,
экспоненциальная плотность,
гамма-плотность.
По величине вероятности разорения к классической модели наиболее близким оказался случай вырожденного распределения взносов.
Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях кафедры Прикладной математики и информатики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета; на 69—61-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров, аспирантов и студентов СПбГАСУ (2002—2004 гг.); на 56-й международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов в СПбГАСУ (октябрь 2003 г.); на семинаре „Теория риска и смежные проблемы" факультета ВМиК МГУ (ноябрь 2003 г.). Основные результаты работы опубликованы в [14], [15], [16], [17], [18], [19], [46].
Классический процесс риска: описание, представление вероятности разорения, область применения
Из использующихся в страховой математике процессов риска наиболее широкое применение получил так называемый классический процесс риска: Relit) = Z + Ct - J2 XV t - (I-7) i=i
Параметр с 0 называют ставкой страхового взноса, величины страховых выплат {-Xj}j i — неотрицательные независимые одинаково распределенные случайные величины (н.о.р.с.в.) с Fx(x) = P(XL х) и EX? = ах, -Ni(i) — независимый от {-Xj}j i однородный пуассоновский процесс с интенсивностью Лі, определяющий число страховых выплат до момента времени 1
В случае классического процесса риска условие неразорения в среднем сводится к неравенству \\ах с, а относительная страховая надбавка — к соотношению Хорошо известно представление вероятности разорения для классического процесса риска где х Fx{x) = -/(1- Fx(y))dy, x 0, (1.10) о и .Рх(ж) = 0 при х 0, а символ -Рх(ж) обозначает ft-кратную свертку функции распределения Fx с собой: - ( ) — ( х Fx)(x), к 1, Fx — функция распределения с единственным единичным скачком в нуле. Соотношение (1.9) называют формулой Поллачека-Хинчина или формулой Бекмана.
Предваряя содержание следующего параграфа, отметим, что, хотя классический процесс риска является базовой моделью, на практике чаще используются его обобщения, учитывающие те или иные особенности страховых схем и более близкие к реальности. Классическая модель (1.7) содержит два существенных допущения, далеко не всегда строго выполняющихся на практике: линейность притока страхового капитала и пуассоновскии характер распределения количества страховых выплат по времени. Прежде чем переходить к описанию обобщений классической модели, обсудим правомерность использования пуас-соновского процесса в качестве функции распределения количества страховых требований.
В ряде ситуаций более универсальным, чем пуассоновское, является биномиальное распределение. Рассмотрим процесс риска в общей ситуации: предположим, что изменение текущего капитала страховой компании обусловлено взносами и выплатами по договорам, составляющим портфель определенного объема. Допустим, что для всех договоров (пусть их всего п) этого портфеля страховое событие может реализоваться за время действия договора только один раз и вероятность того, что оно произойдет, одинакова для всех и равна q. Тогда общее количество исков по данному портфелю за фиксированный промежуток времени (t = 1) будет иметь биномиальное распределение вероятностей: Pi = -p(N = k) = Ctq\l-q)n-\ к = 0,1,2,...,п. (1.11) На практике во многих случаях число договоров достаточно велико, а вероятность страхового случая q мала. В случае, если среднее число выплат щ за рассматриваемый период времени является некоторым постоянным числом Л, то биномиальное распределение можно приблизить более простым — распределением Пуассона: pk=P(N = k) = , : = 0,1,2,... (1.12)
Пуассоновское распределение может применяться и в том случае, если по договору может быть несколько выплат. В этом случае под q подразумевается отношение числа выплат к числу договоров. За интервал времени t общее количество исков по портфелю будет определяться пуассоновским процессом:
Условия, выполнение которых позволяет применять пуассоновский процесс, следующие: - вероятность предъявления требования в течение временного интервала пропорциональна длине интервала и не зависит от его положения во времени, - количества требований, предъявленных в непересекающиеся интервалы времени, независимы, - случаи предъявления многократных требований единовременно появляются с нулевой интенсивностью.
Трудно ожидать полного выполнения этих условий для большинства реальных страховых схем. Например, страхование от эпидемии, в условиях которой случаи предъявления страховых требований взаимосвязаны, требует разработки иной модели. Вместе с тем, разработан целый ряд обобщений классической модели, позволяющих охватить широкий диапазон используемых в реальности страховых процессов.
Предположение о пуассоновости распределения количества страховых требований по времени означает стационарность всего процесса и влечет за собой неизменность портфеля. Рассматривая процесс риска с точки зрения коммерческого роста, нельзя не обратить внимание на несовместимость стационарности с идеей развития бизнеса. Так в отношении классического процесса риска возникла необходимость учета флуктуации размера дела. Кроме того, часто существенное влияние на модель оказывают флуктуации риска. Необходимость построения обобщений классического процесса риска повлекла появление целого ряда специальных исследований. Краткий обзор результатов этих исследований дан в работе [21], на которую мы опираемся в данном параграфе.
С целью учета обозначенных флуктуации в качестве процесса N(t), управляющего количеством страховых случаев в процессе вида (1.7), может использоваться более общий точечный процесс. Одно из обобщений классического процесса строится с помощью смешанной пуассоновской модели, которая используется, как правило, в тех случаях, когда интересуются кратковременными колебаниями риска. Она заключается в следующем предположении: пусть числом выплат к моменту t управляет не однородный пуассоновский процесс JVi(t), а процесс N(t), который является пуассоновский с параметром Лі (Л — некоторая положительная случайная величина), т. е. N(t) = N0(At), где JVb(i) — однородный пуассоновский процесс с единичной интенсивностью (стандартный пуассоновский процесс). Величина Л называется структурной переменной, а ее функция распределения Н(х) — структурным распределением.
Обобщения классической модели за счет учета флуктуации процесса страховых выплат
Трудно ожидать полного выполнения этих условий для большинства реальных страховых схем. Например, страхование от эпидемии, в условиях которой случаи предъявления страховых требований взаимосвязаны, требует разработки иной модели. Вместе с тем, разработан целый ряд обобщений классической модели, позволяющих охватить широкий диапазон используемых в реальности страховых процессов.
Предположение о пуассоновости распределения количества страховых требований по времени означает стационарность всего процесса и влечет за собой неизменность портфеля. Рассматривая процесс риска с точки зрения коммерческого роста, нельзя не обратить внимание на несовместимость стационарности с идеей развития бизнеса. Так в отношении классического процесса риска возникла необходимость учета флуктуации размера дела. Кроме того, часто существенное влияние на модель оказывают флуктуации риска. Необходимость построения обобщений классического процесса риска повлекла появление целого ряда специальных исследований. Краткий обзор результатов этих исследований дан в работе [21], на которую мы опираемся в данном параграфе.
С целью учета обозначенных флуктуации в качестве процесса N(t), управляющего количеством страховых случаев в процессе вида (1.7), может использоваться более общий точечный процесс. Одно из обобщений классического процесса строится с помощью смешанной пуассоновской модели, которая используется, как правило, в тех случаях, когда интересуются кратковременными колебаниями риска. Она заключается в следующем предположении: пусть числом выплат к моменту t управляет не однородный пуассоновский процесс JVi(t), а процесс N(t), который является пуассоновский с параметром Лі (Л — некоторая положительная случайная величина), т. е. N(t) = N0(At), где JVb(i) — однородный пуассоновский процесс с единичной интенсивностью (стандартный пуассоновский процесс). Величина Л называется структурной переменной, а ее функция распределения Н(х) — структурным распределением. Тогда оо P(iV(t) = ) = fe u(-JTdHW (І-") о а процесс N(t) называется смешанным пуассоновским процессом. С практической точки зрения наиболее интересен смешанный пуассоновский процесс с Н(х) = Tg Kg(x), q О, к О, где ТЧ)Кд — гамма-распределение с плотностью (х) = г-(ах)гР-1 ЪАХ) г(р) Тогда N(t) имеет отрицательно биномиальное распределение с параметрами щ и q/(q+t), a iV(i) называется процессом Яойо. Соответствующая модель теории риска носит название Пойа-Эггенбергера. Впервые она была упомянута в 1923 году как „модель инфекции".
Для того, чтобы смешанный пуассоновский процесс был экономически эффективным (т.е. соответствующая относительная страховая надбавка оставалась положительной), флуктуации риска должны компенсироваться соответствующими взносами случайного размера, поэтому от линейности притока страхового капитала необходимо отказаться. Это показывает следующее рассуждение, приведенное в [21]. Пусть N(t) — смешанный пуассоновский процесс со структурной переменной Л, имеющей неограниченный носитель, но такой, что ЕЛ оо, и пусть Я — структурное распределение. Тогда функция распределения суммы выплат к моменту t записывается в виде оо Dt{x) = Y,Pk{t)Fn {x), fc=0 где оо pk[t) = fe- dH{\). о Вероятность разорения для процесса вида (1.7) со смешанным пуассоновским процессом N(t) вычисляется с помощью формулы полной вероятности: Ф(г)= [y(z\A = \)dH{\).
Если теперь предположить, что интенсивность взносов с постоянна, тогда при Л с/ах получаем Ф(г Л = Л) = 1 и, следовательно, Ф(з) Р(Л с/ах) 0 для всех z 0.
Поэтому страховой компании, не меняющей размер страховых взносов в зависимости от колебаний риска, грозит разорение. Следовательно, процесс взносов целесообразно рассматривать в форме c{t) = (l + p)axX{t), где X(t) — случайный процесс, полностью определяющийся процессом N(t). В [21] предложено оценивать X(t) посредством X(t) = Е[Л I Щи); « t] = Ur.JZvjJ, (115) Jo —ты—dli\A) xt(Xt)r N(ty. Соотношение для текущего капитала примет вид N(t) R(t) = z + c(t) - D(t) = z + (1 + p)axX(t) Y Xr С1-16) В модели Пойа - -
От колебаний риска переходим к флуктуациям размера портфеля, для учета которых в качестве N{t) принято брать неоднородный пуассоновский процесс. Пусть A(t) — неубывающая непрерывная функция с А(0) — 0 и A(t) оо для каждого t оо, и пусть величина N(t) распределена по закону Пуассона с параметром A(t). Тогда N(t) называется неоднородным процессом с мерой интенсивности А.
По фундаментальной теореме о случайной замене времени (см., например, [23]) пуассоновский процесс N0(t) = No А г(Ь) = N(A 1(t)), где А х — обратная к А функция, является стандартным пуассоновским процессом. Обратно, с помощью стандартного пуассоновского процесса iV0 можно построить неоднородный пуассоновский процесс с заданной мерой интенсивности А, положив N(t) — N0 о A(t) = N0(A(t)). Если функция А абсолютно непрерывна, то ее плотность а называется функцией интенсивности.
Вероятность разорения как решение однородного уравнения Винера-Хопфа
Изложим дополнительные соображения относительно способов оценивания вероятности разорения процесса риска со случайным притоком. Некоторые из изложенных в этом параграфе результатов (отмечены отдельно) принадлежат А. В. Бойкову [4].
Вернемся к рекуррентной записи процесса риска (2.2): RQ = z, Rn+l Rn + Hn+i — Xn+x, n 0, В терминах этого соотношения выражение для вероятности разорения принимает вид Ф(г) = P(infRn 0\Ro = z).
Очевидно,что inf„ Rn О, если i = X\ — JXI z (в этом случае происходит разорение в момент l[ ). Если же i z, тогда Ri = z — 1 0, и величины R2,R$,..., как элементы цепи Маркова, определяются только величиной Дц. Принимая во внимание также то, что св. {„} независимы и одинаково распределены, запишем: P(infAn 0 Ді = у) = Ф(у). п 1 Пользуясь последним соотношением и полагая Ф(,г) = 1 для отрицательных z, получим: Ф(г) = EP(infRn 0 Jfc = г,&) = п = EP(mfRn 0\R0=z,1,R1=z-1) = П = EP(inf Rn 0 J?i = - &) = n = ЕФ(г-&). Следовательно, z Щг)= I {z-u)dW{u), z 0, (2.65) или, что то же самое, —00 00 ф(г) = / V(u)w(z - u)du, z 0, (2.66) где w — плотность распределения W.
В традиционной терминологии (2.66) носит название уравнения Винера-Хопфа. На первый взгляд может показаться, что решение (2.66) — наиболее простой способ получения оценок для Ф(;г) в отличии от достаточно громоздкой теории, приведшей к цепочке соотношений (2.62)-(2.64). В действительности, однако, уравнение (2.66), взятое само по себе, оказывается весьма трудным для изучения. Например, теорема единственности неверна для (2.66) даже в классе распределений вероятностей. Основная идея метода Винера-Хопфа аналитического решения данного уравнения состоит во введении некоторой вспомогательной функции, что, в конечном счете, позволяет свести (2.66) к паре уравнений, равносильных (2.13). Таким образом, использованный нами аналитический подход к решению (2.66), опирающийся на рассмотрение первой лестничной высоты, а также на факторизацию Винера-Хопфа (2.27), фактически, единственен.
Вместе с тем, к уравнению (2.66) могут быть применены численные методы решения. Теория интегральных уравнений в свертках развита, например, в [6] и [7]. В [7] разработаны практически применимые проекционные методы решения интегральных уравнений типа свертки, в частности — одностороннего уравнения Винера-Хопфа вида оо (р(х) - к(х- u)ip(u)du — f(u) (О х оо, к(х) Є Lx). (2.67) о Основная идея проекционного метода решения (2.67) (решение, в общем случае, ищется в классе функций ір(х) Є Lp(0, оо)) состоит в рассмотрении усеченного уравнения С р(х) - к(х- u)ip(u)du = f(u) (О х оо, к(х) Є Li), (2.68) о которое, как можно показать, начиная с некоторого С, имеет единственное решение Фс,{х) Є Lp(0,C)) а продолженные нулем функции ( ) = ( 0, С х сходятся к (р(х) при С — оо при любой правой части f(x) Є Lp(0, оо), если выполнены следующие условия: 1. 1 - k(s) Ф О (-оо s оо), 2. = [aig(l- («))] =0. s=—оо Как показано, например, в [7], решение уравнения (2.68) имеет вид п-1 р(а;) = J2X (X) (2-69) J=0 %п(ж) — ортогональные полиномы, такие, что оо Us) := f Xa{x)dx = ( j)" -., (2.70) о а коэффициенты Aj определяются алгебраической системой вида п-1 /ai-kXj = bj, (2.71) fc=0 {% } 1} коэффициенты разложения в ряд Фурье функций 1-А; ( 1г) и / (i zf) соответственно.
Применение теории проекционных методов к уравнению Винера-Хопфа (2.66) позволяет получить численные оценки вероятности разорения в тех случаях, когда соотношениями (2.62)-(2.64) пользоваться нецелесообразно из-за трудоемкости вычислений при их применении (например, в тех ситуациях, когда распределения взносов и выплат заданы в виде дискретных массивов ограниченных размеров).
Количественное сравнение вероятности разорения двух моделей как результат применения разработанного комплекса программ
Помимо оценки модуля разности q — qci представляет также интерес вопрос о знаке данной разности. С практической точки зрения сведения о том, для какой из двух моделей вероятность разорения больше (при одинаковых страховых надбавках), позволяют судить о степени соответствия моделей реальному прототипу страховой компании.
Вновь обратимся к факторизации Винера-Хопфа (2.27). Поделим обе части этого соотношения на s и устремим s к 0. Получим: E(-ei) = (lth(0))-Efe). (3.16) Как показано в [31] (стр. 686), из того же соотношения (2.27) вытекает, что E&)=E(r).E(-&). (3.17) Следовательно, q=m=m (3-18) Помимо этого, известно, что (также [31], стр. 686), E(?) = expJ]i— , (3.19) n=l П rAean = P(hn 0) = W n(0).
Таким образом, сравнение величин д и qci сводится к сравнению Р(Л„ 0) и Р(Лг 0). Сравним величины Р(х 0) и P(f 0)- Поскольку о Р(Єі ж) = W(a) = F РДя) = / Р(ж - «) ?„(«), —ОО где Pfi(u) = 1 — РД—и), то необходимо определить разницу между значениями выражения ОО W(0)= /V(u)dPM(«) (3.20) о для процесса со случайным притоком и для классической модели. Опираясь на рассуждения, приведшие к (2.33), запишем ОО Р„(х) = J (P,(x))tdt; (3.21) о (P,(x))t = Р ( + - + l co, I (1) = ) = в"Л2І G ( ) fc=0 и Р (ж) - Р(с [1) х) = 1 - е-(Аі/с)ж. (3.22)
К сожалению, в общем случае получить оценку разности между распределениями Pfi(u) и Pj?(u) в явном виде не представляется возможным. Рассмотрим частный случай. Пусть Gy(x) — функция распределения с единственным единичным скачком в точке х — by. Такому распределению соответствует характеристическая функция elbYS и, в соответствии с (2.36), P S) = і + (Л2/Аі)(1-е ) Последняя х.ф. соответствует биномиальному распределению (см, например, [12]), приписывающему точкам к = 0,1,... веса / = Л \ ( л -Ч ) :
Кроме того, пусть распределение Fx — экспоненциальное: Fx(x) = 1 — е xlax. При сделанных предположениях ИЧО) = 1 - / e- -dPM = 1 - Лі+Аг(1Л: e_lYhxY (3.23) о оо ИЪ(0) = 1 - J e- -dP u) = 1 - Xi + l/ax (3.24) о Сравним (3.23) и (3.24), полагая, что математические ожидания величин i и f совпадают, т.е. величины с = Аг&у. Очевидно, что by/ах 1 — е Ъу1ах, и, следовательно, Wci(O) W(0). Поскольку разность между W "(0) и W n(0) может только возрастать с ростом п, принимая во внимание (3.18) и (3.19), приходим к заключению, что для рассматриваемого случая qci (3.25)
Приведем результаты численных оценок вероятности разорения, полученных в результате моделирования соответствующих процессов.
Мы рассматриваем классическую модель и модель со случайным притоком со следующими плотностями ду{х) распределениями выплат: вырожденная плотность: 5і(ж) = $(х і)і (0) = 1, 8(х) = 0, х ф 0; степенная плотность : 9ъ{х) = а-2%Р2, р2 1, х 0; устойчивая плотность: gs{x) = —ds + с3/хрз, 0 ps 2, х 0; экспоненциальная плотность : д±{х) = е Р4Х, РА О, х 0; гамма-плотность : дь(х) = а%,&е а5ХхР5 г/Т(р5), а5 0,р5 0.
Параметры, входящие в плотности распределений &, и величина ставки страхового взноса с классического процесса брались такими, чтобы относительная страховая надбавка р была одинакова во всех случаях.
В таблице приведены результаты моделирования, произведенного со следующими параметрами: р = 0.5, Лі = А% = 1. Количество реализаций каждого процесса — 64; fx(x) — гамма-плотность с параметрами а = 1.8 и р = 9.
Численные результаты говорят о том, что классическая модель дает наиболее оптимистичную оценку вероятности выживания, а экспоненциальная плотность, наоборот, соответствует наиболее низкому уровню вероятности выживания. Случай вырожденного распределения выплат, который мы рассмотрели с теоретических позиций, наиболее близок к классической модели.
В заключение этого пункта, приведем оценку разности дисперсий цг и [if (по-прежнему, предполагаем, что с = А2Е(Уі)). Принимая во внимание (2.41), имеем: УагЫ - Var( ) = (Х2/Х1) Е(У12) + (A )2 (E(YX))2 - (с/Ах)2 = (VAi) E(l?).
Так как Е(У2) [Е(У)]2 для произвольной св. Y, то дисперсия св. [ix всегда превосходит дисперсию св. [if. Следовательно, функции распределения (3.21) должны иметь более тяжелые хвосты, чем (3.20) при условии одинаковых математических ожиданий.
