Введение к работе
Актуальность проблемы,
1. Развитие актуарной науки в России и других странах. Моделирование - один из самых распространенных и доступных приемов изучения реальных процессов, происходящих в экономике, в частности, в страховом бизнесе. В силу своей специфики страхование, как финансовый институт, имеет своей целью обеспечение страхователей, т.е. физических лиц, заключающих договоры страхования или третьих лиц, в пользу которых они заключены, денежными средствами при наступлении страховых случаев. Последние, в свою очередь, являются реализацией неких случайных событий, качественно и количественно судить о которых можно, изучив степень риска того или иного конкретного договора страхования. Это, безусловно, делает вероятностное (стохастическое) моделирование одним из наиболее важных инструментов при принятии решений о ведении пел в страховых компаниях.
Следует заметить, что количественной оценкой риска занимаются актуарии -специалисты в страховой (актуарной) математике. Основы актуарной теории как особой этрасли науки были заложены в XV11 в. работами таких ученых, как Д. Граунт, Я. Де Витт, Э. Галлей. Э. Галлей определил основные функции таблиц смертности, исчислил вероятности дожития и смерти, ввел понятие средней продолжительности жизни, исчислил тарифы по страхованию ренты. К концу XVII - началу XVIII века страхование жизни зстало на научную основу. В XVIII веке актуарную теорию разрабатывали ряд ученых, зключая знаменитых российских академиков Д. Бернулли и Л. Эйлера.
Зачатки стохастического исчисления: актуарная наука ассимилировала около :толетия назад. Дифференциальные уравнения для вероятности возможного разорения сомпании были получены Лундбергом еще в 1903 г., когда понятие стохастического іроцесса не было еще точно определено. С начала 20 века в Европе и США актуарная математика получила мощный стимул для дальнейшего развития благодаря огромному (кладу в нее таких выдающихся математиков, как Г. Крамер, В. Феллер, А. Лотка, а также, юзднее, таких известных ученых-актуариев, как Н. Buhlmann, H.U. Gerber, CD. Daykin, P. Jmbrechts, R. Norberg, P. Petauton и других.
На рубеже 19 и 20 веков в России быстро развивалось страховое дело и актуарные фактика, образование и наука, что нашло свое отражение в работах Б.Ф. Малешевского, ГС. Лунского, Ф.А. Бабаловича, П.М. Гончарова и многих других. После монополизации трахового дела в СССР существовало только две страховые организации: Госстрах и Інгосстрах, что не стимулировало развитие актуарной науки. Однако, и в СССР іродолжались работы по актуарной науке и смежным проблемам демографии, что нашло вое яркое отражение в трудах таких ученых, как Кагаловская Э.Т., Калихман А.И., Лотылев Л.А., Рейтман Л.И., Четыркин Е.М. и ряда других.
С начала 90-х годов в России в области страховой и финансовой математики ктивно работают такие известные ученые, как Ширяев А.Н., Четыркин Е.М., Фалин Г.И., Іашарин Г.П., Булинская Е.В., Виноградов О.П., Королев В.Ю., Мельников А.В., Ротарь І.И., Шоргин С.Я. и другие.
По инициативе заведующего кафедрой теории вероятностей, профессора, кадемика АН УССР Гнеденко Б.В. и ректората МГУ им. М.В. Ломоносова в 1993 г. на іеханико-математнческом факультете была открыта экономико-математическая пециализация, основой которой служила страховая и финансовая математика, іналогичную работу на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ роделал профессор кафедры исследования операций Ашманов С.А., а в 1995 г. на кономическом факультете МГУ была создана кафедра управления риском. В 1994 г. на
базе МГУ было создано Российское Общество Актуариев, первым президентом котороп стал член-корреспондент РАН Ширяев А.Н.
С 1994 г. по инициативе руководства Российского университета дружбы народов н; кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета физико математических и естественных наук в рамках специальности "Прикладная математика і информатика" читается цикл актуарных дисциплин и производится выпуск бакалавров і магистров.
Учебная и исследовательская работа в этом направлении проводится в ряде ведущи: вузов Москвы, Санкт-Петербурга и некоторых других городов России в рамка: экономических и экономико-математических специализаций.
2. Актуальность работы. Теория стохастического исчисления, которая свое развити получила, в основном, в последние полвека, дает возможность унифицированного подход к широкому классу задач, связанных с предсказанием поведения в будущем страховы договора, портфеля или предприятия на основе прошлой истории. Подходящие вереи теоремы Дуба о свободном выборе и цепное правило для семимартингалов (обобщенна формула Ито) вместе с разложением Дуба-Мейера и некоторые элементарные факты и теории мартингалов дают интегральные, дифференциальные или интегрс дифференциальные уравнения и для моментов современных стоимостей финансовы потоков, для вероятности разорения и других функций, имеющих практический интереї Подход работает в достаточно сложных моделях, способных отвечать реальным система> минимизируя как риск ответственности страховой компании перед клиентами, так и рис размещения активов.
Очень часто достаточно сложные системы, описывающие финансовк взаимоотношения страховой компании (страховщика) и ее клиента (страхователя обладают свойством Маркова, т.е. отсутствием памяти. Иными словами, в каждый момеї действия договора страхования возникающие финансовые готоки определяются ситуациеі сложившейся непосредственно к этому моменту, и не зависят от предыдущей истории эта взаимоотношений. Примерами таких систем являются финансовые потоки, возникающие результате заключения договоров страхования жизни определенного вида или договоре страхования автогражданской ответственности. Поскольку такие договоры заключают! наиболее часто и являются классическими с точки зрения теории страхования и посколы изучены и применяются на практике далеко не все математические аспекты, связанные ними, то выбор темы исследования представляется достаточно актуальным.
Целью данной диссертационной работы является изучение, систематизация дальнейшее развитие вероятностных моделей, широко используемых в актуарш математике при исследовании страховых систем, обладающих свойством Маркова, а некоторых случаях и без него, и применение полученных результатов в практическ( деятельности.
Методы исследований. В работе использованы методы теории вероятносте математической статистики, актуарной и финансовой математики, математическ< демографии.
Научная новизна и результаты, выносимые на зашиту, состоят в следующем: - с помощью дифференциальных уравнений для резервов в страховании жизі получены новые формулы для расчета нетто- и бругто-премий по страхованию пенсии і инвалидности, удобные для практического применения;
построена и исследована математическая модель финансовой деятельное страховой компании при осуществлении ей перестрахования жизни для двух различш типов договоров перестрахования;
- тарифы существующего во многих странах, включая Беларусь, и готовящегося в ?Ф обязательного страхования автогражданской ответственности (АГО), основаны на «пользовании системы бонус-малус (скидок и надбавок) и нуждаются в серьезных засчетах. Полученные в третьей главе результаты позволяют прогнозировать изменение :траховых взносов, которые на практике за несколько лет уменьшаются более чем вдвое, 1то может нанести страховой компании большие убытки.
Практическая ценность работы. Большинство вероятностных и статистических методов, описанных в диссертации, применимо и частично уже было использовано в заботе страховых и перестраховочных компаний. Результаты диссертации могут быть юлезны при принятии решений о заключении договоров перестрахования на основе гзучения финансовых показателей перестраховочной деятельности. Приведенные в шссертации формулы позволяют рассчитать страховые резервы и страховые премии для )азличных типов договоров страхования жизни. Кроме того, полученные результаты юзволяют смоделировать финансовые потоки, возникающие в результате заключения юговоров страхования. Результаты Главы 4, позволяют органам страхового надзора и яраховым компаниям при страховании автогражданской ответственности обоснованно шодить в действие системы бонус-малус. Публикации по теме диссертации и результаты заботы использовались на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета іружбьі народов в студенческих НИР, выпускных работах бакалавров и магистерских щссертациях.
Реализация результатов работы. Исследования проводились по плану госбюджетных ШР Российского университета дружбы народов "Математические методы и модели в іемографии и страховании" (государственный регистрационный номер 01.20.00 06593). В ІАО "Страховом обществе "ЛК-Сити" на практике проводилось сравнение эффективности зассмотренных автором различных методов перестрахования с точки зрения іерестрахователя, что подтверждается справкой о внедрении. В результате наиболее іффективньїм был признан метод, рекомендуемый автором в диссертации.
Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, Накладывались на XXXI-XXXV научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (Москва, 1995-1999 г.г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включения, списка литературы из 58 наименований и двух приложений. Диссертация :одержит 108 страниц текста, 5 рисунков, 11 таблиц.