Введение к работе
Актуальность темы. Интенсивное развитие теории нелинейных явлений, появление мощных аналитических методов решения нелинейных эволюционных уравнений, таких как метод обратной задачи рассеяния, алгебро-геометрические методы интегрирования и др., тем не менее, однако оставляет за математическим моделированием и вычислительным экспериментом основную роль в качестве инструмента исследования широкого круга нелинейных явлений. Именно численное моделирование остается, при отсутствии надежных аналитических методов, практически основным инструментом исследования поведения сложных комплексных нелинейных диссипативных систем.
Векторные нелинейные сигма-модели (ВНСМ), впервые предложенные Гелл-Манном и Леви1 в теории поля, находят широкое применение в различных областях теории конденсированного состояния2, в частности, при описании антиферромагнитных систем, квантового эффекта Холла, сверхтекучего гелия - 3 ( Не), сверхпроводимости (двумерные топологические солитоны).
Начиная с пионерских работ Т. Скирма3 (T.H.R. Skyrme), в которых топологические солитоны нелинейного уравнения sin-Гордона были использованы для описания ядерной материи, начинают свое развитие непертурбативные квантовые теории поля, являющиеся альтернативными по отношению к хиггсовской Стандартной модели. Некоторые свойства известных в настоящее время частиц, имеющих составную структуру, описываются, в том числе теорией связанных состояний, природа образования которых определяется непертурбативными эффектами (например, в моделях, основанных на использовании динамических уравнений Бете-Солпитера, Тамма-Данкоффа, в модели бэби-скирмиона4 и др.). Таким образом, найденные в работе новые связанные состояния,
1 Gell-Mann М., Levy М. The axial vector current in beta decay II Nuovo Cimento 16 (1960) 705-726.
Косевич A.M., Иванов Б.А., А.С.Ковалёв. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев: Наукова думка, 1983, 193 с.
3 Skyrme T.H.R. A Non-Linear Field Theory II London: Proceedings of the Royal Society, Ma
thematical and Physical Sciences, Series A, (Feb. 7, 1961), Vol. 206, No. 1300, 127-138.
4 Kudryavtsev A., Piette В., Zakrjevski W.J. Mesons, Baryons and Waves in the Baby Skyrmion
Model II England, Durham: DH1 3LE - arXiv:hep-th/9611217vl, 26 NOV 1996, DTP-96/17.
описываемые бризерными решениями, представляют значительный интерес в теории элементарных частиц, в частности, в физике адронов.
По всей видимости, скирмионы, бризеры и топологические со-литоны, используемые в непертурбативной теории ПОЛЯ, являются частными случаями более общих видов возбуждений, которые описываются теорией струн (или суперструн). Именно эти возбуждения описывают элементарные частицы, в частности адроны. Теория суперструн и супермембран в настоящее время является бурно развивающейся областью науки, и пока полная теория не построена. Известно, что в теории струн элементарные частицы представляют собой достаточно сложные объекты, описываемые в 11-мерном пространстве-времени, и именно эта теория является претендентом на более общую теорию за пределами Стандартной модели.
Как отмечено в работах A.M. Полякова5, имеется глубоко ко-ренящая аналогия между четырехмерными теориями Янга-Миллса и двумерными SU(N) ВНСМ, и последние, являясь более простыми, могут служить в качестве модельного представления уравнений Янга-Миллса, т.е. быть своеобразной теоретической лабораторией для апробации методов моделирования непертурбативных теорий поля.
Таким образом, ВНСМ находят широкие приложения, как в физике конденсированного состояния, так и в теории поля, и их исследования носят мультидисциплинарный характер.
Целью диссертационной работы является:
Математическое моделирование динамических и топологических солитонов 0(3) векторной нелинейной сигма-модели теории поля численными методами.
Нахождение новых численных бризерных решений одно- и двумерной 0(3) векторной нелинейной сигма-модели, обладающих динамикой вращения вектора A3-поля в изоспиновом пространстве, установление области их устойчивости в зависимости от параметров решения и исследование динамики их взаимодействий.
Поляков A.M. Калибровочные поля и струны. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999, 312 с.
3. Численное моделирование топологических возбуждений с нетривиальным индексом Хопфа в двумерной 0(3) векторной нелинейной сигма-модели и исследование динамики их взаимодействий.
Методика исследований. В работе использованы основные принципы теории разностных схем, с привлечением стереографической проекции и учетом теоретико-групповых особенностей конструкции класса 0(N) ВНСМ теории поля. Разработаны алгоритмы и созданы компьютерные коды для численного моделирования 0(3) ВНСМ, а также анализа и визуализации.
Научная новизна. Разработан алгоритм, который позволяют избежать сингулярности при проведении численных исследований локализованных возбуждений нелинейных теоретико-полевых моделей, в частности 0(3) ВНСМ.
Получены новые бризерные решения анизотропной 0(3) ВНСМ в одномерном случае, обладающие динамикой внутренней степени свободы в изопространстве. Определена энергия связи для составляющих бризерного решения. Выявлен порог устойчивости численных бризерных решений в зависимости от частоты вращения СО вектора A3-поля в изопространстве и от скорости движения
солитона V .
Проведено численное моделирование динамики взаимодействия бризеров 0(3) ВНСМ в одномерном случае. Установлено, что столкновение бризеров 0(3) ВНСМ в отличие от бризеров уравнения sin-Гордона (СГ) носит неупругий характер.
Численными методами получены новые движущиеся топологические солитоны двумерной 0(3) ВНСМ с различными значениями топологического заряда (индекса Хопфа) в изотропном и анизотропном случаях. Аналитически и численно показана устойчивость данных топологических солитонов.
Получены численные модели динамики взаимодействия топологических солитонов двумерной 0(3) ВНСМ в анизотропном случае, исследованы основные свойства данных моделей.
В частности, получены дальнодействующие модели динамики упругого взаимодействия топологических солитонов двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ. Численно исследована изоспиновая динамика данных солитонов, выведен аналитический вид системы
взаимодействующих топологических солитонов, проявляющих свойства дальнодействия.
Получены численные модели процесса распада топологических солитонов двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ на локализованные возмущения вследствие их взаимодействия. Показано сохранение суммы топологического заряда взаимодействующих солитонов после их распада на локализованные возмущения (ЛВ), предложен численный метод определения топологического заряда локализованных возмущений.
В качестве общей закономерности установлено, что столкновение топологических солитонов двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ, сопровождающееся их распадом (вплоть до полного разрушения), происходит с дискретными потерями топологического заряда (ТЗ) по одной единице, и, соответственно, потери энергии топологическим солитоном (ТС) также носит периодический характер.
Получены численно новые бризерные решения двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ, обладающие динамикой внутренней степени свободы и динамикой вращения в изотопическом пространстве.
Практическая значимость. Исследование магнитно-упорядоченных структур имеет непреходящее значение с точки зрения их использования в различных областях микро- и нано-электроники, в том числе, в качестве элементов памяти. В настоящее время хорошо установлены нелинейные уравнения динамики намагниченности - это уравнение Ландау-Лифшица и ВНСМ. Создание пакета компьютерных программ для моделирования процессов в системах, описываемых подобными уравнениями, наталкивается на ряд принципиальных проблем, таких как появление сингу-лярностей на полюсах изосферы и т.д. Разработанные в работе алгоритмы численного моделирования процессов динамики намагниченности в магнитных системах при наличии внешних управляющих факторов, могут найти применение при создании запоминающих устройств.
Апробация работы. Основные результаты диссертации представлены и докладывались на международных научных конференциях, школах и семинарах: Международная школа молодых ученых стран СНГ «Смежные проблемы физики и астрофизики частиц сверхвысоких энергий» (Душанбе, 2011); 8-я Международная кон-
ференция по компьютерному анализу проблем науки и технологии (Душанбе, ТНУ, 2011); Международная научная конференция «Современные проблемы математики и ее приложения», посвященная 70-летию члена-корреспондента АН Республики Таджикистан Му-хамадиева Э.М. (Душанбе, 2011); научный семинар Института математики АН РТ (Душанбе, 2011); научный семинар «Актуальные задачи и первые результаты деятельности Международного научно-исследовательского центра Памир-Чакалтая» (Душанбе, АН РТ, 2011); 6-я Международная научно-техническая конференция «Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта» (Вологда, ВоГТУ, 2011); Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения - XXII» Современные методы теории краевых задач (Воронеж, ВГУ, 2011); Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, ВГУ, 2011); Международная молодёжная инновационная сессия СНГ (Москва, 2010); Стажировка молодых учёных стран СНГ (ОИЯИ Дубна, 2010); Международная научная конференция «Современные проблемы физики» (Душанбе, АН РТ 2010); Международная научно-техническая конференция «Автоматизация и энергосбережение машиностроительного и металлургического производства, технология и надежность машин, приборов и оборудования» (Вологда, ВоГТУ, 2010), Международная научно-практическая конференция «Перспективы междисциплинарных высокогорных исследований природных систем с учетом астро-космических факторов» (Душанбе, АН РТ, 2010); Форум «Digital Youth of Central Asia» (Душанбе, 2009-2010); а также на семинарах Физико-технического института им. СУ. Умарова АН Республики Таджикистан (Душанбе, 2009-2011) и семинарах кафедры «Высшей математики и моделирования» Таджикского государственного университета права, бизнеса и политики (Худжанд, 2008-2009).
За созданные пакеты прикладных программ для моделирования нелинейных возбуждений в 0(3) ВНСМ автор был удостоен Диплома лауреата «Открытого конкурса молодёжных инновационных проектов в области гуманитарных, естественных и технических наук в государствах - участниках СНГ» (Москва, 8-10 декабря 2010 г.) и Сертификата об успешном прохождении предваритель-
ной экспертизы на базе ОАО Технопарк «Система-Саров» (Москва, 2010 г.)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 печатных работах, в том числе 4 в рецензируемых изданиях, также получены 5 Свидетельств о регистрации интеллектуального продукта в Государственном учреждении «Национальный патентно-информационный центр» Министерства экономического развития и торговли Республики Таджикистан. Список публикаций и патентных документов приведен в конце автореферата.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка использованной литературы. Работа изложена на 141 страницах машинописного текста, содержит 76 рисунка. Список литературы включает 142 наименования.
