Введение к работе
Актуальность темы исследования
Более 30 последних лет в физике уделяется пристальное внимание асимптотически свободным моделям квантовой теории поля. Как известно, Стандартная модель слабых, сильных и электромагнитных взаимодействий базируется на теории калибровочных полей (полей Янга-Миллса).
С точки зрения теории перенормировок асимптотическая свобода, т.е. "отключение" взаимодействия на малых пространственно-временных масштабах, связана с ультрафиолетовым поведением /3-функции. Инфракрасное поведение теории, связанное с наблюдаемым явлением конфайнмента кварков, в настоящий момент полностью не изучено. Не существует пока законченной квантовой теории электрослабых и сильных взаимодействий. Подробное изучение теории перенормировок должно позволить продвинуться в деле изучения данных явлений.
Известны также асимптотически-свободные модели, которые реализуются в двумерном псевдоевклидовом пространстве. Пример подобной теории — нелинейная сигма-модель. Она применялась в физике в попытках описания взаимодействий муль-типлета 7г-мезонов. В настоящее время нелинейная сигма-модель используется в теории конденсированного состояния.
Калибровочные поля являются достаточно сложным объектом для исследования. В частности, трудности появляются в процессе вычислений в виду большого количества расходящихся слагаемых, возникающих при регуляризации интегралов по четырёхмерному пространству. Известно, что нетривиальной двумерной теории Янга-Миллса нет. Тем не менее, структура расходимостей сигма-модели оказывается похожей на таковую для квантовой теории калибровочных полей. Значит, прежде чем основательно приступать к изучению теории перенормировок последних, разумным будет подробно разобраться с перенормировками нелинейной сигма-модели. Вычисления в двумерной теории более просты, нежели в четырёхмерной модели.
Сказанное выше является одной из причин, вызывающих интерес к сигма-модели. Кроме того, сигма-модель и её частные случаи, такие как матричная сигма-модель (иначе, главное киральное поле) ещё не изучена во многих аспектах, в частности, не проведено полное исследование старших порядков теории возмущений в формализме фонового ПОЛЯ.
В квантовополевой теории перенормировок применяется несколько схем регуляризации. Интуитивно понятной с физической точки зрения является регуляризация с импульсом обрезания, восходящая к Ландау и Вильсону и лежащая в основе тео-
рий ренорм-группы. Кроме наглядности эту регуляризацию легко связать с методом собственного времени Фока, значительно упрощающим вычисления. Однако, у неё имеются недостатки, связанные с отсутствием калибровочной инвариантности, что, в конечном счёте ведёт к усложнению вычислений и возможному появлению неоднозначности в последних. Существует альтернативная чисто формальная схема регуляризации — так называемая размерная регуляризация, предложенная т'Хоофтом и Вельтманом. Она сохраняет калибровочную инвариантность и вычисления становятся проще. Две схемы регуляризации приводят к различным выражениям для "бегущей константы связи". В регуляризации с импульсом обрезания Л мы имеем
+ с01п- + сі1п-е2(Л) + ..., (1)
емсЫ е2(Л) Д »
где \i — величина, имеющая размерность импульса, называемая точкой нормировки,
а в размерной регуляризации — выражение
+ -//-є + -е2(ф-2є +
4rW еЧє) є є
где є — дефект размерности, а \і — параметр с размерностью импульса. Определяемые этими формулами выражения будут совпадать при снятии регуляризации, если выполнено следующее соотношение для коэффициентов
со = bo, сі = 2&i (3)
(это следует из совпадения /3-функций для двух схем регуляризации).
Существует гипотеза о совпадении указанных выражений при снятии регуляризации для калибровочных полей, однако она не проверена строго в виду наличия уже упоминавшихся выше трудностей. На примере двумерной матричной сигма-модели проверка этого утверждения представляется более простой.
Проверка гипотезы сводится к вычислению бесконечной части эффективного действия в двухпетлевом приближении с применением регуляризации с импульсом обрезания и размерной регуляризации. Таким образом, мы фактически сравниваем два первых универсальных коэффициента /3-функции. В связи с процедурой вычисления, также интересен вопрос, какие диаграммы дают вклад в эффективное действие при двух различных регуляризациях.
В диссертации изучаются вопросы, связанные с обоснованием теории перенормировок применительно к матричной сг-модели.
Цель работы
Основная цель работы состоит в проверке гипотезы (3) для матричной сг-модели. Т.е. надлежит вычислить бесконечную часть эффективного действия с точностью до двухпетлевого приближения.
Полученную /3-функцию необходимо сравнить с уже имеющимися результатами исследования нелинейной сг-модели. В частности полезно будет провести сравнение в асимптотическим режиме большого N для 0(ІУ)-симметричной сг-модели (модели п-поля).
Попутно весьма интересным представляется изучение перенормировки "головастика" (одночастичной вершинной функции) в однопетлевом приближении и сравнение её с перенормировкой эффективного действия.
Научная новизна
Совпадение перенормировок эффективного действия в регуляризации с импульсом обрезания и в размерной регуляризации влечёт два важных физических следствия. С одной стороны это оправдывает использование формальной размерной регуляризации для сигма-модели, а с другой, возможно, позволит расширить область применения неинвариантных регуляризации.
В данной работе используется вариант формализма фонового поля, который сравнительно недавно был предложен Л. Д. Фаддеевым. Он заключается в разложении действия в окрестности неклассического внешнего поля при построении эффективного действия и производящего функционала /S-матрицы через функциональный интеграл. Само фоновое поле удовлетворяет квантовым уравнениям движения, которые только в нулевом порядке по h совпадают с классическими уравнениями движения. В рамках этого подхода наиболее просто осуществить перенормировку теории с одной безразмерной константой связи (сигма-модель, поле Янга-Миллса).
Квантовополевые вычисления проводятся не в традиционном импульсном представлении, а в координатном, которое при работе в формализме фонового поля более удобно. При этом полученные коэффициенты бета-функции выражены в терминах нормировки оператора Казимира группы, в которой принимает значение главное ки-ральное поле (в рассматриваемом конкретном представлении), подобно теории Янга-Миллса, что не встречается в современных исследованиях старших порядков для матричной сигма-модели.
Известная сводка правил для двухпетлевых рассчётов в схеме размерной регуляризации в четырехмерном случае [знаменитая работа Jack I. and Osborn Я., Nucl. Phys. В,
207, 474 (1982)] при перенесении на двумерное пространство-время требует некоторого уточнения; часть формул выводится непосредственно в процессе вычислений.
Личный вклад автора в получение результатов
Диссертация написана по материалам исследований, выполненных в процессе обучения в аспирантуре на кафедре высшей математики и математической физики Санкт-Петербургского государственного университета в период 2004-2007 гг. Задача исследования поставлена научным руководителем Л. Д. Фаддеевым. Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.
По итогам работы опубликовано 4 труда, вклад в которые также полностью принадлежит автору. При написании статей были учтены ценные замечания научного руководителя.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на семинаре кафедры высшей математики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (2008), а также на молодёжной научной конференции «Физика и прогресс» 14-16 ноября 2007 г.
Публикации
По теме данной работы у автора имеются тезисы доклада [1] и три публикации в научных журналах [2-4], причём основной результат содержится в статье [4].
Структура и объём работы
Объём диссертации составляет 135 страниц. Работа состоит из Содержания, пяти глав (из них Глава 1 является Введением), Заключения и Списка литературы. Список литературы содержит 135 наименований.
