Введение к работе
Актуальность темы. Центральной проблемой теоретической физики является проблема получения полной непротиворечивой единой теории всех фундаментальных взаимодействий элементарных частиц. Теория струн является наиболее разработанной попыткой решения этой проблемы. Для последовательного квантования струны на искривленном пространстве необходимо, чтобы квантовая нелинейная сигма модель, определенная на этом пространстве, была конформно инвариантной. Конформная инвариантность требует, чтобы усредненные ренормгрупповые бета-функвдш нелинейной сигма-модели были равны нулю. Так как ренормгрупповые бета-функции и конформная аномалия нелинейной сигма-модели зависят от геометрических структур на многообразии (от струнных фоновых полей), то требование конформной инвариантности наклггдывает ограничения на эти структуры (фоновые поля).
В бозонном случае (на вещественном многообразии) используются структуры метрики и связности. Обычно в качестве многомерного искривленного пространства-времени используются римановы многообразия. В этом случае структуры метрики и связности согласованы, то есть связность однозначно строится по метрике. Однако, структуры метрики п связности определяются независимо, и поэтому в общем случае эти структуры не согласованы друг с другом. Автором диссертационной работы было предложено рассматривать нелинейную сигма модель на аффинно- метрическом многообразии, а условия на взаимосвязь и согласование геометрических структур получать только из требования непротиворечивости квантовой теории, то есть, как следствие требования конформной инвариантности (ультрафиолетовой конечности) нелинейной сигма модели.
Уравнения движения струны и нелинейной сигма модели в аффинно-
метрическом искривленном пространстве- времени нельзя представить в виде уравнений Эйлера-Л агранжа и полупіть из принципа стационарности действия. При этом свободное движение пробного тела (струны) в аффинно- метрическом искривленном пространстве-времени эквивалентно движению тела (струны) в рнмановом пространстве под действием поля диссипативных сил. Поэтому последовательное построение теорип струн в искривленном аффинно-метрическ< пространстве-времени должно производится в рамках диссипативнои квантовой схемы.
В теории струн диссипативные модели могут играть более существенную роль, чем отводилась им до сих пор. что обусловленно следующими возможностями:
-
Струны в пространствах с некритической размерностью (например, в четырехмерном пространстве) являются дпссппативными системами в фазовом пространстве "констант связи". Диссппатив-ная сила в этом случае определяется ненулевыми бета-функцпями соответствующих констант связи (Эллпс, Мавроматос. Нанопоулос 1992-1994).
-
Распад чистого квантового состояния в смешанное может происходить на уровне струны из-за квантовых флуктуации метрики являющихся виртуальными черными дырами на двумерной поверхности, заметаемой струной в процессе движения, что приводит к необходимости неунитарного обобщения уравнения фон Неймана.
-
Закон сохранения энергии и импульса обычно получается как следствие априорного ограничения на свойства пространственно -временной геометрии. Однако, более желательным и последовательным было бы не постулирование геометрии, а получение каких- лпбо ограничений на геометрию в рамках более общей теории. Например, получение ограничений на свойства и структуры пространства - времени из требования последовательности и самосогласованности квантовой полевой теории, аналочпчно получению калибровочной группы и размерности пространства - времени в теориях струн и суперструн.
-
Кроме того, замкнутая бозонная струн в искривленном аффпнно-метрпческом пространстве-времени является диссипативнои системой.
Отметим некоторые трудности связанные с решением проблем
квантового описания диссипатпвных систем:
0. Простейшим примером трудностей, с которыми приходится
сталкиваться при построении квантового описания диссипатпвных
систем, является несовместимость квантовых уравнений Ланжевена
(активно используемых в физике лазеров и в моделях глубоконеупру-
гого рассеяния) с каноническими коммутационными соотношениями
и алгеброй Гейзенберга.
1. Одна из проблем связана с рассмотрением канонического кван
тования диссипатпвных систем.
-
Известно, что уравнения движения диссипатпвных систем не являются уравнениями Эйлера-Лагранжа, так как для них не выполняются условия Гельмгольца. Теория вариационных множителей позволяет, используя условия Гельмгольца. построить лагранжеву формулировку для некоторого класса уравнении движения дпсснпа-тивных систем, которые обычно не включаются в лагранжеву и га-мильтонову механику. При этом мы не знаем какую из всех допустимых для данного уравнения функций Лагранжа следует выбрать для квантовой процедуры, то есть каноническое квантование диссипатпвных систем, задаваемых такими лагранжианами является либо невозможным, либо произвольным.
-
Кроме того, хотя существованпе классического гамильтониана необходимо для канонического квантования, этого недостаточно для построения квантования в удовлетворительном виде. Известно, что гамильтониан должен быть канонически связанным с физической энергией системы. Однако, это условие можно удовлетворить только для консервативных систем, что исключает возможность канонического квантования диссипатпвных систем.
-
Аналогичное заключение о несовместимости квантовых уравнений движения диссипатпвных систем с каноническими коммута-ппонннымп соотношениями и алгеброй Гейзенберга можно получить при рассмотрении полных производных по времени от коммутационных соотношений для координат и импульсов, при использовании правила Лейбница и тождество Якобп. Эта несовместимость связана с тем, что уравнения эволюции во времени для диссипатпвных систем не только нарушают структуру алгебры Ли, но и не определяют вообще никакой алгебры, так как нарушают закон дистрибутивности.
(D) Рассмотрение полной производной для самых обшнх квантовых условий, а именно, коммутационных соотношений для операторов координат, использование правила Лейбница и тождества Яко-бп для операторов координаты п скорости, приводит к тому, что эти квантовые условия подразумевают разрешимость условий Гель-мгольца, то есть эквивалентность уравнений движения уравнениям Эйлера-Лагранжа.
Таким образом, каноническое квантование дпсстшатпвных систем невозможно, если все операторы описывающие диссипативную систему являются ассоциативными лиевыми операторами и если выполняется правило почленного дифференцирования (правило Лейбница) по времени для произведения операторов.
2. Один из способов квантового описания дпссипатнвных процес
сов связан с квантовой кннетпкой. Известно, что квантовая ста
тистическая механика не описывает дпссипатнвных и необратимых
процессов, так как в рамках гамыльтоновой динамики не существует
функции координат, импульсов и времени, обладающей свойствами
функции Ляпунова (теорема Пуанкаре-Мпсры). Для описания дпс
сппатпвных и необратимых процессов обычно вводят в статистиче
скую механику дополнительные постулаты и гипотезы (например,
принцип ослабления корреляций и гипотезу о иерархии времен релак
сации, предложенные Боголюбовым, пли пшотнезу крупнозерннсто-
стп структуры). Квантовое описание дпссипатнвных п необратимых
процессов стронтся в рамках квантовой кинетики, представляющей
собой квантовую статистику дополненную вспомагательнымн физи
ческими постулатами.
Квантовое описание дпссипатнвных систем в рамках квантовой кинетики является хорошо изученным и активно используемым для многочастичных систем, однако оно не применимо в такой фундаментальной теории как теория струн.
3. Другая трудность квантового динамического описання дпсси
патнвных систем связана с обобщением постулатов квантовой стати
стики п уравнении фон Неймана. Важным свойством дпссипатнвных
и необратимых процессов является увеличение энтропии. Однако,
квантово-механическпе эволюционные уравнения для статистическо
го оператора (оператора матрицы плотности), называемые уравненн-
ямп фон Неймана, сохраняют энтропию неизменной. _,._, v
Обобщения уравнения фон Неймана на диссппатпвные и необратимые процессы обычно получаются путем добавления супероператора, действующего на статистический оператор п описывающего диссп-пативную, необратимую часть эволюции системы..:.Линейные обобщения уравнения фон Неймана связанны с управляющим уравнением (уравнением Паули), полученным в рамках квантовой кинетики, или с квантовой динамической полугруппой. Нелинейные обобщения уравнений фон Неймана соответствуют нелинейным уравнениям Шредпнгера, предложенным Костиным (1972-1975). Гнепным (1981-1983) и другими в последнее десятилетие для описания дпссипатпв-яых систем.
Обычно обобщения уравнений фон Неймана получаются эвристически или за счет введения дополнительных "дпсснпатпвных" постулатов. При этом требования, которые призваны однозначно опреде-ппть супероператор самп не являются единственными, что приводит к произволу в описании или к построению описания в рамках квантовой кинетикп.
Кроме того, предложенные обобщения уравнений фон Неймана не :вязанны с классическим уравнением Лиувилля для дпсснпатпвных :истем и тем самым не удовлетворяют принципу соответствия.
Цель диссертационной работы.
Развитие методов квантового описания дпсснпатпвных систем. Нахождение основных свойств которыми должно обладать обобщение свантовой механики на диссппатпвные системы.
Получение условий на свойства аффпнно- метрического пскрп-зленного пространств н ограничений на геометрические структуры этого пространства, которые допускают последовательное квантовое эппсание замкнутых бозонных струн на таком аффпнно- метрическом многообразии.
Вычисление двухпетлевой ренормгрупповоп бета-функшш для двумерной нелинейной сигма- модели с аффпнно- метрическим полевым многообразием при использовании коварнантного метода фонового золя.
Основные результаты и новизна работы.
.. Основные результаты диссертационной работы являются оригинальными и получены впервые. Сформурпруем основные результаты полученные в диссертации:
1. В данной работе для решения проблемы квантового описа
ния диссипатнвных моделей предлагается использовать вариацион
ное уравнение Седова, являющееся обобщением принципа стационар
ности действия на диссипатпвные и необратимые процессы. Отме
тим, что для включения диссипатпвных процессов в сферу примени
мости вариационных принципов Седовым рассматривались, помимо
голономных функционалов, неголономные. Получены основные свой
ства которым должно удовлетворять обобщение гамнльтоновой меха
ники на диссипатпвные системы. В рамках этого подхода был вве
ден неголономныи объект - обобщение понятия потенциала замкнутой
дифференциальной формы на незамкнутые дифференциальные фор
мы. Рассотренны основные свойства (характеристические свойства),
которым должен удовлетворять этот объект, при этом использова
лось обобщение скобок Пуассона на незамкнутые дифференциальные
формы.
Уравнение движения диссипатпвных систем представляются в виде использующем обобщенные скобки Пуассона. Показано, что полная производная по времени классической скобки Пуассона не удовлетворяет правилу Лейбница в силу уравнений движения.
Получено в случае плоского фазового пространства классическое уравнение Лпувилля для диссипатпвных систем. Показано, что динамика некоторых диссипатпвных систем сопроваждается изменением энтропии. Получено выражение вариационного принципа Седова в фазовом пространстве.
2. Предложенный подход к дпссппатпвноп гамнльтоновой меха
нике использован для обобщения канонического квантования и урав
нении фон Неймана на диссипатпвные системы.
Показано, что одним из способов решения проблем квантового описания днссипагивных спстем является пополнение алгебра Гей-зенберга некоторым оператором W. Получены основные коммутационные соотношения для операторов физических величин и оператора W в результате замены классических скобок Пуассона этих величин коммутаторами соответствующих операторов. Построенная ойера-
торная алгебра является естественным расширением алгебры Геи-зенберга, канонических коммутационных соотношений за счет введения оператора W неголономого объекта в дополнение к обычным (ассоциативным) операторам обычных (голономных) функций от координат, импульсов и времени. Показано, что для выполнения всех предложенных коммутационных соотношений, оператор W должен быть неассоциативным, нелиевым (не удовлетворяющим тождеству Якоби) оператором.
Отметим, что в результате действие полной производной по времени на произведение и коммутатор ассоциативных операторов не удовлетворяет правилу Лейбница, которое деформируется за счет возникновения ассоциатора и алгебраического якобиана оператора не-голономной величины соответственно. Это приводит к снятию противоречия и несовместимости квантовых уравнений движения дисси-пативных систем с алгеброй Гейзенберга и каноническими коммутационными соотношениями.
Предложено обобщение уравнения фон Неймана, которое является квантовым аналогом классического уравнения Лпувилля для дис-сипативных систем и тем самым удовлетворяют принципу соответствия. Получены дпссппатпвные аналоги уравнений Гейзенберга ц Шредпнгера, функциональный интеграл по путям в фазовом пространстве для диссипатпвных систем. Получено выражение производящего функционала связных функций Грина для негампльтоновых (дпссипативных) моделей теории поля.
Получено выражение для конечной перенормировки метрики плоского конфигурационного пространства гармонического осцилятора с трением за счет квантовых флуктуации в первом порядке по теории возмущений. Решено стационарное обобщенное уравнение Шредпнгера для гармонического осциллятора с трением в приближении фонового поля и получай энергетический спектр этого осциллятора.
3. Построено обобщение метода нормальных координат и ковари-антного метода фонового поля на аффпнно-метрические пространства с кручением. Обобщается на аффпнно-метрические пространства упрощенный алгоритм получения коварпантного фоново-полевого разложения для нелинейной сигма модели.
"4. Было рассмотренно обобщение двумерной нелинейной бозонной
сигма-модели и сигма-модельного подхода к квантовой теорий струн на случай аффинно-метрического многообразия. Показывается, что замкнутая бозонная струна в искривленном аффинно- метрическом пространстве и двумерная нелинейная сигма модель с аффинно- метрическим полевым многообразием являются диссипативньши системами. Обсуждается способ получения конформной аномалии следа тензора энергии-импульса для замкнутой бозоннои струны на аффинно-метрическом многообразии (то есть в поле диссипатнвных и недисси-пативных безмассовых фоновых полей). Получено, что конформная аномалия следа тензора энергии-импульса бозоннои струны на аффинно - метрическом многообразии определяется усредненными метрической и дилатонной бета-функциями. Показывается, что последовательное квантование струны на аффинно - метрическом многообразии возможно лишь в рамках квантовой диссипативной теории и при условии тривиальности усредненных бета-функций соответствующей диссипативной сигма-модели.
5. Ковариантным методом фонового поля вычислены одно-петлевые и двух-петлевые контрчлены к метрике диссипативной двумерной нелинейной сигма модели. Получено выражение двухпетлевой бета-функшш метрики сигма модели на аффинно - метрическом многообразии. Найдены условия при которых бета-функция метрики двумерной нелинейной сигма модели на аффинно - метрическом многообразии в одно-петлевом и двух- петлевом порядках равна нулю. Полученные условия определяют класс аффинно - метрических многообразий допускающих последовательное квантовое описание замкнутых бозон-ных струн на аффинно - метрическом искривленном пространстве -времени.
Практическая ценность работы. Практическая ценность полученных результатов определяется широким применением сигма моделей в теории струн. Предложенный подход к решению проблем квантового описания диссипатнвных систем обобщение уравнения фон Неймана и производящего функционала связных функций Грина позволяет рассматривать широкий класс диссипатнвных моделей. Вычисления двухпетпевого вклада в бета -функцию метрики двумерной нелинейной сигма -модели с аффинно -метрическим полевым много-
образием позволяет определить условия на геометрию пространства -времени при выполнении которых возможно последовательное квантовое описание замкнутых бозонных струн на аффпнно- метрическом искривленном пространстве- времени.
Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-12] п докладывались на международной летней школе по физике высоких энергий и космологии (Италия, Триест, 1990; Триест 1994), международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, 1991), международных семинарах "Физика высоких энергий и квантовая теория поля" (Сочи 1992; Звенигород 1993; Звенигород 1994), на семинарах отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ и Отдела теоретической физики ИФ-ВЭ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 14 рисунков, а также список литературы (363 названий). Обьем диссертацииf28 страниц.
