Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общие свойства многообразий конечного типа . 17
1. Основные понятия, обозначения и замечания 17
2. Теоремы Маркова и Кублановского 24
3. Достаточные условия конечности типа 27
4. Необходимые условия конечности типа 42
5. Структурные свойства 49
Глава 2. Об алгоритмической распознаваемости конечности типа 53
1. Бинормальная характеристика и ее свойства 53
2. Алгоритмическое распознавание многообразий алгебр с единицей над бесконечным полем 70
3. О многообразиях наследственно конечного типа 75
4. Односторонняя конечность типа 79
5. Классификация 88
Литература 90
- Теоремы Маркова и Кублановского
- Необходимые условия конечности типа
- Алгоритмическое распознавание многообразий алгебр с единицей над бесконечным полем
- О многообразиях наследственно конечного типа
Введение к работе
Изучение многообразий алгебраических систем с теми или иными условиями конечности составляет самостоятельное и развивающееся направление алгебраических исследований. В 1890 г. Д. Гильберт доказал, что в кольце многочленов от конечного числа переменных любой идеал порождается конечным числом элементов (имеет конечный базис). Затем, этот результат был перенесен на конечно порожденные алгебры над нетеровыми кольцами и нашел широкое применение в коммутативной алгебре. В дальнейшем это направление исследований получило развитие в работах многих авторов (А. И. Мальцев [13], [14], [15], [16]; А. И. Ширшов [19]; В. Н. Латышев [10]; И. В. Львов [11], [12]; Е. И. Зельманов [5], А. И. Костри-кин [7]; К. Прочези [22]; Ж. Левин [21]; В. Т. Марков [17]; С. И. Кубла-новский [8], [9]).
Говорят, что алгебра М над кольцом А является конечной, если она является конечно порожденным (к.п.) модулем над А. Говорят, что алгебра А - финитно аппроксимируема (ф.а.) если для любого ненулевого элемента а А существуют конечная алгебра М и гомоморфизм ip : А М такой, что (f(a) — 0. В 1958 г. А. И. Мальцев [15] доказал, что конечно порожденная коммутативная алгебра над полем финитно аппроксимируема, и вывел отсюда разрешимость ряда алгоритмических проблем. Эта работа А.И.Мальцева оказала существенное влияние на ход всех дальнейших алгебраических исследований в этой области.
Алгебра называется локально нетеровой (слева, справа), если она удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей двусторонних (левых, правых) идеалов. Говорят, что в многообразии алгебр
локально выполнено некоторое условие, если оно выполнено для каждой конечно порожденной алгебры этого многообразия.
В 1966 г. В. Н. Латышев [10] описал локально слабо нетеровы (л.с.н.) слева многообразия над полем характеристики 0. В 1969 г. И. В. Львов доказал [11], что многообразие алгебр над полем характеристики 0 будет л.с.н. тогда и только тогда, когда в нем выполнено некоторое тождество вида:
XynZ = UiXyniZVi,
где щ, Vi — некоторые слова.
В 1978 г. В. Т. Марков доказал, что многообразие алгебр с единицей над бесконечным полем будет л.с.н. слева тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет тождеству Энгеля, т.е. тоясдеству вида [ж, у]п — 0, которое можно описать по индукции:
\х'У\к+і = \\хіУ\к'У\к 2; [Ж>2/Ь = \Х'У\ = ХУ Ух-
В 1997 г. С. И. Кублановский в работе [9] вводит понятие нормальной характеристики. Коммутативное кольцо с единицей Л называется кольцом Джекобсона, если каждый простой идеал этого кольца является пересечением некоторого семейства максимальных идеалов. Любое поле, конечно порожденнное коммутативное кольцо, кольцо полиномов над кольцом Джекобсона являются также кольцами Джекобсона. Известно, что класс колец Джекобсона замкнут относительно гомоморфных образов. Пусть / - некоторый полином от некоммуттирующих переменных над кольцом Л. Два одночлена будем считать подобными, если один моном можно получить из другого перестановкой внутренних переменных (т.е. не затрагивая
крайние слева и справа переменные). Путем приведения подобных членов такого типа из данного многочлена / может быть получен многочлен вида:
где Лі Л, (щ)ієі ~ семейство неподобных в указанном смысле одночленов. Идеал в кольце Л, порожденный семейством (Аі)іЄ/, обозначается v{f) и называется нормальной характеристикой многочлена /. Если этот идеал совпадает с Л, говорят, что нормальная характеристика мнгочлена / равна 1. Нормальной характеристикой многообразия V алгебр над кольцом Л, заданного совокупностью тождеств {fi\i Є /}, называется сумма нормальных характеристик многочленов (fi)ii', она обозначается через v{V). Таким образом v(V) = 2_]v(/») Можно показать, что нормальная характеристика
многообразия определяется этим многообразием однозначно, так как не зависит от выбора базиса тождеств. Аналогично можно определить левую и правую характеристику тождеств и многообразий, они обозначаются v\ и vr соответственно.
СИ. Кублановский в работе [9] доказал, что многообразие алгебр над нетеровым кольцом Джекобсона будет локально слабо нете-рово тогда и только тогда, когда его нормальная характеристика равна 1. В этой же работе установлена эквивалентность локальной слабой нетеровости и других классических условий конечности, таких как: финитная аппроксимируемость, локальная представимость и другие.
С тождеством Энгеля связана известная проблема (проблема Эн-геля): если алгебра (кольцо) удовлетворяет тождеству Энгеля, то
будет ли она локально Лиево нильпотентна? Проблема Энгеля представляет собой проблему Бернсайдовского типа. Впервые она была рассмотрена для групп и алгебр Ли. Работы А. И. Кострикина [7] оказали существенное влияние на ход исследований в этой области. Положительное решение этой проблемы для колец Ли было найдено в известной работе Е. И. Зельманова [5]. Следует отметить, что для конечно порожденных ассоциативных алгебр над полем ненулевой характеристики положительное решение этой проблемы следует из теоремы А. И. Ширшова о высоте [19]. Для алгебр над полем характеристики 0 положительное решение данной проблемы было найдено А. Р. Кемером [6] в 1980 г. Положительное решение для ассоциативных алгебр над кольцом Джекобсона было найдено СИ. Кубланов-ским [9] в 1997 г.
Среди различных условий конечности естественным образом выделяется так называемая конечность типа для тождеств и многообразий. Многообразие алгебраических систем называется многообразием конечного типа, если любая конечно порожденная относительно свободная система данного многообразия является конечно определенной. Соответственно, тождество (система тождеств) называется тождеством (системой тождеств) конечного типа тогда и только тогда, когда таково многообразие алгебраических систем, заданное этим тождеством (системой тождеств).
В 1972 г. К. Прочези [22] и Л. Смолл [23] поставили проблему: будет ли многообразие алгебр, порожденное матричной алгеброй, многообразием конечного типа? В 1978 г. В. Т. Марков [17] изучил конечность типа многообразий алгебр с единицей над бесконечным полем. Он доказал, что конечность типа для такого многообразия
эквивалентна локальной левой нетеровости многообразия, а также выполнимости тождества Энгеля. Также из результатов Маркова вытекает отрицательное решение проблемы К. Прочези и Л. Смолла для многообразий алгебр с единицей над бесконечным полем. Однако, данный результат не дает алгоритмического описания таких многообразий. Кроме того, методы и результаты данной работы не удается распространить на общий случай многообразий алгебр без единицы.
В 1997 г. С. И. Кублановский [9] нашел условия для конечности типа многообразий алгебр (без единицы) с нормальной характеристикой, равной единице, над нетеровыми кольцами Джекобсона. Однако, результаты данной работы не переносятся на более общий случай многообразий алгебр произвольной нормальной характеристики.
Проблема описания многообразий конечного типа в наибольшей общности, т.е. для любых алгебраических систем (для групп, колец, алгебр и т.д.), была отмечена в 1995 г. в обзоре О. Г. Харлампович и М. В. Сапира [20].
Целью данной работы является изучение тождеств и многообразий алгебр над полем (коммутативным кольцом) конечного типа, а также их структурных свойств. Главный акцент делается на возможность алгоритмической проверки исследуемых свойств.
Краткое содержание работы. Мы опишем структуру данной диссертации и приведем ее основные результаты. Настоящая работа разделена на две главы. В первой главе устанавливаются общие свойства многообразий конечного типа. Она разбита на 5 параграфов.
В 1 приводятся некоторые известные факты о многообрази-
ях алгебр и тождествах, даются общие определения и обозначения. Принципиальным моментом здесь является обобщение автором определения нормальной характеристики тождеств и многообразий. Пусть задан некоторый алфавит X = {х\,..., хп,...}, через Х+ обозначим множество слов над ним. Рассмотрим полином
f(xi,... ,хп) — у j AfcWfc(xi,... ,жте)
к=1
с коэффициентами из кольца Л, где Uk(xi,... ,хп) — слова над алфавитом {xi,..., Хп). Если задано некоторое отношение эквивалентности 7 на каком-либо подмножестве Х+, то 7-характеристикой полинома f(xi,...,xn) будем называть идеал кольца Л, порожденный элементами
и обозначать ее 7(/)- Тогда 7-характеристикой многообразия V над кольцом Л назовем сумму 7-характеристик всех тождеств, выполненных в данном многообразии. Аналогично, такую характеристику будем обозначать через *y{V). Легко видеть, что введенная С. И. Кубла-новским нормальная (левая, правая) характеристика является частным случаем общего определения, достаточно положить:
и v v, если слова и и v совпадают с точностью до перестановки внутренних переменных;
и v\ v, если слова и и v совпадают с точностью до перестановки и первые буквы этих слов совпадают;
и vr v, если слова и и v совпадают с точностью до перестановки и последние буквы этих слов совпадают.
В 2 приводятся и обсуждаются теоремы В. Т. Маркова и С. И. Кублановского, связанные с описанием многообразий конечного типа. Опираясь на теорему С. И. Кублановского [9], в этом же параграфе доказывается критерий конечности типа:
Теорема 1. Пусть V — многообразие нормальной характеристики 1 над нетеровым кольцом Джекобсона Асі. Тогда V является многообразием конечного типа тогда и только тогда, когда vi(V) + vr(V) = 1, т.е. сумма левой и правой нормальной характеристики V совпадает с Л.
В данном параграфе приведен пример, показывающий, что существуют многообразия конечного типа, нормальная характеристика которых отлична от 1. Одним из основных результатов главы 1 является теорема 2, доказанная в 3:
Теорема 2. Пусть V - многообразие нормальной характеристики О над кольцом А, где А - нетерово кольцо Джекобсона с 1. Если в многообразии V выполнено хотя бы одно тождество вида
то—1
abm[x,y]c= Y^ ^аЬ1[х,у]сЬт-{
i=0
и хотя бы одно тождество вида
п-1
а[ж, у\Ьпс = J2 Pjbn-ja[x, y]Vс,
(где a,b,c,x,y - буквы, а ociflj элементы А), тогда V - многообразие конечного типа.
Теорема 2 дает новую серию многообразий алгебр конечного типа, нормальная характеристика которых равна нулю. До сих пор все
известные примеры многообразий конечного типа имели нормальную характеристику, равную единице.
Через Ass обозначим многообразие всех алгебр над каким-либо заданным кольцом. В 4 приведен ряд необходимых условий конечности типа многообразий. Центральным среди них является:
Предложение 3. Если V - многообразие конечного типа над кольцом А, отличное от Ass, тогда в многообразии V выполняется тождество вида
где А Є Л \ {0}, а щ(х, у) - мономы, неподобные хтуп.
В качестве следствия этого критерия полученно следующее утверждение, представляющее самостоятельный интерес.
Следствие 4. Многообразие, порожденное алгеброй матриц МП(А) над бесконечной областью целостности А с 1, не является многообразием конечного типа.
Это следствие дает ответ на вопрос К. Прочези и Л. Смолла.
Если задано кольцо Л, то через Fqq обозначим счетно порожденную свободную алгебру над кольцом Л. Пусть V - многообразие алгебр над кольцом Л, через Id{V) обозначим его идеал тождеств, его можно рассматривать как как идеал алгебры Foq. Основываясь на предложении 3 в этом параграфе устанавливается
Предложение 4. Пусть V — многообразие конечного типа над кольцом А, отличное от Ass. Обозначим через Коо = [FqcFoq] коммутаторную алгебру. Если идеал тождеств Id(V) содержится в К^, тогда V не является многообразием конечного типа.
В качестве следствия предложения 4 получается, что стандартное тождество
Sn(xi, . . . , Хп) = 22, si9n{a)xa{\) ха{п)
степени выше двух не является тождеством конечного типа.
В 5 установлен ряд структурных свойств для многообразий алгебр конечного типа. В том числе, доказана замкнутость класса многообразий алгебр конечного типа относительно переселения и его незамкнутость относительно обьединения — соответственно предложения 6 и 10. В предложении 8 показано, что в классе многообразий алгебр без единицы существуют два многообразия конечного типа, между которыми есть многообразие не конечного типа. Предложение 9 показывает, что возможна и симметричная ситуация: есть два многообразия не конечного типа, между которыми находится многообразие конечного типа.
Теоремы Маркова и Кублановского
В 5 установлен ряд структурных свойств для многообразий алгебр конечного типа. В том числе, доказана замкнутость класса многообразий алгебр конечного типа относительно переселения и его незамкнутость относительно обьединения — соответственно предложения 6 и 10. В предложении 8 показано, что в классе многообразий алгебр без единицы существуют два многообразия конечного типа, между которыми есть многообразие не конечного типа. Предложение 9 показывает, что возможна и симметричная ситуация: есть два многообразия не конечного типа, между которыми находится многообразие конечного типа.
Глава 2 посвящена вопросам алгоритмического распознавания многообразий алгебр конечного типа. Для решения этой задачи автором определяется новая арифметическая характеристика тождеств и многообразий ( 1). Пусть X - счетный алфавит, п - натуральное число; определим бинарное отношение т )П на множестве Х+. Если u,v Є Х+, то uaL nv тогда и только тогда, когда n-е буквы данных слов совпадают, а подслова, стоящие слева и справа от этой буквы соответственно, равны с точностью до перестановки. Очевидно, что это бинарное отношение является отношением эквивалентности на множестве слов длины не менее п. В соответствии с обобщенным определением нормальной характеристики будем говорить о сг/, -характеристике тождеств и многообразий. Бинормальной характертикой многообразия (тождества) V будем называть сумму а -характеристик этого многообразия (тождества) по всем натуральным п и обозначать //,. Далее, приведем пример подсчета бинормальной характеристики тождества. Рассмотрим тождество над некоторым кольцом Л: где Хі,Х2 Є Л. Отношение аь,\ разбивает множество мономов на два класса: {Х\х2у2, — Xixyxy} и {Х2ухух, — Х2у2х2}. Поскольку сумма коэффициентов мономов каждого класса равна нулю, то сгь,і(/) = (0) — нулевой идеал. Все классы эквивалентности отношения 7,,2 на множестве мономов f(x,y) являются одноэлементными, и в качестве сумм коэффициентов мономов этих классов мы получим элементы: Аі,—Аі,Аг,—Х2, следовательно cTL,2{f) = (Аі,Аг) - идеал кольца Л, порожденный Аі и Х2. Отнощение сгь,з разбивает множество мономов / на одноэлементные классы эквивалентности, поэтому аналогичным образом сгі,,з(/) — (Аі, А2). Отношение 0 4(/) разбивает его на те же классы, что и TLI, поэтому aL,i{f) = (0). Все мономы в / имеют степень 4, поэтому для всех п 4 отношение GL,m не порождает ни одного класса эквивалентности на множестве мономов /. Итак, по определению ць{1) = (Аі,Аг). В 1 устанавливаются основные свойства этой характеристики. Теорема 3. Пусть V — многообразие алгебр над коммутативным кольцом А с 1. В многообразие V выполняется тождество вида тогда и только тогда, когда бинормальная характеристика V отлична от нуля. Теорема 4. Пусть V - многообразие алгебр над коммутативным кольцом А с 1, и система тождеств {fi(X)\i Є 1} образует базис тож-деств многообразия V, где X некоторый алфавит. Тогда Ць(У) = Эти теоремы, в частности, позволяют алгоритмически устанавливать остутствие конечности типа по базису тождеств многообразия. К числу основных результатов диссертации отностится теорема, доказанная в 2. Теорема 5. Пусть V - многообразие алгебр с 1 над бесконечным полем F; тогда эквивалентны следующие условия: 1) многообразие V — конечного типа; 2) бинормальная левая характеристика V отлична от нуля; 3) в многообразии V выполнено тождество Энгеля: [x,y]n = 0. Эта теорема дает возможность для многообразий алгебр с единицей над бесконечным рекурсивным полем определить по его базису тождеств, является ли оно многообразием конечного типа. В качестве следствия из этой теоремы мы получаем возможность определить, является ли многообразие Энгелевым и локально Лиево нильпотентным — это в точности те многообразия, у которых бинормальная характеристика отлична от нуля. Многообразие называется многообразием наследственно конечного типа, если оно и всякое его подмногообразие являются многообразиями конечного типа. Из теоремы Маркова [17] следует, что для многообразий алгебр с 1 над бесконечным полем все многообразия конечного типа являются наследственными. Однако, как следует из результатов 5 главы 1, наследственная конечность типа не имеет места для всех многообразий алгебр без единицы конечного типа. Описанию многообразий наследственно конечного типа посвящен 3, в котором доказана следующая теорема. Этот критерий естественным образом легко проверяется алгоритмически. Рассмотрим некоторый алфавит X и построим бинарное отношение р на множестве Х+: если u,v Є Х+, то upv тогда и только тогда, когда и совпадает сие точностью до перестановки. По аналогии с определением бинормальной характеристики, данное бинарное отношение порождает р-характеристику тождеств тождеств и многообразий алгебр, которую мы назовем однородной характеристикой. Если задано некоторое кольцо Л, то через Fk обозначим абсолютно свободную счетно порожденную алгебру над этим кольцом. Через Idk(V) обозначим идеал всех тождеств многообразия V от к переменных. Многообразие алгебр V над кольцом Л называется PI-многообразием, если в нем выполняется тождество вида
Необходимые условия конечности типа
Обозначим через е% единицу поля Fi, а через фі отображение из А в Fi, заданное так: фі(Х) = А е$. Непосредственно проверяется, что фі является гомоморфизмом колец, пусть Л» = фі (Л) - подкольцо Fi. Тогда МПі(А{) - подалгебра РІ, в ней выполнено нематричное тождество /, тогда.
Рассмотрим Q - алгебраическое замыкание поля P,viB = QA-алгебра над Q. Поскольку К A Q KB (если считать А канонически вложенным в В), то достаточно показать нильпотентность К в- По лемме 2, любое однородное тождество выполненное в А, выполняется и в В, поэтому f(xi,...,xn) выполняется в В. Так, не умаляя общности можно считать, что поле Р алгебраически замкнуто.
Поскольку ЛІ является гомоморфным образом Р, то либо Лі = (0), что невозможно, либо фі — изоморфизм, и ЛІ - вкладывается в Fi. Так как Pi конечная алгебра над Л, то Di - конечномерно над ЛІ. Любое конечномерное тело над алгебраически замкнутым полем совпадает с этим полем, поэтому Di = Fi = Р, следовательно Pi — Р - поле. Подпрямое произведение полей коммутативно, поэтому A/rad(A) - коммутативна, значит К А Я rad(A). В работе [9] (см. лемма 1) доказано, что радикал Джекобсона конечно порожденной PI-алгебры над нетеровым кольцом Джекобсона с 1 является ниль-идеалом, тогда Кд - ниль-идеал и по теореме Брауна КА — нильпотентный идеал.
Алгебру Pi можно рассматривать как А -алгебру, при этом А$ - область целостности. Если а = Ае Є Л \ 0 и а Є Pi, то аа = (Аеі)а О, так как умножение на Ав сводится к умножению всех элементов матрицы а на некоторый элемент поля Fj. Отсюда следует, что Pi - алгебра без кручения. Отметим также, что, как и любая матричная алгебра, Pi - простая алгебра. 1) Рассмотрим случай, когда Л бесконечное кольцо (как мно жество). Нетрудно показать, что всякое тождество, выполненное в алгебре без кручения над бесконечной областью целостности, выпол няется так же и в тензорным произведении этого кольца на поле частных кольца скаляров. Следовательно, тождество f(x\,... ,хп) выполнено в А{ )Рг, где ЛІ - поле частных Л . Тогда, используя случай (I) получим, что коммутаторная алгебра АІРІ нильпотентна, л а следовательно нильпотентна и Кр{ - коммутаторная алгебра Pi. Если алгебра Pi некоммутативна, то К р. ф О, а так как Pi простая алгебра, то Kpi = Pi и {Кр{)п = РІ для всех п. Поскольку мы пришли к противоречию, алгебра Pi является коммутативной, а значит Pi - бесконечное поле. 2) Пусть теперь hi - конечное кольцо. Так как Pi — конечная алгебра над ЛІ, а Л - конечное кольцо, то Pi конечно как множество. Следовательно, Pi — конечное тело, и по теореме Веддербарна ([18], теорема 3.1.1), РІ - конечное поле. Итого A/rad(A) является подпрямым произведением полей, значит К А Я rad(A). По теореме Брауна rad(A) является нильпотент-ным, следовательно К А также нильпотентен. Лемма 4. Пусть А — конечно порожденная алгебра над нетеровым кольцом А. Если {-Вг}=о - подмодули [D(A),A] такие, что (1) В І D Ві+1; (2) Bn = (0); (3) Bi/Bi+i - конечно-порожденный модуль; (4) КАВІ + ВІКАСВІ+L Тогда [D(A), Во] - нетеров модуль. Доказательство: Так как расширение нетерова модуля при помощи нетерова модуля является нетеровым модулем, то достаточно показать, что каждый из модулей Bi/Bi+i нетеров. Обозначим через Кр коммутаторную алгебру D(A). Легко видеть, что Kjy С А#КАЛ-КАА #, поэтому Kjy содержится в аннуляторе модуля [D(A),Bi/Bi+i]. Тогда подмодули модулей [D(A)/KD, ВІ/ВІ+І] И [D(A),Bi/Bi+i] совпадают, поэтому достаточно показать нетеровость первого из них. Однако алгебра D(A)/KD является конечно порожденной коммутативной, а значит и нетеровой. Отсюда \D{A)/Ko Bi/Bi i\ — конечно порожденный модуль над нетеровой алгеброй, поэтому и сам является нетеровым. Лемма доказана. Теорема 2. Если V - многообразие нормальной характеристики 0 над Л - нетеровым кольцом Джекобсона с 1. Если существуют два тождества вида
Алгоритмическое распознавание многообразий алгебр с единицей над бесконечным полем
Определение. Пусть X - счетный алфавит; п - натуральное число, определим бинарное отношение Т,)П на множестве Х+. Если и, v Є Х+, то uoL,nV тогда и только тогда, когда и = u\au2, v — v\av2, где щ,У{ Є Х+, а Є X, \иі\ = \vi\ — п — 1, и\ =vi и u-i = V2- Часто, мы будем пользоваться эквивалентным определением сгь,п: и — 1 2, v — viv2, где wi = \и2\ = п, и\ — г і, u = v, rn(ui) = rn(u2). Очевидно, что это бинарное отношение является отношением эквивалентности на множестве слов длины не менее п.
В соответствии с гл. 1 1 п. 13 мы будем говорить о сгх,)П-характе-ристике тождеств и многообразий. Бинормальной характеристикой многообразия (тождества) V будем называть сумму сг „-характеристик этого тождества (многообразия) по всем натуральным п, и обозначать //,. Отметим, что результат подсчета 7)Тг-характеристики полинома не зависит от того, приведены в нем подобные или нет.
Поскольку в определении бинормальной характеристики используется условие на длину левого подслова, то естественным образом молено определить ее правый аналог, где такое же ограничение накладывается на длину правого подслова. Однако, в рамках данной работы будет использована только "левая" бинормальная характеристика, которая и будет называться бинормальной характеристикой.
Далее, приведем несколько примеров подсчета бинормальной характеристики тождеств. Рассмотрим тождество над некоторым кольцом Л:
где Ai, А2 Є Л. Отношение сг д разбивает множество мономов на два класса: {\\х2у2, — Xixyxy} и {Х2ухух, — Х2у2х2}. Поскольку сумма коэффициентов мономов каждого класса равна нулю, то ox,i(/) = (0) - нулевой идеал. Все классы эквивалентности отношения CTL,2 на множестве мономов f(x,y) являются одноэлементными, и в качестве сумм коэффициентов мономов этих классов мы получим элементы: Ai,—Ai,A2,—А2, следовательно ть,2(/) = (Xi,X2) - идеал, порожденный Ai и Х2. Отнощение сг з разбивает множество мономов / на одноэлементные классы эквивалентности, поэтому аналогичным образом (TL,z{f) = (АьАг). Отношение JX,4(/) разбивает его на те же классы, что и 7L,I, поэтому 0 ,4(/) = (0). Все мономы в / имеют степень 4, поэтому для всех п 4 отношение Т)7П не порождает ни одного класса эквивалентности на множестве мономов /. Итак, по определению / L(/) — (АьАг).
Произведем также подсчет бинормальной характеристики тождеств, описанных в гл. 1 1 п. 14. Непосредственным подсчетом проверяется, что CTL,I{S2{XI X2)) (-0 и (rL {S3(xi,x2,x3)) = (1), поэтому nL{S2) = ML(53) = (1). Для Sn(xi,.. .хп) отношение JL,mi гДе 1 m п, разбивает его мономы на классы эквивалентности следующего вида: где ХІ0 - переменная, стоящая на га-й позиции всех мономов данного класса. Очевидно, что сумма знаков перестановок, оставляющих на месте m-й элемент множества индексов, равна нулю, если га — 1 2 или п — т 2, а такое условие всегда выполняется при п 4. Тем самым HL,{Sn) — (0) для всех п 4.
Легко видеть, что в тождестве Энгеля Р1п(х,у) — [х,у]п будет ровно один моном, начинающийся с буквы ж, поэтому 7( характеристика Р1п(х,у) равна (1) и ць{Р1п{х ,у)) — (!) Аналогично, для тождества Лиевой нильпотентности
Тождество n-нильпотентности для всех п 2 имеет нулевую бинормальную характеристику. Действительно, рассмотрим сг т-ха-рактеристику Р(Х,Y,Z), где через X, Y, Z обозначены xi,...xn, Если га делится на 3, то все мономы Р на га-м месте содержат переменную Zk, где к = га/3, и левые части этих мономов из га—1 переменной совпадают с точностью до перестановки. Значит, в этом случае класс эквивалентности мономов Р(Х, У, Z) относительно аь,т ровно один, и очевидно, что сумма их коэффициентов нулевая. Если же га не делится на 3, то таких классов будет два: те мономы, у которых га-я переменная совпадает с Хк и ук соответственно {к = га/3). Тем самым, каждый из данных классов эквивалентности соответствует результату раскрытия скобок в следующих полиномах, сумма которых равна Р(Х, У, Z):
О многообразиях наследственно конечного типа
Необходимость. Рассмотрим стс -характеристику тождества (11). Покажем, что все мономы щ, эквивалентные xmyn относительно aL,mi должны совпадать с ним. Действительно, если моном U эквивалентен xmyn относительно 7ь,ті то lm(u) является переста-новкой lm{xTnyn) — xm, а значит, Zm(n) = х. С другой стороны, по определению (TLjTn мономы и и хтпуп долж;ны совпадать с точностью до перестановки, поэтому u = xmyn. Таким образом, данный моном является единственным представителем своего класса, следовательно ML(/)3 7L,m(/)D(A) (0).
Достаточность. По условию найдется тождество f(xi,..., хп) такое, что для некоторого целого га характеристика OL,m{f) не обращается в нуль. Если n = 1, то данное тождество представляет собой частный случай тождества (11), а именно случай, когда степень у равна нулю. Покажем, что найдется такое тождество, выполненное в многообразии V, что в нем есть класс эквивалентности мономов относительно 0\Lmi для некоторого гаї, содержащий мономы вида Хх1 г X2V, А Л, сумма коэффициентов которых не равна нулю, и слово v не содержит Х2 Найдется такой класс эквивалентности мономов / относительно aL,mi что сумма коэффициентов этих мономов не нулевая. Пусть щ(хі,... ,xn) - моном из такого класса эквивалентности. Не умаляя общности, можно считать, что первыми ги—І буквами данного монома являются xi,...,Xk (в случае т = 1 будем считать к = 0). Пусть Хк0 - тп-я буква данного монома,
Если 1 ко к или Xk0 содержится в мономах данного класса более одного раза, произведем замену: Xk0 — х 0 -\-1, где t — новая переменная. Тогда каждый моном перейдет в сумму мономов, среди которых будет ровно один, где все вхождения Хк0 на га-м месте (если они есть) заменены на t\ для щ такой моном обозначим и0. Рассмотрим все мономы такого вида в результирующем полиноме, полученные из мономов, эквивалентных wo относительно аь,т- Они также будут эквивалентны относительно 7,т; покажем, что других мономов, эквивалентных им, нет. Действительно, если в каком-либо мономе на любом месте, кроме тп-й буквы, присутствует t, то он не может быть эквивалентен w0, так как и0 содержит эту переменную только на тп-м месте. Кроме того, если произвести обратную замену в данном мономе t — Xk0, то данный моном будет эквивалентен «о, так как и0 отличается от щ только пг-й буквой, и то же самое верно для рассматриваемого монома. Так мы показали, что в качестве гп-й буквы в KQ можно подставить новую переменную, а значит, путем замены t — Xk+i;xk+i - t получим требуемое. Итак, будем считать, что тп-й буквой UQ является Xk+i, и она более нигде в мономах данного класса не встречается.
Рассмотрим случай, когда к 1. Пусть М = deg(f) + 1 произведем замену переменных Х{ — х 1 , где 1 і к. При такой замене UQ переходит в некоторый моном и lm{uo) переходит в х± , где Л/о некоторое число, однозначно зависящее от степеней lm{uo) по всем своим переменным. Следовательно, для всякого монома wi, эквивалентного щ относительно (ть,т, будет выполнено ТО же самое: 1т(щ) переходит в хх .
Заметим, что данная замена обладает следующим свойством: если и, v - подслова некоторых мономов из /, и для некоторого XiQ выполнено условие degx. (и) ф degXi (v), где 1 г о п, тогда в результате такой замены слова и и v перейдут в слова и и v , отличающиеся по степени хотя бы одной переменной. Если г о к, то это очевидно, поскольку степень по такой переменной при данной замене не меняется. В противном случае degXl (и ) = Yli-i degXi (и) Мк г, а так как degXi(u) М, то такое представление degXl(u) соответствует записи числа из к цифр в М-ичной системе счисления. Поэтому равенство всех степеней и и v приводит к равенству двух таких чисел, а значит, и всех их "цифр", то есть degXi (и) = degXi (v) для всех 1 і к, что невозможно.
Если при данной замене моном и переходит в и , эквивалентный и0 относительно (JL,MQI ТО ОН имеет ВИД и — xi Xk+iv, где v - некоторый моном. Так как Хк+1 не участвует в замене, то хх должен получаться при помощи данной подстановки в некоторое начальное подслово VQ монома и. Тогда, используя свойство данной подстановки, получим, что г о имеет одинаковую степень с /m-i(wo) по всем переменным, и то же верно для и и щ. Тем самым U ТЯ. UQ должны быть эквивалентны относительно crjr, m. Таким образом, мономы, в которые переходит класс эквивалентности UQ, составляют класс эквивалентности в новом полиноме, и их коэффициенты не меняются.
В случае, когда к 1, мы уже имеем класс эквивалентности мономов вида \x 1Xk+iv, А Є Л относительно оь,т- Для получения мономов требуемого вида в случае к 1 произведем замену Xk+i — х2. Итак, получен класс эквивалентности сті,уГПі мономов некоторо го полинома / от га переменных, все мономы которого имеют вид: Ах1- X2V, сумма коэффициентов этих мономов не равна нулю и v не содержит Х2- Заметим, что сделав замену переменных Х2 — О и вычтя результат этой замены из данного полинома, мы получим полином с теми же свойствами, однако каждый его моном должен содержать Х2- Пусть М — deg(f) +1; произведем замену переменных.
