Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Предварительный материал 16
1. Геометрическая интерпретация теоремы Римана-Роха . 16
2. Теоремы об обращении в нуль 17
3. Теорема Нетера-Энриквеса 18
4. Классические и современные теоремы о специальных линейных системах на кривой 21
5. Теоремы Мамфорда и Бовиля 23
6. Результаты Сейнт-Дона о моделях поверхностей типа КЗ. 25
7. Теоремы Бертини 27
ГЛАВА 2. Гладкость ощего антиканошческого дивизора на многообразии Фано 28
I. Основной результат 29
2. Вспомогательные леммы 30
3. Доказательство теоремы в случае Х 36
4. Доказательство теоремы при X^Z 44
ГЛАВА 3. Существование прямой на многообразиях Фано 49
1. Формулировка основного результата 49
2. План доказательства теоремы 1.2 54
3. Леммы о линейных системах на поверхностях 59
4. Леммы о линейных системах на многообразии Фано 74
5. Доказательство предложения 2.5 84
6. Доказательство предложения 2.4 89
7. Доказательство предложения 2.3 101
8. Доказательство предложения 2.2 108
ГЛАВА 4. Отличие примианов от якобианов 129
І. Ортогональные пучки 131
2. Поляризация 138
3. Примианы и многообразия Прима 153
4. Специальные кривые 184
5. Si 200
6. Суперэллиптические кривые и некоторые кривые малых родов 222
7. Доказательство основной теоремы: случай РЪО . .234
8. Доказательство основной теоремы: случайр-7,0 .245
9. Доказательство основной теоремы: случай р-О, .251
10.Некоторые приложения 254
Выводы
- Классические и современные теоремы о специальных линейных системах на кривой
- Доказательство теоремы в случае Х
- Леммы о линейных системах на многообразии Фано
- Суперэллиптические кривые и некоторые кривые малых родов
Введение к работе
В диссертации изучаются линейные системы на алгебраических многообразиях малой размерности, что приводит к решению нескольких важных проблем алгебраической геометрии.
Пусть - полное неособое алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем к, . Еще в классической итальянской алгебраической геометрии было введено понятие (полной) линейной системы \ JJQ І как множества эффективных дивизоров линейно эквивалентных некоторому фиксированному дивизору JDQ . Полная линейная система/оОу обладает естественной структурой конечномерного проективного пространства. Собственно под линейной системой или, как еще говорят, линейным рядом понимается произвольное подпространство в I J )Q{ • Типичным примером этому может служить линейный ряд размерности t , состоящий из эффективных дивизоров степени а на алгебраической кри г вой; традиционное обозначение для таких линейных рядов Qj
Типичным примером хорошей линейной системы является линейная система гиперплоских сечений многообразия , вложенного в проективное пространство. Если же нам задана линейная система некоторого обратимого пучка, то одной из важных задач алгебраической геометрии является выяснение насколько хороша данная линейная система, т.е. является ли она очень обильной, обильной или хотя бы задает ли она морфизм? На этом пути обычно возникают следующие подзадачи.
Значение геометрии линейных систем заключается в том, что они позволяют линеаризовать задачи, которые на первый взгляд кажутся нелинейными. Такова, например, задача описания,каса тельных пространств к подмногообразиям и касательного конуса к тэта-дивизору где - алгебраическая кривая.
В диссертации изучается ряд важных для алгебраической геометрии линейных систем: специальные линейные системы на кривых, возможно особых, линейные системы на рациональных поверхностях и поверхностях типа /\J, а также линейные системы на многообразиях Фано. Укажем основные результаты, ради которых и нужны эти исследования, а также их некоторые приложения.
Отсюда непосредственно вытекает следующий критерий существования прямой: Пусть - многообразие Фано основной серии. На V существует прямая тогда и только тогда, когда антиканонический класс — Кд/" не представим в виде суммы двух обильных классов дивизоров. Данный критерий, конечно, является более слабым утверждением, чем теорема 1.2 из гл.З. Тем не менее из него можно извлечь такую мораль: препятствие к существованию прямой имеет чисто топологическую природу по крайней мере в случае основного поля к, нулевой характеристики. Воспользовавшись описанием специальных многообразий Фано, можно убедится, что теорема 1.2 гл.З и критерий рациональности верны для произвольного многообразия Фано, если под прямой понимать эффективный одномерный цикл ъ. С- V с - i \jr "V • В качестве другого следствия получается решение гипотезы Фано! из ІІ9], которая утверждает, что на многообразии Фано первого рода индекса 4. всегда существует прямая. Следует отметить о том, что, как недавно показал С.Андрюшка под руководством автора диссертации, многообразия Фано первого рода индекса 4 в смысле Исковских есть то же самое, что и многообразия Фано первого рода индекса 1 в классическом смысле jj38J, т.е. такие у которых антиканоническая линейная система - К-\г( не имеет распадений. Б качестве еще одного следствия теоремы о существовании прямой и теоремы 6.1 [19} получается, что для многообразий Фано V первого рода и индекса 4 выполнено неравенство, что соответствует ограниченности Q 12. Более того, отсюда получается их полное описание; см.таблицу в J2d],[2l]. Используя методы гл.З Н.Гушелю удалось недавно решить задачу реализации последних многообразий Фано из этой таблицы. Что касается общих многообразий Фано, то для них верно неравенство — \\ЛГ - / -Ц верхняя граница достигается на уя Л В доказательстве этого неравенства также ключевую роль играет существование прямой и его набросок дан в совместной работе с Исковских j_20j.
В гл.1 излагается предварительный материал, а также указаны первоначальные формулировки некоторые из результатов, которые получили обобщение или уточнение в данной диссертации.
Основные результаты диссертации содержатся в опубликованных работах автора [49], [бо], [5l] ,[бг], [бз].
Классические и современные теоремы о специальных линейных системах на кривой
Другой круг вопросов, относящийся к приложению основной георемы гл.4, связан с вопросами рациональности расслоений на коники. Это вызвало вторую волну интереса в середине 70-х годов к многообразиям Прима. Под расслоением на коники над поверхностью обычно понимается неособое трехмерное многообразие V с плоским отображением на неособую поверхность / , общим слоем которого является неособая рациональная кривая {, , задающая экстремальный луч
Эти многообразия имеют также естественное происхождение в связи с теорией Мори экстремальных лучей. Хорошо известно, что для рациональности многообразия V необходима рациональность поверхности / . Важнейшим инвариантом расслоения на коники является кривая вырождения С /Ь . Оказывается, что кривая С допускает лишь обыкновенные двойные особенности. Более того, над неособыми точками кривой Сх слой отображения UT состоит из двух проективных прямых л пересекающихся в одной точке, а над особыми точками - из одной двукратной прямой. Это означает, что пара (С, 1/ , состоящая из базы О , параметризующей прямые вырожденных слоев, с естественной инволюцией 1 , которая переставляет прямые вырожденного слоя, есть пара Бовиля. Если о - рациональная поверхность, а основное поле определения есть поле комплексных чисел, то имеется изоморфизм между промежуточным якобианом J( /У многообразия у и примианом ± ( С , 1J пары \С; 1) \_А], С другой стороны, как установил Гриффите, промежуточный якобиан рационального многообразия изоморфен сумме якобианов. Согласно критерию 10.I гл.4 это условие и достаточно, когда база /S минимальна, т.е. есть рациональная линейчатая поверхность п или проективная плоскость Лг . Точнее, условие Гриффитса в этой ситуации можно переписать в виде следующего необходимого условия рациональности многообразия V в терминах второй присоединенной линейной системы: (см. теорему 10.2 гл.4). В случае О = ЖГ данный результат вытекает из [4j и [Зб]. Укажем теперь на связь кривых вырожде ния рационального расслоения на коники Я: у — при Ъ с исключительными случаями из гео система ремы Нетера-Энриквеса j_49J, описанными автором. А именно, в процессе доказательства критерия 10.1 гл.4 установлено не толь ко, что кривая и имеет один из типов (по следний случай модифицирован) основной теоремы гл.4, но и рас положение этой кривой на ІГу . В случае (л) кривая С пере секает слой линейчатой поверхности ІГн, двукратно, что инду цирует гиперэллиптическую структуру на С , при этом линейная К JT- - - I отображает поверхность /Г / на рацио нальную нормальную кривую степени Q -1 в .» где Q й С у .В случае (в) кривая U пересекает слой -линейчатой поверхности »уьтрехкратно, что индуцирует тригональную структуру на О , при этом линейная система /Кг—t С / вкладывает к в поверхность степени Q-Z в ж v являющуюся пересечением квадрик через канонический образ тригональної кривой С j г? = J? С Расположение кривой С в этом случае описывается пунктом г.2 теоремы I [49]. В случае (с) кривая пересекает слой линейчатой поверхности трехкратно, а С С и пересекает оставшуюся часть кривой С по двум точкам, что индуцирует квазигриго-нальную структуру на &(С jt при этом линейная система \Y\ \г О отображает /г" на конус степени Q-Z в Ра" над рациональной нормальной кривой степени }-& в JL і являющийся пересечением квадрик через канонический квазитригональний образ кривой С Этот случай возникает лишь для особых кривых U и их: канонический образ также особ; обыкновенная двойная особенность лежит в вершине указанного конуса. Поэтому он не встречается в классической теореме Нетера--Энриквеса, но с другой стороны он есть вырождение тригонального случая.
Доказательство теоремы в случае Х
Доказательство. По теореме 1.2 ( г - І.) и (1.5) [їв] общая поверхность JJ линейной системы )- К -у] является неособой поверхностью типа iw , Предположим, что линейная система Н I имеет неподвижную кривую. Тогда по обильности 7) получаем неподвижные точки у ограниченной системы )ґ—І, -?),/ ) X) п и ограничении на JJ получается полная линейная система. Последнее следует из когомологической последовательности, соответствующей точной тройке
Ограниченная линейная система обильна. Но для любого обильного пучка oL на поверхности ЛУ типа rW линейная система имеет не имеет базисных точек, если она не имеет неподвижных компо ъ система да либо нент (см. 6 гл.1). Поэтому линейная система неподвижную компоненту. Следовательно, по лемме 2.3 линейная ( г э &) L І Ь ZZ- с неподвижной кривой ZL . Тог-Н имеет неподвижную компоненту, либо г пуимеет неподвижную кривую 2-s Докажем, что последний случай невозможен. Действительно, предполагая противное, получаем для ограниченной линейной системы (т- Г\-г г j -О) І2) на ЛУ представление в виде j Z+ Yl Е [, где Е - слой эллиптического пучка Следовательно, Ъ /\Ч- 1а fc LS И/Ь. является сечением обоих пучков. Пересекая обе части последней эквивалентности с и , получаем при / противоречие.
Доказательство По второй теореме Бертини особые точки для общей поверхностиН могут быть лишь среди неподвижных. Если существует неподвижная особая точка, то Н о , так как в этой особой точке у общих поверхностей из]Ниндекс пересечения о.В рка тельство_тео емы_1.2 (случай 2). По лемме 4.2 и первой теореме Бертини общий элемент линейной системы I Н J имеет вад/2)" "2)0 , тд,е2)0 - неподвижная компонента подвижный неприводимый приведенный дивизор, правильно пересекаю щий JJ0 и имеющий особые точки лишь в базисных точках линейной системы . Разрешим моноидальными преобразованиями точки неопределенности А). Общее разрешение обозначим через (Ґ! Собственный прообраз для общего дивизора 0 по второй теореме Бертини будет неособым дивизо ром &V. a S (ty = 3 + Ё Ег ," ГДе Ег поверхность соответствующая і -тому преобразованию, У1 X . Можно предполагать, что X) - максимальная подвижная часть в Ґ\Й) . Отсюда по {1.9)(0-) JQ\ имеем; В работах[Ї8 ,[l9] о многообразиях Фано также, как и в классических работах[45], J38], значительную роль в исследовании геометрии эгих многообразий играет вопрос о существовании на них прямой при антиканоническом вложении. в][45\Фано высказывает утверждение о существовании прямой на алгебраическом многообразии у , группа Пикара которого порождена очень обильным антиканоническим классом - К-1 г Такие многообразия / в[19\названы многообразиями Фано первого рода. Однако его рассуждения [іб], на которые ссылается Л.Рот ]ЗЩ, опираются, главным образом, на счет параметров, что не дает точного доказательства. На важность проблемы о существовании прямой указал В.А.Исковских \_І9]. В настоящей главе дается исчерпывающий ответ на этот вопрос (см. теорему 1.2). I. Формулировка основного результата І.І. Будем предполагать, что основное поле определения & алгебраически замкнуто и имеет характеристику нуль. Как и в работах [l8j , )19], [5CQ , под многообразием Фано понимается полное, неособое, неприводимое алгебраическое многообразие над полем Я размерности О с обильным антиканоническим классом- Ki /-. Целое число Q- Ох V/- /ч/" + называется родом многообразия V". Наибольшее целое число гЪ 1 такое, что З Ъ (ЙЛ V для некоторого об ратимого пучка fL t г к. v называется индексом много- образия . Эффективный одномерный цикл будем называть njggMpji. Следуя \_I9j, многообразия Фано с очень обильным антиканоническим классом - К убудем называть многообразиями Фано основной серии. Для каждого такого многообразия V ангиканоническая линейная система задает вложение KD где VIQ _-» - подмногообразие JL степени 2.Q-Z . У П-П называется aHMKaHjojflj4ecKogj многообразия у . В случае многообразия. Фано основной серии прямая "и имеет свой обычный геометрический смысл. Она является прямой на антиканонической модели.
Леммы о линейных системах на многообразии Фано
Итак, f . По гладкости Jf( VJповерх ность JTiPjесть полное пересечение двух квадрик. Кроме того, не содержится в гиперплоском сечении и не является конусом с вершинок в точке (т.е. ). На V существует стягиваемая кривая С. Иначе, гиперэллипти ческое многообразие Фано и приводит к противоречию. Покажем, что СллУгь (. / = Q . в противном случае все кривые типа (6.7.1) переходят в особые точки так как J/ бирационально на О . Отсюда С другой стороны, легко показать, что особенности JT( iS/могуг быть лишь вдоль прямой. Это противоречит (6.I.I). Таким образом, С ї & и Ci tt uQ/=0. Прежде чем закончить доказательство этого пункта, установим, что в случае /f 0 на V Ш ё Р стягиваемых в_ ючку_ сишх (ср.6.13). С этой точки зрения мы уже разобрали случай, когда Uf не бирационально. Если Jf бирационально, то JT также бирационально (см.6.10, 6.II и39І) Поэтому ЦУ CL - (.tSv HJT(r5bco6o в точкахц/. Пусть UmCpM. Как видно из (6.I.I), С УУЪ Ц// О , откуда сШС ъЪ. С другой стороны, общее гиперплоское сечение ЛГ(0/будет рациональной кривой степени Ч по 6.4. Следовательно, (МГУЬ І Coy/ о . Поэтому Lx - неособая кривая степени - 95 З » a Jr( /ОJ _ гиперплоское сечение Off \/Jd JL . По следнее приводится к противоречию, как и выше разобранный случай dm Jr(,S )= 2 . Вернемся к разбору того случая, когда CWLQ ЦТ = Z 9 а аид її . Пусть ( - стягиваемая кривая. Кривая имеет тип (6.7.1), так как . Рассмотрим общее гиперплоское сечение / , проходящее через U&CCj . Поверхность // может быть выбрана гладкой (см. конец 6.8 и 6.15). Обозначим через Vv конус, заметаемый прямыми на Jl( VJ через точку ос - J) Пусть AY - собственный прообраз Н для (Г . Тогда Ji\H J высекает две прямые Cd3 -йг на И/, если if достаточно общая. Кроме того, можно предполагать, что . Пусть - прообразы этих прямых на V относительно , из которых исключена прообраз И/. Тогда гипершщское сечение 3\ V/высекает на Н кривую-сечение (Ч, «rW , неприводимые компоненты которой суть апъСС)М?±\ erf 4J . Для общего И СІМ 5l±)jcl&J erf 4 J и 2 по (6.1.2). Из этого сле дует, что у ., ьг - неприводимые кривые, так как кривая-сече ние (Ц w ]4/// имеет степень х U . Также можно читать, что компоненты (Г( с /Д суприведены в Поэтому где Ylj YYt натуральные числа. Если УУЬ— Уь = о. , то С& 0 іЬ гГ 3. ПО (6.1.2) г(%х«(%) - кривые степени О . Рассмотрим одну из них и обозначим ее через Я . Пространство UcrCC)Ull meeT размерность \ Поэтому codim J- r\-y-q - TC( J А./-о # Из (6.1.2) и 4.6 следует, что общий дивизор является поверхностью с изолированными особенностями. Общее ги перплоское сечение cAj задает негиперэллиптическую каноническую кривую-сечение Хс Р6 рода О , на которой некоторое подпро странство размерности С (сечение Q/ U ССу UК ) высекает г различных точек (сечение О U 0 (C-J U Ю ). Отсюда легко вывести тригональность Х- (см. I гл.1), а зна чит, и У Последнее невозможно. Значит, Уі или YYV /2. Тог да 5"(_I/V/имеет особенность вдоль при YL Z , или вдоль сг(Супри Vn /2. Ибо в противном случае общее Н имеет со прикосновение вдоль Q или &(LJc$(]A/ ) . Отсюда методом конца пункта 6.8 получаем противоречие. Таким образом, сущест вует СГ которое особо вдоль G или &(С) Так как J7"(/S/ не содержится в гиперплоском сечении ЗГ{ \/у, то к1//неособо вдоль $ и особо вдоль &CCJ Обозначим через О" \/ — " 1/ моноидальное преобразование с центром в &(Су, а через J/ - соответствующий антиканонический морфизм. Тогда J) ( /О у содержится в гиперплоском сечении где fO — J \ {- -у Это приводит к противоречию, так как стягиваемых кривых конечное число и что и заканчивает доказательство бирациональности JT. 6.12. Отображение JT би аодонал но іа. О и, cfeqTi Непосредственное следствие пунктов 6.10, 6.II и результатов работы )3 (см.также 6 гл.1). 6.13. На многообразии V SS LJ I S 3 3W& кривых, ко тоще JT отобажае _в точку. Предположим, что dlmTu - . По 6.8 Q Я ( J и J7( Д) - 97 особо вдоль (_/ , так как каждая стягиваемая кривая типа (6.7.1) является гладкой и двукратно пересекает/О. Как видно из (6.I.I) С другой стороны, об щее гиперплоское сечение 0Г(/О/будет рациональной кривой степе ни У по 6.12 и 6.4, откуда diyn Jr() 3 .По этому Q == О - неособая кривая степени гиперплоское сечение . Последнее приводит к противоречию (см.6.II).
Суперэллиптические кривые и некоторые кривые малых родов
Покажем, что общий элемент линейной системы /J0 jAj j гладкая поверхность. Так как то по лемме 4.2 любой дивизор /л) /связен. По лемме 4.4 линейная система /л) /ограничивается изоморфно в линейную систему/( X /J на /(/л Для общих дивизоров и и V) число неприводимых приведенных компонент дивизоров »(JQ и С AJQ 9 «JQ J на /)0 при ограничении сохраняется по очень обильное ти/ /J /. Пусть у ЛІ имеются две неприводимые приведенные пересекающиеся компоненты i / » По лемме 3.17 они одновременно не могут правильно и нетривиально пересекать общий элемент/л//. Следовательно, один из этих дивизоров лежит в}/) по неприводимости и приведенности всех элементов/AJ. Пусть, например, сЛсУ. Тогда r правильно и нетривиально пересе кает общий элемент// //, откуда л ?У0 Л) Л\ так как на я антиканонический класс пересекает любую кривую не Vі, IP1 менее чем трехкратно, а на Ж. х ц_ _ не менее чем двукратно. В этом случае по лемме 3.17 получаем противоречие с общностью дивизора OQ . Значит, общий элемент /)Q С /X) /неприводим по связности всех элементов/// /. Если «JQ неприведен, ТО С А- где/ S - некоторая поверхность на Кривая ( JQ, /Sy также линейно неподвижна на общем л) . По (8.1.2) J3 правильно и нетривиально пересекает общий элемент ) . Поэтому, как и выше, /S/OQ 7) и — \\п\ ( ,5/ = Д Э Последнее по (3.I2.I) противоречит ли нейной неподвижности (XJO 5/ Следовательно, общи! диви зор/// / неприводим и приведен. Тогда из леммы 3.12 получаем отсутствие неподвижных точек DC V у /л) / , если только для общего A)Q С//6 /эта точка ЗС не является вершиной конуса СО о ПРИ вложении jlTfj » так как " У\ у о? ) А$ X)/ 0== лЪ) — ? Это доказывается проведением через СЕ общей гиперплоскости для вложения Поверхность Л ) нетривиально пересекает общий элемент//)/. Поэтому по лемме 3.17 общий л) с /AJ / не может быть конусом с вершиной в точкеСС 1/, кроме случая, когда/ является плоскостью во вложении J/ . Последний случай разбирается, как и случай не конуса, так как общее гипершюское сечение через неподвижную точку ОС задает кривую на С . Следовательно, линейная системаШ /не имеет базисных точек и ее общий элемент 0 0 неприводим, приведен и гладок по второй теореме Бертини. Общее эллиптическая кривая. Действительно, по формуле присоединения для канонического класса поверхности - получаем, что линейная система 1 i T)" -\ не имеет неподвижных точек и ее общий элемент имеет по крайней мере две компоненты связности. Отсюда по классификации поверхносте получаем требуемое. Через ZJ будем обозначать класс сомножителя JL В группе Пикара і с С AJ0 . , ,. л jr-rpetim.//) I. . Пусть /и f/s7\ /i: V JL . Очевидно, /XJ / не пучок, так как . Предполо жим двумерноеть образа Л .0/7. Тогда по лемме 4.4 ограниченная линейная еттема /(_ OQ у л) У IXSLSOQ является пучком без неподвижных точек. Тогда легко доказать, что и W \лг\ . (Из неравенства [XJ J XJ- гл У О следует рациональность гладких компонент этого пучка). Установим теперь эпиморфность ограничения линейной системы /X) / в систему\\/ооМУ\ на общей поверхности . Для этого достаточно установить обращение в ноль . По двойст венности, Пучок обилен, так как система/ ) J не имеет базисных точек, а пучок обилен. Отсюда по теореме Ко-даиры об обращении в ноль имеем: Следовательно, имеет место указанная выше эпиморфность ограни чения. Ограниченная линейная система является ан тиканонической линейной системой тлі» Отсюда получаем, что при предположении двумерности/1! [//линейная системаjJj /задает отображение ЖуМ (Vh7)0. i.e.yifVhР z , либо . Если в некотором слое отображения /4 лежит поверхность /О то Cuntl D l (J и поэтому нетривиально ее пересечение с общим элементом лл. Кроме того, ) не должна пересекать общий элемент/XJ /. Последнее противоречит обильности антиканонического класса на общем OQ. Следовательно, слои мор-физма Н одномерны. Общий слой М является кривой -» на /СІ? . Поэтому он будет коникой на V . Тогда из (8.I.I) следует, что все слои морфизма /и являются коняками, откуда v&/Q/) ]t и структура прямого произведения определена проекциями (у Т/ЪГ и Ґ След-0Бательн0» V - л, либо . По предположениям (8.1.2), (8.1.3) индекс V равен й. и V не изоморфно . Это противоречие заканчивает доказательство того, что Сиґґі /и( V J 0% в процессе доказательства, без использования предположения OUyyiM iyJ /C была установлена эпиморфность ограничения линейной системы/л) /наХли обращение в ноль А с /J — 2)jJ — 0 . Отсюда по лемме 4.1 имеем: Я (/)-Ы) Докажем теперь, что/С задает распадение в линейной системе її) І , которое нетривиально по (8.1.2), т.е. существует эффективный дивизор №" 0_я Ш 1 /3+3 / .Действительно, в противном случае по двойственности и лемме 4.1
