Введение к работе
Актуальность проблемы. Лазерное излучение, благодаря высокой когерентности и способности к локализации большой энергии электромагнитных полей в пространственно-временных масштабах порядка длины волны, открывает уникальные возможности для высоко интенсивного и столь же избирательного воздействия на материальные объекты различной физической природы (от сплошных сред до отдельных молекул и атомов). Многие из указанных возможностей успешно реализуются в современных лазерных технологиях обработки и диагностики материалов, лазерных методах разделения изотопов, в медицине и других областях науки и техники. Становление и развитие новых перспективных направлений лазерных приложений, например, в области информационных технологий, физике наноструктур и др., происходит в настоящее время, во многом определяя приоритеты фундаментальных исследований в квантовой электронике, нелинейной оптике и современной физике в целом.
Отклик сред на воздействие лазерных полей в большинстве практически значимых случаев нелинеен. В силу этого основные оптические процессы (распространения, отражения, преломления и поглощения лазерного излучения) приобретают существенную зависимость от интенсивности, характеризуются нарушением принципа суперпозиции полей и появлением новых, не свойственных линейной оптике, эффектов. Для поведения нелинейных оптических систем даже в простейших случаях "излучение — среда" характерно разнообразие режимов, число и сложность которых может невообразимо возрастать с появлением в системе нового элемента — обратной связи. Естественно, что контроль и практическое использование всего многообразия проявлений нелинейной динамики оптических систем немыслимы без всестороннего теоретического изучения. Успехи в данной области, кроме того, что позволяют решать многие актуальные проблемы лазерной физики и ее многочисленных приложений, неоценимы также с точки зрения развития общих представлений о природе нелинейных явлений.
Для исследования проблем нелинейной динамики традиционно используется аппарат дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными), которые в большинстве случаев в силу нелинейности являются весьма сложными объектами для строгого анализа. Качественная теория, теории устойчивости, бифуркаций и катастроф, несмотря на успешное применение в решении многих вопросов точечной динамики нелинейных систем малой размерности, не обеспечивают необходимой полноты информации о поведении моделируемого объекта, имеющего континуальную природу. В этом случае незаменимым и порой единственным средством исследования является вычислительный эксперимент. Напри-
мер, такие фундаментальные понятия нелинейной динамики как солитон, странный аттрактор, диффузионный хаос и другие вошли в обиход современной науки во многом благодаря вычислительному эксперименту. Специфика и неординарность новых задач, возникающих при теоретическом изучении динамики оптических систем, неуклонно требуют разработки новых подходов и совершенствования уже известных методик для обеспечения эффективности численного моделирования и получения достоверной информации о моделируемых объектах.
Отмечая достигнутый к настоящему времени достаточно высокий уровень разработки проблем численного моделирования нелинейных оптических явлений, следует обратить внимание на ряд нерешенных вопросов, касающихся возможностей численных методов в исследовании длительной динамики оптических систем, в дифференцированной оценке влияния слабых возмущений и погрешности численных методов на качественную картину динамики и на асимптотические состояния моделируемых систем, в анализе стационарных краевых задач при условии неединственности решения и др., определивших направления основных исследований и содержание диссертации.
Таким образом, рассмотренные в диссертационной работе проблемы численного моделирования динамики нелинейных оптических систем представляются актуальными как с точки зрения развития и совершенствования методов численного анализа задач нелинейной волновой динамики, так и в плане теоретических и прикладных аспектов современной квантовой электроники и нелинейной оптики.
Сбязь работы с крупными научными программами, темами.
Работа выполнена в рамках программы: "Методы и алгоритмы вычислительной математики: разработка, анализ и отображение на архитектуру вычислительных систем", тема Алгоритм-09 — "Разработка методов численного моделирования нелинейной волновой динамики оптических систем" (1996-2000 гг. номер гос. регистрации №19974682); а также темы Квант 19 — "Пространственно-временная динамика световых пучков в нелинейных средах" (1996-2000 гг. номер гос. регистрации N"19961653). Ряд исследований выполнен при финансовой поддержке Фонда фундаментальных исследований Республики Беларусь (проекты Ф17-205, Ф96-032).
Цель и задачи исследования. Цель исследований — разработка эффективных методов численного анализа проблем нелинейной волновой динамики пространственно-распределенных оптических систем. Для достижения цели потребовалось решение следующих задач:
развить концепцию согласованности дискретных (разностных) моделей нелинейной динамики оптических систем с их непрерывными (диф-
фсренциальными) аналогами;
разработать новые итерационные методы реализации неявных разностных схем для нелинейных уравнений шредингеровского типа, а также для нелинейных стационарных краевых задач встречного взаимодействия волн;
провести численные исследования ряда новых актуальных задач современной нелинейной оптики и лазерной физики, подтверждающие эффективность предложенных методик.
Объект исследования. Дифференциальные и дискретные модели волновой динамики нелинейных оптических систем.
Методы исследования. Исследование динамики рассмотренных в диссертации нелинейных оптических систем проводилось средствами численного моделирования с использованием разностных (преимущественно оригинальных) методов. Методологическую основу построения и исследования численных методов составляет аппарат теории разностных схем и дифференциальных уравнений математической физики. Для интерпретации результатов численного моделирования использованы методы теории устойчивости, теории бифуркаций, теории солитонов и нелинейных волновых уравнений, теории возмущений.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Результаты работы можно условно разделить на две группы. Первую группу (глава 2) составляют результаты развития методов численного моделирования нелинейной динамики оптических систем. В плане дальнейшего развития концепции консервативности численных алгоритмов для решения уравнений шредингеровского типа построены схемы с улучшенными дисперсионными свойствами, обладающие двумя дискретными аналогами интегральных инвариантов задачи, а также предложены консервативные схемы для некоторых важных обобщепий шредингеровских уравнений, содержащих квазилинейные члены. Впервые введено понятие асимптотической согласованности дискретных аппроксимаций дисперсионных волновых уравнений как требование адекватной передачи закона дисперсии. Получены условия асимптотической согласованности симметричных разностных схем для уравнений шредингеровского типа, продемонстрированы некоторые вычислительные эффекты, наблюдаемые при нарушении условий асимптотической согласованности.
Впервые для нелинейных многомерных уравнений шредингеровского типа предложены и обоснованы итерационные методы реализации неявных разностных схем, основанные на многокомпонентном диагональном расщеплении пространственных операторов задачи. Данный подход
обеспечивает экономичность алгоритма, органичную его адаптивность к пространственно-временным свойствам решения, практически неограниченные возможности распараллеливания и максимальную наследуемость анпроксимационных и консервативных свойств симметричных разностных схем. На основе многокомпонентного подхода предложены итерационные методы решения стационарных задач встречного взаимодействия оптических волн в нелинейных средах с учетом поперечных эффектов. В отличие от известных методик предложенный метод не требует специальной регуляризации для достижения консервативности относительно основных законов сохранения стационарных уравнений и позволяет проводить эффективный анализ задач в условиях неединственности решения.
Вторую группу (главы 3 — 5) составляют результаты численного моделирования при решении конкретных задач динамики оптических волн в нелинейных средах. Численно обнаружен эффект спонтанного нарушения продольной симметрии при взаимодействии встречных гауссовых пучков в нелинейных фокусирующих средах, приводящий к бистабильности режимов встречной самофокусировки. В отличие от известных механизмов бистабильности выявленный эффект не связан с использованием дополнительных элементов для обеспечения обратной связи.
Численно исследована пространственно-временпая динамика оптических волн в нелинейных средах с периодической модуляцией диэлектрической проницаемости, создающей распределенную обратную связь (РОС) встречных волн. Показана фазовая чувствительность отклика нелинейных РОС-структур, позволяющая управлять выходными характеристиками оптических полей, в том числе и переключениями между ветвями бистабильности щ'тем поворота фазы слабого встречного сигнала. Исследованы закономерности пространственной неустойчивости поперечной структуры световых волн в нелинейных РОС-структурах и роль этой неустойчивости в мультистабильности стационарных состояний оптических полей.
Впервые проведено численное моделирование процессов отражения нормально падающей интенсивной световой волны от плотной резонансной среды без использования приближения .медленных амплитуд. Изучен механизм гистерезисных явлений и бистабильности коэффициента отражения, обусловленных свойством внутренней оптической бистабильности резонансных сред вследствие диполь-дипольного взаимодействия. Данные исследования существенно развивают представления о явлениях бистабильно-го отражения излучения от нелинейных сред, которые ранее были известны лишь для случая скользящих углов падения, когда основную роль играют эффекты полного отражения.
На основе численного моделирования изучены возможности компрессии импульсов генерации лазеров на красителях с динамической и стати-
ческой РОС на амплитудной и фазовой решетке соотвественно в режимах бегущей волны накачки. Показано, что в отличие от стандартной схемы неподвижной накачки режим бегущей волны характеризуется практически однонаправленной генерацией, причем длительность импульса генерации сокращается в 3-5 раз при одновременном увеличении пиковой интенсивности.
Исследованы закономерности формирования вихревых структур световых полей в широкоапертурных лазерах. Описано явление вихревого резонанса и изучена его роль в формировании вихревых структур световых полей. Впервые показана возможность возбуждения при условии вихревого резонанса устойчивых одновихревых оптических структур с бесселевым поперечным профилем поля и топологическим зарядом больше единицы. Показана высокая степень безаберрационности (допускающая автомодельное описание) режимов автоволноводного распространения оптических пучков с вихревой поперечной структурой поля (спиральных оптических пучков) в фокусирующих средах с насыщающейся нелинейностью. Впервые выявлена поперечная неустойчивость спиральных оптических пучков в средах с нелинейностью керровского типа и возможность стабильного распространения таких пучков в средах с тепловой нелинейности.
Исследованы процессы квазисолитонного распространения оптических импульсов в рамках обобщенных возмзтденных (неинтегрируемых) моделей. Изучены возможности взаимокомпенсации искажений солитонов (темных и светлых), обусловленных инерционностью нелипейности в композитных средах, обладающих одновременно быстрой фокусирующей и медленной дефокусирующей нелинейностями. Показано существование квази-солитонных аттракторов с низкой размерностью фазового пространства, определяющих регулярные режимы распространения световых импульсов в двулучепреломляющих волокнах. Исследована динамика солитонов све-тоипдунированной прозрачности в рамках обобщенного уравнения синус-Гордопа, учитывающего неоднородное уширение контура линии поглощения. Продемонстрированы особенности динамики солитонов светоиндуци-рованной прозрачности, связанные с эффектами уширения контура линии поглошепия, в том числе возможность моделирования в рамках указанпой модели явлений фотонного эха.
Практическая значимость полученных результатов. В диссертации предложен ряд новых эффективных численных алгоритмов, использование которых расширяет возможности методов численного моделирования для решения задач нелинейной динамики оптических систем. Результаты исследования встречного взаимодействия оптических волн представляют интерес с точки зрения проектирования элементов систем оптической обработки информации. Исследования динамики оптических солито-
t)
нов позволяют дать конкретные рекомендации по созданию новых материалов для нелинейных оптоволоконных линий связи с повышенной пропускной способностью передачи информации за счет сокращения длительности импульсов до субпикосекундного диапазона длительности. Исследования внутренней оптической бнстабилыюсти црсдставляют немалый интерес для спектроскопии плотных резонансных сред. Результаты изучения динамики вихревых структур световых полей полезны с точки зрения получения и практического использования нового типа лазерных пучков с устойчивым кольцевым поперечным профилем.
Личный вклад соискателя. Основные результаты диссертации, касающиеся разработки численных методов и численного моделирования конкретных задач, полз^чены автором лично.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
-
Для нелинейных уравнений шредингеровского типа как одной из базовых моделей нелинейной динамики оптических систем исследованы диссипативпые, дисперсионные и асимптотические свойства разностных схем и их роль в структуре погрешности. Для широкого круга задач указанного типа предложены консервативные численные алгоритмы, в том числе в классе несимметричных разностных схем, обладающих улучшенными дисперсионными свойствами. Получены условия асимптотической согласованности разностных схем относительно адекватности дискретных аналогов дисперсионных соотношений закону дисперсии соответствующей дифференциальной задачи.
-
Разработаны многокомпонентные итерационные методы реализации неявных разностных схем для многомерных уравнений шредингеровского типа и стационарных краевых задач встречного взаимодействия
. оптических волн. В первом случае предложенные методы позволяют обеспечить экономичность многомерных алгоритмов при сохранении полной аппроксимации и консервативности. Во втором случае предложенные итерационные методы кроме того, что являются консервативными, демонстрируют высокую эффективность при анализе муль-тистабильных состояний.
3. Численное моделирование на основе разработанных методов позволило
выявить и изучить ряд новых эффектов и важных закономерностей в
нелинейной дпнамике оптических систем:
бистабилыюсть встречного стационарного взаимодействия оптических волн в средах с кубической нелинейностью при отсутствии зеркала обратной связи;
эффекты пространственно-временной неустойчивости, фазовой чувствительности, мультистабильпости и спонтанного нарушения симметрии в нелинейных системах с распределенной обратной связью;
гистерезисные явления и бистабильность при стационарном отражении от плотных резонансных сред нормально падающих интенсивных световых волн;
эффекты компрессии импульсов генерации РОС-лазеров в режиме бегущей волны накачки;
закономерности формирования и структура вихревых мод лазерных световых полей;
автомодельные режимы распространения спиральных световых пучков и их з'стойчивость в средах с различными механизмами нелинейности;
возможность взаимокомпенсацин влияния возмущающих факторов релаксационного происхождения на динамику субпикосекундных оптических солитонов в нелинейных волокнах.
Апробация результатов диссертации. Представленные в диссертации результаты докладывались на Республиканской конференции "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение" (Минск 1989 г.); Второй Европейской конференции по квантовой электронике "EQEC-89" (Дрезден, 1989 г.); Второй всесоюзной конференции "Обращение волнового фронта лазерного излучения в нелинейных средах"' (Минск — Раубичи, 1990 г.); Научной республиканской конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" (Гродно, 1990 г.); Восемнадцатой Международной конференции по квантовой электропике (Вена, 1991 г.); Восьмом Международном семинаре по сверхбыстрым процессам в спектроскопии (Вильнюс, 1993 г.); Республиканской конференции "Проблемы математики и информатики" (Гомель, 1994 г.); Четвертом и Пятом международных семинарах "Нелинейные явления в сложных системах" (Минск 1995, 1996 гг.): Седьмой Белорусской математической конференции (Мипск, 1996 г.); Третьей конференции по лазерной физике и спектроскопии (Гродно, 1997 г.); Международной конференции "Квантовая электроника - 98" (Минск 1998 г.); Международной конференции "Лазср-98" (Аризона, 1998 г.); Второй международной конференции "Конечноразностные методы: теория и приложение" (Минск, 1998 г.); Международной математической конференции "Еругинскис чтения VI" (Гомель, 1999 г.), на семинарах отдела численных методов математической физики ИМ НАН Беларуси, Института физики НАН Беларуси.
Опубликовашюсть результатов. Результаты диссертации опубликованы в 54 работах. Из них 30 статей в научных журналах, 15 статей в научных сборниках и трудах научных конференций, 4 препринта, 5 тезисов докладов конференций. Общее количество страниц публикаций по результатам диссертации — 409.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, заключения и списка использованных источников из 210 наименований и содержит 184 страниц основного текста, включая 50 рисунков и 3 таблицы. Общий объем работы — 206 страниц.
