Содержание к диссертации
Введение
1 Переход к хаосу через разрушение двумерного тора в кусочно-гладких динамических системах 15
1.1 Переход к хаосу через разрушение двумерного тора - 15
1.2. Особенности сложной динамики кусочно-гладких динамических систем 22
1.3 Основные результаты и выводы 27
2 Разработка математических моделей широтно-импульсных систем автоматического регулирования с квазипериодической динамикой и алгоритмов численного анализа бифуркаций периодических движений 29
2.1. Обобщённая математическая модель широтно-импульсных систем автоматического регулирования с квазипериодической динамикой 29
2.2 Построение стробоскопического отображения 36
2.3 Разработка алгоритма поиска периодических решений - 39
2.3.1 Метод неподвижной точки 40
2.3.2 Метод уравнения периодов 42
2.3.3 Поиск сосуществующих периодических решений 53
2.4 Разработка алгоритмов анализа бифуркаций на двумерном торе 54
2.4.1. Эвристический алгоритм поиска неустойчивых движений кусочно-гладких систем 54
2.4.2 Разработка алгоритма анализа локальной устойчивости периодических движений 55
2.4.3 Алгоритм расчёта неустойчивых многообразий седлового цикла 55
2.5 Основные результаты и выводы 63
Анализ и выявление закономерностей разрушения резонансного тора в кусочно-гладких моделях широтно-импульсных систем автоматического регулирования 65
3.1 Сложная динамика и хаос в широтно-импульсных системах автоматического регулирования 65
3.2 Анализ карты динамических режимов 68
3.2.1 Общая структура карты динамических режимов 68
3.2.2 Расположение резонансных областей в пространстве параметров 75
3.3 Структура резонансных языков и сценарии разрушения тора 82
3.4 Основные результаты и выводы 87
Исследование квазипериодической динамики в релейной системе с гистерезисом 89
4.1 Сложная динамика в релейных системах автоматического управления 89
4.2 Математическая модель релейной системы автоматического управления с гистерезисом 92
4.3 Возникновение двумерного тора 99
4.4 Разрушение резонансного тора 112
4.5 Основные результаты и выводы 116
Заключение 117
Список использованных источников 121
Приложение 142
- Особенности сложной динамики кусочно-гладких динамических систем
- Алгоритм расчёта неустойчивых многообразий седлового цикла
- Расположение резонансных областей в пространстве параметров
- Математическая модель релейной системы автоматического управления с гистерезисом
Введение к работе
Актуальность темы. Импульсные системы автоматического регулирования (САР) представляют собой важный класс нелинейных систем, широко используемых в различных областях промышленности, например, в машиностроении, энергетике, электрическом транспорте, нефтяной и газовой промышленности. Такие системы обычно описываются кусочно-гладкими дифференциальными уравнениями. Другие практические приложения, в которых приходится прибегать к рассмотрению кусочно-гладких динамических моделей, включают системы с сухим трением и виброударные осцилляторы, широкий класс устройств современной силовой электроники, электронные и радиотехнические системы с кусочно-гладкими характеристиками отдельных элементов.
Проблема сложной динамики в кусочно-гладких системах в последние годы привлекла столь значительное внимание исследователей, что сейчас уже можно говорить о формировании самостоятельного направления в нелинейной динамике — «хаос в кусочно-гладких динамических системах»-
Большинство нелинейных явлений в кусочно-гладких динамических системах, открытых за эти годы, относятся преимущественно к исследованиям в области силовой электроники, теории управления (смм например, [1-6]), механики и аэрокосмической техники. Имен-
но здесь впервые была осознана принципиальная роль С-бифуркаций (border-collision bifurcations) [7-10] в организации сложного поведения, открыт ряд новых динамических явлений, таких, например, как бифуркации периодических режимов с участками скольжения (sliding bifurcations^ multisliding bifurcations^ chattering) [11-14], мягкое рождение нескольких аттракторов или хаоса из периодического движения через С-бифуркацию (mzUtiple-choice bifurcations) [15-17]. В то же время, ожидаемых результатов в изучении нелинейных процессов в кусочно-гладких системах, связанных с двухчастотными режимами, получить пока не удаётся. Между тем, хорошо известно, что во многих практически важных классах систем, таких, например, как устройства силовой электроники^ импульсные системы автоматического регулирования, описываемые кусочно-гладкими дифференциальными уравнениями или кусочно-гладкими отображениями, реализуется квазипериодический сценарий развития сложной динамики.
Особенности сложной динамики кусочно-гладких динамических систем
Результаты исследований квазипериодических явлений в широтнсьимпульсных системах автоматического регулирования [29, 30, 36, 50, 51] указывают на то, что механизмы потери гладкости резонансного тора и последующего его разрушения в кусочно-гладких системах могут принципиально отличаться от установленных Афраймовичем и Шильниковым. Это связано с тем, что в таких системах усложнение колебаний может быть вызвано как локальными, гомо- или гетероклиническими бифуркациями, так и С-бифуркациями. Исследования последних пяти-шести лет (см,, например, [5, 11, 16, 17, 29, 30, 36» 37, 39, 40, 50-67]) показывают, что С-бифуркации охватывают чрезвычайно большое многообразие динамических явлений и переходов к хаосу, так что пока даже не ставится задача их классификации, аналогичной той, что сложилась для сценариев хаотизации колебаний в гладких системах.
Фазовые траектории кусочно-гладких систем сшиваются из отдельных гладких участков. На рис. 1.5 показан пример такой траектории (кривая Г_), сшитой из двух гладких частей. Гиперповерхности в фазовом пространстве, на которых происходит сшивание, называются поверхностями сшивания (Sj и S на рис, 1-5) и делят фазовое пространство системы на области кусочной гладкости.
В кусочно-гладких системах возможны два типа бифуркаций. Первый тип — точно такой же, как и в гладких системах. Сюда входят локальные бифуркации связанные с потерей локальной устойчиво сти периодическим решением (седл-Узл0вая бифуркация, бифуркация удвоения периода и бифуркация Андронова-Хопфа) и глобальные (гомо- и гетероклинические) бифуркации.
Второй тип не имеет аналогов в гладких системах и связан с касанием границы областей сшивания одним из участков фазовой траектории периодического решения, в результате чего изменяется число участков, из которых сшивается траектория этого решения. Такие бифуркации получили название С-бифуркаций [7, 8, 60, 68, 69]- В западной литературе используется термин border-collision bifurcations [Б, 10, 11, 58, 59, 61, 67, 70-73]. На рис- 1.5 показана схема такой бифуркации. При изменении параметров траектория Г+, состоящая из одной части, касается границы поверхностей сшивания Sj и Sk и переходит в траекторию Г_, состоящую из двух частей.
При изменении количества участков, из которых сшита траектория, или порядка их следования говорят об изменении типа решения Наиболее ранняя работа, посвященная подробному анализу С-бифуркаций, как и сам термин (от слова «сшивание»), принадлежит М- И- Фейгину [7]. В этой работе приведены аналитические критерии удвоения периода колебания, а также слияния двух циклов различного типа с последующим исчезновением. В качестве иллюстрирующего примера в этой работе приводится описание С-бифуркаций удвоения периода и слияния двух циклов различного типа для двумерной кусочно-линейной неавтономной модели механической системы с ограничителем. Для этой системы в следующей работе [68] получены аналитические условия возникновения сложных субгармонических колебаний и показана возможность рождения семейств неустойчивых циклов. Позднее [69] была установлена связь между аналитическими условиями возникновения С-бифуркаций [7, 68] и спектром собственных значений матриц локальных отображений.
Вплоть до недавнего времени работы М. И. Фейгина оставались малоизвестными для широкого круга исследователей. Положение несколько изменилось после опубликования в 1999 году совместной работы М, И, Фейгина и М, di Bernardo [60], основной целью которой является «систематизация результатов М. И. Фейгина в контексте современной теории бифуркаций и представление их более широкой аудитории». Первыми работами в западной литературе, посвященными исследованию С-бифуркаций, были статьи Nusse и др. [10, 70, 71]. Авторы этих работ назвали такие бифуркации border-collision bifurcations ,
Banerjee и Grebogi [62] (см. также [64]) рассмотрели общий класс двумерных кусочно-гладких отображений, зависящих от одного параметра. Было показано, что полная классификация включает один надцать качественно различных типов С-6ифуркаций. Полученные результаты использовались при анализе бифуркационного поведения преобразователей постоянного напряжения. Также была представлена классификация всех возможных Обифуркаций для одномерных кусочно-гладких отображений [63] в зависимости от параметров нормальной формы.
Анализ многомерной системы кусочно-гладких дифференциальных уравнений, описывающих поведение преобразователей постоянного напряжения показал, что в кусочно-гладких системах возможны С-бифуркации, при которых одновременно возникают несколько сосуществующих аттракторов [5, 17]. Независимо подобные результаты были получены Dutta и др. [74] и Kapitaniak и Майстренко [15]. Dutta и др. [74] это явление было описано для простой электронной импульсной схемы- Авторы этой работы называют такие бифуркации multiple attractor bifurcations в то время, как Kapitaniak и Майстренко [15] описывают то же самое явление при помощи термина multiple choice bifurcations.
Подробный анализ различных типов С-бифуркаций, при которых одновременно возникает несколько аттракторов, был представлен в статье [17], Было показано, что в типичном случае при С-бифуркации вместе с устойчивым циклом возникает хаотический аттрактор, каркасом которого является счётное множество неустойчивых циклов с кратными периодами.
Число работ, посвященных изучению квазипериодической динамики в кусочно-гладких динамических системах, значительно меньше [30, 36, 75-78].
Алгоритм расчёта неустойчивых многообразий седлового цикла
Основной особенностью метода уравнений периодов является то, что он ориентирован на поиск решения заданного типа, в результате чего требует наличие априорной информации о существовании такого решения. Метод неподвижной точки свободен от этого недостатка. С другой стороны, уравнение (2,13) имеет m корней в случае отсутствия эквипериодной мультистабильности, а если в заданной точке пространства сосуществуют N циклов одинакового периода тп, то N m корней. Эти корни, как правило, расположены достаточно близко Друг к другу, в результате чего итерационная процедура может сойтись не к тому корню, который нам нужен. В противоположность этому, даже если имеются несколько решений одинакового периода, решение уравнения периода приведёт к определению заданного цикла» поскольку сосуществующие циклы, как правило, имеют разные типы.
Алгоритмы поиска периодических режимов, описанные в двух предыдущих пунктах, нацелены на поиск конкретного периодического решения, определяемого выбором начальных условий. Однако, для нелинейных систем типичной является ситуация, когда при одних и тех же значениях параметров существует несколько динамических режимов-Третий алгоритм базируется на модифицированном методе установления и позволяет определять устойчивые циклы, когда их существует множество, классифицировать их типы, различать периодические и апериодические колебания. Этот алгоритм был разработан ранее В. Н. Рудаковым и Ж. Т. Жусубалиевым [29, 95], Анализ бифуркаций на торе требует решения двух взаимосвязанных задач. Первая — это поиск циклов и анализ их локальной устойчивости. Главная проблема при решении этой задачи состоит в том, что половина циклов, существующих на торе — устойчивые, а другая половина — неустойчивые. Таким образом, для анализа бифуркаций на торе необходимо найти все пары, состоящие из устойчивого и неустойчивого цикла. Вторая задача — расчёт неустойчивых многообразий седлового цикла, формирующих тор.
Для поиска неустойчивых циклов в диссертации предложен следующий гибридный алгоритм. Вначале находятся устойчивые циклы при помощи сочетания трёх вышеописанных алгоритмов. Затем для каждого найденного цикла строится совокупность всех возможных символических характеристик, отличающихся от характеристики этого цикла не более, чем на заданное количество символов. Для каждой такой характеристики S формируется последовательность z к — 1, т, значения которых определяются следующим образом: z — 0, если Sk — Ю»; Zk — 1/2, если s = «1»; ъ\ — С, 0 С 1/2, если s = « ». Эта последовательность используется в качестве начальных условий при решении системы уравнений (2.21) методом Ньютона. Если для заданных начальных условий метод Ньютона сходится и выполняются условия существования решения (2,22), то проверяется, является ли полученное решение неустойчивым или устойчивым.
Для построения основной матрицы можно воспользоваться результатами, полученными при разработке алгоритма нахождения периодического решения методом неподвижной точки, поскольку основная матрица F(T) = dP m (X)/dX определяется рекуррентной схемой (2.15) и последующими выражениями для каждой из конкретной систем В диссертации использовался стандартный алгоритм расчёта одномерных неустойчивых многообразий [96, 97]- Новизна используемой методики заключается в сочетании эвристического алгоритма поиска неустойчивых движений кусочно-гладких систем, описанного в пара графе 2.4.1 и стандартного алгоритма расчёта одномерных неустойчивых многообразий, существо которого заключается в следующем.
Пусть W(0) — точка тп-цикла отображения W = P(Wfc_i), которая может быть рассчитана в соответствии с 2.27) жли [22&)\ и один из мультипликаторов цикла (например, pi) лежит вне единичного круга, а остальные — внутри. Тогда мультипликатору pi соответствует одномерное неустойчивое многообразие Ми. Исключая из этого многообразия точку W(0 , получим два полумногообразия М.+ и МУ (см. рис. 2.3,а). Обозначим через gt собственный вектор основной матрицы, соответствующий мультипликатору pi. Тогда в точке W(0) направление касательной к полумногообразию М.у определяется вектором gi, а касательной к полумногообразию М.У — вектором — gi.
Пусть W(1) — произвольная точка на полумногообразии М+ и S С М. — множество всех точек этого многообразия, расположенных между W[1 и P(W ). Тогда полумногообразие ЛЛУ представляет собой объединение
Расположение резонансных областей в пространстве параметров
Изучению нелинейных явлений, которые могут возникать в динамике широтно-импульсных систем автоматического регулирования, включая локальные, гомоклинические и С-бифуркации, хаос, мультиста-бильность, квазипериодическую динамику и т. п., посвящено множество работ [5, 17, 30, 62-65, 76, 77, 99, 100]. Набор важных результатов численного и экспериментального исследования сложной динамики устройств силовой электроники, включая системы регулирования с широтно-импульсной модуляцией, приведён в обзорной работе di Bernardo и Tse [99]. Хронологический обзор результатов моделирования и анализа нелинейных явлений в устройствах силовой электроники представлен в сборнике статей под редакцией Banerjee и Verghese [4].
Среди наиболее ранних работ, содержащих подробный численный и аналитический анализ бифуркаций и переходов к хаосу в преобразователях электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией, необходимо отметить статьи Баушева и Жусубалиева [2, 3]. В этих работах показано, что в системах автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией в широком диапазоне параметров могут существовать различные динамические режимы с отличающимися характеристиками. Кроме того, обнаружены области сосуществования динамических режимов с различными характеристиками. Циклы, как правило, возникают через жёсткую бифуркацию (седло-узловую или С-6ифуркацию) и при изменении параметров претерпевают конечный или бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода, завершающийся переходом к хаосу Изучению квазипериодической динамики преобразователя постоянного напряжения с широтно-импульсным управлением посвящены работы El Aroudi и др, [76, 77]. В этих работах приведено описание динамических явлений, связанных с возникновением и разрушением двумерного тора, включая субкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа с сопутствующими гистерезисными переходами и наступление хаоса через разрушение тора. Авторы описывают два различных сценария разрушения тора: через удвоение периода резонансных циклов и потерю гладкости тора.
Наиболее детальный бифуркационный анализ сложной динамики систем автоматического регулирования с различными видами широтно-импулъсной модуляции содержится в серии статей Жусуб-алиева и др. [17, 30, 36] и книге Жусубалиева и Mosekilde [5], В работах [5, 17] рассматриваются различные варианты С-бифуркаций, включая переходы от одного семейства циклов к другому с кратными периодами, возникновение хаотического аттрактора вместе с устойчивым циклом и возникновение семейства неустойчивых циклов, составляющих каркас хаотического аттрактора.
В статьях [30, 36] и книге [5] авторы анализируют сценарии перехода к хаосу через квазипериодичность. В работе [30] было впервые показано, что резонансные циклы в кусочно-гладких системах возникают через С-бифуркацию, а не седло-узловую бифуркацию, как в гладких системах. Проанализирована структура резонансных языков. Показано, что переход к хаосу происходит, как правило, через конечную последовательность С-бифуркаций.
В настоящей главе изложены результаты анализа квазипериодической динамики кусочно-гладких моделей преобразователей постоянного напряжения с широтно-импульсной модуляцией, которые были разработаны в Главе 2. Основное внимание уделяется механизмам возникновения квазшіериодических колебаний, внутренней структуре и взаимному расположению в пространстве параметров областей резонанса, механизмам разрушения резонансного тора.
В качестве рхравляюхцкх параметров при анализе обеих систем регулирования были внбраны параметры корректирующего звена: коэффициент усиления: а и ішзффицнежт передачи х В процессе иссле дованжж для анализируемых динамических систем были построены карты динамически режимов в плоскости управляющих параметров (а, х) ДЛЯ значений входного напряжения Е$ ж сопротивления нагрузки Кш отличных: от указанных в Главе 2. Выло установлено что изменение зтжх параметров ню влляет на качественный характер карты джЕаш ескжх режимов.
На рже. 3,1 показано расположение областей существования раэ-ЛИШІЬІК: динамических режимов (карта динамических режимов) отображения (2.5), (2,6) Б плоскости (&. %) Здесь П — области непрерывных по параметру ищтэ чъсжш. режимов, где к. — минимальный в пределам области и-ержод, а жндекс \ предназначен для различений областей с Ахматовым к. Между областями Я\ц находятся областж существования &нержоджч$сжой дижашжж (закрашенные белым і етом)3 включающей квазждеряодические ж хаотические режимы, Карта динамических режимов для динамической системы (2,8), (г.д), (2.ю) доказана на рис. 3,2. Области резонансов в данном случае уже и располагаются ближе друг к другу, поэтому они не обозначены на рис. 3.2,а, а показаны отдельно на рис. 3.2,6. На этом рисунке резонансные языки помечены числами вращения соответствующих циклов.
Рассмотрим, как меняется динамика системы при изменении параметров ос и х в пределах, указанных на диаграммах.
При достаточно малых значениях а в системе существует глобально устойчивый цикл периода 1 (рабочий режим). Область существования этого режима на рис- 3,1 и 3.2 обозначена как TTij. При увеличении ос (движении снизу вверх) 1-цикл теряет устойчивость через бифуркацию Андронова-Хопфа (бифуркацию рождения тора) на линии N p, которая является верхней границей области TT v Эта бифуркация носит субкритический характер для системы с симметричной ШИМ и суперкритический — для системы с двусторонней ШИМ. Рассмотрим эти случаи по очереди.
Математическая модель релейной системы автоматического управления с гистерезисом
Релейные системы [102-108] представляют собой важный класс нелинейных автоматических систем, широко применяемых в различных областях науки и техники [105, 106, 109-115], таких, как силовые преобразователи, электродвигатели постоянного и переменного тока [87, 88, 116-120], адаптивные системы управления [121-124] и многие другие механические и электромеханические системы [102-104]. Йоханссон и др. [13, 14, 125] приводят примеры приложений в системах с переменной структурой [ПО, 111], гибридных системах [126,127], дельта-сигма модуляторах при обработки сигналов [128, 129].
Изучению динамики релейных систем посвящено множество работ. Однако, авторы большинства работ рассматривают только периодические режимы (см., например, [102, 103, 116, 117, 121, 130-132]). Между тем, экспериментально и путём моделирования было показано, что в релейных системах могут возникать и более сложные режимы, включая периодические режимы с участками скольжения [13, 14], квазипериодические и хаотические колебания [5, 29, 33, 34, 123, 124, 133-135].
Согласно Неймарку и Ланда [136, 137], одними из первых исследований, посвященных изучению апериодических и хаотических колебаний, были работы Алексеева [138, 139]. Автор использовал метод точечного отображения для анализа динамики релейного регулятора температуры. Было установлено наличие области параметров, в которой существуют сложные периодические колебания, при изменении параметров претерпевающие бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода, приводящую к возникновению апериодических колебаний.
Кук [140], Амрани и Азертон [141], Генезио и Теси [142] показали, что хаотические колебания могут возникать даже в маломерных релейных системах с гистерезисом.
Результаты, относящиеся к конкретным техническим системам, могут быть найдены в работах Крутовой [143, 144] и Постникова [122-124]. Крутова показала, что в системе стабилизации космического аппарата, осуществляемой с помощью релейной системы управления, управляющее воздействие может возбуждать упругие колебания конструкции, которые при взаимодействии с системой могут приводить к возникновению хаотической динамики.
Работы Постникова [122-124] посвящены исследованию динамики ядерного реактора с релейной системой управления. Показано, что в случае, когда объект управления колебательно-неустойчивый, в релейных системах с гистерезисом наряду с периодическими могут возникать и хаотические колебания. Для систем второго и третьего порядка с колебательно-неустойчивой линейной частью в плоскости параметров построены области периодичности и хаоса [124]. Рассмотрена задача выбора закона управления обратной связи, обеспечивающего в системах произвольного порядка хаотические колебания с такой же средней частотой переключения релейного элемента, что и в двумерной или трёхмерной системе, выбранной в качестве эталона.
Существующие исследования сложной динамики релейных систем, как правило, не содержат подробного бифуркационного анализа, описания механизмов хаотизации колебаний. В частности, в работах [5, 33, 34, 39, 40, 54, 55, 133, 134] указана возможность возникновения квазипериодической динамики в релейной системе с гистерезисом и описаны механизмы её возникновения, но не уделено достаточное внимание проблеме разрушения двумерного тора и перехода к хаосу через квазипериодичность.
Настоящая глава посвящена исследованию закономерностей хаотизации колебаний через разрушение двумерного тора в релейной системе с гистерезисом.
В качестве базовой модели рассматривается система четырёх кусочно-линейных автономных дифференциальных уравнений, описывающая поведение преобразователя электрической энергии с релейным регулированием [29, 34, 98, 133, 134, 145, 146]. Жусзгбалиевым и др. [5, 29, 34,133, 134] был выполнен подробный бифуркационный анализ этой системы. Были определены области периодических и апериодических колебаний в плоскости управляющих параметров, характер бифуркационных границ. Было установлено, что в динамике системы возможно сосуществование различных динамических режимов и катастрофические гистерезисные переходы при изменении параметров. Подробно проанализированы различные механизмы хаотизации колебаний, включая конечные и бесконечные каскады прямых и обратных бифуркаций удвоения периода, жёсткие переходы от периодических к другим периодическим, хаотическим или квазипериодическим колебаниям, возникновение и разрушение квазипериодических колебаний. Однако, в указанных работах не был выполнен подробный анализ сценариев хаотизации колебаний через разрушение двумерного тора.
Схема замещения преобразователя постоянного напряжения с релейным управлением приведена на рис. 4.1. Здесь ПП — полупроводниковый преобразователь; io, її, U0, Ui — токи в катушках индуктивности и напряжения на конденсаторах входного и выходного фильтров преобразователя, соответственно; I_o, Lj, Со, С], Ro, R] — индуктивности, емкости и сопротивления входного и выходного фильтров; RH — сопротивление нагрузки; а — коэффициент передачи датчика обратной связи по выходному напряжению; Е0 — входное напряжение; , — сигнал ошибки.
Уравнение движения преобразователя представляет собой систему четырёх обыкновенных кусочно-линейных автономных дифференциальных уравнений [5, 29, 34, 98, 133, 145, 146]:
