Математическое моделирование динамики управляемых систем Десяев, Евгений Васильевич

Введение к работе

Актуальность темы.

При функционировании того или иного объекта всегда возникает необходимость его перевода из одного состояния в другое. Свойством, обеспечивающим возможность такого перевода, является управляемость системы дифференциальных уравнений, описывающих движение рассматриваемого объекта, В настоящей работе проводятся исследования математических моделей, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теория управления линейными системами достаточно полно изложена в монографиях 11.11. Красовского, Р.Е, Калмана, Э.В, Ли, Л, Маркуса, Р. Габасова и других. Для случая с постоянной матрицей эта задача свелась к известной алгебраической задаче. Дальнейшее результаты по исследованию задач управляемости за конечное время для линейных и нелинейных систем дифференциальных уравнений приведены в работах В,И, Зубова, Им же указан общий вид программных движений. На основе этих результатов В,И, Зубовым решена задача о стабилизации гироскопических систем.

Исследование нелинейных систем велось в различных направлениях и различными методами. Для анализа управляемости нелинейных систем использовались свойства линеаризованной системы, рассматривались нелинейности специального типа, исследовалась задача управления при различных дополнительных ограничениях на задание начальной и конечной точек траектории, положение траектории в пространстве, характер управления, свойства дифференциальных уравнений, описывающих системы управления,

В нелинейных системах, рассмотренных Зубовым, управление зависит не только от переводимой и конечной точки, но и от малого параметра, причем значение малого параметра зависит от указанных точек. Другими словами, по двум точкам определяется значение малого параметра, а затем, в зависимости от этих двух точек, малого параметра и времени перевода подбирается подходящее управление из класса допустимых управлений,

В работах Е.В, Воскресенского содержатся результаты об управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений за бесконечное время, В этих работах задача об управляемости решается с помощью метода сравнения, В этом случае фиксированная точка переводится в сколь угодно малую окрестность другой точки, причем в дальнейшем из этой окрестности переводимая точка не выходит.

Необходимость построения методов исследования математических моделей сложных процессов, описываемых управляемыми нелинейными системами дифференциальных уравнений, обусловила интерес к задаче перевода объекта из начального состояния в заранее заданное. Поэтому задача определения условий управляемости систем является весьма актуальной.

Цель работы.

Основной целью работы является получение новых теорем для решения задач об управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений за бесконечное время и применение полученных результатов к решению задачи математического моделирования управляемых нелинейных динамических систем. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. получить аналитическое представления класса допустимых управлений для линейной и нелинейной динамической системы;

2. доказать новые теоремы об асимптотической эквивалентности по Bpayepv для

дифференциальных уравнений;

3. применить полученные теоремы для решения задач об управляемости искусственными спутниками Земли за достаточно большое время;

4. разработать численные методы и алгоритмы для нахождения класса допустимых управлений за бесконечное время для линейных и нелинейных динамических систем;

5. создать комплекс программ для решения задач управляемости нелинейными динамическими системами за бесконечное время.

Методы исследования.

Для решения рассматриваемых задач в диссертации применяются следующие методы исследования:

5. 1. метод сравнения;

   2. методы асимптотической эквивалентности, разработанные Е.В. Воскресенским, для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений;

   3. теоремы о неподвижной точке;

   4. метод вариаций произвольных постоянных Лагранжа;

   5. первый и второй методы Ляпунова;

   6. метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

   Научная новизна.

   Получены аналитические представления класса допустимых управлений для линейных и нелинейных динамических систем. Доказаны новые теоремы об асимптотической эквивалентности по Iipay-spy для управляемых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработаны численные методы и алгоритмы для нахождения класса допустимых управлений за бесконечное время для линейных и нелинейных динамических систем. Создан комплекс программ для решения задач управляемости нелинейных динамических систем за бесконечное время. Применены полученные теоремы и комплекс программ для решения задач управляемости за бесконечное время для искусственных спутников Земли,

   Практическая ценность.

   Предложенные в диссертации математические методы и вычислительные алгоритмы могут быть использованы при решении задач возникающих в практике исследования динамики управляемого движения космического аппарата.

   Апробация диссертации.

   Основные результаты докладывались и обсуждались на объединенных научных семинарах кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета имени Н.П, Огарева и Средневолжского математического общества (2005-2012 гг.), под руководством профессора Е.В, Воскресенского (2005-2008 гг.), VIII Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 12-16 мая

   5. 6. 1. г.), III Международная научно-техническая конференция "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем"(Пенза, 15-16 октября 2008 г.), Шестая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1-4 июня

         2. г), IX научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании "с участием зарубежных ученых, (Саранск, 1- 3 июля 2010), IV Международная научная школа-семинар "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"(Саранск, 1-12 августа 2009 г.), IX молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения-2010 посвященная 50-летию механико- математического факультета Казанского университета (Казань, 1-6 октября 2010г), V Международная научная школа-семинар "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"(Саранск, 1-12 июля 2011 г.), на ежегодных научных конференциях "Огаревекне чтения "Мордовского государственного университета имени Н.П, Огарева (Саранск, 2005-2012 гг.), на ежегодных научных конференциях молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета имени Н.П, Огарева (Саранск, 2005-2012 гг.).

         Публикации. По результатам диссертационного исследования опубликовано 17 работ, список которых приведен в конце автореферата, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК,

         Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 116 наименований. Общий объем диссертации составляет 137 страниц машинописного текста,

         Похожие диссертации на Математическое моделирование динамики управляемых систем

         

         Моделирование динамики многокомпонентных систем на основе маркированных графовВолгина Марина Анатольевна

         

         Моделирование динамики трубопроводных систем нефтехимических производствСмирнов, Михаил Евгеньевич

         

         Разработка и применение статистических методов для моделирования динамики дисперсных системЦарина Анна Георгиевна

         

         Моделирование динамики распределенных систем с запаздывающей обратной связьюЗахаров Андрей Павлович

         

         Моделирование квантовой динамики малочастичных систем в квазиклассическом приближении с учетом реакцийАракелов Карен Серопович

         Математическое моделирование нелинейной динамики открытой системы гиперциклаВолосова, Александра Константиновна

         

         Математическое моделирование волновой динамики в системах с гетерогенными структурамиСавченкова Мира Викторовна

         

         Методы математического моделирования динамики систем со структурными изменениями в задачах экологии и рационального природопользованияКириллов Александр Николаевич

         

         Моделирование квазипериодической динамики импульсных систем автоматического регулирования Сухотерин Евгений Александрович

         

         Энтропийное моделирование динамики многомерных стохастических системЛебедева Ольга Викторовна