Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модели экономической динамики
1. Основные понятия 17
2. Модель фон Неймана - Гейла 36
3. Модели со строгим состоянием равновесия 52
Глава 2. Структура оптимальных траекторий в моделях с конечным числом состояний
4. Модель с конечным числом состояний без дисконтирования (схема динамического программирования) 63
5. Модель фон Неймана, соответствующая схеме динамического программирования 86
6. Структура бесконечных оптимальных траекторий в модели с конечным числом состояний с дисконтированием 96
7. Структура Г-шаговых оптимальных траекторий в модели с конечным числом состояний с дисконтированием 118
Глава 3. Структура оптимальных траекторий в моделях неймановского типа
8. Эффективные траектории как ранние магистрали 126
9. Эффективный функционал и магистраль 136
10. Второй эффективный функционал и структура оптимальных траекторий 157
Глава 4. Структура оптимальных траекторий в малоразмерных моделях рамсеевского типа
11. Структура оптимальных траекторий и функции-значения в модели рамсеевского типа с дискретным временем 169
12. Структура равновесных траекторий в модели эндогенного роста Лукаса 182
Приложения
- Модели со строгим состоянием равновесия
- Модель фон Неймана, соответствующая схеме динамического программирования
- Второй эффективный функционал и структура оптимальных траекторий
- Структура равновесных траекторий в модели эндогенного роста Лукаса
Введение к работе
Математические модели экономической динамики представляют собой один из основных инструментов исследования, применяемых в современной экономической науке. Среди динамических моделей, разработанных для нужд экономики, особую роль играют два класса моделей, привлекшие наибольшее внимание исследователей: многосекторные модели неймановского типа и однопродуктовые модели рамсеевского типа. Такого рода модели были сформулированы и начали исследоваться еще в довоенные годы в работах Дж. Фон Неймана (von Neumann, 1937) и Ф.Рамсея (Ramsey, 1928), однако широкий интерес к ним экономистов и математиков возник в конце 1950-х - начале 60-х годов после появления компьютеров и разработки методов теории оптимального управления. Удачное обобщение модели фон Неймана было предложено Д.Гейлом (1959), а идеи модели Рамсея были непосредственно развиты Д.Кассом (Cass, 1965) и Т.Купмансом (Koopmans, 1965). В те же годы были предложены другие родственные модели: многосекторные модели Леонтьева (см. Leontief, 1961, 1966), однопродуктовые модели экономического роста с постоянной нормой накопления (Solow, 1956, 1957, Swan, 1956), модели с овеществленным научно-техническим прогрессом (Канторович, Горьков, 1959, Johansen, 1959, Solow 1960), модели эндогенного роста (Uzawa, 1961, Arrow, 1962). Эти исследования во многом определили магистральный путь развития динамических моделей экономики до конца XX столетия.
Сложность реальной экономической системы делает невозможным ее адекватное описание в рамках одной модели. С другой стороны, разнообразие предлагаемых моделей делает невозможным создание единой универсальной формальной теории, включающей все отдельные модели как частные случаи. Тем не менее, в ходе исследования отдельных моделей и их классов, различными авторами были разработаны подходы и методы, применимые ко многим моделям экономической динамики, показывающие сходство и родство различных моделей. В этом смысле, была создана теория математических моделей экономической динамики.
Формирование этой теории отражено в монографиях и учебниках В.Л.Макарова, А.М.Рубинова (1973), Ю.Н.Черемных (1975), И.А.Красса (1976), А.М.Рубинова (1980, 1983), С.А.Ашманова (1984), Н.П.Дементьева (1991), А.М.Рубинова, К.Ю.Борисова, В.Н.Десницкой, В.Д.Матвеенко (1991), М.И.Левина, В.Л.Макарова, А.М.Рубинова (1993), А.А.Петрова, И.Г.Поспелова, А.А.Шананина (1996), Р.Дорфмана, П.Самуэльсона, Р.Солоу (1958), Р.Аллена (1963), Д.Гейла (1963), Е.Бурмейстера, А.Добелля (Burmeister, Dobell, 1970), Р.Солоу (Solow, 1970), М.Моришимы (1972), К.Ланкастера (1972), А.Такаямы (Takayama, 1985, 1994), Т.Сарджента (1987), У.Брока, М.Маллиариса (Brock, Malliaris, 1989), Н.Стоки, Р.Лукаса (Stokey, Lucas, 1989), А.Диксита (Dixit, 1990), К.Азариадиса (Azariadis, 1993), Р.Барро, К.Сала-и-Мартина (Barro, Sala-i-Martin, 1995), Д.Ромера (Romer, 1996), С.Турновского (Tumovsky, 1997), Ф.Агиона, П.Ховитта (Aghion, Howitt, 1998), Ч.Джонса (Jones, 1998), Л.Люнквиста, Т.Сарджента (Ljungqvist, Sargent, 2000) и других авторов.
Как правило, изучение каждого класса математических моделей экономической динамики проходит определенную последовательность этапов:
а) нахождение и исследование стационарных (сбалансированных) траекторий, т.е. таких, на которых остаются постоянными те или иные экономические показатели (например, темпы роста продуктов);
б) сравнение стационарных траекторий, выбор класса наилучших стационарных траекторий, в смысле того или иного определения(принципа, критерия) оптимальности;
в) нахождение необходимых (или необходимых и достаточных) условий оптимальности (в смысле того или иного определения) нестационарной траектории при тех или иных краевых условиях;
г) исследование асимптотического поведения оптимальных траекторий (с бесконечным горизонтом или с конечным горизонтом Г при Т -»• 00 );
д) качественное исследование отдельных нестационарных оптимальных траекторий (так называемый, анализ переходной динамики);
е) качественное исследование всего множества оптимальных траекторий - с конечным и бесконечным горизонтами, при различных значениях параметров, относящихся к краевым условиям, величине горизонта, предпочтениям, технологиям И ТЛІ.)
Последний из перечисленных этапов, по мнению автора, наиболее важный и интересный, вместе с тем, является и наиболее сложным. Такого рода исследование удается провести лишь частично и для весьма конкретных моделей или классов моделей.
Основной задачей, рассматриваемой в настоящей диссертации, является качественное исследование структуры оптимальных траекторий для ряда моделей экономической динамики, в частности, для модели с конечным числом состояний и для моделей неймановского и рамсеевского типа.
Большинство работ, относящихся к математическим моделям экономической динамики, посвящены построению и исследованию оптимальных, в том или ином смысле, Г-шаговых траекторий с фиксированным начальным состоянием х0. В качестве оптимизационных задач часто рассматривают типичные для теории оптимального управления задачи о максимуме терминального целевого функционала у/ в момент Г и о максимуме интегрального функционала ср на временном отрезке [О, Т]. Типичным для моделей рамсеевского типа является целевой функционал т-\ /=0 где T = {xt}]=0 - Г-шаговая траектория, /?е(0,1)- субъективный коэффициент дисконтирования, и — функция полезности, относящаяся к переходу из состояния х, в состояние х1+1. Поскольку горизонт Т и целевые функционалы ц/, ср выбираются, вообще говоря, произвольно, большое значение имеют результаты о независимости поведения оптимальных траекторий от величины горизонта и от вида целевого функционала.
В 1958 г. Дорфман, Самуэльсон и Солоу (Dorfman et al., 1958) высказали гипотезу о наличии в моделях экономической динамики магистралей — особых множеств состояний, на которых (или вблизи которых) проводит большую часть времени Г-шаговая оптимальная траектория, если горизонт Т достаточно велик. Эти авторы предложили удачную аналогию магистрали со скоростной дорогой: водители автомашин при длительных поездках выводят машину на скоростную дорогу (магистраль), движутся по магистрали, а затем в какой-то момент покидают ее. Наличие магистралей позволяло экономистам сделать важные выводы об общих «магистральных путях» развития тех или иных стран и регионов (так называемых, клубов) и о существовании определенных оптимальных пропорций, на которые следует ориентироваться в долгосрочном планировании и прогнозировании. Подтверждению указанной гипотезы послужили теоремы о магистрали, доказанные в 1961 г. Р.Раднером и М.Моришимой для модели фон Неймана и в 1964 г. Х.Никайдо для модели фон Неймана - Гейла. В дальнейшем магистральной теории была посвящена обширная научная литература (см. обзоры McKenzie, 1976, 1986, 1998, Рубинов, 1982).
В книге Дорфмана, Самуэльсон и Солоу впервые приведена фазовая диаграмма для модели экономической динамики, изображающая семейство оптимальных траекторий с фиксированными начальным и конечным состояниями х0, хт (см. рис. 1). Здесь х - фазовая переменная, g — управляющая переменная. Заметим, что рисунок очень схематичен, он не может буквально относиться к модели с дискретным временем, которую рассматривали авторы, но имеет характер гипотезы, относящейся к значительно более широкому классу моделей. Авторы замечают важное свойство структуры траекторий: чем больше горизонт Т, тем большее время оптимальная траектория ab проводит в окрестности стационарного состояния Р. В современной терминологии, Р является средней магистралью. Фуруя и Инада (Furuya, Inada, 1962) сделали дальнейшее наблюдение: оптимальная траектория аЪ сходится к своей асимптоте, сегменту АРВ. Они заметили также, что по сегменту АР проходит бесконечная оптимальная траектория, в современной g /N терминологии, ранняя магистраль, к которой сходятся конечные оптимальные траектории при Т — оо.
Естественным следующим шагом было бы исследование природы сегмента РВ. Самуэльсон (Samuelson, 1965), имея в виду модель рамсеевского типа с непрерывным временем, довольно туманно пишет, что РВ - это «рамсеевская траектория, которая отправилась из точки полного счастья (bliss)» (т.е. точки Р) в «незапамятные времена» и которая «не имеет простой экономической интерпретации». Еще одно наблюдение, которое делает Самуэльсон: по мере увеличения горизонта Г, начало а конечной оптимальной траектории приближается к точке А, а ее конец Ъ - к точке В.
До недавнего времени дальнейшие исследования, проясняющие структуру оптимальных траекторий на финальном участке, отсутствовали. В известном обзоре Мак-Кензи (McKenzie, 1976, см. также McKenzie, 1983, 1985, 1998, Рубинов, 1982) выделено три типа теорем о магистрали: о средней магистрали (близость достаточно длинных оптимальных траекторий к магистрали за исключением конечного числа периодов), о ранней магистрали (близость достаточно длинных конечных оптимальных траекторий на начальном участке к некоторой бесконечной траектории) и о поздней магистрали (сходимость бесконечных оптимальных траекторий к магистрали). В терминах рис. 1, такие теоремы описывают близость траекторий к сегменту АР и их поведение в окрестности точки Р. По сути, к изучению поздней магистрали можно отнести и многочисленные исследования, посвященные сходимости (конвергенции) экономических показателей стран и регионов (см., например, Baumol, 1986, Barro, Sala-i-Martin, 1995, Galor, 1996).
Очевидной лакуной в классификации Мак-Кензи и в многочисленных исследованиях, которые она отражает, является отсутствие результатов о поведении оптимальных траекторий на финальном участке. Мы называем такого рода результаты теоремами о финальной магистрали. «Финальные магистрали» наглядно видны на фазовых диаграммах, распространенных в экономико-математической и макроэкономической литературе последних десятилетий (например, Takayama, 1985, Blanchard, Fisher, 1989, McCafferty, 1990, Tu, 1991, Chiang, 1992, Azariadis, 1993, Takayama, 1994, Barro, Sala-i-Martin, 1995), однако их природа не получила объяснения, до того, как теоремы о финальной магистрали были получены для модели фон Неймана - Гейла независимо В.З.Беленьким (Беленький, 1990) и автором (Матвеенко, 19886, 1989). Затем автором были получены теоремы о финальной магистрали для модели с конечным числом состояний без дисконтирования (Матвеенко, 1990), с дисконтированием (Матвеенко, 1998а) и для однопродуктовой модели рамсеевского типа (Матвеенко, 1999).
Основная линия диссертации - исследование структуры Г-шаговых оптимальных траекторий при достаточно больших значениях горизонта Г для моделей с конечным множеством состояний без дисконтирования и с дисконтированием (глава 2), моделей неймановского типа (глава 3) и однопродуктовых моделей рамсеевского типа (глава 4).
Как известно, в моделях рамсеевского типа, с бесконечными оптимальными траекториями тесно связана функция-значение, иногда называемая функцией Беллмана. Аналогом функции-значения в моделях неймановского типа является эффективный функционал (см. раздел 9). Для характеризации финальной магистрали в моделях рамсеевского типа автором введено понятие второй функции значения. Установлено, что финальная магистраль может быть построена пошагово с помощью второй функции-значения (разделы 7, 11). Аналогом второй функции-значения в моделях неймановского типа является второй эффективный функционал (раздел 10). Для ряда моделей получена теорема о представлении значения задачи с конечным горизонтом в виде суммы функции-значения и второй функции-значения (разделы 7,10,11).
При определенных предположениях, для рассматриваемых классов моделей выявлена следующая «трехчастная» структура Г-шаговых оптимальных траекторий. При достаточно большом горизонте, Г-шаговая оптимальная траектория с фиксированными концами состоит (или близка к траектории, состоящей) из трех последовательных участков: первый участок близок или совпадает с соответствующим участком бесконечной оптимальной траектории (ранней магистрали), которая зависит лишь от начального состояния (не зависит от конечного состояния и от величины горизонта); на втором участке траектория проходит по средней магистрали или вблизи нее; на третьем участке траектория, рассматриваемая в обратном времени, проходит по финальной магистрали или вблизи нее, финальная магистраль определяется только конечным состоянием. Начальный участок может быть построен пошагово с помощью функции-значения (или эффективного функционала), а финальный участок (в обратном времени) - с помощью второй функции-значения (или второго эффективного функционала).
В диссертации рассматривается также ряд других мало исследованных ранее вопросов, относящихся к качественному и количественному исследованию структуры оптимальных траекторий, среди них связь различных способов двойственной характеризации оптимальных траекторий (принцип максимума, динамическое программирование, теорема о характеристике), теоремы о ранней магистрали, уточнение теорем о средней магистрали, сравнение оптимальных траекторий для различных критериев оптимальности.
Также изучаются модели эндогенного роста (раздел 12 и приложение 2). Исследование такого рода моделей стало в последние десятилетия основным направлением в теории экономического роста.
Диссертация включает четыре главы и три приложения.
Глава 1 носит вводный характер. В разделе 1 вводятся основные понятия теории моделей экономической динамики применительно к варианту с дискретным временем, который, в основном (за исключением раздела 12) рассматривается в диссертации. Раздел 2 посвящен основным свойствам модели фон Неймана — Гейла. В разделе 3 рассматривается частный случай последней — модель со строгим состоянием равновесия.
В главе 2 изучается модель с конечным числом состояний. По существу, предположение о конечности числа состояний составляет единственное ограничение в этой модели. Это предположение представляется весьма естественным. Оно может, например, отражать тот факт, что в ряде случаев экономические величины могут быть определены лишь с какой-то степенью точности, и близкие друг к другу состояния экономической системы плохо различимы. Например, в стандартной однопродуктовой модели рамсеевского типа (см. раздел 11) основной интерес представляет случай, когда капиталоворуженность (отношение капитала к труду) лежит на отрезке (0, к), где к - стационар чистого накопления,. Тогда, считая, что на этом отрезке значения фондовооруженности определены с некоторой точностью, например, с точностью до 1 копейки, мы придем к модели с конечным числом состояний. Различные модели экономики с конечным числом состояний рассматривались ранее, например, в Mehra, Prescott, 1985, Mehra, 1988.
В разделе 4 рассматривается модель с конечным числом состояний без дисконтирования, известная как схема динамического программирования (см., например, Романовский, 1976, 1977) В частности, показано, что при условиях неразложимости и примитивности подматрицы, соответствующей дугам оптимальных контуров, имеет место указанная выше "трехчастная" структура Т-шаговых оптимальных траекторий. Доказывается теорема о представлении значения задачи с конечным горизонтом.
Как известно, три метода, чаще всего применяемых при исследовании оптимизационных моделей экономической динамики, - динамическое программирование, дискретный принцип максимума и теория суперлинейных многозначных отображений (моделей фон Неймана - Гейла) - развивались в достаточной степени независимо, однако они глубоко связаны. Весьма хорошо изучена связь между принципом максимума и динамическим программированием (см., например, Болтянский, 1973, Kanemoto, 1980, Zhou, 1990). Романовский (19676) применял методы динамического программирования для исследования моделей фон Неймана - Гейла, в частности, для доказательства теорем о магистрали. В разделе 5 применяется, в некотором смысле, обратный подход. Построена модель фон Неймана специального вида, которая в качестве аппарата привлекается для анализа схемы динамического программирования. Оказывается, что основные объекты, характеризующие эту модель фон Неймана (состояния равновесия, неймановская грань и др.) соответствуют основным объектам, характеризующим схему динамического программирования. В частности, доказано, что правый и левый экстремальные собственные векторы матрицы, соответствующей схеме динамического программирования, являются векторами неймановских цен модели фон Неймана и при этом определяют, соответственно, эффективный функционал и второй эффективный функционал последней.
При коэффициенте дисконтирования /3 1, в разделе 6 исследуются оптимальные контуры и структура оптимальных траекторий задачи с бесконечным горизонтом, а в разделе 7 изучается структура оптимальных траекторий задач с конечным горизонтом. Доказаны теоремы о «трехчастной» структуре и о представлении значения задачи с конечным горизонтом. В разделе 7.3. показано, каким образом случай /3 1 может быть сведен к случаю /? 1.
Устанавливаемые в разделах б, 7 теоремы о магистрали показывают, что магистраль может иметь сложную структуру, и оптимальные траектории могут быть «неопределенными». В разделе 6.4 получено достаточное условие, при котором данный цикл не входит в состав ни одной оптимальной траектории (независимо от значения Р), а также достаточное условие, при котором никакие оптимальные траектории не содержат циклов. Последнее условие близко к полученному для модели с непрерывным пространством состояний в Boldrin, Montracchio, 1988. Чтобы оценить качество полученного достаточного условия, в разделе 6.5 проводится его сравнение с необходимым и достаточным условием.
В главе 3 изучаются модели неймановского типа. Как уже сказано, финальные магистрали до недавнего времени не изучались. Но, как видно из упомянутых обзоров Мак-Кензи и Рубинова, основная часть исследований была посвящена «средним» и «поздним» магистралям, тогда как «ранние» магистрали тоже сравнительно мало изучены. Между тем, вопрос о поведении оптимальных траекторий в начале временного промежутка - так называемая, переходная динамика - представляет значительный интерес, как с экономической, так и с математической точки зрения. В разделе 8 доказывается две теоремы о «ранней» магистрали, т.е. о близости к некоторой бесконечной траектории на начальной фазе, для весьма общей модели неймановского типа, в которой не предполагается выпуклость производственного отображения. В качестве ранней магистрали выступает эффективная траектория с началом х0. Показано, что если последняя единственна, то оптимальные Г-шаговые траектории при достаточно больших Г близки к ней на начальном участке. Заметим, что в данном случае «традиционные» теоремы о средней магистрали могут быть получены из сходимости эффективной траектории к магистрали: оптимальные Г-шаговые траектории движутся к магистрали «вслед» за эффективной траекторий.
В разделе 9 для моделей неймановского типа, на которые не накладывается требований выпуклости и однородности, доказано существование функции, аналогичной эффективному функционалу, которая позволяет пошагово построить эффективную траекторию для каждого начального состояния. Для неоднородных моделей вводится понятие сходимости по доминированию, обобщающее понятие строгого темпа роста модели фон Неймана - Гейла. Эффективный функционал используется для уточнения теоремы Никайдо о магистрали в сильной форме.
В разделе 10, с использованием понятия второго эффективного функционала, рассматриваются вопросы о построении эффективной обратной траектории и о структуре Г-шаговой оптимальной траектории при достаточно большой величине горизонта Г.
В главе 4 рассматриваются одно- и двухпродуктовые модели экономического роста, имеющие широкое применение в теоретических и прикладных макроэкономических исследованиях.
В разделе 11 изучается типичная однопродуктовая модель рамсеевского типа, так называемая, модель аккумуляции капитала. Основное внимание уделяется «трехчастной структуре» и, в частности, финальному участку оптимальной траектории при достаточно большом горизонте Г. Для случая функции полезности и(с) = с получено полное описание структуры оптимальных траекторий, найдены функция-значение и вторая функция-значение. Доказана теорема о представлении значения задачи с конечным горизонтом посредством функции-значения и второй функции-значения. Изучен вопрос о том, как изменяется структура траектории при введении условия необратимости инвестиций (т.е. запрета на потребление из накопленного производственного капитала). Доказана теорема о финальной магистрали для случая и(с) = In с. (Начальный участок оптимальной траектории для этого случая описан в Sargent, 1987, Stokey, Lucas, 1989, Ljungqvist, Sargent 2000).
Раздел 12 посвящен исследованию структуры равновесных траекторий в модели эндогенного роста Лукаса (Lucas, 1988). Эта модель сочетает идеи моделей рамсеевского типа (задача о максимизации интегральной дисконтированной полезности используется в определении равновесной траектории) и неймановского і типа (рассматривается доминирование траекторий по двум видам капитала). Лукас и другие авторы, исследовавшие эту модель, пришли к выводу, о наличии единых темпов долгосрочного роста для всех равновесных траекторий. Оказывается, однако, что, при определенной комбинации параметров, имеет место «неопределенность», состоящая в существовании для каждого начального состояния континуума равновесных траекторий с различными долгосрочными темпами. роста. При несколько более широких условиях, доказывается существование континуума равновесных сбалансированных траекторий с различными темпами роста. Эти результаты представляются интересными в связи с дискуссиями о «конвергенции» и о темпах роста и уровнях роста, которые ведутся в литературе по теории роста (см. Lucas, 1988, Barro, Sala-i-Martin, 1995, Galor, 1996, Ljunqvist, Sargent, 2000).
В приложениях 1, 2 предлагаются две прикладные модели, частично объясняющие процессы, происходившие в российской экономике в переходный период.
В приложении 1 рассматривается модель развития п экономических агентов с взаимными положительными экстерналиями (внешними эффектами). Такая модель может служить для объяснения экономического развития России, где ввиду слабого развития рынков, важную роль играют экстерналии. Результаты раздела диссертации привлекаются для объяснения динамики этой модели. Вводятся понятия связывающих, несвязывающих и актуальных экстерналий. Нелегальные платежи агентов (коррупция) объясняются как политики агентов, направленные на увеличение связывающих положительных экстерналий, создаваемых другими агентами.
В приложении 2 изучается принадлежащая автору однопродуктовая модель эндогенного роста (fK модель), обобщающая известную АК модель (по поводу последней см. Frankel, 1962, Barro, Sala-i-Martin, 1995). Особенностью fK модели является зависимость производительности капитала от реальной заработной платы (или, более широко, оборотного капитала) на единицу производственного капитала. (Заметим, что показатель «потребление на единицу капитала» играет важную роль и в модели эндогенного роста Лукаса - см. раздел 12). Один из результатов состоит в том, что экономический рост в fK модели возможен лишь в определенном диапазоне заработной платы на единицу капитала, тогда как при относительно малой или относительно высокой заработной плате на единицу капитала, имеет место экономический спад. (В АК модели спад невозможен при относительно малой заработной плате).
Приложение 3 посвящено дискретным сублинейным и дискретным суперлинейным операторам; их примерами могут служить линейный (матричный) оператор, экстремальные матричные операторы (используемые в разделе 4 и приложении 2), а также операторы, возникшие в Моришима, 1972, Sladky, 1976, 1980, Zijm, 1984). Исследуются сжимающие свойства операторов на основе квазиметрики Гильберта, устанавливается глобальная устойчивость соответствующей динамической системы. Определяется левый собственный элемент оператора, он затем применяется для построения эффективного функционала в модели фон Неймана - Леонтьева, а последний, в свою очередь, используется для изучения модели экономической интеграции.
Модели со строгим состоянием равновесия
В настоящем разделе рассматривается модель фон Неймана, соответствующая схеме динамического программирования, изучавшейся в разделе 4. Результаты раздела опубликованы в Матвеенко, 1988а. Построение вспомогательной модели фон Неймана - продуктивный метод исследования, который автор использовал и применительно к другим моделям экономической динамики (Матвеенко, 1983 а, 1984, Рубинов и др., 1990). В контексте данного исследования, привлечение модели фон Неймана позволяет более полно изучить объекты, введенные в разделе 4, -прежде всего, это первая и вторая система потенциалов. Также, результаты раздела представляются важными с точки зрения изучения взаимосвязи различных методов исследования экономической динамики - динамического программирования и теории моделей фон Неймана - Гейла (теории точечно-множественных многозначных отображений). Заметим, что Романовский (19676) рассматривал в некотором смысле обратную задачу: он привлекал схему динамического программирования с непрерывным множеством состояний для представления модели фон Неймана - Гейла. Заметим также, что разработанный автором аппарат применялся позднее Кругловым (1989, 1990). 5.1. Описанной в разделе 4 модели экономической динамики с п состояниями можно поставить в соответствие специальным образом определенную модель фон Неймана N, для которой X = R", Z - замкнутая коническая оболочка 2я-мерных векторов (элементарных процессов) /(/,7) = (0,...,1,0,...,6 ,...,0), (/,/) eN (0 = (0,... ,1,0,. ..,0), /є М, где 1 стоит на месте /, е"(,,7) - на месте (л + j). Процессы r(i) обеспечивают нормальность модели N и не используются на оптимальных траекториях. Состояние х, будем называть элементарным, если отлична от нуля лишь одна из его координат. Траекторию {х,} назовем элементарной, если она состоит из элементарных состояний. Каждой траектории схемы динамического программирования соответствует элементарная траектория модели N и наоборот. Модель N имеет бесконечные траектории в том и только в том случае, если граф (М ) имеет контуры. Модель N представляет собой частный случай модели Леонтьева: в каждом элементарном процессе l(i,j) затрачивается единственный продукт / и выпускается единственный продукту. Производственное отображение модели N имеет вид Другое подобное погружение динамической модели в модель фон Неймана применялось в Матвеенко, 1983а, 1984, 1990 для исследования модели с производственными фондами, различающимися по времени создания (vintage model).
Пусть /0 - вершина графа (M,N), х0 =(0,...,1,...,0) - соответствующее элементарное состояние модели N (единица стоит на месте /0). Как и раньше, значение v(/,y,/) представляет собой максимальный вес /-звенного (/у)-пути. Состояние S/ = (0,...,gjy),...,0), где нау-м месте стоит принадлежит области достижимости а (х0). Доказательство. Введем обозначение nco{S},...,S"} = or Очевидно, что (о, са (х0). Докажем обратное включение по индукции. Пусть {хк} 0 - (/+1)-шаговая траектория с началом х0. Очевидно, что х, є СУ, . Если х, ею,, т.е. 5.2. Рассмотрим следующую задачу динамического программирования. В графе (M,N)найти Г-звенный путь с началом в вершине /0, обладающий максимальной суммой где/- некоторая функция, определенная на множестве вершин М. Эта задача может быть переформулирована для модели N следующим образом. Найти элементарную Г-шаговую траекторию {x,}f=0c началом в элементарном состоянии х0, для которой достигается где р = (е/(1),...,е/(п)). Из предложения 5.1 следует, что решение этой задачи является у/ -оптимальной Г-шаговой траекторией, где у/(х) = рх. В частности, применимы общие теоремы об асимптотическом поведении оптимальных Т-шаговых траекторий модели фон Неймана - Гейла. Как показал В.Л.Макаров (Макаров, 1966, Макаров, Рубинов, 1973), для справедливости теоремы о магистрали (относительно грани) моделей фон Неймана -Гейла существенен факт сходимости последовательности {«" а (х0)}, где а - темп роста модели, х0 є X. В нашем случае а = ея ; из предложения 5.1 следует, что эта последовательность сходится в том и только в том случае, если сходятся последовательности {v(/0,/,/)},/ = 1,...,/и, где v(/0,/,/) = У(/0,/,/)-Я/ максимальный модифицированный вес /-шагового (/„, /)-пути, /0 є М. Как следует из предложения 4.2, если контурный граф Г связен, и Яр = 1, то последовательность {а а (х0)} для произвольного начального состояния дг0 стабилизируется. Пусть \а,р,(х,у)) - состояние равновесия модели N; его существование вытекает из многогранности конуса Z (Макаров, Рубинов, 1973, с. 116).
Модель фон Неймана, соответствующая схеме динамического программирования
Рассматриваемая модель проясняет само понятие экстерналии. Розен (Rosen, 1988) замечает, что "многие люди, которые никогда не слышали термин "положительная экстерналия", тем не менее имеют хорошее интуитивное представление об этом понятии и его политических применениях. Они понимают, что если они убедят правительство в том, что их деятельность создает положительное влияние, они получат возможность обратиться в казначейство за субсидией" (Rosen, 1988, р. 143). Это наблюдение может служить некоторым подтверждением скрытого и сложного характера многих экстерналии. Во-первых, может быть не легко обнаружить, что некоторый агент вообще имеет положительное экстернальное влияние на других агентов в экономике. Во-вторых, даже если экстерналия обнаружена, она может оказаться не важной или незначимой для других экономических агентов. Вообще говоря, экономический агент испытывает экстерналию со стороны некоторых других агентов только если его значение и размер экстерналии в некотором смысле сопоставимы. В-третьих, в экономической системе со сложными взаимными связями, экстерналии могут действовать косвенно через сеть агентов. Даже если какой-то агент осознает присутствие экстерналии, для него может быть трудно обнаружить источник экстерналии, потому что экстерналии могут создаваться не только отдельными агентами, но также и группами агентов; мы это далее увидим.
Вернемся к случаю двух агентов. В зависимости от значений агентов, экстерналия может быть значимой или нет для первого агента. Предположим, что значение первого агента равно JC,(1) = х . Возможны два случая. Если я2х((2) апх , то значение JC,(]] первого агента в следующий период определяется ограничением экстерналии. В этом случае мы называем экстерналию связывающей. Если ai2x/2) апх то значение лг(( ] первого агента в следующий период не зависит от экстерналии, но определяется только значением и возможностями самого первого агента. В этом случае мы называем экстерналию несвязывающей.
Различия между связывающими и несвязывающими экстерналиями имеет важные следствия для политики первого агента. Если экстерналия связывающая, его развитие ограничивается размерами экстерналии, но не его собственными возможностями развиваться, и он будет заинтересован в увеличении экстерналии или в развитии другого агента, который эту экстерналию создает. Возможно, что первый агент будет готов сделать некоторый платеж (может быть даже в нелегальной форме), направленный на увеличение либо коффициента экстерналии ап, либо значения второго агента х,(2).
Если экстерналия несвязывающая, то первый агент, вероятно, будет, прежде всего, заинтересован в своем собственном развитии, но не в расширении экстерналии и не в развитии второго агента. (Конечно, в динамике, агент может начать расширять экстерналию заранее, до того как она стала связывающей).
Относительная простота получения субсидии в примере Розена основана на неспособности правительства различать связывающие и несвязывающие экстерналии. Другая интересная аналогия связана с вопросом, почему американская помощь России в 1990-х годах была не так значительна, как американская помощь Германии в конце 1940-х годов. Возможный ответ состоит в том, что, хотя в обоих случаях экстерналия рассматривалась США как связывающая, по отношению Германии была выбрана политика увеличения значения второго агента х,(2), а по отношению России - политика увеличения коффициента экстерналии ап. В модели с п агентами экстерналия со стороны агентау является связывающей для агента /, если ОуХ л аих\ . Экстерналия несвязывающая, если а х я,7х,(,).
То, что экстерналия - несвязывающая, может быть интерпретировано как "слишком малое" значение х,(,) /-го агента, испытывающего ее. Положительная экстерналия присутствует, но она достаточно велика, т.е. не ограничивает развитие "малого" агента. Она становится заметной, когда этот агент "вырастает", и его дальнейшее развитие ограничивается этой экстерналией.
Одновременно несколько экстерналии могут быть связывающими для /-го агента. Например, если п=4, и для некоторого периода /
Для агента может быть трудным обнаружить, какая из нескольких связывающих экстерналии действительно определяет его производственное множество. Такую связывающую экстерналию будем называть актуальной. В нашем примере с четырьмя агентами, если то экстерналия, создаваемая агентом 2, - актуальная. Вообще, экстерналия, создаваемая агентом j для агента /, актуальна, если или, в терминах экстремальной алгебры, А\ х, - вектор состояния системы в период t. Ш.4. Следующие примеры показывают возможный характер поведения траекторий.
Эти примеры показывают разнообразие характера и неустойчивость поведения траекторий. Небольшого изменения матрицы коэффициентов в примерах П 1.2 и П 1.3 оказалось достаточно для резкого изменения как в характере поведения, так и в наличии связывающих экстерналий. Последнее ведет к изменениям политик агентов.
Из результатов раздела 4 следует, что траектория { ,} динамической системы (П1.2) всегда достигает предельного цикла или предельного луча (или, в частном случае, стационарного состояния), как это было в рассмотренных примерах. После этого темп развития системы (роста или спада) определяется экстремальным собственным число матрицы А. Тип поведения (предельный цикл или предельный луч) зависит от структуры матрицы А, которая может быть описана в терминах теории графов (см. раздел 4)
Предельным случаем этой модели является случай совершенной конкуренции, когда агенты не "помогают" (и не препятствуют) развитию друг друга. В этом случае экстернальные ограничения отсутствуют, так что ац = +оо для всех Ujii jt и развитие каждого агента определяется только его собственным индивидуальным коэффициентом air Таким образом, актуальные темпы развития для различных экономических агентов, вообще говоря, различны.
Важно, что развитие каждого агента / может определяться фактически косвенными экстерналиями со стороны агентов или групп агентов, которые могут быть связаны с агентом / не непосредственно, а через цепочку других агентов. Например, в случае трех агентов, агент 3 может создавать связывающую экстерналию для агента 2, а последний - для агента 1. Агент 1 будет в таком случае ощущать единственную экстерналию, создаваемую агентом 2, тогда как фактически его развитие ограничивается агентом 3 (см. далее пример П1.8). Другая возможная ситуация - это цикл связывающих экстерналий, создаваемых агентом 1 для агента 2, агентом 2 для агента 3 и агентом 3 для агента 1. Эти экстерналий не создаются ни одним отдельным агентом.
Второй эффективный функционал и структура оптимальных траекторий
Оптимальным контуром является петля второго агента. Если первый агент может "поделиться" своим коэффициентом развития при условии а{1+а22=3, то его оптимальная политика состоит в уравнивании этих коэффициентов. В результате матрица А превращается в и траектория, продолжается из состояния хт = (2,1) следующим образом: ПІ.6. Более реалистичной является ситуация, когда агенты могут обмениваться не коэффициентами развития, а значениями. Такой случай имеет место, когда значением агента является его доход. Предположим, что правительство осуществляет полный контроль за всеми значениями (используя налоги и трансферты) и заинтересовано в увеличении суммарного значения. Снова предполагая, что платежи не требуют дополнительных издержек, мы приходим к следующей задаче оптимального перераспределения дохода: для состояния х, найти состояние у, (результат перераспределения), чтобы максимизировать Здесь а(,) - /-я строка матрицы А. Эта задача является экстремально-алгебраическим аналогом задачи линейного программирования. задача принимает вид: при У )+У2) = const. Независимо от значения постоянной, оптимальное решение достигается при ут = у2). Это решение гарантирует развитие системы с темпом роста, равным 1.5. Чтобы обеспечить реализацию этого решения, правительство может наложить налог на первого агента и передавать его второму агенту в виде трансферта. Траектория {х,} будет продолжаться, начиная с состояния хт =(2,1) , следующим образом (стрелка показывает результат правительственного вмешательства): Оптимальное значение налога, налагаемого на первого агента, составляет здесь 25%.
Первый агент согласится на этот платеж, поскольку он приводит к дальнейшему развитию этого агента, по сравнению со стационарным состоянием хт = (2,1) . Считаем, что посредством трансфертов участники могут частично обмениваться своими значениями, причем направление и размер трансфертов определяет первый участник (например, он имеет большинство в парламенте). Первый агент испытывает экстерналию со стороны второго и, поэтому, будет заинтересован в платежах второму агенту. В таком случае, если первый агент заботится о максимизации своего очередного значения, для него, как можно проверить, будет оптимальным поддерживать значение второго агента на уровне (после трансферта), вдвое превышающем его собственный уровень. Такая стратегия приводит к краткосрочному росту значения первого агента, а затем к более медленному спаду, чем при отсутствии платежей (см. табл. 2). Значения третьего агента эта политика вообще не затрагивает. Между тем, имеется возможность долгосрочного роста всей системы, если трансферты будут направлены от первого агента не ко второму, а к третьему агенту. В табл. 3 показана траектория модели для случая, когда первый агент передает третьему агенту весь свой "излишек", т.е. ту часть своего значения, которая не влияет на следующее его значение.
В этом примере, "оптимальная" (с долгосрочной точки зрения) государственная перераспределительная политика приводит к долгосрочному росту всех агентов, однако она не дает краткосрочного выигрыша агенту 1, от которого зависит выбор политики. Если субъективный коэффициент дисконтирования агента 1 недостаточно велик, он предпочтет краткосрочный выигрыш, что приведет к долгосрочному спаду. Между тем, имеется возможность долгосрочного роста всех трех агентов, если трансферты будут направлены от первого агента не ко второму, а к третьему агенту. На рис. 9 показана траектория развития первого агента для случая, когда он передает третьему агенту весь свой "излишек", т.е. ту часть значения, которая, ввиду наличия связывающей экстерналии, не влияет на значение первого агента в следующем периоде. Случай, когда агент 1 осуществляет трансферт агенту 2, экстерналию которого он непосредственно ощущает, можно также интерпретировать как взятку, а случай, когда трансферт получает агент 3, с которым агент 1 не связан непосредственно, - как результат действия государственной фискальной системы. Так интерпретируемая модель показывает, что в данном примере коррупция на коротком промежутке времени дает несомненный выигрыш агенту, дающему взятку, а на длинном промежутке времени замедляет экономический спад, по сравнению со случаем отсутствия перераспределения, но, тем не менее, не предотвращает спад.
В свою очередь, государственная перераспределительная политика приводит к росту всех агентов на большом промежутке времени, однако не дает кратковременного выигрыша агенту 1. При небольшом субъективном коэффициенте дисконтирования, агент 1 предпочтет политике государственного перераспределения краткосрочный выигрыш, которого он может достичь, уклоняясь от уплаты налога и давая взятку. В общем случае п агентов, модель может использоваться для выбора агентов, которые должны быть подвергнуты налогообложению, и определения оптимальных размеров налогов и трансфертов. Ш.7. Следуя модели, можно видеть, каким образом процесс перехода повлиял на экономическую систему стран бывшего СССР.
Структура равновесных траекторий в модели эндогенного роста Лукаса
Случай, когда агент 1 осуществляет трансферт агенту 2, экстерналию которого он непосредственно ощущает, можно также интерпретировать как взятку, а случай, когда трансферт получает агент 3, с которым агент 1 не связан непосредственно, - как результат действия государственной фискальной системы. Так интерпретируемая модель показывает, что в данном примере коррупция на коротком промежутке времени дает несомненный выигрыш агенту, дающему взятку, а на длинном промежутке времени замедляет экономический спад, по сравнению со случаем отсутствия перераспределения, но, тем не менее, не предотвращает спад. В свою очередь, государственная перераспределительная политика приводит к росту всех агентов на большом промежутке времени, однако не дает кратковременного выигрыша агенту 1. При небольшом субъективном коэффициенте дисконтирования, агент 1 предпочтет политике государственного перераспределения краткосрочный выигрыш, которого он может достичь, уклоняясь от уплаты налога и давая взятку.
В общем случае п агентов, модель может использоваться для выбора агентов, которые должны быть подвергнуты налогообложению, и определения оптимальных размеров налогов и трансфертов.
Следуя модели, можно видеть, каким образом процесс перехода повлиял на экономическую систему стран бывшего СССР.
На уровне национальной экономики, где агентами являются республики, регионы и отрасли, последние годы существования СССР характеризовались резким снижением значений некоторых агентов (в частности, в результате таких событий, как Чернобыльская авария, землетрясение в Армении, конфликт в Карабахе). Эти изменения значений распространились по сети экстерналии, приводя к появлению новых связывающих экстерналии. Одновременно имело место усиление экстернальных ограничений как результат многочисленных конфликтов между агентами. Результатом было изменение характера динамики и снижение актуального темпа роста. Естественно, что многие агенты постарались покинуть общую экономическую систему. Более сложные процессы имели место на уровне фирм. Часть экстернальных ограничений сохранилась, часть исчезла, появились новые экстернальные связи, но, главное, значительно изменились значения экстернальных ограничений, и многие традиционные направления платежей стали неэффективными.
Как уже было сказано, в нерыночной среде с сетью экстерналий агент часто заинтересован в некоторых платежах, позволяющих улучшить динамику его развития. Такого рода платежи являются объективной необходимостью для подобной экономики. Однако, ослабление централизованного перераспределения и отсутствие других законных способов платежей привели в России к ситуации, когда существующие платежи недостаточны и часто принимают незаконные формы. Правительствам России и большинства других бывших советских республик все еще не удалось создать эффективные системы общественных финансов, которые могли бы заменить традиционную систему горизонтальных связей.
В этом приложении рассматривается модель эндогенного роста (Матвеенко, 1982, 19836, 1986а, 2004, Матвеенко и др., 1998, Рубинов и др., 1991), применимая для объяснения динамики российской экономики, и в частности, трансформационного спада 1990-х годов и экономического роста, последовавшего за кризисом 1998 года.
Термин "трансформационный спад" был введен Я.Корнаи (Kornai, 1994) для обозначения спада производства, последовавшего за либерализацией цен в Восточной Европе и странах бывшего СССР. Природа этого явления существенно отличается от циклического спада, который периодически возникает в странах с рыночной экономикой. Выдвигались различные причины трансформационного спада (см. обзор в Матвеенко и др., 1998).
В западной литературе по теории экономического перехода преобладает точка зрения, согласно которой только новый сектор экономики может составить основу для роста экономики - см., например, Kornai, 1994, Atkeson, Kehoe, 1996, Ruhl, Vinogradov, 1996, Swaan, 1996, Besancenot, Vranceanu, 1997. (Под новым сектором понимают новые частные предприятия и индивидуальную занятость, а под старым сектором - государственные предприятия и приватизированные предприятия, не прошедшие реструктуризации - см. Матвеенко и др., 1998).
Между тем, большой объем государственного сектора в России, очень медленная скорость реструктуризации формально приватизированных крупных предприятий и даже попытки ренационализации делают актуальным рассмотрение модели экономического развития на основе старого сектора.
Рассматриваемую модель будем далее называть fK моделью. Ее частным случаем является АК модель, обсуждавшаяся впервые в Frankel, 1962 и подробно рассматриваемая, например, в Barro, Sala-i-Martin, 1995. АК модель получила особую известность в 1990-х годах, что можно объяснить тремя обстоятельствами.
Во-первых, АК модель является простой моделью эндогенного роста, а интерес к таким моделям резко возрос после появления работ Romer, 1986, Lucas, 1988. (Модель Лукаса рассматривалась в разделе 12). Во-вторых, в последние годы возродилась восходящая к Solow, 1957 дискуссия о том, что составляет основу роста: аккумуляция факторов или изменения общей факторной продуктивности (TFP), и АК модель, как «чистая» модель аккумуляции капитала, используется в качестве аргумента в этой дискуссии (см., например, Klenow, Rodriguez-Clare, 1997, Prescott, 1998, Easterly, Levine, 2001). В-третьих, АК модель относится к классу моделей, в формулировку которых непосредственно включен один из «стилизованных фактов» экономического роста (см. Romer, 1989): постоянство средней производительности физического капитала. Основной результат в подобных моделях состоит в прямой зависимости темпа роста ВВП от доли инвестиционных расходов в ВВП. Этот вывод составляет основу методологии, применяемой на протяжении полувека в практике Всемирного Банка, МВФ и других международных финансовых организаций при определении размера помощи развивающимся странам. Неудача многих попыток ускорить развитие посредством иностранной помощи вызвала критику этой методологии (см. Easterley, 2002) и, вместе с тем, новую волну интереса к теоретическим и эмпирическим исследованиям на базе моделей эндогенного роста.
На основе fK модели будет исследован вопрос, при каких условиях в экономике с преобладанием старого сектора имеет место экономический рост, а при каких - спад.
