Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современные подходы к построению моделей прогнозирования платежеспособности предприятия 9
1.1. Системы финансовых коэффициентов, применяемых в практике финансового анализа и выступающих в качестве независимых переменных в моделях прогнозирования платежеспособности предприятия 9
1.2. Модели прогнозирования платежеспособности 34
1.3. Апробация моделей прогнозирования платежеспособности на основе реальных данных финансовой отчетности российских предприятий 46
Глава 2. Построение модели прогноза платежеспособности предприятия, основанной на использовании оценок динамики абсолютных значений показателей и результатного показателя рейтинговой оценки 53
2.1. Методика интегральной оценки платежеспособности на основе скоррингового анализа 53
2.2. Выбор показателей, влияющих на платежеспособность предприятия при помощи метода дельфи 67
2.3. Построение модели оценки платежеспособности предприятия на основе расчета его «рейтинга» 76
Глава 3. Построение модели прогнозирования платежеспособности предприятия на основе регрессионного анализа величины чистых активов 85
3.1. Построение множественной линейной регрессионной модели прогноза величины чистых активов предприятия 85
3.2. Разработка инструментального модуля 115
Заключение 118
Список литературы
- Модели прогнозирования платежеспособности
- Апробация моделей прогнозирования платежеспособности на основе реальных данных финансовой отчетности российских предприятий
- Выбор показателей, влияющих на платежеспособность предприятия при помощи метода дельфи
- Разработка инструментального модуля
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Одна из наиболее актуальных проблем современной экономики – прогнозирование неплатежеспособности (банкротства) предприятий, которое стало предметом серьёзных научных исследований. Первые такие исследования, связанные с предсказанием финансовой несостоятельности, появились в конце 1930–х годов в США. Многие из основных методов финансового анализа предприятия тех лет используются и в наши дни. Результатом исследований, в которых независимо друг от друга приняли участие множество фирм консалтинга, было осознание того факта, что некоторые финансовые коэффициенты обанкротившихся предприятий значительно отличаются от коэффициентов, стабильно работающих предприятий.
В Российской Федерации пока еще нет статистических данных предприятий – банкротов по причине «молодости» института банкротства, что затрудняет проведение исследований, основанных на реалиях нашей экономики и направленных на достоверное прогнозирование возможной несостоятельности предприятий. Существуют также проблема достоверности информации о состоянии дел на конкретных предприятиях и трудности ее получения. Ограниченность же использования в российской практике зарубежных моделей финансового анализа обусловливается прежде всего тем, что они были разработаны на основе данных финансовой отчетности иностранных государств. Поэтому в данной ситуации возможны два пути решения. Первый – адаптация иностранных моделей к российской экономике и проведение дискриминантного анализа данных конкретных предприятий, второй – по нашему мнению, наиболее приемлемый и актуальный, но более трудоёмкий – создание математической модели прогнозирования платежеспособности предприятия, которая бы в наибольшей степени соответствовала реалиям российской экономики. Использование такой модели позволило бы прогнозировать возникновение на предприятии кризисной ситуации, ещё до появления её очевидных признаков. Такой прогноз особенно актуален, так как жизненные циклы предприятий в рыночной экономике коротки (4–5 лет). В связи с этим малы и временные рамки применения антикризисных стратегий, и в условиях уже наступившего кризиса их несвоевременное применение может привести к финансовой несостоятельности.
Все вышесказанное обуславливает актуальность темы диссертации, посвященной разработке моделей прогнозирования платежеспособности предприятия.
Степень научной разработанности проблемы. В научной литературе вопросам прогнозирования платежеспособности предприятий уделяется большое внимание, что подчеркивает актуальность решаемой задачи. Наиболее известные работы, посвященные данной теме, изложены в научных трудах известных зарубежных авторов: J. G. Fulmer, E. I. Altman, L.V. Gordon, Springate.
Методики оценки финансового состояния и диагностики банкротства предприятий приведены в работах отечественных исследователей: Т.Б. Бердниковой, С.А. Бороненковой, О.Ю. Дягеля, С.А. Кучеренко, Г.В. Левшина, Г.В. Савицкой, Л.С. Сосненко, А.Е. Викуленко, С.Д. Трохиной, Л.Ю. Филобоковой, Ю.Г. Чернышевой, А.Д. Шеремета, Т.Г. Шешуковой, И.Л. Юрзиновой, а также в документах Минэкономразвития РФ, исследовательско-консультационной фирмы «Альт».
Вышеназванные ученые и специалисты внесли значительный вклад в разработку теоретических и практических аспектов анализа платежеспособности предприятия. Вместе с тем вопросы практического использования зарубежных подходов в анализе деятельности предприятий в РФ, а также вопросы разработки новых методов оценки их платежеспособности являются недостаточно изученными, что создает серьезные трудности для прогнозирования. Недостаточно отражены в отечественной литературе и новые методологические подходы к прогнозированию платежеспособности предприятия, основанные на фактических данных их финансовой отчетности. Возникла также насущная потребность в организации автоматизированного процесса построения рейтинга предприятий на основе результатов их финансовой деятельности. Все вышеизложенное и определило цель, основное содержание исследования и его логическое построение.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является разработка экономико–математических моделей прогнозирование платежеспособности предприятия на основе расчета его рейтинга и регрессионного анализа величины его чистых активов.
Поставленная цель предполагает решение следующих задач:
-
Оценка отечественных и зарубежных моделей прогнозирования платежеспособности предприятия с учетом специфики российской экономики.
-
Разработка модели платежеспособности предприятия на основе расчета его рейтинга.
-
Построение модели прогнозирования платежеспособности предприятия на основе регрессионного анализа величины его чистых активов.
-
Разработка информационного модуля, обеспечивающего доступность восприятия разработанных моделей.
Объект диссертационного исследования - финансовая деятельность предприятий и организаций разных форм собственности.
Предметом исследования являются методы, алгоритмы и информационные технологии, обеспечивающие моделирование и прогнозирование финансового состояния предприятия.
Теоретической и методологической базой исследования послужили научные труды отечественных и зарубежных специалистов в области финансового анализа предприятия и прогнозирования банкротства. В работе использовались аналитические и информационные материалы, опубликованные в российской и зарубежной печати, а также размещенные на специализированных профессиональных сайтах сети Internet.
При решении поставленных задач применялись методы математической статистики, системного, динамического и сравнительного анализа, регрессионного анализа, социологических исследований. Использовался программный продукт «Delphi 7».
Область диссертационного исследования соответствует требованиям Паспорта специальности ВАК РФ 08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики:
1.4. Разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов и систем: отраслей народного хозяйства, фирм и предприятий, домашних хозяйств, рынков, механизмов формирования спроса и потребления, способов количественной оценки предпринимательских рисков и обоснования инвестиционных решений.
1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов.
2.3. Разработка систем поддержки принятия решений для рационализации организационных структур и оптимизации управления экономикой на всех уровнях.
Наиболее существенные результаты, полученные лично автором, имеющие научную новизну и являющиеся предметом защиты:
-
На основе дифференцированной аналитической оценки основных коэффициентов, выступающих в качестве независимых переменных в различных моделях прогнозирования платежеспособности и широко применяемых в практике финансового анализа, доказана невозможность применения зарубежных и неадекватность российских моделей прогнозирования платежеспособности предприятий в российской практике по двум основным причинам: качественное несоответствие отечественных нормативов финансовой отчетности международным стандартам и исключительная ограниченность статистических данных о финансовых показателях российских предприятий по признакам отраслевой принадлежности и размерам.
-
Разработана экономико–математическая модель прогноза платежеспособности предприятия, основанная на расчете рейтинга предприятия с использованием оценки динамики абсолютных значений показателей. Модель включает процедуру корректировки балльных значений рейтинга и динамики показателей, что позволяет осуществлять постоянный мониторинг платежеспособности предприятия во времени и в пространстве.
-
С использованием метода регрессионного анализа и реальных статистических данных российских предприятий построена модель прогнозирования платежеспособности предприятия на основе анализа величины чистых активов, позволяющая оценивать вероятность банкротства в среднесрочном периоде. В отличие от существующих подходов выбор класса линейных моделей производится с учетом возможности их содержательной экономической интерпретации.
-
Разработан инструментальный модуль, реализующий предложенные в диссертации методы и алгоритмы решения задач, связанных с прогнозированием платежеспособности предприятий с помощью систем компьютерной алгебры, и подтверждающий адекватность моделей и возможности их практического использования.
Теоретическая и практическая значимость исследования. Теоретическая значимость исследования состоит в создании теоретического базиса для математического моделирования процессов, связанных с прогнозированием платежеспособности предприятий в быстроизменяющихся условиях их функционирования. Теоретическая значимость предложенных в диссертации методов и алгоритмов определяется также их универсальностью.
Практическая значимость исследования заключается в том, что на основе теоретических положений диссертации разработаны методические материалы, которые могут быть использованы в структурах коммерческих банков. Использование результатов исследования будет способствовать улучшению качества оценки платежеспособности предприятия при рассмотрении заявки на получение кредитов.
Апробация результатов исследования. Основные результаты исследования внедрены в 2008г. в Мотовилихинском отделении № 1793 Сбербанка России ОАО, в 2009г. в ОАО «Пиломатериалы «Красный Октябрь» г. Пермь и в группе компаний «Деловой квартал» г. Пермь.
Основные положения диссертационной работы докладывались на областной дистанционной научно–практической конференции молодых ученых и студентов «Молодежная наука Прикамья – 2004» (г. Пермь, 2004г.), на Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Молодые исследователи – регионам» (г. Вологда, 2005г.), на Международной научно–практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Проблемы и перспективы развития региональной рыночной экономики» (Украина, г. Кременчуг, 2007г.).
Публикации. По материалам диссертации автором опубликовано 8 работ (общий объем 2,43 п. л.). Одна работа опубликована в издании, входящем в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.
Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложений. Основное ее содержание без учета приложений изложено на 128 страницах. В работе содержится 26 таблиц и 8 рисунков. Библиографический список включает 85 наименований литературных источников, в том числе 74 отечественных, 11 зарубежных.
Модели прогнозирования платежеспособности
При соотношении АСОС О, АСД О, АОИ О наблюдается нормальная устойчивость финансового состояния, которое гарантирует платежеспособность предприятия, такое соотношение соответствует положению, когда успешно функционирующее предприятие использует для покрытия запасов различные «нормальные» источники средств - собственные и привлеченные.
При соотношении АСОС О, АСД О, АОИ О наблюдается неустойчивое финансовое состояние, характеризуемое нарушением платежеспособности предприятия, когда восстановление равновесия возможно за счет пополнения источников собственных средств и ускорения оборачиваемости запасов. Данное соотношение соответствует положению, когда предприятие для покрытия части своих запасов вынуждено привлекать дополнительные источники покрытия, не являющиеся «нормальными», то есть обоснованными.
При соотношении АСОС О, АСД О, АОИ 0 можно констатировать кризисное финансовое состояние, при котором предприятие является неплатежеспособным и находится на грани банкротства, так как основной элемент оборотного капитала - запасы не обеспечены источниками их покрытия.
В.В. Ковалев указывает: «... Количественно финансовая устойчивость может оцениваться двояко: во-первых, с позиции структуры источников средств, во-вторых, с позиции расходов, связанных с обслуживанием внешних источников» [28].
В долгосрочном периоде одним из основных и наиболее важных показателей финансовой устойчивости предприятий, безусловно, является чистая (нераспределенная) прибыль. Прибыль — основной внутренний источник формирования финансовых ресурсов предприятия, обеспечивающих его развитие. Чем выше уровень генерирования прибыли предприятия в процессе его деятельности, тем меньше потребность в привлечении финансовых средств из внешних источников и, при прочих равных условиях, тем выше уровень устойчивости развития, повышения конкурентной позиции предприятия на рынке. Прибыль является основным защитным механизмом, предохраняющим предприятие от угрозы банкротства. Хотя такая угроза может возникнуть и в условиях прибыльной деятельности (при использовании неоправданно высокой доли заемного капитала, особенно краткосрочного; при недостаточно эффективном управлении ликвидностью активов), но, при прочих равных условиях, предприятие гораздо успешнее выходит из кризисного состояния при высоком потенциале генерирования прибыли. За счет капитализации полученной прибыли может быть быстро увеличена доля высоколиквидных активов (восстановлена платежеспособность), повышена доля собственного капитала при соответствующем снижении объема используемых заемных средств (повышена финансовая устойчивость).
Рассмотрим некоторые общепринятые показатели финансовой устойчивости, приведенные в трудах Басовского Л.Е. [13] Коэффициент автономии (финансовой независимости) важен для инвесторов и кредиторов, так как они отдают предпочтение предприятиям с высокой долей собственного капитала, с большой финансовой автономностью. Собственный капитал К = Валюта баланса
Рекомендуемое значение коэффициента должно быть не менее 0,5 [13, 57]. Данный коэффициент характеризует долю собственности владельцев предприятия в общей сумме средств, авансированных в его деятельность. Рост коэффициента автономии отражает тенденцию к снижению зависимости предприятия от заемных источников финансирования, то есть покрытию собственными средствами обязательств, что оценивается положительно. В ряде случаев доля собственного капитала в их общем объеме может быть меньше 50%, и, тем не менее, такие предприятия будут сохранять достаточно высокую финансовую устойчивость в связи с высокой оборачиваемостью активов, стабильным спросом на продукцию, налаженными каналами снабжения и сбыта, низким уровнем постоянных затрат. У капиталоемких предприятий с длительным периодом оборота средств, имеющих значительный удельный вес активов целевого назначения, большая доля заемных средств может быть опасна для финансовой стабильности. Таким образом, значение нижней границы коэффициента нуждается в уточнении исходя из специфики деятельности и отраслевой принадлежности предприятия.
Коэффициент финансовой устойчивости показывает удельный вес тех источников финансирования, которые предприятие может использовать в своей деятельности длительное время.
Апробация моделей прогнозирования платежеспособности на основе реальных данных финансовой отчетности российских предприятий
Благодаря представленному графическому материалу (рис. 1.2), можно заметить, что рассмотренные модели представляют различную динамику платежеспособности предприятий.
При попытках построения изначально российских моделей (а не адаптированных иностранных) приходится сталкиваться с проблемой статистической обеспеченности финансовыми показателями российских предприятий по отраслям и размерам, так как в Российской Федерации пока еще нет статистических данных предприятий - банкротов по причине «молодости» института банкротства. Существуют также проблема достоверности информации о состоянии дел на конкретных предприятиях и трудности ее получения.
Ограниченность же использования в российской практике зарубежных моделей финансового анализа обусловливается прежде всего тем, что они были разработаны на основе данных финансовой отчетности иностранных государств. В связи с развитием прикладной статистики представилось целесообразным проведение дальнейших исследований, направленных на решение проблемы прогнозирования платежеспособности предприятий. В данной ситуации возможны два пути решения. Первый - адаптация иностранных моделей к российской экономике и проведение дискриминантного анализа данных конкретных предприятий, второй - по нашему мнению, наиболее приемлемый и актуальный, но более трудоёмкий -создание адекватной математической модели прогнозирования платежеспособности предприятия.
Традиционные показатели ликвидности и платежеспособности в последние десятилетия все чаще стали подводить финансовых аналитиков. Доверие к ним неуклонно падает, тем более что нынешние компании стремятся минимизировать запасы и величину оборотного капитала, принимая программы бережливого производства и концепцию «точно в срок». Большая величина оборотного капитала (и традиционных коэффициентов ликвидности) скорее говорит о невысокой эффективности управления активами. С середины XX в. коэффициенты ликвидности западных компаний сократились почти вдвое [77].
Кроме того, практика последних десятилетий показывает, что компании очень легко манипулируют цифрами финансовой отчетности, стремясь приукрасить действительное положение дел. Более надежную информацию о действительном положении дел представляет отчет о денежных потоках, цифрами которого намного труднее манипулировать (денежные потоки и оттоки понятия абсолютно реальные, а не абстрактные, как бухгалтерская выручка, прибыль и расход). С момента введения отчета о денежных потоках в состав обязательного пакета финансовой отчетности предложено немало коэффициентов, раскрывающих связь денежных потоков со статьями баланса и отчета о прибылях и убытках. В 1993 г. Д. Гиакомино и Д. Милке предложили использовать денежные коэффициенты для оценки достаточности денежных потоков для финансирования нужд предприятия и оценки эффективности генерирования денежных потоков компанией [80].
Для оценки платежеспособности денежные потоки являются наиболее показательными. Если у предприятия недостаточно денег, оно неспособно финансировать свои текущие операции, погашать долги, выплачивать заработную плату и налоги. В связи со всем выше сказанным, рекомендуется при анализе платежеспособности предприятия проводить не только расчет и оценку коэффициентов на основе бухгалтерского баланса и отчета о прибылях и убытках, но также с большим вниманием отнестись к структуре и динамике показателей отчета о движении денежных средств.
В ходе исследования современной системы финансовых коэффициентов, используемых при анализе финансового состояния предприятия, было выделено множество различных показателей. По мнению автора диссертационного исследования, предложенные коэффициенты не являются универсальными для всех предприятий, действующих в условиях рыночной экономики. Так, проблемами применения метода финансовых коэффициентов в российской практике Басовский Л.Е. [13] называет следующие явления: 1. Отечественные нормативы бухгалтерского учета и финансовой отчетности пока не полностью соответствуют требованиям международных стандартов, выработанных на основе долголетней практики субъектов рыночной экономики в развитых странах. Это создает определенные трудности очистки и реконструкции отчетности в процессе приведения ее в аналитическую форму.
Статистические данные о финансовых показателях российских предприятий по отраслям и размерам предприятий пока крайне скудны.
Кроме того, недостатком системы финансовых коэффициентов необходимо отметить момент статичности данной модели, так как минимальный временной интервал при анализе составляет квартал, что при динамичном развитии макро- и микросреды предприятия, как агента рыночной экономики, является часто недостаточным и не позволяет своевременно предотвратить неэффективную политику использования финансовых ресурсов предприятия.
Мировая практика выработала большое число экономико-математических моделей прогнозирования банкротства предприятий. Первоначально та для построения таких моделей преобладало использование параметрического подхода. Однако, как отмечено в исследованных работах некоторых отечественных авторов [46, 55], практические исследования показали, что предположения, на которых основывается параметрический подход, в реальности зачастую не соблюдаются. Развитие непараметрических (робастных) методов статистики привело к разработкам моделей прогнозирования, использующих непараметрический подход. Очевидно, что конечным показателям любой модели прогнозирования, позволяющим сделать вывод о ее практической ценности и применимости в реальных условиях, является ее способность давать правильный прогноз.
Выбор показателей, влияющих на платежеспособность предприятия при помощи метода дельфи
Данная модель является наилучшей из всех возможных моделей, поскольку отвечает нижеописанным критериям: 1. Проверка значимости коэффициентов рефессии проводилась на основе критерия Стьюдента на уровне значимости 0,05 [34]. Поскольку все Prob.(t-statistic) 0,05, то гипотезу о незначимости коэффициентов регрессии отвергаем. Все коэффициенты регрессии значимы на уровне значимости 0,05. 2. Модель в целом значима по критерию Фишера, поскольку Prob (F-statistic) также меньше 0,05. 3. Скорректированный коэффициент детерминации в модели имеет наибольшее значение по сравнению с другими моделями. 4. Коэффициент корреляции прогнозного значения по модели и фактического значения вектора значений зависимой переменной также наибольший по сравнению с другими моделями. Наиболее содержательные и точные выводы относительно модели (1) по результатам наблюдений, могут быть получены при следующих предположениях. х К х 1. Значения і " являются неслучайными величинами. 2. Математическое ожидание случайной ошибки в каждом наблюдении равно нулю, т.е. М(є = 1 = п 3. Дисперсия случайной ошибки постоянна для всех наблюдений, т.е. Ще,) =M(sf) = ст\ / = М. 4. Случайные ошибки различных наблюдений статистически не связаны (некоррелированы) между собой, т.е. v JJ при J 5. Случайные ошибки имеют совместное нормальное распределение, в st: N(0;a2) частности v .
При выполнении этих условий модель (1) называют классической линейной регрессионной моделью наблюдений.
В регрессионном анализе часто вместо условия о неслучайности значений объясняющей переменной используется более слабое условие о независимости (некоррелированности) объясняющей переменной и случайной ошибки. Получаемые при этом условии МНК-оценки коэффициентов регрессии обладают теми же основными свойствами, что и оценки, полученные при использовании условия 1.
Условие постоянства дисперсии случайной ошибки называют также гомоскедастичностью случайных ошибок. Зависимость дисперсии случайной ошибки от номера наблюдения называется гетероскедастичностью.
Если условие гомоскедастичности не выполняется, то оценки коэффициентов регрессии по методу наименьших квадратов будут неэффективными, хотя и несмещенными. Для диагностики и устранения гетероскедастичности существуют специальные методы.
Четвертое условие указывает на некоррелированность случайных ошибок для разных наблюдений. Это условие часто нарушается, когда исходные данные являются временными рядами. В этом случае говорят об автокорреляции случайных ошибок.
Главным основанием широкого использования МНК-оценок является следующее утверждение.
Теорема Гаусса-Маркова [60]. Если для модели (1) выполняются условия 1-4, то оценки , найденные с помощью МНК, являются наилучшими линейными несмещенными оценками (Best Linear Unbiased Estimator, или BLUE) параметров a и ". При этом для любых действительных значений Cl,2 оценка і 2 является наилучшей линейной несмещенной і ос ч he оценкой параметрической функции і п-. При работе с реальными статистическими данными важно проверить, действительно ли желаемые ограничения (условия, определяющие классическую парную линейную регрессионную модель) имеют место. После проведения этой проверки может также возникнуть вопрос, как поступить, если выяснится, что нарушение условий действительно имеет место.
Для проверки выполнения стандартных предположений о линейной модели наблюдений помимо графических существует довольно много процедур, использующих статистические критерии проверки гипотез.
Основу тестов, ориентированных на проверку классических предположений, составляют остатки e[ = yi— ,i = \fn. Если все они выполнены, число наблюдений достаточно велико, то, как правило, остатки ведут себя как слабо коррелированные случайные величины, имеющие нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией т2; при этом М е.\ = const у.
Проверка стационарности последовательности остатков с помощью сериального критерия Вальда-Вольфовица.
Критерий Вальда-Вольфовица ориентирован на проверку предположения: можно ли считать, что остатки получены в результате независимых наблюдений одной и той же случайной величины.
Основу статистики критерия составляет количество серий KS, вычисляемое по остаткам следующим образом. Последовательности остатков поставим в соответствие знаковую последовательность, элементы которой определяются по правилу: знак "+", еслие,. 0, знак "-", еслие,. 0. Нулевые остатки игнорируются. Серией называют последовательность из расположенных рядом одинаковых знаков. Обозначим через пх- общее количество плюсов в знаковой последовательности, а через п2- общее количество минусов. При пх 20 или п2 20 проверка стационарности осуществляется с помощью статистики, имеющей при отсутствии в записи знака модуля приблизительно стандартное нормальное распределение. Гипотеза о стационарности остатков принимается, если выполняется неравенство 2выч ,_a[iV(0;l)J., где N(0,1) — двухсторонняя квантиль стандартного нормального распределения.
В нашем случае KS=22, П]=24, п2=37, уровень значимости - 0,05. Отсюда ,.,=-1,89 = 1,96 Вычисленное значение критерия по модулю меньше табличного значения, тогда была принята нулевая гипотеза: вектор остатков является случайной величиной. Проверка нормальности ошибок модели. Наиболее распространенным тестом на нормальность является тест Жарка-Бера (Jarque-Bera), который предполагает проверку одновременного равенства нулю коэффициентов асимметрии и эксцесса остатков. Этот критерий реализован в ряде пакетов статистического анализа данных (например, в EVIEWS).
Если распределение ошибок модели действительно является нормальным, то значения выборочного коэффициента асимметрии и выборочного коэффициента эксцесса близки к 0.
При нарушении условия нормальности распределения ошибок значения статистики JB имеют тенденцию к возрастанию. Поэтому гипотеза нормальности ошибок отвергается, если значения этой статистики «слишком велики», а именно, если
Разработка инструментального модуля
Для решения нашей задачи воспользуемся симплекс-методом, так как этот метод предназначен для решения задач линейного программирования любой размерности.
Экстремум целевой функции всегда достигается в угловых точках области допустимых решений. Симплекс-метод, называемый также методом последовательного улучшения плана, реализует перебор угловых точек области допустимых решений в направлении улучшения значения целевой функции. Основная идея этого метода следующая. Прежде всего, находится какое-либо допустимое начальное (опорное) решение, т.е. какая-либо угловая точка области допустимых решений. Процедура метода позволяет ответить на вопрос, является ли это решение оптимальным. Если "да", то задача решена. Если "нет", то выполняется переход к смежной угловой точке области допустимых решений, где значение целевой функции улучшается, т.е. к нехудшему допустимому решению. Если некоторая угловая точка имеет несколько смежных, то вычислительная процедура метода обеспечивает переход к той из них, для которой улучшение целевой функции будет наибольшим. Процесс перебора угловых точек области допустимых решений повторяется, пока не будет найдена точка, которой соответствует экстремум целевой функции Е.
При построении начального базиса в заданной задаче использовался метод искусственного базиса, поэтому найденное решение не является допустимым. В этом случае для решения задачи необходимо использовать двухэтапный симплекс-метод.
Задача с помощью этого метода решается в два этапа: сначала отыскивается начальное допустимое решение, не содержащее искусственных переменных, а затем на основе найденного решения ищется оптимальное решение исходной задачи. Основные шаги, реализации метода следующие.
Реализуется первый этап двухэтапного метода: с помощью обычных процедур симплекс-метода выполняется минимизация искусственной целевой функции. Если ее минимальное значение равно 0, то соответствующее решение является допустимым решением исходной задачи. Очевидно, что при нулевом значении искусственной целевой функции все искусственные переменные также нулевые (так как искусственная целевая функция - их сумма, и все они неотрицательны). Если минимальное значение искусственной целевой функции оказывается отличным от нуля, это означает, что задача не имеет допустимых решений.
Реализуется второй этап двухэтапного метода: найденное на шаге 4 допустимое решение используется в качестве начального решения исходной задачи для поиска ее оптимального решения.
Для приведения данной задачи к стандартной форме необходимо лишь перейти от ограничений - неравенств к равенствам: Для этого введем дополнительные балансовые неотрицательные переменные. Методы искусственного базиса предназначены для построения начального базиса (т.е. для получения начального решения) в случаях, когда его построение непосредственно на основе стандартной формы невозможно. При использовании искусственного базиса начальное решение оказывается недопустимым; от него по определенным алгоритмам выполняется переход к начальному допустимому решению.
Для того чтобы построить искусственный базис, необходимо в каждое уравнение стандартной формы, не содержащее базисных переменных (т.е. полученное из ограничения-равенства или "не меньше"), добавить по одной искусственной переменной.
Реализуем первый этап двухэтапного метода: с помощью процедур симплекс-метода выполняем максимизацию функции - Цу). При этом переменные, включаемые в базис, выбираются по Ь(у)-строке (т.е. на каждом цикле в базис включается переменная, которой соответствует максимальный по модулю отрицательный элемент в Цу)-строке; столбец, соответствующий этой переменной, становится ведущим).
Затем определяем переменные, которые будем исключать из базиса и включать в него. Переменную, которой соответствует ведущий столбец, будем включать в базис вместо переменной, которой соответствует ведущая строка. Далее все преобразования выполняем по обычным формулам симплекс-метода или по "правилу прямоугольника". Преобразованиям подвергается вся симплекс-таблица, включая Цк)-строку, Цу)-строку и столбец решений.
Итак, как видно из Таблицы 7 (Приложение № 1), все искусственные переменные вышли из базиса, искусственная целевая функция обнулялась -значит, первый этап двухэтапного симплекс-метода закончен, найдено начальное допустимое решение целевая функция L(y)=0. Теперь переходим к реализации второго этапа: вычеркиваем из таблицы строку искусственной целевой функции и столбцы искусственных переменных; над новой таблицей выполняем обычные процедуры симплекс-метода, а именно: ведущий столбец определяется также, как и для первого этапа двухэтапного симплекс-метода, единственное различие состоит в том, что максимальный по модулю отрицательный коэффициент находим по Ь(к)-строке целевой функции. Расчет ведем до тех пор, пока в Цк)-строке не останется отрицательных коэффициентов.
Так как все коэффициенты Ь(к)-строки Таблицы 13 (Приложение № 1) положительные, то оптимальное решение найдено.
Для обеспечения общей доступности использования разработанных моделей целесообразно создать инструментарий, их реализующий. По-мнению автора исследования наиболее оптимальной в использовании является программа Дельфи (Delphi 7) [49]. Алгоритм [23] программы изображен на (рис. 3.3). Листинг построенной программы воспроизведен в Приложении № 2 Диссертационной работы.
