Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Инвестирование на срочном рынке 12
1.1 Срочные рынки мира и России 12
1.2 Классификация инвесторов на финансовом рынке 20
1.3 Инвестирование с помощью опционов 22
Глава II. Модели и методы 34
2.1 Оценка опционов и "греков" 34
2.2 Методы учета эффекта "улыбки волатильности" 37
2.3 Оценка показателя VaR для портфеля опционов 42
Метод Дельта-Гамма с разложением Корниша-Фишера 44
Метод Дельта-Гамма с неполным методом Монте-Карло 48
Глава III. Оптимальное инвестирование на рынке опционов 58
3.1 Алгоритм оптимального инвестирования с использованием опционных комбинаций 58
3.2 Формализация процесса оценки "греков" опционов 62
3.3 Постановка задачи оптимизации опционной комбинации в общем виде 64
3.4 Пример оптимального инвестирования 69
Заключение 92
Список литературы 96
Приложение
- Классификация инвесторов на финансовом рынке
- Инвестирование с помощью опционов
- Методы учета эффекта "улыбки волатильности"
- Формализация процесса оценки "греков" опционов
Введение к работе
В настоящей диссертационной работе предложен и доведен до практического применения новый подход к оптимизации портфеля обыкновенных (не экзотических) опционов и фьючерсов. В основе предлагаемого подхода лежит критерий риск-доходность - при естественных ограничениях, вытекающих из условий рынка. Показаны преимущества данного подхода перед другими, известными из работ отечественных и зарубежных авторов, в том числе перед известными подходами с использованием функций полезности.
Рынок производных финансовых инструментов1 сильно развит на западных рынках и пока слабо развит на отечественном рынке. Неразвитость срочного рынка России можно объяснить сравнительно небольшим периодом жизни страны в условиях рынка и чередой системных кризисов, которые оказали негативное влияние, в том числе и на развивающийся срочный рынок. Тем не менее, интерес в России к данным инструментам растет, о чем говорит динамика объемов отечественного срочного рынка.
Актуальность темы исследования обуславливается ростом потребности в инструментах с повышенной доходностью и возможностью управления финансовыми рисками, именно производные финансовые инструменты позволяют обеспечить эти потребности. В условиях роста интереса к деривативам на отечественном рынке остро встает вопрос об эффективном использовании данных финансовых инструментов. С одной стороны, деривативы расширяют возможности инвестора как с точки зрения увеличения потенциальной доходности, так и с точки зрения управления финансовым риском. С другой стороны, деривативы усложняют сам процесс инвестирования, привнося тем самым дополнительные риски (операционные, ликвидности, модельные
и др.). Примеры недооценки рисков, связанных с процессом инвестирования на срочном рынке, широко представлены в истории развития западных компаний. К сожалению, такая недооценка может привести к финансовой катастрофе как, например, в случае с компанией Metallgesellschaft [29] (см. приложение).
Говоря об исторических примерах недооценки рисков нельзя не упомянуть о крупнейшем экономическом кризисе нашей современности. Так называемый, кризис ликвидности, начавшийся летом 2007 года и родолжающийся уже более года, является ярчайшим примером недооценки рисков за всю историю существования рыночных отношений. Убытки крупнейших финансовых институтов мира измеряются сотнями миллиардов долларов2. Для выправления ситуации в мировом финансовом секторе центральные банки принимают беспрецедентные меры. Федеральная резервная система США, Европейский центральный банк и банк Англии неоднократно производили финансовые вливания путем проведения специализированных аукционов, на которых продавались краткосрочные кредиты, а также путем обмена с обратным выкупом облигаций низкого качества на государственные долговые обязательства [75-77]. Усугубление обстановки в финансовом секторе США вынудило министерство финансов создать экстренный план по выправлению ситуации, заключающийся в выкупе обесценившихся ипотечных инструментов у банков на сумму 700 миллиардов долларов. Активные действия центральных банков и особенно планируемое использование бюджетных средств США на выкуп плохих инструментов указывают на системный характер происходящего кризиса. В качестве основных рисков, реализация которых и привела к текущему глобальному финансовому кризису, необходимо выделить кредитный риск на
2 Сильнее всех пострадал швейцарский банк UBS, списавший активов на S38 млрд. [73], [74]. ипотечном рынке, а также риск производных финансовых инструментов, в основе которых лежали ипотечные кредиты.
Данные исторические примеры показывают, что наравне с практически ничем не • ограниченным ростом инвестиционных возможностей при использовании деривативов, также стремительно растут и различные виды рисков3. Именно поэтому при работе с деривативами необходимо использовать подход, дающий ответы на основные инвестиционные вопросы:
1. Какова возможная доходность от инвестиции в случае реализации некоторого прогноза?
2. Какова величина среднестатистического риска по инвестиции (статистическая оценка риска)?
3. Какова величина максимального риска по инвестиции (оценка риска на основе стрессовых сценариев)?
Предлагаемый в данной диссертационной работе подход отвечает на данные вопросы,, а значит, является актуальным.
Особое место среди производных финансовых инструментов занимают опционы. Отличие опционов от других инструментов (например, фьючерсов) заключается в нелинейной зависимости их цены от цены базового актива. Возможность сочетать различные опционы (колл и пут) с различными параметрами (периодом до истечения, ценой исполнения, базовым активом) приводит к большому количеству всевозможных инвестиционных комбинаций. Чем больше количество инвестиционных комбинаций, тем острее стоит проблема выбора оптимальной комбинации.
Перечисленные факторы (потребность со стороны инвесторов, сложность инструментов, большое количество комбинаций) обуславливают актуальность выработки подхода к процессу инвестирования на срочном рынке.
Цель и задачи работы. Целью данной диссертационной работы является разработка подхода к выбору оптимальной опционной комбинации инвестирования, исходя из критерия риск-доходность и прогноза движения базового актива, а также необходимого инструментария.
Для достижения указанной цели, в работе поставлены и решены следующие задачи:
1. Постановка задачи оптимизации портфеля опционов в общем виде.
2. Постановка и решение численного примера задачи оптимизации портфеля опционов.
3. Оценка максимально возможного убытка по полученному оптимальному портфелю.
4. Формулировка подхода инвестирования на рынке опционов и базисов, на основе критерия риск-доходность.
5. Разработка и программная реализация инструментария для оценки опционов и оценки показателя риска VaR.
Объект и предмет исследования. Объект исследования -инвестирование с помощью опционов и базовых активов. Предмет -построение оптимальных опционных комбинаций.
Научная новизна. Предложенный в работе подход представляет собой сочетание методов оптимизации инвестиционного портфеля и оценки рыночных рисков применительно к опционам и фьючерсам. Новизна результатов диссертационного исследования отражается в следующем:
1. Разработанный инвестиционный подход позволяет инвестору
получать опционные комбинации, обладающие соотношением
риска и доходности не хуже, чем у стандартных опционных
комбинаций. В отличие от стандартных опционных комбинаций данный подход позволяет учитывать точный количественный прогноз цен базовых активов.
2. В отличие от подхода, предложенного Голембиовским и Долматовым, по сути ориентированным на хеджирование активов, данный подход позволяет получать опционные комбинации с заданным уровнем доходности, что может использоваться как спекулянтами, так и хеджерами.
3. Использование разработанного подхода значительно экономит время поиска оптимальной опционной комбинации. При этом могут использоваться все имеющиеся на рынке инструменты (опционы и базисы), чего сложно добиться, используя стандартные опционные комбинации.
4. Разработан подход приведения в соответствие цен опционов с ценами базисных активов для случая низкой ликвидности на рынке опционов.
Теоретическая значимость. В теоретическом плане данная работа является развитием теории оптимального управления портфелем в части оптимизации портфеля опционов и базовых активов.
Практическая значимость. В работе выработан подход к оптимальному инвестированию на рынке опционов. Данный подход представлен в виде последовательности действий и основан на оценках риска и доходности, выраженных аналитически, что позволяет легко алгоритмизировать данный подход. Программная реализация представленного подхода позволит инвестору быстро принимать оптимальное с точки зрения критерия риск-доходность инвестиционное решение.
В расчетах использовались данные со срочной секции РТС (FORTS), что делает результаты работы адекватным отражением процесса инвестирования на отечественном срочном рынке.
Теоретико-методологической основой исследования являются труды отечественных и зарубежных авторов, посвященные проблемам управления рыночным риском, проблемам оценки риска портфелей производных финансовых инструментов, проблемам ценообразования обыкновенных, экзотических, а также реальных опционов. Авторами таких работ являются: Балабушкин А.Н., Барбаумов В.Е., Буренин А.Н. [3], Бухвалов А.В. (реальные опционы) Голембиовский Д.Ю., Долматов А.С., Дрогобыцкий И.Н, Козырев А.Н. (реальные опционы), Лобанов А.А., Мельников А.В., Рогов М.А., Смирнов С.Н., Фельдман А.Б., Ширяев А.Н. В западной литературе данная проблематика представлена в работах таких авторов как J.C. Hull, A. White, P. Jorion, К.В. Connolly, R. Korn, S. Trautmann, S.L. Heston, C. Kahl, P. Jackel, A.A. Dragulescu, W. Schachermayer, Ahn Don Hyun [23], Alexander Siddharth [24].
Методологическую основу исследования составили элементы теории рисков, теории портфельного анализа, а также методы современного риск-менеджмента. При решении конкретных практических задач использовались методы теории вероятностей, математической статистики и статистического моделирования. В качестве инструментария для решения практических задач использовались математический программный пакет Mathematica 5.2, электронные таблицы MS Excel и язык программирования MS Visual Basic for Applications.
Для оптимизации портфеля, содержащего опционные контракты невозможно использование ожидаемой доходности и стандартного отклонения доходностей инструментов, входящих в портфель, в том виде, в котором они использовались в модели Марковица [19]. В силу нелинейной зависимости цены опциона от рискового фактора (доходности базового актива) распределение вероятностей доходности портфеля опционов не будет нормальным, что усложняет процедуру оценки риска по портфелю опционов. Кроме того, на опцион существенно влияют и другие факторы риска, а именно изменение подразумеваемой волатильности. Данный фактор также должен учитываться при оптимизации портфеля.
Обычно в качестве критерия оптимизации портфеля опционов применяется некоторая функция полезности [40], [41], [49]. Часто в качестве такой функции выбирается логарифмическая функция полезности. Выбор данной функции обосновывается эмпирическими расчетами функций полезности для различных инвесторов, которые во многих случаях хорошо аппроксимирует логарифмическая функция. Действительно та или иная функция может хорошо описывать предпочтения инвесторов, тем не менее, на наш взгляд, описывать с помощью определенной функции (например, логарифмической или экспоненциальной) предпочтения всех инвесторов не совсем верно, то есть для каждого инвестора необходимо подбирать его собственную функцию полезности. Кроме того, само отношение отдельно взятого инвестора к полезности в процессе инвестирования может изменяться. Например, серия неудачных сделок в прошлом, может привести к полной нетерпимости инвестора к риску и напротив, постоянный успех в прошлом, может привести к полному отсутствию ощущения риска. Поэтому в данной диссертационной работе в качестве критерия оптимизации портфеля используется риск портфеля, оцениваемый с помощь показателя VaR. Вместо ожидаемой доходности портфеля опционов, используется доходность портфеля опционов в случае реализации некоторого прогноза поведения цены базового актива.
Проблема оптимального управления портфелем опционов является достаточно новой для отечественного рынка, в силу чего, недостаточно освящена в отечественной литературе. Наиболее близкими к теме данной диссертационной работе являются труды таких авторов как Голембиовский Д.Ю., Долматов А.С. В работе [5] в качестве критерия оптимизации используется максимум математического ожидания прибыли портфеля на момент ближайшего погашения опционных контрактов. При этом предполагается, что в последний момент времени стоимость базового актива принадлежит заданному интервалу значений. В качестве заданного интервала берется отрезок значений логарифма цены базисного актива с координатами -За и +3а относительно прогнозного значения [10]. В работе [6] авторы обобщают оптимизационную модель из работы [5] с учетом залогового обеспечения.
Главным отличием данной диссертационной работы от работ [5] и [6] является критерий оптимизации. Выбрав в качестве критерия максимизацию ожидаемой доходности при наличии ограничений на безубыточность портфеля, инвестор лишается возможности выбирать необходимое ему соотношение риска и доходности. Такая постановка оптимизационной задачи как в источниках [5, 6] более соответствует задаче сохранения капитала (хеджирования), нежели получения прибыли. В [5, 6] производится сравнение предложенной модели хеджирования с традиционными методами хеджирования, основанными на чувствительностях опционов (дельта-гамма хеджирование). Необходимо отметить, что дельта-гамма хеджирование без учета вега риска (дельта-гамма-вега хеджирование) не может показать хороших результатов на длительном промежутке времени (больше дня), т.к. подразумеваемая волатильность значительно изменяется и влияет на стоимость опционов. При этом в используемом в работах [5, 6] ограничении на безубыточность портфеля предполагается одновременная покупка и короткая продажа опционов разных серий, то есть в уравнении заложена возможность уменьшения вега риска. Следовательно, сравнивать предложенный в [5, 6] метод хеджирования необходимо не с дельта-гамма методом, а как минимум с дельта-гамма-вега методом.
Таким образом, предложенный в данной диссертационной работе подход является некоторым развитием традиционных методов оптимизации портфеля опционов (основанных на "греках"), не использующих функцию полезности и ориентированный на получение прибыли.
Апробация результатов исследования. Основные результаты исследования были опубликованы в научно-теоретических журналах, доложены и обсуждены на научно-практических семинарах в ЦЭМИ и ИСА РАН. Разработанные в результате проведенного исследования отдельные предложения использовались на предприятиях (ООО «Лабрейт», ООО «Управляющая компания «Портфельные инвестиции») в качестве методологических рекомендаций по оценке опционов и рыночных рисков. Разработанный программный инструментарий использовался для оценки рисков по портфелю опционов в рамках системы риск-менеджмента предприятия (ООО «Управляющая компания «Портфельные инвестиции»). Внедрение результатов диссертации подтверждено соответствующим актом.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Объем диссертации составляет 115 страницы. Работа включает 8 таблиц, 20 графиков и схем.
Рассмотрим краткое содержание глав. В первой главе содержится общая информация о срочных площадках мира и России. Приводится информация о контрактах, торгуемых на этих площадках, а также о динамике объемов торгов на этих площадках. Также в данной главе рассматриваются возможные типы инвесторов с точки зрения отношения к риску и периоду инвестирования. Кроме этого в первой главе рассмотрены основные подходы инвестирования с помощью опционов. Вторая глава содержит описание математических моделей и методов, используемых в работе для решения поставленных задач. Третья глава содержит постановку задачи оптимизации опционной комбинации в общем виде, алгоритм оптимального инвестирования, использующий решение сформулированной задачи, а также численный пример, в котором производится сравнение предложенного подхода со стандартными комбинациями.
Классификация инвесторов на финансовом рынке
Среди общей массы инвесторов можно выделить несколько основных групп: спекулянты, хеджеры4, арбитражеры. В свою очередь спекулянтов можно подразделить на активных и стратегических.
Поскольку выводы данной диссертационной работы ориентированы на спекулянтов, эта группа будет рассмотрена более подробно.
Деление спекулянтов на активных и стратегических (долгосрочных) необходимо, поскольку отношение к риску у этих групп различно. Под активными спекулянтами подразумеваются инвесторы, открывающие и закрывающие свою позицию в течение дня или недели. У таких инвесторов небольшая терпимость к риску, они пытаются уловить кратковременное движение рынка. Обычно данные спекулянты заранее определяют свои максимальные потери в каждой сделке, и сразу закрывают позицию, если убытки по ней достигают предельных значений. Цель активных спекулянтов - получить доход в течение короткого промежутка времени при установлении лимита максимальных потерь. При принятии торговых решений, данный вид спекулянтов в основном руководствуется техническим анализом.
Стратегические инвесторы5 отличаются от активных спекулянтов периодом инвестирования и величиной ограничения максимальных потерь. Данная группа инвесторов главным образом ориентируется на фундаментальные показатели, выбранной для инвестирования компании, отрасли и в целом состояния экономики страны. Период инвестирования у таких инвесторов может составлять от нескольких месяцев до нескольких лет. Иностранные стратегические инвесторы (крупные хедж фонды, инвестиционные банки), обладающие "длинными" деньгами могут позволить инвестировать на длительные сроки (более года). Для отечественных стратегических инвесторов срок от полу года -это значительный период времени. Как правило, величина возможных потерь у стратегических инвесторов гораздо больше в относительном выражении, чем у активных спекулянтов, а количество операций многократно меньше. Следовательно, различие в подходах к инвестированию у стратегических и активных спекулянтов заключается в горизонте инвестирования и величине ограничения максимальных потерь, а также в критериях принятия торговых решений.
Инвестирование с помощью опционов
Наиболее интересен вопрос инвестирования с помощью опционов6, поскольку использование линейных инструментов таких, например, как фьючерсы на акции, более прозрачен и мало чем отличается от использования самих акций. В работе рассмотрены два основных подхода к инвестированию с помощью опционов: 1. Торговля комбинациями 2. Торговля волатильностью Как было упомянуто выше, результаты данной работы предназначены главным образом для спекулянтов, поэтому арбитражные стратегии не входят в рассматриваемые подходы инвестирования. Рассмотрим более подробно представленные подходы. Торговля комбинациями предполагает построение различных опционных конструкций, отвечающих заданным целям (определенному соотношению риска и доходности), с использование опционов с различными параметрами. Наиболее распространенными конструкциями являются различные модификации спрэдов и стрэддлов [5].
Спрэд предполагает покупку колла/пута и продажу колла/пута с разными страйками (вертикальный спрэд); с разными датами исполнения (горизонтальный спрэд); с разными страйками и с разными датами исполнения одновременно (диагональный спрэд).
Стрэддл и его модификации предполагают одновременную покупку (продажу) опционов колл и пут, при этом могут быть различными страйки опционов и соотношение приобретаемых коллов и путов.
Количество всевозможных комбинаций достаточно велико. Предположим, существует 5 эмитентов, на бумаги которых торгуются опционы, 2 различные даты экспирации, 5 реально торгуемых страйков, торгуются оба типа опциона колл и пут. Тогда получим по 2-5=10 различных опционов колл и пут для каждого эмитента. Тогда для каждого эмитента можно создать с,20 =—- = —— = 45 спрэдов с использованием опционов колл и 45 спрэдов с использованием опционов пут, то есть всего 90 спрэдов для каждого эмитента, итого 90-5=450 различных спрэдов. Этот несложный анализ показывает, что количество комбинаций различных опционов может исчисляться тысячами (так как кроме спрэдов, есть стрэддлы и их различные сочетания7).
Различие в применяемых комбинациях заключается в разном уровне риска и доходности для каждой комбинации. Так, например, риск потерь для опциона колл будет значительно выше, чем для бычьего спрэда (покупка опциона колл, продажа опциона колл с более высоким страйком). В тоже время, доход по опциону теоретически ничем не ограничен, а доход по спрэду ограничен. Кроме того, для практической реализации бычьего спрэда потребуется значительно больше средств, чем просто для приобретения опциона без дополнительной продажи другого опциона с более высоким страйком. Это связано с тем, что для продажи опциона необходимо внести гарантийное обеспечение. Таким образом, инвестор должен сделать выбор между возможными комбинациями, исходя из некоторого критерия, либо сконструировать такую комбинацию, которая будет отвечать заданным параметрам. Одним из возможных критериев может быть риск-доходность.
В данной диссертационной работе предлагается конструировать необходимые опционные комбинации исходя из критерия риск-доходность. Рассмотрим более подробно опционные комбинации, с которыми впоследствии будут сравниваться сконструированные оптимальные комбинации (портфели). В процессе моделирования оптимальных опционных комбинаций в данной работе, в качестве прогноза поведения цен базовых активов рассматривается рост8 цен.
Другим популярным подходом в инвестировании с помощью опционов является торговля волатильностью. Под торговлей волатильностью подразумевается построение такой опционной конструкции (портфеля), которая не будет зависеть от изменения цены базового актива. Такую конструкцию часто называют дельта-нейтральной, поскольку ее линейная чувствительность к изменению цены базового актива (дельта) равна нулю. Дельта-нейтральный портфель может быть построен как с помощью сочетания опциона с
базовым активом, так и с помощью сочетания различных опционов на одинаковый базовый актив. Поскольку на цену опциона изначально воздействует два основных фактора - это цена базового актива и волатильность базового актива (остальные факторы либо детеминированы - время до исполнения, либо незначительны -безрисковая ставка), то у дельта-нейтрального портфеля остается только один значимый рисковый фактор - волатильность. Именно поэтому данная стратегия и называется "торговля волатильностью".
Необходимо отметить, что кроме описанных подходов инвестирования на опционом рынке, существуют и другие подходы. В том числе к ним относятся динамические подходы, использующие в качестве критерия оптимизации максимизацию ожидаемой полезности. О них упоминалось во введение в пункте "Теоретико-методологическая основа исследования".
Важным аспектом торговли опционами и фьючерсами является расчет залогового обеспечения по различным торговым позициям инвестора. Для финансовых спекулянтов является очень привлекательным то, что при открытии определенной позиции по опциону или фьючерсу объем вносимых в залог средств не эквивалентен номинальной стоимости контракта, что создает эффект финансового рычага. В тоже время возникает вопрос об адекватной оценке залогового обеспечения. Для этих целей на многих срочных биржах внедрена система оценки залогового обеспечения называемая SPAN. Рассмотрим ее более подробно.
SPAN является системой расчета гарантийных обязательств (The Standard Portfolio Analysis of Risk - Анализ риска стандартного портфеля). Данная система была разработана и впервые внедрена Чикагской товарной биржей (Chicago Mercantile Exchange) в 1988 г. Расчеты SPAN позволяют определить минимальные гарантийные требования для покрытия возможных дневных убытков для клиринговых
Методы учета эффекта "улыбки волатильности"
Реальное поведение цен акций и других активов, выступающих в качестве базовых активов опционов, отличается от поведения, описываемого законом геометрического броуновского движения [35]. Что естественно отрицательно отражается на адекватности модели Блэка-Шоулза и производных от нее моделей. Тем не менее, модель Блэка-Шоулза не теряет своей популярности. Главным образом, это объясняется простотой использования данной модели. Неоднозначным моментом при использовании модели Блэка-Шоулза является определение волатильности. Неоднозначность заключается в том, что в отличие от всех остальных параметров модели Блэка-Шоулза таких как: цена исполнения, период до погашения, безрисковая ставка, цена базового актива, волатильность является расчетной величиной, то есть в явном виде она не присутствует (не торгуется) на рынке. Конечно, в настоящее время появляются инструменты (о них упоминалось в первой главе), по сути, позволяющие рассматривать волатильность некоторого индекса как отдельный актив, и возможно в будущем данная неоднозначность будет снята. Оценка исторической волатильности доходности базового актива может не совпадать с подразумеваемой волатильностью. В качестве иллюстрации подобной ситуации, рассмотрим рисунок 2.2.1. На нем изображены кривые исторической волатильности фьючерса на индекс РТС, построенные с помощью простой 20 дневной скользящей средней (МА 20) и экспоненциальной скользящей средней (EWMA), а также кривая подразумеваемой волатильности (Implied), вычисленная из цен опционов на фьючерс индекса РТС. На рисунке 2.2.1 видно, что кривая подразумеваемой волатильности в целом повторяет динамику исторических оценок. Тем не менее, существует отрезок времени (обозначен вертикальными пунктирными линиями) в течение которого динамика исторической и подразумеваемой волатильности противоположна.
Опционы со страйками 13000, 14000, 14500 и 15000 рублей оценены рынком дороже, чем по модели Блэка-Шоулза. Существуют и другие модификации данного эффекта. Наиболее распространенные из них, когда рынок оценивает дороже опционы в деньгах, чем опционы без денег, а также обратная ситуация - рынок оценивает выше опционы без денег.
Описанные выше эффекты необходимо каким-то образом учитывать. Существуют модели позволяющие учитывать данные эффекты, тем не менее, на практике часто обходятся моделью Блэка-Шоулза, дополняя ее с учетом исторического поведения подразумеваемой волатильности.
Задача оценки показателя VaR для портфеля опционов значительно сложнее аналогичной задачи для линейных инструментов. Кроме нелинейности опционов оценку VaR усложняет наличие дополнительных рисковых факторов, отсутствующих или влияющих в значительно меньшей степени у линейных инструментов9.
В данной работе в качестве меры риска используется показатель VaR. Существует два основных подхода к оценке показателя VaR. Так называемые подходы полного и локального оценивания. Подходы полного оценивания предполагают использование эмпирического распределения убытков или моделирование данного распределения и поиск квантиля (то есть показателя VaR) по имеющемуся распределению, к ним относятся метод исторического моделирования и методы Монте-Карло. Подход локального оценивания предполагает использование некоторой аналитической зависимости показателя VaR от параметров распределения, при этом предполагается, что функция распределения доходов/убытков имеет нормальный вид. К подходу локального оценивания относится, например, дельта-нормальный метод.
Методы полного оценивания обычно отличаются большей точностью и большими затратами времени на вычисления (в большей степени это относится к методам Монте-Карло). Методы Монте-Карло используются для расчета показателя VaR для нелинейных инструментов, например, таких как опционы.
Главным достоинством методов локального оценивания является то, что они предоставляют аналитическую зависимость показателя VaR от квантиля стандартного закона распределения, параметров распределения убытков (дисперсии, математического ожидания и др.) и структуры портфеля, что позволяет очень быстро производить вычисления показателя VaR.
Кроме описанных методов, также существуют методы, сочетающие в себе оба подхода. К такому методу относится так называемый частичный или неполный метод Монте-Карло (partial Monte-Carlo). Данный метод сохраняет достоинства обоих подходов (полного и локального) и как правило дает лучший результат по сравнению с методами чисто локального оценивания при меньших затратах времени на вычисления, чем у полного метода Монте-Карло.
Формализация процесса оценки "греков" опционов
Во второй главе рассматривался возможный метод оценки чувствительностей опционов. Описанный метод не является единственным, что делает необходимым формализовать процесс оценки чувствительностей опционов так, чтобы было возможно применение различных методов. Вне зависимости от метода оценки, чувствительности, содержащиеся в трехмерных массивах, являются функциями от некоторых заданных переменных (дат исполнения, цен исполнения и др.)
Рассмотрим численный пример предложенного алгоритма оптимального инвестирования на рынке опционов. В качестве инструментов инвестирования используются опционы, торгующиеся на отечественном срочном рынке, а именно в срочной секции фондовой биржи РТС. Выбрано два наиболее ликвидных опциона на фьючерсы компаний "Газпром" и РАО "ЕЭС". Каждый из опционов имеет две активно торгующихся цены исполнения. В качестве даты исполнения для всех опционов выбирается одна и та же дата.
Выбранные характеристики опционов достаточно адекватно отражают действительную ситуацию на отечественном срочном рынке при формировании исходного множества инструментов. К сожалению, пока на отечественном организованном срочном рынке обычно активно торгуются контракты на несколько страйков и доступны 1-2 даты исполнения. Конечно, под доступностью понимается не формальное присутствие контрактов на рынке, предусмотренное биржей, а фактическая торговля контрактом с разными параметрами. Такая ситуация объясняется развивающимся характером нашего финансового рынка в целом и фондового, и срочного рынков в частности.
Для упрощения вычислений при оценке опционов в функции доходности R(W), использовалась формула Блэка-Шоулза для опционов на фьючерсы. Данное упрощение вызвано необходимостью сокращения времени на вычисления. При наличии достаточных вычислительных мощностей оценку американских опционов пут необходимо производить с помощью модели Кокса-Росса-Рубинштейна либо аппроксимации Блэка-Вэлей. При решении поставленной оптимизационной задачи (3.4.2) предполагается, что существует некоторый прогноз по поведению цен базовых активов опционов. Такой прогноз выражается в количественной оценке возможных доходностей базовых активов на период инвестирования. В рассматриваемом примере в качестве такого прогноза используется вектор =(0,01 0,01), то есть предполагается, что все цены базовых активов вырастут за один день на 1%.
При этом однодневный 95% VaR составил -59880 рубля, то есть с вероятностью 95% в течение одного дня убыток по портфелю не превысит 59880 рубля. Отрицательное значение количества контрактов соответствует короткой позиции, положительное - длинной. Как видно контракты на акции РАО «ЕЭС» фактически не попали в портфель. При росте базисов на 1% обеспечить доходность всего портфеля на уровне 3%, в данном примере, можно только с помощь инструментов с большей дельтой, что приводит к большой доле фьючерсов в портфеле. А отсутствие контрактов на акции РАО «ЕЭС» связано с тем, что эффект плеча выше у контрактов на акции Газпрома. Так коэффициент плеча у контрактов на акции Газпрома равен 3,57, а у контрактов на РАО «ЕЭС» он равен «2,83. Точные результаты оптимизации можно увидеть в приложении.
Используемую модель оценки показателя VaR необходимо проверить на адекватность. Производиться данная проверка будет с помощью процедуры бэктестинга (backtesting), широко используемой в риск-менеджменте. Данная процедура представляет собой статистический тест. В качестве нулевой гипотезы выбирается утверждение, о том, что выбранный доверительный уровень 1-а (в данном примере 95%) является верным. В качестве альтернативной гипотезы выбирается утверждение о том, что верным доверительным уровнем является уровень отличный от выбранного. Для опровержения или принятия гипотез необходимо выбрать статистический критерий. В качестве такого критерия был выбран критерий, предложенный базельским комитетом. Базельский комитет предлагает разделять количество превышений реальными убытками полученного показателя VaR на три зоны: зеленую, желтую, красную [58].
Похожие диссертации на Оптимизация портфеля финансовых опционов
