Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современное состояние и направления развития портфельной теории 17
1 1.Методы анализа и формирования портфеля ценных бумаг 17
1.2. Экономико-математические модели формирования портфеля ценных бумаг. Постановка проблемы исследования 26
Выводы 36
Глава 2 Методы анализа ценных бумаг при произвольных распределениях их характеристик 38
2.1. Метод моментов как теоретический базис непараметрического гарантированного анализа ценных бумаг 38
2.2. Нахождение гарантированных оценок характеристик ценных бумаг с использованием метода моментов 49
2.3. Определение необходимого числа моментов для нахождения гарантированных оценок 56
Выводы 63
Глава 3. Методы анализа ценных бумаг при стареющих распределениях их характеристик 64
3.1. Общие сведения о стареющих и молодеющих распределениях 64
3.2. Верхние оценки функции распределения доходности ценной бумаги 72
3.3. Нижние оценки функции распределения доходности ценной бумаги 87
Выводы 100
Глава 4. Методы анализа ценных бумаг при молодеющих распределениях их характеристик 102
4.1. Нижние оценки молодеющей функции распределения доходности ценной бумаги 102
4.2. Верхние оценки молодеющей функции распределения доходности ценной бумаги 109
4.3. Примеры нахождения нижних и верхних оценок молодеющей функции распределения доходности ценной бумаги 115
Выводы 119
Глава 5. Методы анализа и непосредственного сравнения ценных бумаг 120
5.1. Анализ и сравнение ценных бумаг при известных распределениях 120
5.2. Анализ и сравнение ценных бумаг при произвольных распределениях 125
5.3. Анализ и сравнение ценных бумаг при стареющих и молодеющих распределениях 128
Выводы 143
Глава 6. Методы формирования оптимального портфеля ценных бумаг 145
6.1. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг при известных распределениях их характеристик 145
6.2. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг при произвольных распределениях их характеристик 153
6.3. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг при стареющих и молодеющих распределениях их характеристик 159
6.4. Практические примеры использования разработанной теории для формирования портфеля ценных бумаг 169
Выводы 179
Заключение 182
Литература 188
Приложения 202
- Экономико-математические модели формирования портфеля ценных бумаг. Постановка проблемы исследования
- Нахождение гарантированных оценок характеристик ценных бумаг с использованием метода моментов
- Верхние оценки функции распределения доходности ценной бумаги
- Верхние оценки молодеющей функции распределения доходности ценной бумаги
Введение к работе
Переход России к рыночной системе ведения хозяйства обусловил необходимость формирования принципиально нового механизма финансирования инвестиционных процессов. Одним из важнейших результатов проводимых преобразований и построения новой модели инвестирования явилось существенное сокращение централизованных инвестиций: в настоящее время государство видит своей целью создание благоприятных условий для активизации инвестиционной деятельности и стимулирования частных инвестиций при одновременном ограничении своего участия в качестве непосредственного инвестора. В этих условиях решающее значение придается росту объема и эффективности негосударственных инвестиций, основными источниками которых должны служить собственные (внутренние) средства предприятий и привлеченные (внешние) источники, прежде всего средства банков, институциональных инвесторов и населения.
В условиях нестабильности, слабости банковской системы России и ее неспособности предоставить свои избыточные ресурсы производственному сектору экономики стратегическим направлением на пути вовлечения в хозяйственный оборот свободных средств частных инвесторов является ускоренное развитие рынка ценных бумаг и привлечение с помощью его инструментов инвестиций в реальный сектор экономики России.
Действительно, при ограниченных возможностях самофинансирования предприятий (отсутствие прибыли, накоплений, обесценивание амортизационных отчислений) и постоянном сокращении доли централизованных государственных инвестиций основным фактором расширенного воспроизводства становятся прежде всего внешние источники инвестиционных ресурсов. В сложившейся ситуации ускоренное-развитие рынка ценных бумаг, с помощью которого могут быть обеспечены условия для привлечения инвестиций на предприятия и доступ последних к более дешевому (по сравнению с банковскими кредитами) капиталу, должно рассматриваться в качестве одного из реальных путей преодоления инвестиционного "голода" и направления значительных финансовых ресурсов в реальный сектор экономики.
Ценные бумаги, опосредующие инвестиционный процесс, являются неотъемлемым атрибутом рыночной экономики; они представляют способ оформления взаимных обязательств рыночных субъектов. С их помощью инвестиции автоматически направляются в наиболее эффективные отрасли и сферы экономики, жизнеспособные рыночные структуры. Рынок ценных бумаг как механизм трансформации сбережений в инвестиции является сегодня той сферой, в которой формируются основные финансовые источники экономического роста, концентрируются и распределяются необходимые экономике инвестиционные ресурсы.
Эффективное функционирование рынка ценных бумаг в любой стране предполагает наличие нескольких обязательных условий, в том числе: создание благоприятного инвестиционного климата; применение и дальнейшее развитие инвестиционной теории в процессе принятия конкретных инвестиционных решений.
Становление российского фондового рынка вызвало интерес отечественных специалистов к изучению, адаптации и практическому использованию результатов, полученных в рамках теории инвестирования (портфельной теории) зарубежными исследователями. Ключевой в данной теории является проблема анализа и формирования портфеля ценных бумаг. Принимая решение о целесообразности вложения денежных средств в финансовые активы, инвестор должен оценить риск, присущий этим активам, ожидаемую доходность и далее определить, достаточна ли эта доходность для компенсации ожидаемого риска. Чаще всего инвестор работает не с одним активом, а с некоторым их набором (инвестиционным портфелем). Отсюда вытекает, что, оценивая риск-доходность конкретного актива из инвестиционного портфеля, можно действовать двояко: либо рассматривать актив изолированно от других активов, либо считать его неотъемлемой частью портфеля.
При формировании портфеля ценных бумаг создается новое инвестиционное качество собранных активов с требуемыми (заданными) соотношениями доходность - риск. Смысл портфельных стратегий инвестора состоит в улучшении инвестиционных характеристик всей совокупности ценных бумаг, которые могут быть достижимы только при их комбинации и невозможны, как правило, с позиций отдельно взятого актива. Из определенной совокупности ценных бумаг можно сформировать различные инвестиционные портфели, в каждом из которых будет определенный баланс между риском, приемлемым для владельца портфеля, и ожидаемой доходностью на определенный период времени.
Теоретические аспекты анализа и формирования портфеля ценных бумаг рассматривались в большом количестве работ. Основной вклад, по вполне очевидным причинам, в развитие теории портфеля ценных бумаг внесли ученые стран Запада и США. Это прежде всего: Д.Вильяме, Дж.Линтнер, Г.Марковиц, Дж.Моссин, М.Миллер, Ф. Модельяни, Р.Ролл, С.Росс, Дж. Тобин, М. Шоулс, У.Шарп, Б.Фишер, И. Фишер и др.
Начало современной теории инвестиций связывают с именем Гарри Марковица и его работой "Выбор портфеля", опубликованной в 1952 г. (Markowitz Н.М. Portfolio selections// Journal of Finance. 1952. May). Согласно теории Марковица, для принятия решения о вложении средств инвестору не нужно проводить анализ всех возможных портфелей, а достаточно рассмотреть лишь так называемое эффективное множество портфелей. Маркович нашел аналитическое соотношение, описывающее эффективное множество и соответствующее ему графическое представление. Следующий шаг в развитии теории инвестирования сделали Джеймс Тобин и Ульям Шарп. Они развили подход Марковца в ситуации, когда на фондовом рынке существует безрисковый актив с некоторой доходностью; это позволило им построить новую эффективную границу с учетом безрискового актива. Дальнейшее развитие портфельная теория получили в работах Стефана Росса, ко торый разработал теорию арбитражного ценообразования. В ее основе лежит предположение о том, что каждый инвестор стремится увеличить доходность своего портфеля, не увеличивая при этом возможный риск. Для этой цели инвестор составляет арбитражный портфель. Таковы основные классические школы теории портфельного инвестирования. Дальнейшие исследования западных ученых, занимающихся инвестиционной теорией, были направлены в основном на совершенствование этих классических теорий портфельного инвестирования.
Из отечественных ученых инвестиционной теорией и адаптацией ее к российскому рынку ценных бумаг занимались М.Алексеев, Л.Бабешко, И.Волошин, С.Зинковский, В.Евстигнеев, А. Иванов, Ю.Касимов, В.Колемаев, А. Королев, М.Кудрявцев, В.Марков, Я.Миркин, Б.Рязанов, Ю.Сизов, А.Шведов и др. Работы этих ученых имеют большое теоретические и практическое значение для развития инвестиционной теории применительно к российской действительности.
Вместе с тем, несмотря на значительное количество работ по теории портфеля ценных бумаг, активное практическое использование этой теории в современном финансовом мире, процесс ее создания далеко не завершен. Вызывает сомнение выбор в качестве основных показателей портфеля ценных бумаг ожидаемой доходности и риска. В рамках концепции анализа портфеля ценных бумаг, когда доходности ценных бумаг рассматриваются как случайные величины, ожидаемая доходность (математическое ожидание доходности) и риск (дисперсия) являются важными, но частными характеристиками, и, следовательно, выводы, полученные на их основе, будут носить частный характер. Подвергается серьезной критике правомерность выбора оптимального портфеля из эффективного множества на основе склонности инвестора к риску, которая характеризуется функцией полезности. Предложенный У.Шарпом и развитый некоторыми отечественными ученми подход к формированию оптимального портфеля, исключающий необходимость построения множества эффективных портфелей и кривых безразличия (функции полезности), не выходит за рамки классических теорий. Этот подход также базируется на использовании ожидаемой доходности, риска или некоторых их комбинаций.
Кроме того, в современной инвестиционной теории рассматриваются в основном стационарные процессы изменения характеристик ценных бумаг, что не соответствует реалиям российского рынка ценных бумаг. Последний сегодня характеризуется как рынок с высоким уровнем рисков, ярко выраженным спекулятивным и краткосрочным характером ценных бумаг, доминированием иностранного спекулятивного капитала, нестабильностью основных макроэкономических параметров и индикаторов, несбалансированностью базовых инвестиционных характеристик ценных бумаг. Тем не менее российский рынок ценных бумаг рассматривается как молодой, перспективный, имеющий реальный шанс на динамичное развитие.
Сложившая ситуация требует развития инвестиционной теории с учетом реальных особенностей российского рынка ценных бумаг, важнейшей из которых является неполнота исходных данных о процессах изменения до-ходностей ценных бумаг и соответственно неполнота данных при принятии инвестиционных решений. При обосновании последних предполагается, что все необходимые характеристики ценных бумаг известны полностью. На самом деле это не совсем так. Данное положение в полной мере относится к функции распределения, математическому ожиданию и дисперсии доходности ценной бумаги. Указанное обстоятельство есть следствие того, что эти характеристики, как правило, определяются по статистическим данным, полученным по итогам биржевых торгов. Кроме того, следует отметить еще одно весьма важное обстоятельство. Принятие инвестиционного решения о формировании портфеля всегда связано для инвестора с существенными затратами. Поэтому при их обосновании нельзя ориентироваться на каких-то "средних представителей" из используемых характеристик, а следует учи тывать наихудшие варианты. Существующая в настоящая время инвестиционная теория этого не предусматривает.
Многие проблемные вопросы современной теории инвестирования, по мнению автора, могут быть решены, если изначально отказаться от основного ее положения, которое заключается в том, что портфель ценных бумаг должен формироваться на основе соотношения доходность - риск или их комбинаций, являющихся частными характеристиками доходности ценной бумаги (портфеля ценных бумаг).
Вместо частных характеристик случайной величины доходности следует использовать более полные ее характеристики. Любую случайную величину, в том числе и доходность ценной бумаги (портфеля ценных бумаг), наиболее полно характеризует ее функция распределения. Именно значение функции распределения доходности ценной бумаги будем использовать в качестве основного показателя при формировании портфеля ценных бумаг.
Каждый инвестор заинтересован в том, чтобы доходность сформированного им портфеля была не менее заданной величины, но так как доходность портфеля ценных бумаг является величиной случайной, то из всех возможных портфелей инвестор предпочтет портфель, для которого величина вероятности того, что доходность портфеля г не менее заданной величины є ( Р ( г є ) ), будет максимальной. Нахождение такого портфеля ценных бумаг в условиях неполных исходных данных остается нерешенной задачей. В этой связи дальнейшая разработка экономико-математических моделей и методов формирования портфеля ценных бумаг с заданным уровнем доходности представляет определенный научный интерес.
Актуальность отмеченных вопросов портфельной теории, их недостаточная теоретическая разработанность, высокая практическая значимость обусловили выбор темы, предопределили объект, предмет, цель и задачи диссертационной работы.
Объектом исследования выступает портфель ценных бумаг.
Предметом исследования являются процессы анализа и формирования портфеля ценных бумаг.
Цель исследования - дальнейшее развитие инвестиционной теории в части разработки экономико-математических моделей и методов непараметрического анализа и формирования оптимального портфеля ценных бумаг с заданным уровнем доходности.
В ходе исследования выделено четыре подцели с соответствующими задачами.
1. Анализ современного состояния теории оптимального портфеля ценных бумаг и выявление основных направлений ее развития: анализ исторического развития портфельной теории, определение ее основных вех и направлений дальнейшего совершенствования; обоснование нового подхода к формированию оптимального портфеля, при котором в качестве основного критерия, определяющего структуру оптимального портфеля ценных бумаг, используется максимум вероятности того, что ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг будет не меньше заданного инвестором уровня доходности.
2. Развитие теории гарантированного оценивания функции распределения доходностей ценных бумаг: разработка методов гарантированного оценивания функции распределения доходностей ценных бумаг в классе произвольных распределений; разработка методов гарантированного оценивания функции распределения доходностей ценных бумаг в классе стареющих распределений; разработка методов гарантированного оценивания функции распределения доходностей ценных бумаг в классе молодеющих распределений.
3. Разработка методов непосредственного сравнения ценных бумаг для различных комбинаций случаев: функция распределения доходностей ценных бумаг является известной; функция распределения доходностей ценных бумаг является неизвестной произвольной; функция распределения доходностей ценных бумаг является неизвестной стареющей; функция распределения доходностей ценных бумаг является неизвестной молодеющей.
4. Обоснование теоретических положений и методов формирования оптимального портфеля ценных бумаг по критерию гарантированного максимума вероятности того, что доходность портфеля будет не меньше заданной величины:
разработка метода формирования оптимального портфеля при известной функции распределения доходностей ценных бумаг;
разработка метода формирования оптимального портфеля при неизвестной произвольной функции распределения доходностей ценных бумаг;
разработка метода формирования оптимального портфеля при неизвестной стареющей функции распределения доходностей ценных бумаг;
разработка метода формирования оптимального портфеля при неизвестной молодеющей функции распределения доходностей ценных бумаг.
Общетеоретическую и методологическую основу исследования составляют категории, законы, закономерности экономической науки. В диссертации использованы традиционные подходы анализа и синтеза экономических систем, моделирование экономических процессов, системный подход к изучаемым явлениям.
В процессе исследования проанализированы и использованы разработки научных коллективов и отдельных ученых Финансовой академии при Правительстве Российской Федерации, Центрального экономико-математического института РАН, Российской экономической академии им.Г.В.Плеханова, Всероссийского заочного финансово-экономического института, Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова,
Государственного университета - Высшей школы экономики, Государственного университета управления и других организаций. Широко использованы ключевые положения трудов отечественных и зарубежных ученых по проблемам инвестиционной теории.
При решении конкретных задач автор опирался и использовал основные положения инвестиционной теории, элементы теории вероятностей и математической статистики, методов оптимизации, высшей алгебры.
Информационную базу исследования составили данные торгов в "Российской торговой системе" (РТС); данные Регионального отделения Федеральной комиссий по рынку ценных бумаг в Центральном федеральном округе; публикации в экономических и компьютерных изданиях; материалы, размещаемые в сети Internet.
Диссертация по своему содержанию соответствует пункту 1.4 паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики .
Научная новизна диссертационного исследования заключается в решении научной проблемы разработки экономико-математических моделей и методов непараметрического анализа и формирования оптимального портфеля ценных бумаг с заданным уровнем доходности.
В диссертационном исследовании получены и выносятся на защиту следующие результаты, содержащие элементы научной новизны.
1. Обобщенный подход к формированию оптимального портфеля ценных бумаг, отличающийся тем, что в нем учитывается реальная неполнота исходных данных о процессах изменения доходностей ценных бумаг; отсутствует необходимость построения множества эффективных портфелей и кривых безразличия (функции полезности), характеризующих склонность инвестора к риску; в качестве основного критерия, определяющего структуру оптимального портфеля ценных бумаг не используются частные характеристики доходности: риск (дисперсия доходности) и ожидаемая доход ность (математическое ожидание доходности), а используется наиболее полная характеристика доходности - максимум вероятности того, что ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг не меньше заданного инвестором уровня доходности.
2. Методология гарантированного оценивания функции распределения доходностей ценных бумаг в условиях неполных данных об их доходностях, представленных выборками малого объема от двух до нескольких десятков значений; оценивание функции распределения доходностей ценных бумаг осуществляется в классах непараметрических распределений: в классе произвольных распределений; в классе стареющих распределений; в классе молодеющих распределений. Для каждого из названных непараметрических классов распределений методическая схема оценивания функции распределения доходностей ценных бумаг заключается в нахождении оценок моментов распределения по имеющимся данным и последующем решении задачи нахождения гарантированных (верхних и нижних) оценок функции распределения на множестве распределений с заданными моментами, равными полученным оценкам моментов.
3. Методы непосредственного сравнения ценных бумаг, основанные на сравнении случайных величин доходностей ценных бумаг в условиях неполных данных об их доходностях для различных комбинаций случаев известного (известного до параметров), неизвестного произвольного, стареющего и молодеющего распределения их доходностей; при этом данные методы базируются на результатах гарантированного оценивания функций распределения доходностей ценных бумаг
4. Теоретические положения и методы формирования оптимального портфеля ценных бумаг по критерию гарантированного максимума вероятности того, что доходность портфеля будет не меньше заданной величины. В частности, разработанный метод формирования оптимального портфеля для случая известных нормальных распределений обобщает классическую порт фельную теорию, которая является частным случаем этого результата. Методы формирования оптимального портфеля ценных бумаг в случаях неизвестного произвольного распределения их доходностей; неизвестного стареющего распределения их доходностей; неизвестного молодеющего распределения их доходностей являются дальнейшим развитием портфельной теории; они учитывают реальную неполноту исходных данных о доходностях ценных бумаг и базируются на результатах гарантированного оценивания их функции распределения.
Практическая значимость работы заключается в том, что основные положения, выводы, рекомендации, методологические подходы диссертационного исследования могут быть использованы для выработки конкретных рекомендаций по совершенствованию инвестиционного процесса как институциональными, так и индивидуальными инвесторами.
Самостоятельное практическое значение имеют:
алгоритмы определения нижних и верхних оценок функции распределения (дополнительной функции распределения) доходностей ценных бумаг по реальным данным изменения их доходностей для случаев неизвестного произвольного, неизвестного стареющего и неизвестного молодеющего распределений;
алгоритмы непосредственного сравнения ценных бумаг на основе реальных данных изменения их доходностей для различных комбинаций случаев известного, неизвестного произвольного, неизвестного стареющего и неизвестного молодеющего распределений;
алгоритмы формирования оптимального портфеля ценных бумаг по критерию максимума вероятности того, что доходность портфеля не меньше заданного инвестором уровня для случаев известного, неизвестного произвольного, неизвестного стареющего и неизвестного молодеющего распределений.
Внедрение и апробация работы. Научное исследование выполнено в рамках научно-исследовательских работ Финансовой академии при Правительстве Российской Федерации в соответствии с Единым заказ-нарядом на тему: "Государственные финансы России и пути их оздоровления" (проект № 1.2.96 ф).
Разработанные в диссертации положения и рекомендации нашли применение при организации информационно-аналитической работы в Региональном отделении Федеральной комиссии по рынку ценных бумаг в Центральном федеральном округе; при анализе и формировании портфелей активов Ассоциации делового сотрудничества "ВолгаПромГаз", при анализе и формировании портфелей ценных бумаг АКБ "Интеркапитал".
Теоретические, методологические и практические вопросы диссертационного исследования докладывались и получили одобрительную оценку на Международной научно-практической конференции "Управление в XX веке: итоги и перспективы" (Москва, 1999); Международной научно-технической конференции "Проблемы регионального и муниципального управления" (Москва, 1999); Юбилейной международной научно-практической конференции "Теория активных систем" (Москва, 1999); IY и VI Форумах Международной академии информатизации (Москва, 1995, 1997); Международной научной конференции "Финансовая экономика: концепции, структуры, менеджмент" (Москва, 2000); Конгрессе Международного форума информатизации "Информатика и бизнес" (Москва, 1998).
Публикации. Основные теоретические положения и выводы диссертации изложены в 33 публикациях автора общим объемом 56,75 п.л.( все авторские) в том числе, в трех авторских монографиях .
Экономико-математические модели формирования портфеля ценных бумаг. Постановка проблемы исследования
Рассмотрим основные экономико-математические модели, составляющие основу современной портфельной теории. Ядром классической теории оптимального портфеля [165-167 ] является теорема " об эффективном множестве портфелей ". Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей каждый из которых: 1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска. 2. Обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности." В качестве характеристики доходности (или просто доходности) ЦБ, ШДБ, как правило, используют, отношение изменения благосостояния инвестора в конце анализируемого периода к благосостоянию в начале периода, т.е. доходность определяется соотношением где г - доходность ; Wi, W0 - благосостояние инвестора в конце и в начале анализируемого периода. Доходность каждой ценной бумаги считают случайной величиной. Пусть портфель ЦБ сформирован из п ЦБ, доходность каждой из которых характеризуется математическим ожиданием R; и дисперсией Di. Обозначим через X! долю или часть і - ой ЦБ в портфеле , вектор X = (Хі, Х2,..., Хп) будет задавать структуру портфеля. Доходность портфеля из п ЦБ определится соотношением а математическое ожидание доходности портфеля из п ЦБ определится соотношением где R, = М{ гі } - математическое ожидание доходности і - ой ЦБ. Дисперсия портфеля ЦБ для случая, когда доходности ЦБ рассматриваются как независимые случайные величины, определится соотношением для случая зависимых доходностей ЦБ дисперсия портфеля определится соотношением ковариация между доходностями двух ЦБ, в случае і = j - это дисперсия.
При этом должно выполняться условие нормировки, т.е. Существующие подходы к формированию оптимального портфеля ЦБ можно свести к следующим основным задачам: Задача 1. Найти такие неотрицательные величины X = (Xi, Х2,..., Хп), удовлетворяющие условию нормировки (1.7), чтобы при этом Здесь коэффициент Q характеризует отношение инвестора к риску, чем больше Q, тем более осторожен (т.е. менее склонен к риску) инвестор. Можно привести еще ряд постановок задач формирования оптимального инвестиционного портфеля, можно снять требование неотрицательности переменных Х]5 Х2,..., Xn , можно предположить наличие безрисковой ценной бумаги, для которой Dj = 0. Решения последних задач и различных их модификаций достаточно хорошо разработаны, широко опубликованы [2,11,34,37,53,59,65,72, 96,98,116,121,122,126,139,140,143] и практически применяются для формирования портфелей ценных бумаг различными инвесторами. Отметим основные моменты, возникающие при формировании оптимального портфеля. Алгоритм поиска оптимального портфеля заключается в построении эффективного множества портфелей. Однако, данное множество не позволяет определять оптимальный портфель. Выбор его зависит от склонности инвестора к риску, которая характеризуется функцией полезности. В свою очередь, с помощью функции полезности строят кривые безразличия. Точка соприкосновения кривой безразличия и кривой, определяющей границу множества эффективных портфелей, является оптимальной только для определенного инвестора.
Сложность и неоднозначность этого алгоритма состоит в отсутствии объективных подходов к определению кривой безразличия. Альтернативным является подход к выбору оптимального портфеля по критерию допустимых потерь [ 34]. В данном подходе определяется такой однопериодный портфель, который, если его повторять для каждого периода в течение всего срока инвестирования, максимизирует ожидаемую доходность при условии определения допустимых потерь размещаемых средств за весь период инвестирования. Преимуществом подхода является отказ от "абстрактного критерия полезности" и выбор оптимального портфеля на основе учета допустимого уровня потерь портфеля. Недостатком подхода остается необходимость построения множества однопериодных и многопери-одных эффективных портфелей. Одним из возможных подходов, в котором нет необходимости строить множество эффективных портфелей и кривые безразличия, является подход, основанный на использовании в качестве критерия оптимизации максимума отношения квадрата математического ожидания доходности портфеля к его дисперсии [34]. Этот критерий является фактически квадратом критерия Шарпа [ 140 ]. Недостатками подхода является то, что не учитывается уровень допустимых потерь при оптимизации портфеля; этот подход не позволяет определять оптимальный портфель для инвестора склонного к риску. Кроме того, сам критерий оптимизации является недостаточно экономически обоснованным. У.Шарп [140] предложил в качестве меры полезности портфеля ис-пользовать ожидаемый доход за вычетом платы за риск. Плату за риск следует определять как квадрат меры риска (дисперсии) , делимый на меру терпимости к риску. В данном подходе также используется не совсем четкое понятие - мера терпимости инвестора к риску.
Нахождение гарантированных оценок характеристик ценных бумаг с использованием метода моментов
В большинстве работ по проблематике анализа ценных бумаг и формирования оптимального портфеля ценных бумаг в качестве основных их характеристик используют следующие: математическое ожидание доходности - R и дисперсию (или среднее квадратическое отклонение) D ( сг2) , которую рассматривают как характеристику риска или просто риск доходности данной ценной бумаги.
При всей важности последних характеристик в ряде случаев (за исключением нормального распределения) они весьма неполно характеризуют распределение доходности ценной бумаги. Наиболее полной характеристикой доходности ценной бумаги является функция распределения доходности , а при решении многих практических задач - дополнительная функция распределения, т.е, величина вероятности того, что доходность ценной бумаги превысит некоторый заданный уровень є, т.е. величина вероятности Р( г є) = 1 - F (є ). Найдем гарантированные оценки последней вероятности с использованием метода моментов в условиях ограниченных данных. Задача определения гарантированной оценки вероятности Р( г є) формулируется следующим образом: найти гарантированную (нижнюю оценку, границу) для вероятности того, что доходность ценной бумаги г превысит некоторый заданный уровень є , при условии, что функция распределения доходности ценной бумаги F(t) принадлежит множеству функций распределения F0 - функций распределения с заданными моментами, т.е. найти P(s) такое, что или найти верхнюю оценку для функции распределения доходности ценной бумаги Fx(e) на множестве функций распределения Fo - функций распределения с заданными моментами, т.е. найти Fx(s) такое, что достигается на множестве функций распределения F0 при непрерывной подинтегральной функции c(t), имеющей к+1 неотрицательную производную, достигается в классе ступенчатых функций распределения, определяемых следующим образом: при к = 2 v - 1 функция распределения имеет v точек роста причем, для точек роста справедливо соотношение в последнем выражении pj - величина роста функции распределения в точке tj; при к = 2 v функция распределения имеет v+І точек роста to = 0 ti t2 ... tv оо, для точек роста также справедливо соотношение (2.16).
В нашем случае подинтегральная функция c(t) = 1, а исследуемый функционал имеет вид Прежде чем рассматривать непосредственно задачу нахождения гарантированных оценок характеристик ценных бумаг, следует решить вопрос о существовании функции распределения F(t) є F0 . Ответ на этот вопрос связан с существованием решения проблемы моментов и в данном случае ответ положителен [ 60 ]. К подинтегральной функции также предъявляется требование неотрицательности k + 1 производной, которое очевидно выполняется. При решении задачи нахождения гарантированных оценок будем использовать следующий результат [70]. Наибольшее (наименьшее) значение интеграла достигается на ступенчатом распределении F(t) є F() , имеющем точку роста т, причем такое распределение F(t) с точкою роста т одно и только одно, при котором среди точек tj, h,...,tv имеется точка т. Пусть tj (j = 1,2,...,v ) есть точка роста ступенчатого распределения F(t). Обозначим Число A(tj) будем называть индексом точки tj, а число I будем называть индексом ступенчатого распределения F(t). Индекс ступенчатого распределения с точками роста tj, t2,...,tv, при котором среди этих точек роста есть точка т , равен к + 1 или к + 2. Исходя из этого утверждения, можно определить число точек роста v функции распределения F(t) по заданному числу моментов к. Пусть число моментов к функции распределения нечетное, если tj = О, то Л = 2 (v - 1) + 1, тогда следует положить Д = к + 2, откуда v = ( к + 3 )/2; если tj 0, то А = 2 v , тогда следует положить Д = к + 1, откуда v = ( к + 1 )/2. Однако при нечетном к , когда U 0 ,число точек роста функции распределения v не может быть равно (к + 1 )/2, так как при этом возникает неопределенность, которая состоит в том, что система уравнений (2.16) будет полностью определенной: в ней будет 2v уравнений и столько же неизвестных, следовательно, точки роста функции распределения ti, t2,...,tv являются вполне определенными и среди них вполне может и не быть точки т. Аналогичная ситуация возникает и при четном к, когда t] = = 0. Эти оба случая следует исключить из дальнейшего рассмотрения.
Тогда можно сформулировать следующее утверждение. Утверждение 2.1. Наибольшее (наименьшее) значение интеграла при F(t) є FQ достигается на единственном ступенчатом распределении F(t), у которого среди точек роста tb t2,... ,tv имеет точка т; при нечетном к число точек роста v функции распределения F(t) определяется соотношением v = ( k +3)/2, причем to = 0 ti t2 .. . tv со; при четном к число точек роста v функции распределения F(t) определяется соотношением v = k/2 + 1, причем 0 ti t2 ... tv оо; числа pj 0, tj, j = 1,2,...,v удовлетворяют системе уравнений (2.16). Доказательство утверждения непосредственно следует из предшествующих рассуждений. Последний результат позволяет непосредственно находить гарантированные оценки вероятности того, что доходность ценной бумаги превысит некоторый заданный уровень є, т.е. величину вероятности Р(г є). Рассмотрим случай, когда известны два первые момента распределения доходности ценной бумаги mi, tri2 ( и конечно m0 = !) Запишем уравнения для моментов при условии, что гарантированная оценка вероятности Р(г є) или F(s) =1 - Р(г є) достигается на ступенчатом распределении F(t), имеющем v = 2 точки роста.
Верхние оценки функции распределения доходности ценной бумаги
Для случая двух ценных бумаг структура оптимального портфеля найдена в аналитическом виде; при большем количестве рассматриваемых ценных бумаг для формирования оптимального портфеля следует использовать численные методы. Автором разработан численный метод решения задачи формирования оптимального портфеля, который базируется на методе прямого поиска экстремума Хука-Дживсса при наличии ограничений. Кроме того, для численного решения задачи формирования оптимального портфеля автором использовались средства электронной таблицы Excel. 2. Показано, что при формировании оптимального портфеля из п ценных бумаг по критерию максимума вероятности того, что доходность портфеля не меньше заданной величины Ro, для инвестора возможны три основных стратегии: первая стратегия - осторожная стратегия, при которой инвестор стремится получить доходность портфеля Ro ниже чем наименьшее математическое ожидание доходностей ценных бумаг. В этом случае целесообразна полная диверсификация портфеля; вторая стратегия - умеренно-авантюристическая і - го вида, при которой инвестор стремится получить доходность портфеля Ro выше чем математическое ожидание доходности і -ой ценной бумаги (предполагаем, что ценные бумаги проранжированы по величине математического ожидания доходности) , но ниже математического ожидания доходности і +1 ценной бумаги. В этом случае портфель состоит из бумаг для которых Ri Ro; третья стратегия - авантюристическая стратегия, при которой инвестор стремится получить доходность портфеля Ro выше чем наибольшее математическое ожидание доходностей ценных бумаг.
В этом случае портфель должен состоять из одной ценной бумаги с наибольшим математическим ожиданием доходности (независимо от величины дисперсии). 3. Разработана теория и методы формирования оптимального портфеля ценных бумаг по критерию гарантированного максимума вероятности того, что доходность портфеля не меньше заданной величины при условии, что распределение доходностей ценных бумаг является произвольным неизвестным распределением. Распределение доходностей представлено только выборкой доходностей ценных бумаг. Автором разработан численный метод решения задачи формирования оптимального портфеля, который базируется на методе прямого поиска экстремума Хука-Дживсса при наличии ограничений. Кроме того, для численного решения задачи формирования оптимального портфеля автором использовались средства электронной таблицы Excel. 4. Разработана теория и методы формирования оптимального портфеля ценных бумаг по критерию гарантированного максимума вероятности того, что доходность портфеля не меньше заданной величины при условии, что распределение доходностей ценных бумаг является стареющим или молодеющим распределением.
Распределение доходностей представлено только выборкой доходностей ценных бумаг. Автором разработан численный метод решения задачи формирования оптимального портфеля, который базируется на методе прямого поиска экстремума Хука-Дживсса при наличии ограничений. Кроме того, для численного решения задачи формирования оптимального портфеля автором использовались средства электронной таблицы Excel. Показано, что в случае стареющих или молодеющих распределений всех рассматриваемых ценных бумаг, когда используется только один первый момент распределения доходностей, оптимальный портфель следует формировать только из одной ценной бумаги с наибольшим математическим ожиданием доходности. 5. Рассмотрены практические примеры использования разработанной теории формирования портфеля ценных бумаг.
В качестве исходных данных использовались реальные данные по ценам и дивидендам акций нескольких компаний; при этом рассматривались случаи, когда имеющиеся данные по доходностям являются выборкой из нормального распределения, произвольного неизвестного распределения, произвольного стареющего распределения и произвольного молодеющего распределения (часть реальных данных можно считать выборкой из молодеющего распределения). Основным показателем, по которому производилось сравнение оптимальных портфелей, использовалась апостериорная величина доходности оптимального портфеля, а также величина вероятности того, что доходность портфеля будет не меньше заданной. Для сравнения полученных в настоящем исследовании результатов с классическими использовались различные модели оптимального портфеля Марковица, Тобина, Блека, как с "длинными", так и с "короткими" позициями ценных бумаг. Анализ сравнения результатов формирования оптимальных портфелей позволяет сделать следующий вывод: оптимальные портфели, сформированные в соответствии с разработанной теорией, являются всегда более предпочтительными для инвестора по величине вероятности того, что доходность портфеля будет не меньше заданной величины и практически всегда по величине апостериорной доходности.
Верхние оценки молодеющей функции распределения доходности ценной бумаги
При решении конкретных задач автор опирался и использовал основные положения инвестиционной теории, элементы теории вероятностей и математической статистики, методов оптимизации, высшей алгебры. Информационную базу исследования составили данные торгов в "Российской торговой системе" (РТС); данные Регионального отделения Федеральной комиссий по рынку ценных бумаг в Центральном федеральном округе; публикации в экономических и компьютерных изданиях; материалы, размещаемые в сети Internet. Диссертация по своему содержанию соответствует пункту 1.4 паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики . Научная новизна диссертационного исследования заключается в решении научной проблемы разработки экономико-математических моделей и методов непараметрического анализа и формирования оптимального портфеля ценных бумаг с заданным уровнем доходности. В диссертационном исследовании получены и выносятся на защиту следующие результаты, содержащие элементы научной новизны. 1. Обобщенный подход к формированию оптимального портфеля ценных бумаг, отличающийся тем, что в нем учитывается реальная неполнота исходных данных о процессах изменения доходностей ценных бумаг; отсутствует необходимость построения множества эффективных портфелей и кривых безразличия (функции полезности), характеризующих склонность инвестора к риску; в качестве основного критерия, определяющего структуру оптимального портфеля ценных бумаг не используются частные характеристики доходности: риск (дисперсия доходности) и ожидаемая доходность (математическое ожидание доходности), а используется наиболее полная характеристика доходности - максимум вероятности того, что ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг не меньше заданного инвестором уровня доходности. 2.
Методология гарантированного оценивания функции распределения доходностей ценных бумаг в условиях неполных данных об их доходностях, представленных выборками малого объема от двух до нескольких десятков значений; оценивание функции распределения доходностей ценных бумаг осуществляется в классах непараметрических распределений: в классе произвольных распределений; в классе стареющих распределений; в классе молодеющих распределений. Для каждого из названных непараметрических классов распределений методическая схема оценивания функции распределения доходностей ценных бумаг заключается в нахождении оценок моментов распределения по имеющимся данным и последующем решении задачи нахождения гарантированных (верхних и нижних) оценок функции распределения на множестве распределений с заданными моментами, равными полученным оценкам моментов. 3.
Методы непосредственного сравнения ценных бумаг, основанные на сравнении случайных величин доходностей ценных бумаг в условиях неполных данных об их доходностях для различных комбинаций случаев известного (известного до параметров), неизвестного произвольного, стареющего и молодеющего распределения их доходностей; при этом данные методы базируются на результатах гарантированного оценивания функций распределения доходностей ценных бумаг 4. Теоретические положения и методы формирования оптимального портфеля ценных бумаг по критерию гарантированного максимума вероят ности того, что доходность портфеля будет не меньше заданной величины.
В частности, разработанный метод формирования оптимального портфеля для случая известных нормальных распределений обобщает классическую порт фельную теорию, которая является частным случаем этого результата. Методы формирования оптимального портфеля ценных бумаг в случаях неизвестного произвольного распределения их доходностей; неизвестного стареющего распределения их доходностей; неизвестного молодеющего распределения их доходностей являются дальнейшим развитием портфельной теории; они учитывают реальную неполноту исходных данных о доходностях ценных бумаг и базируются на результатах гарантированного оценивания их функции распределения. Практическая значимость работы заключается в том, что основные положения, выводы, рекомендации, методологические подходы диссертационного исследования могут быть использованы для выработки конкретных рекомендаций по совершенствованию инвестиционного процесса как институциональными, так и индивидуальными инвесторами.
Самостоятельное практическое значение имеют: алгоритмы определения нижних и верхних оценок функции распределения (дополнительной функции распределения) доходностей ценных бумаг по реальным данным изменения их доходностей для случаев неизвестного произвольного, неизвестного стареющего и неизвестного молодеющего распределений; алгоритмы непосредственного сравнения ценных бумаг на основе реальных данных изменения их доходностей для различных комбинаций случаев известного, неизвестного произвольного, неизвестного стареющего и неизвестного молодеющего распределений;
