Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Опционные контракты. рынок опционов 8
1.1. Спецификация и ценообразование опционов 8
1.2. Древовидные модели ценообразования опционов 15
1.3. Модель рынка опционов 23
ГЛАВА 2. Многоэтапное стохастическое программирование в модели управления портфелем опционов 30
2.1. Модели многоэтапного стохастического программирования . 30
2.2. Модель управления портфелем опционов 41
2.3. Дерево сценариев в модели управления портфелем опционов . 53
ГЛАВА 3. Имитационное моделирование процесса управления портфелем опционов 64
3.1. Динамическое управление портфелем опционов 64
3.2. Статическое управление портфелем опционов 76
3.3. Динамическое хеджирование базового актива опционами 84
Заключение 95
Список источников информации
- Древовидные модели ценообразования опционов
- Модель рынка опционов
- Модель управления портфелем опционов
- Статическое управление портфелем опционов
Древовидные модели ценообразования опционов
Подробное описание формул Блэка-Шоулса, их свойств, различных модификаций для определения справедливых цен опционов на акции, приносящие дивиденды, и на другие виды базовых активов дано, например, в [53]. Процедура аппроксимации цены американского опциона колл на акцию с помощью формул Блэка-Шоулса впервые предложена в [23]. Формулы Блэка-Шоулса для оценки справедливых цен европейских опционов на фьючерсные контракты на акции предложены в [24]. Современная теория ценообразования опционов в непрерывном времени, основанная на понятии мартингала, подробно рассмотрена, в частности, в [18], [19], [68]. 1.2. Древовидные модели ценообразования опционов
Наиболее простая дискретная модель, позволяющая оценить справедливую стоимость опциона, основывается на биномиальном дереве сценариев15. Рассмотрим европейский опцион на бездивидендные акции. Схемы определения справедливых цен опционов с помощью биномиального дерева, в том числе американских, на акции, приносящие дивиденды, и на другие виды базовых активов приведены, например, в [53].
Пусть цена акции в момент времени t = О, предшествующий моменту экспирации, равна S0. Текущую стоимость опциона на одну акцию обозначим через о. Предположим, что к моменту времени t = T цена акции может либо подняться до величины uS0, где и 1, либо упасть до величины биномиальное дерево сценариев продемонстрирована на рисунке 2 с помощью двухэтапного биномиального дерева сценариев. Этапы16 дерева соответствуют моментам времени t = 0 и t = Т. Узлы17 дерева соответствуют возможным состояниям цены акции.
Рассмотрим инвестиционный портфель, состоящий из длинной позиции по акциям в количестве А штук и короткой позиции по одному опциону, базовым активом которого является одна акция. Вычислим величину А, при которой портфель становится свободным от риска. Если цена акции вырастет, стоимость портфеля в момент времени t = T будет равна AuS0 — ои. Если цена акции снизится, стоимость портфеля в момент времени t = Т будет равна AdS0 - od. Приравняв эти две величины, получим:
Зная цены опциона в обоих узлах дерева в момент времени Т и используя формулы (21) и (22), можно получить текущую справедливую стоимость опциона. Положив, что момент времени t = T соответствует моменту экспирации опциона, можно определить его стоимость при различных ценах базового актива. Например, для опциона колл ou =max(0, uS0-K), a od =max(0, dS0-K), тогда стоимость опциона колл определяется по формуле: о = erT {р max(0, uS0 -К)+(і- p)max(0, dSQ - К)). (23) Несмотря на то, что при выводе формулы (21) не делалось никаких предположений о вероятности изменения цены акции, величину р естественно интерпретировать как вероятность роста цены акции. В этом случае величину 1 - р можно интерпретировать как вероятностью снижения цены акции, а выражение pou+(l-p)od представляет собой ожидаемую стоимость опциона. При такой интерпретации величины р из формулы (21) следует, что текущая справедливая стоимость опциона равна его ожидаемой стоимости дисконтированной по безрисковой процентной ставке.
Оценим ожидаемую доходность акции при условии, что вероятность роста ее цены равна р. Ожидаемая цена акции E(ST) в момент времени Т определяется следующим по формуле:
В риск-нейтральном мире инвесторы безразличны к риску, т.е. не требуют компенсации за риск, а ожидаемая доходность всех ценных бумаг соответствует безрисковой процентной ставке. Уравнение (26) демонстрирует, что, полагая вероятность роста цены акции равной р, мы предполагаем риск-нейтральный мир. Тогда из уравнения (21) следует, что стоимость опциона равна ожидаемой стоимости в риск-нейтральном мире, дисконтированной по безрисковой процентной ставке. Такой способ оценки опционов называется риск-нейтральным. Англ. risk-neutral world. Рассмотрим теперь биномиальное дерево, изображенное на рисунке 3, имеющее три этапа. В каждом из узлов дерева цена акции может, как и прежде, либо увеличиться с коэффициентом и, либо уменьшиться с коэффициентом d. Цены опционов в различных узлах дерева третьего этапа будем обозначать с помощью двух индексов, характеризующих путь, пройденный ценой базового актива. Тогда на третьем этапе, оии - цена опциона в узле с ценой базового актива u2S0, oud - цена опциона в узле с ценой базового актива udS0 = duS0, odd - цена опциона в узле с ценой Рисунок 3 - Трехэтапное биномиальное дерево сценариев базового актива d2SQ
Модель рынка опционов
Модели многоэтапного стохастического программирования34 помогают принимать решения в условиях неопределенности. В момент принятия решения учитывается возможность принятия в будущем новых управленческих решений по мере поступления новой информации. Первые работы в данном направлении относятся к 50-м годам XX века. Среди них можно выделить [20], [36], [92].
Обзор литературы, посвященной стохастическому программированию, и обзор истории развития данного направления дан, например, в [42]. На электронном ресурсе сообщества стохастического программирования [105] содержатся материалы, посвященные стохастическому программированию. Многостороннее описание теории стохастического программирования приводится в монографиях [22], [47], [56], [74], [82], [88].
Модели многоэтапного стохастического программирования получили широкое практическое применение с развитием вычислительной техники. Обзор практических приложений приведен, например, в [95]. Широкое распространение модели многоэтапного стохастического программирования получили в финансовом планировании, особенно при решении задач управления структурой активов и пассивов, называемых задачами АЛЛ4 5. Обзор некоторых применяемых на практике моделей многоэтапного стохастического программирования дан в [41]. Моделям АЛМ посвящена монография [100]. Задачи АЛМ рассматриваются также в [32], [37], [38], [39],
Англ. multistage stochastic programming. Asset-Liability Management - ALM. [48], [60], [99]. Первое успешное коммерческое применение моделей АЛМ на основе многоэтапного стохастического программирования относится к модели, рассмотренной в [27].
В моделях многоэтапного стохастического программирования управляемые переменные и ограничения разделены на группы, соответствующие различным моментам времени т = 1, ...,Т, называемым этапами36. Этап т = 1 соответствует настоящему моменту времени. Промежутки времени между соседними этапами не обязательно должны соответствовать определенным временным или календарным периодам. Этапы задачи многоэтапного стохастического программирования соответствуют моментам времени, в которые принимаются и реализуются управленческие решения.
Пусть х = (х1,...,хт) — множество, элементами которого являются решения, соответствующие различным этапам т = 1,..., Т. В общем случае хт является вектором действительных чисел. В момент принятия решения на этапах т = 1,..., Т-1 существуют факторы будущей неопределенности результатов принятых управленческих решений, которые носят случайный характер. С течением времени, от этапа к этапу, часть случайной информации становится известной. Пусть динамика факторов неопределенности описывается случайным процессом с дискретным временем = ( ,..., т). Состояние процесса в начальный момент времени известно. Закон распределения вероятностей в остальные моменты времени предполагается известным и не зависящим от принимаемого решения х. Ряд работ посвящен исследованию задач, в которых закон распределения точно не известен [40], [43], [44], [45], [46], [86], [87], [89]. Описанный порядок поступления новой информации определяет следующую последовательность принятия управленческих решений: - принятие решения хх в начальный момент времени; Англ. stage. - наблюдение значений факторов неопределенности 2, ставших известными к моменту времени, соответствующему второму этапу, и принятие решения х2; - наблюдение информации т, ставшей известной к моменту времени, соответствующему этапу Т, и принятие решения хт.
Через [ГьГ2] = (Гі,...,2) Vfa, ): Т! т2, тх,т2 =1,...,Т обозначим множество векторов г, которые станут известными за время, прошедшее с момента времени хх до момента времени г2. Тогда г] - это информация, которая станет известной за время, прошедшее от начального момента времени до момента времени т. Аналогично через [г г ] обозначим множество векторов решений хт, принятых с момента времени хх до момента времени г2. Важным условием в описанном многоэтапном процессе является то, что вектор решений хт должен зависеть только от информации, известной к моменту времени г, то есть от [і,ф а от информации, которая станет известной на более поздних этапах, зависеть может только неявно через знание закона распределения. определяет некоторый результат процесса управления /(х г], г]). Учитывая вероятностный характер , обычно ставится цель максимизировать или минимизировать ожидаемое значение результата управления в терминальный момент времени 1/(х[і т] [i T])J В условиях детерминированных ограничений:
Математическое ожидание результата управления - не всегда удовлетворительный критерий оптимизации. Его использование может вести к большому разбросу результата управления при максимальном ожидаемом значении результата. В [57] предложен критерий максимизации минимально допустимого с заданной вероятностью результата управления. В некоторых задачах целесообразно формулировать критерий оптимизации как вероятность того, что значение некоторой функции будет не меньше заданной. Такая задача относится к классу задач стохастического программирования с вероятностной целевой функцией.
Задача, в которой некоторые ограничения на этапе т = 2,..., Т должны выполняться с вероятностью меньше единицы, относится к классу задач стохастического программирования с вероятностными ограничениями37. Впервые вероятностные ограничения введены в постановку задачи принятия решения в условиях неопределенности в [31], [30], [29]. Монография [74] посвящена данному классу задач. Описание данного класса задач можно также найти в [73].
Модель управления портфелем опционов
Проведено имитационное моделирование управления портфелем опционов в соответствии с динамической моделью, предложенной во второй главе диссертации. Для простоты анализа рассматривалось обращение на рынке опционов только одного срока экспирации. Для моделирования были использованы входные данные, приведенные в таблице 3.
Обычно инвесторы выбирают инвестиционный период таким образом, чтобы его окончание приходилось на день экспирации опционов одного из месяцев экспирации. Был выбран инвестиционный период с 8-го по 21-й день одного месяца. Такой период позволил провести достаточное количество экспериментов за приемлемое время. По плану инвестора портфель должен был перестраиваться в 8-й и 15-й дни. Вследствие того, что в один из дней портфель мог перестать удовлетворять залоговым ограничениям биржи, были возможны внеплановые перестройки. В 21-й день закрывалась позиция по экспирирующимся опционам.
Дерево сценариев строилось по правилам, описанным ниже. Введем дополнительный индекс deD, где = {8,..., 21} - множество дней моделирования. Зависимость структуры дерева от номера текущего дня дается в таблице 4.
В дни с 8-го по 14-й дерево содержит 3 этапа. Этапы соответствуют текущему, 15-му и 21-му дням текущего месяца. В разные дни на дереве представлено разное количество сценариев вследствие разной длительности времени между этапами. Например, в 8-й день на дереве представлено 1015 сценариев. В дни с 15-го по 20-й дерево содержит 2 этапа, соответствующие текущему и 21-му дням. В 15-й день на дереве представлен 31 сценарий. Дерево сценариев, используемое в 8-й день, схематично изображено на рисунке 8.
Программа, позволяющая моделировать управление портфелем опционов, была разработана в среде разработки «MATLAB 7.9» [104]. Задача оптимизации (формула 67) - (формула 82) формулировалась и решалась в среде «IBM ILOG CPLEX Optimization Studio VI2.2» [107]. Была обеспечена автоматическая интеграция двух приложений с использованием консольной версии «IBM ILOG CPLEX Optimization Studio». В качестве буфера для обмена данными между приложениями использовалась база данных «Microsoft ACCESS». S108.00
Дерево сценариев в динамической модели управления портфелем опционов в 8-й день месяца Моделирование управления портфелем опционов в течение одного дня можно разделить на несколько шагов, описанных в таблице 5. В таблице также приведено примерное распределение затрат времени между различными шагами моделирования для 8-го дня. Моделирование проводилось на персональном компьютере с процессором Intel Pentium Dual-Core 2.20 GHz и объемом оперативной памяти 4Гб.
Моделирование управления портфелем опционов в течение одного дня Номер шага Содержание этапа моделирования Затраты времени 1 Расчет цен опционов и характеристик моделируемого портфеля в MATLAB. Формирование дерева сценариев. Определение цен опционов и других параметров рынка в узлах дерева. Экспорт данных о рынке в ACCESS. 5 мин. 2 Импорт данных о рынке из ACCESS. Решение задачи оптимизации солвером CPLEX. Экспорт результатов оптимизации в ACCESS. 3 мин. 3 Импорт результатов оптимизации из ACCESS в MATLAB. Обработка результатов оптимизации в MATLAB. 10 сек. Итого 8 мин. 10 сек.
Приведенные шаги моделирования реализуются в те дни, когда портфель опционов перестраивается. В остальные дни задача оптимизации не решается, и нет необходимости строить дерево сценариев. В такие дни лишь определяются характеристики портфеля с учетом изменившихся цен опционов. Следует отметить, что с 8-го по 14-й день дерево содержит максимальное количество сценариев, поэтому затраты времени в дни с 15-го по 21-й существенно меньше приведенных.
Практика использования солвера CPLEX показала, что при большом количестве сценариев скорость сходимости к оптимальному решению высоко чувствительна к начальным данным. Поэтому время решения задачи оптимизации в некоторых случаях может существенно отличаться. В 8-й день моделирования, когда дерево включало максимальное число сценариев, задача оптимизации имела следующую размерность: - количество переменных: 37106, в том числе 1015 булевых переменных; - количество ограничений: 54514.
Моделирование динамического управления портфелем опционов с 8-го по 21-й день одного месяца было проведено 300 раз. Общее время моделирования составило ==48 ч. Входные данные из таблицы 3 были одинаковыми для всех экспериментов. На рисунке 9 продемонстрированы результаты имитационного моделирования изменения цены базового актива в первых 200 экспериментах51. Геометрическое броуновское движение моделировалось с использованием генератора псевдослучайных чисел. На рисунке 10 продемонстрированы результаты имитационного моделирования динамического управления портфелем опционов на основе динамической модели - первые 200 из 300 траекторий изменения стоимости портфеля.
11 из 300 траекторий демонстрируют отрицательную доходность в терминальный момент времени, то есть стоимость портфеля опустилась ниже начальной стоимости, равной $100,00. При этом в некоторых экспериментах стоимость портфеля снизилась значительно, так в 9 экспериментах стоимость портфеля в терминальный момент опустилась ниже $90,00. В остальных экспериментах стоимость портфеля в терминальный момент времени больше или равна требуемой минимальной стоимости на инвестиционном горизонте $100,50. Средняя стоимость портфеля в терминальный момент времени составила $99,49.
Статическое управление портфелем опционов
Целью проведенного исследования являлась разработка модели оптимального управления портфелем опционов, учитывающей особенности реального биржевого рынка. Для достижения указанной цели был поставлен и решен ряд задач.
Разработана модель биржевого рынка опционов, отражающая его наиболее существенные особенности. На рынке обращаются европейские опционы разных сроков экспирации и разных страйков на один вид базового актива. Возможность торговли базовым активом отсутствует. Процесс изменения цены базового актива следует геометрическому броуновскому движению и, как следствие, изменение логарифма цены базового актива подчиняется нормальному распределению вероятностей. Рыночные цены опционов на предложенном рынке определяются по формулам Блэка-Шоулса для бездивидендных акций. При покупке или продаже опциона уплачивается комиссия. Важной частью модели биржевого рынка опционов является наличие требования гарантийного обеспечения портфеля опционов. Величина гарантийного обеспечения определяется в соответствие с первым шагом методики SPAN.
Построена динамическая модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями. Время в модели - величина дискретная. Модель включает возможность выбора уровней риска и доходности. Учитывает возможность будущей перестройки портфеля, транзакционные издержки и требование гарантийного обеспечения, определяемого в соответствие с методикой SPAN. Задача управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования сведена к задаче целочисленного линейного программирования.
Создана дискретная модель изменения цены базового актива опционов, лежащая в основе модели управления портфелем опционов - дерево сценариев. Дерево сценариев является аппроксимацией непрерывной модели изменения цены базового актива. С целью учета нелинейной зависимости стоимости портфеля опционов от цены базового актива шаг сетки дерева сценариев должен быть достаточно малым. Значения цены базового актива, соответствующие страйкам обращающихся опционов, должны быть представлены на дереве. Этапы дерева сценариев должны соответствовать дням, когда планируется перестраивать портфель. Предложено трехэтапное дерево сценариев, на основе которого формулируется задача оптимизации портфеля опционов приемлемой для практического применения размерности.
Ожидаемая доходность любого портфеля опционов на риск-нейтральном рынке соответствует безрисковой ставке процента. Поэтому систематическое получение прибыли от инвестиций в опционы выше этого уровня в длительной перспективе невозможно. Хеджирование осуществляется не систематически, а лишь в периоды предшествующие кризису или в периоды кризиса, когда возможность закрыть позицию по базовому активу отсутствует. В этом случае высока вероятность получения доходности выше безрисковой ставки процента, что отвечает интересам многих инвесторов. Разработанная модификация модели управления портфелем опционов обеспечивает возможность динамического хеджирования базового актива портфелем опционов и получения в период кризиса доходности выше безрисковой с высокой вероятностью.
Проведено имитационное моделирование управления портфелем опционов на основе динамической модели. Средняя стоимость портфеля в терминальный момент времени близка к начальной стоимости и несколько ниже ее вследствие наличия комиссии, уплачиваемой при совершении каждой сделки. Данный результат подтверждает, что ожидаемая доходность любого портфеля опционов на риск-нейтральном рынке соответствует безрисковой процентной ставке. Число экспериментов, в которых стоимость портфеля в терминальный момент времени была меньше требуемой минимальной стоимости, характеризующее наблюдаемый риск портфеля, несколько превысило их ожидаемое число. Причиной превышения являются возникшие при моделировании ситуации маржин-колл в дни, которые не были представлены на дереве сценариев, а также ограниченная точность аппроксимации непрерывного распределения вероятностей изменения цены базового актива деревом сценариев.
Для сравнения проведено имитационное моделирование управления портфелем опционов на основе статической модели. Сопоставление результатов показало преимущество динамической модели с точки зрения ожидаемого риска портфеля. Вследствие меньшего количества возникших ситуаций маржин-колл отклонение наблюдаемого риска от ожидаемого для динамической модели заметно ниже аналогичного показателя для статической модели. Таким образом, управление портфелем опционов на основе разработанной в диссертации динамической модели имеет преимущество над статическим управлением портфелем. Данное преимущество особенно значимо в условиях наличия на рынке требования гарантийного обеспечения. Также было проведено имитационное моделирование динамического хеджирования базового актива портфелем опционов, подтвердившее целесообразность использования предложенной модели.
Таким образом, достигнута цель исследования - разработана динамическая модель управления портфелем опционов. Доказано ее преимущество над статическим подходом к управлению портфелем опционов. К дальнейшим перспективным направлениям исследования задачи управления портфелем опционов относятся: с целью учета изменчивости безрисковой процентной ставки и волатильности, наблюдаемой на реальных рынках, разработка дискретной модели совместного поведения трех случайных факторов стоимости портфеля опционов: цены базового актива, безрисковой процентной ставки и волатильности; - учет в модели оптимизации портфеля опционов ненулевых спрэдов между котировками покупки и продажи опционов, возрастающих с ростом отклонения страйка опциона от текущей цены базового актива; разработка более эффективного алгоритма решения задачи оптимизации портфеля опционов.
