Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные направления и математические методы исследований рынка ценных бумаг
1.1 Фондовый рынок и реальный сектор экономики
1.2 Современное состояние и тенденции на РЦБ России 15
1.3 О критериях оптимальности управления портфелем ценных бумаг 22
1.4 Динамические модели процессов на рынке ценных бумаг 33
1.5 Обзор методик прогнозирования динамики финансовых инструментов 36
1.6 Бизнес на рынке ценных бумаг как управляемый случайный процесс 47
Глава 2. Модели оптимального управления портфелем ценных бумаг 50
2.1 Фундаментальный анализ фондового рынка как основа прогнозирования его долгосрочной динамики 50
2.2 Управляемые марковские процессы как инструмент оптимизации стратегий управления портфелем ценных бумаг 57
2.3 Основные предположения модели о механизме принятия решений по распределению капитала 69
2.4 Модель оптимального управления портфелем ценных бумаг с составным критерием 71
2.5 Метод обратной рекурсии при максимизации среднего дохода на капитал 74
2.6 Применение метода фейеровских приближений для решения задачи минимизации риска 76
2.7 Методика подбора многопериодного закона распределения курсов ценных бумаг 81
Глава 3. Исследование оптимальных стратегий управления портфелем ценных бумаг на основе предложенных методов 86
3.1 Общая вычислительная схема реализации предложенной методики 86
3.2 Сравнительный анализ предложенной динамической модели с моделью САРМ 88
3.3 Расчёты и анализ управления портфелем ценных бумаг из акций РТС 93
Выводы и предложения
Литература
Приложение 1. Таблицы
Приложение 2. Рисунки
Приложение 3. Программа ОСУП
- Современное состояние и тенденции на РЦБ России
- Динамические модели процессов на рынке ценных бумаг
- Управляемые марковские процессы как инструмент оптимизации стратегий управления портфелем ценных бумаг
- Сравнительный анализ предложенной динамической модели с моделью САРМ
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Пройдя несколько этапов своего становления и развития, к 2003 году российский фондовый рынок занял достаточно высокую позицию в экономической и политической жизни страны. Успешное развитие российского рынка ценных бумаг в настоящее время привело к тому, что не только банки и инвестиционные компании, но и небольшие предприятия и частные инвесторы обратили на него своё пристальное внимание в связи с возможностью получения дополнительного дохода. Широкое использование сети Internet сделало доступным участие небольших организаций и частных лиц в операциях на фондовом рынке. Относительная стабилизация экономической ситуации в России сделала привлекательными не только краткосрочные инвестиции, но и вклады среднего и длительного срока. В связи с этим, наряду с необходимостью разумного вложения капитала, возникает потребность в эффективном управлении им в течение определённого времени. Так как для большинства частных инвесторов управление портфелем является побочным видом деятельности, корректировка портфеля не может быть постоянной, а, следовательно, необходимо решать задачу пересмотра портфеля в некоторые, вполне определённые моменты. В этой связи важно разрабатывать не столько инструментарий для спекулятивных операций на фондовом рынке, сколько совершенствовать методы фундаментального анализа этого рынка для эффективного управления капиталом инвесторов с учетом прогнозируемых процессов в реальном секторе экономики. Всё вышеперечисленное обуславливает актуальность построения простых экономико-математических моделей управления инвестициями, ориентированных на широкий круг участников фондового рынка, не занимающихся профессионально игрой на фондовом рынке.
Степень разработанности проблемы. Вопросам оптимизации портфеля инвестора на финансовом рынке и прогнозирования курсов ценных бу-
5 маг посвящено множество теоретических и практических работ отечественных и зарубежных исследователей.
Основоположниками теории оптимизации портфеля ценных бумаг являются Г. Маркович, Д. Тобин, У. Шарп, Дж. Литнер, Дж. Моссин.
В настоящее время известен широкий спектр моделей и методов финансового менеджмента, актуарных расчетов, прогнозирования процессов на фондовых рынках и оценки стоимости ценных бумаг. Это в основном разработки зарубежных ученых для развитых финансовых рынков. Основные концепции зарубежных исследований нашли отражение в трудах экономистов, внесших заметный вклад в изучение фондовых рынков и в разработку портфельной теории: Ф.Блока, Э. Бредли, М. Гордона, Дж. Кемпбелла, Дж. Кох-рейна, М. Миллера, Р. Мюррея, Дж. Сороса, Р. Тьюльза, Е. Фамы, К.Френча и др.
Для развивающегося российского фондового рынка потребовались исследования, учитывающие существенную специфику рыночной трансформации российской экономики и в особенности ее сырьевой ориентации. Значительный вклад в исследования рынка ценных бумаг, становления и развития системы регулирования фондового рынка внесли российские ученые-экономисты: М.Ю. Алексеев, СВ. Арженовский, Г.И. Белявский, А.Н. Буренин, Г.В. Булычев, А.Г. Грязнова, ЯМ. Миркин, И.А. Наталуха, И.В. Павлов, А.Н. Первозванский, В.А. Перепелица, Е.В. Попова, Б.Б. Рубцов, А.Б. Фельдман, М.А. Федотов, Е.М.Четыркин, А.Н. Ширяев, М.А. Эскинда-ров и другие. В их работах освещены отдельные вопросы теории фондовых рынков, финансовой математики, экономико-математического моделирования и экономического анализа процессов в финансовом секторе экономики.
Вместе с тем в существующих разработках недостаточно внимания уделялось динамическим моделям процессов на фондовом рынке; слабо представлены методы поэтапного управления портфелем ценных бумаг. Не разработан инструментарий управления портфелем, в основе которого лежали бы хорошо изученные теория и методы управляемых марковских процес-
сов. Требуют совершенствования и сами постановки задач управления процессами размещения капитала в ценных бумагах в части уточнения критериев качества управления.
Актуальность и недостаточная разработанность указанных проблем определили выбор темы исследования, его цели и задачи.
Объектом исследования является финансовый сектор экономики.
Предметом исследования - экономические отношения и процессы управления капиталом инвесторов на фондовом рынке.
Цель и задачи диссертационного исследования. Целью проводимого исследования является разработка методологии и динамической модели процессов поэтапного управления портфелем ценных бумаг (на содержательном примере портфеля конкретных акций), методов и инструментария ее реализации с составным критерием качества управления. В соответствии с поставленной целью возникла необходимость в решении следующего комплекса взаимосвязанных задач, определяющих логику диссертационного исследования:
-построение двухкритериальной многоэтапной стохастической модели формирования портфеля акций и управления им в течение определённого периода времени в зависимости от уровня толерантности инвестора;
разработка алгоритма для решения поставленной задачи;
проверка практической реализуемости предложенной модели;
создание прикладного программного обеспечения для решения поставленной задачи;
- построение алгоритма решения полученной несобственной задачи
линейного программирования;
- разработка методики прогнозирования курсов выбранных акций в ви
де законов распределения.
Теоретические и методологические основы исследования. Теоретическую основу исследования составили труды отечественных и зарубежных учёных по методологии и экономическим приложениям теории вероятностей
7 и математической статистики, экономико-математическому моделированию,
эконометрике, теории финансов, теории и методам прогнозирования, а также - теории и методам нестационарных процессов математического программирования.
Работа выполнена в соответствии с п. 1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие методов финансовой математики и актуарных расчетов» паспорта специальности 08.00.13 «Математические и инструментальные методы экономики».
Инструментарно-методический аппарат. Для решения поставленных в работе задач использованы методы оптимизации, регрессионного анализа, градиентные методы фейеровских приближений, стохастического оптимального управления.
Информационно-эмпирическую базу исследования составили данные о динамике курсов акций российских эмитентов, участвующих в Российской Торговой Системе, а также данные о динамике изменения основных экономических и фондовых индикаторов Федеральной службы по финансовым рынкам России, Федеральной службы государственной статистики, Министерства финансов РФ.
Научная новизна диссертационной работы заключается в разработке математических моделей и инструментария оптимизации решений по управлению портфелем акций на основе теории управляемых марковских процессов с составным критерием, не предполагающих нормального закона распределения стоимости портфеля. Конкретное приращение научного знания состоит в следующем:
Построена двухкритериальная динамическая стохастическая модель управления портфелем акций, позволяющая находить оптимальные управления как на стадии формирования структуры портфеля в момент выхода на рынок, так и в процессе изменения условий на фондовом рынке.
Предложена в качестве критерия риска взвешенная по вероятности сумма квадратов отклонений от заранее установленной стоимости портфеля
8 по недобору, что даёт возможность отказаться от неадекватного реальности
предположения о нормальном законе распределения стоимости портфеля (в
отличии от моделей типа Марковица - Тобина).
Предложена модификация задачи управления портфелем акций на основе схемы управляемых марковских процессов, с учетом специфики управления (принятие текущих решений в соответствии с реальным состоянием процесса и возможными вариантами будущих его состояний), что позволило разработать специальный метод обратной рекурсии при поиске оптимальной стратегии.
Разработан алгоритм решения задачи с применением стохастических градиентных методов фейеровских приближений в сочетании с операторами проектирования, который минимизирует невязки при переходе от несовместной задачи.
Предложен и обоснован метод вероятностного прогнозирования динамики цен на рынке ценных бумаг на основе композиции моделей линейной множественной регрессии, трендовых и авторегрессионных моделей, что позволило учесть нелинейность процессов взаимодействия факторных и результативных характеристик системного процесса.
Предложенные модели и методы реализованы программно, что позволяет эффективно оперировать с предложенной методикой выработки и принятия решений в конкретных условиях. В общую вычислительную схему встроена авторская программа «Оптимизация стратегии управления портфелем ценных бумаг» (ОСУП), реализующая метод обратной рекурсии и алгоритм фейеровских приближений в сочетании с операторами проектирования.
Теоретическая и практическая значимость исследования.
Теоретическая значимость состоит в построении адекватной модели управления портфелем, учитывающей несимметричность распределения, разработке специального метода сочетания фейеровских приближений с операторами проектирования, позволяющего решать задачи минимизации специального вида.
Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы позволяют оптимизировать управление портфелем акций в среднесрочном режиме с использованием вероятностных прогнозов. Предложенные модели, методы и алгоритмы используются в учебном процессе ЮРГТУ при чтении курсов «Экономиико-математическое моделирование» и «Стохастическая оптимизация».
На защиту выносятся следующие результаты диссертационного исследования:
Двухкритериальная многоэтапная стохастическая модель формирования портфеля акций и управления им в течение определённого периода времени в зависимости от уровня толерантности инвестора.
Алгоритм, предполагающий модификацию поставленной задачи, позволяющий разбить задачу на две с противоречивыми критериями и последовательное их решение.
Алгоритм решения полученной несобственной задачи линейного программирования с применением дифференциального фейеровского оператора и операторов проектирования.
Разработка методики прогнозирования курсов выбранных акций в зависимости от поведения основных фондовых индикаторов в виде законов распределения.
Создание прикладного обеспечения для решения поставленной задачи на основе стандартных пакетов, авторских алгоритмических и программных разработок.
Апробация результатов исследования.
Основные положения и результаты диссертационной работы представлялись в виде докладов и получили положительную оценку на: II Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск, Кисловодский институт экономики и права, 23-25 апреля 1998г.); III Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск, Кисловодский институт
10 экономики и права, 1999г.); VI Всероссийской школе - коллоквиуме по стохастическим методам (г. Самара, 15-21 августа 1999г.); Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Санкт-Петербург, 26-29 июня 2000г.); VI Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (г. Новочеркасск, 27 января 2006г.).
Публикации. Основные результаты исследования отражены в опубликованных автором 8 печатных работах общим объёмом 2,24 п.л. (в том числе автора 2,22п.л.).
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, выводов и предложений, списка использованной литературы и приложений, Текст диссертации изложен на 116 страницах, включает 9 таблиц, 11 рисунков. Список использованной литературы содержит 118 источников.
Современное состояние и тенденции на РЦБ России
Финансовый рынок в рамках рыночной экономики является важным инструментом достижения макроэкономического равновесия, в частности, за счет обеспечения финансовой стабильности. Формирование эффективного внутреннего финансового рынка является важнейшим условием смягчения негативных воздействий со стороны мировых товарных и финансовых рынков. Интересам социально-экономического развития России в наибольшей степени отвечает наличие конкурентного национального финансового рынка. В пользу такого выбора говорит как мировой опыт, так и потенциальные масштабы роста экономики России. Финансовый рынок - это рынок, где товарами являются сами деньги и ценные бумаги. В соответствии с этими понятиями принято разделять финансовый рынок на денежный рынок и рынок капитала, а рынок капитала - на кредитный и фондовый рынки. Основными участниками фондового рынка являются: - эмитенты - предприятия и организации, привлекающие денежные ресурсы под размещение ценных бумаг; - финансовые посредники (брокеры и дилеры) - обладают соответствующими лицензиями, дающими им право осуществлять посреднические функции между эмитентами и инвесторами; - биржевой и внебиржевой рынки ценных бумаг - фондовые биржи и внебиржевые торговые системы соответственно; - инвесторы - юридические и физические лица, обладающие свободными денежными средствами и желающие их проинвестировать в ценные бумаги; - органы государственного регулирования и надзора - Министерство финансов, Центральный банк, Комиссия по ценным бумагам и др.; - саморегулирующиеся организации - профессиональные объединения финансовых посредников; - инфраструктура рынка ценных бумаг - консультационные и информационные фирмы, регистраторы, депозитарные и расчётно-клиринговые сети.
Рынок ценных бумаг в современной России начал формироваться около 10-12 лет назад. Возникновение РЦБ РФ было во многом обусловлено внеэкономическими причинами, что определило западную модель его формирования в условиях стагнирующеи экономики. Являясь составной частью мирового РЦБ, фондовый рынок РФ в то же время имеет свои особенности, связанные с рядом причин. Несмотря на его молодость, он пережил взлеты и падения, сравнимые по размаху с зарубежными рынками. Рост российского рынка за 9 месяцев 2005 года в полтора раза ставит его в число лидеров мирового фондового рынка. 28 сентября 2005 г. индекс РТС впервые в истории превысил отметку 1000 пунктов и в ходе торгов составил 1000,49. Таким образом, за период чуть более 10 лет (индекс начали рассчитывать с 1 сентября 1995 года) он вырос в десять раз. Это очень хороший результат, даже если исключить те потрясения, которые произошли в России за это время. Достаточно заметить, что индексы ныне развитых стран проходили путь от 100 до 1000 пунктов заметно медленнее. Так, например, появившийся в 1980 году индекс высокотехнологичных компаний NASDAC Composite увеличился на порядок за 15 лет 4 месяца, S&P 500 вырос в десять раз за 16 лет 4 месяца, а для старейшего фондового индекса Dow Jones Industrial Average этот путь занял и вовсе 58 лет. При этом неснижающиеся высокие объёмы торгов вновь показывают растущий спрос на российские ценные бумаги со стороны нерезидентов.
К несомненным недостаткам состояния дел на отечественном фондовом рынке следует отнести недостаточно высокую ликвидность российских ценных бумаг. Их вторичный рынок делает первые шаги своего развития. Относительно ликвидными ценными бумагами в России и по сей день, остаются акции предприятий сырьевой промышленности, ориентированной на экспорт. Несмотря на то, что на организованном рынке обращается более 90 акций российских компаний, сделки устойчиво концентрируются вокруг нескольких эмитентов. Сделки с 5 акциями первого эшелона составляют около 60% оборотов рынка. Повышению ликвидности российского рынка ценных бумаг существенно способствует усовершенствование технологий торговли (совершенствование клиринговых систем и т.д.), увеличение объемов торговли и эмиссии ценных бумаг, а также повышение прозрачности операций на нем. Необходимо повысить разнообразие инструментов, участников (ПИ-Фы, НПФы, инвестиционные банки, инвестиционные агентства, инвестиционные компании, рейтинговые агентства, управляющие компании, и т.д.) и технологий рынка, которые в ближайшее время могут сыграть ключевую роль в мобилизации сбережений населения.
Следует отметить, что современное развитие новейших информационных технологий привлекает к участию в торгах на рынке акций всё больше инвесторов. Интерактивный метод ведения торгов ценными бумагами позволяет получать информацию о рынке в режиме реального времени и посылать заявки на проведение той или иной финансовой операции своему брокеру через Интернет. Таким образом, фондовый рынок становится важным источником доходов граждан и небольших компаний, позволяя таковым участвовать в управлении корпорациями, так как акции предприятий стали доступны для любого потенциального инвестора, корпорации стали общественными: их совладельцем теперь может стать любой желающий. Однако, слабая информированность населения об особенностях развития фондового рынка, низкий уровень жизни населения России пока мешают в полной мере использовать социальную функцию фондового рынка.
В качестве благоприятных факторов следует отметить, что РЦБ РФ становится одним из элементов экономической политики государства, влияющих на привлечение внутренних и внешних инвесторов на долгосрочной основе. Важнейшими задачами рынка ценных бумаг России являются обеспечение гибкого межотраслевого перераспределения инвестиционных ресурсов, привлечение инвестиций на российские предприятия, создание условий для стимулирования накоплений и последующего их инвестирования. Для решения этих задач необходимо было создать надёжную правовую базу.
Динамические модели процессов на рынке ценных бумаг
Одной из интересных динамических моделей является модель формирования портфеля, приведённая в [59]. Авторами была разработана модель управления инвестиционным портфелем при минимизации ценового риска с учётом корреляций. На основе данных о динамике цен восьми российских корпораций была проведена её апробация. Алгоритм предусматривает формирование инвестиционного портфеля при одновременном учёте показателей доходности, рисков (отражаемых дисперсией) и корреляций рядов динамики цен. В результате на примере акций шести корпораций был сформирован инвестиционный портфель, который превосходил по критериям эффективности при заданных ограничениях по рискам рынок акций в целом (характеризуемый индексом РТС).
Веса, которые характеризовали эффективность включения акций каждого вида в портфель, в момент / представляли собой произведение множителей: 1) изменение цен бумаг /-й корпорации, 2) рисков бумаги /(определялись на основе дисперсий) и 3) коэффициента, косвенно характеризующего корреляцию между ценами бумаг.
Расчёты по предлагаемой модели позволили получить решение проблемы, которая заключалась, по-существу, в поиске лучших интегральных параметров кривой выбранного портфеля, чем кривой индекса РТС. Очевидно (так как индекс РТС включает в себя множество видов цен акций), что улучшить показатели дисперсии (рисков) очень сложно. Но удалось добиться примерно одинаковых значений дисперсий при лучшем значении средних темпов роста стоимости портфеля.
Если мы хотим при определении и измерении риска принять во внимание только вероятности нежелательных результатов инвестирования, то какие альтернативы возможны? Простейшим ответом является вероятность «недобора». Она измеряет шансы на то, что доходность ценной бумаги окажется ниже ожидаемой доходности.
Более сложные измерения риска получения доходности ниже ожидаемой производятся с помощью семейства статистических данных, известных как частичные моменты низких порядков. Например, средний недобор измеряет среднее отклонение доходности ценной бумаги вниз от ожидаемой доходности.
Полудисперсия является аналогом дисперсии, если в её вычислении используются только те возможные доходности, которые лежат ниже ожидаемой доходности.
Лукашин Ю.П. в тезисах третьей Всероссийской школы - коллоквиума [65] предлагает за основу расчёта показателя риска взять только отрицательные скачки доходности, измеренные в двух соседних точках выборки. Он определяет риск доходности как вероятность падения нормы доходности, умноженную на математическое ожидание величины этого падения. Далее находят структуру инвестиций, которая максимизирует отношение средней доходности к риску, посредством решения системы линейных неоднородных уравнений при ограничении, что сумма долей инвестиций в различные ценные бумаги равна единице. Возможны две модификации метода. Первая состоит в том, чтобы использовать адаптивные процедуры для вычисления средних доходностей и риска. Это позволяет корректировать структуру портфеля на каждом шаге продвижения во времени. Вторая предполагает по 35 лучение более подробной информации о законе распределения доходности применением адаптивной гистограммы.
В работе [28] предлагается подход к решению одного класса многошаговых оптимизационных задач финансовой математики, основанный на модификации исходного целевого функционала типа ожидаемого терминального дохода. Новый критерий получается дисконтированием терминального дохода последовательностью положительных случайных величин, не зависящей от выбора управления и определяемой некоторой фиксированной, так называемой « близорукой » политикой управления. Показано, что для модифицированной задачи при определённых условиях монотонности и вогнутости именно близорукая политика является оптимальной в классе всех допустимых политик.
Рассматривается скалярная управляемая Марковская цепь на конечном интервале времени, заданная разностным, вообще говоря, нелинейным уравнением Xt+l = F(t,Xt,ut, !;t)j = 0,...,Т-\,XQ = x0, t - независимые случайные величины. Цель управления - максимизировать терминальный критерий J[K] = EU(XT)(TJXG U(X) есть заданная функция полезности) по множеству всех допустимых политик ж = {U0(X0),...,UT_I(XQ )} є П, где ut принадлежит заданным множествам Atx допустимых решений. Будем называть Марковскую политику к = {и0{х),...,ит_]{х)} близорукой, если каждая компонента ut(x) в момент t максимизирует среднее следующее значение процесса Ell(Xt+]JXt = х] вплоть до точки / = Г-1, в этот последний момент принятия решения ит_х(х) максимизирует финальную полезность E[U{XT)\XT_,=x\.
Таким образом, близорукая политика, вычисление которой относительно просто и не требует решения уравнения Беллмана, оказывается оптимальной для специальным образом дисконтированного исходного критерия.
Максимизация прибыли и минимизация риска на конечный момент времени являются наиболее употребляемыми, но не единственными критериями управления портфелем ЦБ. Довольно большое число работ посвящено тем или иным временным критериям управления. Так, в работе [86] предлагается в качестве такого критерия взять получение стабильного дохода в течение определённого срока (т.е. максимизировать так называемый денежный поток) или получение максимума прибыли к заданному моменту времени / .
Также в зависимости от целей инвестора в качестве критерия оптимальности может быть выбрано получение максимальной прибыли на каждом временном интервале, независимо от предыдущих и последующих этапов.
Управляемые марковские процессы как инструмент оптимизации стратегий управления портфелем ценных бумаг
Теория управляемых случайных процессов марковского типа - достаточно хорошо разработанный раздел теории случайных процессов [10, 40, 67, 108]. Оптимизация управлений марковскими процессами в приложении к экономике подробно рассматривается в работах [40, 49, 67]. Вместе с тем в выработке и реализации оптимальных стратегий управления портфельным капиталом эти методы не применялись.
Как известно, марковским называется случайный процесс, ход которого, начиная с любого фиксированного момента t, зависит только лишь от состояния его в момент / и складывающихся после этого момента условий, т.е. не зависит от его хода до момента t. Для процесса управления стоимостью портфеля ЦБ это означает, что для фиксированного момента t принятия решений необходимо знать цены и количество ценных бумаг в портфеле, а также - динамику факторов, формирующих цены активов после момента /. При этом предполагается, что предшествующая моменту t полезная информация о процессах на фондовом рынке и в экономике в целом уже сконцентрирована в ценах акций на момент /. Кроме того предшествующая информация должна наиболее полно использоваться также при прогнозировании процессов изменения факторов после момента t. Поскольку принятие решений о корректировке структуры портфеля происходит не непрерывно, то будем говорить здесь о дискретных по времени процессах. Случайный процесс формирования стоимости портфеля ценных бумаг является системным (сложным) процессом, так как, во-первых, он складывается из случайных процессов динамики стоимостей нескольких ценных бумаг, во-вторых, цены каждой ЦБ формируются в ходе многих процессов динамики определяющих их факторов.
Рассмотрим принципы действия управлений на ход и результаты системного случайного процесса. Предполагаем, что реализации системного случайного процесса наблюдаются в конце каждого интервала времени t и в этот же момент принимаются управляющие решения на следующий интервал времени t +1.
С каждой допустимой (в смысле (4)) траекторией Г (5) будет связана реализация Ф(г) суммарного экономического эффекта от процесса, прошедшего путь Г. Из (5)-(6) видно, что реализация Ф(г) зависит как от состояний, через которые проходит процесс, так и от управлений им на отрезке ,Т\. А из выражения (3) и соответствующих матриц переходных вероятностей РІХІІХ ), t = 1,2,...,Г, следует, что от управлений зависят также и условные вероятности реализации траектории Г. Это значит, что математическое ожидание суммарного за Т шагов эффекта от хода процесса существенно определяется выбором управлений {Xt} Q . Для выбора критерия качества управления важно также и то, что финальная стоимость портфеля Ф Г) является случайной величиной, закон распределения которой (Фг) также зависит от стратегии управления портфельным капиталом {Xt }t Q.
Как известно, классическая портфельная теория рассматривает статические задачи оптимизации портфеля ценных бумаг. Это значит, что оптимальное решение ищется для какого-то фиксированного момента, например, финального момента Т, или в среднем для интервала Т, для которого прогнозируется вероятностное распределение суммарного эффекта і\,(фу).
Из этих постановок задачи мы видим, что при управлении портфелем инвестор преследует две важные цели: получить как можно больший доход от операций на фондовом рынке; в максимальной степени гарантировать получение дохода в условиях случайно складывающихся на рынке ситуаций с ценами ЦБ.
В варианте А максимизируется математическое ожидание дохода при условии (условие 3), что вероятность получить доход меньше, чем доход при оптимальном управлении, не превышает заранее заданной величины Р0.
В Варианте Б минимизируется вероятность того, что доход будет меньше, чем доход при оптимальном управлении [7 ], при условии, что при этом величина математического ожидания дохода будет не меньше, чем фиксированная величина Ф.
После этого рассмотрим подробнее смысл исходных условий задачи, содержание принимаемых оптимальных решений и критерии оптимизации в динамических постановках.
Сопоставляя задачу управления портфелем ценных бумаг (1) - (6) в терминах теории управляемых марковских процессов со статическими постановками, мы видим, что динамический подход существенно богаче по своему содержанию, чем статический подход (Рисунки 2.1 и 2.2). В статическом подходе используется «сжатая» информация о процессах, происходящих на фондовом рынке и в экономике в целом. Прогнозы и оценки ситуаций осуществляются лишь на один фиксированный момент принятия решений. В динамическом подходе в каждый момент принятия решений f = 0,1,2,...Г-1 можно уточнять информацию, корректировать прогнозы, учитывать воздействие управлений на предыдущих шагах принятия решений. В статическом подходе принимается одно решение на весь период, поэтому оно неизбежно должно быть усредненным, менее точным. В динамическом варианте проявляется влияние решений в промежуточных моментах между начальным и конечным моментами периода управления процессом.
Схема управления портфелем ЦБ в статическом подходе Наконец, динамические критерии оптимальности принимаемых решений точнее по реальному содержанию разнообразнее по вариантам. В динамическом подходе остаются те же цели управления, определяющие интересы инвестора: максимум дохода и минимум риска своим капиталом.
Поэтому в динамических задачах учитываются реализации дохода инвестора по ситуациям и по временным интервалам; математическое ожидание дохода по интервалам времени и для финального момента периода управления; распределение вероятностей дохода; дисперсии дохода. В нашем динамическом подходе мы предлагаем новые критерии риска и приемы их учета в оптимизации управлений (п.п. 2.3.-2.6.).
Сравнительный анализ предложенной динамической модели с моделью САРМ
Рассмотрим портфель, состоящий из четырёх активов: акций трёх типов А, В,С и свободных денежных средств. Рассмотрим четыре условных периода. Конец последнего - терминальный момент, в который рассчитывается итоговая стоимость портфеля. Пусть на рынке капитала в указанные промежутки времени возможно возникновение одной из 10 ситуаций.
Пусть у инвестора имеется сумма в 100 рублей. В качестве ограничивающей суммы также примем сумму в 100 рублей. Решив задачу минимизации на основе фейеровских приближений, получим оптимальное начальное распределение: (31,83; 22,52; 45,65; 0), при котором математическое ожида 90 ниє стоимости портфеля равно 117,767; вероятность недобора ограничивающей суммы - 0,103; левая полудисперсия - 17,705.
Найдём оптимальное начальное распределение для данного портфеля ценных бумаг на основе модели САРМ. Для этого на основании матрицы коэффициентов роста и матрицы вероятностей, перебором всех возможных наборов ситуаций, составим закон распределения доходностей каждой ценной бумаги. Математические ожидания доходностей равны соответственно; Wj =0,292, т2 =0,234, w3 =0,262, w4 =0. В качестве доходности рыночного портфеля рассмотрим среднюю арифметическую по взятым трём ценным бумагам. Определим вклад, в риск портфеля каждой ценной бумаги, вычислив /3 - коэффициенты для каждой их них. Получим: Д =1,308, /?2 = 1,137, /?з = 0,556 /?4 - коэффициент наличных денег равен нулю. Таким образом, акции типа А и В являются агрессивными, акции типа С являются оборонительными. Для всего портфеля акций /? - коэффициент рассчитывается как взвешенная средняя значений бета индивидуальных ценных бумаг: Рр Р\ х Щ + Piх w2 + Ръх w3 + А х w4 где Wj - доля капитала, приходящаяся на / - ю ценную бумагу. Тогда w\ + w2 + Щ + w4 1 а математическое ожидание: тр = тх щ + т2 w2 + т3 w3 + т Щ. Так как одной из рыночных мер риска портфеля является его /З - коэффициент, потребуем, чтобы это коэффициент был минимальным.
Пунктирная линия соответствует модели САРМ, сплошная - модели ОСУП. Сравнительная диаграмма вероятностей недобора приведена на рисунке 3. 100 110 117,8 120 ограничивающая сумма.
Следует отметить, что предложенная нами модель даёт лучшие результаты относительно модели САРМ в том случае, если издержки по управлению между этапами невелики, т.е. областью применения модели является устойчивый финансовый рынок, на котором разница между курсами покупки и продажи является небольшой.
Для обеспечения ликвидности портфеля рассмотрим ценные бумаги, обращающиеся на фондовой бирже «Российская торговая система». По данным газеты «Коммерсант - Дейли» в таблице 1 Приложения 1 представлены еженедельные курсы покупки ценных бумаг восемнадцати российских эмитентов в период с 02.04.03 по 14.04.04. Руководствуясь соображениями, высказанными в пункте 2.7, составим корреляционную таблицу для указанных эмитентов, для чего воспользуемся встроенным пакетом анализа данных Microsoft Excel. Полученные данные представлены в таблице 2 приложения 1. Для каждой ценной бумаги находим уравнение линейного тренда, также воспользовавшись Microsoft Excel. Угловые коэффициенты, показывающие общую тенденцию изменения курсов каждой акции, представлены в таблице 3.2.
Число эмитентов выбрано небольшим, чтобы не загромождать расчёты по модели. Шестой ценной бумагой, как было условлено ранее, будем считать непосредственно наличные деньги. Следует отметить, что модель практически не усложняется, если имеющиеся денежные средства помещены на банковский счёт под определённый процент, при условии, что в любой из рассматриваемых моментов пересмотра портфеля они могут быть как свободно сняты с этого счёта, так и добавлены на него.
Спрогнозируем курсы основных фондовых индикаторов. В качестве прогнозной модели, как было сказано выше, выбираем модель Бокса-Дженкинса ARIMA(p,d,q). Модель ARIMA применима только к стационарным временным рядам. Однако, из рисунков 1-3 приложения 2 видно, что данные по выбранным нами факторам обладают явно выраженным трендом. Рассмотрим временные ряды, составленные из первых разностей предыдущих рядов. Указанные ряды приведены на рисунках 4-6 приложения 2. Из рисунков следует, что данные ряды являются стационарными. Так как стационарные ряды получены для всех факторов по первым разностям, параметр d модели ARIMA(p,d,q) выбираем равным 1. Для подбора параметров р и q воспользуемся автокорреляцией и частичной автокорреляцией исходных временных рядов.
Характер данных коррелограмм указывает на существенное влияние предыдущего момента времени и плавное затухание влияния по мере отдалённости момента. Для такого поведения наилучший прогноз даёт модель с р=1, q=0. Таким образом, будем осуществлять прогнозирование при помощи модели ARJMA( 1,1,0). Предположим, что портфель будет пересматриваться раз в неделю. Терминальным моментом является конец четвёртой недели.
Воспользовавшись полученными уравнениями, найдём /, по имеющимся статистическим данным для t = 3,4,...,55. После чего находим д/, =/;-/ и составляем эмпирический закон распределения Лу по каждому фактору. Переходя к /, = /, - kfi, получим законы распределения курсов каждого фактора для моментов времени / = 56,57,58,59, т.е. первого, второго, третьего, четвёртого моментов пересмотра портфеля.
Зная уравнения множественной регрессии для каждого типа выбранных нами акций, находим законы распределения их цен для каждого этапа, перебирая все возможные значения факторов в различных комбинациях с соответствующими вероятностями, предполагая при этом независимость случайных величин факторов. Полученные законы распределения представлены в таблице 4 приложения 1. Для нахождения коэффициентов изменения для первого момента времени возьмём отношения всех спрогнозированных курсов к курсу нулевого момента времени по каждой ценной бумаге. Для последующих моментов будем брать отношения спрогнозированных курсов на / +1 -й момент времени к математическому ожиданию курса в момент времени t. Законы распределения коэффициентов изменений представлены в таблице 5 приложения 1.
