Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основы Теории опционных контрактов 7
1.1 Понятие опциона. История развития опционов как финансовых инструментов. Виды опционных контрактов 7
1.2. Недостатки модели DCF при оценке инвестиционных проектов. Оценка активов методом реальных опционов как альтернатива модели DCF 13
1.3 Реальные опционы и менеджмент компании 18
Выводы по 1-й главе 29
Глава 2. Существующие методы оценки опционных контрактов и их анализ 33
2.1. Обзор методов оценки опционов 33
2.2. Модель Блэка-Шоулза оценки опционных контрактов и анализ параметров модели 40
2.3. Исследование взаимосвязи параметров модели Блэка-Шоулза 44
2.4. Биномиальная модель оценки опционных контрактов 52
Выводы по 2-й главе 55
Глава 3. Построение моделей оценки стоимости ПС с учетом стоимости опционов 57
3.1. Концепция оценки стоимости ПС с учетом стоимости опционов 57
3.2. Построение модифицированной опционной модели оценки стоимости ПС на основе модели Блэка-Шоулза 63
3.3. Построение модифицированной опционной модели оценки стоимости ПС на основе биноминальной модели 70
3.4. Тождественность параметров «премия за риск» и «стоимость опциона», использование этих параметров в управлении проектами 74
3.5. Инвестиционно-финансовые решения и многоуровневые опционы 79
3.6 Негативные последствия использования опционных методов в производственной деятельности компаний 83
Выводы к 3-й главе 89
Глава 4. Применение модифицированных опционных моделей оценки ПС в практике работы ИТ-компаний 91
4.1. Новый программный продукт kVASy автоматизации управления предприятием ЖКХ и его продвижение на рынок программных продуктов 91
4.2. Расчет опционов и реальной стоимости kVASy на основе модифицированных моделей разработки и продвижения на рынок ПС 109
Выводы к 4-й главе 113
Заключение 114
Список использованной литературы
- Недостатки модели DCF при оценке инвестиционных проектов. Оценка активов методом реальных опционов как альтернатива модели DCF
- Модель Блэка-Шоулза оценки опционных контрактов и анализ параметров модели
- Построение модифицированной опционной модели оценки стоимости ПС на основе модели Блэка-Шоулза
- Расчет опционов и реальной стоимости kVASy на основе модифицированных моделей разработки и продвижения на рынок ПС
Введение к работе
Программные системы широко используются в различных отраслях производства и услуг. Их созданием и продвижением на информационный рынок занимаются крупнейшие мировые компании. Разработка и продвижение на рынок программных систем связана со значительными трудовыми, временными и стоимостными ресурсами. Использование этих ресурсов требует экономического обоснования.
Проекты по выведению на рынок программных систем, как правило, характеризуются повышенным уровнем рисков и неопределенности. Этот факт делает применение традиционных методов оценки инвестиционных проектов (методов, основанных на расчете чистой приведенной стоимости) в данном случае не всегда применимыми, поскольку они не могут учесть все потенциальные возможности, связанные с проектом, угрозы, а также влияние на проект решений менеджмента компании в процессе его исполнения. Иными словами не учитывается влияние опционов, содержащихся в данных проектах.
Преодоление этих недостатков связано с разработкой и внедрением теории полезности, основы которой созданы фон Нейманом и Моргенштерном, и использованием опционных моделей Блэка-Шоулза и биноминальной.
В последнее десятилетие опционные методы получили распространение в западных странах при оценке стоимости не только финансовых, но и реальных активов в самых различных сферах производственной деятельности.
Опционные методы направлены на оценку «возможности» («управленческой гибкости», «стоимости прав»), которые возникают в процессе разработки и реализации программных систем. Однако эти методы пока не получили в российской теории и практике достаточной известности и распространения. Из сказанного вытекает актуальность данной темы исследования.
Диссертационная работа является попыткой применения опционной теории к оценке стоимости программных систем и формирования оптимальных портфелей заказов. В области разработки и продвижения программных систем выполняются все предпосылки применимости теории опционов: проекты характеризуются высокой степенью непредсказуемости, постоянно появляются новые и обновляются существующие информационные технологии, менеджмент консалтинговых компаний имеет исключительное влияние на изменение проекта практически на любом его этапе.
Цель диссертационного исследования состоит в анализе, обобщении и систематизации теории и методов оценки стоимости опционов, внедрении опционных методов в теорию и практику оценки программных систем и, в частности, в оценку стоимости разработки и продвижения программной системы kVASy на рынок предприятий ЖКХ.
Для реализации намеченной цели в диссертационной работе поставлены следующие задачи:
• проанализировать в историческом аспекте теорию развития опционов как финансовых инструментов, определить сущность понятия «опцион» и обосновать необходимость использования опционной теории для оценки реальных активов;
• выявить близость и отличия финансовых и реальных опционов, определить условия, соблюдение которых необходимо для корректного использования опционной теории;
• рассмотреть наиболее значимые методы оценки стоимости опционов (метод Блэка-Шоулза и биномиальный метод), выяснить условия применимости этих методов, определить сущность показателей моделей и показать взаимосвязи между ними.
• исследовать теоретические проблемы адаптации опционных моделей к оценке стоимости реальных активов и предложить методы и способы получения параметров, необходимых для реализации моделей;
• использовать модель оценки стоимости Блэка-Шоулза и биноминальную модель, построенные применительно к оценке акций, для оценки стоимости опционов, возникающих в процессе разработки и продвижения на информационный рынок программной системы kVASy;
• определить опционы, сопровождающие разработку и продвижение на рынок программных систем и использовать их при построении опционных моделей на возможность изменения масштабов заказа;
• показать возможности использования опционной оценки стоимости проектов при формировании портфеля заказов и сопровождающих их опционов;
• построить опционные модели оценки стоимости разработки и продвижения на рынок программной системы kVASy, предназначенной для предприятий ЖКХ, и провести экспериментальную проверку моделей при выводе на рынок программного продукта в компании ОАО «Оптима иКСчейндж Сервисез» (OXS).
Научная новизна исследования состоит в следующем:
1. Предложен и распространен опционный подход к оценке реальной стоимости программных систем и формирования оптимальных портфелей заказов, включающий расчет дисконтированной стоимости проекта; выявление опционов в проекте; расчет оценки стоимости опциона; расчет реальной дисконтированной стоимости проекта; выбор сценария продвижения на рынок программной системы.
2. Применена модель Блэка-Шоулза оценки стоимости опциона на расширение масштабов заказа программной системы kVASy, даны новая трактовка и подходы расчета показателей модели.
3. Разработаны методические основы построения биноминальной модели оценки стоимости опциона и предложен алгоритм расчета опциона на расширение объема заказа программной системы kVASy.
4. Разработана базовая модель формирования заказов и распределения их выполнения во времени, основывающаяся на использовании оценки стоимости опционов, и определены возможности ее расширения за счет включения дополнительных условий: ограничений на взаимоисключение проектов; зависимость проектов друг от друга; перенесение потоков денежных средств на будущие периоды времени.
5. Разработана модель формирования оптимального портфеля опционов, включающая возможность нового инвестирования, нового займа, эмиссии акций, выплаты дивидендов, расширения номенклатуры разрабатываемых проектов.
Практическая значимость работы. Разработаны конкретные предложения по внедрению опционных методов оценки стоимости реальных активов, внедрена в эксплуатацию опционная модель оценки стоимости разработки и продвижения на информационный рынок программной системы kVASy, предназначенной для автоматизации типовых бизнес-процессов предприятий ЖКХ.
Апробация работы проводилась в консалтинговой компании ОАО «Оптима иКСчейндж Сервисез» (OXS) - одной из крупнейших (5-е место по рейтингу журнала Эксперт за 2006г.) консалтинговых компаний, занимающихся системной интеграцией.
Недостатки модели DCF при оценке инвестиционных проектов. Оценка активов методом реальных опционов как альтернатива модели DCF
Самым распространенным методом оценки инвестиционных проектов на сегодняшний день является метод дисконтированных денежных потоков (DCF). Это стандартный метод, он начинается с подготовки прогноза движения денежных средств и расчета денежных поступлений, остающихся в распоряжении инвесторов (акционеров, кредиторов и др.). Прогноз составляется на некоторый срок (обычно от 5 до 10 лет), зависящий от характеристик оцениваемого объекта.
Все прогнозируемые будущие потоки денежных средств приводятся к дате оценки путем дисконтирования, т.е. умножения их на понижающий коэффициент, отражающий требуемую инвестором доходность капитала и риск оцениваемого проекта.
Таким образом, вычисляется чистая приведенная стоимость (NPV), являющаяся суммой дисконтированных денежных потоков всего горизонта планирования инвестиционного проекта. Предполагается, что чем выше NPV, тем более привлекательными будут рассматриваемый проект или предприятие для инвестиций. Отрицательное значение NPV говорит о том, что проект или предприятие не удовлетворяют критерию инвестиционной привлекательности по критерию альтернативной стоимости (т. е. с точки зрения денежных потоков существует более выгодное размещение средств).
Расчет коэффициента дисконтирования является сложнейшей и важнейшей частью работы по оценке. Чаще всего в качестве коэффициента дисконтирования используется средневзвешенная доходность капитала предприятия или минимально приемлемая для акционеров доходность на инвестиции.
На практике очень часто коэффициент дисконтирования искусственно занижается, с тем, чтобы учесть так называемую «стратегическую значимость» проекта.
В результате такой субъективной «коррекции» оценка часто завышается и теряет всякую связь с реальностью, детальное прогнозирование движения денежных средств перечеркивается волюнтаристским выбором коэффициента дисконтирования.
Примерно с середины 70-х годов, с развитием практики корпоративных финансов, совершенствованием математического аппарата экономических расчетов, этот метод стал подвергаться серьезной критике. Его очевидным недостатком является статичность, «консервативность» рассматриваемой инвестиционной ситуации: денежные потоки «фиксируются» в момент планирования на весь горизонт существования инвестиционного проекта, т. е. предполагается, что в момент планирования денежные потоки, связанные с проектом, определены и заранее известны, что, безусловно, некорректно в большинстве случаев. Для того, что бы хоть как-то учесть этот недостаток классического метода анализа инвестиционных проектов, инвестиционные аналитики часто прорабатывают несколько сценариев развития проекта, например «пессимистичный», «оптимистичный» и «наиболее вероятный», но данный подход не решает вопроса — мы просто рассматриваем несколько статичных вариантов развития событий вместо одного.
Возвращаясь к процедуре выбора ставки дисконтирования денежных потоков - на практике модель САРМ может являться основой оптимизации портфеля внутрифирменных инвестиций, однако использование как основы расчета ставки дисконтирования имеет ряд недостатков: статистическая ошибка расчета, необоснованное использование параметра компании как параметра проекта (в случае использования в качестве ставки дисконтирования параметра средневзвешенной стоимости капитала компании — WACC), игнорирование потенциала дальнейшего развития проекта.
Сложность учета неопределенности в NPV, точнее — выбор соответствующей риску ставки дисконтирования, стала для ряда авторов [13, 9] даже объяснением спада долгосрочных инвестиций в ряде экономик западноевропейских стран в 80-х годах. Среди иных распространенных проблем в использовании NPV авторы [13, 9] называют следующие: неправильный учет инфляции, игнорирование возможных в будущем кардинальных решений менеджмента, существенно влияющих на успех инвестиций.
Несмотря на вышеназванные недостатки, исследования степени распространенности NPV выявили, что среди западных компаний до 70% (преимущественно крупных компаний с биржевой котировкой) являются приверженцами этого статического метода распределения инвестиционных средств. При этом до 60% исследованных компаний применяет единую ставку дисконтирования - единый рисковый барьер — для всех рассматриваемых инвестиционных проектов, в чем одна из причин неточности результатов распространенного сегодня на практике подхода NPV.
С точки зрения принятия динамических управленческих решений, ценность модели DCF также является низкой. Стандартная модель DCF не предоставляет рекомендаций по действиям в тех или иных условиях в будущем и не учитывает возможности изменения плана действий в случае, если условия изменятся. Как отмечает Майкл Мобуссин [23] из «CS First Boston», стандартный метод DCF основан на допущении, что в течение всего срока прогнозирования руководство будет механически действовать в соответствии с разработанным на дату оценки прогнозом движения денежных средств, что бы там ни происходило с компанией и вокруг нее.
Модель Блэка-Шоулза оценки опционных контрактов и анализ параметров модели
Модель Блэка-Шоулза - одна из самых известных моделей оценки опционных контрактов. Она была впервые представлена широкой публике в 1973 году в Jornal of Political Economy [7] . Блэк и Шоуэлз получили общую формулу оценки стоимости европейского опциона «колл» — оценки премии за риск: С = S N(di) - K e-rT N(d2), где _\n(S/K) + (r + a2 /2) Т ал/Т С — премия европейского опциона «колл»; S — цена базового актива; К — цена исполнения; Т — время, оставшееся до момента исполнения опциона; г — безрисковая процентная ставка; а - стандартное отклонение цены базового актива; N(d) - функция логнормального распределения.
Первоначально модель была разработана для оценки премии за риск европейских опционов и американских опционов «call», не выплачивающих дивиденды. В основу своей формулы ученые положили концепцию формирования безрискового портфеля активов, чья динамика стоимости не зависит от динамики курса акций. В своей работе ученые рассматривали портфель, состоящий из акций и опциона.
При выводе формулы для оценки опциона ученые зафиксировали все переменные (процентные ставки, отсутствие распределения доходов по акциям и т.п.), оставив зависимость цены опциона только от цены акции и времени. Изначально при получении формулы рассматривался европейский тип опциона. Опционный контракт - срочный контракт, поэтому величина премии должна уловить поведение курса акции. Для целей вероятностной оценки стоимости базового- актива в модели используется логнормальное распределение.
Ключевым моментом, позволившим вывести формулу оценки опционного контракта явилось понимание того, что можно искусственно воссоздать опцион; используя комбинацию «финансовый актив; лежащий в основе опциона - денежный займ». Такого рода репликативный портфель, состоящий из базового актива и денежного займа характеризуется.основным параметром - дельтой опциона или, иначе, коэффициентом хеджирования.
Важнейшей характеристикой, применяемой при оценке опционов, является «дельта», опциона. Дельта (А) опциона вычисляется как отношение разброса возможных цен опциона и разброса возможных цен базового финансового актива: А = (разброс цен опциона)/(разброс цен акции) Численно этот параметр выражает количество единиц- финансового актива, которые необходимо использовать для копирования опциона. Пример: Текущая цена акции = 100$ Цена исполнения опционного контракта =110$ Процентная ставка по заемным средствам = 10% годовых Предположим, что в конце периода цена акции может принять два возможных значения: остаться неизменной и повыситься до 115$. Доход от инвестиций в акцию с использованием кредита идентичен покупке трех опционов «колл», т. е.: Стоимость трех опционов «call» = стоимость акции — банковский кредит =100-90,9 = 9,1$ Л = (5-0)/(15-0) =1/3 Таким образом: Стоимость опциона = А х (Цена акции — Банковский Кредит).
Анализируя формулу, можно сказать, что ценность опциона тем выше, чем больше такие переменные как текущий курс акций S; изменчивость этого курса, измеренная стандартным отклонением «сигма»; безрисковая процентная ставка «г»; временной интервал «t», продолжающийся до момента погашения опциона; и вероятность использования этого производного инструмента (эта вероятность при нейтральном отношении субъектов к риску оценивается функцией «N» стандартного логнормального распределения), а таюке чем меньше цена использования опциона «К». Все параметры рассмотренного уравнения наблюдаются на практике за исключением «сигмы», которую приходится оценивать на основании рыночных данных.
В формуле нет ожидаемого дохода по акции. Цена опциона как функция цены акции является независимой от ожидаемого дохода по этой акции. Этот подход является следствием принципа формирования портфеля, нейтрального к риску, в этой ситуации ожидаемый доход на базовые активы является одинаковым и равняется безрисковой ставке. В свою очередь, ожидаемый доход по опциону будет зависеть от ожидаемого дохода по акции: чем быстрее происходит рост цены акции, тем быстрее будет возрастать цена опциона.
Модель Блэка-Шоулза является базовой моделью, поэтому более подробно рассмотрим параметры модели в из взаимосвязи.
Напомним модель Блэка-Шоулза: С = S N(di) - K e"rT N(d2), где _, \n(S/K) + (r + (T2/2) T dl= т Параметры С, S, К, N(d), G, T, г во взаимосвязи друг с другом образуют новую систему параметров, характеризующие разные стороны опционного ценообразования. 1. Коэффициент дельта ГА) измеряет отношение изменения цены опциона к изменению цены актива. Для опциона "call" формула расчета коэффициента имеет вид: A = C/S = N(d) для опциона "put" - следующий вид: A = P/S = C/S-l=N(d)-l
По сути, коэффициент А - производная формула Блэка-Шоулза по курсу акции. Дельта дает сумму (в денежных единицах), на которую изменилась цена опциона при изменении цены акции на одну денежную единицу.
Если опцион котируется согласно рассчитанной по формуле Блэка-Шоулза нормальной величине, то при изменении курса акции на одну единицу, цена опциона изменится на величину А. Если цена опциона превышает эту нормальную величину, то можно сделать вывод о том, что опцион будет медленнее расти и быстрее падать, чем это показывает коэффициент
Построение модифицированной опционной модели оценки стоимости ПС на основе модели Блэка-Шоулза
В модели параметр К характеризует затраты на разработку и продвижение ПС на рынок. Эти затраты эквивалентны цене исполнения опциона. Лежащей в основе этого предпосылкой является то, что затраты в развитие информационного продукта остаются постоянными в текущих денежных единицах и что любая неожиданность, связанная с ПС, отражается в приведенной стоимости. Таким образом, приведенные затраты на осуществление проекта в модели (3.1) есть цена исполнения в модели Блэка-Шоулза.
В структуре затрат, связанных с внедрением информационных технологических решений, выделяют предпроектные затраты и затраты на внедрение проекта.
Предпроектные затраты представляют собой единовременные расходы на постановку, разработку алгоритмов и программ, локализацию программной версии. В них входят затраты на заработную плату проектировщиков и программистов с отчислениями в фонды социального страхования и во внебюджетные фонды, затраты, связанные с использованием машинного времени на разработку и оплату программ, накладные расходы, связанные с проектированием и оплатой автоматизированной системы.
Затраты на реализацию проекта в общем случае включают затраты на приобретение или дооборудование вычислительной техники и локальных вычислительных сетей, на приобретение пакетов прикладных программ и операционных систем без учета платы на добавленную стоимость и специального налога, а также затраты по подготовке и переподготовке кадров. Переменные затраты на этом этапе — это в основном заработная плата с соответствующими отчислениями проектной команды.
Параметр S — приведенная стоимость ожидаемых денежных потоков от внедрения ПС в модели (3.1) тождественен базовому активу в модели Блэка-Шоулза. Основные поступления ожидаются от продажи ПС и отдельных технологий в предприятии ЖКХ.
Параметр Т показывает время жизни опциона, т.е. срок истечения опциона, он заканчивается вместе с окончанием срока выполнения проекта на запланированном уровне. Инвестиции, сделанные после истечения его действия, имеют нулевую чистую приведенную стоимость.
Параметр g есть дисперсия будущих денежных доходов, предполагается, что она не изменяется в течение срока жизни опциона. Это положение приемлемо для опционной оценки краткосрочных активов. Маловероятно, чтобы дисперсия оставалась постоянной в течение продолжительного периода. Это обстоятельство необходимо учитывать. Дисперсия будущих доходов от проекта тождественна волатильности в модели Блэка-Шоулза. Волатильность в этой модели показывает, насколько может измениться стоимость акции в единицу времени. Она легко определяется на основе статистической информации прошлых лет.
Определить же волатильность изменения стоимости проекта практически невозможно, поскольку неопределенность изменения реального актива в большей степени определяется колебаниями нормы доходности проекта. В таком случае более рационально использовать отраслевой подход к оценке инвестиций. Ведь прежде, чем определиться с конкретным проектом, инвестор выбирает отрасль, в которой в данный момент наиболее предпочтительно осуществлять инвестиции. При этом примерно известно, какая доходность соответствует типичному инвестиционному проекту в данной отрасли. Тогда процесс капитализации вложений можно описать детерминированным образом ( dS=ju S dt, а изменение нормы доходности проекта считать процессом стохастическим: dju=u(/u) dt + Gf/ dX
Здесь (Гц - волатильность изменения нормы доходности для данной отрасли, которая может быть установлена путем использования экспертных оценок, и(/л) - некоторая функция, определяющая предполагаемые тенденции изменения доходности проекта, например, сезонные колебания доходности отрасли. В начальный момент величину д. можно определить как внутреннюю норму доходности проекта. Далее, допуская в рамках данного проекта наличие инвестиционного опциона, позволяющего, например, осуществлять дополнительные инвестиции, можно сделать следующее предположение: темп роста стоимости такого опциона будет равен темпу изменения внутренней нормы доходности проекта:
Расчет опционов и реальной стоимости kVASy на основе модифицированных моделей разработки и продвижения на рынок ПС
Чистая реальная приведенная стоимость системы kVASy, с учетом опциона: NPV реальный = - 323459 +822522 = 499063 долл. Так как NPVP 0, то система проект по внедрению системы kVASy может быть реализован. l Теперь рассмотрим использование биноминальной модели для оценки стоимости опциона.
Для того что бы вычислить опцион на изменение масштаба (расширение) проекта следует построить дерево решений. В качестве интервала времени, временного шага, выберем временной промежуток — 1 год. Точка реализации опциона на расширение в проекте наступит в момент начала коммерческой эксплуатации проекта — после этапов разработки и тестовой эксплуатации — через 2 года после начала.
Используя формулы (3.2): р = (QxprAt- d)/(и - d) Находим: u = exp(0,5 l) = 1,6487; d = 0,6065; p = (ехр Л - d) I {и -d) = 0,4446
Через два года с момента старта проекта (выход на этап коммерческой эксплуатации) суммарная приведенная стоимость денежных поступлений, рассчитанная за 3-5 годы: PV3-5 = 2 352 612 дол. Это значение используется в качестве базового актива при реализации биноминальной модели.
Дерево решений выглядит следующим образом — Рис. 4.2 — (в узлах верхнее значение — стоимость проекта, нижнее значение - стоимость опциона,- млн. дол.). Расчет осуществляется начиная вычисления с конца дерева.
Точное значение стоимости опциона на расширение проекта, полученного биномиальным методом: С = 998 354 дол. Чистая реальная приведенная стоимость системы kVASy, с учетом опциона: NPV реальный = - 323459 + 998354 = 674895 долл.
Таким образом оба метода — Блэка-Шоулза и биномиальный показали, что учет опциона в составе проекта приводит к качественно новому пониманию инвестиционного проекта: из убыточного проект превращается в прибыльный и подлежит включению в инвестиционный портфель компании.
Методы дали хотя и различные в абсолютном значении результаты, но близкие по своему смыслу и значению. Различие происходит из-за того, что при реализации биномиального метода был выбран достаточно большой временной шаг. Согласно теории, при уменьшении шага расчета результаты методов сближаются, но при этом трудоемкость расчетов возрастает в геометрической прогрессии. Так, для расчета данного проекта биномиальным методом с временным интервалом (шагом) в один месяц потребовалось бы создание специальной обрабатывающей программы.
Основной вывод из всего выше сказанного состоит в том, что концепция реальных опционов, находящаяся на стыке экономики, математики и права, имеет огромный потенциал. Освоение этого потенциала сопоставимо по масштабу и сложности решаемых задач с тем, что несло в свое время освоение экономистами математического программирования.
Принимая во внимание, что сфера применения этой методики практически неограниченна и везде, где есть неопределенность, можно найти реальные опционы, уже через три-четыре года количество компаний, взявших на вооружение этот метод, значительно возрастет.Как было показано в предыдущем пункте, проект по локализации системы kVASy для российского рынка является потенциально невыгодным (согласно традиционной методике оценки). В нем, возможно, имеется занижение реальной рентабельности проекта вследствие недооценки его ценности, выражающейся в появлении новых управленческих возможностей (опционов).
Инвестиционный проект по локализации и промышленной эксплуатации системы kVASy является высокорисковым и для него характерна высокая степень неопределенности.
В рамках данного проекта можно выделить опцион на расширение масштабов проекта. В данные момент сложно сказать будет ли данный программный продукт пользоваться спросом. Следовательно, с учетом отрицательного NPV менеджеры фирмы должны отказаться от его реализации. Однако фирма может через год отказаться от реализации проекта, если будет найдено недостаточное количество потенциальных заказчиков пилотных проектов. Опцион на отказ от проекта, дающий право продать денежные потоки проекта, начиная с определенного момента времени, дает компании возможность прервать проект, в случае негативной рыночной ситуации. При этом компания может распродать все имеющиеся в ее распоряжении активы или использовать эти активы для других проектов, получив в обоих случаях определенные компенсирующие выплаты.
Для оценки возможностей проекта, т.е. оценки с учетом опциона на отказ, рассмотрим использование модифицированной модели Блэка-Шоулза и биноминальной модели. Эти модели представлены в главе 3. Значения параметров, необходимых для реализации модифицированных моделей представлены в таблице 4.1
