Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Управление финансовыми активами . 12
1.1. Виды финансовых инструментов инвестирования капитала и их особенности 22
1.2. Формирование портфеля финансовых инвестиций 19
1.3. Оперативное управление портфелем финансовых инвестиций. Управление рисками финансового инвестирования капитала
1.4. Функции полезности и измерение степени неприятия риска... 40
Глава 2. Моделирование оптимального размещения капитала в рисковые активы при постоянных инвестиционных возможностях 44
2.1. Анализ модели полного финансового рынка с непрерывным временем методами стохастического динамического программирования
2.2. Моделирование портфельного и потребительского выбора инвестора, характеризующегося постоянным относительным неприятием риска
2.3. Сравнение теоретических предсказаний построенной модели с эмпирическими данными 61
Глава 3. Моделирование оптимальных портфельных стратегий с учетом промежуточного потребления в стохастических условиях 66
3.1. Экономико-математическая модель инвестирования и потребления. Свойства оптимальных стратегий 68
3.2. Оптимальное решение задачи инвестирование-потребление при функции полезности инвестора с постоянным относительным неприятием риска
3.3. Оптимальные стратегии инвестирования и потребления при многомерной переменной состояния
3.4. Анализ оптимальных стратегий инвестирования и потребления для аффинных моделей краткосрочной процентной ставки и рисковой премии
Глава 4. Стратегии оптимального хеджирования процентного риска облигациями 94
4.1. Моделирования оптимального размещения капитала в акции и облигациями с учетом реальной стохастической динамики краткосрочных процентных ставок
4.2, Анализ оптимальных стратегий инвестирования и потребления и калибровка модели к статистическим данным
Заключение 112
Литература 116
- Формирование портфеля финансовых инвестиций
- Моделирование портфельного и потребительского выбора инвестора, характеризующегося постоянным относительным неприятием риска
- Оптимальное решение задачи инвестирование-потребление при функции полезности инвестора с постоянным относительным неприятием риска
- Анализ оптимальных стратегий инвестирования и потребления и калибровка модели к статистическим данным
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Финансовое инвестирование непосредственно связано с формированием инвестиционного портфеля. Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) характеризуются нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями различной природы. В таких условиях традиционная портфельная теория (модель САРМ) и классические методы финансовой математики, представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого инвестиционного портфеля по задаваемым критериям соотношения уровня его ожидаемой доходности и риска (характеризуемого дисперсией доходности), оказываются неадекватными.
Кроме того, инвестирование неотделимо от потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность не только из конечного капитала в конце инвестиционного периода, но и из промежуточного потребления в различные моменты времени), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды, что также не может быть учтено в рамках классической теории. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности с учетом стохастической эволюции параметров инвестиционной среды.
Достоверные количественные результаты, касающиеся определения оптимальных стратегий инвестирования в рисковые финансовые инструменты и потребления в стохастических условиях, позволяющих агенту финансового рынка непрерывно реструктурировать портфель, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей финансового инвестирования в непрерывном времени с учетом функций полезности инвестора. Эти и определяется актуальность диссертационного исследования.
Степень изученности проблемы. Количественный анализ и прогнозирование финансового состояния фондовых рынков базируется на финансовом менеджменте, финансовой математике и финансовой эконометрике. Вопросы управления использованием капитала в процессе финансового инвестирования рассматривались в трудах зарубежных и отечественных ученых. Большой вклад в теорию и практику финансового менеджмента внесли Бирман Г., Блауг М., Блех Ю., Брейли Р., Бригхэм Ю., Гетце У., Гитман Л., Дамари Р.,. Дебре Ж., Друри К., Ирвин Д., Карлин Т., Коллас Б., Колб Р., Курц X., Крушвиц Л., Ли Ч., Маркович Г., Маршалл Д., Майерс С, Мертон Р., Миддлтон Д., Миллер М., Модильяни Ф., Моргенштерн О., Нейман Д., Перар Ж., Самуэльсон П., Тобин Д., Шарп У., Шим Д., Эрроу К. Среди отечественных ученых следует отметить Балабанова И.Т., Бланка И.А., Ефимову О.В., Ковалева В.В., Поляка Г.Б., Стоянову Е.С., Тренева Н.Н., Хоминич И.П.
Большой вклад в развитие таких разделов финансовой математики, как теория ренты, измерение доходности финансовых инструментов, анализ производственных инвестиций и измерителей финансовой эффективности, анализ финансовых рисков внесли российские и зарубежные ученые: Алексеев М.Ю., Башарин Г.П., Капитоненко В.В., Кардаш В.А., Касимов Ю.Ф., Кутуков В.Б., Перепелица В.А., Попова Е.В., Четыркин Е.М., Аким Э., Браун С, Бригхэм Ю., Гапенски Л., Джордан Н., Карлберг К., Кочович Е., Паррамоу К., Уотшем Т„ Шим Д. Математические основы анализа стохастических процессов в финансах разрабатывались Гнеденко B.C., Колмогоровым А.Н., Макаровым В.Л., Марковым А.А., Мельниковым А.В., Новиковым А.А., Павловым И.В., Прохоровым Ю.В., Ширяевым А.Н. Из иностранных ученых отметим Винера Н., Ито К., Као X., Карни Е., Маковского Л., Мандельброта Б., Маркуса С, Муна Ф., Поляка Б., Сигела Д., Фукушиму М., Хо У.
Сформировавшись буквально в последние два десятилетия, финансовая эконометрика является в настоящее время одной из наиболее
бурно развивающихся областей эконометрики. Среди российских и зарубежных ученых, разрабатывающих эконометрические методы анализа и прогнозирования в теории и практике финансов, следует отметить Андерсена Т., Боллерслева Т., Диболда Ф., Ингла Р., Кэмпбелла Дж., Тейлора С, Хансена С, Макарова В., Айвазяна С, Эфрона Б.
В то же время, несмотря на большое количество публикаций в области моделирования и анализа финансовых рынков и оптимизации финансового портфеля, многие проблемы далеки от разрешения и находятся в стадии обсуждения. В большинстве известных исследований проблемы оптимального финансового инвестирования задача решается численно (Барберис Н., Брандт М., Бреннан М., Бэлдаззи П., Висейра Л., Ким Т., Кэмпбелл Дж.), что не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение и проследить влияние на него параметров инвестиционной среды и функции полезности (предпочтений) агента финансового рынка.
Теоретическая и практическая значимость моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения параметров инвестиционной среды и определили тему и постановку задач диссертационного исследования.
Предмет и объект исследования. Предметом диссертационного исследования является оптимальное размещение капитала в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде фондового рынка с учетом промежуточного потребления. Объектом исследования является инвестиционный портфель финансового инвестора.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является построение моделей и решение динамических задач оптимального инвестирования (с учетом промежуточного потребления) на финансовом рынке, характеризующемся стохастичностью инвестиционной среды. Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:
разработка экономико-математических моделей, позволяющих рассчитывать оптимальные доли капитала, размещаемого в рисковые финансовые инструменты с учетом стохастических изменений их цен, ожидаемые доходностеи, вариационно-ковариационной матрицы доходностеи, а также стохастической динамики краткосрочной процентной ставки;
исследование свойств оптимальных стратегий инвестирования и потребления;
моделирование и анализ оптимальных стратегий потребления инвестора с заданной функцией полезности (соответствующих инвестиционным стратегиям) с учетом того, что инвестор извлекает полезность из конечного капитала и/или промежуточного потребления;
моделирование и анализ оптимального размещения капитала в рисковые активы при постоянных инвестиционных возможностях;
построение оптимальных стратегий хеджирования процентного риска в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления при общей стохастической динамике краткосрочной процентной ставки и цен рисковых активов;
анализ оптимального спроса на хеджирование и эффективности хеджирования процентного риска акциями и облигациями. Анализ оптимального инвестирования в спекулятивную и в хеджирующую части портфеля в зависимости от коэффициента относительного неприятия риска инвестора;
построение облигации с непрерывным купоном, оптимально хеджирующей стохастические изменения краткосрочной процентной ставки для инвестора, извлекающего полезность из промежуточного потребления и конечного капитала.
Теоретическая и эмпирическая база исследования. Диссертационное исследование основано на фундаментальных разработках отечественных и зарубежных ученых-экономистов по проблемам
финансовых инвестиций, фондового рынка, экономической теории благосостояния, теории полезности, методам стохастического оптимального управления.
Информационно-документальной базой исследования являются законодательные акты РФ; решения и нормативные акты Правительства Российской Федерации, Министерства финансов РФ и Центрального банка России, регулирующие деятельность фондового рынка, статистические данные Центра по исследованию ценных бумаг США (CRSP), а также собственные расчеты автора.
Представленное диссертационное исследование выполнено в рамках п. 1.6 "Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие методов финансовой математики и актуарных расчетов" паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.
Методы исследования. В диссертации, в рамках системного подхода, использовались различные методы и приемы экономического исследования: математического моделирования, стохастического оптимального управления, решения и анализа обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений, графический и расчетно-конструктивный.
Научная новизна диссертационной работы заключается в комплексном подходе к моделированию и анализу оптимальных стратегий инвестирования и потребления в стохастической инвестиционной среде. Конкретное приращение научного знания характеризуется следующими положениями:
- построена модель финансового инвестирования, позволяющая проанализировать оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастической динамики цен рисковых активов и стохастической эволюции параметров инвестиционной среды. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) как функции рисковых премий,
волатильностей цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора, ' позволяющие агенту финансового рынка непрерывно реструктурировать портфель (максимизируя свою полезность) в соответствии. со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями; исследованы свойства оптимальных стратегий инвестирования и потребления;
при функции полезности инвестора с постоянным относительным неприятием риска разработан метод определения замкнутых оптимальных решений инвестирования и потребления в широком классе стохастических моделей эволюции параметров инвестиционной среды. Проведен анализ целесообразности хеджирования рисков, связанных с меняющимися инвестиционными возможностями, и доказано, что инвестору с аддитивной по времени функцией полезности следует хеджировать только стохастические изменения краткосрочной процентной ставки и квадрата рисковых премий;
выведены и исследованы оптимальные стратегии инвестирования и потребления при постоянных краткосрочной процентной ставке и ожидаемых доходностях активов. Доказано, что оптимальная инвестиционная стратегия состоит в поддержании части капитала, инвестированного в каждый актив, постоянной во времени (заметим, что это условие требует постоянной корректировки портфеля, поскольку цена активов меняются с течением времени);
при достаточно общей стохастической динамике краткосрочной процентной ставки (описываемой уравнением Орнштейна-Уленбека) и цен рисковых активов (индекса акций и облигаций) построены оптимальные стратегии хеджирования процентного риска в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления. Доказано, что спрос на хеджирование включает только облигацию, .так что облигации являются более подходящим инструментом хеджирования процентного риска, чем акции. С увеличением коэффициента
относительного неприятия риска инвестора оптимальное инвестирование в спекулятивную часть портфеля снижается, а в хеджирующую облигацию -увеличивается; отношение долей капитала, вложенного в облигации и акции, растет с увеличением относительного неприятия риска инвестора;
доказано, что если инвестор извлекает полезность только из конечного капитала, то наиболее эффективным инструментом хеджирования процентного риска является облигация с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта инвестора. Инвестор, характеризующийся логарифмической полезностью (нейтрально относящийся к риску), не хеджирует против изменения инвестиционных возможностей. Хеджирующая позиция инвестора с меньшим коэффициентом относительного неприятия риска отрицательна, в то время как более осторожный инвестор занимает длинную позицию по облигации. Инвестор с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска размещает весь свой капитал в облигацию с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта;
доказано, что для инвестора, извлекающего полезность из промежуточного потребления, оптимальным инструментом хеджирования стохастических изменений процентной ставки является облигация с непрерывным купоном, динамика которой определена аналитически.
Практическая значимость исследования. Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы ориентированы на решение тактических и стратегических задач при осуществлении участниками финансового рынка управления финансовым инвестированием в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде. Рассчитанные в диссертации в аналитическом виде составляющие оптимального портфеля позволяют инвесторам реструктурировать портфель при различных инвестиционных горизонтах в соответствии- со стохастически меняющимися рисковыми премиями, волатильностями цен рисковых активов и краткосрочными
процентными ставками. Проведенный анализ целесообразности хеджирования рисков, связанных со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями, позволил установить, что инвестору с аддитивной по времени функцией полезности следует хеджировать только стохастические изменения краткосрочной процентной ставки и квадрата рисковых премий по рисковым активам. Построенные в диссертации оптимальные стратегии хеджирования процентного риска в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления, позволяют инвестору наиболее эффективно занимать хеджирующие позиции по облигации с непрерывным купоном или облигации с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта.
Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором на V и VI Всероссийских симпозиумах «Математическое моделирование и компьютерные технологии», (г. Кисловодск, 2002, 2004), региональных научных семинарах «Методология системных исследований в гуманитарных отраслях науки» (г. Волгоград, г. Кисловодск, г. Нальчик, 2002-2005 г.г.), Всероссийской научно-практической конференции «Механизмы эффективного управления в рыночной экономике» (г. Кисловодск, 2004), Всероссийском симпозиуме «Экономическая психология: проблемы и перспективы» (г. Кисловодск, 2004), Международном симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск, 2005).
Публикации. Основные результаты исследования отражены в опубликованных автором 6 печатных работах общим объемом 3,5 п.л.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Текст диссертации изложен на 127 страницах, включает 5 таблиц, 5 рисунков. Список использованной литературы содержит 153 источника.
Формирование портфеля финансовых инвестиций
Современное финансовое инвестирование непосредственно связано с формированием "инвестиционного портфеля". Оно базируется на том, что большинство инвесторов избирают для осуществления финансового инвестирования более чем один финансовый инструмент, т.е. формируют определенную их совокупность. Целенаправленный подбор таких инструментов представляет собой процесс формирования инвестиционного портфеля.
Инвестиционный портфель представляет собой целенаправленно сформированную совокупность финансовых инструментов, предназначенных для осуществления финансового инвестирования капитала в соответствии с разработанной инвестиционной политикой.
Главной целью формирования инвестиционного портфеля является обеспечение .реализации основных направлений политики финансового инвестирования капитала путем подбора наиболее доходных и безопасных финансовых инструментов. С учетом сформулированной главной цели строится система конкретных локальных целей формирования инвестиционного портфеля, основными из которых являются [33, 45, 46, 47, 141]: 1) обеспечение высокого уровня формирования инвестиционного дохода в текущем периоде; 2) обеспечение высоких темпов прироста инвестируемого капитала в предстоящей долгосрочной перспективе; 3) обеспечение минимизации уровня инвестиционных рисков, связанных с финансовым инвестированием капитала; 4) обеспечение необходимой ликвидности инвестиционного портфеля; 5) обеспечение максимального эффекта "налогового щита" в процессе финансового инвестирования капитала.
Перечисленные конкретные цели формирования инвестиционного портфеля в значительной степени являются альтернативными. Так, обеспечение высоких темпов прироста инвестируемого капитала в долгосрочной перспективе в определенной степени достигается за счет существенного снижения уровня формирования инвестиционного дохода в текущем периоде (и наоборот). Темпы прироста инвестируемого капитала и уровень формирования текущего инвестиционного дохода находятся в прямой связи с уровнем инвестиционных рисков. Обеспечение необходимой ликвидности портфеля может препятствовать включению в него как высокодоходных, так и низкорисковых финансовых инструментов инвестирования.
Альтернативность целей формирования инвестиционного портфеля определяет различия политики финансового инвестирования капитала инвестором, которая в свою очередь предопределяет конкретный тип формируемого инвестиционного портфеля.
Рассмотрим современные подходы к типизации инвестиционных портфелей, обеспечивающих реализацию конкретных форм политики управления использованием капитала инвестором. По целям формирования инвестиционного дохода различают два основных типа инвестиционного портфеля - портфель дохода и портфель роста.
Портфель" дохода представляет собой инвестиционный портфель, сформированный по критерию максимизации уровня инвестиционной прибыли в текущем периоде вне зависимости от темпов прироста инвестируемого капитала в долгосрочной перспективе. Иными словами, этот портфель ориентирован на высокую текущую отдачу инвестиционных затрат, невзирая на то, что в будущем периоде эти затраты могли бы обеспечить получение более высокой нормы инвестиционной прибыли на вложенный капитал.
Портфель роста представляет собой инвестиционный портфель, сформированный по критерию максимизации темпов прироста инвестируемого капитала в предстоящей долгосрочной перспективе вне зависимости от уровня формирования инвестиционной прибыли в текущем периоде. Иными словами, портфель роста ориентирован на обеспечение высоких темпов роста рыночной стоимости предприятия (за счет прироста капитала в процессе финансового инвестирования), так как норма прибыли при долгосрочном финансовом инвестировании всегда выше, чем при краткосрочном. Формирование такого инвестиционного портфеля могут позволить себе лишь достаточно устойчивые в финансовом отношении инвесторы.
По отношению к инвестиционным рискам различают три основных типа инвестиционного портфеля - агрессивный (спекулятивный) портфель; умеренный (компромиссный) портфель и консервативный портфель. Такая типизация портфелей основана на дифференциации уровня инвестиционного риска (а соответственно и уровня инвестиционной прибыли), на который согласен идти конкретный инвестор в процессе финансового инвестирования капитала.
Агрессивный (спекулятивный) портфель представляет собой инвестиционный портфель, сформированный по критерию максимизации текущего дохода или прироста инвестированного капитала вне зависимости от сопутствующего ему уровня инвестиционного риска. Он позволяет получить максимальную норму инвестиционной прибыли на вложенный капитал, однако этому сопутствует наивысший уровень инвестиционного риска, при котором инвестированный капитал может быть потерян полностью или в значительной доле.
Умеренный (компромиссный) портфель представляет собой сформированную совокупность финансовых инструментов инвестирования, по которому общий уровень портфельного риска приближен к среднерыночному. Естественно, что по такому инвестиционному портфелю и норма инвестиционной прибыли на вложенный капитал будет также приближена к среднерыночной.
Консервативный портфель представляет собой инвестиционный портфель, сформированный по критерию минимизации, уровня инвестиционного риска. Такой портфель, формируемый наиболее осторожными инвесторами, практически исключает использование финансовых инструментов, уровень инвестиционного риска по которым превышает среднерыночный. Консервативный инвестиционный портфель обеспечивает наиболее высокий уровень безопасности финансового инвестирования.
Моделирование портфельного и потребительского выбора инвестора, характеризующегося постоянным относительным неприятием риска
В этом разделе поставлена задача выбора инвестором на полном финансовом рынке оптимальной стратегии инвестирования в п рисковых активов и один безрисковый актив при наличии промежуточного потребления. Рассматриваем бесфрикционную экономику, динамика которой описывается п - мерным винеровским процессом w, определенным на вероятностном пространстве (Q, /, Р); F = {/,,/ 0} стандартная фильтрация
Вектор цен п рисковых активов определяется п - мерным броуновским движением dPt = diag{Pt )(judt + odzt), где diag(Pt) - nxn диагональная матрица с элементами Pt по главной диагонали, // - вектор ожидаемых доходностей рисковых активов, а - ггхп матрица волатильностей, которая предполагается несингулярной. Вектор рыночных цен риска определяется следующим образом X = j-\jut-rN), где N - п- мерный вектор из единиц.
Предполагаем, что краткосрочная процентная ставка г, ожидаемые нормы доходности /л и матрица волатильностей рисковых активов а постоянны во времени. Вектор рыночных цен риска X поэтому также не зависит от времени. Будем также предполагать, что инвестор- не имеет другого дохода, кроме дохода на финансовом рынке.
Динамику капитала инвестора при данных стратегиях потребления с и инвестициями ті (я- - вектор количеств капитала, инвестированных в каждой из п рисковых активов) записываем в виде: dWt =Wt(r + nT(jX)dt - cdt + WtnT jdzt. Неявная функция полезности инвестора имеет вид J(W, t) = sup Ewt [ je uicjds + е-5{Тч)й(1,)] (2.7) где 8 - субъективный дисконтный фактор инвестора. Предполагая функцию J дважды непрерывно дифференцируемой и применяя к (2.7) принцип оптимальности Беллмана, получаем следующее уравнение aj(W,t)= sup \и(с)+ — tyV,i)+JwtyV,ti$v[r + 7TT jA\-c)+ c l dt (2g) + -Jmv(W,t)W27rTacTTxl Максимизация правой части уравнения (2.8) по с дает следующее условие первого порядка u (c) = Jw(W,t), (2.9) где мы использовали то, что условие неотрицательности потребления не является обязательным в предположении, что предельная полезность бесконечна при нулевом потреблении (или даже при положительном потреблении, соответствующем прожиточному минимуму). Это условие оптимальности называется условием огибающей и устанавливает, что предельная полезность текущего потребления одной дополнительной единицы должна равняться предельной полезности от оптимального инвестирования этой единицы. Это интуитивное условие оптимальности для долгосрочного выбора потребления - инвестирование. Если обозначить через 1и функцию, обратную предельной полезности и (с), можно записать пробное выражение для оптимальной стратегии потребления в следующем виде c t=c{w;,t), где C(W,t) = Iu(jw(W,t)) (2.10)
Безусловная максимизация правой части уравнения (2.8) по тс дает условие первого порядка Jw (W, i)WaX + Jwy {W, i)W2G(jTn = 0. Выражая отсюда ж, получаем __ Jw(F.t) WJm{W,t) № так что пробная оптимальная инвестиционная стратегия может быть записана в виде 7r t=mw;,t), где П()0)= Jw{Wj) ( г ҐЛ = - JwiW,t) (аа Г\М-гМ).(2Л1) WJwQVsy wj iwjy Заметим, что множитель JwiW,t) представляет собой коэффициент относительной терпимости к риску (обратный коэффициенту относительного неприятия риска) для функции неявной полезности. Оптимальные инвестиции в рисковые активы поэтому равны коэффициенту относительной терпимости к риску, умноженному на вектор, одинаковый для всех инвесторов (при условии, что они одинаково воспринимают переменные т, ju и г). Этот вектор представляет собой произведение матрицы, обратной к вариационно-ковариационной матрице, и вектора избыточных ожидаемых норм доходности рисковых активов. Условия второго порядка реализации максимума удовлетворяются, поскольку функция J вогнута по W и функция и вогнута по с.
Подставляя пробные оптимальные функции сил- обратно в уравнение Беллмана и преобразуя, получаем следующее дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных: аіуг, t)=u{i(jw (w, о» - JW (w, t)i{jw (w, t) + + V rWJwV XTxJwEfL C2.12) dtK J WK 2 Jww{W,t) Если уравнение (2.12) имеет решение j(W,t), такое, что стратегии, определяемые (2.10) и (2.11) допустимы, тогда эта стратегия действительно является оптимальной стратегией потребления и инвестирования.
Далее рассмотрим замкнутые решения для оптимальных стратегий при наиболее употребительных функциях полезности. Возникает три интересных для приложений типа задач: инвестор извлекает полезность их 1. только из потребления; 2. только из конечного капитала; 3. из потребления и конечного капитала. Эти три задачи можно решить одновременно, вводя два параметра -индикатора и f2, которые принимают значения 0 и 1.
Оптимальная инвестиционная стратегия состоит в поддержании части капитала, инвестированного в каждый актив, постоянной во времени. Заметим, что это условие требует постоянной корректировки портфеля, поскольку цена активов меняются с течением времени. Рассмотрим актив, входящий в оптимальный профиль с положительным весом. Если цена этого актива увеличивается больше, чем цены других активов в портфеле, то доля капитала, соответствующая этому активу, будет увеличиваться. Поэтому инвестор должен сократить количество единиц этого актива в своем портфеле. Поэтому оптимальная стратегия состоит в продаже активов, цена которых растет быстрее остальных, и покупке более медленно растущих активов. Чем выше коэффициент относительного неприятия риска у, тем ниже инвестирование в рисковые активы и тем выше инвестирование в безрисковый актив. Инвестиционная стратегия не зависит от инвестиционного горизонта.
Многочисленными эмпирическими исследованиями установлено, что в течение последнего столетия долгосрочные инвестиции в акции в большинстве случаев давали более высокую доходность, чем долгосрочные облигации [105]. На коротких инвестиционных горизонтах доминирование инвестиций в акции менее очевидно. Основывается на этих эмпирических фактах, многие консультанты по финансовым инвестициям рекомендуют долгосрочным инвесторам размещать большую часть капитала в акции и далее постепенно сдвигать портфель инвестиций от акций к облигациям по мере сокращения инвестиционного горизонта [126]. Эта рекомендация находится в некотором противоречии с полученной выше оптимальной портфельной стратегией. Согласно проведенному анализу, оптимальные портфельные веса рисковых активов для инвесторов, характеризующихся постоянным относительным неприятием риска, не зависят от инвестиционного горизонта. Потому ли это, что используемая модель ценообразования финансовых активов и построенная модель инвестирования-потребления не согласуются с эмпирическими фактами, упомянутыми выше?
Оптимальное решение задачи инвестирование-потребление при функции полезности инвестора с постоянным относительным неприятием риска
Возможны три ситуации: (1) инвестор извлекает полезность только из потребления, (2) инвестор извлекает полезность только из конечного капитала и (3) инвестор извлекает полезность и из промежуточного потребления, и из конечного капитала. Можно решить все три задачи одновременно, вводя параметры-индикаторы, равные 0 или 1. Положим если инвестор не извлекает полезности из промежуточного потребления, С = 0). Из (3.16) следует, что оптимальное потребление представляет собой зависящую от времени и переменной состояния часть капитала. Оптимальные доли капитала, размещаемые в различные рисковые активы, как следует из (3.15), не зависят от капитала, но зависят от состояния и времени.
Подставляя производные (3.14) в уравнение (3.11) и упрощая, получаем, что функция g(x,t) должна являться решением следующего дифференциального уравнения в частных производных.
Анализ показывает, что уравнение (3.17) имеет замкнутые решения в широком классе аффинных и квадратичных моделей (т.е. если г(х), Л(х) Л(х), т(х), v(x) Я(х), v(x) v(x) и "б(х)2 являются аффинными или квадратичными функциями х).
Каждое из слагаемых в сумме интерпретируется как вложение капитала, хеджирующее изменение в одной компоненте переменной состояния. Поэтому в рассматриваемом случае имеет место разделение портфеля на к + 2 фонда: капитал инвестируется в безрисковый актив, спекулятивный фонд и к фондов хеджирования.
Из анализа, проведенного выше, может показаться, что инвесторы должны хеджировать все переменные, влияющие на rt, jut и crt, но в действительности это не так. Покажем, что инвестору имеет смысл хеджировать только те риски, которые влияют на rt и Xt.
Из этого анализа можно заключить, что инвестор должен будет хеджировать только переменные, влияющие на краткосрочную процентную ставку и рыночные цены риска (это, конечно, справедливо только в рамках рассматриваемой постановки задачи: например, инвестор со стохастическим трудовым доходом будет также хеджировать связанный с ним риск). Стохастические изменения в jut и Jt интересны только с точки зрения их влияния на стохастические изменения рыночной цены риска! Можно представить финансовый рынок, на котором волатильности изменяются стохастически, но ожидаемые доходности по рисковым активам следуют изменениям волатильностеи, так что рыночная цена риска постоянна во времени. На таком рынке ни один агент не будет оптимально хеджировать изменения .волатильностеи и ожидаемых доходностеи.
Эти решения применимы и к полному финансовому рынку (в этом случае Цх) = 0), и к неполному рынку. Если инвестор извлекает полезность из промежуточного потребления, то необходимо решить уравнение в частных производных (3.24) для функции g(x,t), которое несколько сложнее уравнения (3.29) благодаря присутствию константы є1=1. Оказывается, что для того, чтобы найти решение в такой же форме, что и в случае полезности, извлекаемой инвестором только из конечного капитала, необходимо ограничить анализ только случаем полного финансового рынка.
Поскольку это выражение в точности определяет спрос на хеджирование инвестора с инвестиционным горизонтом Т , извлекающего полезность только из конечного капитала, можно интерпретировать Т как эффективный инвестиционный горизонт инвестора, имеющего инвестиционный горизонт Т и извлекающего полезность из промежуточного потребления.
Итак, в этой главе показано, что проблема определения оптимальных стратегий инвестирования и потребления с учетом стохастической динамики цен рисковых активов и стохастической эволюции параметров инвестиционной среды может быть решена в замкнутой форме. Для широкого класса моделей предложен метод сведения уравнения в частных производных, характеризующего оптимальные портфельные веса (как функции волатильностей, краткосрочной процентной ставки, инвестиционного горизонта и коэффициента относительного неприятия риска), к обыкновенному дифференциальному уравнению, решение которого может быть найдено в аналитическом виде при конкретных спецификациях. Проведен анализ целесообразности хеджирования рисков, влияющих на параметры инвестиционной среды, и выяснено, что инвестору с аддитивной по времени функцией полезности оптимально хеджировать только стохастические изменения краткосрочной процентной ставки и квадрат рисковой премии по рисковым активам.
Анализ оптимальных стратегий инвестирования и потребления и калибровка модели к статистическим данным
В численном примере, иллюстрирующем построенную модель, используем многолетние статистические данные об инвестиционных возможностях (средних доходностях, средних квадратических отклонениях и корреляциях между доходностями) [125]. Согласно приведенным данным, средняя за последние 55 лет реальная доходность на рынке акций США составляет jus = 8,7%, а среднее квадратическое отклонение crs = 20,2%. Средняя реальная доходность рынка облигаций с нулевым купоном с 10-летним сроком погашения составляет Мв = 2,1% при среднем квадратическом отклонении ав =10,0%. Средняя реальная краткосрочная процентная ставка в США составляет г = 1,0%. Корреляция между доходностями рынка акций и рынка облигаций с нулевым купоном с 10-летним сроком погашения составляет р = 0,2.
Оставшаяся часть капитала инвестируется в банковский счет. Последние два столбца показывают мгновенную доходность и волатильность портфеля. На рис. 4 кривая линия показывает эффективные портфели рисковых активов, основанные на анализе математического ожидания и дисперсии, т.е. комбинации ожидаемых доходностей и волатильностей, которые могут быть получены комбинированием инвестирования в облигацию и акцию. Прямая линия соответствует оптимальным портфелям инвесторов, игнорирующих флуктуации краткосрочной процентной ставки и предполагающих, что она равна долгосрочному среднему значению.
Далее рассмотрим оптимальные портфельные стратегии инвесторов, учитывающих стохастические изменения краткосрочной процентной ставки во времени. Предполагаем, что реальная краткосрочная процентная ставка описывается однофакторной моделью Орнштейна - Уленбека, так что для анализа оптимальных стратегий инвестирования и потребления применимы результаты раздела 3.4. Долгосрочное среднее значение процентной ставки rt=\%, а волатильность принята равной аг=5%, что соответствует многолетним статистическим данным по фондовому рынку США [125].Скорость релаксации процентной ставки к своему долгосрочному среднему значению принята к = 0,49, так что волатильность облигации с нулевым купоном со сроком погашения 10 лет, соответствующая рассматриваемой модели, равна 10%, что соответствует статистическим данным.
Сначала рассмотрим оптимальные портфельные стратегии инвесторов, извлекающих полезность только из конечного капитала. Их оптимальные портфели определяются выражениями (4.6) и (4.7). В табл. 3 показаны оптимальные портфели для инвесторов с постоянным относительным неприятием риска при различных комбинациях степени относительного волатильность, % 35 Рис. 4. Кривая линия показывает эффективные портфели рисковых активов, основанные на анализе математического ожидания и дисперсии, т.е. комбинации ожидаемых доходностей и волатильностей, которые могут быть получены комбинированием инвестирования в облигацию и акцию. Прямая линия соответствует оптимальным портфелям инвесторов, игнорирующих флуктуации краткосрочной процентной ставки и предполагающих, что она равна долгосрочному среднему значению
В то время как вес тангенциального портфеля и вес акций не зависит от инвестиционного горизонта, это не имеет места для веса портфеля хеджирования и, следовательно, для полного портфельного веса облигации и банковского счета. Отношение весов облигации и акции в оптимальном портфеле показано в столбце «облигация/акция». Видно, что отношение «облигация/акция» увеличивается существенно с ростом относительного неприятия риска инвесторов и, для инвесторов с у 1, с ростом инвестиционного горизонта. Инвестор с инвестиционным горизонтом Т хеджирует риск, связанный с изменениями процентной ставки, инвестируя в облигацию с нулевым купоном со сроком погашения, равным инвестиционному горизонту. Эта облигация моделируется портфелем, состоящим из позиции единиц облигации с нулевым купоном с 10-летним сроком погашения, и банковского счета. Поскольку функция Ъ возрастает по Т, спрос на хеджирование на облигацию с нулевым купоном с 10-летним сроком погашения растет с ростом инвестиционного горизонта.
Далее рассмотрим инвесторов, извлекающих полезность только из промежуточного потребления (но не из конечного капитала). В этом случае спрос на хеджирование в портфеле облигаций (4.7) заменяется соотношением (4.9). Табл. 4 показывает оптимальные портфели для инвесторов с одногодичным и 30-летним инвестиционными горизонтами. Видно, что общая картина остается той же, что и для инвесторов, извлекающих полезность только из конечного капитала, однако в рассматриваемом случае для данного инвестиционного горизонта спрос на хеджирование на облигацию и, следовательно, отношение весов облигация/акция, меньше, поскольку оптимальная облигация для хеджирования имеет дюрацию, меньшую инвестиционного горизонта.
Сравним текущий компромисс доходность/риск, выбираемый различными инвесторами. Как обсуждалось выше, инвесторы с постоянным относительным неприятием риска, которые либо имеют нулевой (или очень короткий) инвестиционный горизонт, либо не принимают во внимание риск, связанный с процентной ставкой, выбирают портфель, расположенный на прямой линии рис. 5. Это мгновенная эффективная граница портфелей рисковых активов, основанных на анализе математического ожидания и дисперсии. Аналогично, каждая из остальных кривых соответствует комбинациям, выбранным инвесторами с постоянным относительным неприятием-риска с заданным ненулевым горизонтом, учитывающим риск, связанный с изменениями процентной ставки. Поскольку эти кривые лежат справа от мгновенной эффективной границы портфелей рисковых активов, основанных на анализе математического ожидания и дисперсии, все эти инвесторы могли бы получить более высокую мгновенную ожидаемую доходность при той же волатильности, выбрав другой портфель инвестиций. По сравнению с экстремально краткосрочными инвесторами долгосрочные инвесторы имеют в оптимальном портфеле такой же вес акций, однако увеличивают доли капитала, размещаемые в облигации, за счет размещения в банковский счет. Если сравнить мгновенный компромисс риск/доходность краткосрочных и долгосрочных инвесторов, то видно, что долгосрочные инвесторы выбирают более рискованные портфели, т.е. принимают на себя больший краткосрочный риск.
