Введение к работе
Актуальность. Страхование - важная область финансовых операций и управления рисками, которая обеспечивает устойчивость работы всего народного хозяйства. В то же время эффективное функционирование страхования во многом зависит от правильной оценки страховых премий, отражающих принятые страховщиком обязательства по возмещению будущего ущерба. Завышенные премии означают потерю части клиентов и, следовательно, снижение финансового результата работы страховщика, что ставит под сомнение возможность заключения страховых договоров в будущем. Заниженные премии означают неоправданное повышение риска неплатежеспособности страховой организации и срыв выполнения обязательств по уже действующим договорам.
В этой связи, необходимость получения как можно более точной оценки страховых премий не является чисто техническим вопросом, а определяет все стороны работы страховой организации, особенно финансовую. Иными словами, от выбора методов прогнозирования размера премий часто зависит финансовое состояние страховщика, устойчивость его работы и эффективность будущего развития.
С актуарной точки зрения страховые премии должны соответствовать ожидаемым выплатам, отражая финансовую устойчивость страховых операций. Это означает, что оценка страховой премии должна основываться на прогнозе будущих выплат: премии рассматриваются не столько как цены на специфические страховые услуги, сколько как оценки будущего риска, базирующиеся на указанном прогнозе. Такое положение дел требует разработки специфических методов оценивания страховых премий и их компонентов, основанных на экономико-математических моделях прогнозирования основных характеристик страховых выплат.
Важной характеристикой подобных моделей должен быть учет особенностей страховой статистики, используемой для установления значений параметров моделей. Среди указанных особенностей для краткосрочного страхования, прежде всего, следует назвать ограниченность объема статистики (малые выборки) и наличие достаточно сложных форм зависимости данных. В ряде случаев это делает неприменимыми классические подходы к оцениванию (в частности, оценки получаются статистически незначимыми), так что
возникает дефицит инструментария для научно обоснованной оценки страховых премий.
Таким образом, необходимость диссертационного исследования обусловлена важностью разработки вопросов оценки страховых премий для страховой организации, в частности занимающейся краткосрочными (имущественными) видами страхования. Для обеспечения финансовой устойчивости страховой организации и обеспечения экономических интересов ее клиентов указанные вопросы должны решаться на хорошо проработанной научной основе с учетом практических особенностей работы страховщика (например, для случаев ограниченности объема данных и наличия различных форм зависимости в них).
Это определяет выбор темы данного исследования, которое направлено на решение важной научной проблемы - развитие теории и методологии актуарных расчетов с целью создания универсальных методов прогнозирования страховых премий, учитывающих ограниченность данных о прошлых выплатах (малые выборки) и наличие сложных форм зависимости между ними.
Степень разработанности проблемы. Методологической основой диссертации послужили работы российских и зарубежных специалистов по оценке страховых премий, фундаментальные исследования по актуарному анализу, исследованию операций и математической статистике.
Имеется обширная литература по вопросам оценки страховых премий, особенно в контексте оценивания премий с учетом качества данных: традиционно используемые подходы в данной области развивали такие российские и зарубежные авторы, как В.Н. Баскаков, А. Бейли, X. Бюльманн, Г. Вентер, Х.-У. Гербер, А. Гислер, М. Гоовэртс, Д. Данненбург, Ф. Де Вильдер, Д.В. Денисов, У. Джеуелл, С.К. Завриев, И.Б. Котлобовский, В.Ю. Королев, Э. Кремер, Т. Мак, Г. Малер, В.В. Новиков, Р. Норберг, Б. Сундт, Г. Тейлор, Б. де Финетти, Ч. Хахемайстер, М. Харди, Б. Ценвирт, В.П. Чернов, Э. Штрауб.
Указанные авторы основное внимание уделяли моделированию ситуаций возникновения ущерба, демонстрирующих поведение, близкое к идеальному. Прежде всего, речь идет об использовании предпосылок о достаточно простых формах зависимости между выплатами и об определенных типах выборочных оценок.
В последние годы делались попытки разработки более реалистичных моделей. Среди авторов «новой волны» можно назвать К. Антонио, И.Ю. 4
Бардина, К. Болансе, Э. Вальдеса, Л. Вэня, X. Гарридо, Э. Гомеса-Дениса, М. Денуи, М.В. Ермолаеву, Б. Йохансена, 3. Ландсмана, М. Мерца, В. Нойхауса, Е. Ольсона, Э. Фриза, В. Янг. Однако построить актуарные модели оценки страховых премий, обеспечивающие универсальность и достаточную широту диапазонов их применения, пока не удалось: практика страхования демонстрирует намного более широкий круг ситуаций по сравнению с теми, для которых до сих пор предлагался подходящий экономико-математический инструментарий оценивания. Методы, применяемые актуариями, все еще носят частный характер и ориентированы на достаточно узкие наборы практических ситуаций.
В области математической статистики был предложен ряд подходов, которые могли бы помочь преодолеть дефицит инструментария, используемого актуариями. В первую очередь, следует обратить внимание на работы К. Банерджи, Й. Грасса, М. Грубера, И.А. Ибрагимова, Р. Карра, Р. Кёнкера, Р. Кеннарда, Т. Кубокавы, Ч. Морриса, Дж. Нельдера, К. Отани, К.Р. Рао, П. Руссеева, А.К.Мд.Е. Салеха, К. Стейна, Б. Свинделя, Л. Фирингетти, А. Хёр-ла, X. Цукумы, Б. Эфрона. Однако со стороны актуариев и других специалистов в области экономико-математического моделирования страховых и финансовых операций не предпринималось усилий к исследованию возможности и диапазона применения соответствующих результатов и их адаптации для прогнозирования размера страховых премий.
В целом, применяемые до настоящего времени модели и методы не позволяют в полной мере учесть особенности данных, имеющих место в страховой практике. Это оставляет простор для разработки новых подходов в данной области.
Цель и задачи исследования. Цель исследования состоит в разработке и развитии комплекса экономико-математических моделей актуарной оценки страховых премий и в выявлении диапазонов применения альтернативных подходов с учетом ограниченности объема страховых данных и сложных форм их зависимости. В рамках исследования поставлены и решены следующие задачи:
уточнить роль и место актуарных методов в процессах принятия решений по прогнозированию страховых премий;
выявить особенности страховой статистики, используемой для оценки параметров экономико-математических моделей страховых премий и на этой
основе установить границы и диапазоны применения актуарных методов, традиционно используемых на практике;
изучить механизмы влияния характеристик риска на вид оценки ожидаемой нетто-премии;
показать, что зависимость между факторами риска, не имеющими количественного выражения, не влияет на вид оценки ожидаемых нетто-премий;
исследовать особенности оценки премий при ограниченном объеме данных для определенных типов ковариационных матриц (в рамках разработки и развития прикладной статистики как аппарата актуарного анализа страховых операций);
предложить основные подходы к получению прогнозов страховых премий при наличии мультиколлинеарности факторов риска и выявить диапазоны их применения;
изучить особенности и диапазоны применения оценок Джеймса - Стей-на для оценивания страховых премий, что позволит расширить аппарат актуарного анализа страховых операций;
обосновать и разработать метод оценки нетто-премии на основе применения квантильной регрессии, что обеспечивает развитие методов эконометрики и прикладной статистики как инструментария актуарного анализа страховых операций.
Объектом исследования является страховая организация, занимающаяся краткосрочными (имущественными) видами страхования, в части выполнения ею одной из основных функций - ценообразования по вновь заключаемым договорам на основе актуарных моделей и методов.
Предметом исследования являются процессы возникновения будущего ущерба и, соответственно, прогнозирование ряда характеристик будущих страховых выплат в целях ценообразования на основе системы экономико-математических актуарных моделей оценки страховых премий с учетом особенностей страховой статистики, прежде всего малого объема выборок и наличия сложных форм зависимости между данными.
Методическую и теоретическую основу исследования составили принципы построения моделей актуарного анализа страховых операций, а также аппарат эконометрики и прикладной статистики. При разработке новых методов оценивания страховых премий использовались различные методологические подходы и методы научного познания, в том числе системного ана-6
лиза, теории вероятностей и математической статистики, регрессионного анализа и имитационного моделирования. Для проверки моделей на реальных примерах и проведении имитационных исследований использовалось стандартное программное обеспечение MS Excel VBA.
Информационную основу исследования составили практические данные, предоставленные крупными российскими страховыми организациями по своим страховым портфелям. Эти данные использованы как основа для выявления особенностей реальной страховой статистики и проверки применимости методов прогнозирования страховых премий, разработанных в диссертации.
Научная новизна диссертации состоит в построении комплекса новых экономико-математических актуарных моделей оценки премий с учетом качества данных для ситуаций с различными структурами зависимости в используемой статистике в условиях ограниченности ее объема, а также в определении условий и границ применения ряда статистических методов, которые ранее в области страхования не использовались.
Наиболее существенными являются следующие результаты диссертационного исследования, полученные лично соискателем и выносимые на защиту:
По-новому рассмотрены роль и место экономико-математических актуарных методов в процедурах принятия решений о размере страховых премий по вновь заключаемым договорам страхования. Показано существенное усиление ведущей роли актуарных методов в целом как основного инструмента научного обоснования управленческих решений в страховании. При этом значение методов оценки страховых премий еще больше возрастало в связи с тем, что прогнозирование премий важно для обеспечения финансовой устойчивости страховщиков. Предлагаемые в работе актуарные методы позволяют повышать качество таких прогнозов по сравнению с результатами исследований X. Бюльманна, Х.-У. Гербера, А. Гислера, М. Гоовэртса, Ф. Де Вильдера, У. Джеуелла, Э. Кремера, Р. Норберга, Б. Сундта, Г. Тейлора и Б. Ценвирта. В результате использования разработанных в диссертации методов управление страховыми организациями должно значительно улучшаться.
Выявлена и проанализирована специфика информационного обеспечения экономико-математических актуарных моделей прогнозирования страховых премий по краткосрочным видам страхования. В частности, показано, что
в процессе построения и практического применения указанных моделей ключевую роль играют такие особенности страховой статистики, как неоднородность данных, малый и сверхмалый объем выборки, наличие разных форм зависимости в наблюдаемых данных. Не все из них (в первую очередь, сложные формы зависимости) учитываются в традиционно используемых актуариями методах оценки страховых премий, разработанных А. Бейли, X. Бюльманном, Г. Вентером, Л. Вэнем, X. Гарридо, А. Гислером, М. Гоовэртсом, Д. Даннен-бургом, М. Денуи, Ф. Де Вильдером, У. Джеуеллом, Э. Кремером, Т. Маком, Р. Норбергом, Б. Сундтом, Г. Тейлором, Ч. Хахемайстером, М. Харди, Б. Цен-виртом и Э. Штраубом, что существенно ограничивает диапазоны их применения. На этой основе обнаружены области и наборы практических ситуаций, для которых требуется разработка новых методов, предложенных в работе.
Впервые проанализированы прямой и косвенный механизмы влияния характеристик страхового риска на вид оценки ожидаемой нетто-премии, а также взаимное соотношение указанных механизмов. Показано, что прямой механизм оценки не учитывается в методах оценки страховых премий, разработанных А. Бейли, X. Бюльманном, А. Гислером, М. Гоовэртсом, Д. Даннен-бургом, Ф. Де Вильдером, М. Денуи, У. Джеуеллом, Т. Маком, Р. Норбергом, Б. Сундтом, Г. Тейлором, Б. де Финетти, Ч. Хахемайстером, М. Харди, Б. Ценвиртом и Э. Штраубом, что снижает их практическую ценность. Тем самым выявлена и обоснована необходимость разработки новых актуарных методов, учитывающих наличие сложных форм статистической зависимости в страховых данных.
Доказано, что прогноз премии (вид формулы оценки наименьших квадратов) определяется особенностями воздействия на наблюдаемые данные о выплатах количественно неизмеримых факторов риска, но не наличием и характером зависимости между указанными факторами. Это означает, что предпосылки модели о механизме взаимосвязи таких факторов не являются ключевыми, и, игнорируя их, можно в определенной степени упрощать постановки соответствующих экономико-математических моделей и снижать требования к информационному обеспечению процесса оценки страховых премий, что важно для практических приложений. Кроме того, полученная формула обобщает результаты Э. Вальдеса, Ф. Де Вильдера, У. Джеуелла, Б. Сундта и Б. Ценвирта.
Впервые разработана модель оценивания страховых премий по данным из малых выборок для ковариационных матриц со специальной гребневой структурой. Для этого случая получена оптимальная оценка (в смысле обычного квадратичного критерия), которая позволяет учесть более широкий набор форм зависимости данных, чем традиционный подход. Оптимальность оценки доказана в виде математического утверждения. Подобная модель отвечает более широкому кругу практических ситуаций, чем традиционно используемые методы, предложенные X. Бюльманном, X. Гарридо, Х.-У. Гер-бером, А. Гислером, Э. Гомесом-Денисом, М. Гоовэртсом, Ф. Де В иль дером, М. Денуи, У. Джеуеллом, Э. Кремером, Т. Маком, Р. Норбергом, Б. Сундтом, Г. Тейлором, Б. де Финетти, Ч. Хахемайстером, М. Харди и Б. Ценвиртом.
Впервые построены регрессионные модели оценки премий с учетом качества данных с целью получения методов, нечувствительных к наличию мультиколлинеарности, которая встречается в реальной страховой статистике. Это принципиально отличает предлагаемые модели от результатов исследований М. Гоовэртса, Ф. Де Вильдера, У. Джеуелла, Э. Кремера, Р. Норбер-га, Б. Сундта и Ч. Хахемайстера. Определены диапазоны применения методов, разработанных в диссертации, в связи с необходимостью использования дополнительной информации об особенностях тарифной системы. На этой основе предложены рекомендации по выбору соответствующих методов и их применению для прогнозирования размера будущих страховых выплат и, следовательно, размера страховых премий.
Разработаны новые методы прогнозирования ожидаемых нетто-премий на основе оценок Джеймса - Стейна, используемых в математической статистике. С помощью имитационного моделирования (метод Монте-Карло) показано, что их применение позволяет лучше учесть вид зависимости в данных о выплатах и повысить точность прогноза страховой премии (в смысле минимизации квадратичной ошибки оценки) по сравнению с результатами А. Бей-ли, X. Бюльманна, Л. Вэня, Х.-У. Гербера, А. Гислера, М. Гоовэртса, Ф. Де Вильдера, У. Джеуелла, Э. Кремера, Г. Малера, Р. Норберга, Б. Сундта, Г. Тейлора, Б. де Финетти, Ч. Хахемайстера, М. Харди, Б. Ценвирта, Э. Штрауба иВ.Янг.
Показаны особенности применения метода квантильной регрессии в данной области приложений. Предложены модификации данного метода, позволяющие оценивать не только ожидаемые нетто-премии, но и рисковые
надбавки, что дает возможность системно решать с помощью одного подхода несколько взаимосвязанных задач прогнозирования страховых премий. Определены возможности и диапазоны применения методов квантильной регрессии в данной области, показаны преимущества их использования по сравнению с традиционными подходами (с регрессионными моделями на основе метода наименьших квадратов и с обобщенными линейными моделями), которые применялись А. Гислером, М. Гоовэртсом, Д. Данненбургом, Ф. Де Вильдером, У. Джеуеллом, Э. Кремером, 3. Ландсманом, М. Мерцем, В. Ной-хаусом, Р. Норбергом, Б. Сундтом, Г. Тейлором, Э. Фризом, Ч. Хахемайсте-ром и Б. Ценвиртом.
Область исследования. Полученные новые результаты соответствуют Паспорту специальности 08.00.13 - «Математические и инструментальные методы экономики», а именно пунктам:
Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделировании - результат 4 (частично);
Теория и методология экономико-математического моделирования, исследование его возможностей и диапазонов применения: теоретические и методологические вопросы отображения социально-экономических процессов и систем в виде математических, информационных и компьютерных моделей -результаты 1, 2 и 3;
1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов - результаты 4 (частично), 5, 6, 7 и 8.
Обоснованность и достоверность полученных результатов. Обоснованность результатов и выводов исследования определяется методологией проведенного исследования, полнотой анализа теоретических и практических разработок; использованием адекватных предпосылок предлагаемых экономико-математических актуарных моделей оценки страховых премий, определением границ их применения, аргументированным процессом их формализации и интерпретации результатов; корректным применением современных методов обработки данных исследования на основе математической статистики и эконометрики, проведением проверок с помощью имитационного мо-10
делирования на базе статистических данных по реальным страховым портфелям.
Достоверность обеспечивается путем систематичного построения комплекса предложенных экономико-математических моделей и корректного использования математических методов при исследовании этих моделей. Основные положения работы, связанные с новыми типами предлагаемых оценок страховых премий, сформулированы в виде утверждений и доказаны. Результаты соответствуют статистическим данным. Оценки, полученные предлагаемыми в работе методами, имеют более узкие доверительные интервалы по сравнению с традиционными актуарными методами, что обеспечивает более высокую статистическую значимость этих оценок.
Теоретическая значимость работы состоит в том, что она способствует развитию научных знаний в области теории и методологии актуарного анализа, углубляя и развивая отдельные теоретические положения и экономико-математический инструментарий моделирования страховых операций за счет создания комплекса взаимосвязанных моделей и методов прогнозирования страховых премий, учитывающих ограниченность данных о прошлых выплатах (малые выборки) и наличие сложных форм зависимости между ними. В основу предложенных методов положены новые экономико-математические модели оценки страховых премий по краткосрочному страхованию. Кроме того, при их построении обсуждаются вопросы применимости нового (для актуарного анализа) математического аппарата: оценок Джеймса - Стейна и квантильной регрессии.
Практическая значимость работы заключается в том, что решаемая в диссертации научная проблема имеет важное хозяйственное значение, связанное с получением более точных и достоверных прогнозов размера страховых премий и в более широких диапазонах их применения по сравнению с методами, используемыми актуариями до настоящего времени. Предложенные в диссертации методы могут быть непосредственно использованы в работе страховых организаций, что позволяет:
принимать во внимание больший объем количественной и качественной информации при принятии решений о размере страховых премий, что повышает их достоверность и обоснованность;
расширить инструментарий экономико-математических моделей и методов актуарного анализа, с помощью которого актуарий может прогнозировать размер страховых премий;
повысить точность прогнозирования будущих выплат и корректность процедур ценообразования, что обеспечит более высокую финансовую устойчивость работы страховых организаций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Объем диссертации составляет 332 печатных страницы (включая 41 страницу Приложения). Список литературы включает 499 наименований, в том числе 463 на иностранных языках.
