Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Общие свойства одноинвариантных групп 13
1. Общие свойства одношшариантных групп, содержащих унииотептпый элемент 13
2, Конечные однонпвариантные группы . 18
3. Связные однойпвариантные алгебраические группы I 21
4. Отображения А и R 23
5. Конечные однонпвариантные группы II 29
6. Случай локально конечных одношшариантных групп . 31
7. Связные од ноші вариантные алгебраические группы II 32
ГЛАВА 2. Конечные одноинвариантные группы порядка pq и порядка р2 . 35
1. Классификация одноиивариантных групп порядка^ 35
2. Классификация одноиивариантных групп IQ—длины 1, порядка р2 44
ГЛАВА 3. Конечные одноинвариантные группы порядка pf 55
1. Группы IQ— длины 1 порядка р 55
2. О группах /(7-длины больше 1 67
Список Литературы 71
- Конечные однонпвариантные группы
- Отображения А и R
- Случай локально конечных одношшариантных групп
- Классификация одноиивариантных групп IQ—длины 1, порядка р2
Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации вводится понятие одноинвариантных линейных групп. Это один из вариантов обобщения групп действующих без неподвижных точек. Комплексные и вещественные группы действующие без неподвижных точек были классифицированы в середине XX века Цассенхаузом и Винсентом [W]. Линейные группы без неподвижных точек имеют важное значение в геометрии, а именно, в классификации полных связных римановых многообразий постоянной кривизны.
В 70-ые годы прошлого столетия группы действующие без неподвижных точек нашли также применение в теории инвариантов. Здесь интерес к ним был вызван следующим. Развилась теория, позволяющая дать оценки "сложности" алгебры инвариантов без непосредственного вычисления образующих и соотношений (под "сложностью" здесь мы понимаем набор численных параметров алгебры инвариантов, таких как, коразмерность, гомологическая размерность, числа Бети, дефект, глубина и так далее.) Суть этого подхода, так называемого "слайс-метода", состоит в замене алгебры инвариантов всей группы на алгебру инвариантов некоторых подгрупп, у которых такие алгебры устроены не "хуже", чем вся алгебра инвариантов. Для маленьких подгрупп удается вычислить параметры алгебр инвариантов и, таким образом, оценить сложность изначальной алгебры [ВП].
Однако, если порядок группы G делится на р, то группа G не может действовать без неподвижных точек. Действительно, в группе G рассмотрим р-подгруппу, она триангулизируется над полем характеристики р и при этом собственные значения элементов равны 1, поскольку в поле К характеристики р нет корней степени из единицы.
Одним из обобщений групп без неподвижных точек стали так называемые полурегулярные группы, рассматриваемые в работах Гуральника-Вайгонда и Флейшмана-Лемпкена-Тьеппа [GW], [FLT1]. Полурегулярной называется группа, у которой все полупростые, не единичные элементы действуют без неподвижных точек.
Обобщение групп действующих без неподвижных точек, рассматриваемое в данной
работе, более естественно с точки зрения, скажем, задач теории инвариантов,
поскольку одноинвариантные линейные группы являются минимальными нетривиальными стабилизаторами векторов линейных не редуктивных групп.
Заметим, что если G одноинвариантна, то естественный образ G в GL{V/VG) является полурегулярной группой. Конечные полурегулярные группы классифицированы в выше перечисленных работах [GW], [FLT1]. Некоторые свойства одноинвариантных групп могут быть выведены из свойств полурегулярных, но мы доказывали их независимо.
В диссертации рассматривались одноинвариантные группы нескольких типов. А именно, конечные группы, содержащие унипотентные элементы, соответствующие локально-конечные группы и группы точек линейных алгебраических групп, также содержащие унипотентные элементы. Получены общие описания структуры таких групп.
Цель работы. Целью диссертации является изучение структурных свойств одноинвариантных подгрупп, решение вопроса о возможности классификации одноинвариантных групп конечного порядка, в случае, когда порядок группы делит порядок основного ПОЛЯ.
Методы исследований. В диссертации используются методы теории конечных групп, теории алгебр, теории алгебраических групп, теории модулей. Активно используются различные способы решения довольно сложных матричных задач.
Основные результаты:
Сформулированы и доказаны общие факты о строении конечных одноинвариантных групп.
Сформулированы и доказаны структурные теоремы о строении некоторых типов бесконечных одноинвариантных групп, содержащих унипотентный элемент (локально конечных, связных).
Дана классификация неразложимых одноинвариантных групп порядка pq и р2 {Ig—длины 1).
Получены сведения о строении неразложимых одноинвариантных групп порядков р3 (Ig—длины 1).
Показана невозможность "полной классификации "одноинвариантных конечных групп Ig-длины больше 1.
Достоверность и обоснованность. Все положения диссертации являются достовернвіми научивши фактами, получившими в работе математически строгие доказателвства.
Научная новизна. Представленнвіе в диссертации резулвтаты получены в период с 2002 по 2006 год и все они являются новыми. Работа носит теоретический характер.
Теоретическая и практическая ценность. Практическая значимоств работы определяется возможноствю применения полученнвіх резулвтатов в теории инвариантов. Теоретический вклад состоит в доказателвстве основных структурнвіх свойств одноинвариантнвіх групп, классификации некоторвіх типов одноинвариантных групп. Показано также, что в случае групп Ig-длины больше единицы не существует конечной классификации одноинвариантнвіх групп.
Апробация работы. Полученные результатві обсуждались и докладывались на городском алгебраическом семинаре в Санкт-Петербургском отделении Математического Института РАН им. В.А. Стеклова.
Публикации. Основнвіе резулвтаты диссертации опубликованві в работах [1-3].
Структура и объем работы. Диссертация объемом 72 страницы состоит из введения, 3 глав, разбитвіх на 11 параграфов и списка литературы, содержащего 15 наименований.
Конечные однонпвариантные группы
Здесь мы считаем, что G GL(V) конечная однопнвариантная группа, р = char К ф 0. Теорема 1. Если \ G \ \р тогда: a. G полупрямое произведение U D, где U нормальная силовская р-подгруппа группы G; b. U элементарная абелеоа р-группа; c. группа D действует на U \ {1} (сопряэ/сснисм) без неподвижных точек. Доказательство. Нам потребуется следующая вспомогательная лемма Лемма 7. Группа G имеет нормальную абелеву силовскую р-подгруппу. Доказательство. Покажем, что G не является пеабеленой простой группой. Предположим, что G неабелева простая группа. Тогда, ио теореме Томнсопа-Фсйта и G есть инволюции. Более того, так как G простая группа она порождается инволюциями, поскольку иначе группа порожденная всеми инволюциями группы G была бы собственной нормальной подгруппой группы G. Значит, найдутся пекоммутирующие инволюции (иначе G—абелева). Далее, группа G действует точно на W = V/VG, поскольку G простая. Заметим, что в случае char К = 2 инволюции в группе G действуют на W с неподвижными точками, а это противоречит одноипвариантности группы G. Если char К ф 2 получаем, что каждый элемент группы G, порядок которого взаимно прост с р, действует бе.ч неподвижных точек на W и, поэтому, действие всех инволюций на W представляется скалярной матрицей diag (—1, -1,...,-1). Получаем противоречие с тем, что группа G порождена инволюциями.
Пусть теперь Г Д S G. Предположим Тр Г, где Тр силовская -подгруппа Г, и пусть она абелева. Тогда Тр характеристическая подгруппа Г. Действительно, пусть автоморфизм / : Г - Г, тогда для всех х Тр имеем \f(x)\ = \х\, а значит, поскольку Тр—нормальная, f(x) Є Тр. Следовательно, Гр Д-инвариаитиая при действии сопряжение. Следовательно, найдётся нетривиальная абелева нормальная подгруппа в Д, например, Гр, а значит, есть и максимальная абелова нормальная подгруппа. Тогда, по Лемме С, Ар силовская р— подгруппа Д с ней совпадает, следовательно Д;, Д, при этом Ар абелева. Пусть теперь G Go G\ G2 ... ! G,i 1 максимальная цепочка подгрупп такая,что Gi+i нормальная в G{. Так как ( не может быть простой неабелевой, по соображениям изложенным выше, то она циклическая группа простого порядка. Пусть Gd р. Тогда существует целое положительное число і такое, что р Gj и (р, (3,+1 I) — 1 Тогда найдётся д Є G{ порядка р , который нормализует подгруппу Gi+i. Но это противоречит Лемме 2. Таким образом Gd \= р. Теперь, начиная с Gd, можно двигаться по цепочке подгрупп,как показано ранее, П Теперь докажем теорему. а. Поскольку в группе G есть нормальная абелева силовская р-подгруппа, (обозначим её U), G есть полупрямое произведение подгруппы U и некоторой подгруппы, которую мы обозначим D. (см, например, стр 30 [КР]) 1). Докажем, что U элементарная подгруппа порядка р. Действительно, пусть и Є GLn(K) у импотентная матрица и char Я" = р ф 0. Тогда rank(uf — 1) rank(u — 1) и, так как G одиоинпариаптпа, получаем ир = 1 с.
Поскольку группа D удовлетворяет Лемме 2, то по Лемме 3 получаем требуемое. Пусть G GLn связная линейная алгебраическая группа, определенная над полем К характеристики 0 и пусть G — G{K) GLn(K). Будем отождествлять группу GLn(K) с, GL(V), где V — п-мерпое векторное иространстио над полем К. Таким образом, Далее, пусть RU{G) уиипотеитиый радикал группы G. Так как К совершенное RU{G) также определён над полем К ([Spr], 12.1.7.) Более того, группа Ru{G) расщипимая над полем К ([Spr],14.3.10). Напомним также, что U, и наших обозначениях, максимальная унипотентная подгруппа и G. Теорема 2. Пусть G одноиивариаптиая и пусть U ф 1. Тогда a. G = U D, где D = D(K) для некоторой связной редуктивпой К-группы D и U = RU{G)(K); b.U Кт; с. группа D действует (сопряоїсснислі ) на U без неподвижных точек. Доказательство. Известно, что где Ь фактор Леви группы G([Spr). Так как U ф 1, группа RU(G) не тривиальная . Пусть не так, тогда G редуктивная группа и потому линейно редуктивная (напомним, что char К — 0). Следовательно, V = VG VG для некоторого G-пнвариантпого подпространства VQ. Но сужение оператора и Є U, и ф 1 на VQ имеет неподвижный вектор и поэтому rank(u — 1) dimV . Противоречие с одпоинвариаптпостыо. Группа RU(G)(K) абелева по лемме 1, Пусть RU(G)(K) М где М максимальная нормальная абелева подіі])уіша в G. Тогда М = U по Лемме G. Так как U нормальная группа в G, получаем U = RU(G)(K). Теперь а. следует из (5), Группа RU(G) расщепима над К. И так как RU(G)(K) - абелева, получаем Ь.
Отображения А и R
Здесь G = U D GL(V) одношшариаитпая группа, где U максимальная унипотеитпая подгруппа в G и D линейно редуктишіая группа. Введем два отображения для некоторых натуральных k,m , что позволит получить дополнительную информацию о структуре группы G. Отображение А. Рассмотрим действие группы G на V = V/VG. Положим VQ = V и пусть VQ С V подпространство в V такое, что Vе С Vn и Vo = VQ/VG. Так как D нормализует U получаем d(Vo) VQ ДЛЯ всех d Є D. Действительно, пусть х Є Vo,d Є D, и U тогда ud(x) = du\{x) = d(x), для некоторого u\ Є U. Таким образом, VQ - G-подмодуль V. Пусть х\,...Xh,xk+h- %m базис Vo такой что VG = (хк+і,...,xm). Из определения VQ получаем , что все элементы и Є U представляются в этом базисе матрицей вида Обозначим Л (и) матрицу размером к X (т — к) , которая расположена в верхнем правом углу (G). Далее, пусть М = М Х\(К) к-мерное вектоі)ное пространство столбцов. Теперь рассмотрим линейное пространство Мк т_к){К) как прямую сумму Мш k = М 0 ф М т — к экземпляров М. Таким образом, определённое нами отображение где т = dimVo, т- к = dimVе. Так как VG = Vй для всех и Є U, имеем Из (8) следует неравенство к т — к . А также получаем, что для всех щ, щ Є U. Таким образом А мономорфизм U в Мкх{т к){Ю = Мт к. Лемма 8. Пусть char К = р 0 и пусть FP С К простое подполе. Тогда для всех f Є Fv и любого и Є U существует и Є U такой, что Доказательство. Следует из (9). Лемма 9. Предполозісим G G{K), где G линейная алгебраическая группа, определённая над полем К, char Я" — 0 .
Тогда для всех f Є К и всех и Є U существует и ЄІІ такой, что Доказательство. Можно рассматривать А как регулярное отображение U -—» Mkx(m k)(K). Так как К совершенное поле, группа U расщипима над К (Spr] 14.3.8). Следовательно, группа 0 if-изоморфна Gla при некотором I. Пусть L = Ga U. Тогда A(L) /f-определённая алгебраическая подгруппа в Mkx(m-k)(K). Очевидно, A(L) = Ga. Более того, A(L(K)) A(L)(K) = К. Так как К совершенное, то A(L(K)) = A(L)(K). Теперь, если и Є L(K), тогда для всех / К существует и Є Ь(К)тлкос, что А(и ) = fA(u). Из того, что U = Gla получаем требуемое для всех и Є U. D Подпространство . Пусть теперь поле К алгебраически замкнуто. Для т Mkx(m-k){K) обозначим rankm ранг m как матрицы. Далее, пусть /іА---і т-2 +і Мкх{т_к](К) следующие матрицы : Заметим, что rank/ = & для всех / Є -С. Лемма 10. Пусть линейное подпространство Мкх т- (К) максимальной размерности, удовлетворяющее условию rank/ = к для любого / Є , / 0. Тогда dim = т - 2к + 1. Доказательство, Пусть Зк идеал кольца Я"[:%, 1 і к, 1 j т— fc, порожденный й-минорами матрицы (). Тогда lit (Of) (m — к) — k+1 = т-2к + \ (Вг). Следовательно все неприводимые компоненты i соответствующего многообразия, имеют коразмерность т к-\-\. Поскольку {0} = ( Л Yi) для некоторой компоненты Yi получаем Так как пространство удовлетворяет условиям , то dim т — 2к+ 1. Теперь наше утверждение следует из (10). Отображение R.Tenepb, изменяя базис х\,...хпи но при этом сохраняя вид (6), мы сделаем так, чтобы для всех d Є D матрица имела вид: Это возможно, так как группа D линейно редуктивная.
Значит, существует -модуль VQ такой, что Vo = VQ ф VD. Теперь, если выбрать базис г/1,--- ,ук в VJ ук+ъ...,ут в V = К6, то оба условия (6) и (П)будут выполнены. Обозначим R(d) матрицу к х к, которая расположена в левом верхнем углу (11). Таким образом получаем представление Нетрудно проверить, что для всех d Є D, и EU. Пусть F = Fp , если G конечная группа и F = К , если G = G(K). Далее, пусть 2) = F[D] групповая алгебра D над F и пусть естественный гомоморфизм, индуцированный представлением R : D — CLk{K). Положим = 0(2)). Далее, пусті, Ж /і Є F, г Є D. Получаем Можно определить следующее действие на J4(J7) используя Леммы 8, 9 и равенство (13): Далее, F-алгебра 2) полупростая (так как D редуктивиая) и поэтому 0(3)) = также полу простая . Следовательно, где {;} простые F-алгебры. Значит, по теореме Веддерберна ( = М (ЬІ), где Lf F-алгсбра с делением. Покажем, что г = l,fcj = 1 и i = L для некоторой F-алгебры с делением L. Пусть это по так, тогда найдутся элементы сг,т Є 0(3)) такие, что Поскольку ф(%)) Mk{K), можно рассматривать а,т как матрицы в Мк(К). Тогда (15) влечет Из (8), (14) и (16) дли некоторого и Є U, и ф 1. Напомним, что а(А(и)) матрица в Mkx(m-k){K)- Так как 1 тпк(а(Л(и)) получаем а(А(и)) ф 0. Но а(Л(и)) Є A(U) по (14). Следовательно, по (8) гапк(а(А(и)) — к. Получаем противоречие с (17). Таким образом, доказано где L F-нлгебра с делением.
Случай локально конечных одношшариантных групп
Пусті. одномнвариантная группа, где G{ GL(V) конечные группы. Очевидно, что каждая группа Gi однойнвариантная и VGi = Vа дли всех Gj ф 1. Предположим, что U Ф 1. Тогда U{ ф 1 для всех і, пе меньших некоторого ц. По теореме 1 для всех і ц где UІ элементарная аболева р-груииа и Д = щ, при этом р и п; взаимно просты. Более того, Д действует свободно на Д \ 1. Можно найти такую подгруппу Д, что Д Д_і для всех і IQ. Действительно, рассмотрим группу G;_i = Д Д_і Gi = Д Д. Из теоремы 3 Д_1 = (ffj-i), Д = (cj). Далее, cj = fT;_iu для некоторого и C/j_i и некоторого натурального /. Поскольку CTJ_I действует свободно на Д„і \ {1}, найдется элемент v Є Д-і такой, что ш гпГ1 — CTJ-I-Теперь можно рассматривать (vaiV l) вместо Д. Таким образом, можно предполагать, что {Д}» „, и {Д}І Ї0 GL(F). Положим Будем придерживаться обозначений и предположений, введенных в 2.4. Пусть теперь К алгебраическое замыкание ноля К и W = V к К-Далее, пусть GL(W) К—определенная алгебраическая группа, то есть А"—изоморфная GLn, где п = dimV, и такая, что GL(W){K) = GL(V).
Таким образом, можно рассматривать группу G как К—подгруппу /Г-группы GL(V). Пусть L алгебра с делением, определенная (18). Напомним, что L с Епйк{У) = Мк(К), где V V D—инвариантное подпространство (см. 2.5.). Следовательно, L конечномерное К—алгебра. Далее, если W = V i K, тогда GL(W) А"—подгруппа її GL(W) и GL(W )(K) — GL(V). Существует / -определенная подіруппа GLi(L) в К—группа GL(W) такая, что GL\{L) — L . Заметим, что подпространство W D—инвариантно, Следовательно, также D—инвариантно (заметим, что D = D(K) плотно в D). Сужение D на W задает точное К—рациональное представление D —у GL(W) (см. определение отоб] ажения R). Таким образом, можно группу D как К—подгруппу в GL(Wf). Из определения алгебры L вытекает действие D на U сопряжением) в сумму неприводимых К—рациональных D—модулей. Пусть U{ = Ui{K). Тогда разложение K[D]—модуля U is сумму неприводимых if [D] — модулей (это следует и:! плотности D в D ). Теорема 4. При обозначениях данных выше: (a) -группа D К—подгруппа К—группы GL\{L) (b) U i = L+ как L-модуль для всех г; (c) все неприводимые компоненты {Щ}] .[ в (22) изоморфны как Fp[D\-M.odiiAu. (d) все неприводимые компоненты {Щ}]2[ в (%1) К—изоморфны как К[0]-модули. Доказательство, (а) Пересечение Я"—подгрупп if—группы также К—подгруппа. Следовательно, Н = Df)GLi(L) if—подгруппа в GL(W ) и также К—подгруппа и GL\{L). Далее, (20) влечет D — Ъ(К) С Я и поэтому, И = D. (b) доказательство аналогично доказательству (с) и Теореме 3. (c) доказательство аналогично доказательству ( 1) і; Теореме 3. ((1) следует из (с) и плотности D в D Теорема 5. Пусть Y V минимальный нетривиальный G—подмодуль. Тогда: (a) 2dimKYG dimKY; (b) dimKU 2dimKYG - dimKY + 1. Доказательство.
Так как Y нетривиальный подмодуль, действие группы G на Y точно и одноинвариантпо (следует из одноипварнаптпости G—модуля V). Таким образом, мы можем предположить, что Y = V и G—модуль V не имеет нетривиальных G—подмодулей. Следовательно,! ) = V , где Vo G—подмодуль V, который был определен в 2.5.(см. определение отображения А). Теперь Так как m — k k (см. 2.5.) получаем, что (а) вытекает из (23). Далее, (Ь) следует из (8), (23) и Леммы 10. Эта часть работы посвящена классификации одпоинварпантпых групп н некоторых частных случаях. А именно, в первом параграфе главы мы рассмотрим случай групп порядка pq , то есть случай, когда группа U, определенная в первой главе является циклической. Это обобщение тршшалыюго случая, когда порядок одиоинварпаптпон группы G равен р и следовательно, она является упипотентной циклической группой. Рассматриваем случай групп над алгебраически замкнутым нолем К. Далее, в параграфе 2 мы классифицируем одноиивариаптные группы порядка р2, при условии IG—длины группы один (определение IG— длины группы дано во введении и есть в параграфе 2 данной главы). Здесь и далее нас будут интересовать только неразложимые одноиивариаптные представления групп,
Классификация одноиивариантных групп IQ—длины 1, порядка р2
В этом параграфе будет дана классификация од пои пиар и ант пых групп порядка р2. Однако, мы исследуем здесь лишь некоторый класс одноинвариантных представлений. Итак, Определение. Пусть V— G—модуль. Предположим, что Vo vi -" K = v;i7V! Далее обозначим n = IIG{V) И назовём IQ—длиной группы G. Мы будем рассматривать в этом параграфе лишь группы IQ— длины один, и в этом случае дадим их полную классификацию. Теорема 7. Пусть К поле характеристики р. Пусть группа G = (а, т), , где ар = т1 = 1, от — то. Далее, пусть V -неразложимый одпоиивариаитиый G—модуль IG—длины 1. Пусть такоісе коразмерность V равна к. Тогда размерность V либо 2к -f 1, либо 2k. Более того, для любого т — 2к + 1 существует единственный такой G—модуль. Для любого т — 2k существует такой G—модуль, при этом, если К бесконечное поле, то число неизоморфиых неразложимых К[G]—модулей бесконечно. Доказательство. Пусть Г GL(W) линейная группа, где W— одиошшариантный Г—модуль IG— длины 1 над полем F. Тогда в пространстве W существует базис такой, что все элементы группы Г \
Пусть далее группа Д — GLn(K) х GLn+s(K) действует на Л/нхн+аС-К") следующим образом: стабилизатор М Доказательство. Действительно, пусть (Д В) Є Д, тогда А Є GLn(K), В Є GLn+s(K). Значит (Д В) G Gi тогда и только тогда, когда AMYB l = Mi. Получаем Следовательно, матрица В должна иметь вид (3). Далее, пусть Ь\,Ь2 Є A{nxn+S(K) матрицы такие, что Лемма 16. Предполооїсим s n. Тогда сугцествуют А Є GLn{K), В Є GLn+s(K) такие, что AL\B X = М\ и выполнено одно из двух или Доказательство. Можно считать, что L\ — Mi, а В имеет вид (3), но лемме 15. Предположим, что последние s столбцов L2 линейно зависимы, тогда с помощью преобразования: L2 — АЬ2В можно получить вид (5). Значит, можно считать, что последние s столбцов L2 линейно независимы. Представим Положим Y = 0sxn, D — Es в формуле (3) дли матрицы В , тогда Поскольку ranki = s найдётся А такая, что При таком преобразовании мы получаем L\ = Mi, Далее, прибавляя к первым п столбцам Li последние s мы приводом Li к виду П Лемма 18. Пусть п — s s п. Тогда найдутся А є GLn(K), В Є GLn+s(K) такие что AL\B — М\ и AL2B X имеет вид (5) , либо Доказательство. Можно считать по лемме 16, что L\ = М\ и L2 имеет нил (С). По лемме 17 можно вместо Т рассматривать А\ТА 1. Заметим, что при п — s s последние s столбцом матрицы Т линейно зависимы. Рассмотрим этот случай. Положим Лі — En-S, С = 0. Тогда, если то мы получаем С помощью матрицы D l можно получить, что последний столбец матриціл Т2 (а значит и Т) будет нулевым, таким образом получили вид (7) для L2. Рассмотрим случай п — s = s и последние s столбцов линейно независимы. Тогда Т GLS(K) и, следовательно существует D l такая, что T2D l = Е$. То есть можно считать, что
Далее, положим А\ — Es, D = E$i С = Т\ (где A D C из леммы С). Теперь и, таким образом, получаем вид (8). Лемма 19. Пустпь s п. Тогда существуют А є GLn{K), В є GLrt+il(K) такие, что AL\B — М\ и такоісс AL2B l имеет вид (5) или Доказательство. Как всегда можем считать, что L\ = М\. Так же положим А — Еп, a Y 0ЯХЯ. Предположим, последние 5 столбцов матрицы линейно зависимы, тогда получаем вид (5), если же они линейно независимы, а это возможно лишь при s = п, то рассуждении аналогичные проведенным в доказательстве леммы 15, показывают, что получается вид (0пхя \ Еп) . Лемма 20. Пусть s п. Тогда найдутся А є GLn(K), В Є GLn+H(K) такие, что AL\B = М\ и Доказательство. Если в лемме 1С мы имели вид (5), то лемма 20 выполнена при г = п. Пусть мы имели вид (G). Если п — s s пате утверждение следует из леммы 18 (имеем вид (7) и считаем г s). Предположим п — s s. Докажем паше утверждение индукцией по I = п — s — s начиная с / = 0. При / = 0 утверждение следует из леммы 18 (имеем вид (8) и считаем г = 0). Теперь пусть наше утверждение выполнено для всех пар (n,s), таких, что 0 п — 2s I и рассмотрим пару (n,s), где п — 2s — I. Можно предположить, что L\ = М\ и 1/2 имеет вид (С), где Т Mn syn(K). Теперь положим щ = п — S, 5i = S. Если si щ то мы можем получить паше утверждение ю Леммы 19 { берем г = п, или г = 0 соответственно). Если si пі, тогда мы
