Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Аппроксимируемость расшйрений групп
1. Предварительные замечания и результаты 21
2. Финитная аппроксимируемость расширеиий с центральными связанными подгруппами 49
3. Аппроксимируемость расширегшй в классе конечных р-групп 64
ГЛАВА II. Группы с одним определяющим соотношением
4. Предварительные замечания о строении групп Баумслага - Солитэра и групп Бруннера 92
5. Финитная аппроксимируемость и аппроксимируемость конечными р-группами групп Баумслага - Солитэра и групп Бруннера 113
6. Классификация и хопфовость групп Баумслага - Солитэра и групп Бруннера 127
7. О пересечении подгрупп конечного индекса в группах
Баумслага - Солитэра 144
ГЛАВА III. Отделимость подгрупп и некоторые другие аппроксимационные свойства групп
8. О финитной отделимости подгрупп 163
9. О финитной аппроксимируемости групп относительно сопряженности подгрупп 174
10. О группах с одинаковыми конечными гомоморфными образами 184
Литература 198
- Предварительные замечания и результаты
- Предварительные замечания о строении групп Баумслага - Солитэра и групп Бруннера
- О финитной отделимости подгрупп
Введение к работе
Понятие финитно аппроксимируемой группы, как свидетельствуют В. Чандлер и В. Магнус в историческом обзоре [25], впервые в явном виде появилось в работе А. И. Мальцева [13], где была установлена финитная аппроксимируемость конечно порожденных матричных групп и доказана хопфовость конечно порожденных финитно аппроксимируемых групп. Это понятие обобщалось затем в различных направлениях; в частности, в статьях А. И. Мальцева [14] и [15] рассматривались свойства апроксимируемости группы и отделимости подгруппы в произвольном классе групп. В настоящее время в наиболее общей форме аппроксимируемость групп определяется следующим образом (см. [7]):
Пусть G — некоторая группа и р — отношение между элементами и (или) множествами элементов, определенное на группе G и всех ее гомоморфных образах. Пусть также К — некоторый класс групп. Будем говорить, что группа G аппроксимируема группами из класса К (или, короче, К-аппроксимируема) относительно отношения р, если для любых элементов и множеств элементов из G, не находящихся в отношении р, существует гомоморфизм группы G на группу из класса 1С, при котором образы этих элементов и множеств также не находятся в отношении р.
В работах по данному направлению чаще всего рассматривается аппроксимируемость относительно отношения равенства (и в этом случае мы будем говорить просто о ^-аппроксимируемости), отношения сопряженности элементов и отношения вхождения в подмножество (если группа G К-аппроксимируема относительно вхождения в подмножество М, говорят, что подмножество М является неотделимым в G). При этом, как правило, в качестве /С выступает или класс Т всех конечных групп, или класс Тр всех конечных р-групп, или класс J\f всех нильпотентных групп.
Одним из заметных направлений в исследованиях по аппроксимируемости групп является изучение поведения того или иного ап- проксимационного свойства относительно той или иной теоретико-групповой конструкции. Так, прямое или декартово произведение произвольного семейства ^-аппроксимируемых или ^-аппроксимируемых относительно сопряженности групп является, очевидно, группой, К-аппроксимируемой или /С-аппроксимируемой относительно сопряженности соответственно. Вместе с тем, прямое произведение двух свободных групп ранга 2 содержит конечно порожденную подгруппу, не являющуюся ^-отделимой (см., напр., [26]), тогда как в силу теоремы Холла - Бернса (см. [10, с. 34]) в любой свободной группе все все конечно порожденные подгруппы /"-отделимы.
Аппроксимируемость свободного произведения групп рассматривалась К. Грюнбергом в работе [42]. В этой работе вводится понятие корневого класса групп и доказывается, что если класс групп К. является корневым, то свободное произведение произвольного семейства К- аппроксимируемых групп будет снова К,- аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда произвольная свободная группа К-аппроксимируема. (Напомним, что класс групп /С, содержащий хотя бы одну неединичную группу, называется корневым, если он замкнут относительно взятия подгрупп и конечных прямых произведений и для любой последовательности С ^ В ^ А подгрупп группы А такой, что С нормальна в В, В нормальна в А и фактор-группы В/С и А/В принадлежат классу /С, в подгруппе С содержится некоторая нормальная подгруппа D группы А, такая, что A/D Є К.) Недавно Д. Н. Азаров [2] заметил, что произвольный корневой класс содержит или все конечно порожденные нильпотентные группы, или все конечные р-группы, и потому каждая свободная группа является К,-аппроксимируемой для любого корневого класса /С. С учетом этого замечания теорема Грюнберга утверждает, таким образом, что для любого корневого класса К класс К- аппроксимируемых групп замкнут относительно свободных произведений. В частности, свободное произведение J7-аппроксимируемых групп или ^-аппроксимируемых групп является Т-аппроксимируемой или JFp-аппроксимируе- мой группой соответственно. Свободное произведение Л/"-аппроксими-руемых групп далеко не всегда будет М- аппроксимируемой группой (простейшим примером может служить свободное произведение двух циклических групп порядков 2 и 3); необходимые, а также достаточные условия АЛаштроксимируемости свободного произведения указаны А. И. Мальцевым [14]. Ранее Af-аппроксимируемостъ произвольной свободной группы была установлена В. Магнусом. В. Н. Ремесленников [20] показал, что свободное произведение произвольного семейства групп, ^-"-аппроксимируемых относительно сопряженности, является группой, jF-аппроксимируемой относительно сопряженности, а в работе Н. С. Романовского [22] доказано, что в свободном произведении произвольного семейства групп все конечно порожденные подгруппы ^"-отделимы, если ^-отделимыми являются все конечно порожденные подгруппы в каждой группе этого семейства.
Свободное произведение является исторически первой из так называемых свободных конструкций групп; другими свободными конструкциями являются обобщенное свободное произведение, т. е. свободное произведение групп с объединенными подгруппами, и расширение Хигмана - Неймана - Нейман (ДЛ^ІУ-расширение). Положение с аппрокеимационными свойствами этих конструкций оказывается более сложным, чем для обычного свободного произведения: свободное произведение с объединенными подгруппами двух ^-аппроксимируемых групп и НNN-расширение -?-"-аппроксимируемой группы далеко не всегда являются .Т7-аппроксимируемыми группами.
По-видимому, первым примером обобщенного свободного произведения двух ^-аппроксимируемых групп, не являющегося ^-аппроксимируемой группой, является группа Хигмана (a,b,c; b^ab — a2, с~хас — а2}, предложенная им в работе [44] в качестве примера нехопфовой конечно определенной группы. Ввиду нехопфовости и в силу теоремы Мальцева эта группа не является Т-аппроксимируемой. С другой стороны, она раскладывается б свободное произведение с объединенной циклической подгруппой групп (а, Ь; Ь~ аЬ = а ) и (а, с; с~ ас — а ), входящих в семейство так называемых групп Баумслага - Солитэра, т. е. в семейство групп с одним определяющим соотношением вида Н(1,т) = {а,Ь; Ь~1аЪ ~ ат), где I и т ненулевые целые числа. Именно в этом классе групп Г. Баумслаг и Д. Солитэр в 1962 году обнаружили первые примеры групп с одним определяющим соотношением, не являющихся /-аппроксимируемыми: оказалось (см. [35] и [55]), что группа Н(1,т) /-аппроксимируема тогда и только тогда, когда или \1\ — 1, или \т\ ~ 1, или |/| = \т\. Мы видим, таким образом, что группа Хигмана действительно является обобщенным свободным произведением двух /-аппроксимируемых групп. Кроме того, поскольку каждая группа Н(1, т) является ЛЛ/"Лг-расширеиием с проходной буквой Ь бесконечной циклической группы, порождаемой элементом а, среди групп Баумслага - Солитэра мы находим и примеры ЯІУІУ-расіпирений /'-аппроксимируемых групп, не являющихся /-аппроксимируемой группой.
Началом систематического изучения /-аппроксимируемости свободного произведения G = [А * В; Н К, <р) двух групп А я В с объединенными подгруппами Н и К следует, по-видимому, считать работу Г. Баумслага [33]. В этой работе доказано, что если группы А и В конечны, то группа G является /"-аппроксимируемой, и на основе этого результата с использованием введенного там же понятия пары совместимых подгрупп из свободных множителей сформулировано весьма общее достаточное (а также и некоторое необходимое) условие /-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух произвольных групп. Тем самым в работе [33] была предложена определенная методика получения конкретных результатов об /-аппроксимируемости обобщенных свободных произведений. Так, например, эта методика практически сразу приводит к /-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух /-аппроксимируемых групп в случае, когда объединяемые подгруппы конечны, а также к /-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечно порожденных абелевых групп. Подавляющее большинство известных результатов об /"-аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп было получено с использованием этой методики.
Развитие исследований /-аппроксимируемости НNN-расширений началось с работ [30] и [40], в которых практически одновременно и независимо было показано, что ЯЛ^ІУ-расширение G* = (G,t-rlAt = B,ip), базовая группа G которого конечна, является /"-аппроксимируемой группой. Более того, в работе [30] фактически было сформулировано понятие совместимой подгруппы, явившееся аналогом введенного Баумслагом вышеупомянутого понятия пары совместимых подгрупп, и на языке этого понятия указано достаточное условие /-аппроксимируемости ЯNN-расширения с произвольной базовой группой, из которого легко вытекает, например, /"-аппроксимируемость ifiVJV-расширения, базовая группа которого J7-аппроксимируема, а связанные подгруппы конечны. Некоторое уточнение формулировок из [30] приводит к методике, аналогичной той, которая была указана Баумслагом, и состоящей в том, что, как и в случае обобщенных свободных произведений, условия Т-аппроксимируемости HNN-расширеиия могут быть выражены как определенные свойства семейства всех совместимых нормальных подгрупп конечного индекса базовой группы. А именно, необходимое условие /"-аппроксимируемости ЯТУТУ-расширения состоит в том, что базовая группа его является не просто /"-аппроксимируемой, а аппроксимируемой факторгруппами по нормальным совместимым подгруппам конечного индекса, а достаточное условие /"-аппроксимируемости получается, если к этому добавить требование отделимости в классе таких фактор-групп каждой из связанных подгрупп (точные формулировки см. в 1).
Несмотря на то, что указанное необходимое условие ^-аппроксимируемости HNiV-расширения в общем случае не является достаточным (соответствующие примеры можно найти среди HNN-pac-ширений, базовая группа которых является бесконечной циклической, т. е. среди групп Баумслага - Солитэра), теорема 1.1 данной работы утверждает, что для достаточно широкого класса # TV TV-расширений это условие является и достаточным для JF-аппроксимируемости. Это так называемые нисходящие ІЇЛ^Лг-растирения, т. е. HNN-расширения, в которых одна из связанных подгрупп совпадает с базовой группой. С использованием этого результата получено более конкретное достаточное условие .Т7-аппроксимируемости нисходящего HNJV-расширепия (теорема 1.2), из которого, в свою очередь, следует, что нисходящее ЯА^іУ-расширение G* = (G,; t~lGt = В,<р) является .F-аппроксимируемой группой в следующих случаях:
1) G — свободная группа конечного ранга, а ее подгруппа Вимеет конечный индекс по модулю коммутанта G' группы G;
2) G — конечно порожденная свободная нильпотентная группа. Эти результаты были опубликованы в 1992 году в работе [68].
В этой работе отмечался, как открытый, вопрос о том, будет ли произвольное нисходящее ЯА^ІУ-расширение свободной группы Т-аштроксимируемой группой. Недавно А. Борисов и М. Сапир [37] с помощью методов, отличных от используемых здесь, доказали, что любое нисходящее ЯА^-расширение конечно порожденной свободной группы является Т-аппроксимируемой группой. В работе [47] утверждение пункта 2) было распространено на произвольные почти полициклические группы.
Упомянутые выше условия J7-аппроксимируемости HNN-p&c-ширения несмотря на их весьма общий характер и наличие существенного пробела между необходимым и достаточным условиями, в ряде случаев позволяют получать конкретные критерии J7-аппроксимируемости группы G* — (G,t; t~lAt = В,(р). Так, в случае, когда G является абелевой группой с конечным числом порождающих, со- ответствующий критерий указан в статье [27]. В теоремах 2.1 и 2.2 данной работы такие критерии (в других терминах) получены при более слабых предположениях, а именно: подгруппы А и В являются конечно порожденными и лежат в центре группы (?, Аф G ш В ^ G и все подгруппы, лежащие в подгруппе АВУ ^-"-отделимы в группе G.
Первый из этих критериев формулируется на языке последовательностей Uk и Vk подгрупп группы G, определяемых по правилу UQ = A, V0 = В и Uk+i = икГ\ Ук, Vk+i = ик+і<р, и утверждает, что (при указанных предположениях) группа G* = (G, i; t~lAi = В, ip) является ^-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда для некоторого п ^ 0 имеет место равенство Un — Vn.
Второй критерий утверждает, что при тех же предположениях группа G*' ^-аппроксимируема тогда и только тогда, когда в каж-дой нормальной подгруппе конечного индекса группы G содержится некоторая совместимая нормальная подгруппа, также имеющая конечный индекс в группе G. Отсюда в свою очередь следует, что если группа G является, к тому же, 7гс-группой, то группа G* является 7гс-группой тогда и только тогда, когда она .Т7-аппроксимируем а. (Напомним, что группа G называется 7гс~группой, если все ее циклические подгруппы .^-отделимы.) В частности, если группа G является конечным расширением полициклической группы и А и В — собственные центральные подгруппы группы G, то группа G* = (G,t; t~1At = B, у) является 7гс-груштой в точности тогда, когда она J7-аппроксимируема. Следует отметить, что в случае, когда G является конечно порожденной абелевой группой, последнее утверждение вытекает из результатов работ [27] и [63]. Отмечу также, что в доказательствах теорем 2.1 и 2.2 используют прием, который назван методом спуска и подъема совместимых подгрупп, и который состоит б установлении определенных связей между свойствами семейств совместимых подгрупп группы G и группы В (с подгруппами U = АГ\ В иУ = Uy>).
Переходя к рассмотрению ,7-р-аппроксимируемости HNN-p&c-ширений, заметим, что при получении указанных выше необходимых и достаточных условий .F-аппроксимируемости используется следующее свойство совместимых подгрупп: образы связанных подгрупп в фактор-группе базовой группы по нормальной совместимой подгруппе конечного индекса оказываются изоморфными, и соответствующее ЯІУтУ-расширение этой фактор-группы является ^-аппроксимируемой группой, как Я-/УЛг-расширение конечной группы. Поскольку как обобщенное свободное произведение двух конечных р-гругш, так и HNN-расширение конечной р-группы может не быть Tv-аппроксимируемой группой, для получения аналогов соответствующей методики необходимо располагать условиями ^-аппроксимируемости обобщенного свободного произведение двух конечных р-групп и iliViV-расширения конечной р-группы.
Для обобщенного свободного произведения соответствующий критерий указан Г. Хигманом [45], и на его основе в работе [11] был сформулирован аналог понятия совместимой пары подгрупп, с помощью которого был получен аналог методики Баумслага для изучения Тр-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения.
Почти очевидный "внешний"критерий ^.-аппроксимируемости ДА^-расширения G* — (G,t; t'^At — В,<р), базовая группа G которого является конечной р-группой, состоящий в существовании гомоморфизма группы G* на некоторую конечную р-группу, штьек-тивного на базовой группе, для указанной цели не подходит, так же как не подходит и вариант "внутреннего"критерия, указанный в работе [61]. В данной работе будет получен другой критерий (теорема 3.1), формулируемый практически в тех же терминах, что и вышеупомянутый критерий Хигмана, и соответствующая модификация на его основе понятия совместимой подгруппы приводит к условиям Tv-аппроксимируемости HNJV-расширения, формулировка которых (см. предложение 3.6) практически дословно повторяет упоминавшиеся выше условия ^-аппроксимируемости. Этот результат с использова- ниєм упоминавшегося выше метода спуска и подъема совместимых подгрупп приводит к характеризации Jp-аппроксимируемых HNN-расширений G* = ((?,; t"xAt ~ В, р-аппроксимируемой группы G и А П В ~ 1, то группа G* = ((?,; i~lAt = В, (/?) является .^-аппроксимируемой.
Результаты, перечисленные выше, содержатся в первой главе работы. Во второй главе рассматриваются аппроксимационные и близкие к ним свойства групп, принадлежащих двум известным классам групп с одним определяющим соотношением. Это уже упоминавшийся класс групп Баумслага - Солитэра, т. е. групп вида H(l,m) = {a,b; b"V& - ат); где тип — произвольные целые числа, отличные от 0, и класс некоторых ЯЛ^-расширений групп Н(1,т), состоящий из групп вида G(l, m; к) = (a, t; Г1а-На1Г1акі = am>, где 1,тжк — произвольные целые числа, отличные от нуля. (То, что группа G(l,m;k) является Я N N- расширением группы Н(1,т), становится очевидным после введения в ее представление нового образующего b вместе с определяющим соотношением b = t~la t.) В обоих случаях мы можем без потери общности считать, что \1\ ^ т > 0, а для групп Сг(/, m;fc) предполагать также, что к > 0.
Подробное изучение свойств групп G(l, го; к) впервые предпринял А. М. Бруннер в работе [38]. Следует, впрочем, заметить, что на группы этого класса еще в 1969 году обратил внимание Г. Ба-умслаг [31], доказав, что все конечные гомоморфные образы группы G(2,1; 1) являются циклическими группами (и приведя тем самым наиболее впечатляющий пример группы с одним определяющим соотношением, не аппроксимируемой конечными группами). Тем не ме- нее, здесь нам будет удобно называть группы вида G(l,rn;k) группами Бруннера.
Здесь показано, прежде всего, что упоминавшийся выше критерий ^-аппроксимируемости групп групп Баумслага - Солитэра, сформулированный в работе [35], уточненный в [55] и утверждающий, что группа Н(1,т) (где \1\ ^ т > 0) является J7-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда или т = 1, или )/| — т, может быть получен как непосредственное следствие результатов главы I. Доказано также (теорема 5.3), что группа Бруннера G{l.m\ к) (где к > 0 и |/| ^ т > 0) является ^-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда |/| = га; необходимость условия отмечена без доказательства в [38].
С помощью результатов главы I получена и характеризация Fp-аппроксимируемых групп Баумслага - Солитэра и Бруннера: группа Н{1,т) ^-аппроксимируема тогда и только тогда, когда или т = 1 и I 1 (mod р), или \1\ — т = рг для некоторого г ^ 0, причем если I = -т, то р — 2 (теорема 5.2); группа G(l,m; к) является Рр-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда |/| — т = рТ и к = ps для некоторых целых чисел г ^ 0 и О 0, причем если I = —т, то р = 2 и s ^ г (теорема 5.4).
Дальнейшие результаты главы II относятся к свойствам групп Баумслага - Солитэра и Бруннера, связанным с понятием хопфово-сти.
Напомним, что группа G называется хопфовой, если она не может быть изоморфной никакой своей истинной фактор-группе, т. е. для любой нормальной подгруппы N группы G из G/N с± G следует, что N = 1. В противном случае группа G называется нехопфовой.
Вопрос о существовании конечно порожденных нехопфовых групп был сформулирован Хопфом в 1932 году (см. [25]), и первым общим результатом по этому вопросу явилась теорема Мальцева [13], утверждающая хопфовость произвольной конечно порожденной Т-аппроксимируемой группы. Первый пример конечно порожденной нехопфовой группы принадлежит Б. Нейману [57]; построенная им нехопфова группа имеет два порождающих, по требует бесконечного множества определяющих соотношений. Г. Хигманом [44] построен пример нехопфовой группы с тремя порождающими и двумя определяющими соотношениями. Минимальные в этом смысле примеры нехопфовых групп с двумя порождающими и одним определяющим соотношением были указаны в работе Г. Баумслага и Д. Солитэра [35] среди групп Н(1. т) (отсюда и общепринятое и обозначенное выше наименование групп этого класса). Было доказано, что группа Н(1,т) не является хопфовой тогда и только тогда, когда т > 1 и множество простых делителей числа I не совпадает с множеством простых делителей числа т. В той же работе были приведены примеры двух неизоморфных групп, гомоморфно отображающихся друг на друга, причем одна из них совпадает с некоторой группой Я(І, т). а другая, как удалось установить, не может быть определена одним соотношением. В связи с этим в 1969 году автором был сформулирован вопрос (см. [8, вопрос 3.33]), будут ли изоморфны две группы, каждая из которых задается одним определяющим соотношением и является гомоморфным образом другой? Здесь будет доказано (в теореме 6.3), что для групп Баумслага - Солитэра ответ на этот вопрос положителен, и, более того, будет дана классификация этих групп. Отрицательный ответ на этот вопрос на примерах, являющихся группами Бруннера, был анонсирован в работе [5]. Здесь при \1\ > т будет дана классификация групп Бруннера, а также будут перечислены все пары неизоморфных групп Бруннера, гомоморфно отображающихся друг на друга (теорема 6.4). Оказалось, что среди групп G(l, т; к) имеется бесконечно много пар, доставляющих контрпримеры к сформулированному выше вопросу; минимальную такую пару составляют группы С?(18,2;2) и &(18,2;6). В этом же параграфе доказана теорема 6.2, утверждающая, что группа G(l, m; к) не является хопфовой тогда и только тогда, когда \l\ > m > 1, число m является делителем чисел I и к и числа m и l/m взаимно просты (достаточность этих условий установлена в работе [38]),
В последнем параграфе второй главы рассматривается вопрос В. Магнуса, сформулированный в работе Р. Хиршона [46].
Для произвольной группы G через c(G) будет обозначаться пересечение всех нормальных подгрупп конечного индекса группы G. Из хопфовости конечно порожденных Т- аппроксимируемых групп следует, что для любого сюръективного эндоморфизма ip конечно порожденной группы G имеет место включение Кетр С a(G), а потому — и включение К((р) С о*((7), где
Спрашивается, какие нехопфовы группы с конечным числом порождающих обладают хотя бы одним сюръективным эндоморфизмом <р таким, что K(tp) = o-(G). В работе [46] такие эндоморфизмы были явно указаны для ряда известных конечно определенных нехопфо-вых групп и поставлен вопрос о существовании эндоморфизма с указанным свойством в произвольной конечно определенной нехопфовой группе. Нетрудно показать, тем не менее, что ответ на этот вопрос отрицателен. А именно, в теореме 7.1 указаны условия, при которых свободное произведение групп G — (А * Б; И) групп А и В с объединенной подгруппой Н является нехопфовой группой, ни один сюръективный эндоморфизм ip которой не удовлетворяет равенству К{<р) = a(G). Конкретным контрпримером, полученным с помощью этого результата является группа G = {a,b,c; &_1о26 = а3, Ь - [Ь^с'Чс]).
С другой стороны, один из результатов работы [46] утверждает, что группа Баумслага - Солитэра Н(1,т) в случае, когда числа I и т взаимно просты, таким сюръективным эндоморфизмом ip, что K(ip) = а(Н(1,т)), обладает. Основная часть этого параграфа направлена на получение исчерпывающей характеризации тех групп #(7, m), которые обладают сюръективиым эндоморфизмом с указанным свойством. Здесь доказана теорема 7.2, утверждающая, что если Н(1,т) — произвольная группа Баумслага - Солитэра и если числа I и т, определяющие эту группу, записаны в виде I = 1\р и т ~ m\q , где (р,т) = (д,І) = 1 и положительные числа ^ и т\ имеют одни и те же простые делители, то группа H(l,m) обладает сюръективиым эндоморфизмом (р таким, что К(<р) — a(H(l, т)), тогда и только тогда, когда mi = п\.
В третьей главе работы рассматривается свойство отделимости подгрупп, а также некоторые другие аппроксимационные свойства групп.
Напомним, что в соответствии с общим подходом к определению аппроксимационных свойств групп К- отделимость подгруппы Н группы G (где /С — некоторый класс групп) означает, что для любого элемента д группы G, не принадлежащего подгруппе И, существует такой гомоморфизм ір группы G на некоторую /С-группу, что
9Ч> І Н<Р-
Говоря о группе, в которой ^-отделимы все подгруппы, или все конечно порожденные подгруппы, или все циклические подгруппы, обычно тем самым предполагают /С- отделимость и единичной подгруппы, т. е. /С-аппроксимируемость этой группы. Тем не менее, К,-отделимость подгрупп оказывается, как правило, более сильным свойством группы, чем /С-аппроксимируемость. Например, группа Баумслага - Солитэра Н(1,1) при \1\ > 1 содержит циклическую подгруппу, не являющуюся .Т7-отделимой. В статье [39] приводится пример группы, являющейся расширением свободной группы ранга два при помощи бесконечной циклической группы и содержащей не Т-отделимую 2-порожденную подгруппу. С другой стороны, по теореме 1 из [15] эта группа является .F-аппроксимируемой, а по теореме 4 из [26] — 7гс-группой (т. е., напомним, группой, все циклические подгруппы которой ^-отделимы).
Группы, упомянутые в предыдущем абзаце, являются нисходя- щими HNN-расширениями некоторой группы, и первый результат третьей главы (теорема 8.1) содержит необходимое и достаточное условие принадлежности произвольного нисходящего ЯЛ^-расши-рения классу 7гс-групп. Это условие, формулируемое в тех же терминах, что и теорема 1.1, означает, что каждая циклическая подгруппа базовой группы HNN-расширения отделима ее фактор-группами по нормальным совместимым подгруппам конечного индекса.
Следующий результат относится к группам с одним определяющим соотношением, обладающих нетривиальным центром. Хорошо известно, что группы этого класса обладают рядом аппроксимацион-ных свойств. Они J7-аппроксимируемы и даже J*7-аппроксимируемы относительно сопряженности (см., напр., [41]). Критерий ^-аппроксимируемости таких групп получен в работах [52] и [54], причем установлено, что группа с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром А/"- аппроксимируема тогда и только тогда, когда она является ^-аппроксимируемой для некоторого простого р. Теорема 8.2 данной работы утверждает, что в группе с одним определяющим соотношением, обладающей нетривиальным центром, все конечно порожденные подгруппы ^"-отделимы.
В силу общего замечания А. И. Мальцева [15] о связи ^-аппроксимируемости конечно определенной группы относительно некоторого отношения и алгоритмической распознаваемости этого отношения следствием теоремы 8.2 является установленная В. Н. Безверхним [4] для групп с одним соотношением и нетривиальным центром разрешимость проблемы вхождения в конечно порожденные подгруппы.
Заметим, что предположение о конечной порожденности подгрупп является здесь существенным: каждая группа с одним соотношением и нетривиальным центром содержит неотделимую подгруппу, если, разумеется, она вообще содержит хотя бы одну подгруппу, не являющуюся конечно порожденной (т. е. не является циклической и не изоморфна (полициклической) группе Я(±1,1)),
Следует также отметить, что теорема 8.2 была опубликована в 1987 году в работе [65], а в опубликованной в том же году статье [39] утверждение этой теоремы было доказано при дополнительном предположении нормальности подгрупп.
Рассмотрим теперь другой вид отделимости подгрупп, который получается заменой отношение принадлежности подмножеству отношением быть сопряженным с некоторым элементом этого подмножества. Более точно, назовем подмножество М группы G сопряженно /С-отделимым, если для любого элемента а Є (7, не сопряженного ни с одним элементом из М, найдется такой гомоморфизм (р группы G на некоторую группу из класса /С, что элемент а<р не сопряжен в группе G(p ни с одним элементом из подмножества Мір.
Этот вид отделимости подмножеств также представляет определенный интерес. Хорошо известно, например, что если класс К, гомоморфно замкнут, то для любой нормальной подгруппы N группы G /С-аппроксимируемость фактор-группы G/N равносильна /С-отдели-мости подгруппы N. В работе [6] замечено, что если снова К — гомоморфно замкнутый класс , то для любой группы G и произвольной ее нормальной подгруппы N фактор-группа G/N является ^-аппроксимируемой относительно сопряженности тогда и только тогда, когда каждый смежный класс группы G по подгруппе N сопряженно неотделим.
Как уже упоминалось, все конечно порожденные подгруппы свободной группы являются ^-отделимыми; здесь доказывается (в теореме 8.3), что все они и сопряженно ^-отделимы. В общем случае свойства ^-"-отделимымости и сопряженной ^-отделимымости конечно порожденных подгрупп, как показывают примеры, являются независимыми.
В общую схему понятия аппроксимируемости группы относительно некоторого отношения между элементами и множествами элементов этой группы укладывается еще одно естественное аппрок-симационное свойство групп. Будем говорить, что группа G 7- аппроксимируема относительно сопряженности (конечно порожденных) подгрупп, если для любых двух (конечно порожденных) подгрупп Н и К группы G, не сопряженных в ней, существует гомоморфизм (р группы G на конечную группу X такой, что образы Hip и Kip подгрупп Н и К не сопряжены в группе X.
Это свойство групп рассматривалось в работе В. Н. Ремеслен-никова [21], где было доказано, что конечно порожденные нильпо-тентные группы Т- аппроксимируемы относительно сопряженности подгрупп. Впоследствии этот результат был распространен на класс полициклических групп в работе [43]. Теорема 9.1 данной работы утверждает, что произвольная свободная группа .Т7-аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп. Следствием этой теоремы является алгоритмическая распознаваемость сопряженности конечно порожденных подгрупп свободной группы; ранее этот результат был получен другими методами в работе [17].
Интересной оказалась ситуация с ^-аппроксимируемостью относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп для групп Баумслага- Солитэра вида Н(1,1). Если I = ±1, группа Н(1,1) является полициклической, и потому ^-аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп в силу вышеупомянутого результата работы [43] (при I — 1 это просто очевидно). В оставшемся случае \1\ > 1 группа H(l,l) JF-аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп тогда и только тогда, когда I = ±р для некоторого простого числа р (теорема 9.2).
Результаты последнего параграфа работы относятся к проблеме определяемости ^"-аппроксимируемой группы G семейством F{G) ее конечных гомоморфных образов.
Хорошо известно, что вопрос о том, будут ли ^-аппроксимируемые группы G и Я обязательно изоморфны, если F(G) = -?-*(#), в общем случае решается отрицательно. В. Н. Ремесленников [21] привел пример двух неизоморфных 2-порожденных 4-ступеш-го нильпотент- ных групп с одинаковыми конечными гомоморфными образами. В работе Г. Баумслага [32] указана серия пар неизоморфных метацик-лических групп, также имеющих одни и те же конечные гомоморфные образы. С другой стороны, имеется не так уж много результатов противоположного характера. Уместно напомнить, в частности, что до сих пор неизвестен ответ на вопрос В. Ы. Ремесленникова, будут ли изоморфными две конечно порожденные финитно аппроксимируемые группы с одинаковыми семействами конечных гомоморфных образов, если одна из них — свободная или свободная разрешимая (см. [8], вопрос 5.48).
Сформулируем результаты, полученные здесь в этом направлении.
В теореме 10.1 утверждается, что для любой конечно порожденной ^-аппроксимируемой группы G и произвольной ее нормальной подгруппы N из равенства Т{&) = T{GjN) следует, что N = 1. Этот результат можно рассматривать как некоторое усиление теоремы А. И. Мальцева о хопфовости конечно порожденных .F-аппрок-симируемых групп.
С помощью теоремы 10.1 можно получить следующий результат, представляющий, возможно, определенный интерес в связи с вышеупомянутым вопросом В. Н. Ремесленникова: если конечно порожденная группа G является конечным расширением свободной группы и если T{G) = ^F(H) для некоторой свободной группы Я, то группы G и Н изоморфны.
Наконец, в двух последних результатах работы сравниваются конечные гомоморфные образы групп Баумслага - Солитэра вида Н(1,1). Доказано (в теореме 10.3), что для любых ненулевых целых чисел к и / равенство F(H(k, 1)) = F{H(l, 1)) имеет место тогда и только тогда, когда к = I. Отсюда следует, в частности, однозначная определяемость группы #(Z, 1) семейством конечных гомоморфных в классе всех ^-"-аппроксимируемых групп с одним определяющим соотношением.
Если же рассматривать лишь те конечные гомоморфные образы, которые являются р-группами (при фиксированном простому), утверждение теоремы 10.3 перестает быть справедливым. Соответствующая классификация групп вида Н(1,1) получена в теореме 10.4.
Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных и Международных конференциях в Красноярске (1980, 1993), Ленинграде (1981), Минске (1983), Свердловске (1989), Новосибирске (1989), Барнауле (1991), Санкт-Петербурге (1997), Туле (2003), Москве (2004), на семинаре по теории групп МГУ и на алгебраическом семинаре Ивановского госуниверситета. Основные результаты опубликованы в работах [64]-[81].
Предварительные замечания и результаты
Этот параграф начинается с определения и перечисления основных свойств свободных конструкций групп — обобщенного свободного произведения, т. е. свободного произведения с объединенными подгруппами, и расширения Хигмана - Неймана - Нейман [HNN-расширения). Несмотря на то, что в данной работе основным предметом изучения является конструкция ДА -расширения, в ряде доказательств используются и свойства обобщенных свободных произведений; целесообразность подробного введения здесь соответствующих понятий и свойств оправдана тем, что в существующей монографической и учебной литературе отсутствуют некоторые необходимые нам детали, а также тем, что в некоторых случаях определения используемых понятий несколько отличаются от принятых в этих источниках.
Начнем с понятия свободного произведения двух групп с объединенными подгруппами.
Пусть А и В — две группы, каждая из которых задана представлением образующими и определяющими словами:
Предварительные замечания о строении групп Баумслага - Солитэра и групп Бруннера
Поскольку группа (7(7, т; к) является ІУТУТУ-расширением с проходной буквой t группы Н(1,т), а группа Н(1,т), в свою очередь, является НNN-расшярением с проходной буквой Ь бесконечной циклической группы, порождаемой элементом а, нам придется говорить о t-длине и і-приведенной записи и о Ь-длине и Ь-приведенпой записи элементов группы G{l m\ к).
Как отмечено в работе [38], группа (?(7, т; к) изоморфна каждой из групп G( l, -т;к), G{l m\ —к) и G(m,l; —к). Поэтому без потери общности можно считать, что числовые параметры I, т и к, определяющие произвольную группу Бруннера, удовлетворяют условиям к 0 и \1\ т 0. Очевидно, что и при рассмотрении группы Н(1,т) можно предполагать выполненным условие \1\ т 0.
Обозначим через В циклическую подгруппу группы Н(1, т), порожденную элементом Ь, а через L(l,m) нормальное замыкание в группе Н(1,т) элемента а. Очевидно, что группа Н{1,т) является расщепляемым расширением подгруппы L(l,m) при помощи бесконечной циклической группы В и что элемент h Є Н(1,т) принадлежит подгруппе L(l:m) в точности тогда, когда сумма показателей по Ъ в (произвольном) слове от образующих а и 6, представляющем элемент h, равна 0. Используя стандартную процедуру Рейдемейстера - Шрейера (см. напр. [12]), приходим к следующему хорошо известному результату:
Предложение 4.1. Группа L(l,m) в образующих щ = Ь1аЬ 1 (і Є Ж) определяется соотношениями а\ = а _х (і Є %), т. е. является древесным произведением счетного семейства бесконечных циклических групп с очевидными объединениями.
О финитной отделимости подгрупп
Теорема 8.1. Пусть G — некоторая группа, В — подгруппа группы G, изоморфная этой группе, и (р : G - В — изоморфизм. Пусть G — (G, t\ t lGt = В7р) — нисходящее П NN-расширение группы G. Группа G является ТТС-группой тогда и только -тогда, когда для каждой циклической подгруппы А группы G семейство FQ(G,B,IP) всех (G, В, if)-совместимых нормальных подгрупп конечного индекса группы G является А-филътрацией.
Доказательство. Необходимость условия теоремы почти очевидна. Если, в самом деле, А — произвольная циклическая подгруппа группы G и g — не принадлежащий ей элемент группы G, то найдется гомоморфизм ф группы G в конечную группу, такой что дф . Аф. Тогда д . AN, где N есть пересечение подгруппы G и ядра гомоморфизма ф и потому является (G, В, (/ -совместимой нормальной подгруппой конечного индекса группы G.
Приступая к доказательству достаточности, заметим, прежде всего, что произвольное ЯЛТ-ЛГ-расширение с конечной базовой группой является 7Гс-группой. Действительно, в силу предложения 1.15 такое ВЛ ІУ-расширение J -"-аппроксимируемо и потому, как легко видеть (ср. предложение 3.1), является конечным расширением свободной группы. Хорошо известно [26] (и без труда проверяется), что конечное расширение произвольной 7гс-группы снова будет 7гс-грушгой.
Таким образом, для доказательства -отделимости произвольной циклической подгруппы С группы G достаточно для любого элемента д є G \С указать такую (G, В, -совместимую нормальную подгруппу Н конечного индекса группы G, что дрн ф Срн.
Напомним, что произвольный элемент д Є G однозначно представим в виде д = tmat n для подходящего элемента а Є С и неотрицательных целых чисел та и п, причем если mn ф 0, то элемент а не входит в подгруппу В; будем временно называть такую запись элемента д канонической.
