Содержание к диссертации
Введение
2 Группы, насыщенные центральными расширениями L2(q) 23
2.1. Периодические группы, насыщенные SL2(q) 23
2.2. О группах, насыщенных L2(Ka) х Z2 25
2.3. О группах Шункова, насыщенных L2(2n) х Z2 33
2.4. Группы Шункова, насыщенные L2{Ka) х Z2 37
3 Группы, насыщенные Z-группами 42
3.1. Группы Шункова, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами 42
3.2. О периодических группах с конечной силовской 2-подгруппой, насыщенных конечными простыми Z-группами 52
3.3. Группы Цассенхауза с бесконечной силовской 2-подгруппой 54
4 Группы, насыщенные различными множествами групп 57
4.1 . О локальной конечности некоторых групп, насыщенных группами диэдра 57
Список литературы 60
Публикации автора по теме диссертации 66
- Периодические группы, насыщенные SL2(q)
- О группах Шункова, насыщенных L2(2n) х Z2
- О периодических группах с конечной силовской 2-подгруппой, насыщенных конечными простыми Z-группами
- . О локальной конечности некоторых групп, насыщенных группами диэдра
Введение к работе
Группа G насыщена группами из множества групп 1Я, если любая конечная подгруппа К из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из Н. Пусть группа G насыщена группами из множества ЇЯ, и для любой группы X є 9 в G найдется подгруппа L ~ X. В этом случае множество д\ называется насыщающим множеством групп для G.
Понятие насыщенности впервые появилось в работах А.К. Шлеп-кина [42-51] и было обусловлено следующими двумя причинами.
Различные конструкции периодических нелокально конечных групп [1-3,П>13,Н,25-31,33,39,40] показали, что между классом локально конечных групп и классом всех периодических групп существует бесконечно много промежуточных классов групп с условиями конечности более слабыми, чем локальная конечность. Однако, сразу выявилась характерная особенность этих конструкций. Это были как правило, р-группы, или группы, полученные из них при помощи различного рода расширений, т.е. непростые группы. Не особенно разнообразной была и структура конечных подгрупп в этих группах. Например, в группах Ольшанского [27-31] это были в точности циклические группы.
При изучении групп Шункова с условием примерной минимальности А.К. Шлёпкиным [46] анализировался контрпример с заданными периодическими простыми подгруппами и системой конкретных конечных простых неабелевых подгрупп. Все такие группы оказались локально конечными. Но, естественно, возник вопрос, а существуют ли периодические не локально конечные группы, в которых структура конечных подгрупп была более „простой", чем в конструкциях [1-3,11,13,14,20,21,24,26-31,33,39,40] (в том смысле, что указанные группы содержали бы конечные простые неабелевы группы, в отличие от групп Ольшанского, в которых любая конечная нетривиальная подгруппа является циклической простого порядка). Следующий вопрос поставлен А.К. Шлепкиным.
Вопрос. Существуют ли простые, периодические не локально конечные группы содержащие конечные простые неабелевы подгруппы?
Как оказалось, насыщенность является естественным обобщением покрытия группы. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в работах П.Г. Конторовича [17,18]. В конце 60-х годов П.Г. Конторович, А.С. Пекелис и А.И. Старостин стали рассматривать покрытия в классах бесконечных групп [19]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, можно найти в [19]. В начале 80-х годов В.В. Беляев [4] и независимо А.В. Боровик [5], С. Томас [60], Б. Хартли и Г. Шют [59] доказали следующую теорему:
Если локально конечная группа G обладает локальным покрытием, содержащим множество подгрупп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиева типа конечного ранга.
Напомним понятие локального покрытия. Множество 9Л подгрупп группы G называется локальным покрытием, если G = \J X, и для любого Х: Y є Ш в ЗЯ найдется элемент Z, такой, что X С Z и Y С Z. Если группа обладает локальным покрытием, состоящим из некоторого множества конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Примеры периодических не локально конечных групп, насыщенных заданными множествами конечных групп, хорошо известны. Так группы Новикова-Адяна В(т,п) для нечетных п [26] насыщены одной циклической группой порядка п. Примеры периодических групп без инволюций, насыщенных группами из множества, состоящего из любого конечного числа конечных групп без инволюций, дают периодические произведе ния [23]. Этот перечень можно существенно расширить примерами групп из [27-30]. Бесконечная локально конечная группа не может быть на сыщена подгруппами из конечного множества. То же самое справедливо для групп Шункова с бесконечным числом элементов конечного поряд- ( ка, так как, по [46], они обладают бесконечными локально конечными подгруппами.
В связи с приведенной выше теоремой о локально конечных группах возникает следующий вопрос, вошедший в Коуровскую тетрадь под номером 14.101 [22]:
Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?
Частичным решениям этого вопроса посвящен ряд работ і"
А.К. Шлёпкина, А.И. Созутова, О.В. Васильевой, А.Г. Рубашкина, А.А.
Кузнецова [7-10,34,36,37,42-51]. Уже в этих работах выявилось, что понятие насыщенности эффективно работает не только в случае, когда насыщающее множество состоит из конечных простых неабелевых групп. Так, О.В. Васильева установыла структуру групп Шункова насы- f щенных центральными расширениями Ь2(д), а А.Г. Рубашкин [34] рас- сматривает периодические группы, насыщенные группами диэдра, как необходимый случай характериризации групп Ь2{Р) через понятие насыщенности в классе периодических групп. Как оказалось, периодические группы ограниченного периода, насыщенные группами диэдра, локально конечны. Однако ослабление этого условия на условие, что насыщающее множество состоит из прямых произведений групп диэдра, уже не приводит к такому результату. А именно, Лысенок [25] и Иванов [58] показали, что группы В(т,п) при достаточно больших п насыщены прямыми произведениями групп диэдра.
Другими словами, бернсайдовы группы достаточно большого чётно го периода насыщены прямыми произведениями конечных групп диэдра, взятых в конечном числе. I Необязательно периодическая бесконечная группа называется сла- бо (сопряженно) бипримитивно конечной, если в ней любая пара (со-пряженных) элементов одного и того же простого порядка порождает конечную подгруппу [53], т.е. по данному копируют поведение инволюций в периодической группе. Если это свойство наследуют все сечения группы по конечным подгруппам, то такая группа называется (сопряженно) бипримитивно конечной. Сейчас эти группы называются также группами Шункова. Подчеркнём, что группа Щункова, порождённая элементами конечных порядков, не обязана быть периодической. Примеры таких смешанных групп существуют уже в классе разрешимых групп [41]. По-этому для групп Шункова актуален вопрос о расположениях элементов конечных порядков, в частности, составляют ли элементы конечного порядка в группе характеристическую подгруппу — периодическую часть?
Под периодической частью T{G) группы G здесь понимается под- ' группа, порожденная всеми элементами конечного порядка из G, при условии, что она периодическая.
Настоящая диссертация посвящена изучению периодических групп и групп Шункова, насыщенных либо Z-группами, (напомним, что Z-группой (группой Цассенхауза) называется дважды транзитивная группа подстановок, в которой лишь единичная подстановка оставляет на месте более 2-х точек), либо центральными расширениями групп *2{К), где К - конечное поле. Продолжено также изучение периодических групп, насыщенных группами диэдра. Основные решаемые в диссертации вопросы в указанных классах групп: конкретизация строения изучаемых периодических групп; доказательство локальной конечности некоторых периодических групп; установление в рассматриваемых группах Шункова периодических частей и доказательства их локальной конечности.
Изучение в диссертации периодических групп, насыщенных центральными расширениями L2(K), с одной стороны, продиктовано потребностями характеризации локально конечных простых групп лиева типа в связи с указанным выше вопросом 14.101 из Коуровской тетради [22]. С другой стороны, эти исследования оказались интересными и востребованными в связи с упомянутыми выше направлениями комбинаторной теории групп и вопросом А.Ю. Ольшанского [71]: Существует ли периодическая не локально конечная группа G, насыщенная множеством 21 = {(а) х (6)}, где |а| = |Ь| - р - тг(С)?
Остановимся подробнее на содержании диссертации. В главе 1 приведены известные определения и результаты, использующиеся в доказательстве основных результатов диссертации (главы 2,3,4). Часть из них приведена с доказательствами.
В главе 2 исследованы группы Шункова и также периодические группы, насыщенные центральными расширениями групп L2(K), где К -конечное поле. Результаты этой главы являются продолжением исследований, начатых О.В. Васильевой и А.К. Шлепкиным в [7-10]. Получены следующие результаты:
Пусть I - множество индексов, Ка — конечное поле для любого а Є /, 9Т = {SL2{Ka)\a Є /}(другими словами, множество "УХ - это множество специальных линейных групп размерности 2 над конечными полями). Отметим, что для различных а и (5 характеристики полей Ка и Кр могут быть различными.
Теорема 1. Бесконечная периодическая группа G, насыщенная группами из множества 9Т, изоморфна группе SL2(P) над подходящим локально конечным полем Р
В том случае, когда группа G - группа Шункова, указанный результат был доказан О.В. Васильевой [7]. Здесь мы рассматриваем группу G как произвольную периодическую группу.
Пусть *К = {L2(Ka)\a Є 1} (множество проективных специальных линейных групп размерности 2 над конечными полями, причем, для различных аир характеристики полей Ка и Кр могут быть различными). Определим множество 9Я — {L2(Ka) х Z2\L2(Ka) Є ІЯ)}, (множество ЙЯ состоит из групп явлющихся прямыми произведениями групп из множества Н и группы порядка 2, которую мы обозначаем через Z2).
Теорема 2. Локально конечная группа G, насыщенная группами из множества 9Л, изоморфна Ь2(Р) х Z2, для подходящего локально конечного поля Р.
Теорема 3. Периодическая, непростая группа G, насыщенная группами из множества УЯ, изоморфна Ь2(Р) х Z2, для подходящего локально конечного поля Р
Данная теорема сводит изучение периодических групп G, насыщенных множеством 97Ї, к ситуации, когда G - простая группа. Теорема 3 существенно используется для установления структуры групп Шункова, насыщенных множеством 9Я, которая описывается в следующем предложении:
Теорема 7. Группа Шункова G, насыщенная множеством 9Л, обладает периодической частью T(G), изоморфной группе Ь2{Р) х Z2, для подходящего локально конечного поля Р.
В доказательстве результатов главы 2 существенно использовалась характиризация групп L2(P) в классе периодических групп через понятие насыщенности, полученная в [66].
В главе 3 изучаются группы Шункова и произвольные периодические группы насыщенные Z группами. Доказанно
Теорема 8. Группа Шункова, насыщенная конечными простыми Z-группами обладает периодической частью T{G) изоморфной либо Ь2(Р), либо Sz(Q), где Р и Q - подходящие локально конечные поля.
Развитие идей, заложенных в данном доказательстве,- позволило доказать аналог данной теоремы в классе периодических групп, а именно
Теорема 10. Периодическая группа G, насыщенная конечными простыми Z - группами, изоморфна либо Ь2(Р), либо Sz(Q), где Р и Q -подходящие локально конечные поля.
В главе 4 изучаются группы диэдра. Уточним здесь некоторые определения. Произвольная группа, порожденная двумя инволюциями, называется группой диэдра, или диэдром, если она к тому же конечна, то конечным диэдром. Будем называть группу локально конечным диэдром, если она является объединением бесконечной возрастающей цепочки конечных диэдров. Данная глава является продолжением исследований, начатых А.Г. Рубашкиным и связана с известными конструкциями периодических групп Лысенка и Иванова, которые не являются локально конечными и насыщены прямыми произведениями групп диэдра, взятыми в конечном числе. Естественно было попытаться получить какие либо критерии локальной конечности периодических групп, насыщенных группами диэдра. Один из таких критериев и получен в данной главе. Сформулируем его:
Теорема 11. Периодическая финитно-аппроксимируемая группа, насыщенная группами диэдра, является локально конечным диэдром.
Результат, доказанный в теореме 8, получен в равном соавторстве с А.Г. Рубашкиным. Частный случай теоремы 10, когда силовская 2 - подгруппа группы G конечна, независимо доказанн А.И. Созутовым. Остальные результаты диссертации получены диссертантом лично.
Результаты диссертации докладывались автором на "Мальцевских чтениях" в 2003-2005 гг., семинарах "Алгебра и Логика" и "Теория групп" (НГУ), на XLII Международной научной студенческой конференции в 2004 г. "Студент и научно-технический прогресс", проходившей в г. Новосибирске, Международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения профессора А.И. Кокорина "АЛиК-2004", проходившей в г. Иркутске, Международной алгебраической конференции посвященной 100-летию со дня рождения П.Г. Конторовича и 70-летию Л.Н.Шеврина, проходившей в г. Екатеринбурге. Резкльтаты диссертации неоднократно обсуждались на семинарах при КрасГУ, КрасГАУ и КрасГАСА.
Во время работы над диссертацией автор получал поддержку Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-01-00356) и Красноярского краевого фонда науки (грант № 11F0202C).
Основные результаты по теме диссертации опубликованы в [?,61-70].
Автор выражает благодарность научному руководителю профессору Н.М. Сучкову за постановку задачи, помощь в работе и внимание с его стороны.
Периодические группы, насыщенные SL2(q)
В настоящем параграфе / означает множество индексов, Ка — конечное поле для любого а /, 91 — {SL2(Ka)\a /}. Отметим, что для различных а и /3 характеристики полей Ка и Кр могут быть различными. Теорема 1. Бесконечная периодическая группа О, насыщенная группами из множества 91, изоморфна группе 5Х2(,Р) над подходящим локально конечным полем Р.
Доказательство. Если 91 содержит только такие 5L2(i Q), что Ка - конечное поле характеристики 2, то все доказано в силу предложений 21, 31, так как в этом случае SL,2{Ka) — L,2{Ka). Поэтому будем предпологать, что 91 содержит SL2(Kp) и К$ — конечное поле нечетной характеристики. Обозначим через z инволюцию из SL2(K(i). Для любого g Є G группа D = (z,z9) — конечна. По условию насыщенности D С К С G и либо К 5Х2(А"7), и К7 — конечное поле нечетной характеристики, либо К SL2{K) и Ks — характеристики 2. Покажем, что ситуация К SL2{Ks) невозможна. Действительно, в этом случае в К найдется инволюция v ф z и vz — zv. Так как группа G периодическая, то подгруппа {h,v} конечна (здесь h такой элемент из SL2(K(s), что h2 — z) и (/г, v) с CQ{Z). По условию насыщенности (h,v) С GK{Z) С К є Уі, что невозможно по предложениям 19, 20. Итак, z единственная инволюция из G. Следовательно, Z(G) {z). Нетрудно видеть, что фактор группа G = G/{z) — периодическая и удовлетворяет всем требованиям предложения 31. Следовательно G L2{P) для подходящего локально конечного поля Р. Пусть цепочка вложенных друг в друга конечных подгрупп групп G таких, что Gn L2(Pn), где п = 1,2, Обозначим через Gn полный прооб раз Gn в G. Очевидно, г Є Gn- Так как Gn локально конечная группа, то условию насыщенности Gn С М с G, где М - конечная подгруппа из G и Я SL2(Ka) для некоторого а /. Пусть М - наименьшие по порядку с таким свойством. Возвращаясь к фактор группе G, полу чаем включение Gn С М. Если G„ — К, то все доказано, так как в этом случае очевидно Gn М. Пусть Gn С Ка. Тогда из предложений 19 - 21 вытекает, что Ка - поле характеристики р, \Рп\ делит \Ка\ и Gn с SL2{K1), где K-f - некоторое подполе поля Ка. Из свойств ко нечных полей (предложение 6) получаем К7 — Рп. Так как \К7\ \Ка], то G„ = \SL2{Pn)\ \SL2(Ka)[ = Л/. Противоречие с выбором М. В настоящем параграфе Ш = {L2(Ka) х Z2\L2(Ka) Є 9)}. где 1Н = {Ь2(ііГа)о Є /}, Z2 - группа порядка 2,/- множество индексов. Отметим, что для различных а, (5 характеристики полей Кш К@ могут быть различны. Теорема 2. Локально конечная группа G, насыщенная группами из множества ffi, изоморфна L2(P) х Z2, для подходящего локально конечного поля Р.
Доказательство. Если G - конечная группа, то утверждение теоремы очевидно вытекает из условия насыщенности G множеством У1. Пусть G - бесконечная локально конечная группа. По условию теоремы в G найдётся подгруппа #i = Mi х Vi, где Mi = L2(Kai), V = {vi} и vi инволюция. Покажем, что vi Є Z(G). Действительно, пусть b Є G\Hi. По условию насыщенности конечная группа (6, Ні) С Н2 = (М2 х V2) С G, где М2 = L2{Ka2), V2 = (v2) и и2 = 1. Очевидно М2 П Mi 1, и так как Mi простая группа, а М2 Н2 то Mi С М2. Инволюция ui не может лежать в М2, так как в противном случае Hi с М2, но из подгруппового описания L2(Ka2) (предложения 19 - 21) следует, что там таких подгрупп нет. Следовательно, vi = hv2 для некоторого h Є М2 и h2 = 1. Предположим, что h ф 1. Тогда для любого х є М2, яЛ = hx, и мы снова получаем, что Mi х (Л) является подгруппой в А/2, что невозможно. Итак, г 2 = vi и bv\ = уф. В силу произвольности выбора Ь получим, что v\ Є Z(G). Покажем, что Z(G) = (vi). Пусть 1 ф w є Z(G) и w Ф vi. Предположим, что \w\ нечётное число. По условию насыщенности, (ш) С #з — М3 х (из), где М3 Ь2{Ка ), \v \ — 2. В силу нечётности ш, ш Є М, что противоречит выбору ш. Итак, 7г(ги) = 2. Пусть ги 2. Очевидно, 1 ф ги2 Мз, что противоречит простоте Ms. Итак, \w\ = 2. По условию насыщенности конечная группа (ш) х (vi) С #4 = М4 х (). где М4 с- L2( a4) и и4 = 2. Но тогда 1 ф М4П «vi х (ш)) С 2(М4), что противоречит простоте М4. Итак, (ш) = (vi) = Z(G). Рассмотрим фактор группу G = G/ (vi). Пусть К - конечная подгруппа из G и К - её полный прообраз в G. По условию теоремы, К С Я5 С G, Я5 = М5 х (иі),где М = Ь2( о15). Переходя к G, получим, что К С. М = L2(/C 5). Таким образом, G насыщена множеством групп ЇН, и по предложению 30 G = 2(Р) для подходящего локально конечного поля Р. Так как Р - счётное множество, то можем выбрать цепочку конечных полей \pt\ = рп (p - характеристика поля P) и этой последовательности соответствует цепочка подгруп группы G Рассмотрим полный прообраз G{ в G и обозначим его через G . Ясно, что vi Є G{. По условию насыщенности, Gi С (Л/W х (ui)), где М Ь2(Ка) для некоторого Ка є 9.
О группах Шункова, насыщенных L2(2n) х Z2
В настоящем параграфе изучаются периодические и смешанные группы Шункова, насыщенные множеством 23 = {Ь2{Ка) х 2І 2 Є /}, где а є 7" - множество индексов, Ка - конечное поле характеристики 2, Z2 -группа порядка 2. Имеет место Теорема 4. Пусть G - периодическая группа Шункова и G -насыщена группами из множества 23. Тогда G Ь2(Р) х Z2 для подходящего локально конечного поля Р характеристики 2. Предположим обратное, и пусть G контрпример. По условию насыщенности, в G найдется конечная группа ff=Mx (z), где М о± i 2(2n) и \z\ = 2. Зафиксируем Н, М и z. Лемма 10. Пусть S є SyfaG. Тогда S элементарная абелева 2-группа. Доказательство. Действительно, пусть 1 ф х Є S. По условию насыщенности, х Є #i = Mi х {vi}, где Mi L2(2mi) и \vi\ = 2. Так как силовская 2-подгруппа из Н элементарная абелева, то \х\ — 2. Итак, для любого х 6 S, х2 — 1. Следовательно, S - элементарная абелева 2-группа (предложение 9). Лемма доказана. Лемма 11. G G(Z) - бесконечная группа. Доказательство. Действительно, в противном случае, по теореме Шункова (предложение 14) G локально конечна, а значит, (теорема 2) G {Р) х Zi для подходящего локально конечного поля Р характеристики 2. Противоречие с выбором G. Лемма доказана. Лемма 12. Пусть 1 ф Ь G G и \Ь\ - нечетное число. Тогда Сс{Ь) содержит не более одной инволюции. Доказательство. Предположим обратное, и пусть х,у - две различные инволюции из Са(Ь). Рассмотрим группу L = ф,х у). Очевидно, что (6) с Z(L) и фактор группа L = L/ф) порождается двумя инволюциями хф) и уф). Так как G - периодическая группа, то L - конечная группа диэдра (предложения 5, 9). Следовательно, по теореме Шмидта (предложение 10) L - конечная группа. По условию насыщенности, конечная группа L — ф, х, у) С Н2 — М2х (v2), где М L2(2m2) и v\ = 1. Очевидно, b Є М2. Так как х . (действительно, в противном случае х Є М2 и у нас бы было, что Ъ Є См2(х) что невозможно, так как централизатор любой инволюции из М2 L2{2m2) есть 2-группа), то х = Xiw2, х\ = 1 и х\ СмФ), что невозможно, т.е. х = W2. Точно такими же рассуждениями показывается, что у — шг- Следовательно, х — у. Противоречие с выбором х,у. Лемма доказана. Лемма 13. Пусть Si и S2 - две 2-подгруппы из G и \S\ П S2\ 2. Тогда S\ и S2 поэлементно перестановочны. Доказательство. Если S\ С S2 или S2 Q Si то все доказано в силу леммы 9. Пусть х Є Si \ S2 ф 0 и у є S2 \ S\ ф 0. Очевидно, группа і = ( П S2,x,y) локально конечна и не может содержать элементов нечетного порядка, так как (S\ Л S2) С Z{L) (лемма 10), а в С? любой элемент нечетного порядка не может централизовать более одной инволюции (лемма 12). Итак, L - элементарная абелева 2 - группа и ху = ух (лемма 10). В силу произвольности выбора х, у получим, что Si и S2 поэлементно перестановочны. Лемма доказана. Лемма 14. GG{Z) = R х (z), где R L2{P) для подходящего локально конечного поля Р характеристики 2. Доказательство. Рассмотрим фактор группу С — CG{Z)/{Z). Пусть К -конечная подгруппа из С, и К - её полный прообраз в CG(Z). Предположим, что К содержит элемент нечётного порядка 6, т.е. 2 ф тг({6)). По условию насыщенности, К С #3 = М3 х (гу3), где М3 2(2тз). Ясно, что Ь Є М3. Но тогда z ф. Мз, так как подгрупп (Ь) х (г) в М2 нет (предложения 19 - 21). Предположим, что z ф -ш3. Тогда z = z\Wz, где z\ Є Мі и Zi - инволюция. Ясно, что z\ = zw Є Cc{b). Но тогда Мз содержит подгруппу ((b) х {z{}), что невозможно. Итак в этом случае z = w, М3 С CG(z), К С М3 - (М3 х (z))/{z) и М3 L2(2m8). Теперь рассмотрим случай когда К - 2-группа. Ясно, что в этом случае и К - 2-группа. По условию насыщенности, К С М\ х (юі), где М4 = L3(2m4), wj = 1 и z є /Г С (Si х (ш3 ), где Si Є Syl2MA. Если -Ш4 = z, то L,2(2m4). Предположим, ЧТО Wi — z. Так как Si - элементарная абелева 2-группа, то Si є CG(Z). Возьмем элемент Ъ нечетного простого порядка из CG(Z), например 6 є М, и рассмотрим конечную группу L — (z, 6, х), где z Ф х Є К (конечность L вытекает из предложения Щ. По условию насыщенности, L с (М5 х (ш5)), где Ms L2(2ms). Покажем, что w5 = z. Действительно, очевидно, что b ф Мд. Если z Є М5, то М5 содержит подгруппу (6) х {z}, что невозможно. Следовательно, 2 ф М5 и г = ziw5, для некоторого 1 %\ Є М5. Но тогда М5 содержит подгруппу (6) х {z\), что так же невозможно. Итак, z\ — 1 и z — -ш5. Можно считать, что х є Ms (действительно, если х ф Ms, то х — X]_z для некоторой инволюции Х\ Є МІ, и ясно, что х\ = xz Є і ). Пусть 5s Є Sy/2M5 и ж б 5s Таким образом, «я) х (z)) С (ATl(S5 х (г») и ЯТі (54 х z» 4, а значит, if и (55 х (z)) поэлементно перестановочны (лемма 13). Если К С 0% х (z)) то всё доказано, пусть К С (55 х (г)) и у б ((55 х (z)\K)). Пусть Ь\ - элемент простого нечётного порядка из М5 со свойством, что h Є Nvb(Sb). Рассмотрим конечную группу Г = (у,Sn,z,fci). Действительно, это конечная группа, так как N = {S z} - конечная нормальная подгруппа в Т. Фактор группа Т = T/N = (у,Ь) - конечна, так как G группа Шункова (предложение 18). Но тогда, по теореме Шмидта (предложение 10), Т - конечная группа. По условию насыщенности, Т С MQ х (WQ), где М6 L2(2me) и \WQ\ — 2. Покажем, что w6 = z. Действительно, пусть адб ф z. Если z Є Ме, то Me содержит подгруппу (b)x(z), ЧТО НеВОЗМОЖНО. ЕСЛИ Z . Мб, ТО Z = Z]_W6i где Z\ - инволюция из Мб и очевидно Ь Є CM6{ZI), ЧТО так же невозможно. Итак, z — WQ. ИЗ сказанного вытекают включения (Кп(М х (z))) С (КГ\(М($Г\(г))). Если теперь К\(М6х (Z)) ф 0, то выберем в множестве K\(MQX (Z)) некоторый элемент у\ и повторим относительно его все рассуждения, проведенные выше для элемента у. В результате этого мы построим конечную группу (М7х {z}), где М7 L2(2m?), и (KC]{M7x(z))) С (Kn(M6x{z))). Так как К - конечная группа, то через конечное число шагов мы построим группу Mk х (z) со свойством (КГ\(Мк х (z))) = К, где Мк L2{2mt). Вернемся к фактор группе С. Очевидно, К с (Мк х (z))/(z) = Мк Ь2(2тк).
О периодических группах с конечной силовской 2-подгруппой, насыщенных конечными простыми Z-группами
Выберем некоторый элемент b простого порядка р Ф 2 из G \ В со свойством (b)d = (6), где d2 — а, существующий в силу предложений 24, 25. Поскольку G - группа Шункова, и имеют место соотношения af = щ, {b)d = (b), все подгруппы Li = (d,b,a.i) являются конечными.
В силу леммы 27 подгруппа ВІ — ЬІПВ является сильно вложенной в подгруппе Li, причем из щ & Ві вытекает, что 2-ранг подгруппы ВІ не меньше 2. По лемме 29 подгруппа Li вложима в конечную подгруппу МІ группы G, изоморфную Sz(Qi), где Qi — конечное поле характеристики 2 (без подполей порядка 4). Из описания максимальных подгрупп в группах Sz(Qi) (предложение 24), сильной вложенности подгруппы ВІ В Lu а также из теорем 4.23, 4.26 [12] заключаем, что Li — МІ Sz(Qi), і = 1,2,....
Применяя лемму 30, получаем, что Bi+i = BnLi+i — подгруппа Бо-реля в группе Дчь Так как а и а +i сопряжены в ВІ+І только с помощью элемента из смежного класса Shi+i, заключаем, что подгруппа Bi+i содержит представителя смежного класса S/if+i. Нетрудно убедиться, что любой представитель смежного класса Shi+i, возведенный в подходящую степень, является представителем смежного класса Shi- Тогда элемент щ — ahi = ащ содержится в подгруппе Д-+і и Li Lf+i- Таким образом, подгруппы L{ образуют цепочку
вложенных друг в друга конечных подгрупп Li, изоморфных группам Судзуки Sz{Qi). Объединение L членов этой цепочки будет локально конечной, простой группой, изоморфной группе Судзуки Sz(Q) над локально конечным полем характеристики 2, не содержащим подполей порядка 4 (предложение 28).
По построению группы L подгруппа BC\L содержит представителей всех смежных классов Shit « = 1,2,..., а отсюда В П L содержит полную систему представителей множества смежных классов B/S. Теперь из леммы 27 следует включение Z(S) BC\L, Воспользовавшись описанием подгруппы Бореля в Sz(Q), получаем, что В П L содержит некоторую подгруппу, сопряженную с Н. Без ограничения общности можно считать, что Н L.
Группа HZ(S)/Z(S) действует сопряжениями транзитивно на множестве неединичных элементов группы S/Z(S). Действительно, если cZ(S), dZ(S) — различные неединичные смежные классы из S/Z(S)t то группа К = (c,d) конечна и, по условиям теоремы, К М G, где М Sz(q). Из леммы 27 следует, что Si = М П S — силовская 2-подгруппа в М и пусть Т = NM(SI). Так, по предложениям 24, 25 T/Z(S{) является группой Фробениуса, с ядром порядка q и неинвариантным множителем V порядка q — 1 и V действует на S\/Z(S\) транзитивно. Следовательно, chZ(S) = dZ(S) для некоторого h Є В П М и HZ(S)/Z(S) действует на множестве неединичных элементов факторгруппы S/Z(S) транзитивно. Очевидно, что ъ S Г) L имеются элементы из S\Z(S). Поскольку HZ(S) Ln HZ{S)/Z{S) действует на S/Z(S) транзитивно, выполняется S L.
Лемма 32. Пусть L — группа, как в лемме ЗІ, Н — ее подгруппа Картана, а — произвольный неединичный элемент из Н. Тогда NG((O)) = NG(H) обладает периодической частью N, и N = NL{H) = H\(t), где і — инволюция и а1 — а 1. Доказательство. Из леммы 31 следует, что N = NL(H) = HX(t), где t2 — 1 и Ы = h l для любого h є Я. По тем же соображениям, NL((O)) — N. Пусть Ъ — элемент конечного порядка из NG({O)) \ L. Без ограничения общности можно считать, что № є АГ, где р является простым числом. Если 6 — инволюция и t — инволюция из N, то bt . L и bt Є CG{G), причем bt не является элементом четного порядка. Таким образом, элемент b можно подобрать так, что Ь2 ф 1. Все силовские 2-подгруппы группы L сопряжены (как централизаторы инволюций). Поэтому имеет важное для нас свойство группы L: ( ) если 2-подгруппа S группы G имеет нетривиальное пересечение с L, то S L. Из свойства ( ), в частности, вытекает, что b является элементом нечетного порядка и If Я. Так как G - группа Шункова и Я — локально циклическая группа, то подгруппа К = (а, 6, і) конечна, здесь t — инволюция из N\H. По условиям теоремы, К М G и М Sz(q). Так как i, ta Є MnL, по свойству ( ) группа L содержит по меньшей мере две различные силовские 2-подгруппы группы М. Тогда, по предложению 25, М L вопреки выбору элемента Ь. Это противоречие означает, что все элементы конечных порядков из NG((O}) — NG(H). Доказательство. Предположим, что лемма неверна я G ф NG{L). По предложению 29, G \ NG(L) содержит инволюции, и пусть v — одна из них. Пусть а — элемент простого порядка из подгруппы Картана Я группы L. Поскольку G — группа Шункова, подгруппа К = (a,v) конечна и, по условиям теоремы, К М G, где М — конечная группа, изоморфная группе Sz(q) для подходящего q или М = 2(2") (лемма 29). Так как порядок элемента а нечетен, то Т — NM({O,}) содержит инволюции (предложения 21 - 25). По лемме 32, Т L и по свойству ( ) в L содержатся, по меньшей мере, две различные силовские 2-подгруппы группы М. Тогда, по предложениям 21, 25, М L, что противоречит выбору элемента v. Значит, G — L. Лемма, а вместе с ней и теорема, доказаны. В настоящем параграфе изучаются группы с конечной силовской 2 - подгруппой, насыщенные конечными простыми Z-группами. Имеет место Теорема 9. Периодическая группа G с конечной силовской 2 -подгруппой, насыщенная конечными простыми Z-группами, либо конечна, либо изоморфна L2(P), либо изоморфна Sz(Q), где Р и Q -подходящие локально конечные поля. Пусть G контрпример к теореме. Обозначим через ЇН насыщающее множество для групп G. Лемма 34. В G найдутся такие конечные подгруппы К\ и Къ что К\ oi L2(K) и К — Sz(q), где К - конечное поле. Доказательство. Предположим обратное. Тогда насыщающее множество 94 для G может иметь одну из следующих двух взаимоисключающих структур (лемма 1): Здесь Ка — конечное поле, / - множество индексов. Но в случае (I) G L2(P) для подходящего локально конечного поля Р (предложение 31), а в случае (II) G Sz(Q) для подходящего локально конечного поля Q (предложение 30). Противоречие с выбором G. Лемма доказана.
Обозначим через SKI силовскую 2-подгруппу из К\, а через 5д-2 силовскую 2-подгруппу из К2, где Кг и К2 — подгруппы группы G из леммы 34. Пусть далее К конечная простая неабелева подгруппа из G, a SK — ее силовская 2-подгруппа. Мы будем говорить, что К типа К\ (соответственно К2), если К L2(Ka) (соответственно К Sz(q)). Мы будем говорить также, что SK типа SKX (соответственно типа 5). если SK изоморфна силовской 2-подгруппе из К и К L2{Ka) (соответственно, SsK изоморфна силовской 2-подгруппе из К и К Sz(q). Обозначим через S некоторую силовскую 2-подгруппу группы G. По предложению 15, можно считать, что SR S и SK2 S. Следовательно, S типа SK2 (лемма 32), a Sj элементарная абелева и либо Ki L2(2n)f либо Ki L2(pn), р 3,5{rnod 8) (предложение 20, 21). Так как S - конечная группа, то порядок групп типа К2 ограничен в совокупности, и насыщающее множество ЇН содержит лишь конечное число подгрупп типа К2. Из таких же соображений неизоморфных групп типа К\ 2(2П) так же конечное подмножество в ЇН и их порядки ограничены в совокупности. Рассмотрим в G конечную подгруппу К типа Ki L2(pn), р = 3,5(mod 8). В этом случае К содержит подгруппу L АІ = ((г) х (j))X(d), где і2 — j2 = d3 = 1. Без ограничения общности можно считать, что ((г) х (j)) С S. Следовательно (г) х (j) с S П Sd. Несложно убедиться, что в этом случае S = Sd.
. О локальной конечности некоторых групп, насыщенных группами диэдра
Будем говорить, что группа G - финитно аппроксимируема, если существует такое семейство {На\а Є /} (где / - некоторое множество индексов) нормальных подгрупп группы G, что1. G: tfa ооУаЄІ,
Доказательство. Предположим обратное, и пусть G контрпример и S силовская 2-подгруппа группы G. Л G = ЛВС = АСВ — ВСЛ = С В Л, где Л централизатор некоторой инволюции z из центра S, В = 0{CG(V)), V — произвольная инволюция из S, отличная от z, и С = 0(CG{ZV)). При этом Л — (локально) конечный диэдр, а В, С — (локально) циклические группы. 2. ДЛЯ любой инволюции х є G, CG{%) — H\(t) - локально конечный диэдр. Здесь И - локально циклическая группа, t - инволюция и hb = h l для любого h Я. 3. S = S\ {г} - локально конечный диэдр. Здесь S - локально циклическая 2-группа, і - инволюция и у3 = у 1 для любого у є S. Доказательство. Утверждения леммы доказаны в [51]. Лемма 39. G - счетная группа. Доказательство. По лемме 38, G = ЛВС, где Л,В,С- либо локально циклические, либо локально конечные диэдры. Как нетрудно убедиться, в обоих этих случаях Л, В, С не более чем счетные группы. Следовательно, такой будет и группа G. Лемма доказана. Лемма 40. В G существует цепочка подгрупп Доказательство. По лемме 39, G - счетная группа, и пусть G = {5iJ 02,--чйт-.-}. Пусть Нт 6 {НІ\І Є /} и Я„ обладает следующим свойством дт Нт. Такая группа Нт существует в силу свойства 2 (см. определение финитной аппроксимируемости). Таким образом, семейство погрупп 9Я= {Нт\т N} счетно и обладает следующим свойством Лемма 41. 5 — конечный диэдр, и силовские 2-подгруппы в G сопряжены. Доказательство. Заметим, что ввиду условия насыщенности, S не может содержать элементарных абелевых подгрупп порядка 8 и не может быть (локально) циклической группой, за исключением случая \S\ = 2. Предположим, что S бесконечна, тогда S = S\(i) — локально конечный диэдр, где S — квазициклическая 2-группа, г2 = 1и для любого s Є S, $г — s l (лемма 38). Так как S не содержит подгрупп конечного индекса, то S П Щ — S для любого і и 1 ф S ПЯ;, что невозможно. Следовательно, S - конечная группа диэдра. Силовские 2-подгруппы Лемма 42. В G найдётся нормальная подгруппа Я конечного индекса, для которой выполняется равенство Я П S — 1. Доказательство. По условию финитной аппроксимируемости, для каждого неединичного элемента s Є S найдётся подгруппа На, а & I, которая не содержит элемент s. По лемме 41, множество 5# конечно. По теореме Пуанкаре, индекс подгруппы Я — (") На в G конечен, при этом Я ses нормальна в G и по построению S П Я = 1.Лемма доказана. Пусть \S\ 2, тогда S содержит четверную группу Клейна К — (г) х (j) (лемма 41). Если централизатор хотя бы одной из инволюций i,j,ij в Я конечен, то Я - локально конечна по известной теореме В.П. Шункова (предложение 14), и доказательство завершает теорема Шмидта (предложение 10). Допустим, наконец, что все эти централизаторы бесконечны. Рассмотрим группу G\ — Я X К. Из свойств конечных диэдров и условий насыщенности выводим, что CGt{K)-= К, т.е. К — самоцентрализуемая подгруппа в G\. Понятно, что G\ — финитно-аппроксимируема, а для этого случая П. Шумяцким доказано, что Я локально конечна (см. примечание к вопросу 10.77 из [22]). Снова по теореме Шмидта G — локально конечная группа. Но тогда по [51] G — локально конечный диэдр. Теорема доказана.
