Введение к работе
Актуальность темы. В теории локально конечных групп важную роль играет понятие локального покрытия. Множество 9JT конечных подгрупп группы G называется ее локальным покрытием^ если каждое конечное множество элементов группы G содержится в некотором элементе множества
шт.
Свойства локального покрытия оказывают решающее влияние на строение локально конечной группы. Так, независимо В.В. Беляев [1], А.В. Боровик [2], Б. Хартли и Г. Шют [30] и С. Томас [32], опираясь на более ранние идеи О. Кегеля, используя классификацию конечных простых групп, показали, что группа, обладающая локальным покрытием, состоящим из простых групп лиева типа ограниченного ранга, является простой группой лиева типа над локально конечным полем.
В последнее время было получено доказательство этого результата М. Л арсеном и Р. Пинком, не зависящее от классификации [31].
Широкое обобщение понятия локального покрытия, состоящего из конечных групп, предложил А.К. Шлепкин. В 1993 г. он ввел понятие насыщенности группы некоторыми системами групп [26]:
Группа G насыщена группами из множества групп УЛ, если любая конечная подгруппа из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из ШТ.
Нетрудно заметить, что для локально конечной группы G эти понятия, по существу, эквивалентны. Множество конечных подгрупп группы (7, изоморфных элементам множества ШТ, составляют ее локальное покрытие, а сама группа G насыщена множеством всех попарно неизоморфных групп, составляющих ее произвольное локальное покрытие. Однако для произволь-
ных групп это не так. Например, группа В(т,р), где р — простое число и р > 665, насыщена одной циклической группой простого порядка р, но локальным покрытием, состоящим из конечных подгрупп, не обладает.
По аналогии с отмеченным выше результатом А.К. Шлепкин высказал гипотезу о том, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа огранниченного ранга, является простой группой лиева типа.
Подтверждению этой гипотезы для отдельных классов групп посвящен ряд работ Д.В. Лыткиной, В.Д. Мазурова, А.Г. Рубашкина, А.И. Созуто-ва, Л.Р. Тухватуллиной, К.А. Филиппова, А.А. Шлепкина, А.К. Шлепкина
[3-29].
Первоначальные исследования, связанные с понятием насыщенности, использовали насыщающие множества, состоящие из конечных неабелевых простых групп [3]. Поскольку при изучении строения простых групп большую роль играют централизаторы инволюций, в которых по определению существуют нетривиальные абелевы нормальные подгруппы, в орбиту насыщающих множеств все чаще стали включаться группы, обладающие абеле-выми нормальными подгруппами [3].
Так, в работе [24] К.А. Филипповым доказана локальная конечность периодической группы Шункова, насыщенной группами из множества !К = {L,2(q) х Z
ное число, на конечные группы периода 2. Однако обобщить эти результаты на произвольные периодические группы без дополнительных ограничений не
удается.
Например, в работе [5] Д.В. Лыткиной и К.А. Филиппова доказано, что либо любая периодическая группа, насыщенная группами из множества 3 = {^2(^) х Z2 \ q = 2m,m Є N}, локально конечна, либо существует не локально конечная счетная периодическая дважды транзитивная группа подстановок счетного множества Q, обладающая рядом необычных свойств. Вопрос о существовании такой группы до сих пор открыт.
В работах [10, 11] Д.В. Лыткина доказала локальную конечность периодической группы G, насыщенной прямыми произведениями элементарной абелевой 2-группы фиксированного порядка и простой группы ^(д), где q = 2m и т Є TV, при условии, что G содержит элемент порядка 4 или подгруппу, изоморфную А±. Там же выделен класс простых периодических не локально конечных групп определенного вида, а именно Л-групп, которые определяются следующим образом. Пусть Р — локально конечное поле. Группой типа Л(Р) назовём содержащую инволюцию простую периодическую группу, в которой все инволюции сопряжены и централизатор каждой из них изоморфен прямому произведению группы порядка 2 на группу, изоморфную L/2(P). Вопрос существования групп типа Л(Р) в настоящее время открыт.
Таким образом, актуальной является задача о выделении в классе периодических групп, насыщенных прямыми произведениями элементарных абе-левых 2-групп на конечные простые неабелевые группы, групп, являющихся (или не являющихся) локально конечными.
Цель диссертации. Исследование групп, насыщенных прямыми произведениями конечных групп со следующей структурой множителей: элементарные абелевы 2-группы, линейные группы размерности 2, группы Судзуки.
Методы исследований. Используются методы абстрактной теории групп.
Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертационной работы являются новыми. Они носят теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в теории групп и её приложениях.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались автором на Международной конференции "Алгебра, логика и приложения" (Красноярск, 2010 г.), на школе-конференции "Современные проблемы математики" (Екатеринбург, 2011 г.), на XLIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2011 г.), на Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2011 г.), на Международной конференции "Алгебра и линейная оптимизация" (Екатеринбург, 2012), на Международной конференции, посвященной 70-летию В.Д. Мазурова (Новосибирск, 2013). Результаты диссертации обсуждались на Красноярском городском алгебраическом семинаре (СФУ) и на семинаре "Математические системы" (КрасГАУ).
Основные результаты диссертации.
1. Доказана локальная конечность бесконечных периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями конечных элементарных абелевых 2-групп на группы L2(2m) (теорема 2).
2. Доказана локальная конечность периодических групп, насыщенных прямыми произведениями групп Судзуки на элементарные абелевы 2-группы (теорема 6).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [33] - [52], из них пять работ опубликованы в изданиях из перечня ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы (67 наименований), занимает 70 страниц текста, набранного в пакете ETgX. Нумерация теорем и лемм сквозная.
