Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Перечень обозначений, определений и известных результатов 12
I. Обозначения и определения 12
2. Формулировки известных результатов 17
ГЛАВА II. О существовании дополнений к нормальным подгруппам 26
3. Подгруппа Картера и дополняемость нормальных разрешимых подгрупп 27
4 Свойства пронормальных и абнормальных подгрупп и дополняемость нормальных подгрупп 45
ГЛАВА III. О свойствах дополнений и добавлений к некоторым нормальным подгруппам 50
5. О расщепляемости расширений конечных сверхразрешимых групп 50
6. Фраттиниевы пересечения и существования дополнений и добавлений в конечных группах 61
ГЛАВА IV. Нормализаторные условия и существование подгрупп типа картера 70
7. Свойство нормализаторного условия для разложимых и .специальных подгрупп 71
8. О рациональных и действительных группах 77
Литература 8
- Формулировки известных результатов
- Свойства пронормальных и абнормальных подгрупп и дополняемость нормальных подгрупп
- Фраттиниевы пересечения и существования дополнений и добавлений в конечных группах
- О рациональных и действительных группах
Введение к работе
Важнейшим в теории конечных групп является направление, связанное с вопросами существования и вложения подгрупп, выявления взаимосвязей между ними и влияния их строения на строение группы.
Одним из самых содержательных результатов в теории конечных групп несомненно является, ставшая повседневным и незаменимым средством исследования, теорема Силова о существовании, сопряженности, вложении и числе подгрупп, порядок которых есть степень простого числа.
В своей монографии [ I ] С.А.Чунихин пишет: ,т Значение теоремы Силова для теории групп как одного из самых основных инструментов исследования трудно переоценить - достаточно лишь представить, как мало осталось бы от современной теории конечных групп при условии отсутствия в ней этой теоремы". Теорема Силова получила своё развитие в работах таких известных специалистов по теории групп как Ф.Холл [ 2,3 ] , С.А.Чунихин [4-12] , Г.Виландт [_13,14-] В этих работах заключения теоремы Силова переносятся на подгруппы более сложной структуры - холловские подгруппы. Среди многих глубоких исследований, выполненных различными алгебраистами и связанных с отмеченными теоремами Силова, Ф.Холла, С.А.Чунихина важное значение имеет результат Р.Картера [15J о существовании и сопряженности нильпотентных абнормальных подгрупп в любой конечной разрешимой группе.
Этот результат оживил изучение подгруппового строения конечных групп (см., например, работы [16 J , [17 ] , [is] , f19 J ). Различные аспекты использования этой теоремы показаны в монографии Б.Хупперта [20] .
Классическая теорема Шура-Цассенхауза о существовании и сопряжённости дополнений к нормальной холловской подгруппе в конечной группе породила ряд интересных результатов о дополняемости нормальных подгрупп. Среди них в первую очередь следует отметить следующую теорему В.Гашюца [21 ] :
Нормальная абелева подгруппа
Эта теорема вошла в монографии [22 J и [23 ] . На Эдинбургском математическом конгрессе в докладе Г.Виландта [24] отмечалась важность устранения условия абелевости дополняемой подгруппы в теореме Гашюца. Результат Гашюца в свою очередь вызвал появление интересных работ [ 25,26,27,28 ] , в которых ослабляется, либо заменяется другими условиями условие абелевости дополняемой подгруппы.
В работе [29 ] Е.Шенкман доказал существование и сопряжённость дополнений в конечной разрешимой группе Q нильпо- тентной длины 2 к её наименьшей нормальной подгруппе Су , фактор-группа по которой нильпотентна, в случае когда Ц- абелева. Г.Хигмен [30 ] обобщил эту теорему на случай разрешимых групп произвольной нильпотентной длины П , р.Картер [ЗІ ] установил связь между факторизационными теоремами Шенкмана и Г.Хигмена и теорией системных нормализаторов разработанной Ф.Холлом в [ 32 ] .
В диссертационной работе исследуется связь между свойствами подгруппы Картера нормальной разрешимой подгруппы группы и существованием дополнений к этой нормальной подгруппе, изучаются свойства таких дополнений. Изучаются также свойства переноса нормализаторного условия на фактор-группы, следствием которого являются теоремы о существовании подгрупп типа Картера в Приступим теперь к более подробному обзору диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, а также списка цитированной литературы, содержащего 62 названия. В первой главе приводятся необходимые обозначения и определения, даётся перечень известных результатов других авторов, которые используются при доказательстве новых результатов. Во второй главе получены новые критерии дополняемости нормальных подгрупп в конечных группах. Как отмечалось выше, классическая теорема Шура-Цассенхауза породила ряд интересных результатов. Эти результаты являются объектом исследований изложенных во второй главе диссертации. Отправным пунктом послужило замечание Г.Виландта о важности ослабления условия абелевости в теореме Гашюца. В [ 33 ] В.И.Сергиенко доказал теорему Теорема. Пусть JL - нормальная подгруппа конечной группы Сг * o/l - й/І (Q/«*J, Если w- ел»-отделима и для всех /О Є ^L подгруппа Qp/1 вД обладает прямым дополнением в Cf-p , то «л- обладает дополнением в Основной теоремой второй главы диссертации является Теорема 3.7. Пусть оЛ - нормальная разрешимая подгруппа конечной группы Q , Jd - подгруппа Картера из <Л у Q/1 - Q/Z(Q/^jf) ъЛ (ЛJ. Подгруппа (JL дополняема в (J- , если для каждого р Є а/ выполняется одно из условий: подгруппа Qp П * дополняема прямо в Qp , подгруппа абелева и дополняема в (?р , а коммутант чЛ- подгруппы /О-нильпотентен. Таким образом удалось соединить условия теоремы Гашюиа и Сергиенко, и кроме ослабления абелевости дополняемой подгруппы уменьшить число простых делителей, по которым требуется выполнение дополняемости и прямой дополняемости в силовских подгруппах в этих теоремах. Отметим следующий результат непосредственно вытекающий из этой теоремы. Следствие 2 (из теоремы 3.7). Разрешимая нормальная подгруппа оЛ дополняема в конечной группе Q , если порядок подгруппы Картера из В теореме 3.8 кроме существования дополнений устанавливается их сопряжённость. Теорема 3.8. Пусть оЛ - нормальная разрешимая под группа конечной группы Q , ^М - подгруппа Картера из Л . Если (\$/Л\ \Л\) = / . то «Л облада- ет дополнениями в Gr , которые содержатся в нормализаторах подгруппы Картера из оЛ и каждые два таких дополнения сопряжены в Q- Основой доказательства теоремы 3.7 являются леммы 3.1, 3.2, 3.3. При доказательстве этого результата существенно используются теоремы 3.4,3.5,3.б. Лемма 3.1. Пусть чА - конечная разрешимая ненильпо- тентная группа с р -нильпотентным коммутантом В 3 диссертации доказана также Теорема 3.10. Пусть оЛ - разрешимая нормальная подгруппа конечной группы Q , -SL - подгруппа Картера из Эта теорема включает следующую теорему Гашюца [21J : если нормальная абелева подгруппа Л дополняема в такой подгруппе S конечной группы Q , для которой ( I Q ' Ь I } \JL I) = / » то ь дополняема в Q . Следствие (из теоремы 3.10). Пусть оА - нормальная сверхразрешимая подгруппа конечной группы Сг и пусть все силовские подгруппы из оЛ абелевы. Если «Д дополняема в подгруппе о из Q- такой, что (IQ ' В ( \*Л \) - / , то оЛ дополняема в Q . В 4 исследуются вопросы дополняемости не обязательно разрешимых нормальных подгрупп. При этом используется факт существования абнормальных {р -дисперсивных подгрупп в любой конечной группе, установленный в 34 ] . Характерной для этого параграфа является теорема Теорема 4.2. Нормальная подгруппа оЛ обладает дополнением в конечной группе Q- , если её (р -дисперсивная абнормальная подгруппа JrL является холловской в оЛ- и для всех р Є<^~ № подгруппы Сгрі)оЯ допол- няемы прямо в Qp , либо для всех ръ/с подгруппы (fo/IJi абелевы и дополняемы в Qр . Пусть Q - конечная разрешимая группа и пусть такой ряд подгрупп, что для всех I = 0,ij 2, ..-, /Z-7 подгруппа Qc+i является наименьшей нормальной подгруппой в Gc. » фактор-группа по которой нильпотентна. Е.Шенкман [29 J доказал существование и сопряжённость дополнений к подгруппе Qn-i в случае, когда /t~ 2 и Qti-i абелева группа. Г.Хигмен в [30 ] доказал это утверждение для произвольного П . Р.Картер [Зі] показал, что дополнения к подгруппе Qn-i существующие по теоремам Шенкмана и Хигмена являются относительными системными нормализаторами подгруппы Qn-2 в гРуппе Q В 5 получен следующий результат, являющийся развитием отмеченных теорем. Теорема 5.6. Пусть конечная разрешимая группа обладает РЯДОМ (I) И ПУСТЬ Qft-Q ~ свеРхРазРешима» а ^ -подгруппа Картера из Qn-o Если Для ВС8Х Р силовские р -подгруппы из Qn-2 аб8ЛЄВЬ1» т0 Qn-2. облаДа~ ет дополнениями в группе Q , которые являются относительными системными нормализаторами подгруппы Qn-ъ в группе Q Теорема 5.6 содержит как частные случаи вышеупомянутые теоремы Шенкмана, Хигмена и Картера. В б устанавливаются условия, связанные с пересечениями подгрупп Фраттини силовских Р-подгрупп группы с силовскими р -подгруппами нормальной подгруппы, при которых всякое добавление к нормальной подгруппе в группе является дополнением. Полезным фактом используемым в доказательствах теорем этого параграфа является Теорема 6.1. Если Отметим также следующие теоремы. Теорема- 6.3. Пусть йЛ - нормальная подгруппа ко нечной группы Ґ. . Если для всех р Є VL всякое добавление к подгруппе оЛр ~~ tr/> // *^ в Qrp является перестановочным с каждой подгруппой из *sf> дополнением, то всякое добавление к ал в группе Ц- является дополнением. Теорема 6.4. Пусть а/с - нормальная подгруппа конечной группы Q , и пусть для всех о Єь7ї (QAAj выполняются условия: D 'p(qP)ndP-ci0UP)> 2) Cj/o (jH. )/1<Л - 1 для каждой максимальной подгруппы <М из Qp , не содержащей ъ/^р . Тогда всякое добавление к q/L в группе Q- является дополнением. Как отмечалось выше, теорема Картера о существовании и сопряжённости подгрупп Картера вызвала появление ряда работ, в которых доказывается существование подгрупп, близких к подгруппе Картера по своему строению и свойствам в классах групп, которые не являются разрешимыми. Так, например, в [16 ] донага зано существование г/с- -разложимых, совпадающих со своим нор- мализатором подгрупп во всякой конечной Этот результат вытекает как следствие из следующих теорем доказанных в 7. Определение. Подгруппа ъЯ удовлетворяет нормализаторному условию в группе Q , если Теорема 7.2. Нормализаторное условие для всех 4/1 -разложимых подгрупп переносится на фактор-группы конечной группы по её * -разрешимым подгруппам. Следствием теоремы 7.2 является Теорема 7.3. Конечная группа Q является о^-раз-ложимой, если она q/c -разрешима и удовлетворяет нормализаторному условию для всех q# -разложимых подгрупп. Следствие .В конечной яЛ -разрешимой группе всег- да содержится по крайней мере одна «^-разложимая подгруппа совпадающая со своим нормализатором. Справедливы также теоремы Теорема 7.4. Нормализаторное условие для всех а/С -разложимых ( о/у -специальных) <$«-подгрупп переносит-ся на фактор-группы конечной группы по её г/С -разрешимым подгруппам. Теорема 7.5. Конечная группа является а/^-специаль-ной, если она «//-разрешима и удовлетворяет нормализаторному условию для всех «^-специальных с/«-подгрупп. Следствие. Во всякой ч/-разрешимой конечной г- / S* «//<#-группе содержится по крайней мере одна «/-специальная самонормализуемая в&а-подгруппа. Замечание. Пример группы Q ~ ' ^ ** , где I г I ~ {=> >|Ql~5.> Q "Ф Q показывает, что теорема 7.5 будет неверна, если в условии ui-специальность заменить на V/ -разложимость. В 8 рассматриваются группы, в которых каждый элемент сопряжён с обратным (действительные группы) и рациональные группы. Группа Q называется рациональной, если для любого элемента Q и любого натурального к выполняется условие: если (к, tri)~ і , где \п порядок элемента О то существует такой элемент ЭС Q- , что X' QX = Q Известно, что подгруппа Картера всякой разрешимой действительной, а, следовательно, и рациональной группы совпадает с её силовской 2-подгруппой. На основании теоремы 3.7 доказывается Теорема 8.1. Пусть Л - нормальная разрешимая действительная подгруппа конечной группы Q . Если силовская 2-подгруппа Q /j JL из J. либо прямо дополняема в Q. , либо абелева и дополняема в ч? » то <Л дополняема в Q. Из других результатов 8 отметим Теорема 8.3. Пусть Q - непримарная группа чётного порядка и пусть каждая бипримарная подгруппа чётного порядка из Q рациональна. Тогда порядок группы Q делится только на два простых числа 2и 3, Q^Q^^ ^-3 Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [56 - 62] , докладывались и обсуждались на семинарах академика АН БССР С.АЛунихина в 1980 - 1983 гг., члена-корреспондента АН УССР С.НЛерникова в 1983 г., на Всесоюзной алгебраической конференции в Гомеле 1975г., на УІІІ Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Сумах в 1982г., на ХУІІ Всесоюзной алгебраической конференции в Минске в 1983г. За постоянное внимание к исследованиям изложенным в данной диссертации, научное руководство и помощь в работе автор считает приятным долгом выразить сердечную признательность и искреннюю благодарность академику АН БССР С.АЛунихину. Важнейшим в теории конечных групп является направление, связанное с вопросами существования и вложения подгрупп, выявления взаимосвязей между ними и влияния их строения на строение группы. Одним из самых содержательных результатов в теории конечных групп несомненно является, ставшая повседневным и незаменимым средством исследования, теорема Силова о существовании, сопряженности, вложении и числе подгрупп, порядок которых есть степень простого числа. В своей монографии [ I ] С.А.Чунихин пишет: ,т Значение теоремы Силова для теории групп как одного из самых основных инструментов исследования трудно переоценить - достаточно лишь представить, как мало осталось бы от современной теории конечных групп при условии отсутствия в ней этой теоремы". Теорема Силова получила своё развитие в работах таких известных специалистов по теории групп как Ф.Холл [ 2,3 ] , С.А.Чунихин [4-12] , Г.Виландт [_13,14-] В этих работах заключения теоремы Силова переносятся на подгруппы более сложной структуры - холловские подгруппы. Среди многих глубоких исследований, выполненных различными алгебраистами и связанных с отмеченными теоремами Силова, Ф.Холла, С.А.Чунихина важное значение имеет результат Р.Картера [15J о существовании и сопряженности нильпотентных абнормальных подгрупп в любой конечной разрешимой группе. Этот результат оживил изучение подгруппового строения конечных групп (см., например, работы [16 J , [17 ] , [is] , f19 J ). Различные аспекты использования этой теоремы показаны в монографии Б.Хупперта [20] . Классическая теорема Шура-Цассенхауза о существовании и сопряжённости дополнений к нормальной холловской подгруппе в конечной группе породила ряд интересных результатов о дополняемости нормальных подгрупп. Среди них в первую очередь следует отметить следующую теорему В.Гашюца [21 ] : Нормальная абелева подгруппа Jh дополняема в конечной группе Q , если для всех р подгруппа Ц-/ Г\ -Я дополняема в Qp . Эта теорема вошла в монографии [22 J и [23 ] . На Эдинбургском математическом конгрессе в докладе Г.Виландта [24] отмечалась важность устранения условия абелевости дополняемой подгруппы в теореме Гашюца. Результат Гашюца в свою очередь вызвал появление интересных работ [ 25,26,27,28 ] , в которых ослабляется, либо заменяется другими условиями условие абелевости дополняемой подгруппы. В работе [29 ] Е.Шенкман доказал существование и сопряжённость дополнений в конечной разрешимой группе Q нильпо тентной длины 2 к её наименьшей нормальной подгруппе Су , п фактор-группа по которой нильпотентна, в случае когда Ц абелева. Г.Хигмен [30 ] обобщил эту теорему на случай разрешимых групп произвольной нильпотентной длины П , р.Картер [ЗІ ] установил связь между факторизационными теоремами Шенкмана и Г.Хигмена и теорией системных нормализаторов разработанной Ф.Холлом в [ 32 ] . В диссертационной работе исследуется связь между свойствами подгруппы Картера нормальной разрешимой подгруппы группы и существованием дополнений к этой нормальной подгруппе, изучаются свойства таких дополнений. Изучаются также свойства переноса нормализаторного условия на фактор-группы, следствием которого являются теоремы о существовании подгрупп типа Картера в ffi -разрешимых группах. Приступим теперь к более подробному обзору диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, а также списка цитированной литературы, содержащего 62 названия. В первой главе приводятся необходимые обозначения и определения, даётся перечень известных результатов других авторов, которые используются при доказательстве новых результатов. Во второй главе получены новые критерии дополняемости нормальных подгрупп в конечных группах. Как отмечалось выше, классическая теорема Шура-Цассенхауза породила ряд интересных результатов. Эти результаты являются объектом исследований изложенных во второй главе диссертации. Отправным пунктом послужило замечание Г.Виландта о важности ослабления условия абелевости в теореме Гашюца. В [ 33 ] В.И.Сергиенко доказал теорему Теорема. Пусть JL - нормальная подгруппа конечной группы Сг o/l - й/І (Q/« J, Если w- ел»-отделима и для всех /О Є L подгруппа Qp/1 вД обладает прямым дополнением в Cf-p , то «л- обладает дополнением в Основной теоремой второй главы диссертации является Теорема 3.7. Пусть оЛ - нормальная разрешимая подгруппа конечной группы Q , Jd - подгруппа Картера из Л у Q/1 - Q/Z(Q/ jf) ъЛ (ЛJ. Подгруппа (JL дополняема в (J- , если для каждого р Є а/ выполняется одно из условий: 1) подгруппа Qp П дополняема прямо в Qp , 2) подгруппа абелева и дополняема в (?р , а коммутант чЛ- подгруппы /О-нильпотентен. Таким образом удалось соединить условия теоремы Гашюиа и Сергиенко, и кроме ослабления абелевости дополняемой подгруппы уменьшить число простых делителей, по которым требуется выполнение дополняемости и прямой дополняемости в силовских подгруппах в этих теоремах. Отметим следующий результат непосредственно вытекающий из этой теоремы. Следствие 2 (из теоремы 3.7). Разрешимая нормальная подгруппа оЛ дополняема в конечной группе Q , если порядок подгруппы Картера из JL взаимнопрост с индексом чА в Q . В теореме 3.8 кроме существования дополнений устанавливается их сопряжённость. Теорема 3.8. Пусть оЛ - нормальная разрешимая под группа конечной группы Q , М - подгруппа Картера из Л . Если (\$/Л\ \Л\) = / . то «Л облада ет дополнениями в Gr , которые содержатся в нормализаторах подгруппы Картера из оЛ и каждые два таких дополнения сопряжены в Q Основой доказательства теоремы 3.7 являются леммы 3.1, 3.2, 3.3. При доказательстве этого результата существенно используются теоремы 3.4,3.5,3.б. В 3 диссертации доказана также Теорема 3.10. Пусть оЛ - разрешимая нормальная подгруппа конечной группы Q , -SL - подгруппа Картера из Jl , ОІ= А (Л) и пусть оЛ - о Г-сверхразре-шима, а для всех р я/l подгруппа Qp /) Л- абелевы. Если дополняема в такой подгруппе О из Q , для которой (\Q Ъ\ \3\. )= / , то «д дополняема в Q . Эта теорема включает следующую теорему Гашюца [21J : если нормальная абелева подгруппа Л дополняема в такой подгруппе S конечной группы Q , для которой то дополняема в Q . Следствие (из теоремы 3.10). Пусть оА - нормальная сверхразрешимая подгруппа конечной группы Сг и пусть все силовские подгруппы из оЛ абелевы. Если «Д дополняема в подгруппе о из Q- такой, что (IQ В ( \ Л \) - / , то оЛ дополняема в Q . В 4 исследуются вопросы дополняемости не обязательно разрешимых нормальных подгрупп. При этом используется факт существования абнормальных {р -дисперсивных подгрупп в любой конечной группе, установленный в 34 ] . Характерной для этого параграфа является теорема Теорема 4.2. Нормальная подгруппа оЛ обладает дополнением в конечной группе Q- , если её (р -дисперсивная абнормальная подгруппа JrL является холловской в оЛ- и для всех р Є № подгруппы Сгрі)оЯ допол няемы прямо в Qp , либо для всех ръ/с подгруппы (fo/IJi абелевы и дополняемы в Qр . Пусть Q - конечная разрешимая группа и пусть такой ряд подгрупп, что для всех I = 0,ij 2, ..-, /Z-7 подгруппа Qc+i является наименьшей нормальной подгруппой в Gc. » фактор-группа по которой нильпотентна. Е.Шенкман [29 J доказал существование и сопряжённость дополнений к подгруппе Qn-i в случае, когда /t 2 и Qti-i абелева группа. Г.Хигмен в [30 ] доказал это утверждение для произвольного П . Р.Картер [Зі] показал, что дополнения к подгруппе Qn-i существующие по теоремам Шенкмана и Хигмена являются относительными системными нормализаторами подгруппы Qn-2 в гРуппе Q В 5 получен следующий результат, являющийся развитием отмеченных теорем. Теорема 5.6. Пусть конечная разрешимая группа обладает РЯДОМ (I) И ПУСТЬ Qft-Q свеРхРазРешима» а -подгруппа Картера из Qn-o Если Для ВС8Х Р силовские р -подгруппы из Qn-2 аб8ЛЄВЬ1» т0 Qn-2. облаДа ет дополнениями в группе Q , которые являются относительными системными нормализаторами подгруппы Qn-ъ в группе Q Теорема 5.6 содержит как частные случаи вышеупомянутые теоремы Шенкмана, Хигмена и Картера. В б устанавливаются условия, связанные с пересечениями подгрупп Фраттини силовских Р-подгрупп группы с силовскими р -подгруппами нормальной подгруппы, при которых всякое добавление к нормальной подгруппе в группе является дополнением. Полезным фактом используемым в доказательствах теорем этого параграфа является Теорема 6.1. Если iA - нормальная подгруппа группы Q и хотя бы для одного простого числа р выполняется условие Отметим также следующие теоремы. Теорема- 6.3. Пусть йЛ - нормальная подгруппа ко нечной группы Ґ. . Если для всех р Є VL всякое добавление к подгруппе в Qrp является перестановочным с каждой подгруппой из sf дополнением, то всякое добавление к ал в группе Ц- является дополнением. Теорема 6.4. Пусть а/с - нормальная подгруппа конечной группы Q , и пусть для всех о Єь7ї (QAAj выполняются условия: Определение . Группа Q называется рациональной, если для любого элемента О и любого натурального fc выполняется условие: если rfc ) = -( , где Ц порядка элемента Ck , то существует такой элемент 0C6 Q , что х"" GX- Q Отметим, что класс рациональных групп содержит все симметрические группы (см. [2.0"] , с.538) и содержится в классе групп, в которых каждый элемент сопряжён со своим обратным, - действительные группы. Следующие свойства рациональных и действительных групп доказаны в [50] и [52] . Порядок всякой рациональной и действительной группы чётный. Подгруппа Картера всякой разрешимой действительной группы совпадает с её силовской 2-подгруппой. В связи с этими свойствами действительных групп на основании теоремы 3.7 мы можем установить следующую теорему Теорема 8.1. Пусть J[ - нормальная разрешимая действительная подгруппа конечной группы Q . Если силовская 2-под-группа Q (\ Л из J либо прямо дополняема в (1 , либо абелева и дополняема в Q ,то qfl- дополняема в Q Доказательство . Так как подгруппа Q [\ Л является подгруппой Картера, то при выполнении условия: Q7(\Ji дополняема прямо в Q» дополняемость Л- следует непосредственно из теоремы 3.7. Пусть - абелева и дополняема в Q2 Так как Q« » абелева и самонормализуема в «я , то по теореме Бернсайда Л - 2-нильпотентна. Следовательно, и коммутант df подгруппы Л 2-нильпотентен. Опять по теореме 3.7 получаем дополняемость Теорема доказана. Теорема 8.2. Пусть (1 разрешимая и о -сверхразрешимая рациональная pd-группа. Тогда р = 2 или 3 и группа Q имеет нормальную подгруппу R такую, что порядок факторгруппы Q JR. имеет вид 2 3 Доказательств о. Проведём индукцией по порядку группы Q- .Пусть Q - контрпример наименьшего порядка. Так как Q по условию р-сверхразрешима, то по теореме 2.II коммутант Q группы Q р -нильпотентен, т.е. его можно представить в виде Q R А Р ,где Р - силовская Р-подгруп-па из Q , а нормальное силовское р-дополнение. По теоремам 2.39 и 2.42 Q / г является элементарно-абелевой 2-груп-пой. Так как G = ЯхР , то легко видеть, что порядок фактор-группы Q /R может делится только на два числа 2 и р. Если R. Ф 1 , то р - 2 или 3 по индукции. Противоречие. Пусть К Тогда Q , р " . Очевидно, что в этом случае \ G[ [ имеет вид 2 0 Пусть сз - элемент порядка р принадлежащий CQ ) и пусть Q - циклическая подгруппа порядка р , порожденная элементом о . По теореме 2.40 Поэтому Так как циклическая фактор-груп па является циклической 2-подгруппой элементарно-абелевой 2-группы. Следо вательно и так как Получаем \ Q \ =: 2 3 Противоречие. Теорема доказана. Теорема 8,3, Пусть Q- - непримарная группа чётного порядка и пусть каждая бипримарная подгруппа чётного порядка из Cj- рациональна. Тогда группа Q- бипримарна, её порядок имеет вид 2 3 . Q = С 2 Сгз Доказательство . Покажем вначале, что группа (J разрешима. По условию каждая бипримарная подгруппа чётного порядка рациональна. По теореме 2.43 силовская 2-подгруппа в любой бипримарной подгруппе чётного порядка из Q является её подгруппой Картера. Следовательно, в группе Q- не содержится ни одной бипримарной 2-замкнутой подгруппы. По теореме 2.44 С.А.Чунихина группа Q 2-нильпотентна и, следовательно, является разрешимой. Докажем теперь, что ( Q =г Р 3 . Предположим, что I CJ-1 делится на некоторое отличное от 2 и 3 простое число р . Так как группа Q разрешима, то в группе Q существует холловская подгруппа Л порядка 13 1 — 2 р Пусть - элемент порядка р из центра силовской р-подгруппы L из J-I и пусть S - циклическая подгруппа порядка р порождённая элементомФормулировки известных результатов
Свойства пронормальных и абнормальных подгрупп и дополняемость нормальных подгрупп
Фраттиниевы пересечения и существования дополнений и добавлений в конечных группах
О рациональных и действительных группах
Похожие диссертации на Расщепляемость расширений конечных разрешимых групп
