Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Об изоморфизме абелевой группы своей группе эндоморфизмов 18
1. Е+-группы в некоторых классах абелевых групп 19
2. EndE*-группы в некоторых классах абелевых групп 29
3. End-группы в некоторых классах абелевых групп 44
ГЛАВА 2 Об определяемости групп своими группами эндоморфизмов 52
1. Об определяемости периодической EndE+-rpynnbi своей группой эндоморфизмов 52
2. Об определяемости нередуцированной EndE+-rpynm>i своей группой эндоморфизмов 57
3. Об определяемости EndE+-rpynn без кручения своими группами эндоморфизмов 64
Литература 72
- EndE*-группы в некоторых классах абелевых групп
- End-группы в некоторых классах абелевых групп
- Об определяемости нередуцированной EndE+-rpynm>i своей группой эндоморфизмов
- Об определяемости EndE+-rpynn без кручения своими группами эндоморфизмов
Введение к работе
Актуальность темы.
Теория абелевых групп является одним из важных направлений современной алгебры. Все возрастающий интерес к абелевым группам понятен: теория абелевых групп тесно переплетается с теориями модулей, колец, множеств, чисел. С одной стороны, теория абелевых групп, являясь частью теории модулей, использует ее идеи и методы, с другой стороны, она - один из основных побудителей новых исследований в теории модулей.
Начало теории абелевых групп положили работы Л.С. Понтрягина, А.И. Мальцева, А.Г. Куроша, Д. Дэрри, Л.Я. Куликова и др. На становление современной теории абелевых групп решающее влияние оказала монография Л. Фукса [24]. Являясь своеобразной энциклопедией этой теории, эта книга, кроме того, содержит большое число проблем, с решением которых связана деятельность многих специалистов и по сей день. Бурное развитие теории модулей и проникновение в математику теоретико-категорного мышления, последовавшие за появлением монографии Фухса, нашли глубокое отражение в теории абелевых групп. Эта тенденция привела к появлению, по существу, новой книги Л. Фукса [22], [23]. Из современных монографий следует отметить книгу П.А. Крылова, А.В. Михалева и А.А. Туганбаева [4], в которой представлены все основные направления теории колец эндоморфизмов и отражены как ранние, так и полученные в последние годы результаты о связях между абелевой группой и ее кольцом эндоморфизмов.
Именно поиск точных соотношений между свойствами группы и свойствами ее групп гомоморфизмов, группы и кольца эндоморфизмов явился, своего рода, катализатором в развитии современной теории абелевых групп. Тот факт, что две периодические абелевы группы с изоморфными кольцами эндоморфизмов изоморфны, был установлен Бэром в 1943 году в случае ограниченных групп и доказан Капланским в 1952 году в общем случае. Этот результат Бэра-Капланского послужил началом многочисленных исследований в этом направлении.
Выяснение условий, при которых группа (кольцо) всех эндоморфизмов данной абелевой группы определяет ее строение, является важной задачей современной теории абелевых групп (см. [24], проблемы 41,43; [22], проблема 31). Одним из аналогов этих известных проблем, поставленных Л. Фуксом, является задача
определяемости абелевой группы группами гомоморфизмов, группой (кольцом) эндоморфизмов. Здесь и далее будем придерживаться определения из обзора А.В. Михалева, и А.П. Мишгшой [6, с.347]: говорят, что группа ^ определяется своей группой (кольцом) эндоморфизмов в классе групп X, если из End(A)=End(B) (Е(А)=Е(В)), где ВеХ, следует, что АвВ. Если А и В - р-группы с изоморфными группами эндоморфизмов, то А и В могут быть не изоморфными [5, Д.34]. Армстронг [7, с.41] указал условия, при которых изоморфизм групп эндоморфизмов End(A) и End(B) влечет изоморфизм групп А и В, но только для случая, когда А и В -прямые суммы циклических р-групп. С.Я. Гриншпон [1] при предположении о том, что справедлива обобщенная гипотеза континуума, получил необходимые и достаточные условия, при которых изоморфизм групп эндоморфизмов End(A) и End(B) влечет изоморфизм групп А и В, для произвольных р-групп А, В (если А ~ редуцированная р-группа, то можно заранее не требовать, чтобы группа В была р~ группой). См. также [2]. A.M. Себсльдин нашел ряд условий, при которых в некоторых классах абелевых групп существуют неизоморфные абелевы группы с изоморфными группами эндоморфизмов [12], [15]—[19]. Корнер [7] показал, что существуют группы без кручения, группы эндоморфизмов которых изоморфны, а кольца эндоморфизмов не изоморфны. Нужно отметить, что при решении вопроса об определяемости абелевой группы группами гомоморфизмов (эндоморфизмов) важно знать строение группы гомоморфизмов одной абелевой группы в другую.
Алгебраическое строение группы гомоморфизмов представляет как самостоятельный интерес, так и позволяет решать задачи теории групп, колец, модулей. Однако точное строение группы гомоморфизмов известно лишь в некоторых случаях (см. [22], 43, 46, 47). Строение группы Нот(А,В) для некоторых частных случаев выясняется в работах Пирса [25], Гроссе [8, с. 115-116], ван Ливена [8, с.183], Мадера [9, с.291], Шульца [9, с.344], Уорфидда [9, с.375], Эды [10, с.196], Крандика [11, с.301], Крылова П.А. [3].
Задача о строении группы гомоморфизмов Нот(А,В) ставилась в самых различных видах. Рассматривался вопрос о том, когда заданная группа изоморфна некоторой группе Нот(А,В) [8, с.282]. В частности, ставился вопрос о том, какому классу групп принадлежит группа Нот(А,В), если А к В взяты из заданных классов групп, или когда группа Нот(А,В) изоморфна группе А (группе В). В такой
постановке задача рассматривалась в работах [8, с. 114], [9, с.121], [13], [14], [20], [21], [27].
При определении строения группы эндоморфизмов абелевои группы важной задачей является изучение связей между абелевои группой и ее группой эндоморфизмов. Естественным образом возникает вопрос, при каких условиях абелева группа А и группа всех ее эндоморфизмов End(A) изоморфны (см. [22], проблема 31; [24], проблемы 40,45). Для некоторых классов абелевых групп эта задача решена A.M. Себельдиным [13], [14] и Ф. Шульцем [26].
Цель диссертационной работы состоит в изучении связей между абелевои группой и ее группой эндоморфизмов.
Основные задачи.
В соответствии с целью выделены следующие задачи исследования:
Получить необходимые и достаточные условия, при которых абелева группа изоморфна своей группе эндоморфизмов.
Выяснить, когда из изоморфизма групп эндоморфизмов абелевых групп следует изоморфизм самих групп.
Новизна результатов.
Все результаты диссертации являются новыми. Выделим основные из них:
Решена задача об изоморфизме между абелевои группой А и ее группой эндоморфизмов End(A) (такую группу будем называть Е*-группой) в некоторых классах абелевых групп.
Получены необходимые и достаточные условия на абелеву группу А, при которых изоморфны группы End(A) и End(End(A)) (такую группу будем называть EndE*-группой).
В некоторых известных классах абелевых групп найдены такие абелевы группы А, что группы EndfA) и End(End(A)) изоморфны, а группы А и End(A) не изоморфны (такие группы будем называть End-группами).
Решена задача определяемое абелевои п^^-группы своей группой эндоморфизмов в некоторых классах абелевых групп.
Теоретическое и прикладное значение.
Работа носит теоретический характер. Результаты данной работы могут быть использованы при изучении групп гомоморфизмов, групп эндоморфизмов абелевых
групп и модулей, могут применяться при решении аналогичных задач в теории групп, колец, модулей. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов по теории абелевых групп в высших учебных заведениях.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на VIII, IX, X Нижегородских сессиях молодых ученых (г. Саров, 2003г, 2004г, 2005г); на алгебраических семинарах НПТУ (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Себельдин A.M.), ННГУ (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов М.И.), МПГУ (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Фомин А.А.); на Всероссийском симпозиуме «Абелевы группы» (г. Бийск, 2005г, 2006г).
Публикации.
Основное содержание диссертации отражено в восьми публикациях, из которых шесть тезисов докладов и две статьи. Их список приведен в конце реферата. В совместной работе постановка задачи исследования принадлежит Себельдину A.M., диссертанту принадлежат формулировки и доказательства всех теорем.
Структура и объем диссертации.
EndE*-группы в некоторых классах абелевых групп
Напомним, что группа А называется EndE -группой, если группа всех ее эндоморфизмов является -группой. EndE+-rpymibi найдены в классах периодических групп, нередуцированных (делимых и строго нередуцированных) групп, групп без кручения ранга 1, вполне разложимых групп без кручения, редуцированных векторных групп. Теорема 1.2.1. Периодическая группа А является EndE -группой в том и только том случае, когда для любого простого числа р из S(A) ее р-компонента Ap=Z(p) илиАр =Z(pk), k=k(p)eN. Доказательство. Пусть А = ФРЩА)АР — периодическая группа, тогда [36, с. 214] ее группа эндоморфизмов End(A) =IJpeS(A)End(Ap) является редуцированной алгебраически компактной группой [36, с.226]. А по Теореме 4.1.1, редуцированная алгебраически компактная группа End(A) является ІҐ-группой в том и только том случае, когда для любого р из S(End(A))=S(A) ее р-компонента End(Ap) изоморфна одной из групп: End(Ap) =JP или End(Ap) =Z(pk), к=к(р) N. Поскольку Ар - периодическая группа, то получаем, что для любого простого числа р из S(A) Лемма 3. Группа эндоморфизмов абелевой группы изоморфна аддитивной группе рациональных чисел Q тогда и только тогда, когда сама группа изоморфна Q. Доказательство. Достаточность очевидна. Необходимость. Покажем, что для любой абелевой группы А из того, что End(A) = Q, следует, что A = Q. Так как End(A) = Q, то делимая часть D(A) группы А ненулевая, поэтому ее можно представить в виде: A=D(A)BR(A),D(A) 0. В этом случае группа эндоморфизмов группы А, изоморфная Q по условию, принимает вид: Q = End(A) =End(D(A))End(R(A))9Hom(R(A),D(A)), откуда следует, что в группе Q можно выделить как прямое слагаемое редуцированную группу End(R(A)) - противоречит строению группы Q. Следовательно, редуцированная часть группы А равна нулю. Таким образом, группа
А может быть только делимой группой, поэтому ее можно представить в виде: кручения и периодическая части делимой группы А соответственно. Тогда: Опять получили, что в группе Q можно выделить как прямое слагаемое редуцированную группу End(Dt(A)) [36, с.226]. Следовательно, Dt(A)=0. Получили, что А - делимая группа без кручения, т.е. тогда откуда получаем, что г(А)=\, т.е. А =0щ Теорема 2.2.1. Делимая группа А является EndE -группой тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий: Доказательство. В силу Теоремы 1.2.1 периодическая делимая группа А является EndE+-группой тогда и только тогда, когда А = Фрє5(А)2(р00). Покажем, что непериодическая делима группа является EndE+-группой тогда и только тогда, когда она изоморфна группе рациональных чисел Q. Так как А - делимая группа, то ее группа эндоморфизмов End(A)=End(DJ) Ф Hom(Df, Dt)Ф End(Dt) - группа без кручения [36, с.213]. А так как Df- делимая группа без кручения, то группа End(DJ) делимая без кручения [36, с.213]. Следовательно, делимая часть группы без кручения End(A) ненулевая, поэтому (Теорема 3.1.1) группа End(A) является +-группой тогда и только тогда, когда End(A) = Q. Далее, применяя Лемму 3, получаем, что последний изоморфизм имеет место в том и только том случае, когда A =Qm Теорема 3.2.1. Строго нередуцированная группа А=й(А)ФЩА) является EndE -группой тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий: (1)ее делимая часть D(A) = Bpesd(A)Z(peo), сі редуцированная часть R(A) = Фре5г(А)2(рк), k=k(p)eN; (2) ее делимая часть изоморфна группе рациональных чисел Q, а редуцированная часть является конечной циклической группой. Доказательство. Если строго нередуцированная группа А периодическая, тогда в силу Теоремы 1.2.1 она является EndE+-группой тогда и только тогда, когда для любого простого числа/? из Sd(A) Ap=Z(px ), и для любого простого числа/? из Sr(A) Ap=Z(pk), k=k(p)N, т.е. тогда и только тогда, когда выполняется условие (1) теоремы. Покажем, что строго нередуцированная непериодическая группа является EndE -группой тогда и только тогда, когда выполняется условие (2) теоремы.
Достаточность. EcmA=QBZ(n), тогда End(A) =End(Q) Ф HomfQ, Z(n)) Ф End(Z(n)) Ф Hom(Z(n), Q). А так как Hom(QZ(n)) и Hom(Z(n),Q) - нулевые группы, то получаем, что End(A)=Q Z(n), и поэтому по Теореме 3.1.1 является -группой. Следовательно, А является /ЇУи/іҐ-группой. Необходимость. Пусть А=В(А)ФЩА), где D(A) 0 и R(A) 0, является непериодической EndE -группой. Покажем сначала, что делимая часть D(A) группы А -тоже непериодическая группа. Действительно, если группа D(A) периодическая, то группа R(A) непериодическая. Но тогда в силу [36, с.233] группа Hom(R(A),D(A)), а, следовательно, и группа End(A), содержит делимую подгруппу. Далее, так как D(A) - периодическая делимая группа, то она содержит как прямое слагаемое некоторую группу Zfp00). Но тогда, учитывая, что End(Z(pa0))=Jp, получаем, что группа End(A) - строго нередуцированная группа, содержащая в качестве прямого слагаемого группу Jp, а поэтому (по Теореме 3.1.1) не изоморфна своей группе эндоморфизмов, т.е. группы End(End(A)) и End(A) в
End-группы в некоторых классах абелевых групп
Напомним, что группу А называем Ы-группой, если группы End(End(A)) и End(A) изоморфны, а группы End(A) и А не изоморфны. Т.е. А является ZiW-группой, если группа А является EndE+-группой, но не является -группой. В данном параграфе исследуется вопрос о существовании End-трупп в классах периодических групп, нередуцированных (делимых и строго нередуцированных) групп, групп без кручения ранга 1, вполне разложимых групп без кручения, редуцированных векторных групп. Теорема 1.3.1. Периодическая группа А является End-группой тогда и только тогда, когда для любого простого числа р из S(A) ее р-компонента Ap = Z(pa ) или Ap=Z(pk), k=k(p) eN и выполняется хотя бы одно из условий: 1) либо Sd(A)t0; 2) либо S(A) -любое бесконечное подмножество множества Р. Доказательство. В силу Теоремы 1.2.1, так как А периодическая группа, то изоморфизм End(End(A))= End(A) имеет место тогда и только тогда, когда для любого простого числа р из S(A) ее р-компонента Ap=Z(pa0) или Ap=Z(pk), k-k(p) eN. Если ЩА)Ф0, то периодическая группа А содержит как прямое слагаемое некоторую группу Z(pcc) (peSd(A)), и поэтому по Теореме 1.1.1 не изоморфна своей группе эндоморфизмов. Если Sd(A)=0, то для любого простого числа р из S(A) Ap=Z(pk), k=k(p) sN, т.е. A=@pes(A)Z(pk).
В этом случае по Теореме 1.1.1 группы End(A) и А не изоморфны тогда и только тогда, когда S(A) - бесконечное множество Следствие 1.3.1. Делимая периодическая группа А является End-группой тогда и только тогда, когда А изоморфна группе peb(A)Z(p), где S(A) -любое непустое подмножество множества Р. Следствие 2.3.1. Строго нередуцированная периодическая группа A=D(A)(BR(A) является End-группой тогда и только тогда, когда ее делимая часть D(A) изоморфна группе Фр лрф"), а редуцированная часть ЩА) - группе (&pesr(A)Z(pk), k=k(p) eN. Следствие 3.3.1. Редуцированная периодическая группа А является End-группой тогда и только тогда, когда она изоморфна группе (Dpes(A)Z(pk), k=k(p) eN, и S(A) - любое бесконечное подмножество множества Р. Теорема 2.3.1. Делимая группа А является End-группой тогда и только тогда, когда А изоморфна группе &pes(A)Z(pa0), где S(A) -любое непустое подмножество множества Р. Доказательство. В силу Следствия 1.3.1 достаточно показать, что любая непериодическая делимая группа не является End-группой. Пусть А - делимая группа без кручения, которая не является Е+-группой, т.е. (Теорема 2.1.1) г(А) 1. Тогда группа End(A) также делимая и без кручения [36, с.213], причем r(End(A)) l. Применяя Теорему 2.1.1 для группы End(A), заключаем, что группы End(End(A)) и End(A) не изоморфны. Пусть А - смешанная делимая группа, тогда по Теореме 2.1.1 группы End(A) и А не изоморфны. Покажем, что и в этом случае изоморфизм End(End(A))=End(A) не имеет места. Поскольку группа А делимая, то И тогда, учитывая, что группа Hom(Dt,DJ) равна нулю [36, с.213], получаем: Слагаемые End(Dj) и Hom(Df,Dt) - ненулевые делимые группы без кручения [36, с.213]. Таким образом, в делимой части группы End(A) можно выделить как прямое слагаемое группу без кручения ранга больше 1. Но тогда по Теореме 3.1.1 группы End(End(A)) и End(A) не изоморфны Теорема 3.3.1. Строго нередуцированная группа А=В(А)ФЩА) является End-группой тогда и только тогда, когда ее делимая часть D(A) изоморфна группе Фре8 А)2(р), а редуцированная часть R(A) группе ФРе$г(А)%(Рк) к=Ш eN Доказательство. В силу
Следствия 2.3.1 достаточно показать, что любая строго нередуцированная непериодическая группа не является iiW-группой. Пусть А=й(А)ФЩА) - строго нередуцированная непериодическая группа, т.е. D(A)rf) и ЩА)?0. Тогда по Теореме 3.2.1 группа Л является и/+-группой тогда и только тогда, когда ее делимая часть D(A) изоморфна группе рациональных чисел Q, а редуцированная часть ЩА) является конечной циклической группой. Это означает (Теорема 3.1.1), что группа А изоморфна своей группе эндоморфизмов, а поэтому не является End-груттаілщ Предложение 1.3.1. Группа без кручения ранга 1 является End-группой в том и только том случае, когда ее тип неидемпотентный. Доказательство. Пусть А - группа без кручения ранга 1. В этом случае группа End(A) тоже является группой без кручения ранга 1 [36, с.213], причем тип группы End(A) идемпотентный, т.к. r(End(A)) =Т(А)-Т(А). Следовательно [26, с.78], группы End(A) и End(End(A)) изоморфны для любой группы А без кручения ранга 1. Таким образом, для того, чтобы и группа А была iiW-группой необходимо и достаточно [26, с.78], чтобы группа А была неидемпотентного типащ Теорема 4.3.1. Вполне разложимая группа без кручения конечного ранга является End-группой, если типы всех ее прямых слагаемых ранга 1 попарно несравнимы по щ и в ее прямом разложении найдется группа ранга 1 неидемпотентного типа. Доказательство. Если типы всех прямых слагаемых вполне разложимой группы А без кручения конечного ранга попарно несравнимы по оо, то (Теорема 5.2.1) группа А является EndE+-группой. А так как в прямом разложении группы А существует группа ранга 1 неидемпотентного типа, то (Лемма 1) группа А не является +-группой. Это и означает, что A -End-rpyrnid Теорема 5.3.1. Если вполне разложимая группа без кручения конечного ранга является End-группой, то в ее прямом разложении
Об определяемости нередуцированной EndE+-rpynm>i своей группой эндоморфизмов
В данном параграфе задача определяемое абелевой группы своей группой эндоморфизмов решена для делимой EndE -группы в классах периодических групп, нередуцированных (делимых и строго нередуцированных) групп, классе всех абелевых групп; и для строго нередуцированной EndE -группы — в классе нередуцированных групп, в классе всех абелевых групп. Теорема 1.2.2. Делимая EndE -группа определяется своей группой эндоморфизмов в классе периодических групп. Доказательство. Пусть А - делимая EndE+-группа. Покажем, что любая периодическая группа В, такая, что End(B) =End(A), изоморфна группе А. Покажем сначала, что из изоморфизма End(B) =End(A), для делимой группы А и периодической группы В следует, что группа А периодическая. Действительно, если ранг без кручения группы А не равен нулю, то тогда группа, а поэтому не может быть изоморфна редуцированной алгебраически компактной группе End(B) [36, с.226]. Таким образом, группа В периодическая, а группа А -периодическая делимая группа, которая по условию является EndE+-группой. А так как (Теорема 1.1.2) периодическая EndE+-группа А определяется своей группой эндоморфизмов в классе всех периодических групп, то группы А и В изоморфны Теорема 2.2.2. Если А - делимая непериодическая EndE+-группа, тогда любая группа В, такая, что End(B) =End(A), изоморфна группе А.
Доказательство. Так как А - делимая непериодическая группа, т.е. ранг без кручения г(0,А) отличен от нуля, то ее можно представить в виде: A=D(A)=Df(A)9Dt(A), и ЩА) 0. В этом случае ее группа эндоморфизмов принимает вид: End(A) =End(Df(A)) Ф End(Dt(A)) Ф Hom(Df(A),Dt(A)). Так как группа А делимая, то End(A) - группа без кручения [36, с.213]. А так как Df(A) - делимая группа без кручения, то End(Df(A)) - тоже делимая группа без кручения [36, с.213]. Таким образом, End(A) - нередуцированная группа без кручения, которая является /Ґ-группой (так как группа А - EndE -группа по условию), и поэтому (Теорема 2.1.1 и Теорема 3.1.1) изоморфна аддитивной группе рациональных чисел. Итак, если End(B) =End(A), то для любой такой группы В получаем: откуда в силу Леммы 3, заключаем, что: Теорема 3.2.2. Делимая EndE -группа определяется своей группой эндоморфизмов в классе делимых групп. Доказательство. Пусть А -делимая EndE? -группа. Покажем, что для любой делимой группы В из изоморфизма End(B) =End(A) следует, что группы А и В изоморфны. Пусть ранг без кручения группы А равен нулю, т.е. А -периодическая делимая группа. И пусть В - делимая группа такая, что End(B) =End(A). А так как (Теорема 3.1.2) периодическая EndE -группа А определяется своей группой эндоморфизмов в классе всех делимых групп, то группы А и В изоморфны. Пусть теперь ранг без кручения группы А не равен нулю. В этом случае (Теорема 2.2.2) для любой делимой группы В из изоморфизма End(B) =End(A) следует, что группы А и В изоморфны Теорема 4.2.2. Делимая EndE -группа определяется своей группой эндоморфизмов в классе всех абелевых групп тогда и только тогда, когда она непериодическая. Доказательство. Достаточность непосредственно следует из
Теоремы 2.2.2. Необходимость. Пусть делимая EndE+-rpynna А определяется своей группой эндоморфизмов в классе всех абелевых групп. Покажем, что она не может быть периодической. Действительно, если группа А - делимая периодическая, то найдется группа B=End(A) такая, что End(B) = End(A) (так как А -EndE -группа), но А и В не изоморфны (так как по Теореме 1.1.1 делимая периодическая группа не изоморфна своей группе эндоморфизмов). А это противоречит тому, что группа А определяется своей группой эндоморфизмов в классе всех абелевых групп по условию Следствие 1.2.2. Если делимая EndE -группа А периодическая, то существует нередуцированная группа В, такая, что группы End(A) и End(B) изоморфны, а сами группы АиВне изоморфны. Доказательство. Действительно, если А - делимая периодическая EndE -группа, то в силу Теоремы 1.2.1 S(A) - некоторое множество различных простых чисел. Пусть B=@peS(A)\{p} Z(pcc)QJpi, - нередуцированная группа, которая,
Об определяемости EndE+-rpynn без кручения своими группами эндоморфизмов
В данном параграфе задача определяемости абелевой группы своей группой эндоморфизмов решена для EndE? -группы без кручения ранга 1 в классах вполне разложимых групп без кручения, делимых групп; и для вполне разложимой EndE+-групшл конечного ранга - в классе вполне разложимых групп без кручения. Теорема 1.3.2. EndE -группа без кручения ранга 1 определяется своей группой эндоморфизмов в классе вполне разложимых абелевых групп без кручения тогда и только тогда, когда она либо изоморфна аддитивной группе Q рациональных чисел, либо является почти делимой группой. Доказательство. Пусть А - группа без кручения ранга 1, ТА=Т(А). Возможны четыре случая: (1) тип ТА состоит только из символов оо, т.е. A = Q; (2) тип ТА идемпотентный, причем нулей конечное число, т.е. группа Л почти делимая; (3) тип ТА идемпотентный, причем нулей бесконечное число; (4) тип ТА неидемпотентный. Покажем, что группа без кручения ранга 1 определяется своей группой эндоморфизмов в классе вполне разложимых абелевых групп без кручения только в случаях (1) и (2). Случай 1. Если группа А без кручения ранга 1 изоморфна аддитивной группе рациональных чисел Q, то ее группа эндоморфизмов End(A) также изоморфна группе Q. И поэтому в силу Леммы 3 для любой абелевой группы В, такой, что End(B) =End(A) = Q, получим, что В =A=Q. Случай 2. Пусть группа А почти делимая, а В - вполне разложимая группа без кручения, группа эндоморфизмов End(B) которой изоморфна группе End(A). Так как группа А без кручения ранга 1, то End(A), а значит и End(B)- также группы без кручения ранга 1. Отсюда следует, во-первых, что группа
В без кручения ранга 1, а, во-вторых, i(End(A))=T(End(B)). Учитывая, что r(End(A))=r(A)-т(А) (z(End(B))=T(B)(B)), получаем, что из изоморфизма End(A) =End(B) следует, что P XJ(TA)=P(XJ(TB) (Р(ТА)=Р(ТВ)). ЭТО, в свою очередь, означает, что в характеристиках а-( ,Оп,..) и p=(.,.,pni. ) типов т(А) и т(В) соответственно могут не совпадать только элементы а, и Д, которые отличны от символа оо. А так как по условию в идемпотентном типе т(А) нулей конечное число, то получаем, что ап =Д„= сю для всех п, кроме, быть может, конечного числа, притом таких, для которых а„=0, а Д, 00, т.е. характеристики а и Д эквивалентны, а, значит, типы т(А) и т(В) равны. Итак, если группа без кручения ранга 1 почти делима, то для любой абелевой группы из изоморфизма End(A) =End(B) следует, что сами группы А и В изоморфны. Случай 3. Пусть А - группа без кручения ранга 1 идемпотентного типа, в характеристике которого бесконечное число нулей І\Р(ТА)\ Хо)- Покажем, что для любой такой группы А найдется группа В без кручения такая, что группы End(A) и End(B) изоморфны, а сами группы А и В не изоморфны. Пусть а=(..,а„,..) - некоторая характеристика типа т(А), содержащая бесконечное число нулей. Рассмотрим группу В без кручения ранга 1, тип т(В) которой содержит характеристику р=(. ,рп,--) такую, что Pn ctn,, если с =оо, и Д=/, если Хп=0. По условию в характеристике а бесконечное число нулей, но тогда получаем, что характеристики а и р не эквивалентны, а, значит, типы т(А) и т(В) не равны, т.е. группы А и В не изоморфны. Но, с другой стороны, так как PJ(TA)=P XJ(TB) и r(End(B))=r(B) -т(В)=т(А) -т(А)=т(Епії(А)), то группы End(A) и End(B) изоморфны.
Случай 4. Если тип т(А) неидемпотентный, то, полагая B=End(A), получим, что группы А и В не изоморфны [26, с.78], а End(A) =End(B) (так как Л - /и/іҐ"-группа). Это означает, что группа А в этом случае не определяется своей группой эндоморфизмов Следствие 1.3.2. Группа без кручения ранга 1 определяется своей группой эндоморфизмов в классе делимых групп тогда и только тогда, когда она изоморфна аддитивной группе рациональных чисел Q. Теорема 2.3.2. Вполне разложимая EndE?-группа без кручения конечного ранга определяется своей группой эндоморфизмов в
