Введение к работе
Актуальность темы. За последние два десятилетия в теории групп получило развитие направление связанное с понятием насыщенности [19].
Пусть X — некоторое множество групп. Группа G насыщена группами из X (или насыщена множеством X), если любая конечная подгруппа из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из X.
В первоначальных исследованиях периодических групп с условием насыщенности предполагалось, что X - некоторое множество конечных простых неабелевых групп. Это привело к постановке вопроса 14.101 в Коуровской тетради [5]:
Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама являвтся простой группой лиева типа конечного ранга?
При решении этого вопроса возникла необходимость характеризации групп, насыщенных прямыми произведениями конечных групп. А.К. Шлёп- кин в [20], изучая периодическую группу G, насыщенную конечными простыми группами Re(3n), вначале рассматривал централизатор инволюции x из G. Как оказалось, Cg(x) насыщен прямыми произведениями конечных групп вида L2(3n) х Z2, где Z2 — группа порядка два. Используя этот факт, удалось показать, что Cg(x) ~ L2(Q) х Z2, где Q — локально конечное поле характеристики три, а затем и доказать требуемый изоморфизм G ~ Re(Q). Из результатов С.В. Иванова [27] и И.Г. Лысенока [9] следует, что бернсай- довы группы B(m,n) достаточно большого четного периода n не локально конечны и насыщены прямыми произведениями групп диэдра, взятых в конечном числе, причем число множителей прямого произведения может быть сколь угодно большим. Далее, Б. Амберг и Л.С. Казарин [23] доказали, что периодическая группа, насыщенная группами диэдра, локально конечна. Таким образом, актуален общий вопрос о локальной конечности периодической группы, насыщенной прямыми произведениями различных конечных групп.
Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп, изучались А.И. Созутовым, К.А. Филипповым, В.Д. Мазуровым, Д.В. Лыткиной, Д.Н. Панюшкиным [10-15,17].
В обзоре [8] приведена библиография работ, в которых исследовались группы с условием насыщености, в частности группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп, и сфорулированы основные проблемы, связанные с изучением групп, насыщенных группами из заданного множества групп.
В 1954 году Б. Нойман опубликовал работу [28], в которой, в частности, доказал свою знаменитую лемму о том, что если группа покрывается конечным числом смежных классов по нескольким подгруппам, то индекс одной из этих подгрупп конечен. В том же году в [29] Б. Нойман специально рассмотрел вопрос о покрытии групп конечным числом n смежных классов и показал, что в случае, когда такое покрытие является несократимым, все участвующие в нем подгруппы имеют конечные индексы, ограничив сверху эти индексы функцией, зависящей только от n (теорема Ноймана).
Значение этих результатов Ноймана в исследованиях групп, насыщенных прямыми произведениями конечных групп, связано с тем, что они гарантируют существование в группе нормальной подгруппы конечного индекса при условии, что группа обладает конечным покрытием. Д.В. Лыткина и К.А. Филиппов в [10] исследовали периодическую группу G, насыщенную множеством прямых произведений конечных групп вида L2(Pn) х Z2. В том случае, когда G содержит нормальную нетривиальную подгруппу, G ~ L2(Q) х Z2, где Q — локально конечное поле характеристики 2. В противном случае, то есть когда G — простая группа, возникает целый класс периодических не локально конечных групп с указанным выше насыщающим множеством, существование которого представляет отдельную задачу в теории периодических групп [10-12]. В связи со сказаннным выше, доказательство существования в группе, насыщенной прямыми произведениями конечных групп, конечных несократимых покрытий является актуальной задачей.
Одной из известных проблем теории групп является проблема Бернсайда о периодических группах фиксированного периода, поставленная английским математиком У. Бернсайдом в 1902 году [24]. Пусть G — группа, порожденная m ^ 2 элементами, в которой каждый элемент в степени n равен единичному элементу группы. Будет ли такая группа конечной? Впоследствии свободные группы из соответствующего многообразия групп периода n с m образующими получили название свободных бернсайдовых групп и обозначение B(m,n). Перечислим известные к настоящему времени результаты по данным группам. Группа B(m,n) конечна для n = 2 (тривиальный случай), n = 3 (У. Бернсайд, 1902 [24]), n = 4 (при m = 2: У. Бернсайд, 1902 [24], для m > 2: И.Н. Санов, 1940 [16]), n = 6 (М. Холл, 1958 [26]). B(m,n) бесконечна для нечетных n > 665 (О.И. Адян, П.С. Новиков, 1975 [1]) и для достаточно больших четных n (С.В. Иванов, 1994 [27], И.Г. Лысенок, 1996 [9]). Для других периодов, наименьший из которых равен 5, вопрос о конечности B(m,n) остается открытым.
В 1950 году В. Магнусом была поставлена еще одна проблема, известная как «ослабленная проблема Бернсайда». В ней требовалось выяснить, существует ли максимальная конечная периодическая группа B0 (m, n) с данным числом m порождающих элементов и фиксированным периодом n. Связь ослабленной проблемы Бернсайда с основной проблемой сводится к тому, что если |B(m,n)| < то, то B(m,n) = B0(m,n). Решение ослабленной проблемы Бернсайда для периода 5 приведено в [4]. Наибольший интерес представляет группа B(2, 5), поскольку эта группа имеет наименьший период и наименьшее число порождающих элементов в сравнении с другими бернсайдовыми группами, конечность которых не определена. Отметим вопрос о подгруппах группы B(2, 5) при условии ее бесконечности, поставленный Ч. Симсом [30], ответ на который к настоящему времени не известен.
Вопрос 1: Существуют ли в B(2, 5) двупорожденные нециклические подгруппы, неизоморфные B(2, 5)?
Ч. Симсом в [30] были получены два соотношения длины 30 (соотношения 1, 2 из таблицы 1) как необходимые условия существования в B(2, 5) конечных нециклических подгрупп порядка 25. Однако сами эти подгруппы он не указывает. А.А. Кузнецов в своей докторской диссертации приводит ряд тождеств, минимальное из которых имеет длину 47, являющихся достаточными условиями существования в B(2, 5) подгрупп порядка 25 [6, теорема 11]. Для каждого из полученных соотношений он указал соответствующую подгруппу. Более того, А.А. Кузнецов и А.К. Шлёпкин показали, что невыполнение соотношений длины 30 из таблицы 1 влечет бесконечность B(2, 5) [7].
Таким образом, результаты Ч. Симса, А.А. Кузнецова и А.К. Шлёпкина
позволяют сформулировать следующую гипотезу.
Если в B(2, 5) есть подгруппы порядка 25, то B(2, 5) конечна.
В свете высказанной гипотезы нахождение условий существования (несуществования) прямых произведений в B(2, 5) является актуальной задачей.
Цель диссертации. Исследовать группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп со следующей структурой множителей: конечные простые неабелевы группы, элементарные абелевы 2-группы, циклические группы нечетного порядка, сплетенные группы. Установить строение исследуемых групп.
Методы исследований. Используются методы абстрактной теории групп и компьютерные вычисления.
Научная новизна и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Все основные результаты являются новыми, они могут быть использованы в дальнейших подобных исследованиях групп, а также при чтении спецкурсов по теории групп.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались автором на международной студенческой конференции «Молодежь и современные информационные технологии» (Томск, 2010 г.), на школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2011 г.), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Морозова «Алгебра и математическая логика» (Казань, 2011 г.), на международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2011 г.), на международной студенчекой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2012 г.), на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Н. Черникова (Киев, 2012 г.). Результаты диссертации обсуждались на Красноярском городском алгебраическом семинаре и на семинаре «Математические системы» в КрасГАУ.
Основные результаты диссертации.
1. Установлено существование и строение периодической части группы Шункова, насыщенной группами вида L2(2n) х Im, где Im — элементарная абелева 2-группа порядка 2m (здесь натуральное n фиксируется, а m не фиксируется) (теорема 1).
-
Дано описание периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп вида L2(In) xV, где V — конечная циклическая группа нечетного порядка, натуральное n и |V | не фиксируются (теорема 2).
-
Дано описание бесконечной 2-группы, насыщенной сплетенными группами (теорема 6).
-
Получено новое доказательство теоремы Ноймана, на основе которого установлена связь между индексами подгрупп из несократимых покрытий в теореме Ноймана с элементами последовательности Сильвестра (теорема 9).
-
Получены достаточные условия существования в B(2, 5) нециклических двупорожденных подгрупп, неизоморфных B(2, 5) (теорема 10).
Публикации. Результаты опубликованы в работах [31-41], из них шесть работ в изданиях из перечня ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Нумерация теорем и лемм общая. Текст диссертации содержит 80 страниц, включая таблицы, список литературы содержит 54 наименования.
