Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Аппроксимируемость нильпотентными группами обобщенного свободного произведения групп 18
1. Предварительные замечания 18
2. Необходимое условие нильпотентной аппрокси мируемости обобщенного свободного произве дения двух нильпотентных групп 32
3. Нильпотентная аппроксимируемость обобщен ного свободного произведения нильпотентных групп с конечным объединением 37
4. Нильпотентная аппроксимируемость обобщен ного свободного произведения конечно порожденных абелевых групп 51
5. Аппроксимируемость конечными р-группами обобщенного свободного произведения нильпо тентных групп 57
ГЛАВА II. Аппроксимируемость относительно сопряженности обобщенного свободного произведе ния групп 62
1. Предварительные замечания. Аппроксимируе мость относительно сопряженности конечными р-группами конечно порожденных нильпотент ных групп 62
2. Сопряженная отделимость в классе конечных р групп элементов бесконечного порядка 72
3. Аппроксимируемость относительно сопряжен ности конечными р-группами обобщенного свободного произведения 81
Литература 88
- Необходимое условие нильпотентной аппрокси мируемости обобщенного свободного произве дения двух нильпотентных групп
- Нильпотентная аппроксимируемость обобщен ного свободного произведения конечно порожденных абелевых групп
- Сопряженная отделимость в классе конечных р групп элементов бесконечного порядка
- Аппроксимируемость относительно сопряжен ности конечными р-группами обобщенного свободного произведения
Введение к работе
Пусть /С — некоторый класс групп. Говорят, что группа G аппроксимируема группами из класса /С (или, короче, /С-аппроксимиру-ема), если для любого неединичного элемента д группы G существует гомоморфизм группы G на некоторую группу X из класса /С (или, короче, /С-группу), при котором образ элемента д отличен от единицы.
Изучение /С-аппроксимируемости и ряда других аппроксимаци-онных свойств группы является одним из заметных направлений современной комбинаторной теории групп. Наиболее изученным и хронологически первым здесь является свойство финитной аппроксимируемости, т. е. аппроксимируемости в классе Т всех конечных групп. В данной диссертационной работе применительно к конструкции обобщенного свободного произведения групп, т. е. свободного произведения групп с объединенными подгруппами, рассматривается свойство аппроксимируемости в классе М всех нильпотентных групп и в его подклассе Tv всех конечных р-групп.
Первым результатом об ЛЛаппроксимируемости групп является, по-видимому, известная теорема Магнуса [23], согласно которой произвольная свободная группа является Л/"-аппроксимируемой. ЛЛ-аппроксимируемость обычного свободного произведения групп изучалась А. И. Мальцевым в работе [9], где были получены необходимые, а также достаточные условия для того, чтобы свободное произведение ЛЛаппроксимируемых групп являлось Л/"-аппроксимируемой группой. Доказано при этом, что найденные необходимые условия оказываются и достаточными, если все свободные множители являются нильпотентными группами; соответствующий критерий при дополнительном предположении о конечной порожденности перемножаемых групп допускает следующую равносильную формулировку:
Свободное произведение Н К неединичных конечно порожденных нильпотентных групп Н и К является Л/ -аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа р периодические части групп Н и К являются р-группами.
В работах, посвященных аппроксимационным свойствам обобщенных свободных произведений и других свободных конструкций групп (таких, как древесное произведение, ДТУ-ЛГ-расширение), а также групп, строение которых описывается с помощью свободных конструкций (например, групп с одним определяющим соотношением), в качестве аппроксимационного класса рассматривался, в основном, класс всех конечных групп. Достаточные условия Л/"-аппроксимиру-емости свободного произведения двух свободных групп с объединенными циклическими подгруппами получены в работах Г. Баумслага [14] и Д. Н. Азарова [1]. В работе Д. Варсоса [29] рассматривалась АЛ-аппроксимируемость фундаментальной группы графа групп. Критерий Л/"-аппроксимируемости HNTV-расширения конечной группы получен в статье Е. Раптиса и Д. Варсоса [26]. Характеризация ЛЛ-аппроксимируемых групп с одним определяющим соотношением, обладающих нетривиальным центром, дана в работе Маккарона [24]. В большинстве же работ по данной тематике речь идет об аппроксимируемости в классе конечных р-групп, и здесь центральным результатом, несомненно, является теорема Г. Хигмана [20], содержащая критерий .Fp-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечных р-групп.
Переходя к изложению основных результатов данной работы, приведем, прежде всего, необходимое условие ЛЛ-аппроксимируемос-ти обобщенного свободного произведения двух нильпотентных групп:
Теорема 1. Пусть Н и К — произвольные нильпотентные группы с подгруппами А .НиВ Ки пусть (р : А - В — изоморфизм группы А на группу В. Предположим также, что Аф Н и В фК. Если свободное произведение
G=(H K; А = В, tp)
групп Н и К с подгруппами А и В, объединенными в соответствии с изоморфизмом р, является N-аппроксимируемой группой, то существует простое число р такое, что подгруппы А и В р -изолированы в группах Н и К соответственно.
Напомним, что если р — простое число, то подгруппа А некоторой группы Я называется р-изолированной в группе Я, если для любого элемента h Є Я из того, что hp Є А следует, что h Є А. Подгруппа А называется //-изолированной в Я, если она g-изолирована в Я для всех простых чисел q р.
Предположение о нильпотентности групп Я и К в формулировке этой теоремы опустить нельзя, поскольку, например, известно, что если группы Я и К являются свободными, а подгруппы А и В циклическими, причем А является максимальной циклической в Я, то группа G = (Я К] А = В, ір) ЛЛ-аппроксимируема (доказано Г. Ба-умслагом [14] в предположении цикличности группы К и обобщено Д. Н. Азаровым [1]).
Понятно также, что доставляемое теоремой 1 необходимое условие ЛЛ-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения нильпотентных групп не является достаточным. Действительно, как заметил Г. Хигман [20], обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп является Л -аппроксимируемой группой в точности тогда, когда оно аппроксимируемо конечными р-группами. Так как в любой конечной р-группе произвольная подгруппа является, очевидно, р -изолированной, существование не -аппроксимируемого обобщенного свободного произведения двух конечных р-групп свидетельствует о справедливости этого утверждения.
Тем не менее, в диссертации доказано, что Л/"-аппроксимируе-мость свободного произведения
G=(H K; А = В, ip)
групп Я и К с собственными объединяемыми подгруппами А и В равносильна р -изолированности подгрупп Аи В для некоторого простого числа р в следующих случаях:
(1) группы Я и К являются конечно порожденными абелевыми (теорема 5);
(2) группы Н и К являются конечно порожденными нильпотент-ными группами без кручения, а А и В — центральными подгруппами групп Н и К соответственно (следствие из теоремы 6).
(3) группы Н и К являются конечно порожденными нильпотент-ными, а подгруппы А и В циклическими (теорема 7);
Легко видеть, что всякая конечная подгруппа Л/"-аппроксимиру-емой группы должна быть нильпотентной. В частности, если обобщенное свободное произведение двух конечных групп является М-аппроксимируемой группой, то оба свободных множителя должны быть нильпотентными группами. При выполнении этого условия критерий Л/ -аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечных групп формулируется следующим образом:
Теорема 2. Пусть Н и К — конечные нильпотентные группы, А и В — подгруппы групп Н и К соответственно, причем А ф Н и В ф К, и (р — некоторый изоморфизм группы А на группу В. Пусть
G=(H K; А = В, р)
— свободное произведение групп Н и К с объединенными относительно изоморфизма р подгруппами А и В. Группа G N-аппроксимируема тогда и только тогда, когда для некоторого простого делителя р порядков групп Н и К выполнены следующие два условия:
(1) подгруппы А и В р -изолированы в группах Н и К соответственно;
(2) подгруппа G(p) группы G, порожденная силовскими р-под-группами групп Н и К соответственно, является Тр-аппрок-симируемой группой.
В действительности, эта теорема является частным случаем теоремы 6 из работы Д. Варсоса [29], а также вытекает из доказываемой здесь более общей теоремы 4, формулировка которой будет приведена
несколько ниже. Причина, по которой это утверждение выделено в отдельную теорему, состоит в следующем.
Г. Баумслаг в работе [13] предложил идею, с помощью которой получено подавляющее большинство известных результатов о финитной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп. В основе этой идеи лежит понятие совместимой пары нормальных подгрупп свободных множителей, а именно, если
G=(H K; А = В, (р)
— обобщенное свободное произведение групп Н и К, то совместимость нормальных подгрупп R Н и S К фактически означает, что фактор-группа GR,S группы G по нормальному замыканию объединения подгрупп R и S является, в свою очередь, обобщенным свободным произведением фактор-групп H/R и K/S. Если теперь запас таких пар совместимых подгрупп R и S, что группа GRts заведомо является /С-аппроксимируемой, достаточно богат (в определенном смысле), то это будет гарантировать /С-аппроксимируемость группы G. Для реализации этой идеи необходим, очевидно, критерий /С-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения групп, принадлежащих некоторому классу. В случае финитной аппроксимируемости таким критерием служит доказанная Баумслагом [13] теорема, согласно которой обобщенное свободное произведение двух конечных групп является "-аппроксимируемой группой, а в случае Tv-аппроксимируемости — упоминавшаяся выше теорема Хигмана. В данной же работе эту роль играет теорема 2, и именно на этом пути получено доказательство теоремы 5, приведенной выше.
К. Грюнберг [19] показал, что конечно порожденная нильпотент-ная группа -аппроксимируема тогда и только тогда, когда ее периодическая часть является конечной р-группой. Им же доказано, что (обычное) свободное произведение JFp-аппроксимируемых групп снова является ,-аппроксимируемой группой. Отсюда и из приведенного выше критерия А. И. Мальцева jV-аппроксимируемости свободного
произведения конечно порожденных нильпотентных групп следует, что (обычное) свободное произведение двух неединичных конечно порожденных нильпотентных групп является ЛА-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда эта группа -аппроксимируема для некоторого простого числа р. Аналогичная связь свойств Л/ -аппроксимируемости и -аппроксимируемости имеет место и в ряде других случаев. Так, в работе Маккарона [24] показано, что произвольная группа, определяемая одним соотношением и обладающая нетривиальным центром, ЛЛ-аппроксимируема тогда и только тогда, когда она .Fp-аппроксимируема для некоторого простого числа р. Об этом же говорится и в упомянутом выше замечании Г. Хигмана [20]: обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп является ЛГ-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда оно аппроксимируемо конечными р-группами. Последнее утверждение может быть распространено на произвольные конечно порожденные нильпотентные группы в следующем виде.
Теорема 3. Пусть G — (Н К; А — Б, р) — свободное произведение конечно порожденных нильпотентных групп Н и К с объединенными конечными подгруппами А и В. Если для некоторого простого числа р периодические части групп Н и К являются р-группами, то группа G N-аппроксимируема тогда и только тогда, когда она Тр-аппроксимируема.
Доказано также (следствие из теоремы 15), что обобщенное свободное произведение двух конечно порожденных свободных абелевых групп является Л/ -аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда оно аппроксимируемо конечными р-группами для некоторого простого р.
С другой стороны, критерий, доставляемый теоремой 2, позволяет привести простой пример обобщенного свободного произведения двух конечных абелевых групп, являющегося группой, -аппроксимируемой, но не JFp-аппроксимируемой ни для какого простого р.
Для формулировки упомянутого выше обобщения теоремы 2 не
обходимо ввести некоторые обозначения. Если X — произвольная конечно порожденная нильпотентная группа, для любого простого числа р символом Х будет обозначаться подгруппа группы X, порождаемая всеми силовскими g-подгруппами периодической части группы X, где q ф р. Если G = [Н К; А = В, tpj — обобщенное свободное произведение конечно порожденных нильпотентных групп Н и К, то Gp обозначает фактор-группу группы G по нормальному замыканию объединения подгрупп Н и К(р) (являющуюся обобщенным свободным произведением фактор-групп Н/Н и К/К ).
Теорема 4. Пусть G = (Н К; А = В, ср) — свободное произведение конечно порожденных нильпотентных групп Н и К с объединенными конечными подгруппами А и В, причем А ф Н и В ф К.
Если группа G N -аппроксимируема, то существует такое простое число р, что подгруппы А и В р -изолированы в группах Н и К соответственно и группа Gp является Тр-аппроксимируемой.
Обратно, пусть существует такое простое число р, что подгруппы А и В р -изолированы в группах Н и К соответственно, и пусть для любого простого делителя q порядка периодической части группы Н или для любого простого делителя q порядка периодической части группы К группа Gq Тч-аппроксимируема. Тогда группа G является N-аппроксимируемой.
Таким образом, теорема 4 для обобщенного свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с конечными объединяемыми подгруппами дает необходимое условие ЛЛ-аппрок-симируемости, а также — достаточное условие.
Легко видеть, однако, что в том случае, когда подгруппы А и В совпадают с периодическими частями групп Н и К соответственно, для любого простого числа р, взаимно простого с порядком подгруппы А, подгруппы А и В оказываются -изолированными в группах Н и К, а группа Gp — -аппроксимируемой. Поэтому построенный в работе пример свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с объединенными периодическими частя
ми, не являющегося ЛГ-аппроксимируемой группой, показывает, что необходимое условие Л/"-аппроксимируемости в теореме 4 не является достаточным.
Очевидно, с другой стороны, что если, скажем, подгруппа А не совпадает с периодической частью группы Н и является р -изолиро-ванной, то число р является делителем порядка периодической части группы Н. С помощью этого замечания можно показать, что утверждение теоремы 3 в случае, когда хотя бы одна из объединяемых подгрупп отлична от периодической части соответствующего свободного множителя, выводимо из теоремы 4. Напомним также, что, как уже отмечалось, теорема 2 вытекает из теоремы 4.
Вопрос о том, является ли доставляемое теоремой 4 достаточное условие ЛЛаппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с конечными объединяемыми подгруппами и необходимым, остается открытым.
В результатах, перечисленных до сих пор, в основном речь шла об условиях ЛГ-аппроксимируемости свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с конечными объединяемыми подгруппами. В следующем утверждении без предположения о конечности объединяемых подгрупп даны достаточные условия для выполнения более сильного, чем ЛГ-аппроксимируемость, свойства аппроксимируемости конечными р-группами.
Теорема 6. Пусть Н и К — конечно порожденные нильпотент-ные группы, А и В — подгруппы групп И и К соответственно и р
— некоторый изоморфизм группы А на группу В. Пусть
G = (Я К; А = В, (р)
— свободное произведение групп Н и К с объединенными относительно изоморфизма (р подгруппами А и В. Пусть для некоторого простого числа р подгруппы А и В являются р -изолироваными в группах Н и К соответственно. Предположим также, что выполнено одно из следующих условий:
а) А и В — бесконечные циклические группы;
б) группы Н и К не имеют р -кручения, а А и В являются центральными подгруппами групп Н и К соответственно.
Тогда группа G является -аппроксимируемой.
Следует отметить, что в случае а) р -кручение в группах Н и К также отсутствует, как и в любой группе, обладающей р -изолирован-ной подгруппой без кручения.
Выше уже упоминалась теорема 7, согласно которой свободное произведение G = (Н К; А = В, ср) конечно порожденных нильпо-тентных групп Н и К с объединенными циклическими подгруппами А и В (где А ф Н и В ф К) является ЛЛ-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда существует такое простое число р, что подгруппы А и В р -изолированы в группах Н и К соответственно. В том случае, когда группы А и В бесконечные, это утверждение является следствием именно теоремы 6, а если А и В конечны, оно вытекает из теоремы 4.
Кроме того, в условиях теоремы 6 и при отсутствии кручения в группах Н и К к утверждению о равносильности этих двух свойств можно добавить третье:
Следствие. Пусть Н и К — конечно порожденные нильпотент-ные группы без кручения, А и В — собственные циклические или центральные подгруппы групп Н и К и р — некоторый изоморфизм группы А на группу В. Пусть
G=(H K; А = В, р)
— свободное произведение групп Н и К с объединенными подгруппами А и В. Тогда следующие утверждения равносильны:
(1) группа G является N-аппроксимируемой группой;
(2) существует такое простое число р, что подгруппы А и В являются р -изолироваными в группах Н и К соответственно;
(3) существует такое простое число р, что группа G является Tv-аппроксимируемой группой.
Перечисленные результаты содержатся в первой главе диссертации. Во второй главе рассматривается аппроксимируемость групп относительно сопряженности.
Напомним, что если /С — некоторый класс групп, группа G называется /С-аппроксимируемой относительно сопряженности, если для любых элементов а и 6 этой группы, не сопряженных в ней, найдется гомоморфизм группы G на некоторую /С-группу X, образы элементов а и Ь относительно которого не сопряжены в X.
Очевидно, что произвольная группа, /С-аппроксимируемая относительно сопряженности, является /С-аппроксимируемой. Поскольку обратное утверждение, вообще говоря, не является справедливым, представляет интерес нахождение классов групп, /С-аппроксимируе-мость которых влечет их /С-аппроксимируемость относительно сопряженности. Так, К. Грюнберг [19] показал, что конечно порожденные нильпотентные группы "-аппроксимируемы, а затем Н. Блэкберн [15] установил их "-аппроксимируемость относительно сопряженности. С другой стороны, известная теорема Ф. Холла утверждает финитную аппроксимируемость любой конечно порожденной метабелевой группы, но существует построенный М. И. Каргаполовым и Е. И. Тимошенко [4] пример конечно порожденной метабелевой группы, не являющейся "-аппроксимируемой относительно сопряженности.
Усиливая результат Г. Баумслага об JF-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечных групп, Дж. Дайер [17] доказала, что обобщенное свободное произведение двух конечных групп является группой, "-аппроксимируемой относительно сопряженности. В связи с этим возникает вопрос о существовании примера обобщенного свободного произведения, являющегося "-аппроксимируемой группой, но не являющегося группой, "-аппроксимируемой относительно сопряженности. Такой пример приводится в работе.
Говоря более точно, в работе указаны такие группы Н и К с подгруппами А .НиВ .Ки изоморфизмом р : А - В, что имеют место следующие утверждения:
(1) Группы Н и К "-аппроксимируемы относительно сопряженности.
(2) Свободное произведение G = (Н К; А = В, р) групп Н и К с подгруппами А и В, объединенными в соответствии с изоморфизмом ip, является -аппроксимируемой группой.
(3) Группа G не является "-аппроксимируемой относительно сопряженности.
Остальные результаты второй главы диссертации относятся к условиям .Fp-аппроксимируемости относительно сопряженности обобщенных свободных произведений групп. Единственным исключением является следующий результат, показывающий, насколько более сильным ограничением на группу, чем .Fp-аппроксимируемость, является свойство .Ту-аппроксимируемости относительно сопряженности.
Действительно, напомним еще раз, что конечно порожденная нильпотентная группа ,-аппроксимируема тогда и только тогда, когда ее периодическая часть является р груп пой. С другой стороны, имеет место
Теорема 8. Конечно порожденная нильпотентная группа G Тр-аппроксимируема относительно сопряженности тогда и только тогда, когда ее периодическая часть r(G) является р-группой, а фактор-группа G/T(G) абелева.
Элемент g группы G назовем сопряженно К-отделимым (или, короче, Cjc-отделимым), если для любого элемента а этой группы, не сопряженного с элементом д, найдется гомоморфизм р группы G на некоторую /С-группу X такой, что в группе X элемент сир не сопряжен с элементом дер. Очевидно, что группа G является /С-аппроксимируемой относительно сопряженности тогда и только тогда, когда каждый элемент этой группы С/с-отделим.
Доказательство упомянутой выше теоремы Дж. Дайер об "-аппроксимируемости относительно сопряженности обобщенного свобод
ного произведения двух конечных групп проводилось ею по следующей схеме. П. Стиб [28] показал, что если группа G является конечным расширением свободной группы, то произвольный элемент бесконечного порядка группы G является С -отделимым. Распространив это утверждение и на элементы конечного порядка, Дайер доказала тем самым, что конечное расширение свободной группы является группой, "-аппроксимируемой относительно сопряженности. Это влечет, в частности, требуемый результат, поскольку, как заметил Б. Нейман [25], обобщенное свободное произведение двух конечных групп является почти свободной группой.
В диссертации по той же схеме и с использованием идей и некоторых результатов работы Дайер доказано (теорема 12), что если обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп является -"р-аппроксимируемой группой, то оно является и группой, -аппроксимируемой относительно сопряженности. А именно, сначала установлен (в теореме 9) следующий аналог теоремы Стиба:
Если группа G является расширением свободной группы при помощи конечной р-группы, то в группе G каждый элемент бесконечного порядка С -отделим.
Затем доказывается соответствующий аналог теоремы Дайер:
Теорема 11. Любое расширение свободной группы при помощи конечной р-группы является группой, Тр-аппроксимируемой относительно сопряженности.
Ввиду теоремы 9 для доказательства теоремы 11 достаточно показать, что для любых двух элементов а и Ь группы G, имеющих конечный порядок и не сопряженных в G, существует гомоморфизм группы G на конечную р-группу, образы относительно которого элементов а и 6 не сопряжены. Доказательство этого является определенной модификацией доказательства Дайер, использующего тот известный факт, что произвольная почти свободная группа изоморфна фундаментальной группе некоторого графа групп, все вершинные группы которого конечны. Дайер свела общую ситуацию сначала к
фундаментальной группе графа групп с двумя вершинами, а затем — к фундаментальной группе графа групп, у которого две вершины и не более двух ребер. Первая часть этого сведения проходит и в нашем случае, и этого для нас уже достаточно, поскольку система подгрупп примарной циклической группы линейно упорядочена по включению.
Теорема 12 является непосредственным следствием теоремы 11 в силу следующего простого замечания (см., напр., [10, лемма 2.1]):
Обобщенное свободное произведение G = [Н К; А = В, р) конечных р-групп Н и К является Тр-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда G есть расширение некоторой свободной группы при помощи конечной р-группы.
Отметим, что с помощью этого замечания и с использованием конструкции обобщенного прямого произведения групп утверждение теоремы 12 при дополнительном предположении центральности объединяемых подгрупп может быть выведено уже из теоремы 9. С помощью этого ослабленного варианта теоремы 12 доказывается, что свободное произведение .Fp-аппроксимируемых относительно сопряженности групп Н и К с объединенными конечными центральными подгруппами А и В является группой, . -аппроксимируемой относительно сопряженности (теорема 10). Отсюда, в свою очередь, следует, что (обычное) свободное произведение произвольного семейства групп, -"р-аппроксимируемых относительно сопряженности, является группой, -аппроксимируемой относительно сопряженности.
Теорема 10 допускает некоторое обобщение (теорема 13), где вместо конечности объединяемых подгрупп (при сохранении требования центральности) предполагается отделимость в классе конечных р-групп тех подгрупп свободных множителей, которые лежат в объединяемых подгруппах и имеют в них конечный р-индекс. Частным случаем теоремы 13 является
Теорема 14. Пусть
G=(H K; А = В, if)
— свободное произведение с объединенными подгруппами конечно порожденных нильпотентных групп Н и К, Тр-аппроксимируемых относительно сопряженности, причем А и В —р -изолированные центральные подгруппы групп Н и К соответственно. Тогда группа G Тр-аппроксимируема относительно сопряженности.
Отсюда, в свою очередь, вытекает
Теорема 15. Пусть
G=(H K; А = В, (р)
— свободное произведение с объединенными подгруппами конечно порожденных абелевых групп Н и К, причем А ф Н и В ф К. Если группы Н и К Тр-аппроксимируемы (т. е. их периодические части являются р-группами), то следующие утверждения равносильны:
(1) подгруппы А и В р -изолированы в группах И и К соответственно:
(2) группа G Тр-аппроксимируема относительно сопряженности;
(3) группа G Тр-аппроксимируема.
Из этой теоремы вытекает утверждение, часть которого уже приводилась выше.
Следствие. Яусть G = (Н К\ А = В, ф) — свободное произведение с объединенными подгруппами конечно порожденных свободных абелевых групп Н и К, причем Аф Н и В ф К. Следующие утверждения равносильны:
(1) группа G N-аппроксимируема;
(2) для некоторого простого числа р подгруппы А и В р -изолированы в группах Н и К соответственно;
(3) для некоторого простого числа р группа G Тр-аппроксимируема относительно сопряженности;
(4) для некоторого простого числа р группа G Тр-аппроксимируема.
В заключение отметим, что если в обобщенном свободном произведении G = (Я К] А = В, ф) объединяемые подгруппы принадлежат центрам соответствующих свободных множителей, то необходимым условием /С-аппроксимируемости относительно сопряженности группы G является /С-аппроксимируемость относительно сопряженности каждого из свободных множителей Н и К. В общем случае это, по-видимому, не так, но о существовании соответствующего примера автору ничего не известно.
Результаты диссертации докладывались на алгебраическом семинаре Ивановского государственного университета, на XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 17—22 апреля 2000 г.), на Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодая наука-XXI веку" (Ивановский государственный университет, Иваново, 19— 20 апреля 2001 г.), на Научных конференциях фестиваля студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодая наука в классическом университете" (Ивановский государственный университет, Иваново, 15—19 апреля 2002 г., 21—25 апреля 2003 г., 20—23 апреля 2004 г.) и на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения"(Тула, 19—24 мая 2003 г.). Основные результаты опубликованы в работах [30-40].
Необходимое условие нильпотентной аппрокси мируемости обобщенного свободного произве дения двух нильпотентных групп
В этом параграфе будет доказана следующее утверждение: Теорема 1. Пусть И и К — произвольные нильпотентные группы с подгруппами А .НиВ .Ки пусть ip : А - В — изоморфизм группы А на группу В. Предположим также, что Аф Н и В ф К. Если свободное произведение групп Н и К с подгруппами А и В, объединенными в соответствии с изоморфизмом (р, является N-аппроксимируемой группой, то существует простое число р такое, что подгруппы А и В р -изолированы в группах Н и К соответственно. Напомним, что если р — простое число, подгруппа А некоторой группы Н называется р-изолированной в группе Н, если для любого элемента h Є Н из того, что hp А следует, что h Є А. Подгруппа А называется изолированной в Н, если она р-изолирована для любого простого числа р. Подгруппа А называется р -изолированной в Н, если она g-изолирована в Н для всех простых чисел q ф р. Заметим, что предположение о нильпотентности групп Н и К в формулировке теоремы 1 является существенным, как показывает следующее утверждение: Пусть Н и К — свободные группы, А и В — циклические подгруппы групп И и К соответственно. Если подгруппа А является максимальной циклической в Н, то группа G = {Н К; А = В, р) N-аппроксимируема. Этот результат был получен Г. Баумслагом [14] в предположении цикличности группы К, а в приведенном виде доказан Д. Н. Азаровым [1]. Таким образом, если подгруппа В группы К порождается элементом вида xqr, где q и г — различные простые числа, то она не является р -изолированной ни для какого простого числа р, но группа G = {Н К\ А = В, (р) является, тем не менее, А -аппроксимируемой. Доказательство теоремы начнем с двух предварительных замечаний.
Предложение 1.2.1. Пусть G = (Н К\ А = В, р) — свободное произведение некоторых групп Н и К с подгруппами А и В, объединенными в соответствии с изоморфизмом ір. Для произвольных элементов ИєН\АикєК\В определим последовательность щ, U2, ... коммутаторов, полагая u\ = к и un+i = [h,un] (где, как обычно, [х,у] = х ху 1ху). Тогда для любого n 2 l{un) = 2га и элемент un обладает несократимой записью вида h 1k 1rhk для некоторого элемента г Є G. Действительно, при n = 2 утверждение очевидно. Пусть для некоторого n 2 l(un) = 2П и одна из несократимых записей элемента un имеет вид h xk lrhk (т. е. либо г = 1, либо первый слог несократимой записи элемента г принадлежит подмножеству Н \ А, а последний — подмножеству К\В). Тогда так что несократимая запись элемента un+i имеет вид h 1k 1r\hk, где 7 i = h 1r 1khk 1r. Поэтому и предложение доказано. Предложение 1.2.2. Пусть Н — нильпотентная группа, А — подгруппа группы Н и х и у — такие элементы группы Н, не принадлежащие подгруппе А, что для некоторых взаимно простых чисел тип выполнены включения хт Є А и уп Є А. Тогда элементы х и у принадлежат разным правым смежным классам группы Н по подгруппе А. Покажем, в самом деле, что из равенства Ах = Ау следует включение х Є А. Если А является нормальной подгруппой группы Я, это очевидно, так как в фактор-группе Н/А из равенств с учетом того, что (т,п) = 1, следует равенство Ах = А. Таким образом, мы располагаем основанием индукции по длине ряда последовательных нормализаторов подгруппы А. Так как As-\ является нормальной подгруппой группы Я и из равенства Ах = Ау следует равенство As-.\x = As-iy, в силу предыдущего замечания имеем х Є As-i и у є А,_і. Применяя теперь к подгруппе As-i индуктивное предположение, получаем требуемое включение х Є А. Предложение 1.2.2 доказано. Переходя теперь непосредственно к доказательству теоремы 1, покажем сначала, что при выполнении условий из ее формулировки найдется такое простое число р, что подгруппа А р -изолирована в группе Я. Утверждение о //-изолированности подгруппы А в группе Я для некоторого простого числа р равносильно, очевидно, тому, что множество всех простых чисел г таких, что А не является г-изолирован-ной в Я, содержит не более одного элемента.
Следовательно, рассуждая от противного, мы можем предположить, что для некоторых различных простых чисел р и q и элементов хН\АиуН\А выполнены включения хр Є А и yq А. Фиксируем еще элемент к Є К \ В и обозначим через U подгруппу группы G, порождаемую элементами х, у и к, а через V — подгруппу, порождаемую элементами хр, yq и к. Заметим, что V, будучи подгруппой нильпотент-ной группы К, является нильпотентной группой. Пусть с — ступень нильпотентности V. Определим далее, как в предложении 1.2.1, две последовательности коммутаторов щ, U2, ... и vi, V2, ... , полагая щ = к и ип+\ = [ж,ггп], v\ = к и vn+i = [у, ип). Фиксируем также целое число т, удовлетворяющее неравенству т с, и полагаем w — [um,vm]. Тогда в соответствии с предложением 1.2.1 длина каждого из элементов Urn и % равна 2т и несократимые записи этих элементов имеют вид ит = х_1к ггхк и% = y 1k 1syk для подходящих элементов г и s группы G. Поскольку в силу предложения 1.2.2 элемент ух 1 группы Н не принадлежит ее подгруппе А, длина элемента равна 4 2т — 1, и потому w — неединичный элемент группы G и ее подгруппы U. Так как по условию группа G ЛЛ-аппроксимируема, Л/"-аппрок-симируемой является и ее подгруппа U. Поэтому существует гомоморфизм р группы U яа некоторую нильпотентную группу R такой, что образ wp элемента w отличен от единицы. Группа R, являясь гомоморфным образом конечно порожденной группы U, конечно порождена, и так как конечно порожденные нильпотентные группы финитно аппроксимируемы, а потому аппроксимируемы конечными группами примарных порядков (см. [19]), существует гомоморфизм а группы R на некоторую конечную примарную группу S такой, что образ (wp)a элемента wp отличен от единицы. Таким образом, мы указали гомоморфизм т = ра группы U на конечную группу S примарного порядка такой, что wr ф\. С другой стороны, хотя бы одно из чисел р или q должно быть взаимно простым с порядком группы S; пусть этим числом является р. Поскольку в силу включения хр Є V имеет место включение (хт)р Є VT И циклические подгруппы, порождаемые в группе S
Нильпотентная аппроксимируемость обобщен ного свободного произведения конечно порожденных абелевых групп
Необходимое условие ЛЛаппроксимируемости обобщенного свободного произведения нильпотентных групп, доставляемое теоремой 1, не является достаточным. Это показывает пример, приведенный в предыдущем параграфе после теоремы 4. Тем не менее, здесь мы покажем, что если свободные множители являются конечно порожденными абелевыми группами, это условие оказывается и достаточным для Л/"-аппроксимируемости. А именно, в этом параграфе будет доказана следующая Теорема 5. Пусть Н и К — конечно порожденные абелевы группы, А и В — подгруппы групп Н и К соответственно, причем Аф Н и В ф К, и (р — некоторый изоморфизм группы А на группу В. Свободное произведение групп И и К с объединенными подгруппами А и В является М-ап-проксимируемой группой тогда и только тогда, когда существует такое простое число р, что подгруппы А и В р -изолированы в группах И и К соответственно. Для доказательства этой теоремы нам потребуется достаточное условие АЛ-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух групп, аналогичное предложениям 1.1.12 и 1.1.16 . Начнем с введения соответствующей модификации понятия (А, В, ( -совместимости. Пусть снова Н и К — некоторые группы, А Н,В .Ки(р — изоморфизм группы А на группу В. Пусть — свободное произведение групп Н и К с объединенными подгруппами А и В. Фиксируем также простое число р. Нормальные подгруппы R и 5 групп Н и К будем называть (А, В, р,р,ЛҐ)-совместимыми, если выполнены следующие условия: (1) фактор-группы H/R и K/S являются конечными нильпотент-ными группами; (2) подгруппы R и S (А, В, -совместимы; (3) подгруппы AR и BS р -изолированы в Н и К; (4) подгруппа GR}S{P) группы G\R,S, порожденная силовскими р-подгруппами групп H/R и K/S соответственно, является Тр-аппроксимируемой.
Так как в силу пункта (3) этого определения подгруппы AR/R и BS/S групп H/R и K/S р -изолированы, непосредственно из теоремы 2 получаем Предложение 1.4.1. ЕСЛИ подгруппы R и S групп И и К (А, В, (р,р,М)-совместимы, то группа является N-аппроксимируемой. Теперь мы можем сформулировать достаточное условие ЛЛ-ап-проксимируемости обобщенного свободного произведения двух групп. Предложение 1.4.2. Пусть Н и К — некоторые группы, А .Н,В Киср — изоморфизм подгруппы А на подгруппу В. Пусть {{R\,S\)}XeA — семейство всех пар (А, В, p,p,J\f)-совместимых нормальных подгрупп групп Н и К. Предположим, что (1) каждое из семейств {Яд}ЛєЛ и {#л}ЛєЛ является фильтрацией и (2) для любых элементов hi, Кч,..., hm группы Н, не принадлежащих подгруппе А, и для любых элементов к\, &25 j кп группы К, не принадлежащих подгруппе В, найдется А Є Л такое, что элементы hi,h2,--.,hm не входят в подгруппу AR\ и элементы &i, &2,... ,кп не входят в подгруппу BS\. Тогда свободное произведение групп Н и К с объединенными подгруппами А и В является ЛЛ-аппроксимируемой группой. Доказательство. Пусть g — неединичный элемент группы G и пусть g = х\Х2 - - хп — несократимая запись этого элемента. Рассмотрим сначала случай, когда п = 1, т. е. элемент g лежит в одной из подгрупп Н или К группы G. Пусть, для определенности, g Н. Так как семейство {І?Л}ЛЄЛ является фильтрацией, найдется Л Є Л такое, что подгруппа R\ не содержит элемента д. Очевидно тогда, что образ элемента д при гомоморфизме pR s не равен еди А А нице в группе GRX}SX- Эта группа ввиду предложения 1.4.1 является ЛЛ-аппроксимируемой, и поэтому существует гомоморфизм а группы GRXJSX на некоторую нильпотентную группу, при котором образ элемента gpR s отличен от единицы. Тогда отображение pRxSxcr является гомоморфизмом группы G на нильпотентную группу, при котором образ элемента д отличен от единицы. Пусть теперь п 1. Опять для определенности предположим, что хі Є Н (случай, когда х\ Є К, рассматривается совершенно аналогично). Тогда сомножители х\, хз, ... несократимой записи элемента д с нечетными номерами лежат в группе Н и не входят в ее подгруппу А, а сомножители Х2, х±, ... с четными номерами лежат в в группе К и не входят в ее подгруппу В. Ввиду условия (2) найдется Л Є Л такое, что элементы х\, хз, . не входят в подгруппу AR\ и элементы Х2, Х4, не входят в подгруппу BS\ и потому запись образа элемента д относительно отображения pR s является несократимой и имеет длину п. Следовательно, элемент gpR s является неединичным элементом группы GRX,SX- Завершение доказательства существования гомоморфизма группы G на нильпотентную группу, при котором образ элемента д отличен от единицы, проходит теперь так же, как в первом случае. Предложение доказано. Докажем еще одно вспомогательное утверждение. Предложение 1.4.3. Пусть Н — конечно порожденная абелева группа, р — некоторое простое число и А — р -изолированная подгруппа группы Н.
Тогда для любой подгруппы С А конечного индекса в А существует подгруппа R Н конечного индекса в Н такая, что Rf]A = С и подгруппа AR имеет конечный р-индекс в Н. Более того, (1) если h — произвольный элемент группы Н, не принадлежащий подгруппе С, то подгруппу R можно выбрать таким образом, чтобы, к тому же, h . R; (2) если h\, hi, ... , hm — произвольные элементы группы Н, не принадлежащие подгруппе А, то подгруппу R можно выбрать таким образом, чтобы, к тому же, элементы h\, hi, ... , hm не принадлежали подгруппе AR. Доказательство. Так как подгруппа А р -изолирована в группе Н, периодическая часть Т/А фактор-группы Н/А является конечной р-группой, а фактор-группа Н/Т, будучи конечно порожденной абе-левой группой без кручения, является свободной абелевой группой. Поэтому группа Н является прямым произведением, Н = Т х М, группы Т и некоторой свободной абелевой группы М. Выбрав произвольную подгруппу MQ конечного р-индекса группы М, полагаем R = СМ0. Тогда R = С х М0 и, так как AR = АМ0 = А х М0, имеем H/AR Т/А х M/MQ. Следовательно, индекс подгруппы AR в группе Н является р-числом. Кроме того, RП A = (Rr\T)f]A = С, так что подгруппа R искомая. Покажем теперь, что если h — элемент группы Н, не принадлежащий подгруппе С, то при подходящем выборе подгруппы Мо можно добиться того, чтобы h . R.
Сопряженная отделимость в классе конечных р групп элементов бесконечного порядка
В этом параграфе будет доказан аналог теоремы Стиба. Теорема 9. Если группа G является расширением свободной группы при помощи конечной р-группы, то в группе G каждый элемент бесконечного порядка С -отделим. Начнем с доказательства следующего вспомогательного утверждения: Предложение 2.2.1. Пусть Я — субнормальная подгруппа конечного р-индекса группы G. Если элемент h Є Н является С?р-отделимым в группе Н, то он является Сjrp-OTделимым и в группе G. Доказательство. Очевидная индукция по длине ряда где для каждого = 0,l,...,s — І НІ является нормальной подгруппой в Ні+і, позволяет ограничиться рассмотрением случая, когда Н является нормальной подгруппой группы G. Предположим, что элемент h Є Н является С р-отделимым в группе Н, и пусть g — произвольный элемент группы G, не сопряженный с элементом h. Покажем, что для подходящей нормальной подгруппы N конечного р-индекса группы G в фактор-группе G/N элементы hN и gN не являются сопряженными. Если элемент g не принадлежит подгруппе Я, то подгруппа N = Я является, очевидно, искомой. Пусть g Є Я. Фиксируем систему сі, С2, ... , сп представителей левых смежных классов группы G по подгруппе Я и полагаем для і = 1,2,...,n gi = c xgci. Так как каждый из элементов д1% д2, ... , дп группы Я не сопряжен в этой группе с элементом h, по предположению для любого і = 1,2, ...,п найдется такая нормальная подгруппа М конечного р-индекса группы Н, что в фактор-группе Н/МІ образ элемента ді не сопряжен с образом элемента h. Из теоремы Ремака следует, что пересечение М подгрупп Mi, М2, ... , Мп также является нормальной подгруппой конечного р-индекса группы Н. Поскольку для любого х Є Н из сравнения x lgix = h (mod М) следует сравнение x lgix = h (mod МІ), в фактор-группе Н/М образ каждого из элементов pi, g2, ... , gn не сопряжен с образом элемента h. Пусть теперь Ni = с гМсі (і = 1,2,..., п).
Так как ввиду нормальности Н в группе G сопряжение произвольным элементом группы G индуцирует некоторый автоморфизм группы Н, каждая из подгрупп iVi, N2,... , Nn нормальна в Н и имеет в этой группе конечный -индекс. Поэтому их пересечение N является подгруппой конечного р-индекса группы Н, а потому имеет конечный р-индекс и в группе G. Очевидно, кроме того, что подгруппа JV инвариантна в группе G. Утверждается, что в фактор-группе G/N образ элемента д не сопряжен с образом элемента h. Действительно, если для некоторого элемента и G имеет место сравнение u xgu = h (mod N), то, записывая элемент и в виде и = с\х для подходящих і = 1,2, ...,п и элемента ж Є Я, имеем х гдіХ = h (mod N), откуда ввиду включения N С М следует, что в фактор-группе Н/М образ элемента gi сопряжен с образом элемента h. Предложение доказано. Для доказательства теоремы 9 обозначим через F свободную нормальную подгруппу конечного р-индекса группы G. Пусть также а — элемент бесконечного порядка группы G. Если Н — подгруппа группы G, порожденная подгруппой F и элементом а, то Н имеет конечный р-индекс в группе G и является субнормальной, поскольку фактор-группа G/F нильпотентна. Поэтому ввиду предложения 2.2.1 можно без потери общности считать, что G = Н. Это означает, в частности, что произвольный элемент д Є G записывается в виде д = akf для некоторого целого числа к и подходящего элемента f Є F. Пусть Ь — произвольный элемент группы G, не сопряженный с элементом а. Если элементы а и 6 принадлежат разным смежным классам по подгруппе F, то, поскольку фактор-группа G/F является циклической, элементы aF и bF не сопряжены в конечной р-группе G/F. Будем считать теперь, что aF = bF. Поскольку фактор-группа G/F является конечной р-группой, то для некоторого целого числа п 0 должно выполняться включение ар Є F. Докажем, что элементы аР и ЪРп не сопряжены в группе G. Пусть, напротив, для некоторого элемента д Є G имеет место равенство If = д гар д. Записывая элемент д в виде д = akf, где / Є F, имеем ЪРп = f lapn /. Полагаем а± = f 1af. Тогда a\F = aF, и потому 6 = а\х для подходящего х Є F. Из равенства {а\х)р = а\ следует, очевидно, перестановочность элементов оіж и Оі , откуда, в свою очередь, вытекает, что элементы х и а\ свободной группы F перестановочны.
Следовательно, эти элементы должны принадлежать некоторой циклической подгруппе группы F, т. е. для некоторого элемента у Є F и подходящих целых чисел г п и s выполнены равенства х = уг и а\ = у8. При этом, ввиду того, что порядок элемента а бесконечен, s ф 0. В силу второго из этих равенств элементы а\ и у3 являются перестановочными, откуда получаем (аїгуаі)8 = а 1ува\ = у8. Так как а уаі Є F и в свободной группе извлечение корней однозначно, отсюда следует перестановочность элементов а\ и у и, следовательно, — перестановочность элементов а\ и х. Поэтому из равенства (а\х)р = а\ следует, что хрП = 1, т. е. х = 1. Отсюда b = а\, что невозможно, так как элементы а и 6 не являются сопряженными. Итак, элемент ЪР не сопряжен в группе G с элементом ар из подгруппы F. Так как свободная группа для любого простого числа р является .-аппроксимируемой относительно сопряженности (см. [5], предложение 4.8), из предложения 2.2.1 следует существование такой нормальной подгруппы N конечного р-индекса группы G, что в фактор-группе G/N образы элементов ар ілЬР не сопряжены. Оче
Аппроксимируемость относительно сопряжен ности конечными р-группами обобщенного свободного произведения
В этом параграфе будет получен следующий полный аналог теоремы Дайер: Теорема 11. Любое расширение свободной группы при помощи конечной р-группы является группой, -аппроксимируемой относительно сопряженности. Доказательство этой теоремы является определенной модификацией доказательства Дайер [18] упоминавшейся выше теоремы об Т-аппроксимируемости относительно сопряженности почти свободной группы. Это доказательство использует конструкцию фундаментальной группы графа групп, и мы напомним соответствующие понятия. Граф Г есть система, состоящая из двух множеств, множества вершин V = V(T) и множества ребер Е = Е(Г), и трех отображений: отображения Е —) Е, сопоставляющего ребру є Є Е некоторое ребро ё, называемое обратным к е, отображения о : Е — V, сопоставляющего ребру е Е некоторую вершину о(е) Є V, называемую началом ребра е, и отображения t : Е — V, сопоставляющего ребру є Є Е некоторую вершину t(e) Є V, называемую концом ребра е. При этом должны выполняться следующие равенства: о(е) = t(e), t(e) = о(е), ё ф е и І = е. Если для ребра є Є Е(Г) о(е) = и и t(e) = v, то будем писать также є = (u,v). Графом групп (С/,Г) называется связный граф Г вместе с функцией Q, сопоставляющей каждой вершине v Є V(r) некоторую группу Gv и каждому ребру є Є Е(Г), е = (и, v), некоторую группу Ge с двумя вложениями ре : Ge - Gu и те : Ge — Gv, причем Ge — Ge, Рё = те и Тё= ре- Группы Gv и Ge называют соответственно вершинными и реберными группами графа групп (Q, Г). Пусть (Q, Г) — граф групп. Фиксируем максимальное дерево Т в графе Г. Фиксируем также для каждой вершины v Є V = У(Г) множество порождающих Xv и множество определяющих слов Rv вершинной группы Gv (предполагая при этом, что при v\ ф V2 XVl П XV2 = 0). Тогда группа, порождаемая элементами множества Uvev Xv и символами te, где є Є Е(Т) \ Е(Т), и определяемая в этой системе порождающих множеством слов UUGF R"» и всевозможных соотношений вида называется фундаментальной группой графа групп (Q, Г) и обозначается через 7г(/,Г).
Можно доказать, что эта группа не зависит от выбора заданий вершинных групп порождающими и определяющими соотношениями и от выбора максимального дерева Т. Известно (см., напр., [16, 21, 27]), что произвольная группа, являющаяся конечным расширением свободной группы, изоморфна фундаментальной группе некоторого графа групп, все вершинные группы которого конечны. Приступим теперь к доказательству теоремы 11. Пусть группа G является расширением свободной группы F при помощи конечной р-группы. Ввиду теоремы 9 для доказательства "р-аппроксимируемости относительно сопряженности группы G достаточно показать, что для любых двух элементов а и Ь группы G, имеющих конечный порядок и не сопряженных в G, существует гомоморфизм группы G на конечную р-группу, образы относительно которого элементов а и 6 не сопряжены. Поскольку подгруппа, порождаемая в группе G подгруппой F и элементом а, субнормальна, в силу предложения 2.2.1 мы можем считать, что группа G порождается подгруппой F и элементом а. В частности, фактор-группа G/F является циклической, и потому в случае, когда элементы а и Ь лежат в разных смежных классах по подгруппе F, естественный гомоморфизм группы G на факторгруппу G/F является искомым. Пусть aF = bF. Так как группа F без кручения, элементы а и Ь имеют одинаковый порядок, и этот порядок равен числу рп для некоторого п 1. Как отмечено выше, группа G изоморфна фундаментальной группе некоторого графа групп, все вершинные группы которого изоморфны подгруппам циклической группы порядка рп. Используя ряд преобразований графов групп,
Дайер [18] доказала, что в этой ситуации существует гомоморфизм группы G на фундаментальную группу Н = irffi, Г) графа групп (И, Г) такого, что 1) граф Г содержит ровно две вершины и и v; 2) вершинные группы Ни и Hv являются циклическими порядка рп и порождаются образами х и у элементов а и Ь соответственно; 3) все реберные группы Не имеют порядок, меньший, чем рп. Таким образом, группа Н порождается элементами х, у и множеством элементов вида te, где е — произвольное ребро графа Г, отличное от некоторого фиксированного ребра, и в этой системе порождающих определяется следующими соотношениями: б) хт = ys, где хг и у — элементы групп Ни и HV1 имеющие одинаковый порядок, меньший, чемрп; в) соотношения вида t x/iite = 2 где hi Є Hu и /і2 Є Hv — элементы одинакового порядка, меньшего, чем рп. Из условия 3) следует, что все элементы из групп Ни и Hv, участвующие в соотношениях б) ив), принадлежат подгруппам Ки и Kv этих групп порядка рк для некоторого к п. Поэтому при факторизации группы Н по нормальному замыканию N подгрупп Ки и Кv соотношения б) и в) тривиализируются, и фактор-груп па H/N является свободным произведением двух циклических групп Hu/Ku и Hv/Kv порядка рп к, порождаемых образами элементов х и у, и семейства бесконечных циклических групп с порождающими te. Очевидный гомоморфизм группы H/N на прямое произведение групп Hu/Ku и Hv/Kv завершает построение искомого гомоморфного образа группы G. Теорема 11 доказана. Из теоремы 11 и предложения 2.2.2 непосредственно следует Теорема 12. Свободное произведение
