Содержание к диссертации
Введение
Глава I. О диофантовых уравнениях Пелля 11
1. Необходимые условия разрешимости уравнения х2 — Ny2 = — 1 . 11
2. О разрешимости уравнения х2 — 2ру2 = — 1 15
3. Системы диофантовых уравнений Пелля 19
Глава II. О диофантовых уравнениях третьей степени 32
1. Вспомогательные утверждения 32
2. Доказательство теоремы о неразрешимости уравнения х3 + у3 = pqz3 36
п. 1. Сведение задачи к 4 случаям 36
п. 2. Случай 1. (с = 1, а = 1) 37
п. 3. О вспомогательном уравнении o^Y3 + a^Z3 = 2а\Х3 44
п. 4. Случай 2. (с = 1, а = 3) 48
п. 5. Случай 3. (с = 0, а = 1) 52
п. 6. Случай 4. (с = 0, а = 3) 55
3. О диофантовом уравнении ах3 + Ьх2 + ex + dy + е = xyz 58
Литература 62
- Необходимые условия разрешимости уравнения х2 — Ny2 = — 1
- Системы диофантовых уравнений Пелля
- О вспомогательном уравнении o^Y3 + a^Z3 = 2а\Х3
- О диофантовом уравнении ах3 + Ьх2 + ex + dy + е = xyz
Введение к работе
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация посвящена решению в целых и в натуральных числах уравнений второй и третьей степени. Она относится к элементарной теории чисел.
Широко известным диофантовым уравнением является уравнение вида х2 - Ny2 = 1, где N — положительное целое число, не являющееся точным квадратом. Его обычно называют уравнением Пелля. Хорошо известно, что это уравнение имеет бесконечное множество решений в целых числах ж, у. Наибольшее проникновение в характер решений дает алгоритм непрерывных дробей (см., например [36, с. 104]).
Вопрос о существовании решений так называемого уравнения ,,минус Пелль" x2-Ny2 = -l (0.1) более труден и простых точных условий для его разрешимости неизвестно.
Д. Морделл в своей известной монографии [1] поставил задачу о получении простых условий для разрешимости в целых числах х, у уравнения (0.1).
Непосредственно из уравнения (0.1) следует, что необходимым условием его разрешимости в целых числах является представи- мость N в виде суммы двух квадратов взаимно простых чисел. Известно также, что уравнение (0.1) разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда длина периода цепной дроби числа y/N равна нечетному числу (см., например,[33, с.123]).
Заметим также, что период непрерывной дроби для y/N — всегда нечетное число, когда N является простым числом р и р = 1 (mod 4) (см. [36]).
Одним из результатов диссертации является следующее необходимое условие разрешимости этого уравнения.
Теорема 1. Пусть уравнение (0.1) разрешимо в целых числах. Тогда существует представление числа N в виде N = А2 -\- В2, где А и В — натуральные числа, (А, В) = 1, причём А является нечетным числом и квадратичным вычетом по модулю N.
В частности, отсюда следует, что при iV = 34, 205, 109-113 = 12317 уравнение (0.1) неразрешимо в целых числах.
Действительно, нетрудно увидеть, что для этих значений N справедливы только следующие представления N = 34 = 2 17 = З2 + 52
Ш - (V) (S)-<-^--
Ш=(Н9=<-^=-- N = 205 = 5 41 = (I2 + 22)(42 + 52) = 142 + З2 = б2 + ІЗ2.
ВВЕДЕНИЕ
Ц)-(?)-(і)-<->**--т)--(і)-(і)-<-«*— (S) -(S) -( -«-ч*=- iV = 12317 = 109 113 = (З2 + 102)(72 + 82) = 1012 + 462 = 592 + 94 /_59_\ = (2_\ = /101\ = /109\ = /_8_\
Отметим, что условие теоремы не является достаточным. Например, при JV = 505 = 5 101 = (I2 + 22)(12 + 102) = 212 + 82 = 192 + 122 имеем /19\ / 19 \ _ V 5 у V101, но уравнение х2 - 505г/2 = -1 неразрешимо в целых числах х,у, так как \/505 = 22 +
2+ 1
22 + \/505 и период цепной дроби V505 имеет четную длину равную 4.
Замечание. Отметим, что если р — простое число, р = 5 (mod 8), то уравнение х2 - 2ру2 = -1 (0.2) разрешимо в целых числах.
Для случая р = 1 (mod 8) из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Пусть р — простое число, р = 1 (mod 8), т.е. р = А2 + 16В2, где А, В — натуральные числа. Тогда а) если р = 1 (mod 16), В — нечетное число, то уравнение (0.2) не имеет решений в целых числах; б) если р ф 1 (mod 16), В — четное число, то уравнение (0.2) также не имеет решений в целых числах.
Перейдем і: рассмотрению систем диофантовых уравнений Пелля. В работе [27] установлено, что система диофантовых уравнений х2 - 3z2 = 1 у2 - 2z2 = 1 не имеет решений в натуральных числах x,y,z. Доказательство основано на полученных там же результатах по теории совместных рациональных приближений.
Подобные системы уравнений иногда могут быть решены с использованием некоторых результатов работ В. Люнгрена. Нижеследующая лемма является одним из таких его утверждений (см. [28]; [1], стр.270-271)
ВВЕДЕНИЕ
Лемма 1. Уравнение х2 - Dy4 = 1, где D натуральное число, не являющееся полным квадратом, имеет не более двух пар решений в натуральных числах х, у. Если оно имеет две пары решений (xi,yi), (а?2,2/2), где у2 > уі, то х\ + л/Т)у2 является фундаментальным решением у равнения и2 —Dv2 = 1, причем либо х2 + \Г5у\ = (жі + V~Dy2)2, либо х2 + VDy2 = (Xl + VDy\)A.
На основе этой леммы в диссертации доказываются следующие утверждения.
Теорема 2. Пусть а- натуральное число. Тогда система уравнений х2 -(a + l)z2 = 1 у2 - az2 = 1 не имеет решений в натуральных числах x,y,z.
Теорема 3. Пусть а- натуральное число. Тогда система уравнений х2 - (a + 2)z2 = 1 у2 -az2 = 1 в натуральных числах х, у, z не имеет решений, если а + 1 не является полным квадратом, и имеет единственное решение х = 2а + 3, у = 2а + 1, z = 2у/а + 1, если а + 1 является полным квадратом.
Вышеописанные результаты составляют содержание первой главы диссертации.
Вторая глава посвящена вопросам разрешимости в целых числах некоторых диофантовых уравнений третьей степени.
Хорошо известно, что любое рациональное число представляется в виде суммы трёх кубов рациональных чисел (см., например, [37] стр. 197 или [5] стр. 726). В связи с этим возникает вопрос о возможности отыскания всех таких рациональных чисел, которые можно разложить в сумму двух кубов рациональных чисел. Или, если угодно, эту задачу можно переформулировать следующим образом: найти все целые числа а, для которых уравнение х3 + у3 = az3 (0.3) разрешимо в ненулевых целых числах.
Вопрос о разрешимости уравнения (0.3) является одной из классических задач теории диофантовых уравнений и привлекает внимание математиков в течение уже долгого времени.
Первые результаты по этому уравнению были получены Л. Эйлером в [38]. Эйлер доказал, что уравнение (0.3) неразрешимо, если а = 1, 4 и х = ?/, если а = 2. В 1856 г. Сильвестр [39] высказал предположение о неразрешимости уравнения (0.3) для a = p,2p,4p2,4g,g2,2g2, где р и q — простые числа соответственно вида 18/ + 5 и 18/ + 1. В 1870 г. этот и подобный ему результат были доказаны Пепи-ным [40]. А в 1879 г. Сильвестром [41] была доказана следующая теорема.
Теорема А. (см. [1, стр. 127]) Пусть Рі,Р2,Р,Яі,Ч2,Я — простые числа, рі,Р2,Р = 5 (mod 18),qi,q2,q = 11 (mod 18). Тогда, если а е {p,2p,9p,p2,9p2Ap2,pq,PiphqAq,9q,2q2,q2,9q2,qiqhp2(i2}i
ВВЕДЕНИЕ то уравнение (0.3) не имеет решений в ненулевых целых числах x,y,z.
Позднее ван дер Корпут [42] получил неразрешимость уравнения (0.3) для а = р,р2, где р — простое, не равное 2 и р = 2 или 5 (mod 9).
Фундаментальный вклад в исследование подобного рода уравнений был внесен Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддеевым (см [22]).
Ряд важных результатов, касающихся уравнения (0.3), приведен в известной монографии Л. Д. Морделла [1].
В настоящей работе рассматривается случай a = pq, где р, q — простые числа с условиями р = 2 (mod 3), q = 1 (mod 3). Здесь доказывается следующее утверждение
Теорема 4. Пусть p,q — простые числа, р = 2 (mod 3), q = 1 (mod 3), 4q — р2 ^3 (mod 9). Пусть, далее, р не является кубическим вычетом по модулю q. Тогда уравнение х3 + у3 = pqz3 (0.4) не имеет решений в ненулевых целых числах х, у, z.
В работе [34] М. 3. Гараев показал, что если функции f{n,m) :N2 ^N(J{0}, g{n,m) :N2 —>N(J{0} таковы, что система неравенств п < f(n,m) + 2g(n, т) + 5 7?г < g(n, т) + 2/(n, т) + 5 имеет конечное число решении в натуральных числах п,т, то уравнение х3 + /(z, z)x2 + д{х, z)x + 2/ + 1 = xyz также имеет конечное число решений в натуральных числах х,у, z. В работах [7, 8] С. П. Моханти и А. М. С. Рамасами показали, что если натуральные числа а,Ь,с таковы, что (ab,c) = 1, с — бесквадратное, то уравнение ах3 + by + с = xyz имеет конечное число решений в натуральных числах. В диссертации мы существенно усиливаем последний результат.
Теорема 5. Пусть а, 6, с, d, е — целые неотрицательные числа, ade ф 0. Тогда уравнение ах3 + bx2 + ex + dy + е = xyz имеет конечное число решений в натуральных числах x,y,z.
В заключение выражаю глубокую благодарность научному руководителю профессору В. Н. Чубарикову, оказавшему большое влияние на мои занятия математикой.
1. О ДИОФАНТОВОМ УРАВНЕНИИ х2 - Ny2 = -1 11
Необходимые условия разрешимости уравнения х2 — Ny2 = — 1
Настоящая диссертация посвящена решению в целых и в натуральных числах уравнений второй и третьей степени. Она относится к элементарной теории чисел.
Широко известным диофантовым уравнением является уравнение вида где N — положительное целое число, не являющееся точным квадратом. Его обычно называют уравнением Пелля. Хорошо известно, что это уравнение имеет бесконечное множество решений в целых числах ж, у. Наибольшее проникновение в характер решений дает алгоритм непрерывных дробей (см., например [36, с. 104]).
Вопрос о существовании решений так называемого уравнения ,,минус Пелль" более труден и простых точных условий для его разрешимости неизвестно. Д. Морделл в своей известной монографии [1] поставил задачу о получении простых условий для разрешимости в целых числах х, у уравнения (0.1). Непосредственно из уравнения (0.1) следует, что необходимым условием его разрешимости в целых числах является представимость N в виде суммы двух квадратов взаимно простых чисел. Известно также, что уравнение (0.1) разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда длина периода цепной дроби числа y/N равна нечетному числу (см., например,[33, с.123]). Заметим также, что период непрерывной дроби для y/N — всегда нечетное число, когда N является простым числом р и р = 1 (mod 4) (см. [36]). Одним из результатов диссертации является следующее необходимое условие разрешимости этого уравнения. Теорема 1. Пусть уравнение (0.1) разрешимо в целых числах. Тогда существует представление числа N в виде N = А2 -\- В2, где А и В — натуральные числа, (А, В) = 1, причём А является нечетным числом и квадратичным вычетом по модулю N. В частности, отсюда следует, что при уравнение (0.1) неразрешимо в целых числах. Действительно, нетрудно увидеть, что для этих значений N справедливы только следующие представления и период цепной дроби V505 имеет четную длину равную 4. Замечание. Отметим, что если р — простое число, р = 5 (mod 8), то уравнение разрешимо в целых числах. Для случая р = 1 (mod 8) из теоремы 1 вытекает Следствие 1. Пусть р — простое число, р = 1 (mod 8), т.е. р = А2 + 16В2, где А, В — натуральные числа. Тогда а) если р = 1 (mod 16), В — нечетное число, то уравнение (0.2) не имеет решений в целых числах; б) если р ф 1 (mod 16), В — четное число, то уравнение (0.2) также не имеет решений в целых числах. Перейдем і: рассмотрению систем диофантовых уравнений Пелля. В работе [27] установлено, что система диофантовых уравнени не имеет решений в натуральных числах x,y,z. Доказательство основано на полученных там же результатах по теории совместных рациональных приближений. Подобные системы уравнений иногда могут быть решены с использованием некоторых результатов работ В. Люнгрена. Нижеследующая лемма является одним из таких его утверждений (см. [28]; [1], стр.270-271)
Системы диофантовых уравнений Пелля
Рассмотрим в целых числах х, у уравнение где N — натуральное число, не равное полному квадрату. Целью этого параграфа является доказательство следующей теоремы. Теорема 1. Пусть уравнение (1.1) разрешимо в целых числах. Тогда существует представление числа N в виде N = А2 + В2, где А и В — натуральные числа, (А, В) = 1, причём А является нечетным числом и квадратичным вычетом по модулю N. Пусть целые числа х,у являются решением уравнения (1.1). Тогда имеем (x + i)(x-i) = Ny2. 1) Если N — нечетное число, то числа будут взаимно простыми в кольце Щі]. Докажем это. Заметим сначала, что если N — нечетное число, то х — четное. Действительно, предположим, что х — нечетное число, т.е. X = 2х\ + 1, тогда у = 2у\ и из (1.1) имеем таким образом, получили противоречие, и ж — четное. Пусть d— (х + і, х — і) в кольце Щг]. Тогда d\2 = (1 + г)(1 — г). Если d отлично от единицы, то Norm d — четное число и кроме того, Normd\(x2 + 1), где (ж2 + 1) нечетное, что невозможно, т.е. числа x + i, x — i взаимно просты в кольце Щг]. 2) Если же N — четное число, то х — нечетное, и в этом случае числа х + і x — i 1 + г" 1-і будут целыми взаимно простыми числами кольца Ъ[г\. Действительно, пусть О ДИОФАНТОВОМ УРАВНЕНИИ х2 - Ny2 = -1 . х — г х + 1 х — 1. Отсюда получаем, что d \ (х + 1) и d \ (х — 1), т.е. d 2 = (1 + г)(1-г). Если d = 2, то имеем Откуда находим что невозможно. Таким образом, d 2. Из (1.2) имеем — , ж — г 1 — г откуда с учётом (1.3) находим Если d отлично от единицы, то согласно (1.4) получаем откуда как и ранее приходим к противоречию Следовательно, числа взаимно просты в кольце Ъ[г\. Нетрудно видеть, что в обоих случаях существуют целые числа A,B,s,t, такие, что x+i = {B-\-iA){s + it)2, x-i = (B-iA)(s-it)2, (4,.8) = 1,(1.5) N = А2 + В2. Кроме того, выполнено 1 = A(s2 - t2) + 2Bst. Действительно, из (1.5) имеем 2г = (В + iA)(s + it)2 - (В - iA)(s - it)2 = 4istB + 2is2A - 2it2A, или 1 = A(s2 - t2) + 2Bst. Из последного равенства следует нечетность числа А и равенство {As + Bt)2 - Nt2 = А. (1.6) Из (1.6) имеем (As + Bt)2 = А (modiV), т.е. А является квадратичным вычетом по модулю N. Заметим, что числа —А и А являются квадратичными вычетами по модулю N одновременно. В самом деле, из (1.1) и предположения о разрешимости уравнения (1.1) в целых числах имеем, что —1 2. х2 - 2ру2 = -1. 15 является квадратичным вычетом по модулю N. Поэтому ((As + Bt)x\ = -A (mod N). Таким образом, теорема доказана. J2. О разрешимости уравнения х — 2ру = —1 Докажем, что если р — простое число, р = 5 (mod 8), то уравнение х2-2ру2 = -1 (1.7) разрешимо в целых числах. Действительно, пусть (и, v) — решение уравнения Пелля х1 - 2ру2 = 1 в натуральных числах с наименьшим значением v. Тогда (и- 1)(м + 1) = 2pv2. Следовательно, существуют натуральные числа а,/3,ж,ї/, такие, что и-1 = 2ах2, u + l = 2f3y2, v = 2ху, а(3 = 2р, (Зу2 - ах2 = 1. (1.8) Так как а(5 — 2р, то а может принимать только значения: 2р,р, 2,1.
О вспомогательном уравнении o^Y3 + a^Z3 = 2а\Х3
Теорема 1. Пусть уравнение (1.1) разрешимо в целых числах. Тогда существует представление числа N в виде N = А2 + В2, где А и В — натуральные числа, (А, В) = 1, причём А является нечетным числом и квадратичным вычетом по модулю N.
Пусть целые числа х,у являются решением уравнения (1.1). Тогда имеем (x + i)(x-i) = Ny2. 1) Если N — нечетное число, то числа будут взаимно простыми в кольце Щі]. Докажем это. Заметим сначала, что если N — нечетное число, то х — четное. Действительно, предположим, что х — нечетное число, т.е. X = 2х\ + 1, тогда у = 2у\ и из (1.1) имеем 4жі2 + 4 1 + 2 = 4yi2N, или 2 = 0 (mod 4), таким образом, получили противоречие, и ж — четное. Пусть d— (х + і, х — і) в кольце Щг]. Тогда d\2 = (1 + г)(1 — г). Если d отлично от единицы, то Norm d — четное число и кроме того, Normd\(x2 + 1), где (ж2 + 1) нечетное, что невозможно, т.е. числа x + i, x — i взаимно просты в кольце Щг]. 2) Если же N — четное число, то х — нечетное, и в этом случае числа х + і x — i 1 + г" 1-і будут целыми взаимно простыми числами кольца Ъ[г\. Действительно, пусть (х + i х — i\ d = 1 + г" 1 — г в кольце Щг]. Тогда Отсюда получаем, что d \ (х + 1) и d \ (х — 1), т.е. d 2 = (1 + г)(1-г). Если d = 2, то имеем п, ґх + і x-i: 2 — —і т.е. Л . # + 1 I — 1 2 — и 2 ——. 1 2 2 Откуда находим х = -1 = 1 (mod 4), что невозможно. Таким образом, d 2. Из (1.2) имеем — , ж — г 1 — г откуда с учётом (1.3) находим / , -л і # — г ж + 1 ж — 1 . Если d отлично от единицы, то согласно (1.4) получаем п . {х + 1 х- 1 Д откуда как и ранее приходим к противоречию х = -1 = 1 (mod 4). I. О ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЯХ ПЕЛЛЯ Следовательно, числа взаимно просты в кольце Ъ[г\. Нетрудно видеть, что в обоих случаях существуют целые числа A,B,s,t, такие, что N = А2 + В2. Кроме того, выполнено 1 = A(s2 - t2) + 2Bst. Действительно, из (1.5) имеем 2г = (В + iA)(s + it)2 - (В - iA)(s - it)2 = 4istB + 2is2A - 2it2A, или 1 = A(s2 - t2) + 2Bst. Из последного равенства следует нечетность числа А и равенство {As + Bt)2 - Nt2 = А. (1.6) Из (1.6) имеем (As + Bt)2 = А (modiV), т.е. А является квадратичным вычетом по модулю N. Заметим, что числа —А и А являются квадратичными вычетами по модулю N одновременно. В самом деле, из (1.1) и предположения о разрешимости уравнения (1.1) в целых числах имеем, что —1
О диофантовом уравнении ах3 + Ьх2 + ex + dy + е = xyz
Отсюда с учётом (2.8) и (2.7) находим, что 3м и 3\(х + у). Таким образом, получили противоречие с тем, что (х,у) = 1.
Значит, = 1 и в этом случае. Далее из (2.20) следует, что а3 + Зл/-За2Ъ - 9аЪ2 - Зл/ ЗЬ3 = 4(ж - у) + I2y/ 3pqu3 или а3 - 9аЪ2 + Зч/ а2 - Ь3) = 4(ж - у) + 12\/ Зрдк3. Откуда имеем а2Ъ-Ьг = Apqu3 или 6(а-Ь)(а + Ь) = 4pgw3. При этом Н.О.Д.(а,6) Є {1,2}. Напомним также, что о а2 + ЗЬ2 z — 6uv = 3 и. Введем обозначения b = aiXz, a-b = a2Y3, a + b = cr3Z3, где 7i, о2, сгз, X, У, Z — целые числа, г2 7з = 4Р 9 23/3, где (З Є {0,1}, и = 2"XYZ. Все это означает, что a3Zd - a2Y6 = 2GXX6 или a3Z3 + a2Yx3 = 2агХ\ Y1 = -Y. (2.24) Нетрудно увидеть, что уравнение (2.24) есть в точности уравнение (2.15), которое, как было доказано ранее, не имеет решений в целых ненулевых числах X, Y, Z. п. 5. Случай 3. (с = 0, а = 1) Согласно (2.7) в этом случае имеем х + у=ри3, (2.25) (х + у)2 + 3(ж- у)2 о л — = qv3, (2.26) Z = UV, где и, v — целые числа. Из (2.8) находим р2и6 + 3(х - у)2 з = QV Это означает, что существуют целые ненулевые числа qi,q ,a,b такие, что о 8ри3 + 8 {х -у) = (qi + х/ ЗдзХа + bV1 )3 = = (gi + 4/ 3)(03 + 3y/ 3a2b - 9ab2 - Зу Ъ3). Тогда 8ри3 = gi(a3 - 9ab2) - 9q3(a2b - b3). (2.28) Из (2.28) имеем 8ри3 = qxa3 (mod 9). (2.29) Заметим, что (u,3) = (а,3) = ( ?i,3) = 1. Последнее равенство (1,3) = 1 справедливо, так как имеет место представление (2.27) ид — простое число. В силу (2.28) имеем и:3 =$ а:3. Если 3п, то из (2.25) следует, что 3\(х + у). Из (2.26), получаем, что 3\v. Тогда 9\(х + у)2, 9\v3 и с учетом (2.26) имеем 9\3(х — у)2, следовательно, 3\(х — у). Таким образом, получили противоречие с условием (ж, у) = 1. Следовательно, («,3) = (а,3) = 1. Возведя обе части сравнения (2.29) в квадрат и учитывая то, что для любого целого с, такого что (с, 9) = 1, имеет место сравнение с6 ЕЕ 1 (mod 9), получим И. О ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЯХ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ. qi2=p2 (mod 9). Это означает, что Sq32 = M-qi2 = 4,q-p S (mod 9), т.е. qz2=kl (mod3). Следовательно qs = 0 (mod 3). Положим дз = 3 25 где q2 — целое число. Тогда 12 + 27g22 q = 4 Из (2.27) имеем ри3 + у % -у) = gi + SV 3g2 (а + ЬУ=3\3 2 2 V 2 ) Умножим обе части последнего соотношения на 27 ?23 и рассмотрим полученное равенство как сравнение по модулю q = Ч1 +4 . Очевидными преобразованиями получим, что 27q23pu3 + 27V 3(z - y)q23 _ Qi + V q2 (3g2a + q2byf \ 3 gi + 3\Х Зд2 /3g2a + gib - %i - 3\/z3g2) \ 2 Л 2 ) з gi+3v-3g2 /3g2a + gib, . . = (mod q), 8 27q23u3 р = qi(3q2a + qibf (mod q). Но так как х + у=ри3, и О (mod g), то получим, что рХ3 = qi (mod q), где X— целое число. Согласно лемме 2 существует целое число Y такое, что У3 = qi (mod g). Поэтому pX3 = Y3 (modg), (Уі9) = 1, откуда следует, что р является кубическим вычетом по модулю q, что противоречит условию теоремы, 4. п. 6. Случай 4. (с = 0, а = 3) Из (2.7) и (2.8) в этом случае имеем (2.30) х + у = 9ри3, (х - у)2 + 27р2ц6 4 = Это означает, что существуют целые числа qi,q3,o,,b для которых 8(ж - у) + 24pu3\/ 3 = (gi + V 3g3)(a + bV )3 = = (1 + 4/1)(а3 + Зу а2 - 9аЬ2 - Зл/ ЗЪ3). Тогда 8(ж - у) = дю3 - 9gia62 - 9д3а26 + 9д363, (2 24ри3 = ді(3а26 - 363) + q3(a3 - 9ab2). (2 Из (2.33) следует, что либо а = 0 (mod 3), либо g3 = О (mod 3). Если а = 0 (mod 3), то из (2.32) находим, что х — у = О (mod 3), что вместе с х + у = 0 (mod 3) в (2.30) противоречит условию (х,у) = 1. Поэтому 2. О НЕРАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЯ х3 + у3 =pqz3. 57 q3 = 0 (mod 3). Пусть дз — 3 2» где q2 — целое число. Тогда gi2 + 27?22 9= 4 И (2.31) перепишется в виде з х — у-{-Зри3у/ 3 qi + Зд/ 3д2 /а + 6\/—3 2 2 V 2 / Умножим обе части последнего соотношения на 27#23 и рассмо gi2+27g22 трим полученное равенство как сравнение по модулю q = ч 4 Имеем 27д23(ж - У) + 81 /=3pu3g23 _ qi + 3 3 (Ъд2а + Sq2bV 3 _ gi + Зч/ З ( Зд2а + gib - 6(gi - 3\/ 3д2) A _ - 2 Л 2 ) ді+Зх/ Здг f3g2a + gib\ I 2 J (md откуда 8-27pu3 = q2(3aq2 + 6gi)3 (mod g). Но так как (x + /,g) = 1, т.е. (w,g) = 1, используя лемму 2 получим, что р является кубическим вычетом по модулю д, что противоречит условию теоремы 4. Полученные противоречия доказывают теорему 4. И. О ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЯХ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ. 3. О диофантовом уравнении ах3 + Ьх2 + ex + dy + е = xyz Целью этого параграфа является доказательство следующей теоремы. Теорема 5. Пусть a:b,c,d,e — целые неотрицательные числа, ade ф 0. Тогда уравнение ах3 + bx2 + cx + dy + е = xyz (2.34) имеет конечное число решений в натуральных числах x,y,z.
