Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обобщенные унитарные группы 12
1.1. Определение унитарных групп 12
1.1.1 Псевдоинволюции и форменные параметры 12
1.1.2 Квадратичные формы 14
1.1.3 Изометрии и унитарная группа 15
1.1.4 Гиперболические пространства и группы 17
1.2. Элементарная подгруппа 19
1.2.1 Трансвекции Эйхлера-Зигеля-Диксона 19
1.2.2 Элементарная подгруппа и KUi 20
1.2.3 Гиперболический случай. Группа Стейнберга и KU2 . 22
1.3. Классические группы как унитарные 23
1.3.Г Ортогональная группа 23
1.3.2 Симплектическая группа 24
1.3.3 Классическая унитарная группа 24
1.4. Случай полной линейной группы 26
1.4.1 Полная линейная группа как унитарная 26
1.4.2 Лемма Титса 28
1.4.3 Группа Стейнберга и Кг 29
Глава 2. Геометрия и К-теория унитарных групп 33
2.1. Теорема Витта 33
2.1.1 Стабильные ранги 33
2.1.2 Теорема Витта 41
2.2. Стабилизация младших К-функторов 47
2.2.1 Теорема о сокращении 47
2.2.2 Сюръективная стабилизация KUi 49
2.2.3 Инъективная стабилизация KUi 50
2.2.4 Сюръективная стабилизация KU2 55
2.3. Инвариантность элементарной подгруппы 57
2.3.1 Локализация 57
2.3.2 Лемма Квиллена-Суслина 61
2.3.3 Доказательство инвариантности 67
2.3.4 Инвариантность относительной элементарной подгруппы 72
Глава 3. Описание надгрупп 75
3.1. Линейно-унитарные группы 75
3.1.1 Определение линейно-унитарных групп 75
3.1.2 Линейно-унитарная группа Стейнберга и ККІІ2 80
3.1.3 Линейно-унитарная и относительная элементарная группы 83
3.1.4 Вычисление нормализаторов 87
3.1.5 Порождение линейно-унитарной группы трансвекцией 92
3.2. Извлечение трансвекций 98
3.2.1 Извлечение на локальном уровне 98
3.2.2 Подъем трансвекций 109
3.3. Веерное описание надгрупп 111
3.3.1 Формулировка основного результата 111
3.3.2 Случай ортогональной группы 113
3.3.3 Случай симплектической группы 114
3.3.4 Теорема Уилсона-Голубчика 115
3.4. Вычисление факторов 117
3.4.1 Точная последовательность К-функторов 117
3.4.2 Применение к числовым кольцам 120
Заключение 123
Список литературы 125
- Гиперболические пространства и группы
- Полная линейная группа как унитарная
- Линейно-унитарная и относительная элементарная группы
- Точная последовательность К-функторов
Введение к работе
Изучение классических групп восходит ко второй половине XIX в. Над полем комплексных чисел и конечными полями классические группы систематически изучались Фробениусом, Жорданом и Диксоном. В связи с применением к теории квадратичных форм Витт исследовал ортогональные группы над произвольными полями. В различных аспектах классические группы над произвольными полями изучались Шрайером и ван дер Вар-деном. Вейль развил теорию представлений и теорию инвариантов классических групп; ему же принадлежит сам термин "классическая группа". Дьедонне перенес большую часть конструкций и результатов на случай тел.
Структурная теория классических групп над полями (или телами) изложена в книгах [1] и [17]. Основными ее результатами являются теоремы о порождении классических групп элементами простого вида (отражениями и трансвекциями), теоремы о продолжении изометрий и сокращении, теоремы о простоте присоединенных классических групп.
Первые результаты о строении решетки подгрупп классических групп были получены в контексте теории алгебраических групп с использованием методов алгебраической геометрии. Титсом были описаны параболические подгруппы (т.е. надгруппы борелевских групп), а Борелем и Титсом — над-группы тора над алгебраически замкнутым полем. Позже эти результаты были перенесены на случай конечных полей Зейцем, а в случае бесконечных полей получены Боревичем, Вавиловым, Дыбковой, Койбаевым, Кингом и
Интенсивное изучение решетки подгрупп было инициировано работой
Ашбахера [26], в которой дается подход к задаче описания максимальных подгрупп классических групп над конечным полем. Именно, он выделил восемь классов подгрупп С\~С% (например, стабилизаторы подпространств еетествеиного представления, его разложений в прямую сумму и тензорное произведение и т.п.) таких, что каждая максимальная подгруппа попадает либо в один из этих классов, либо в класс S, состойщий из почти простых групп в неприводимых представлениях. Вопрос о том, какие подгруппы из классов C\-Cq действительно являются максимальными (над конечным полем), был полностью решен Клейдманом и Либеком в [41] (с использованием Классификации конечных простых групп).
Нас будет особенно интересовать класс Cg, состоящий из нормализаторов одной классической группы в другой (например, любой классической группы в полной линейной группе или ортогональной группы в симплекти-ческой в случае характеристики два). Возникает естественный вопрос: для каких полей такой нормализатор максимален? Ответ был частично получен в работах Дая [35, 36].
Более общий вопрос о решетке всех надгрупп классической группы в естественном представлении над полем изучался Кингом в [39,40] и был полностью решен (для изотропных групп) в работе Ли Шанчжи [43]. А именно, в случае поля характеристики не два каждая надгруппа либо содержится в нормализаторе классической группы, либо содержит специальную линейную группу. Для ортогональной группы в характеристике два ответ выглядит сложнее: в формулировке возникают векторные ІЇ"2-подпространства в основном поле К.
Башкировьш были получены более сильные результаты о надгруппах классической группы над полем в полной линейной группе над алгебраическим расширением этого поля ([4, 5, 6, 7, 8]).
До сих пор речь шла о классических группах над полем (или телом). Однако примерно с 1960-х годов стало ясно, что при решении многих вопросов необходимо рассматривать классические группы над кольцами, в том числе некоммутативными. В теории арифметических групп фундаментальную роль играют классические группы над кольцом целых и над кольцом аделей глобального поля. Уайтхедом был введен инвариант, измеряющий "сложность" гомотопической экивалентности CW-комплексов, со значением в полной линейной группе кольца Z[?r] (где тг — фундаментальная группа) по модулю элементарной подгруппы, т.е., на современном языке, в Ki(Z[7r]) (точнее, в факторгруппе последней группы по образу ±7г). Группа "неочевидных" соотношений между образующими элементарной подгруппы над тем же кольцом Z[jt] (т.е. K2(Z[7r])) имеет большое значение в теории псев-доизотопий многообразий. Унитарные аналоги этих групп возникают при изучении перестроек многообразий (между прочим, это побудило Уолла обобщить определение унитарной группы в работе [56]).
Все эти конструкции в сочетании с идеями, пришедшими из теории векторных расслоений и ее алгебраического аналога, привели к рождению алгебраической К-теории. Начальный этап ее развития подытожен в монографии Басса [3] и более популярной книге Милнора [20]. Значительными результатами теории являются теоремы о стабилизации К-функторов, показывающие, что поведение полной линейной группы над кольцом становится "стандартным" как только ее ранг достигает некоторого числа, называемого стабильным рангом кольца (определенного в элементарных теоретико-кольцевых терминах). Наиболее важным структурным результатом, полученным Бассом, является теорема о нормальном строении полной линейной группы на стабильном уровне (т.е. когда ранг группы превышает стабильный ранг кольца).
Теория Басса была перенесена на случай других классических групп Баком ([28, 27]); им же было предложено удобное определение обобщенной унитарной (или квадратичной) группы, которое позволяет единообразно доказывать результаты для почти всех классических групп. Это определение (с небольшими модификациями) и используется в настоящей работе.
Вместо стабильного ранга Баком использовалось намного более сильное условие на размерность Басса-Серра кольца; это побудило многих авто- ров к поиску более адекватного аналога стабильного ранга для классических групп. В работах Стейна, Магурна, ван дер Каллена и Васерштейна использовался абсолютный стабильный ранг, Кольстера — унитарный стабильный ранг. В настоящей работе используется более удобное понятие стабильного ранга форменного кольца, введенное Баком и Тангом в [30] (под названием Л-stable range condition), позволяющее давать более точные оценки на момент стабилизации.
Новый этап в развитии структурной теории линейных групп над кольцами начался с результатов Суслина о нормальности элементарной подгруппы над произвольным коммутативным кольцом (см. [24]) и Уилсона и Голубчика о нормальной структуре полной линейной группы над коммутативным кольцом ([13, 57]). Оказалось, что над коммутативными кольцами многие структурные результаты верны не только на стабильном уровне, но и начиная с некоторого фиксированного ранга (три для полной линейной группы).
В работе [54] Васерштейн получил совместное обобщение результатов Басса и Уилсона-Голубчика. Оказалось, что для доказательства структурных теорем достаточно требовать выполнения условия на стабильный ранг для локализаций базового кольца. Успех в случае коммутативных колец объясняется тем, что локальные кольца имеют стабильный ранг один. Эта техника была затем значительно развита Голубчиком, Михалевым, Хлебути-ным (см., например, [14, 15, 25]) благодаря использованию некоммутативных локализаций.
На другие классические группы эти результаты были перенесены Ко-пейко, Таддеи, а в контексте групп Шевалле — Абе и Васерштейном. Для гиперболических унитарных групп в смысле определения Бака они были доказаны Васерштейном и Ю Хонгом [55], Баком и Вавиловым [31]. Новое доказательство структурных теорем, основанное на технике разложения трансвекций, а также хороший обзор по этой теме содержится в работе
Степанова и Вавилова [52].
Среди других результатов о строении классических групп над кольцами следует упомянуть описание надгрупп группы бл очно-диагональных матриц над коммутативным кольцом, полученное Боревичем и Вавиловым и перенесенное Вавиловым на случай других классических групп.
Наконец, совсем недавно появились работы [58] и [44], в которых получено описание надгрупп симплектических групп над локальными и евклидовыми кольцами.
Цель настоящей работы — дать описание надгрупп классических групп в естественном представлении над классом колец, включающем почти коммутативные кольца. При этом случаи различных классических групп рассматриваются единообразно с использованием понятия обобщенной унитарной группы Бака.
Полученное автором описание является веерным в смысле школы Боре-вича. Это означает, что для каждой надгруппы Н существует единственная базовая подгруппа (а именно, элементарная линейно-унитарная подгруппа уровня (А, Г), где (А, Г) — некоторый идеальный форменный параметр, см. параграф 3.1.1) такая, что Н лежит между этой базовой подгруппой и ее нормализатором в полной линейной группе (который совпадает с линейно-унитарной конгруэнц-подгруппой того же уровня).
Опишем вкратце используемую технику. Стандартным приемом "редукции по уровню" задача сводится к задаче отыскания линейных транс-векций в подгруппе, содержащей классическую группу и не содержащейся в ее нормализаторе (параграфы 3.3.1 и 3.2.2). Метод локализации в сочетании с несложным фактом о ядре гомоморфизма локализации позволяет глобализовать решение, полученное в локальном случае (параграф 3.2.2). Локальный случай разбирается с использованием геометрических соображений (параграф 3.2.1), в частности, аналога теоремы Витта о продолжении изометрии, доказанного в разделе 2.1.
При вычислении нормализатора базисной подгруппы (параграф 3.1.4) существенно используется, помимо прочего, результат о нормальности элементарной унитарной группы. Поскольку ранее он был получен только в гиперболическом случае (или для некоторых специальных видов классических групп), мы приводим доказательство этого результата в нужной нам общности в разделе 2.3. Более того, мы показываем, что элементарная подгруппа не зависит от выбора гиперболической пары. Доказательство использует стандартную технику локализации (см., например, [55]); при этом на локальном уровне используется результат о сгоръективной стабилизации KUi-функтора (параграф 2.2.2), а при глобализации существенно используется KUi-аналог Леммы Квиллена-Суслина (параграф 2.3.2).
Веерное описание само по себе дает большую информацию о решетке надгрупп; однако для получения окончательного результата необходимо вычислить факторы нормализаторов базисных подгрупп по самим базисным подгруппам. В параграфе 3.4.1 выведена точная последовательность, связывающая эти факторы с линейными и унитарными К-функторами. Эвристически она была получена с использованием теории гомотопий симплици-альных множеств (являющихся вариантами пространств Володина), однако, чтобы не перегружать работу изложением этой техники, автор предпочел дать элементарное доказательство. Полученный результат в сочетании с результатом Басса-Милнора-Серра о тривиальности относительноїх) SKi для дедекиндовых колец арифметического типа (не являющихся вполне мнимыми) позволяет дать, например, явное описание всех надгрупп симплек-тической группы над такими кольцами (параграф 3.4.2). Этим еще раз подтверждается связь структурной теории классических групп над кольцами с алгебраической К-теорией, которая прослеживается с самого возникновения обеих теорий.
Перейдем к описанию структуры работы. Первая глава посвящена изложению основ теории обобщенных унитарных групп в смысле Бака. Мы следуем работам [31] и [37] с небольшими модификациями. В разделе 1.1 дается определение форменных параметров и обобщенных унитарных групп. В разделе 1.2 определены трансвекции Эйхлера-Зигеля-Диксона (играющие ту же роль, что линейные трансвекции в случае полной линейной группы) и элементарная унитарная подгруппа. В разделе 1.3 показано, что классические группы являются частными случаями унитарных. Особое внимание уделено полной линейной группе, которой посвящен раздел 1.4.
Во второй главе изучается "геометрия" унитарных групп (т.е. свойства действия группы на модуле естественного представления) и младшая унитарная К-теория (т.е. вопросы о факторе унитарной группы по ее элементарной подгруппе и о нетривиальных соотношениях между трансвекциями). В разделе 2.1 вводится понятие стабильного ранга форменного кольца и доказывается аналог теоремы Витта о продолжении изометрии. В разделе 2.2 доказываются теоремы о стабилизации KUi и КІІ2, а также аналог теоремы Витта о сокращении. В разделе 2.3 устанавливается (при некоторых предположениях) независимость элементарной унитарной группы от выбора гиперболической пары.
Основному вопросу об описании надгрупп классической группы в естественном представлении посвящена третья глава. В разделе 3.1 определяются элементарные линейно-унитарные группы (являющиеся базисными для веерного описания) и линейно-унитарные конгруэнц-подгруппы, доказывается, что последние являются нормализаторами первых. Ядром доказательства основного результата является раздел 3.2; именно, там показывается, что надгруппа унитарной группы, не содержащаяся в нормализаторе последней, содержит линейную трансвекцию. Веерное описание надгрупп дается в разделе 3.3; там же рассматриваются частные случаи ортогональной и симплектической группы и полной линейной группы в представлении, являющемся суммой естественного и контрагредиентного (интересно отметить, что в последнем случае основной результат совпадает с теоре- мой Уилсона-Голубчика о нормальном строении полной линейной группы). Вычислению факторов нормализаторов базисных подгрупп по самим базисным подгруппам посвящен раздел 3.4; в качестве примера дается полное описание надгрупп симплектической группы над не вполне мнимым деде-киндовым кольцом арифметического типа.
В заключении перечислены основные результаты, полученные в работе.
Содержание диссертации отражено в работах автора [9, 10] (совместно с Н.А. Вавиловым), [21, 47], [29] (совместно с Э. Баком и Г. Тангом).
Гиперболические пространства и группы
Среди других результатов о строении классических групп над кольцами следует упомянуть описание надгрупп группы бл очно-диагональных матриц над коммутативным кольцом, полученное Боревичем и Вавиловым и перенесенное Вавиловым на случай других классических групп.
Наконец, совсем недавно появились работы [58] и [44], в которых получено описание надгрупп симплектических групп над локальными и евклидовыми кольцами.
Цель настоящей работы — дать описание надгрупп классических групп в естественном представлении над классом колец, включающем почти коммутативные кольца. При этом случаи различных классических групп рассматриваются единообразно с использованием понятия обобщенной унитарной группы Бака.
Полученное автором описание является веерным в смысле школы Боре-вича. Это означает, что для каждой надгруппы Н существует единственная базовая подгруппа (а именно, элементарная линейно-унитарная подгруппа уровня (А, Г), где (А, Г) — некоторый идеальный форменный параметр, см. параграф 3.1.1) такая, что Н лежит между этой базовой подгруппой и ее нормализатором в полной линейной группе (который совпадает с линейно-унитарной конгруэнц-подгруппой того же уровня).
Опишем вкратце используемую технику. Стандартным приемом "редукции по уровню" задача сводится к задаче отыскания линейных транс-векций в подгруппе, содержащей классическую группу и не содержащейся в ее нормализаторе (параграфы 3.3.1 и 3.2.2). Метод локализации в сочетании с несложным фактом о ядре гомоморфизма локализации позволяет глобализовать решение, полученное в локальном случае (параграф 3.2.2). Локальный случай разбирается с использованием геометрических соображений (параграф 3.2.1), в частности, аналога теоремы Витта о продолжении изометрии, доказанного в разделе 2.1.
При вычислении нормализатора базисной подгруппы (параграф 3.1.4) существенно используется, помимо прочего, результат о нормальности элементарной унитарной группы. Поскольку ранее он был получен только в гиперболическом случае (или для некоторых специальных видов классических групп), мы приводим доказательство этого результата в нужной нам общности в разделе 2.3. Более того, мы показываем, что элементарная подгруппа не зависит от выбора гиперболической пары. Доказательство использует стандартную технику локализации (см., например, [55]); при этом на локальном уровне используется результат о сгоръективной стабилизации KUi-функтора (параграф 2.2.2), а при глобализации существенно используется KUi-аналог Леммы Квиллена-Суслина (параграф 2.3.2).
Веерное описание само по себе дает большую информацию о решетке надгрупп; однако для получения окончательного результата необходимо вычислить факторы нормализаторов базисных подгрупп по самим базисным подгруппам. В параграфе 3.4.1 выведена точная последовательность, связывающая эти факторы с линейными и унитарными К-функторами. Эвристически она была получена с использованием теории гомотопий симплици-альных множеств (являющихся вариантами пространств Володина), однако, чтобы не перегружать работу изложением этой техники, автор предпочел дать элементарное доказательство. Полученный результат в сочетании с результатом Басса-Милнора-Серра о тривиальности относительноїх) SKi для дедекиндовых колец арифметического типа (не являющихся вполне мнимыми) позволяет дать, например, явное описание всех надгрупп симплек-тической группы над такими кольцами (параграф 3.4.2). Этим еще раз подтверждается связь структурной теории классических групп над кольцами с алгебраической К-теорией, которая прослеживается с самого возникновения обеих теорий.
Перейдем к описанию структуры работы. Первая глава посвящена изложению основ теории обобщенных унитарных групп в смысле Бака. Мы следуем работам [31] и [37] с небольшими модификациями. В разделе 1.1 дается определение форменных параметров и обобщенных унитарных групп. В разделе 1.2 определены трансвекции Эйхлера-Зигеля-Диксона (играющие ту же роль, что линейные трансвекции в случае полной линейной группы) и элементарная унитарная подгруппа. В разделе 1.3 показано, что классические группы являются частными случаями унитарных. Особое внимание уделено полной линейной группе, которой посвящен раздел 1.4.
Во второй главе изучается "геометрия" унитарных групп (т.е. свойства действия группы на модуле естественного представления) и младшая унитарная К-теория (т.е. вопросы о факторе унитарной группы по ее элементарной подгруппе и о нетривиальных соотношениях между трансвекциями). В разделе 2.1 вводится понятие стабильного ранга форменного кольца и доказывается аналог теоремы Витта о продолжении изометрии. В разделе 2.2 доказываются теоремы о стабилизации KUi и КІІ2, а также аналог теоремы Витта о сокращении. В разделе 2.3 устанавливается (при некоторых предположениях) независимость элементарной унитарной группы от выбора гиперболической пары.
Основному вопросу об описании надгрупп классической группы в естественном представлении посвящена третья глава. В разделе 3.1 определяются элементарные линейно-унитарные группы (являющиеся базисными для веерного описания) и линейно-унитарные конгруэнц-подгруппы, доказывается, что последние являются нормализаторами первых. Ядром доказательства основного результата является раздел 3.2; именно, там показывается, что надгруппа унитарной группы, не содержащаяся в нормализаторе последней, содержит линейную трансвекцию. Веерное описание надгрупп дается в разделе 3.3; там же рассматриваются частные случаи ортогональной и симплектической группы и полной линейной группы в представлении, являющемся суммой естественного и контрагредиентного (интересно отметить, что в последнем случае основной результат совпадает с теоре -11 мой Уилсона-Голубчика о нормальном строении полной линейной группы). Вычислению факторов нормализаторов базисных подгрупп по самим базисным подгруппам посвящен раздел 3.4; в качестве примера дается полное описание надгрупп симплектической группы над не вполне мнимым деде-киндовым кольцом арифметического типа.
Полная линейная группа как унитарная
Возьмем произвольный форменный параметр Л и определим квадратичную форму q = (Н, Q) по формуле Q(v) = F(v, v) -f Л. Если взять Л = тах(К), унитарная группа U(V) будет совпадать с группой изомет-рий формы Н (что устраняет произвол в выборе формы F). Таким образом, группа изометрий четной е-эрмитовой формы тоже может быть представлена как некоторая унитарная группа. Можно брать и другие форменные параметры; получающиеся при этом группы называются ограниченными унитарными группами.
В работе [21] автор предпринял попытку снять ограничение на четность эрмитовой формы, определив нечетные унитарные группы. При этом любую нечетную унитарную группу можно рассматривать как "гиперболическую" ранга, равного индексу Витта рассматриваемого пространства.
Практически все результаты первых двух глав настоящей работы могут быть (с соответствующими изменениями) перенесены на этот случай (частично это и сделано в [21]). Однако основной результат о надгруппах унитарной группы в соответствующей полной линейной группе (параграф 3.3.1) не может быть перенесен так просто, по той причине, что естественное представление нечетной унитарной группы не является неприводимым ("четная часть" квадратичного пространства под действием нечетной унитарной группы переходит в себя). Методами настоящей работы можно было бы описать надгруппы нечетной унитарной группы в соответствующей параболической подгруппе (сохраняющей четную часть пространства), но это был бы слишком технический результат.
Пусть R — произвольное ассоциативное кольцо, и рассмотрим кольцо R х Лор с покомпонентными операциями. На нем определена псевдоинволюция а: (х,у) ь-)- (—у, —х). Заметим, что если положить s — (1,0), то s центральный элемент такой, что з -f si-1 = 1, так что Пусть V — правый Я-модуль, V = Нотд(У, R) — двойственный к нему левый Я-модуль (т.е. правый Яор-модуль). Таким образом, на V Ф V естественным образом определена структура правого Rx Лор-модуля. Далее, определим квадратичную форму q = (Н, Q) на V ф V по формулам Группа GL(K V ) может быть отождествлена с произведением групп GL(V) х GL(V ). При этом элемент {д, К) из Gh{VФ V ) сохраняет квадратичную форму q в том и только том случае, когда h = (р )-1. Таким образом, -27 унитарная группа \J(V ф У") совпадает в этом случае с GL(V), а ее естественное представление (в модуле У V ) является суммой естественного и контрагредиентного представлений GL(V). Пусть є — элемент У, р — элемент V такие, что р(е) = 1. Тогда ((е, р), (е, ip)) является гиперболической парой в V 0 У . Таким образом, в случае полной линейной группы пары (е, ср) соответствуют гиперболическим парам. Пара (е\, р{) называется ортогональной паре (ег, tp2), если i( 32) = О и ір2{є-г) = 0. Будем обозначать через гапкг(У) максимальное количество попарно ортогональных пар такого вида. Несложно видеть, что rankf(V) совпадает с максимальной размерностью свободных прямых слагаемых в У, и что rankf(V) = ind(V ф V" ). Заметим, что если V" снабжен к тому же структурой квадратичного пространства, то rankf(V) 2ind(y). Для элементов и Є V, р Є У таких, что р(и) = 0, определим линейную трапсвекцию tU{p как преобразование, переводящее го Є У в w 4-u(p(w). Эти преобразования соответствуют трансвекциям Эйхлера-Зигеля-Диксона. Они удовлетворяют следующим соотношениям: Если У наделено структурой неособого квадратичного пространства, мы отождествляем вектор v из У с линейной формой tpv(w) = (v, w)q на У, и пишем tuv вместо tUjpv, Определим элементарную линейную группу E(e, p){V) как подгруппу, порожденную всеми элементами вида te и tulf . При отождествлении GL(y) с и(У ф У ) она может быть отождествлена с EU e )) (У Ф У ). Пусть А — двусторонний идеал R. Обозначим через F(e,j)1)(V, А) подгруппу в GL(V), порожденную элементами teiV и tv Pl, v Є VA, tp AV , a через E(eitV,,)(V, A) - ее нормальное замыкание в Е(Є1Л,1)(У). Предположим, что rankf(V) 3. Докажем утверждение, являющееся аналогом результата Титса из [53]. Лемма 6. E(ei)V 1)(V, А) порождается элементами вида іюрііЄіф и te xtVipi} и Є V, v Є VA, ф Є ЛУ ; х Є У . Доказательство. Обозначим группу, порожденную указанными элементами, через Я. Покажем, что элемент, сопряженный к элементу вида и 1Єі при помощи образующей группы E(ebV,t)(V), лежит в Н (для элементов второго вида доказательство аналогично).
Линейно-унитарная и относительная элементарная группы
Следствие. Пусть R — почти коммутативное кольцо либо кольх о абсолютного стабильного ранга 1 (например, полулокальное), V — неособое квадратичное пространство, являющееся конечнопорожденным проективным R-модулем, ind(V) 4. Тогда выполнено заключение Теоремы 8.
Доказательство. Пусть А — идеал, устойчивый относительно псевдоинволюции. Рассмотрим сначала случай, когда R почти коммутативно. Положим (R/A)o = (Я/ пш Ся/Л)» Sm = (R/A)0 \ т. Тогда для любого т, как было показано в доказательстве Следствия из Теоремы 6 Значит, по Лемме 69 кольцо Enc S V/Wl)) слабо 1-конечно, так что Теперь можно применить Теорему 8. Если же аэг(Я) = 1, можно положить Sm = {1}. Тогда, поскольку и по Лемме 69 кольцо End(VYWl) слабо 1-конечно, снова можно применить Поскольку в условиях Теоремы 8 CGU(V, А, Г) является нормализатором EEU(V, Д Г), полученное описание надгрупп Еи(К) является веерным в смысле школы Боревича. Абстрактные свойства решетки надгрупп с таким свойством изучены в работе [2]. Применим основной результат к случаю ортогональной группы (см. параграф 1.3.1). Поскольку псевдоинволюция действует по формуле х = —х, идеальный форменный параметр в этом случае — это пара (А, Г) из идеала А и аддитивной подгруппы Г, устойчивой относительно умножения на квадраты и удовлетворяющей условию 2Г А Г. В частности, если 2 обратима в Л, Г совпадает с А. Будем писать в случае ортогональной группы ЕЕО вместо EEU и CGO вместо CGU. Теорема 9. Пусть R — коммутативное кольцо, V — коиечпопороокдеп-ный проективный R-модулъ, снабженный неособой квадратичной формой, такой, что іпсЦУ) 1, и для любого максимального идеала m кольца R выполнено условие md(V ) 4. Тогда для любой надгруппы Н группы EO(V ) е Qh(V) существует единственная пара (А, Г) такая, что Доказательство. Положим RQ R и Sm — і2\т,и применим Теорему 8. Замечание. Неособость квадратичной формы мы понимаем как неосо-бость ассоциированной билинейной формы. В частности, на нечетномерном пространстве неособые квадратичные формы существует лишь в случае обратимости 2. Отказ от этого ограничения приводит к сложностям, упомянутым в конце параграфа 1.3.3. В гиперболическом случае V = "Н1 оценку можно улучшить до / 3, см. [9]. В случае, когда R = К — поле, элементарная ортогональная группа ЕО(К) совпадает с Of(V), т.е. с ядром ограничения спинорной нормы на 0+(V) (см. [37, Теорема 6.4.27]), а значит (поскольку V изотропно) с коммутантом Q(V) группы 0(V) (см. [1, Теорема 5.17]), и мы получаем результат Ли Шанчжи [43, Теорема 2], правда, с худшей оценкой на индекс. Рассмотрим случай симплектической группы. Поскольку в этом случае Л — Л, то для любого идеального форменного параметра (А, Г), содержащего (О,Л), имеем V — R. Будем писать ЕЕр(У,Л) вместо EEp(V,A,R) и CG$p{V,A) вместо CGSp(V,yl,;2). Теорема 10. Пусть R — коммутативное кольцо, V — конечнопорожден-ный проективный R-модуль, снабженный неособой знакопеременной формой, такой, что V содержит R в качестве прямого слагаемого, и для любого максимального идеала m кольца R выполнено условие гк(Кп) 8-Тогда для любой надгруппы Н группы Ep(V) в GL(K) существует единственный идеал А такой, что Доказательство. Положим RQ = R н Sm = R\m. Поскольку над локаль ным кольцом все проективные модули свободны, каждое неособое симплек тическое пространство является гиперболическим (см. [42, Следствие 4.1.2]), и мы находимся в условиях Теоремы 8. D В гиперболическом случае V = 7il оценку можно улучшить до 1 3 или даже 1 — 2, если у R нет поля вычетов из двух элементов, см. [10]. Это обобщает результаты работ [58] и [44].
Точная последовательность К-функторов
Пусть К — глобальное поле (т.е. конечное расширение Q или q(t))y SQQ — некоторое непустое конечное множество (классов эквивалентности) абсо лютных значений на К, содержащее все архимедовы абсолютные значения. является подкольцом в К, которое называется дедекиндовым кольцом арифметического типа или областью Хассе. Например, если К — числовое поле (т.е. конечное расширение Q), а S состоит из всех архимедовых абсолютных значений, то R — кольцо целых в К. R называется вполне мнимым, если К — вполне мнимое числовое поле, а Л — кольцо целых в К. Результат Басса, Милнора и Серра (см. [32, Следствие 4.3] или [37, Теорема 4.3.3]) говорит, что если R не является вполне мнимым, п 3, то для любого идеала А относительный SKi -функтор тривиален, т.е. ЕП(Л, А) = SLn(R,A). Получаем, что так что можно применять Теорему 12. Далее, Кі]ТІ(Л/Л) = (Л/А) , изоморфизм задается взятием определителя: при А — 0 это следует из результата Басса, Милнора и Серра, а при А ф 0 — из того факта, что R/A является полулокальным (см. [37, Теорема 4.3.9]). Пусть V — свободный Л-модуль, ind(V) 3 (чтобы можно было применить Лемму 45). Тогда из Теоремы 12 следует, что где отображение из KGUi(V/VA) В (Л/Л) задается взятием определителя. В качестве приложения опишем явно все надгруппы симплектической группы Sp2((.R) в GLi2i(i?), I 4 (на самом деле, как показано в [10], достаточно условия / 3) в случае, когда R — дедекиндово кольцо арифметического типа, не являющееся вполне мнимым. Поскольку R/A является полулокальным, KSplt2i(R/A) = 1 ([37, Теорема 9.2.5]). В силу условий на Л KSpIi2/(-R) = 1 по той же теореме. Из изоморфизмы задаются взятием мультипликатора. Заметим, что поскольку элемент KGSpli2;(-R) с мультипликатором р, может быть представлен матрицей (1), имеющей определитель //, забывающий гомоморфизм F: (R/A) KGSPlj2l{R/A) - Klal(R/A) = {R/A) является возведением в степень I. Пусть А — идеал R; определим абелеву группу Мд следующим образом: Для любой подгруппы M MA определим группу (где р, как всегда, означает гомоморфизм редукции по модулю А). Очевидно, Нм является надгруппой Sp2j(i?) в GL2i(#). Теперь из Теоремы 10 и приведенных выше рассуждений следует, что любая надгруппа Sp2/(i?) имеет вид Нм для некоторых однозначно определенных идеала А и подгруппы М в МА Перечислим основные результаты, полученные в работе. Получено "веерное" описание надгрупп классических групп в естественном представлении над широким классом колец, включающем почти коммутативные и полулокальные кольца (Теорема 8 и Следствие из нее, Теоремы 9 и 10). При этом для базисных подгрупп (EEU(V, А, Г) в наших обозначениях) заданы явные образующие, а элементы нормализаторов базисных подгрупп (CGU(V, А, Г) по Теореме 7) задаются явными сравнениями по модулю идеала А. Интересным частным случаем полученного результата является теорема Уилсона-Голубчика о нормальном строении полной линейной группы (Теорема 11). Выведена точная последовательность, связывающая факторы нормализаторов базисных подгрупп по самим базисным подгруппам с линейными и унитарными нестабильными К-функторами (Теоремы 12 и 13), В случае дедекиндовых колец арифметического типа (не являющихся вполне мнимыми) этот результат в комбинации с результатом Бас-са, Милнора и Серра о тривиальности относительного SKi дает явное описание всех надгрупп симплектической группы в простых арифметических терминах (параграф 3.4.2). Доказана теорема о независимости элементарной унитарной группы индекса Витта хотя бы три от выбора гиперболической пары над широким классом колец (Теорема 6 и Следствие из нее). Ранее подобные результаты были известны лишь в гиперболическом случае или для некоторых специальных типов унитарных групп. Получен аналог классической теоремы Витта о продолжении изомет-рии для форменных колец конечного стабильного ранга (Теорема 1), а также доказан вариант теоремы Витта о сокращении (Теорема 2). Получены (частично совместно с Э. Баком и Г. Тангом) результаты о стабилизации младших унитарных К-функторов с лучшими оценками на момент стабилизации, чем имеющиеся в литературе (Теорема 3 и Следствие из нее, Теорема 4 и Следствия из нее, Теорема 5).
